ProbaStat1 Quelques rudiments de dénombrement...

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1 ProbaStat Quelques rudimets de déombremet... OBJECTIFS DU CHAPITRE ProbaStat- Utiliser des arbres, des cases, des diagrammes, des tableaux pour déombrer ProbaStat-2 Maipuler et utiliser à bo esciet les permutatios, arragemets et combiaisos pour déombrer ProbaStat-3 Coaître et appliquer les propriétés des coefficiets biômiaux ( p ). Relatio de Pascal. ProbaStat-4 Mettre e œuvre la formule du biôme de Newto I Diagrammes, tableaux, arbres et cases pour déombrer A Déombrer avec u diagramme Exercice Ue associatio sportive propose trois activités à ses adhérets : l athlétisme, la atatio et le rugby. Nous savos que chaque adhéret pratique au mois ue activité, et quatre pratiquet les trois ; 30 adhérets e pratiquet i le rugby i la atatio ; il y a 42 ageurs dot 9 sot aussi athlètes (et évetuellemet rugbyme) et 2 rugbyme (et évetuellemet athlètes) ; Efi, sur les 55 rugbyme, 22 pratiquet au mois deux sports. E utilisat u diagramme, détermier le ombre total d adhérets de ce club. B Déombrer avec u tableau à double etrées Exercice 2 Ue classe de 36 élèves âgés de 6, 7 ou 8 as compred 22 garços dot 8 âgés de 7 as et 3 âgés de 8 as : o déombre, d autre part, 6 filles âgées de 8 as et seule de 6 as. Compléter le tableau à double etrées suivat : Ages \ Sexes Garços Filles Totaux 6 as 7 as 8 as Totaux C Déombrer avec des arbres ou des cases Activité D ue rive à l autre Exercice 3 O lace ue pièce de moaie quatre fois de suite et o relève das l ordre d apparitio les résultats P ou F. Détermier le ombre de séqueces différetes que l o peut obteir e teat compte de l ordre d apparitio. Exercice 4 Das ue course de hippique, 0 chevaux sot au départ. Combie de tiercés différets das l ordre peut-o obteir à l issue de la course? Exercice 5 U coffre-fort est dôté d u code de quatre caractères alphaumériques (lettres A à E et chiffres et 2). ) Combie de codes différets peut-o former? 2) Combie de codes e comportat que des lettres peut-o former? 3) Combie de codes commeçat par u 2 et se termiat par ue lettre peut-o former? 4) Combie de codes dot au mois u caractère est u 2 peut-o former? Lycée Les Paevelles TS Page FBoure - Aée 200/20

2 Exercice 6 Au loto sportif, o coche l ue des trois cases, N, 2 pour chacu des 3 matches sélectioés. Combie de grilles distictes peut-o aisi former? II Permutatios, arragemets et combiaisos A Permutatios & Arragemets Activité Pour s istaller au ciéma... Factorielle d u etier aturel. Das la suite, o utilisera la otatio suivate : pour tout etier aturel o ul, o défiit le ombre! appelé factorielle par Par covetio, factorielle 0 vaut : 0!.! ( ) ( 2) 3 2. Exemples. Das ue course de 8 chevaux, je e m iteresse pas seulemet aux trois premiers mais je cherche le ombre de faços différetes de les classer tous les 8. Défiitio-Propositio. O cosidère u etier aturel o ul et E u esemble à élémets : E {e, e 2,..., e }. Le ombre de faços d ordoer (o dit aussi le ombre de permutatio) ces élémets est égal à! ( ) ( 2) 3 2. Démostratio. O utilise u raisoemet par cases : er élt 2ème élt 3ème élt -ème élt ( ) ( 2) soit! faços d ordoer les élémets de l esemble E. Exemples. Combie de permutatios de l esemble {a; b; c} peut-o déombrer? Exemples (Suite de l exemple précédet). Das ue course de 8 chevaux, combie de quité das l ordre différets peut-o obteir? Propositio. Soit E u esemble à élémets : E {e, e 2,..., e }. Soit p u etier aturel iférieur ou égal à. Le ombre de listes ordoées sas répétitio de p élémets parmi est égal à! ( ) ( 2) ( p+) ( p)!! O dit aussi qu il y a arragemets de p élémets pris parmi. ( p)! Démostratio. O utilise u raisoemet par cases : er élt de la liste 2ème élt 3ème élt p-ème élt ( ) ( 2) ( p+) soit! choix possibles de listes ordoées de p élémets choisis parmi les élémets de E. ( p)! Remarques. U raisoemet par cases motre de même que le ombre de listes ordoées avec répétitio possible de p élémets parmi est égal à p. Lycée Les Paevelles TS Page 2 FBoure - Aée 200/20

3 B Combiaisos Das la suite, désige u etier aturel o ul. Défiitio (Combiaiso). Soit E u esemble coteat élémets. Soit p u etier aturel vérifiat 0 p. O appelle combiaiso de p élémets de E toute partie de E coteat p élémets. Le ombre de combiaisos de p élémets parmi élémets est oté ( p ) et est appelé coefficiet biomial. O lit p parmi. Attetio! Das ue combiaiso, o e tiet pas compte de l ordre etre les élémets et o e repète pas les élémets. E effet, das u esemble, il y a pas d ordre. ( p ) représete le ombre de faços de choisir p objets parmi objets (l ordre importat pas). Exercice 7 O cosidère l esemble E {a, b, c, d}. Ecrire toutes les combiaisos de E à ) 0 élémet 2) élémet 3) 2 élémets 4) 3 élémets 5) 4 élémets E déduire les valeurs de( 4 0 ), (4 ),(4 2 ), (4 3 ) et(4 4 ). Exercice 8 O repred l exemple précédet : das ue course de 8 chevaux, déombrer les quités das le désordre que l o peut obteir. Propositio (Expressio du ombre ( p )). Soit u etier aturel et E u esemble à élémets. Soit p u etier aturel tel que 0 p. Le ombre de combiaisos de p élémets de E est : p! p!( p)!. Démostratio. O cosidère l esemble E : o souhaite déombrer les parties à p élémets de E. Supposos u momet que ous souhaitios déombrer les listes ordoées de p élémets choisis parmi les élémets de! E : ous avos déjà vu qu il y a listes ordoées de p élémets. ( p)! Nous savos que chaque combiaiso de p élémets de E permet de costituer p! listes ordoées de tels élémets (c est le ombre de permutatios de p élémets). O peut doc e déduire le ombre de combiaisos à p élémets parmi : p Nombre de listes ordoées de p élémets Nombre de faços d ordoer les p élémets! ( p)! p!! p!( p)!. Exercice 9 Trois situatios classiques. ) Le loto : o tire au hasard 6 boules parmi 49. Combie de tirages possibles peut-o déombrer? 2) Détermier le ombre de comités de 3 persoes que l o peut élire das ue assemblée de 20 persoes. 3) Détermier le ombre de bureaux de 3 persoes que l o peut élire das ue assemblée de 20 persoes sachat qu il y a u poste de présidet et deux postes d adjoits. 4) Détermier le ombre de mais de 5 cartes d u jeu de 32 comptat exactemet deux rois et u as ; au mois trois rois ; exactemet deux rois et ue carte rouge. Exercice 0 O cosidère ue ure coteat 9 boules idiscerables : 4 boules rouges umérotées de à 4 et 5 boules oires umérotées de à 5. L expériece aléatoire cosiste à tirer au hasard et simultaémet 4 boules de l ure ce qui garatit l équiprobabilité des tirages. ) Détermier le ombre de tirages possibles. 2) Détermier la probabilité des évéemets suivats : A : o tire que des boules rouges B : o tire au mois ue boule oire C : o tire des boules de couleurs idetiques D : le tirage comporte exactemet deux boules oires 3) O s iteresse à la variable aléatoire X qui, à l issue d u tirage, associe le ombre de boules rouges obteues. Détermier la loi de X, so espérace et sa variace. Lycée Les Paevelles TS Page 3 FBoure - Aée 200/20

4 III Propriétés des coefficiets biomiaux. Relatio de Pascal. Propositio (Propriétés immédiates). Soit u etier aturel o ul et p u etier tel que 0 p. O a 0 p p Démostratio. Soit u etier aturel o ul. O cosidère E {x ; x 2 ; ;x } u esemble à élémets. ) Il existe ue uique partie de E à 0 élémets : c est l esemble vide. Immédiatemet, il viet ( 0 ). 2) De la même faço, il existe ue uique partie de E à élémets : c est E lui même! Aisi, o a ( ). 3) Nous devos déombrer les combiaisos à élémet de l esemble E : il y a faços de choisir u esemble à élémet. D où( ). 4) Choisir ue partie à élémets das E cela reviet exactemet à écarter u élémet de E. Il y a faços d écarter u élémet de E doc égalemet faços de choisir ue partie de E à élémets. 5) O utilise le même argumet que précédemmet : choisir p élémets parmi cela reviet exactemet à écarter p élémets parmi. D où l égalité. R C Propositio (Relatio de Pascal). Soit u etier aturel tel que 2 et p u etier aturel vérifiat p. Nous avos la relatio +. p p p Démostratio. O peut démotrer ce résultat de maière calculatoire (e utilisat la formule exprimat ( p ).) Nous allos doer ue démostratio plus élégate e utilisat des techiques de déombremet. Soiet et p deux aturels tels que 2 et p. O cosidère E u esemble à élémet et soit a u élémet de cet esemble E. O s iteresse aux combiaisos de E à p élémets : il y a e a deux types : celles qui e cotieet pas a : il y a e a ( p ). E effet, il y a ( p ) faços de choisir p élémets parmi (o igore l élémet a de l esemble E) celles qui cotieet a : il y a e a ( p ). E effet, état doé que a est déjà choisi, il reste à choisir p élémets parmi les restats. E coclusio, ous avos ( p ) ( p )+( p ). R C Cette formule permet de calculer les coefficiets biomiaux de proche e proche. Pour cela, o costruit le triagle de Pascal : p zoom zoom p + p p Formule de Pascal IV Formule du biôme de Newto Propositio (Formule du biôme). Soiet u etier aturel o ul, a et b deux ombres complexes. O a (a+b) a + a b+ a 2 b 2 + a 3 b ab + b soit, de maière plus codesée, (a+b) k0 a k b k. k Lycée Les Paevelles TS Page 4 FBoure - Aée 200/20

5 Démostratio. Soiet a et b deux ombres complexes. O raisoe par récurrece sur l etier aturel. O défiit, pour etier aturel o ul, la propositio P() : (a+b) k0 a k b k. k O souhaite démotrer que pour tout etier la propositio P() est vraie. Iitialisatio. O motre que P() est vraie. C est évidet puisque (a+b) a+b a b a 0 b k0 a k b k. k Doc P() est vraie. Hérédité. Soit u etier aturel o ul fixé. O suppose que P() est vraie et motros que P(+) est vraie. (a+b) + (a+b) (a+b) (a+b) k0 (a+b) a + k ak b k a b+ 2 a 2 b a 3 b ab + b a + + ( )a b + ( 2 )a b 2 + ( 3 )a 2 b ( )a2 b + ( )ab + ( 0 )a b + ( )a b 2 + ( 2 )a 2 b ( 2 )a2 b + ( )ab + b + a + + ( + )a b + ( + 2 )a b 2 + ( + 3 )a 2 b ( + )a2 b + ( + )ab + b k ak b (+) k k0 La propositio P( + ) est doc démotrée. Coclusio. Par le pricipe de récurrece, la propositio P() est vraie pour tout etier. La formule du biôme est démotrée. Quelques applicatios Das la suite a, b C, est u etier aturel o ul. ) Applicatios directes au développemet de biômes. Développer(a+2b) 3,(2 b) 4 puis (+i) 6 2) Nombre de parties d u esemble à élémets. Soit E u esemble à élémets. Détermier le ombre de parties de E. O proposera deux méthodes (dot l ue utilise la formule du biôme). 3) Démotrer des idetités. (a) Développer(+2x). (b) E déduire, e foctio de, la valeur de la somme : S Lycée Les Paevelles TS Page 5 FBoure - Aée 200/20