éléments d'analyse statistique

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1 éléments danalse statstque applcaton à lhdrologe deuxème édton D. Ther octobre 989 R EAU 4S 89 BUREAU DE RECHERCHES GEOLOGIQUES ET MINIERES SERVICES SOL ET SOUS-SOL Département Eau B.P ORLÉANS CEDEX 2 - France - Tél.: (33)

2 ELEMENTS DANALYSE STATISTIQUE Applcaton à lhdrologe VorrUnlque. THIEM PR R 3073 EAU/4S/89 R E S U M E Ce rapport présente un certan nombre de technques statstques élémentares : - étude dun échantllon de valeurs et détermnaton de la foncton de dstrbuton emprque, - étude et méthode dajustement aux fonctons de dstrbuton les plus classques, - calculs de régresson lnéare, - calcul des ntervalles de confances et pratque de tests statstques (comparason des moennes ou de varance, analse de varance]. précser : Pour chadune de ces technques, on sest efforcé de - les hpothèses dapplcaton à respecter, - les erreurs classques è évter. Un exemple numérque a été traté à chaque fos pour rendre la méthode plus explcte.

3 S O M M A I R E. Pages. - ETUDE DUN ECHANTILLON DOBSERVATION.. GENERALITES ET DEFINITIONS.2. PARAMETRES STATISTIQUES D" UN ECHANTI LLÛN 3.3. ETUDE DESCRIPTIl/E DE LA DISTRIBUTION 5.4. DETERMINATION DE LA FONCTION DE DISTRIBUTION LES DISTRIBUTIONS STATISTIQUES 4.. LA DISTRIBUTION GAUSSIENNE (OU NORMALE) LA DISTRIBUTION LOG-NORMALE ( GALTON-GIBRATj LA DISTRIBUTION DE GUM8EL LA DISTRIBUTION DE STUVENT B 2.5. LA DISTRIBUTION BINOMIALE LA DISTRIBUTION DE POISSON LA DISTRIBUTION EXPONENTIELLE 2 2. S. LA DISTRIBUTION DU CHI LA REGRESSION LINEAIRE GENERALITES METHODE DE CALCUL INTERPRETATION STATISTIQUE TESTS STATISTIQUES ET CALCUL DES INTERVALLES DE CONFIANCE INTERVALLE VE CONFIANCE DUNE MOYENNE INTERVALLE VE CONFIANCE DUN ECART-TYPE INTERVALLE VE CONFIANCE VUN QUANTILE DUNE REPARTITION GAUSSIENNE INTERl/ALLE DE CONFIANCE DUN COEFFICIENT DE CORRELATION INTERVALLE VE CONFIANCE DES COEFFICIENTS DE REGRESSION INTERVALLE VE CONFIANCE DUNE PREVISION COMPARAISON VE DEUX MOYENNES 37 4.S. COMPARAISON VE VEUX VARIANCES COMPARAISON DE PLUSIEURS MOYENNES [ANALYSE VE l/ariance] 4

4 5. - COMPLEMENTS A LA PREMIERE EDITION REGRESSION VES "MOINDRES DISTANCES" CORRELATION DOUBLE DUREE DE VIE DUN PROJET ETUDE DUNE VARIABLE AU-VESSUS VUN SEUIL COMPOSITION VES 2 LOIS DE PROBABILITE INTERVALLE DE CONFIANCE VU RAPPORT DE DEUX l/ariances INTERl/ALLE DE CONFIANCE DUN POURCENTAGE OBSERVE S. TEST DAJUSTEMENT VU CHI Z 55

5 LISTE DES FIGURES (En Annexe) Fgure : Dstrbuton emprque sur paper Gauss Fgure 2 : Dstrbuton emprque sur paper Log-Normal (ou Gausso-Log) Fgure 3 : Dstrbuton emprque sur paper Gumbel Fgure 4 : Foncton de répartton de la lo normale rédute Fgure 5 : Dstrbuton de Student Fgure 6 : Table de dstrbuton de x 2 (Lo de K. Pearson) Fgure 7 : Intervalle de confance à 95 % dun coeffcent de corrélaton Fgure 8 : Fgure 9 : Valeur au-dessus de laquelle un coeffcent de corrélaton mesuré est sgnfcatvement dfférent de 0. Table de FISCHER-SCHNEDECOR P = 97.5 % (pour ntervalles de confance des 2 côtés. Fgure 0 : Table de FISCHER-SCHNEDECOR P = 95 % (à utlser pour des tests dun seul côté). Fgure : Abaque donnant lntervalle de confance à 95 % dun pourcentage

6 INTRODUCTION Il exste un certan nombre de technques qu permettent détuder un échantllon de valeurs pour en précser sa dstrbuton statstque et le comparer à un autre échantllon. Un certan nombre de ces technques sont très utlsées en hdrologe superfcelle. Malheureusement, ces méthodes statstques sont souvent utlsées de manère partelle, sans tenr compte des hpothèses dapplcaton et donnent souvent leu à des nterprétatons douteuses ou tendanceuses. Le but de ce rapport est de rappeler un certan nombre de méthodes danalse statstques élémentares : - en précsant les hpothèses dapplcaton, - en montrant comment calculer les ntervalles de confance de tous les résultats en foncton de la talle de léchantllon, - en attrant lattenton du lecteur sur les erreurs dapplcaton les plus classques. Le texte qu sut a été rédgé à loccason des recclages statstques de novembre 980 et mars 98 à Orléans. Il reprend presque ntégralement le texte de la note technque n 80/6 après révson et correctons. La deuxème édton, conçue à la sute du recclage statstque de Septembre 989 à Orléans, corrge et complète largement la premère édton de 98.

7 ETUDE DUN ECHANTILLON.. GENERALITES ET DEFINITIONS Sot une sére de valeurs*par exemple : " le débt journaler dun cours deau, " la plue annuelle sur un bassn versant, " le nveau pézométrque en un pont, " le prx de leau en dfférentes localtés, }C la concentraton en ntrates en dfférents ponts Le but des statstques est de vor sl est possble de résumer les valeurs de la sére par quelques paramètres caractérstques, et de précser la fréquence de ces dfférentes valeurs. La sére des valeurs dsponbles consttue un ECHANTILLON comprenant un nombre lmté de valeurs appelées OBSERVATIONS. En général on ne sntéresse pas partculèrement à l ECHANTILLON dsponble : Cpar exemple 5 valeurs de plue annuelle) mas plut8t à la POPULATION doù est tré cet échantllon Cla plue annuelle). Une POPULATION est un ensemble (théorque) consttué dun nombre nfn de valeurs. Cette populaton peut être décrte par quelques paramètres : par exemple par sa MOYENNE^ son ECART-TYPE (vor plus lon) etc.. On sntéresse le plus souvent à des populatons STABLES cest-à-dre dont les paramètres ne présentent pas de tendances. Exemples : " le prx de leau en dfférents ponts et à dfférentes dates ne consttue pas une populaton stable car en un pont donné, le prx évolue Cplus ou mons régulèrement) à la hausse en foncton du temps. Il a donc une tendance quon peut éventuellement corrger en exprmant les prx en Francs (ou Dollars) constants.

8 - 2 - :î le débt dun cours deau stué dans un bassn versant qu surbanse progressvement va évoluer. On ne pourra donc pas défnr,par exemple la moenne des débts. " le débt mensuel dun cours deau présente généralement une forte pérodcté sasonnère. Le débt de chaque mos consttue cependant une populaton stable. Les paramètres décrvant une populaton sont nconnus car pour les calculer l faudrat dsposer de toutes les valeurs de la populaton or ces valeurs sont en nombre nfn. Exemple : Quelle est la plue annuelle moenne à Orléans? Pour connaître cette moenne l faudrat dsposer de toutes les valeurs de plue depus lorgne -. de la terre jusquà sa... fn. Pour étuder une populaton on étude donc un échantllon formé par les observatons dsponbles. Pourquo procède-ton ans? :: parce quon ne peut fare autrement, " parce quon démontre que - s la populaton est stable - les paramètres estmés à partr dun échantllon sont proches de ceux de la populaton. Ils sont dautant plus proches que le nombre dobservatons de léchantllon est grand ["Lo des grands nombres"). On conçot asément que la moenne de la plue annuelle calculée sur 3 années dobservatons a beaucoup plus de chances dêtre élognée de la moenne vrae que celle calculée sur 50 années dobservatons, En effet, sur les 3 années l peut avor par exemple 2 années très sèches Cou très humdes) alors que sur 50 années l est très peu probable davor 30 années sèches (ou humdes).

9 - 3 - Avant détuder un échantllon l faut tout dabord vérfer : a) que toutes ses valeurs provennent de la populaton à étuder, b) que cette populaton est stable, c) que cette populaton est homogène. Exemple : ] S on veut étuder les caractérstques chmques dune nappe, l faut sassurer que tous les prélèvements provennent de la même nappe. Exemple : 2] Vor plus haut : prx évoluant en foncton du temps. Exemple : 3] Quand on étude les débts de crue dun cours deau l convent souvent de séparer les crues de prntemps (fonte des neges) de celles dété (orages) qu provennent de phénomènes essentellement dfférents..2. PARAMETRES STATISTIQUES VUN ECHANTILLON Dans ce paragraphe nous défnrons seulement deux paramètres statstques qu sont utlsés constamment et nous montrons comment les calculer. Dans des chaptre ultéreurs nous montrerons comment apprécer la précson des paramètres obtenus. La moenne Cest le paramètre défnssant la tendance CENTRALE de léchantllon :. E = sgnfe somme de tous les m = E x. éléments x. x n î î n = nombre déléments de léchantllon m = moenne des valeurs x. x

10 - 4 - L écart tpe de sa moenne. Cest le paramètre défnssant la DISPERSION de léchantllon autour Lécart tpe a même dmenson que les valeurs de léchantllon (m 3 /s, mm de plue, etc...). Plus lécart tpe est grand et plus léchantllon est étalé Cou dspersé). Lécart tpe est généralement notée (sgma) ou s : V I Cx. - "mt r 2 " (n = nombre déléments de -TTTT léchantllon) [attenton on dvse par n- et non par n). Calcul pratque : a) Un certan nombre de calculatrces de poche permettent le calcul automatque de lécart tpe, cest ldéal. écrre : b) En développant lexpresson de lécart tpe on vot que lon peut V E x. 2 - n. m 2 a. n - * ce qu est beaucoup plus rapde à calculer, mas parfos nettement mons précs. Un exemple de calcul est présenté dans le chaptre sur la régresson lnéare (paragraphe 3.2.). Coeffcent de varaton Cest le rapport de lécart tpe à la moenne C = cest un nombre sans dmenson (donc ndépendant des untés) qu ne présente de lntérêt que dans la mesure ou la moenne m a un sens phsque (C na pas dntérêt par exemple quand on étude des charges qu sont défnes par rapport à un repère arbtrare).

11 - 5 - Il exste dautres paramètres statstques comme le coeffcent dasmétre. Nous nen parlerons pas c. Il faut en effet dsposer déchantllons de grandes dmensons pour être en mesure de le défnr avec précson ETUPE_pESÇRIPnE_ÇE_LA_PIST^ Une telle étude se propose de détermner quelle est la dstrbuton statstque des observatons de léchantllon cest-à-dre : " quel est le pourcentage dobservatons comprses entre 2 valeurs (cest-à-dre dans une CLASSE lmtée par ces 2 valeurs) ou encore : certane valeur. :: quel est le pourcentage dobservatons supéreures à une La représentaton graphque dune telle étude est un HISTOGRAMME des fréquences qu permet den dédure un HISTOGRAMME DES FREQUENCES CUMULEES. Avant dexplquer comment tracer un hstogramme l convent de défnr ce que lon appelera une CLASSE et une FREQUENCE. :: a et b [nclus ou non suvant le cas], LA CLASSE [a, b] est lensemble des valeurs comprses entre " LA FREQUENCE de la CLASSE [a, b] est le pourcentage des observatons qu appartennent à la classe La* bj. classe est : Sl a n. observatons dans la classe la fréquence f. de cette n. N j étant le nombre total dobservatons

12 - 6 - Constructon dun hstogramme : On détermne lntervalle de varaton, comprs entre lobservaton mnmum et lobservaton maxmum, et on le dvse en classes égales contenant un mnmum denvron 5 observatons. Il est alors facle de calculer les "fréquences" de chaque classe. Il sufft alors de reporter en abscsse les classes et en ordonnée les fréquences correspondantes. Exemple : Débts maxmal des forages dune régon..fr&ooejnce. 30Ï o.- - r 4=- 0 S? V> ma

13 - 7 - La classe aant la plus forte fréquence est appelée le Mode, (c cest la classe de 25 à 30 m 3 /h]". Quand l a deux "pcs" de fréquence, la répartton est bmodale. Un hstogramme bmodal ndque souvent que léchantllon provent de deux populatons dfférentes aant chacune un mode : Exemple : pour une rvère : :c les débts dautomne, dorgne pluvale, " les débts de prntemps, dorgne nvale. Il est consellé détuder alors séparément les deux populatons. Remarque : la somme des fréquences est égale à en effet toutes les valeurs sont affectées à une classe donc toutes les classes contennent au total 00 % des valeurs. Hstogramme cumulé On sntéresse mantenant à la fréquence des valeurs comprses dans toutes les classes nféreures ou égales à la classe. Cest donc le pourcentage des valeurs qu ne dépassent pas la classe. La fréquence cumulée est donc la FREQUENCE DE NON DEPASSEMENT. On dra par exemple que B3 % des forages ont un débt maxmal qu ne dépasse pas 30 m 3 /h.pour construre un hstogramme cumulé, l sufft daffecter à chaque classe la somme de toutes les fréquences jusquà cette classe. On reporte alors la fréquence cumulée en foncton de la classe.

14 - 8-5# - % <? S l* * *» 55»v»/-U Défnton : La médane est la valeur dont la fréquence de dépassement est de 50 % (50 % des valeurs lu sont supéreures ; 50 sont nféreures). Dans notre exemple la médane appartent à la classe [20,

15 DETERMINATION VE LA FONCTION VE DISTRIBUTION Lhstogramme dépend beaucoup du découpage et du nombre des classes qu est ben entendu arbtrare. Lhstogramme cumulé dépend beaucoup mons de ce découpage et tend vers une lmte stable quand le nombre de classes augmente jusquà ne conserver qvau maxmum une valeur par classe. A toute valeur X, (et non plus à toute classe ) on peut assocer une fréquence de non dépassement (ou probablté de non dépassement]. La foncton F qu assoce la fréquence de non dépassement à la valeur X est la FONCTION DE DISTRIBUTION de léchantllon étudé. Létude de la dstrbuton de la populaton consste à essaer ddentfer la foncton de dstrbuton de la populaton. Calcul pratque En pratque on peut procéder de deux façons : a] calculer la fréquence cumulée F (X] pour chaque observaton X, b) ou répartr ces observatons en classes et calculer F (X] pour chaque classe. ère méthode - classer toutes les valeurs X par ordre crossant - leur affecter leur numéro dordre j - calculer la valeur estmée de F (X] 2 - F (X] =Tj-j-j r N : étant le nombre total dobservatons - tracer F (X] en foncton de X (vor remarque 2) Cette méthode est la plus approprée quand on dspose dun nombre de valeurs nféreur à 50.

16 - 0-2ème méthode - dvser lntervalle en P classes égales (contenant chacune au mons 3 ou 5 valeurs] - compter le nombre K de valeurs dans chaque classe, - pour chaque classe calculer la somme j dea nombres -K dans les classes nféreures ou égales - calculer la valeur estmée de F (X) : x = borne supéreure de la classe F lxj 2N + X étant la valeur correspondant au mleu de chaque classe. Remarque : Quand on possède beaucoup de données, la 2ème méthode est beaucoup plus rapde car l est très long de classer un grand nombre dobservatons. Exemple : Pour classer IM = 000 observatons, l faut au maxmum opératons ; pour les ranger en 50 classes, l en faut au maxmum sot 0 fos mons. Remarque 2 : Lors de la constructon de lhstogramme nous avons calculé la fréquence cumulée- par F (X] = -jamas pour ldentfcaton de la foncton de dstrbuton on utlse F lxj m = 2J " 2N + pour la valeur maxmale : j = N on trouve F (X max) = -^ - qu est donc nféreure à 00 % En effet, la valeur maxmale observée est généralement nféreure à la valeur maxmale possble de la populaton. Remarque 3 : On utlse parfos FCX) = j/tn+). Défnton : On appelle TEMPS DE RETOUR lntervalle de temps MOYEN T séparant des évènemsnts de fréquence de non-dépassement F. Il exste la relaton suvante entre T et F : T - ^ ; F - - \

17 -- Remarque : Il convent de remarquer que T est un temps MOYEN. Par exemple s en 3B mos on observe, dans un cours deau, 9 crues supéreures à * r o/ -r 36 mos... j. j. - 5 m3/s on dédura que T = = = 4 mos mas l se peut très M K 9 crues ben quon observe 2 ou 3 crues supéreures à 5 m3/s dans un même mos partculer. Remarque 2 : Il est évdent que la noton de temps de retour na de sens que quand on étude des événements successfs. Il n aurat pas leu de calculer un temps de retour quand on étude des varables ndépendantes du temps (par exemple le débt maxmal dun forage dans une régon]. En reportant sur un graphque les ponts défns par X, F(X) on peut détermner la dstrbuton emprque de léchantllon en fasant passer une courbe lsse parm les ponts. Il est alors possble dinterpoler la fréquence de non-dépassement F de toute valeur X donnée ou récproquement la valeur X correspondant à toute fréquence de non dépassement F donnée. Cependant, en général, l ne faut pas sarrêter à ce stade et l faut essaer de vor s la dstrbuton dentfée correspond à une dstrbuton connue défne par quelques paramètres. Lensemble des observatons pourra alors être représenté par ces seuls paramètres. La structure de la dstrbuton de la populaton nétant en général pas connue a pror, l est très dangereux dextrapoler la courbe en-dehors des valeurs observées. Il est en effet souvent possble dajuster de façon auss satsfasante à un même échantllon, pluseurs los statstques qu condusent à des extrapolatons extrêmement dfférentes. On étude généralement les los de dstrbuton en varable rédute : Dans ce but on pose : u = varable centrée et rédute x - mx x = varable aléatore à étuder mx = moenne de x (T = écart-tpe de x la moenne de u est alors : 0 son écart-tpe est :

18 - 2 " Exemple : Soent les débts mensuels du mos de septembre dun cours deau pendant 25 ans. Année Débt [m 3 /s) Après classement m 3 /s Numéro Fréquence de non dépassement % Cet exemple est représenté sur les fgures à 3 placées en annexe.

19 - 3 - Exemple 2 : On dspose de 396 essas à lar-lft de 396 forages. Il serat trop long dapplquer la méthode précédente. On les répartt donc dans classes de débts. On obtent ans : numéro de la classe lmtes de la ( D! classe m3/h nombre de forages B nombre cumulé B B B 388 3BB 396 On calcule alors la fréquence cumulée F daprès le nombre cumulé de forages j suvant la formule : F. 2 J - 2x396+ On obtent ans : Cette fréquence est affectée à la borne supéreure de chaque classe. X (m 3 /h) FCX) C%) Cet exemple correspond à lhstogramme donné dans le paragraphe.3. F(X) est la fréquence cumulée assocée à la classe de centre X ; cest la fréquence de non dépassement de la borne supéreure de la classe de centre X.

20 LES DISTRIBUTIONS STATISTIQUES les plus smples. Nous naborderons c que les dstrbutons les plus courantes et 2.. LA VISTRJBUTlOh GAUSSTENUE (M NORMALE) Cest la dstrbuton la plus connue. Elle a un r6e très mportant en statstque car cest la lmte dun certan nombre dautres dstrbutons (Student, CHI2...). Elle est représentée graphquement par la fameuse "courbe en cloche". On démontre que cest la dstrbuton que sut un phénomène aléatore résultant de la SOMME dun grand nombre de facteurs (aléatores] ndépendants et de même mportance et cec quelque sot la dstrbuton statstque de chacun de ces facteurs. " Quelles sont les varables hdrologques qu suvent en général une dstrbuton Gaussenne? - La température (journalère, mensuelle ou annuelle] - Le débt moen annuel dun cours deau - La plue annuelle - LETP annuelle - Toute varable qu est une SOMME ou une MOYENNE (ce qu revent au même). - La parte centrale de toute dstrbuton " Quelles sont les varables hdrologques qu ne suvent absolument pas une dstrbuton Gaussenne? - La pluejournalère (ou mensuelle) - Le débt journaler dun cours deau - Le nombre de jours sans plue Et surtout : - Le débt journaler maxmal de chaque année - La plue journalère maxmale de chaque année - La transmssvté dun aqufère - En général tout ce qu est un extrême.

21 - 5 - Vvo-pvétês :. Cest un dstrbuton smétrque par rapport à la médane.. La médane est égale à la moenne. Elle est entèrement défne par 2 paramètres : La moenne et écart-tpe La fgure 4 donne un tableau des fréquences cumulées correspondant à la varable rédute : u = x - mx mx -= moenne a = écart-tpe un examan de ce tableau permet de dédure les valeurs suvantes : Pourcentage d observatons Dans lnt ervalle 68 % x" +.00 a 80 % x +.28 a 90 % X +.64 a 95 % X +.96 a 99 % X a Méthode dajustement En pratque, pour vérfer s un échantllon peut être représenté par une dstrbuton Gaussenne, on calcule sa foncton de dstrbuton F(X) et on la trace sur un paper spécal appelé paper Gausso-Arthmétque. Ce paper est conçu de telle sorte quune dstrbuton Gaussenne sot représentée par une drote : on peut donc vor mmédatement s une drote peut sajuster au "nuage" de ponts., exemple : fgure. On ne peut vsblement pas ajuster une drote.

22 - 6 - S on peut ajuster une drote, l est possble dobtenr très rapdement les 2 paramètres qu défnssent cette dstrbuton. F = 50 % > médane = moenne mx F = 84 % > mx + a donc a = X n/0 - X x 84% 50% REMARQUE IMPORTANTE : Lors de lajustement l ne faut pas trop soccuper des valeurs extrêmes (les 2 plus grandes et les 2 plus pettes] car les valeurs sont par nature très aléatores, cec est valable pour toutes les dstrbutons LA VSTRBUTI0N LOG NORMALE ( GaUon -GJUanaJL) Cest la même dstrbuton que la précédente mas applquée au logarthme(décmal ou Népéren] des observatons. " Quelles sont les varables hdrologques qu suvent généralement une lo Log-Normale? - Les débts journalers (non nuls] dun cours deau - Les plues journalères (non nulles] - La transmssvté dune nappe - Les débts mensuels des petts cours deau. Log-Normale? Comment vor s une dstrbuton peut sajuster à une dstrbuton En traçant la foncton de dstrbuton sur paper Gauss on vot que la varable est "plafonnée" pour les fables fréquences et croît très rapdement pour les fortes fréquences : vor fgure. Méthode dajustement Pour ajuster une dstrbuton Log-Normale on utlse un paper Gausso- Log. Sur un tel paper une dstrbuton Log-Normale est représentée par une drote : vor fgure 2.

23 - 7 - En regardant les valeurs correspondant a F = 50 % et 84 % on nobtent plus la moenne m x et lécart tpe ax de la varable x mas l est possble de les calculer : On pose = Ln (x) F = 50 % > * doù on dédut m = Ln x. F = 84 % > x doù on dédut a = Ln x - Ln x,(ln étant le logarthme Népéren] on calcule alors : m x = exp (m + a v /2) x x expla ]- pus exemple : sur la fgure 2 on lt, ;F = 50 % F - Râ - > x = 28 m 3 /h... 4 v - RH m 3 /h.m = ta = = 0.89 m = 4.5 n 3 /h x!a = m 3 /h x Inversement s la dstrbuton de la varable x est Log Normale le logarthme de la varable = Ln x sut une lo Gaussenne dont les paramètres sont : et 2 m = Ln (m ) - a /2 x I n / mx \

24 LA VlSTRIBrrON VE GUMBEL Cest une dstrbuton souvent utlsée pour représenter des valeurs extrêmes cest pourquo on lappelle parfos "Lo des valeurs extrêmes". Ce nest cependant absolument pas un postulat et les valeurs extrêmes ne suvent pas forcément une dstrbuton de Gumbel. Méthode dajustement Il exste un paper spécal dt paper Gumbel sur lequel la représentaton dune dstrbuton de Gumbel est une drote [vor fgure 3].. Pour calculer la moenne et lécart tpe on procède ans : F = (T = 2.33) m = x. x F = CT x = X 2 " X Proprétés Lexpresson de la fréquence cumulée F est F = exp f-exp (- " )j Xf étant la valeur modale o x = -28 g m x = x f g = x f a La quantté g (qu est égale à 0.78 a ) est appelée GRADEX cest à dre GRADIENT des valeurs EXTREMES. NOTA. S F proche de 00 % on peut écrre : Ln T - (x 2.4. LA DISTRIBUTION VE STUDENT xf)/g Cest une dstrbuton très utlsée pour les tests statstques. Elle fat ntervenr en plus de la moenne et de lécart-tpe le nombre de degrés de lberté (cest à dre le nombre de varables ndépendantes] qu est généralement noté v (NU).

25 -9- La fgure 5 donne un tableau de la fréquence de non-dépassement x ^nx correspondant à la varable rédute t = de ce tableau on peut extrare les valeurs approxmatves suvantes : Pourcentage d observatons comprses entre : mx ± t.a V B >27 80 % t = % t= v = nombre de degrés de lberté lo Normale LA VSTMBUT0N BWOMALE Cest une dstrbuton sapplquant a des nombres enters (dstrbuton "dscrète"]. Cest la dstrbuton du nombre K dévénements de fréquence de nondépassement F dans un échantllon de n valeurs.la probablté P^ dobtenr exactement K événements de fréquence de non dépassement F dans un échantllon de n valeurs est : r, r^ r- nk t-n-k k n! P, = C C-FJ F avec C = -r-r-. T-Z-, K n n K!(n-k)! P ^ est la fréquence de la valeur k.) Applcaton : Sot un échantllon de 0 années de débt dun cours deau. Quel est la probablté dobserver exactement k crues décennales? ;n = 0 :F on applque la formule pour k = 0 à 5. On trouve alors (en se souvenant que C n = ] la probablté dobserver 0,,... 5-crues au mons décennales dans une pérode de 0 ans, cest-à-dre en fat le POURCENTAGE de pérodes de 0 ans au cours desquelles on observe 0,,... 5 crues au mons décennales

26 - 20 Nombre de crues décennales Fréquence dobservatons % % 9.37 % 5.74 %.2 % 0.5 % On vot c que ben quon observe EN MOYENNE une crue décennale tous les 0 ans, on nobserve exactement crue décennale que dans 39 % des pérodes de 0 ans, 0 crue décennale dans 35 % des pérodes de 0 ans et 2 crues décennales ou plus dans 26 % des pérodes de 0 ans. Proprétés " moenne = n (-F) ce quon vérfe ben dans notre exemple n = 0 ] F = 0.9: m = 0 x (-0.9] = crue, par pérode de 0 ans en moenne écart-tpe = /nf(-f) (0,95 dans notre exemple) 2.6. LA VSTMBUTI0N VE POISSON Cest la lmte de la dstrbuton bnomale quand n est grand et F proche de 00 % (cest à dre pour les valeurs rares). La probablté P^ dobtenr K événements de fréquence de non dépassement F dans un échantllon de n observatons est : k -m P. = K 7-j K! avec m = n (-FJ bnomale. expresson beaucoup plus facle à utlser que celle de la dstrbuton

27 - 2 - Proprétés : moenne : m écart-tpe : a n (-F) /nm-f) = V^n de Posson? " Quelles sont les varables hdrologques qu suvent une dstrbuton - Le nombre de jours de plue par mos, par an - Le nombre de crues, de fréquences données, par an, par sècle. Applcaton : On reprend lexemple précédent : F = 0.9 n = 0 ans quelle est la probablté dobserver K crues décennales? m = on trouve alors Mombre de crues probablté valeurs proches de celles obtenues avec la dstrbuton bnomale 2.7. LA DISTRIBUTION EXPONENTIELLE Quelles sont les varables hdrologques qu suvent une dstrbuton exponentelle? - La durée dun événement : ex durée dune averse durée dun épsode sans plue durée pendant laquelle un nveau (ou un débt est dépassé) Lexpresson de la Fréquence de non dépassement est F (x) = -exp (-Xx) proprété : moenne = m = /A remarque : L^Tj = Xx!écart tpe = a J 2/\

28 22.%. DISTRIBUTION VU CHU [plononcea Kl-VEUX) Cest une dstrbuton très utlsée pour les tests statstques. Elle dépend du nombre v de degrés de lberté (vor table 6). 3.- LA REGRESSION LINEAIRE 3.7. GENERALITES Cest une technque [parfos appelée à tort "corrélaton"]) qu permet détuder la lason lnéare exstant entre 2 échantllons de valeurs x et. La régresson lnéare permet de détermner la relaton lnéare avec laquelle on peut "le meux" calculer les valeurs de léchantllon à partr de celles de léchantllon x. Ce nest pas la même que celle qu permet de calculer x à partr de. La méthode de calcul est celle des "mondrescarrés" qu consste à rendre mnmale la somme des CARRES des dstances VERTICALES entre les ponts de coordonnées x^, ^ et la drote représentant la relaton lnéare = ax+b.

29 En pratque l est donc INDISPENSABLE de vérfer, avant tout calcul, que le nuage de pont a une forme allongée au mleu de laquelle l paraît possble de tracer une drote. Possblté de tenter une régresson lnéare U Impossble de tenter une régresson S le nuage a une forme qu peut être approchée par une autre courbe quune drote, l est souvent possble, pour une tranformaton des données dobtenr un nuage plus lnéare. On est parfos gudé, par la nature des séres pour effectuer la transformaton.»

30 S le nuage de ponts nest pas "ellptque" mas a au contrare une dsperson qu augmente avec les fortes valeurs de x et de on peut tenter de prendre la racne carrée (ou le logarthme à condton ben sûr que les valeurs soent toutes postves). Dans certans cas, l convendra de fare une crtque des données pour éventuellement supprmer certanes valeurs erratques qu par leur pods trop mportant rsqueraent de fausser lajustement. après suppresson du pont M lluson dun très bon ajustement (r élevé)

31 METHOVE VE CALCUL Il faut dabord calculer le coeffcent de corrélaton entre les valeurs de x et celles de. Calcul du coeffcent de corrélaton Remarque : Un certan nombre de calculatrces de poche permettent deffectuer ce calcul automatquement. Sx 2 Ex m x = n* x m 5- =, n * CExz -n.m z ] x f l ^n" -n.m ] f n-.zx m.m x o a x. (C sappelle la covarance) Le coeffcent de corrélaton r, est toujours comprs entre - et + r = + ou - ndque une relaton lnéare parfate!r = 0 ndque une relaton lnéare nulle et comme on le vot dans le calcul de r.cest une expresson smétrque de x r (x,) = r t.x) Calcul des coeffcents de régresson Un certan nombre de calculatrces de poche permettent ce calcul automatquement = ax + b avec : f a = r.0"/0~x () { b = m. a.m (2) x légalté (2) ndque que la drote de régresson passe par le centre de gravté Cm,m ) du nuage de rponts car m = am + b. x x

32 26 Applcaton : X u n = 6 Zlx = 5 Ix 2 = 47 mx = "x =.38 Z = 38 Z 2 = 284 Zx = 76 m = 6.33 CT = r = la = -.66 b = 0.48 doù lajustement =-.66 x +0.48

33 On peut alors calculer lécart e = -ax-b pour chaque observaton. X e La somme des écarts est égale à 0.02 donc quasment égale à 0 (aux erreurs darronds près) ce qu est normal INTERPRETATION STATISTIQUE Jusquà ce stade nous navons fat aucune hpothèse sur les dstrbutons statstques de x et. Il est toujours possble de calculer un coeffcent de corrélaton entre 2 échantllons dobservatons. des hpothèses : Lnterprétaton du coeffcent de corrélaton nécesste cependant On suppose mantenant que : Les valeurs de sont ndépendantes les unes des autres. sut une dstrbuton à peu près Gaussenne Lécart e = -ax-b sut également une dstrbuton à peu près Gaussenne. Cette dstrbuton est la même pour toute valeur de x Le carré du coeffcent de corrélaton est alors le pourcentage de la varance de qu est explquée par la lason lnéare. Le reste est la varance résduelle cest la varance de lécart [la varance est le carré de lécart-tpe) a varance totale r 2 ~ 2 r - a varance explquée *4 varance résduelle égale à (-r 2 ) o 2 on en dédut donc que la varance résduelle (varance de lécart) est

34 Applcaton : en reprenant lexemple précédent : n = 6 r = 0.78 a = 2.95 On suppose que les observatons sont ndépendantes. En premère approxmaton la répartton peut être consdérée comme Gaussenne. On en dédut donc : varance explquée = r 2 = 6% lécart-tpe sans bas de lécart est : a /r a =0.70a 2.06 lutlsaton de la régresson lnéare permet c de rédure lécart-tpe de la varable à lécart-tpe de lécart qu est dmnué denvron /3. Rappelons que cette nterprétaton statstque na de sens que s :!J Les observatons sont ndépendantes " La varable et le résdu suvent des dstrbutons à peu près Gaussenne. Lécart-tpe du résdu étant ndépendant de x. S ces hpothèses ne sont pas vérfées, on peut essaer de s ramener : - en rendant la varable Gaussenne par transformaton - en ne sélectonnant que des observatons ndépendantes.

35 - 2g TESTS STATISTIQUES ET CALCUL DES INTFRVALLES DE CONFIANCE 4.. INTERVALLE VE CONFIANCE VUNE WVENNE Sot un échantllon de n valeurs INDEPENDANTES j on calcule m et 0~ x x comme l a été explqué plus haut. Pour défnr la précson avec laquelle on connat m on calcule lintervalle de Confance U.C.) qu a un certan pourcentage de chance de contenr la vrae valeur. On chost généralement lntervalle de confance à 95 %;parfos lntervalle de confance à 80 %. Cest à dre que s on fat cette opératon pour chaque échantllon dsponble de n valeurs, 95 % (ou 80%) des ntervalles de confances calculés contendront la vrae moenne m de la populaton. Récproquement on peut dre [en smplfant) quon a un rsque de 5 % (ou 20 %) seulement que la vrae moenne sot en-dehors de lntervalle calculé. Méthode pratque : La varable m décart-tpe : sut une dstrbuton de Student à n- degrés de lberté ax_ on utlse donc la table de Student (fgure 5 ) et on lt à la lgne v = n- la valeur de t correspondant à la précson cherchée (95 %). (Rappelons que dès que n 5. 5 on a 80% =.3.et 95% = 2.0) Lntervalle de confance est alors : m X + t. ax /n" exemple : la moenne sur 5 ans de la plue annuelle à une staton est de 800 mm. Lécart-tpe calculé sur les 5 ans est de 200 mm/ ;n = 5 ax = 200 mm dans ]a fgure 5, on lt à la lgne n- = 4. On trouve, pour 95 %, t = On en dédut que lntervalle de confance à 95 % est : = mm = [55, 049 ] mm /5~

36 S le nombre dannée nest plus 5 mas 30, on trouve pour ces mêmes valeurs : t = 2.05 sot [725, 875 ] mm /3Ô" on vot que lntervalle de confance a nettement dmnué ce qu est normal car 30 années permettent de défnr une moenne ben meux que 5 années. INDEPENDANTES. Rappelons que ce calcul nest valable que s les n valeurs sont 4.2. INTERVALLE VE CONFIANCE PUW ECART-TYPE Sot un échantllon de n valeurs INDEPENDANTES sur lequel on calcule un écart-tpe a. On montre que : (n-) a- sut une dstrbuton du x 2 (CHI 2 ) à n- degrés de lberté (a étant lécart-tpe de la populaton) Lntervalle de confance à 95 % a donc pour lmtes a., o mn max défns par : mn (n-dcr 2, ^ 2 (n- la 2 - S- et a ^ = <* max x2..(97,5%) x2 (2,5%) on calculetf 2 nconnu daprès (J 2 connu. x l sufft alors de prendre la racne carrée pour obtenr 0. et o mn max Applcaton : n=5 :o =200 x sur la lgne n- 4 de la fgure 6, on lt : f X 2 C2.5%] = 0.48 X 2 (97.5%)=.

37 - 3 - sot a 2 _ 4x20D 2 2 _ 4x200 2 j a mn. max 0.48 cest à dre 20 <a < 575 mm On remarque que la dstrbuton nest plus smétrque.s n = 30,.on trouve de la même manère 59 < a < 269 mm quand n devent assez grand la dstrbuton devent smétrque (et Gaussenne) et lntervalle de confance à 95 % est défn approxmatvement par (T U X " /SK pour n = 30 on trouve, par cette méthode 48 ^ a ^ INTERVALLE VE CONFIANCE VUN QUANTI LE V UNE PEPAPTITIflN GAUSSIENNE Sot la valeur x de fréquence de non dépassement F : ^ x,- F - m x x,_ = m + u,_.o (u r = varable rédute = ) F x F x F a pour calculer son ntervalle de confance on admet que les varances de m et o sont ndépendantes. x x on obtent ans var (x ) = var (m ) + u 2 var (a ] F x F x on utlse lexpresson de lécart-tpe dun écart-tpe ; 2 2 var (x J = 2*. + U 2 C 2x sot F n F 2n x-f = /n" J..Î x sut approxmatvement une lo normale.

38 32 Applcaton m = BDO mm a = 200 mm n = 30 années F = 0,9. quel est lntervalle de confance de la valeur décennale? En utlsant une table de Gauss (fgure 4), on obtent : u,_ =.28 doù x c = x 200 = 056 mm F F Xr 200 /3Ô\ V/ / " + ^8 2 = mm pour un seul de confance de 95 % - u =.96 sot 959 < Xqno, < 53 à INTERVALLE VE CONFIANCE PUN COEFFICIENT VE CORREIATION Sot n couples dobservatons (x,) INDEPENDANTES et provenant de populatons suvant des dstrbutons à peu près Gaussennes. On a calculé un coeffcent de corrélaton r. Quel est son ntervalle de confance? aucun calcul. La fgure 7 permet de répondre mmédatement à cette queston sans Applcaton : n = 20 r = 0.70 on trouve sur labaque lntervalle de confance à 95 % [0.37, 0.86]

39 Applaaton 2 : dans le calcul de régresson traté précédemment on a trouvé : r = pour n=b on dédut donc de labaque : <r < ( à 95 % ) lntervalle de confance à 95 % encadre la valeur 0. On ne peut donc pas affrmer Cà 95 %) que le coeffcent de corrélaton des populatons dont est tré léchantllon est dfférent de 0. La fgure 8 donne, en foncton du nombre v = n-2 de degrés de lberté la valeur mnmale (de la valeur absolue) de r pour quon pusse consdérer qul est sgnfcatvement dfférent de 0 (à 95 %). Ex. : Pour n-2 = 4 on trouve r = 0.8 Apploatùon <T : A ttre dexemple on a construt, à lade de nombres au hasard, 5 échantllons de 3 couples tx,) trés dune populaton de moenne nulle décart-tpe = et de coeffcent de corrélaton nul entre x et. Les résultats sont les suvants : m X m -0.B a X a r a b

40 3 4 le jeu du hasard : On vot que sur les 5 coeffcents de corrélaton on obtent, par et r 3 = r 5 = alors quen fat le coeffcent de corrélaton est nul, de même les écarts-tpes séchelonnent de à.339 alors que lécart-tpe de la populaton est égale à IMTERt/ALLE VE CONFIANCE VES COEFFICIENTS VE REGRESSION Après un calcul de régresson on a trouvé des coeffcents a et b. Quel est lntervalle de confance de ces coeffcents? En partculer a et b sont ls sgnfcatvement dfférents de 0. Pour calculer ces ntervallesde. confance, l faut que les hpothèses suvantes soent vérfées : " Les écarts dovent être ndépendants. :: Les écarts dovent avor une dstrbuton à peu près Gaussenne j leur écart-tpe dot être ndépendant de x. Lécart-tpe des coeffcents est alors : a -\jn-2 a _ a X \Z + m * / < r * <<T h -or -r 2 n-2 s x est centré] On vot que les écarts-tpes sont dautant plus petts,et les coeffcents sont donc dautant meux détermnés,que : r est grand (melleure relaton lnéare] n est grand (grand nombre dobservatons] o est grand (x est plus varable]

41 Les coeffcents a et b suvent une dstrbuton de Student à n-2 degrés de lberté de moenne a [ou b) et décart-tpe a [ou a,). a D Méthode pratque : On utlse la table de Student [fgure 5 ) et on lt à la lgne v = n-2 la valeur de t correspondant à la précson chose (généralement 95 % parfos 80 %). Les ntervalles de confance sont alors : a + t.a 3 b + t.a,_ rappelons que dès que n >, 5 on a : t 80.3 et t g5 = 2.0 remarque : Quand n est assez grand [5 ou 20] on vot quon a approxmatvement -r z. _ ;», _e_ a V n a x > / n V W r 2 e a ^ «^ s x est centré la dstrbuton de Student est alors approxmatvement Gaussenne. Applcaton Dans lexemple traté précédemment :t$ 3.2.) r = a =.38 x a = 2.95 a = -.66 b = 0.48 n = 6 m = 2.50 x

42 36 - Dn calcule V^ 7&f m % 2.95 J - Q.782 vf / la table de Student donne, pour v = 6-2 = 4 degrés de lberté, et pour un ntervalle de confance à 95 % Î t = 2.78 doù < a < < b < 5.79 N.B. t. = régresson on vot ans que a nest pas sgnfcatvement dfférent de 0 au seul de 95 % car lntervalle encadre INTERVALLE VE CONFIANCE VUNE PREVISION Sot un échantllon de n couples de valeurs (x,) ; on a ajusté sur ces valeurs une relaton lnéare = ax+b. Sot une nouvelle valeur x pour laquelle on calcule. Quel est lntervalle de confance sur cette valeur calculée? P La valeur, sut une dstrbuton de Student à n-2 degrés de lberté de moenne et lécart-tpe, (approxmatvement) (écart tpe de lécart] et u On vot que dès que n est suffsamment grand (20 ou 30 valeurs] et pour des valeurs rasonnables de u (de -2 à +2) lécart-tpe se rédut approxmatvement à 0 = a p e. ^ «j

43 Applcaton avec les données de lexemple précédent r = -Q a = b = t = \/ = 2.95 n = m = X sot x =.5 P = -.66 x = 7.99 P [O z = n 7? 2 doù a = 2.06 \/ + + ^^- =2.32 p V 6 5 doù est dans lntervalle x 2.32 P sot.54 < < 4.44 P Le même calcul, avec les mêmes valeurs, mas pour n = 30 donnerat : t = 2.05 doù : 4.04 < <.94 cest à dre un ntervalle beaucoup plus étrot COMPARAISON! VE 2 MQENNES Sot deux échantllons de valeurs INDEPENDANTES provenant de dstrbutons plus ou mons Gaussennes dont les caractérstques sont les suvantes : nombre de valeurs moenne écart-tpe échantllon m. échantllon 2 m On suppose que ces échantllons sont trés de populatons qu ont même varance. Peut on admettre que leurs MOYENNES sont égales? N.B. Le test décrt dans le paragraphe 4.8. permet de vérfer s on peut accepter lhpothèse que les 2 populatons ont même varance.

44 - 3B - Applcaton en hdrologe : - On a modfé lemplacement dun pluvomètre à une certane date. On a n/ années denregstrement avant et n après la date de changement. Les moennes m. et m des plues annuelles des 2 pérodes peuvent-elles être consdérées comme égales? cest à dre : -a-tl eu une nfluence sstématque. - Idem avec une staton de jaugeage. - Dans une régon, le débt annuel par unté surface a une valeur moenne m.. Un autre cours deau ndépendant observé pendant n années a une moenne m. Peut-on consdérer que ce nouveau cours deau a même débt par unté de surface? Prncpe du test : On calcule d = m. - m. S les moennes sont égales cette DIFFERENCE 2 sut une dstrbuton de Student à n +n -2 degrés de lberté,de moenne 0 et décart-tpe : a = CT / + - d V n. n. avec o =\/- r 7 = écart tpe calculé sur toutes les W(n -J + (n -), f. 2 observatons Student. On calcule donc son ntervalle de confance à lade dune table de Méthode pratque : On calcule la dfférence des moennes d = m - rr2 [ On calcule a pus a. On lt dans une table de Student la valeur t d correspondant au seul fxé [par exemple 95 %) pour un nombre de degrés de lberté égal à n. + n - 2. On compare alors la dfférence d (en valeur absolue!) à t.a. S la d dfférence est supéreure, alors les 2 échantllons ont une moenne sgnfcatvement dfférente de 0.

45 Applcaton Sot deux pérodes dobservaton dun pluvomètre avant et après changement demplacement (le pluvomètre est transporté à une alttude un peu plus élevée] peut-on attrbuer la dfférence de moenne au changement demplacement? Les caractérstques sont les suvantes : n Avant 2 ans Après n = 7 ans m = 800 mm m = 000 mm r = 200 mm V = 250 mm On vérfe ben que les plues annuelles : - sont ndépendantes, - suvent une dstrbuton à peu près Gaussenne. on calcule P = mm doù a.= 04.3 mm.pour = 7 degrés d de lberté et au seul de 95 % la table de Student donne t = 2.(fgure 5]. On calcule alors t a = 2. x 04.3 = mm d La dfférence m. m, = 200 mm est nféreure à mm, on ne peut donc pas affrmer que les 2 moennes sont sgnfcatvement dfférentes. Du pont de vue purement statstque on ne peut donc pas consdérer cette dfférence comme anormale vu la talle des échantllons cependant... S la dfférence de plue survent justement à partr de la date de déplacement du pluvomètre, on peut quand même se poser des questons. S on effectue le même calcul pour n = 20 ans et n = 0 ans, on trouve cr, = 87.7 mm et t = 2.05 sot t. a = mm. Les moennes sont d a alors sgnfcatvement dfférentes au seul de confance de 95 %.

46 COMPARAISON VE 2 VAMANCES Sot deux échantllons INDEPENDANTS de n et n valeurs ndépendantes provenant de populatons suvant des dstrbutons à peu près Gaussennes et dont les écarts-tpes sont o. et CL.(pas forcément mmes moennes). Peut-on consdérer que ces écarts-tpes sont sgnfcatvement dfférents (à un seul de confance donné)? On montre que le rapport R 2 des carrés des écarts-tpes sut une dstrbuton de FISCHER - SNEDECOR fgure 9 et 0)ou dstrbuton F à n. - et n - degrés de lberté. Méthode pratque e On calcule R 2 = - On calcule lntervalle de confance (à 95 % par exemple en utlsant la fgure 9. de R 2 Fî)2,SM < R 2 < F *,S>2 avec vl = n/ - v2 = n 2 - Il convent de ben fare attenton à lordre des nombre de degrés de lberté car : vl,v2^ V2,vl Applcaton Sot deux pluvomètres INDEPENDANTS (cest à dre suffsamment élognés pour présenter seulement un fable coeffcent de corrélaton). On observe les valeurs suvantes : égales sont : n = 2 ans """ 200 mm 02 n = 7 ans = 250 mm Les valeurs lmtes admssbles du rapport R 2 s les varances sont ( -r^-, F. J sot, ( -^-^, 5.42) = (0.26, 5.42) F 6,,6 3,88 ï 200 o Or le rapport R* est égal à l-fnl = - 64 Il est comprs entre les 2 valeurs extrêmes.

47 - 4 - n ne peut donc pas affrmer les 2 varances [donc les 2 écarts-tpes] sont dfférente au seul de 95 %.S n = 30 et n = 20, on trouve : 0.45 < R 2 > 2.39 on vot donc que la varance vare consdérablement dun échantllon à un autre même quand le nombre de valeurs est relatvement élevé.(test utle pour autre test nécesstant égalté des varances] COMPARAISON VE PLUSIEURS MÛ FEMMES (AnaZàe. de. vcuance.) Sot un nombre K déchantllons comprenant chacun un nombre dfférent de valeurs. Pour chaque échantllon on peut calculer une moenne m Cet un K écart-tpe a k). La méthode décrte c-dessous permet de décder (a un certan pourcentage de confance] s on peut consdérer que les échantllons ont même moenne et s des dfférences observées sont dues aux aléas des échantllons. Quelles sont les applcatons en hdrologe? Cette méthode est utlsée pour des tests dhomogénété par exemple pour des données pluvométrques, pour des débts par unté de surface, pour des données chmques etc.. Il faut cependant être prudent et vérfer que les hpothèses suvantes sont vérfées : - les échantllons dovent être INDEPENDANTS. On ne pourra donc pas comparer des séres de plue ou de débts en des ponts proches présentant donc un fort coeffcent de corrélaton j - chaque échantllon dot avor une répartton à peu près Gaussenne ; - les varances des populatons dovent pouvor être consdérées comme égales.

48 Méthode de calcul On compare en fat lécart-tpe des moennes à lécart-tpe des observatons à lade dun test de FISCHER - SNEDECOR. Sot les échantllons suvants Echantllon 2 3 K Nombre de valeurs n l n 2 n 3 \ Moenne m l m 2 m 3 m k Ecart-tpe OK n + n_ n, 2 \ nombre total dobservatons n n l m l + n 2 m n k\ = moenne totale 72 C^-) a? + Cn 2 -t) (rw-) "^ = r^-j a? : V ^ k (> vanance totale ) n - K 2 = n (m^-rn) 2 + n2 Cm 2 -m) n^ (m k -m) 2 (varance nterne) m k - On calcule alors 2 ofm v plus les moennes sont semblables plus R 2 sera pett. Une table de FISCHER - SNEDECOR donne la lmte supéreure de R 2 s les échantllons provennent de populatons qu ont même moenne. Cette lmte est F, (a] Vl, V2 I vl = k - v2 = n - k a = nveau de confance. donc : s R 2 > F (a) les échantllons qu provennent de V / V^ populatons nont pas des moennes égales. On remarque quon effectue le test que "dun seul coté" car R 2 est toujours plus grand que quand les échantllons provennent de populatons qu nont pas des moennes égales. On utlsera donc une table à 95% Cet non 97.5%).

49 - 43 " Applcaton Sot les débts obtenus à lar lft pour des forages réalsés dans 5 régons dfférentes. Peut-on consdérer que les débts moens sont les mêmes dans chaque régon? Un examen des données montre quelles ne suvent pas une répartton Gaussenne. En prenant le logarthme (décmal) des débts on se ramène cependant à des réparttons Gaussennes. Les caractérstques des données sont les suvantes : Régon Moenne (en log) Ecart-tpe 0.B Nombre dobservatons LTl 20 n = K = 5 5 m = /5. (30x + 20x. + 30x x x.5) = x x x x x.3 2 a = = 5-5 (T 2 m = /^--f). 30(-.026) C.-.026) ( ) 2 = doù R 2_ a m Or une table de FISCHER avec a = 5% (attenton pas 2.5 %) fgure 0 donne F 4 (5%) = 2.46 R 2 étant supéreur à 2.46, on peut affrmer (avec seulement 5% de chance de se tromper) que les débts moens de chaque régon ne sont pas égaux. On remarque en effet que la régon n 3 semble avor une moenne nettement plus fable. S on refat le même calcul en retrant la régon n 3 on trouve : n = 85 a 2 = 0.92*, R 2 =.36 k = 4 a 2 m =.26 F 3,80 t5 * J» 2-73 m =.2 Ces 3 régons nont donc pas des moennes sgnfcatvement dfférentes.

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51 CHAPITRE 5 COMPLEMENTS A LA PREMIERE EDITION

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53 5. - REGRESSION DES "MOINDRES DISTANCES" On a vu quun calcul de régresson fasat jouer un rôle dssmétrque au varables x et. S on cherche à calculer à partr de x, on nobtendra pas la même drote (sur le même dagramme x, ) que s on cherche à calculer x à partr de. En partculer, s le coeffcent de corrélaton r est nul on obtendra dans le premer cas une drote horzontale et dans le deuxème cas une drote vertcale. Il exste un certan nombre de cas où lon désre étuder la relaton entre x et et ajuster la "melleure" drote au mleu du nuage de ponts. Cette drote est celle dont tous les ponts sont à la mondre dstance. Elle mnmse donc les dstances (sur les perpendculares à cette drote) doù son nom de "mondres dstances" (on trouve parfos... on ne sat trop pourquo le terme de "mondres rectangles"). Cette drote correspond à celle que tracerat nstnctvement un dessnateur en essaant de passer au meux au mleu des ponts. Elle fat jouer un rôle smétrque à x et, mas elle nest pas optmale pour calculer à partr de x pusque la drote optmale est la drote de régresson. En fat les 2 drotes sont confondues s le coeffcent de corrélaton r est égal à + ou -; La drote des mondres dstances sécrt : = ax + b avec. (TU. a = * le sgne est celu de r b = m a.m x on note mmédatement que la drote est ndépendante du coeffcent de corrélaton r ; elle passe par le pont moen (m x, m ) et quelle se confond avec la drote de régresson r = r.<r /g- s r = ou -. S les varables x ou sont normées ou ont un même écart tpe la pente a est égale à (ou -). On montre en effet que cest la premère composante prncpale. La drote des mondres dstance fat jouer un rôle smétrque à x et mas on ne peut pas fare une nterprétaton statstque smple sur lerreur commse CORRELATION DOUBLE Un cas partculer de corrélaton avec pluseurs varables explcatves est la corrélaton "double" avec deux varables explcatves X et x 2 ntercorrellés : on note les moennes et les écarts-tpes de /x et x 2 respectvement m, m a, m 2 et ^T, ÇJ» 0"à«

54 On note les coeffcents de corrélatons : r (, X), r 2 (, x 2 ), r (x x, x 2 ) et R entre observé et calculé. On écrt la relaton : = a # X + a 3.x 3 + b et on obtent les coeffcents suvants : a x s * <T a 2 «2. b = m _ 9t.n a 2.m 2 K - < - 2..*..T v T2.-t-n ~TZ* Il est ans possble de calculer faclement tous les termes a, a 2, b et R 2 en effectuant 3 calculs de coeffcents de corrélaton smple. Il convent de remarquer que a et a 2 sont dfférents des coeffcents A et A 2 quon obtendrat par régresson smple respectvement avec X et x 2. Ces coeffcents A et A 2, égaux à ^(T. /(n efn-jc/fc^ seraent dentque à a et a 2 seulement s les varables x? et x 2 étaent ndépendantes (r = o). Les coeffcents de corrélaton partelle sont respectvement : p r. *- v^^q- P2 ^7 v^f Ce sont ces coeffcents de corrélaton partelle qu montrent relatons réelles entre varables. les Exemple dapplcaton : Une enquête (réalsée dans les années 60) entre les varables suvantes : = fréquentaton des salles de cnéma,