Systèmes d'équations linéaires. Systèmes d'équations linéaires. On se donne 8 > . > am1 x1

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Huguette Barbeau
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1 Systèmes d'équatios liéaires b Mm; (R) et A Mm; (R), pour m; N, et l'o s'itéresse à la résolutio de l'équatio matricielle A b où M; (R) C'est u système de m équatios liéaires à icoues O se doe a a a a a a b b ai ai ai bi am am am bm 8 où B A, b b B A et bm A aij i m ; j Systèmes d'équatios liéaires Ces systèmes apparaisset das beaucoup de problèmes cocrets e écoomie, igéierie, statistiques, dès que l'o ramèe u problème à ue approimatio das u espace vectoriel réel de dimesio ie Aisi la résolutio de systèmes di éretiels, de problèmes d'optimisatio et d'approimatio, la discrétisatio d'équatios de mécaique des uides et de mécaique des solides etc sot des eemples d'applicatios où l'o est ameé à résoudre des systèmes liéaires pouvat avoir plusieurs milliers d'icoues ) Nécessité des méthodes umériques!

2 Das ue base doée, A R! Rm, représete ue applicatio liéaire Le théorème du rag permet de compredre les coditios sous lesquelles b Ker(A) f R A R g m Im(A) fy R 9 R y A g rag(a) dim(im(a)) rag(a) dim(ker(a)) A admet des solutios O ote et o pose m,, alors Si m, o a plus d'équatios que d'icoues, le système est sur-détermié si b 6 Im(A), il 'y a pas de solutios ; Si m, o a mois d'équatios que d'icoues, le système est sous-détermié si b Im(A), il y a ue i ité de solutios, sio aucue ; Si m et rag(a), alors A est ue matrice carrée iversible et il eiste ue solutio uique A b Formules de Cramer A M; (R) et rag(a), o sait doc qu'il b eiste ue solutio uique A O ote Ai la matrice obteue à partir de A e remplaçat la i -ème coloe par b, alors O suppose que pour i ;; (Ai ) i det det(a) A se calcule, e théorie, comme suit, e développat par rapport à la i -ème lige, resp la j -ème coloe det(a) aij Aij aij Aij ; i j i j ij, où Aij est le cofacteur de l'élémet aij Aij ( ) O rappelle que le détermiat de ij A, c-à-d le détermiat de la sous-matrice etraite de A e ôtat la i -ème lige et la j -ème est le mieur de coloe aij das

3 Questio quel est le ombre de multiplicatios écessaires pour résoudre u système liéaire par les formules de Cramer? Le ombre de multiplicatios pour calculer u détermiat d'ordre est O (!) E appliquat les formules de Cramer, o doit eécuter O (( )!) multiplicatios de réels!!!! ; ; Les formules de ot ue importace théorique E pratique, elles sot iutilisables à partir de 5, Cramer sauf pour des matrices particulières Système triagulaire C'est u système de la forme 8 a a a ; a a a ; a c-à-d tous les élémets de Si les ; a; aii a iférieure sot tous o uls, o a u algorithme simple pour détermier R! b b b b A au dessus de la diagoale sot uls, A est ue matrice triagulaire comme lower e aglais) o dit que (ou L a

4 Système triagulaire A M (R) ue matrice triagulaire iférieure, avec Y det(a) aii 6, alors la solutio de A b est doée par i 8 b a Soit i aij j A i aii j i ; ; O détermie la solutio du système liéaire triagulaire e O ( ) opératios La résolutio de systèmes triagulaires écessite doc beaucoup mois d'opératios que la méthode géérale de Cramer Factorisatio LU Soit A M (R) ue matrice iversible, l'algorithme de factorisatio LU permet de décomposer produit A e u AL U L triagulaire iférieure, avec des sur la diagoale, et d'ue matrice U triagulaire supérieure iversible d'ue matrice Note Si l'u des aii, il su t de faire des permutatios des liges et coloes, pour obteir u élémet o ul sur la diagoale o obtiet u pivot o ul Si l'o procède à des permutatios de faço à ce que aii soit l'élémet de valeur absolue maimale das toute la sous-matrice restate ( avec i ), alors o a l'algorithme d'élimiatio de pivot total Gauss

5 Factorisatio LU Pour simpli er la présetatio de l'algorithme, o e va pas teir compte d'évetuelles permutatios, i de l'iitialisatio des lu() de Scilab cf help lu Note la commade permutatios, Factorisatio LU L I ; U O pour i à pour j i à lji aji aii pour j i à uij aij pour j i à pour k i à ajk ajk lji uik u a lii produit ue matrice de Quel est le ombre de multiplicatiosadditios écessaires? Résolutio de A b Appliquos la factorisatio Factoriser O ( ) LU à la résolutio du système A e A LU L~ b ~ Résoudre u système triagulaire supérieur U (L b ) Aisi U Résoudre u système triagulaire iférieur Coût Résolutio de deu systèmes triagulaires et décompositio LU O ( ) O ( ) O ( ) Note o a simpli é e e teat pas compte des permutatios, écessaires das le cas gééral

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