Chapitre III. Racines réelles des Polynômes

Transcription

1 Chptre III : Rces réelles des Polômes Chptre III Rces réelles des Polômes III..Défto : O ppelle polôme ou focto rtoelle etère de l focto : = A + A + A A, = = A = Ou est u ombre eter ppelé degré du polôme. -O ppelle rce d u Polôme l vleur de l vrble pour lquelle le polôme s ule. _ L équto P ()= est ppelée équto lgébrque. III.. Théorèmes reltfs u Polômes : Théorème ()( de Bézoult ): Le reste de l dvso du Polôme P () pr le moôme (-) est égle à P (). Théorème () (fodmetle de l lgèbre) : Toute focto rtoelle etère P () u mos ue rce réelle ou complee. Théorème (3) : Tout polôme de degré se décompose e fcteur lére de forme (-) et u fcteur égl u coeffcet (A ) de : P = A ( ) III.3. Ordre de Multplcté d ue rce : O dt que l ordre de multplcté de l rce de l équto lgébrque P ()= est s s : ( s P ( ) = P' ( ) = P'' ( ) =... = P ( s) P ( ) III.4.Shem de Horer : Sot le polôme suvt ) ( ) = = A + A + A A, = = A = O se propose de trouver l vleur de ce polôme u pots =α sot Il est plus commode de poser P (α ) sous l forme : P ( α ) = + α( + α( + α(... α( + α )))...) E pose b = b = +α b b = +α b.. = P ( α) = A α.. b = +α b - Il vet b =P (α ) d utre pr, les coeffcets b, b, b, b 3,., b - e sot d utre que les P coeffcets du polôme Q = ( α) Prtquemet ous utlst le tbleu suvt : α = 3

2 Chptre III : Rces réelles des Polômes Q b b b 3 P = = ( α) = b b 3 b =P (α ) S b = lors α est rce de P (). O utlse le schém Horer pour fclter l évluto d u polôme pour ue vleur et l détermto du résult s que du reste de l dvso du polôme P () pr (-α ) Algorthme Eemple : Clculer l vleur du Polôme suvt pour =- P ()= α =- =. b =. =. b = =-5 b =-5 3 =7 b 3 =7 4 = b 4 =-33 P (-)=6+(-8)-5*4+7(-)+=33 et P ()/(+)= III.5.Séprto des rces : Nous llos bordé le problème de l séprto des rces d u polôme, c est-àdre détermto des tervlles de présece des rces s que leurs ture (réelles, complees, postves ou égtves). Théorème (Cuch) : preos u polôme de l forme = = = Sot A=m {,,, 3,., } Le module de toute rce k de l équto P ()= vérfe l églté : A k < + = R Corollre : Sot B=m {,,, 3,., - } Le module de toute rce k de l équto P ()= vérfe l églté : k > = r B + Début Lre,,α b = Fre de =, b = +α*b - f fre Alors r< k <R Eemple : pplquer ce théorème sur les polômes suvts : P ()= 4-4+ P ()= A 4

3 Chptre III : Rces réelles des Polômes Proprété : (règle de Descrtes de chgemet de sge) : sot P () u polôme d ordre, ν représete le ombre de chgemet de sge ds l esemble de ses coeffcets { j } et k le ombre des rces réelles postves de P () (e comptt l multplcté). Alors, k ν et ν k est u ombre pr. III.6.Résoluto d ue équto Algébrque pr l méthode de Beroull Sot le polôme suvt P ( ) = , (*) Dot les rces sot dfféretes Utlst les coeffcets pour costrure ue équto u dfféreces fes = (=,.,) (**) Qu est ue équto ssoct les + termes cosécutfs d ue quelcoque d ue sute umérque fe. Ue sute { Z k } est dte soluto de l équto (*) s (+) élémets cosécutfs de cette sute vérfet cette équto. E théore des équtos u dfféreces fes, ue équto récurrete dmet pluseurs solutos. L équto (*) est ppelée équto crctérstque de l équto (**).L méthode de Beroull permet de clculer l rce l plus grde e module de l équto (*) e prtt de ombre rbtrres {,,,., - }à prtr desquels o costrut ue sute { }soluto de (**), d élémets : + = ( ) k + Pus o évlue les rpports,,..., s l covergece de ces termes lors : + + k p = lm, ou est l plus grde rce e module du polôme (*). p p Eemple : Sot le polôme P()= =-( )/ = = = O costrut le tbleu des tértos : / -. _ ,75-8, ,65-6, ,6875-7, ,565-6, , , L rce l plus grde e vleurs bsolu est =-7. Eercces : Trouver les rces des polômes suvts : P()= (l soluto est -5,53754) P()= (l soluto est -,73477) Algorthme 5

4 Chptre III : Rces réelles des Polômes Méthode de Crd Gerolmo Crdo prfos ommé Grolmo Crdo ou ecore Jérôme Crd (5, Pve - 576, Rome) étt u mthémtce, phlosophe et médec tle. L méthode de Crd, mgée et mse u pot pr Jérôme Crd ds so ouvrge Ars Mg publé e 545, est ue méthode permettt de résoudre toutes les équtos du trosème degré. Cette méthode permet de mettre e plce des formules ppelées formules de Crd dot e focto de p et q les solutos de l'équto : 3 + p + q = Début Lre,, ε Fre de =, - =. f fre =. Fre de k=, k m. k + = * = S k + k + k + k+ S o cotue F s F fre k + Elle permet de prouver que les équtos de degré 3 sot résolubles pr rdcu. O rppelle que seules les équtos de degré,, 3, 4 sot résolubles pr rdcu, c'est à dre que seules ces équtos possèdet des méthodes géérles de résolutos dot les solutos e focto des coeffcets du polôme. < ε rrêt Formules de Crd 3 Cosdéros l'équto : + p + q = 4 3 O clcule le dscrmt = q + p et o étude so sge. S l'o prt de l'équto 7 3 géérle. z + b. z + cz + d =, o se rmèe à l forme rédute e post b b c b b 9c d z =, p = +, et q = S Δ est postf 6

5 Chptre III : Rces réelles des Polômes L'équto possède lors ue soluto réelle et deu complees. O pose. L seule soluto réelle est lors. Il este églemet deu solutos complees cojuguées l'ue de l'utre où. S Δ est ul L'équto possède lors deu solutos réelles, ue smple et ue double : S Δ est égtf L'équto possède lors tros solutos réelles. Toutefos, l est écessre de fre ue curso ds les complees pour toutes les trouver. Les solutos sot les sommes de deu complees cojugués et où et, sot l'esemble suvt : L forme réelle des solutos est obteue e écrvt j k u sous l forme trgoométrque, ce qu doe : 7