Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 5 novembre Quelques dénitions

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1 Déombremet ECE3 Lycée Carot 5 ovembre 2009 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter sur ses doigts, mais bie de déir des objets et otatios mathématiques permettat de compter le ombre d'élémets d'esemble bie trop gros et compliqués pour être déombrés à la mai Quelques exemples de problèmes faisat iterveir les objets que ous allos étudier das ce cours : Dix persoes assistet à u dier autour d'ue table rode Combie y a-t-il de faços de disposer les dix covives autour de la table? Si de plus o impose que deux de ces covives, qui e s'appréciet guère, e doivet pas être placée côte à côte, combie reste-t-il de dispositios possibles? Il y a 42 élèves das la classe Quelle est la probabilité qu'il y e ait (au mois) deux parmi eux qui soiet és le même jour de l'aée? Pour remplir ue grille de loto, o coche six uméros parmi les ombres compris etre 1 et 49 De combie de faços peut-o remplir ue telle grille? Questio subsidiaire : quelle est la probabilité de gager au loto? 1 Cardiaux d'esembles is 11 Quelques déitios Déitio 1 U esemble E est i s'il est e bijectio avec l'esemble {1; 2; ; }, pour u etier aturel Cet etier est alors uique Il est appelé cardial de l'esemble E, et o le ote card(e), ou E, ou ecore E Remarque 1 Cela correspod bie à la otio ituitive d'esemble dot o peut compter les élémets E eet, ue bijectio de E vers {1; ; } est simplemet ue faço d'étiquetter les élémets de E avec les uméros 1, 2,, Propositio 1 Soit E u esemble i et F u sous-esmble de E, alors F est u esemble i, et F E, avec égalité si et seulemet si E F Démostratio Cette propriété, comme souvet e ce qui cocere les esembles is, est assez évidete d'u poit de vue ituitif, mais pas si simple à démotrer correctemet Nous ous e tiedros au poit de vue ituitif Propositio 2 Soiet E et F deux esembles is Si E et F sot e bijectio l'u avec l'autre, ils ot même cardial Démostratio Il existe par hypothèse ue bijectio f de E vers F De plus, F état i, otos so cardial, il existe alors ue bijectio g de F das {1; ; } L'applicatio g f : E {1; ; } est ue composée d'applicatios bijectives, doc est bijective, ce qui prouve que E est de cardial 1

2 12 Cardiaux élémetaires Propositio 3 Soiet A et B deux sous-esembles d'u même esemble i E Alors A B A + B A B Démostratio Commeços par costater que das le cas où les deux esembles A et B sot disjoits, o a A B A + B Vous voulez ue démostratio? Soit f ue bijectio de A das {1; ; } et g ue bijectio de B das {1; ; p}, et p état les cardiaux respectifs de A et de B O peut alors costruire ue bijectio h de A B vers {1; ; + p} e posat x A, h(x) f(x) et x B, h(x) g(x) + p Ue fois ce fait admis, costatos que A B est l'uio disjoite des trois esembles A\B, B\A et A B O a doc A B A\B + B\A + A B Or, A état uio disjoite de A\B et de A B, o a égalemet A A\B + A B, ou ecore A\B A A B De même, B\A B A B, doc o obtiet A B A A B + B A B + A B, ce qui doe bie la formule aocée Théorème 1 Formule du crible de Poicaré Soiet A 1, A 2,, A des sous-esembles is d'u même esemble E, alors i1 A i 1 1 i 1 < <i ( 1) +1 A i1 A i Propositio 4 La formule de Poicaré état assez peu lisible, voici ce que ça doe pour 3 et 4 : A B C A + B + C A B A C B C + A B C A B C D A + B + C + D A B A C A D B C B D C D + A B C + A B D + A C D + B C D A B C D Démostratio La preuve de la formule géérale, assez techique, se fait par récurrece O se cotetera de prouver la formule pour 3 e partat de la propositio précédete : A B C (A B) C A B + C (A B) C A + B A B + C (A C) (B C) A + B A B + C A C A B + A C B C, ce qui doe bie la formule aocée Exemple : Das u lycée de 300 élèves, 152 pratiquet le football, 83 le rugby et 51 le teis De plus, 24 pratiquet à la fois foot et rugby, 14 fot foot et teis, et 8 rugby et teis E, 3 élèves pratiquet les trois sports simultaémet Le ombre d'élèves sportifs est alors de Propositio 5 Soit A u sous-esemble i d'u esemble i E, alors Ā E A Démostratio C'est ue coséquece de la formule pour ue uio : E est uio disjoite de A et de Ā, doc E A + Ā Propositio 6 Soiet E et F deux esembles is, alors E F est i, et E F E F Démostratio Pas de preuve rigoureuse pour celui-ci, simplemet ue idée de la faço dot ça marche Soit le cardial de E, et e 1, e 2,, e ses élémets, p le cardial de F et f 1,, f p ses élémets o peut placer les élémets de E F das u tableau de la faço suivate : e 1 e 2 e f 1 (e 1, f 1 ) (e 2, f 1 ) (e, f 1 ) f p (e 1, f p ) (e 2, f p ) (e, f p ) Il y bie p élémets das le tableau, doc das E F 2

3 2 Listes, arragemets et combiaisos Déitio 2 Soit E u esemble i de cardial, et p N Ue p-liste d'élémets de E, ou p-uplet d'élémets de E, est simplemet u élémet de E p Remarque 2 O peut très bie avoir plusieurs fois le même élémet das ue p-liste Par ailleurs, l'ordre des élémets de la p-liste est importat Propositio 7 Le ombre de p-listes das u esemble de cardial vaut p Démostratio C'est ue coséquece de la formule de cardial du produit vue u peu plus haut : comme E F E F, o a E p E p, ce qui prouve bie la propriété Exemple : Das ue ure se trouvet 10 boules umérotées de 1 à 10 O e tire quatre successivemet avec remise U tel tirage reviet à choisir ue 4-liste das l'esemble à 10 élémets costitué des etiers de 1 à 10 Il y a doc tirages possibles Remarque 3 Le ombre de p-listes d'u esemble à élémets est aussi le ombre d'applicatios de l'esemble {1; ; p} vers cet esemble E eet, se doer ue telle applicatio f reviet à se doer les valeurs des images f(1), f(2),, f(p), c'est-à-dire à se doer ue liste de p élémets de E Déitio 3 Soit E u esemble à élémets et p N, o appelle arragemet de p élémets de E ue p-liste d'élémets disticts de E Remarque 4 L'ordre des élémets est toujours importat, par cotre o e peut plus avoir de répétitio d'élémet das u arragemet Déitio 4 Soiet et p deux etiers tels que p, o ote A,p 2) ( p + 1)! ( p)! ( 1)( Propositio 8 Le ombre d'arragemets de p élémets das u esemble à élémets vaut A,p Démostratio Idée de démostratio : lorsqu'o costruit u arragemet, o a choix pour le premier élémet, 1 pour le deuxième,, p+1 pour le pème, soit au total ( 1) ( p+1) ( 1) ( p + 1)( p) 2 1! ( 1) 2 1 ( p)! Exemple : Si o repred otre ure avec ses 10 boules et qu'o e tire désormais quatre successivemet sas remise, o costruit des arragemets, et il y a 10! 5040 tirages possibles 6! Remarque 5 Le ombre d'arragemets de p élémets das u esemble à élémets est égalemet le ombre d'applicatios ijectives de {1; ; p} das E Déitio 5 U arragemet de élémets das u esemble à élémets est aussi appelé permutatio Il y a doc! permutatios das u esemble à élémets Exemple : Le ombre de faços d'asseoir 10 persoes autour d'ue table (supposée coteir 10 places distigables) est 10! Si l'o veut que deux persoes spéciées à l'avace e soiet pas côte à côté (o suppose la table rode par exemple, c'est-à-dire que chaque persoe a 2 voisis), il reste (o place d'abord les deux eemis : o a dix possibilités pour le premier, mais 7 au lieu de 9 pour le deuxième puisqu'o doit éviter les deux places voisies du premier ; esuite, tout se déroule comme précédemmet) Exemple : Le ombre d'aagrammes d'u mot peut se calculer à l'aide de permutatios Il faut simplemet diviser le ombre total du permutatios du mot par! chaque fois qu'ue même lettre apparait fois das le mot (aisi, s'il y a trois E das le mot, o divise par 3! car les permutatios qui se cotetet d'échager les E etre eux e modiet pas l'aagramme) Par exemple, le ombre 12! d'aagrammes du mot DENOMBREMENT est 3! 2! 2! 3

4 Remarque 6 Le ombre de permutatios d'u esemble à élémets est le ombre d'applicatios bijectives de cet esemble das lui-même Propositio 9 Quelques propriétés des factorielles, plus ou mois utiles : Par covetio, 0! 1 N, ( + 1)!! ( + 1) a > 1, a o(!), mais! o( ) (Pour les plus curieux, je sigale le joli résultat suivat, cou sous le om de formule de Stirlig :! ( ) ) 2π e Déitio 6 Ue combiaiso de élémets das u esemble i E à élémets est u sousesemble à élémets de E Déitio 7 Soiet et deux etiers tels que, o appelle coeciet biomial d'idices! et le ombre!( )! Ce ombre est égalemet oté C, et o le lit parmi (comme u raccourci sigiat que le ombre de faço de choisir objets parmi objets au total) Remarque 7 O pose souvet 0 si > Propositio 10 Le ombre de sous-esembles à p élémets d'u esemble à élémets est p Démostratio E eet, ue combiaiso 'est rie d'autre qu'u arragemet das lequel o a elevé l'importace de l'ordre Autremet dit, chaque combiaiso apparait p! fois quad o déombre les arragemets (puisqu'il y a p! faços d'ordoer u esemble à p élémets), doc le ombre de combiaisos à p élémets vaut A,p p! ( p ) Exemple : Toujours das otre ure avec ses dix boules, o tire désormais quatre boules simultaémet Il y a maiteat 210 tirages possibles (l'ordre 'est plus importat) 10 4 Remarque 8 O peut ecore ue fois iterpréter ceci à l'aide d'applicatios : le ombre de combiaisos à p élémets das u esemble à élémets est le ombre d'applicatios strictemet croissates de {1; ; p} das E E eet, se doer ue applicatio strictemet croissate f est équivalet à se doer le sous-esemble {f(1); f(2), ; f(p)} U petit tableau pour résumer les cas d'utilisatios de ces trois outils de déombremet : L'ordre 'est pas importat L'ordre est importat Répétitios Listes possibles puissaces Répétitio Combiaisos Arragemets iterdites coeciets biômiaux quotiet de factorielles 3 Propriétés des coeciets biomiaux Propositio 11 ( Quelques ) ( propriétés ) des coeciets biomiaux, utiles pour les calculs : ( 1) 1 ; ; , (propriété de symétrie) 1 1, ( ) ( 1 ) 1 1 1, + (relatio de Pascal) 1 4

5 Démostratio Pour le premier poit, il sut de repredre la déitio des coeciets biomiaux :! 0 0!! 1 ;! 1 ( 1)! et! ( 1) ( 2 2! 2)! 2! La propriété de symétrie est facile aussi : ( )!( ( ))!! ( )!! Il y a égalemet ue iterprétatio combiatoire de ce résultat : choisir u sous-esemble de élémets das u esemble à élémets est équivalet à choisir so complémetaire, qui est costitué de élémets, doc il y a autat de sous-esembles à élémets et à élémets das u esemble à élémets Pour la troisième,!!( )!! 1 ( 1)!( )!, et ( 1)! 1 ( 1)!( 1 + 1)!!, les deux quatités sot bie égales ( 1)!( )! 1 1 ( 1)! E, la formule de Pascal : + 1!( 1 )! + ( 1)! ( 1)!( )! ( ) ( 1)! + ( 1)! ( 1)! La ecore, il y a ue iterprétatio!( )!!( )! combiatoire ( Soit ) E u esemble à élémets et x E Les sous-esembles de E à élémets, au ombre de, se répartisset e deux catégories : ceux qui cotieet x, qui sot au ombre de 1 puisqu'il reste 1 élémets à choisir parmi les 1 restats das E ue fois x choisi ; et 1 1 ceux qui e cotieet pas x, qui sot au ombre de puisqu'il reste cette fois-ci élémets à choisir parmi les 1 restats (o 'e a ecore choisi aucu) D'où la formule Triagle de Pascal : La relatio de Pascal permet de calculer les valeurs des coeciets biomiaux par récurrece, e les répartissat sous forme d'u tableau triagulaire : Pour obteir u coeciet du tableau, o fait la somme de celui qui est au-dessus de lui, et de celui qui est à gauche de celui-ci Théorème 2 Formule du biôme de Newto Soiet a et b deux réels, et N, alors (a + b) 0 0 a b Remarque 9 O peut obteir à partir de cette formule le développemet d'ue diérece : (b a) ( 1) a b E pratique, il sut d'alterer les siges Exemple : (a + b) 6 a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b a 3 b a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6 L'ordre est iversé par rapport à celui de la formule, mais c'est la faço habituelle d'écrire le développemet Autre exemple : (1 x) 5 1 5x + 10x 2 10x 3 + 5x 4 x 5 5

6 Démostratio O va procéder ( par) récurrece sur l'etier Pour 0, la formule du biome 0 dit simplemet que (a + b) 0 a 0 b 0, ce qui est vrai (o a 1 de chaque côté) Supposos la 0 formule vraie au rag, o a alors (a + b) +1 (a + b)(a + b) (a + b) 0 0 ( ) a b par hypothèse de récurrece, doc e développat le a + b et e le faisat retrer das la somme, o obtiet (a + b) +1 a +1 b + a b +1 Eectuos u chagemet d'idice e 0 remplaçat par +1 das la première somme (o e touche à rie das la deuxième) : (a+b) +1 ) 1 +1( ( ) a b +1 + a b +1 a +1 b a b a 0 b +1 (o a isolé u terme das chaque somme pour pouvoir regrouper les sommes) Maiteat, o recoait la formule de Pascal das la somme, doc (a+b) +1 a +1 + a b b +1 Il e reste plus qu'à remettre les deux termes isolés das la somme pour obteir la formule au rag + 1, ce qu'o peut faire puisqu'ils sot justemet égaux aux termes maquats pour 0 et + 1 Propositio 12 Soit E u esemble i de cardial Alors P(E) est i, de cardial 2 Démostratio Le cardial de P(E) est le ombre de sous-esembles de E Or, o sait que, pour tout etier, il y a sous-esembles de E à élémets, ce qui fait au total sous-esembles 0 Cette somme 'est rie d'autre qu'u cas particulier de formule du biôme, pour a b 1, doc elle vaut (1 + 1) 2 Ue faço plus combiatoire de voir les choses : à chaque sous-esemble A de E, o peut associer ue applicatio de E das {0; 1} appelée applicatio caractéristique de A, et habituellemet otée χ A, déie comme suit : si x A, χ A (x) 1 et sio χ A (x) 0 Cette applicatio caractérise eectivemet le sous-esemble, et toute applicatio de E das {0; 1} est ue applicatio caractéristique d'u sous-esemble de E Comme il y a 2 applicatios de E das {0; 1} (cf la remarque après la déitio des p-listes), il y a aussi 2 sous-esembles de E Propositio 13 Formule de Vadermode a + b Soiet a, b et trois etiers tels que a + b, alors 0 Démostratio O va passer par ue iterprétatio combiatoire Cosidéros u groupe costitué a + b de a hommes et b femmes, parmi lesquels o veut choisir persoes O sait déjà qu'il y a possibilités de faire ce choix (ce qui correspod au membre de gauche de otre iégalité) Mais o peut égalemet classer les groupes de persoes ( e ) catégories selo le ombre d'hommes qu'ils cotieet : soit 0 homme et femmes (il y a tels groupes), soit 1 homme et 1 femmes 0 (il y a tels groupes), etc, jusqu'à la possibilité d'avoir hommes et 0 femme (il y a 1 1 tels groupes) Le ombre total de groupes possibles vaut doc aussi 0 0 6