Amérique du Nord juin 2016

Transcription

1 Amérique du Nord jui 6 Exercice Commu à à tous les cadidats 6 poits Ue etreprise fabrique des billes e bois sphériques grâce à deux machies de productio A et B. L etreprise cosidère qu ue bille peut être vedue uiquemet lorsque so diamètre est compris etre,9 cm et, cm. Les parties A, B et C sot idépedates. Partie A Ue étude du foctioemet des machies a permis d établir les résultats suivats : 96 % de la productio jouralière est vedable. La machie A fourit 6 % de la productio jouralière. La proportio de billes vedables parmi la productio de la machie A est 98 %. O choisit ue bille au hasard das la productio d u jour doé. O défiit les évèemets suivats : A : "la bille a été fabriquée par la machie A " ; B : "la bille a été fabriquée par la machie B " ; V : "la bille est vedable ". O a P A, 6, P B,, P V, 96, P A V, 98 ) Détermier la probabilité que la bille choisie soit vedable et proviee de la machie A. P A V p A P A V ) Justifier que P B V, 7 et e déduire la probabilité que la bille choisie soit vedable sachat qu elle proviet de la machie B. A et B formet ue partitio de l uivers doc, d après la formule des probabilités totales, P V P A V P B V O remplace, P B V doc P B V P B V Or P B V p B. ) U techicie affirme que 7 % des billes o vedables provieet de la machie B.. A-t-il raiso? P V, 96 doc p V, O veut P V B P B V o calcule P B V p V A et B formet ue partitio de l uivers doc, d après la formule des probabilités totales,

2 P V P A V P B V, p A P A V P B V,. 6. P B V P B V. 8 P V B P B V p V. L techicie a raiso, 7 % des billes o vedables provieet de la machie B Partie B Das cette partie, o s itéresse au diamètre, exprimé e cm, des billes produites par les machies A et B. ) Ue étude statistique coduit à modéliser le diamètre d ue bille prélevée au hasard das la productio de la machie B par ue variable aléatoire X qui suit ue loi ormale d espérace et d écart-type,. Vérifier que la probabilité qu ue bille produite par la machie B soit vedable est bie celle trouvée das la partie A, au cetième près. P. 9 X.. 9 avec la calculatrice, soit le résultat de la questio A) ) ) De la même faço, le diamètre d ue bille prélevée au hasard das la productio de la machie A est modélisé à l aide d ue variable aléatoire Y qui suit ue loi ormale d espérace et d écart-type, : état u réel strictemet positif. Sachat que P, 9 Y,, 98, détermier ue valeur approchée au millième de. P, 9 Y,, 98 P X.. 98 P X.. 99 P X.. 99 O pose T X. T suit la loi ormale cetrée réduite. P, 9 Y,, 98 P X.. 99 Avec la calculatrice,., 6 doc, cm. Il faut régler la machie sur, cm. Partie C Les billes vedables passet esuite das ue machie qui les teite de maière aléatoire et équiprobable e blac, oir, bleu, jaue ou rouge. Après avoir été mélagées, les billes sot coditioées e sachets. La quatité produite est suffisammet importate pour que le remplissage d u sachet puisse être assimilé à u tirage successif avec remise de billes das la productio jouralière. Ue étude de cosommatio motre que les efats sot particulièremet attirés par les billes de couleur oire. ) Das cette questio seulemet, les sachets sot tous composés de billes.

3 a) O choisit au hasard u sachet de billes. Détermier la probabilité que le sachet choisi cotiee exactemet billes oires. O arrodira le résultat à. O répète fois la même épreuve : "choisir ue bille". Cette épreuve a deux issues : - le succès : "la bille est e oire" de probabilité p. - l échec : "la bille est pas e oire" de probabilité p Les épreuves sot idetiques et idépedates. La variable aléatoire X qui compte le ombre de succès suit la loi biomialeb,. Autremet dit, k,,....,, P X k doc P X. 7 b) Das u sachet de billes, o a compté billes oires. Ce costat permet-t-il de remettre e cause le réglage de la machie qui teite les billes? La taille de l échatillo est. La proportio p de persoes de groupe sagui A e Frace est p., p, 8 et p O a, p et p doc o peut utiliser l itervalle de fluctuatio p p p p asymptotique au seuil de 9 % I p, 96 ; p, 96 soit I, 76 ;, k O a f. f I doc o e rejette pas l hypothèse faite sur p ) Si l etreprise souhaite que la probabilité d obteir au mois ue bille oire das u sachet soit supérieure ou égale à 99 %, quel ombre miimal de billes chaque sachet doit-il coteir pour atteidre cet objectif? O repred les coditios du C) ) o omme Y la variable aléatoire qui suit ue loi biomiale de paramètre et. p X p X O veut.. 99 l. l l. l soit, doc il faut u miimum de billes. Exercice k k 6 poits Commu à à tous les cadidats La partie icurvée est modélisée par la courbe C f de la foctio f sur l itervalle ; e

4 défiie par: f x x l x x. La courbe C f est représetée ci-dessous das u repère orthoormé d uité m et costitue ue vue de profil de la cuve. O cosidère les poits A( ; ), I( ; ) et B(e ; ). Partie A L objectif de cette partie est d évaluer le volume de la cuve. ) Justifier que les poits B et I appartieet à la courbe C f et que l axe des abscisses est taget à la courbe C f au poit I. Motros que les poits B et I appartieet à la courbe C f f l l doc I C f f e e l e e e l e e e e doc B C f La foctio f est dérivable sur ; e,comme produit et somme de foctios dérivables. x ; e, f x l x x x l x o a, f l doc la tagete à C f au poit C est horizotale et passe par le poit C ; doc la tagete à C f au poit C est l axe des abscisse ) O ote T la tagete à la courbe C f au poit B, et D le poit d itersectio de la droite T avec l axe des abscisses. a) Détermier ue équatio de la droitet et e déduire les coordoées de D. La droite T a pour équatio : y f e x e f e or f e et f e l e doc T a pour équatio réduite: y x e De plus D appartiet à T et à l axe des abscisses doc y D et x D e, aisi D e ; b) O appelle S l aire du domaie délimité par la courbe C f, les droites d équatios y, x et x e. S peut être ecadrée par l aire du triagle ABJ et celle du trapèze AIDB. Quel ecadremet du volume de la cuve peut-o e déduire? Aire(AIB) AB AI e e et Aire(AIDB) doc ID AB AI e e e S e 6 e 6 La hauteur du solide, c est à dire la largeur de otre cuve est m Or Volume de la cuve S doc e V e ) a)motrer que, sur l itervalle [ ; e], la foctio G défiie par

5 G x x l x x est ue primitive de la foctio g défiie par g x x l x. G est défiie et dérivable sur [ ; e] comme produit et somme de foctios dérivables. x ; e, G x x l x x x x x l x x x x l x doc G est ue primitive de g sur [ ; e]. b) E déduire ue primitive F de la foctio f sur l itervalle [ ; e]. F défiie sur ; e par F x G x x x coviet. e effet F est dérivable sur ; e et pour tout x ; e, F x G x x g x x f x g x aisi pour tout x ; e, F x x l x x x O aurait aussi pu décomposée f e somme de deux foctios : g et la foctio affie x x O aurait esuite détermier ue primitive. c) Détermier la valeur exacte de l aire S et e déduire ue valeur approchée du volume V de la cuve au m près.f est iférieure à sur [ ; e] Soit C e;, o a ABCI est u rectagle. L aire latérale de la cuve est doée par Aire ABCI e f x dx doc S e e f x dx S e F x e S e F e F S e e e e S e e e S e V S e m (à l uité près) Partie B Pour tout réel x compris etre et e, o ote v x le volume d eau, exprimé e m, se trouvat das la cuve lorsque la hauteur d eau das la cuve est égale à f x. O admet que, pour tout réel x de l itervalle [ ; e], v x x l x x x x x. ) Quel volume d eau, au m près, y a-t-il das la cuve lorsque la hauteur d eau das la cuve est de u mètre? O cherche x ; e tel que f x La foctio f est cotiue sur ; e. pour tout x ; e, f x l x Pour x o a x Doc sur ; e, f x. f est doc strictemet croissate sur ; e. f et f e.

6 et ;. D après le corollaire du théorème des valeurs itermédiaires, il existe u uique réel ; e tel que f. f f Par stricte croissace de f, à. doc V 7, à. Il y a doc eviro 7 m d eau das la cuve quad la hauteur d eau est de u mètre. ) O rappelle que V est le volume total de la cuve, f est la foctio défiie e début d exercice et v la foctio défiie das la partie B. Cet algorithme permet d afficher la hauteur d eau das la cuve pour que celle-ci soit remplie à moitié. Exercice Commu à à tous les cadidats poits Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormé direct O, u, v. O cosidère le poit A d affixe, le poit B d affixe i et les poits C et D tels que ABCD est u carré de cetre O. Pour tout etier aturel o ul, o appelle M le poit d affixe z i. ) Ecrire le ombre i sous forme expoetielle. i i e i ) Motrer qu il existe u etier aturel, que l o précisera, tel que, pour tout etier, le poit M est à l extérieur du carré ABCD. Cosidéros le disque de cetre O et de rayo. Si le poit M appartiet pas à ce disque alors le poit M est à l extérieur du carré. c est à dire si OM alors le poit M est à l extérieur du carré c est à dire si z alors le poit M est à l extérieur du carré. i l l car la foctio l est croissate sur ; l l l l car l ( ) Aisi si alors le poit M est à l extérieur du carré ABCD. Doc. O peut aussi y aller à tato Exercice poits 6

7 Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité O cosidère la pyramide régulière SABCD de sommet S costituée de la base carrée ABCD et de triagles équilatéraux représetée ci-dessous. Le poit O est le cetre de la base ABCD avec OB. O rappelle que le segmet [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ot la même logueur. ) Justifier que le repère O ; OB, OC, OS est orthoormé. Le triagle DSB est isocèle e S et O milieu de [DB] doc (SO) est perpediculaire à (OB). De même (SO) est perpediculaire à (OC). De plus ABCD est u carré doc (OC) est perpediculaire à (OB). ABCD est u carré doc OC OB de plus le triagle OAB est rectagle e O doc d après le théorème de Pythagore AB et le triagle ABS est équilatérale doc SB le triagle OAB est rectagle e O doc OS doc le repère O ; OB, OC, OS est orthoormé. Das la suite de l exercice, o se place das le repère O ; OB, OC, OS. ) O défiit le poit K par la relatio SK SD et o ote I le milieu du segmet [SO]. a) Détermier les coordoées du poit K. OK OS SK OS SD OS SO OD OS OB doc K ; ; b) E déduire que les poits B, I et K sot aligés. B ; ;, I ; ; et K ; ; doc BI et BK aisi BK BI et les poits B,I et K sot aligés c) O ote L le poit d itersectio de l arête [SA] avec le pla (BCI). Justifier que les droites (AD) et (KL) sot parallèles. O cosidère les pla (SDA) et (BCI) (AD) est icluse das (SDA) et (BC) est icluse das (BCI) et (AD) est parallèle à (BC) (car ABCD est u carré). Le poit L appartiet à [SA] doc L appartiet à (SDA) et L appartiet à (BCI) Le poit K appartiet à (SD) doc L appartiet au pla (SDA) et le poit K appartiet à (BI) doc le poit K appartiet au pla (BCI) doc la droite (KL) est l itersectio des pla (BCI) et (SDA) Le théorème du toit permet de coclure: les droites (LK) et (AD) sot parallèles. 7

8 d) Détermier les coordoées du poit L. O pose L x L ; y L ; z L Le poit L appartiet à [SA] doc x L e effet il existe k R tel que SL ksa aisi OL OS ksa OS kos koa k OS koc De plus LK y K et AD sot coliéaires z K doc LK AD et y K et z K ) O cosidère le vecteur a) Motrer que est u vecteur ormal au pla (BCI). das le repère O ; OB, OC, OS. BI et BC (les deux vecteurs e sot pas coliéaires) Le repère est orthoormé doc. BI et. BC doc le vecteur est orthogoal à deux vecteurs o coliéaire du pla (BCI) doc le vecteur est ormal au pla (BCI). b) Motrer que les vecteurs, : AS et DS sot coplaaires., AS et DS doc AS DS et les vecteurs, : AS et DS sot coplaaires. c) Quelle est la positio relative des plas (BCI) et (SAD)? Il existe doc ue droite de (SAD) dot u vecteur directeur est. Cette droite est par coséquet perpediculaire au pla (BCI). Les plas (SAD) et (BCI) sot doc perpediculaires. 8