D.M. 23 : suites à répartition uniforme (équiréparties) : solutions

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1 D.M. 23 : suites à répartitio uiforme (équiréparties) : solutios ) E preat Re et Im, la coditio (iii) équivaut à (pour tout p ) cos(2pπu k ) et si(2pπu k ) + k=. + k= Or ces deux propriétés sot doées par la coditio (ii) appliquée à f = cos(2πp ) puis à f = si(2πp ) qui sot bie des foctios cotiues sur [, ]. ) O suppose (i) vérifiée. a) Il est commode de doer u om à la coditio exprimée au (ii). otos ( ) la propriété suivate d ue foctio f : k= f(u k ) + f. ( ) Si o exprime cette coditio ( ) o pas pour ue foctio f cotiue sur [, ] comme au (ii), mais pour la foctio f = χ [a,b] cette coditio s écrit : Or k= χ [a,b] (u k ) + par déf. de l itégrale des foctios e escalier : d autre part k= χ [a,b] ( ) χ [a,b] = b a χ [a,b] (u k ) compte le ombre de termes u k pour k =,..., das [a, b]. Doc la coditio du (i) est exactemet équivalete à la coditio ( ) ci-dessus. b) O suppose toujours que (i) est vraie. Par a) o sait alors que pour toute foctio f = χ [a,b] l égalité ( ) ci-dessus est vérifiée. Ceci est aussi valable si a = b, das ce cas f = χ {a}. Soit f E([, ], R) ue foctio e escalier. Alors o sait que f s écrit comme combiaiso liéaires f = i= λ i f i où les foctios f i sot des foctios caractéristiques d itervalles fermés (évetuellemet sigletos) qu o peut oter f i = χ [ai,b i]. O sait que pour tout i =,..., : k= χ [ai,b i](u k ) + χ [ai,b i] Par combiaiso liéaire (fiie!) de ces limites o obtiet immédiatemet que : i= λ i k= χ [ai,b i](u k ) + i= Par liéarité de la somme et de l itégrale, o coclut que : λ i χ [ai,b i](u k ) k= i= λ i χ [ai,b i]. + i= autremet dit que f = λ i χ [ai,b i] vérifie la propriété ( ). i= Doc toute foctio f E([, ], R) vérifie ( ). c) Soit f C([, ], R) (ou même f CM([, ], R)). λ i χ [ai,b i],

2 Attetio, o a evie de dire que f est la limite d ue suite (ϕ i ) de foctios e escaliers, mais alors quad o va étudier S (ϕ i ) = ϕ i (u k ), o aura ue double limite (les deux k= variables i et doivet partir à l ifii). Il faut être très prudet avec ces doubles limites : soit ε > Soit ε >. Par le théorème d approximatio uiforme, o a ue foctio ϕ E([, ], R) telle que f ϕ < ε/3 (). Pour la foctio ϕ aisi fixée, o sait par le b) que S (ϕ) = ϕ(u k ) + ϕ par la k= propriété du b). Doc o a u tel que, S (ϕ) Alors pour, S (f) Doc par I.T. Or S (f) ϕ f S (f) S (ϕ) ϕ < ε/3 (2). f = S (f) S (ϕ) + S (ϕ) f S (f) S (ϕ) + S (ϕ) k= ϕ + ϕ + ϕ ϕ f (3). f ϕ f ϕ < ε/3 (4), par majoratio de l itégrale et (). (f ϕ)(u k ). E majorat chaque terme (f ϕ)(u k ) par f ϕ, o obtiet S (f) S (ϕ) f ϕ = f ϕ < ε/3 (5). Coclusio : avec (5), (4) et (2) das (3), o a la coclusio :, S (f) f. f < ε. La preuve ressemble u peu à la preuve de la cotiuité d ue limite uiforme : o coupe e trois (car double limite). 2) Cette fois o suppose (ii). Soit f = χ [a,b]. Pour tout suffisammet grad pour que < a < a < a + < b < b < b + <, o défiit les deux foctios f et g cotiues affies par morceaux suivates : a) Comme idiqué sur la première figure ci-dessous : f est ulle sur [, a ] et [b +, ]., f est costate égale à sur [a, b]. f est affie sur les deux itervalles restats. Clairemet f f pour tout. b) De même, o défiit g comme idiqué sur la secode figure : 2

3 g est ulle sur [, a] et [b, ]. g est costate égale à sur [a +, b ]. g est affie sur les deux itervalles restats. c) Par costructio o a pour tout : f f g. Par commodité, pour toute foctio f, et tout m, otos S m (f) = m L iégalité précédete etraie que pour tout et tout m das : S m (f ) S m (f) S m (g ). ( ) m k= f(u k ). Pour fixé, o sait que S m (f ) m + f et de même S m (g ) g. Problème : o e peut pas passer à la limite quad m + das cette iégalité ( ), car o e sait pas que S m (f) a ue limite! Cela fait partie de ce qu o veut motrer. Rêve : Si o savait que S m(f) m + Par passage à la limite m + das ( ), o a Esuite il est facile de calculer f = b a + et de même Doc f l = b a = f. Fi du rêve. (b a) et + l R, o dirait : f l g m + ( ) f comme somme de l aire d u rectagle et de deux triagles : g = (b a). g (b a) doc par passage à la limite das ( ) o coclut que + f Ce qu o retiet au mois du rêve : o sait que (b a) et + O doit ecore faire u raisoemet de double limite. g (b a). + Soit ε >. O fixe u tel que b a ε 2 < b a < b a < b a + < b a + ε 2 (). Ce état fixé, o sait que S m (f ) b a et S m (g ) m + b a + m + Et comme par ( ) : S m (f ) S m (f) S m (g ), o a u m tel que pour tout m m : b a ε 2 < S m(f ) S m (f) S m (g ) b a + + ε 2. (2) Par costructio de (iégalités ()), les iégalités (2) doet : m m, b a ε < S m (f) < b a + ε. O viet de démotrer que S m (f) b a = m + 3 f.

4 3) otatios : foctios polyomiales trigoométriques rameées à [, ] otos T l esemble des foctios g [, ] R pour lesquelles il existe u etier m et des réels a,..., a m, b,..., b tels que pour pour tout x [, ],g(x) = a + k= a k cos(2kπx) + k= b k si(2kπx) ( ). O motre (ce est pas difficile!) que le théorème de Weierstrass trigoométrique se traspose ici e disat que : Lemme (coséquece facile du théorème de Weierstrass trigoométrique) toute foctio f C([, ], R) telle que f() = f() est limite uiforme sur [, ] d ue suite de foctios (f m ) T. O va se servir de ce lemme pour le résultat pricipal de la questio Le (iii) dit pour pour k et e k = e 2iπk, o a S m (f k ) m + e k Par combiaiso liéaire de limite, o e déduit immédiatemet que si g = λ k e k, o a aussi S m (g) m + g E preat Re() et Im(), o e déduit immédiatemet que : g T, S m (g) k= m + L idée est alors celle du raisoemet par desité : o a ue propriété vraie sur ue partie dese, elle s éted à l espace etier. Ue petite difficulté supplémetaire ici : la coditio f() = f(). Soit f C([, ], R) quelcoque. Soit ε >. Lemme 2 : O peut trouver ue foctio f C([, ], R) telle que f() = f() et ε/4 (). Preuve du lemme 2 : exercice! L idée est alors de travailler avec f : f g < ε/4. Alors f g f f < par le lemme, o a ue foctio g T telle que g < ε/4 (2) mais aussi S m ( f) S m (g) < ε/4 (3) pour tout m. Efi, comme g T, o a u m tel que pour tout m m, E ajoutat toutes ces iégalités (), (2), (3), (4) par I.T. : g S m (g) < ε/4 (4). f S m (f) f f + f g + g S m (g) + S m (g) S m (f) < ε. Culture : La coditio (iii) pour qu ue suite soit équirépartie (i.e. à répartitio uiforme) s appelle critère de Weyl. 2) Exemples de suites à répartitios uiformes : ) Lie avec la desité : a) (Sas utiliser le critère de Weyl). Motros que si (u ) est à répartitio uiforme alors l esemble {u, } de ses valeurs est dese das [, ]. otos U = u() l esemble des valeurs de la suite (u ). Soiet a < b. O veut motrer que U [a, b], i.e. qu il existe u u [a, b]. Or X (a, b)/(b a) + b a >. Doc il existe u tel que X (a, b) > pour tout. E part. X (a, b) > et doc il y a bie au mois u terme de la suite das [a, b]. b) (i) Le fait que la suite v = (v ) est dese est ue propriété de l esemble v() = {v, }. Or par déf. de v, v() = u() {}. Comme u() est déjà dese das [, ], o coclut que v() aussi. (ii) Motros que (v ) est pas à répartitio uiforme. Par déf. de (v ), X (, ) /2 pour tout. Doc X (, )/ /2 pour tout et doc X (, )/ e peut pas tedre vers. ) a) Si o voulait juste u affichage des valeurs avec prit (mais o y voit rie!) 4

5 def u(theta): acc= for i i rage(,): acc=(acc+theta)% prit(acc) Mais si o veut u affichage graphique, c est plus joli, et o espère voir l équirépartitio : import pylab as pl def afficheu(theta): acc= U=[acc] for i i rage(,): acc=(acc+theta)% U.apped(acc) Y=pl.zeros(le(U)) pl.plot(u,y, r.,markersize=) pl.show() >>>theta=2**(/2)/2 # autremet dit racie de 2 sur 2. >>>afficheu(theta) # doe le dessi suivat qui a bie ue t^ete équirépartie ) b) Par le critère de Weyl (le (iii) de l ecadré de la première partie) e otat, pour tout p, e p = exp(2ipπ ), o a l équivalece : (u ) à répartitio uiforme p, lim + k= e p (u k ) =. Supposos que θ / Q, motros que (u ) est à répartitio uiforme. Soit p. Alors e p (u k ) = e p (kθ). k= k= Mais e p (kθ) = e p (θ) k, o a doc la somme de termes d ue suite géométrique, et comme e p (θ) car θ / Q, o a : e p (u k ) = k= e p(θ) e p (( + )θ). e p (θ) Or e p(θ) e p (( + )θ) 2, majorat idépedat de, doc : e p (θ) e p (θ) e p (u k ) 2, majorat qui ted vers zéro quad +. e p (θ) k= D où la coclusio : k= e p (u k ) + pour tout p et doc (u ) est à répartitio uiforme. Supposos que θ Q : motros que (u ) est pas à répartitio uiforme. O pose θ = a/b avec a Z, b. Alors comme u k = kθ kθ, o remarque que pour tout k : u k+b = kθ + bθ kθ + bθ, mais bθ = a Z et doc x + a = x + a pour tout réel x. Doc u k+b = u k. La suite (u k ) est doc b-périodique. Or ue suite périodique e peut pas être à répartitio uiforme, car l esemble de ses valeurs état fii, il e peut être dese das [, ], cf. ). 5

6 2) Justificatio du résultat doé das l idicatio, méthode culturelle : o sait (c est bie de le savoir) que le R-e.v. des suites (u ) vérifiat la relatio de récurrece liéaire, u +2 = u + + u, est formé des suites défiies explicitemet par : u = λϕ + µψ. (Car ϕ et ψ sot les deux solutios de l E.C. r 2 = r + ). Pour vérifier que la suite (u ) défiie par λ = µ = est à coefficiet etier, vu la relatio de réc. u +2 = u + + u, il suffit de vérifier que u et u sot des etiers. Or u = + = 2 et u = φ + ψ =. D où la coclusio. Coclusio : o a bie motré que pour tout, ϕ + ψ. A quoi cela sert-il ici? otos w = ψ alors v + w pour tout par ce qui précède. Mais comme v est aussi u etier, o coclut que u + w Z pour tout. Doc pour tout et tout p, e 2ipπ(u+w) =. Autremet dit e 2ipπu = e 2ipπw. k= e 2ipw k Mais alors pour tout p, e 2ipu k = k= Das le critère du (iii) il est idifféremmet de predre p Z au lieu de p. Doc avec ( ) o coclut que (u ) est équirépartie ssi (w ) est équirépartie. Mais w = ψ car ψ < doc (w ) est pas équirépartie. ( ) + 6