Résumé du chapitre 24 : Matrices 2

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1 MPSI 1 1 Résumé du chatre 24 : Matrces 2 Das tout le chatre K désge le cors R ou C I Chagemet de base I-1 Matrces de assage Soet E u K-ev de dmeso, = (e 1,e 2,,e ) et ' = (f 1,f 2,,f ) deux bases de E Alors, 1,, o a f = a1, e1 + a 2, e a, e (les a, état les coordoées de f das ) Défto : es relatos récédetes défsset ue matrce (a, ) M ( K ) aelée matrce de assage de la base Prorétés : à la base ' Relato de Chasles : ' P G ( K ) et ' " " P P' = P ' 1 (P ) = P ' I-2 Effet d u chagemet de base a Effet d u chagemet de base sur les coordoées d u vecteur : Soet E u K-ev de dmeso, et ' deux bases de E avec ' P = P = (a, ) Pour tout x E de coordoées (x 1, x 2,, x ) et (x ' 1, x ' 2,, x ' ) das et ' resectvemet, o a, avec t X (x 1, x 2,, x ) = et t X (x ' 1, x ' 2,, x ' ) = : X = PX ' b Effet d u chagemet de base sur la matrce d ue alcato léare : Soet E et F deux K-ev de dmesos resectves et, et ' deux bases de E, C et C ' deux bases de F, ' et u (E, F) S A = M, C (u) M, ( K ), = M ', C' (u) M, ( K ), P = P ' M ( K ) et Q = P C C M ( K ), o a : Cas artculer : = Q AP S ϕ est ue forme léare sur E, de matrces lges et ' das et c Matrces équvaletes : Défto : ' = P Deux matrces A et de M ( ), K sot équvaletes, s l exste = QAP ', o a : Q G ( K ) et P G ( K ) telles que

2 MPSI 1 2 a relato «est équvalete à» est ue relato d équvalece das M ( K ), d Effet d u chagemet de base sur la matrce d u edomorhsme : Soet E u K-ev de dmeso, et ' deux bases de E et u (E) S o ote A = M (u) ( ) = M (u) M ( K ) et M K, ' = P AP ' P = P ( ) M K, alors : I-3 Matrces semblables Défto : Soet A et deux matrces de M ( ) K O dt que A et sot semblables, s l exste que = P AP P G ( K ) telle a relato de smltude matrcelle («est semblable à») est ue relato d équvalece das M ( K ) Prorétés : Sot A, M ( K ) deux matrces semblables, telles que k N, k A et = P AP avec k sot semblables avec la même matrce de assage P, sot : f K [x], f (A) et f () sot semblables avec la même matrce de assage P : P G ( K ) O a : = P A P k k f () = P f (A)P I-4 Trace a Trace d ue matrce : Défto : Sot A M ( K ) O aelle trace de A la somme de ses élémets dagoaux, o la ote Tr(A) ou tr(a) Prorétés : alcato Tr : M ( K) K est ue forme léare 2 (A,) M ( K ), o a Tr(A) = Tr(A) Deux matrces semblables ot même trace b Trace d u edomorhsme : Das cette, E est u K-esace vectorel de dmeso fe Prorété et défto : Sot u (E) S est ue base de E, le scalare Tr ( M (u)) e déed as de la base et est aelé trace de u, oté Tr(u) ou tr(u)

3 MPSI 1 3 Prorétés : alcato Tr : (E) K est ue forme léare 2 (u, v) (E), o a Tr(uv) = Tr(vu) Prorétés : a trace d u roecteur est égale à so rag a trace d ue symétre ar raort à F, arallèlemet à G est égale à dm F dm G II Oératos élémetares sur les matrces II-1 Déftos Sot A M,( K ) Notos 1, 2,, les lges de A et C 1,C 2,,C ses coloes Déftos : O aelle oératos (ou maulatos) élémetares sur les lges de A les maulatos suvates : - multlcato d ue lge ar u scalare α o ul (codage : α ) ; - addto d u multle d ue lge α à ue autre, (codage : + α ) ; - échage de deux lges et (codage : ) O aelle oératos (ou maulatos) élémetares sur les coloes de A les maulatos smlares sur les coloes (codées : C α C, C C + α C et C C ) II-2 Iterrétato e termes de roduts matrcels Raelos que das M ( K ), r lge et de la coloe S A = (a, ) M,( K ), alors : our E, M ( K ), o a E a, A =,1 a,2 a, our E, M( K ), o a As : E est la matrce r r e coteat que des 0, sauf u 1 au crosemet de la AE,, où la lge o ulle est e ème osto 0 0 a1, a 2, 0 0 = où la coloe o ulle est e ème osto 0 0 a, 0 0 E,A est la matrce dot la ème lge est celle de A et toutes les autres sot ulles doc A, matrce dot toutes les lges sot celles de A, sauf la ème qu est ulle Alors, multler ue lge ar α 0 (oérato : α ) revet à trasformer A e : avec D ( α ) = I + ( α 1)E, A E,A + α E,A = D ( α )A E A est la de A

4 MPSI 1 4 α E, A est la matrce dot la ème lge est la ème lge de A multlée ar α ( α ) Alors, addtoer α à la ème lge avec T, ( α ) = I + α E, de A (oérato : + α ) revet à trasformer A e : A + α E, A = T, ( α )A A E,A E, A est la matrce dot toutes les lges sot celles de A, sauf les ème et ème qu sot ulles Alors, our échager les lges la ème qu est lges et ) et et de A, l faut aouter E,A (dot toutes les lges sot ulles sauf la ème qu est de A (oérato : ) revet à trasformer A e : A E,A E, A + E, A + E,A = X, A avec X, = I E, E, + E, + E, E, A (dot toutes les lges sot ulles sauf ) Doc échager les Das les tros cas, réalser ue oérato élémetare sur ue ou des lge(s) revet à multler A à gauche ar ue matrce du tye D ( α ), T, ( α ) ou X, Déftos et rorétés : es matrces du tye D ( α ) = I + ( α 1)E, avec α scalare o ul sot aelées matrces de dlatato 1 1 Elles sot versbles, d verse D = I + E, α α es matrces du tye T, ( α ) = I + α E, avec et α scalare o ul sot aelées matrces de trasvecto Elles sot versbles, d verse T, ( α ) = I α E, es matrces du tye X, = I E, E, + E, + E, sot aelées matrces de trasosto Elles sot versbles, d verse elles-mêmes Effectuer ue oérato élémetare sur les lges (res sur les coloes) revet à multler A à gauche (res à drote) ar ue matrce d oérato élémetare (versble) Déftos : Deux matrces A et A ' sot dtes équvaletes ar lges s elles se déduset l ue de l autre ar ue sute d oératos élémetares sur les lges O ote alors A ~ A ' Deux matrces A et A ' sot dtes équvaletes ar coloes s elles se déduset l ue de l autre ar ue sute d oératos élémetares sur les coloes O ote alors A ~ A ' C Deux matrces A et sot équvaletes ar lges (res ar coloes) s et seulemet s l exste ue matrce E, rodut de matrces d oératos élémetares telle que = EA (res = AE ) ~ est ue relato d équvalece

5 MPSI 1 5 II-3 Echeloemet et algorthme du vot de Gauss-Jorda a Matrces écheloées : Déftos : Ue matrce est dte écheloée ar lges s elle vérfe les deux rorétés suvates : S ue lge est ulle, toutes les lges suvates le sot auss ; A artr de la deuxème lge, das chaque lge o ulle, le remer coeffcet o ul à artr de la gauche est stué à drote du remer coeffcet o ul de la lge récédete O aelle vot le remer coeffcet o ul de chaque lge o ulle Ue matrce écheloée e lges est dte écheloée rédute ar lges s elle est ulle ou s tous ses vots sot égaux à 1 et sot les seuls élémets o uls de leur coloe b Algorthme du vot de Gauss-Jorda : Théorème et défto : Toute matrce o ulle est équvalete ar lges à ue uque matrce écheloée rédute ar lges Autremet dt, our toute matrce A M,( K ), l exste ue matrce E G ( ) d oératos élémetares sur les lges et ue uque matrce écheloée rédute ar lges K, rodut de matrces R M, ( K ) telles que A = ER a sute d oératos élémetares sur les lges ermettat de asser de A à R est aelée algorthme du vot de Gauss-Jorda Corollare : Sot A M ( K ) O eut trasformer A e ue matrce tragulare suéreure ar ue successo d oératos élémetares sur les lges uquemet II-4 Alcato à l verso d ue matrce carrée Sot A M ( K ) A est versble III Rag d ue matrce III-1 Défto Défto : A ~ I Sot A M,( K ) e rag de A, oté rg(a), est le rag de l alcato assocée à A Prorétés : Soet E et F deux K-ev de bases resectves et C S 1 2 r u (, ) (x, x,, x ) est ue famlle de E, o a rg(x, x,, x ) rg( M (x, x,, x )) S u (E, F), o a rg(u) rg ( M, (u)) = C = 1 2 r 1 2 r K K caoquemet

6 MPSI 1 6 III-2 Rag et versblté Sot Sot A M ( K ) A est versble s et seulemet s rg(a) = A G ( K ) M M,( K ), o a rg(am) = rg(m) M M, ( K ), o a rg(ma) = rg(m) Corollare : Deux matrces équvaletes ar lges ou ar coloes ot le même rag III-3 Détermato du rag a Rag d ue matrce écheloée : e rag d ue matrce écheloée ar lges est égal au ombre de ses vots b Premère méthode de détermato du rag d ue matrce : e rag d ue matrce A M,( K ) est égal au ombre de vots de la matrce obteue e trasformat A e ue matrce écheloée ar lges ar ue successo d oératos élémetares sur les lges c Deuxème méthode de détermato du rag d ue matrce : Notato : es eters et état fxés, our tout eter r féreur à et, o ote J,,r la matrce ( α, ) de M ( ), K défe ar : Sot J,,r Théorème : Ir 0r, r = 0 r,r 0 r, r α, 1 s = r = 0 das tous les autres cas Sot A M,( K ) A est de rag r s et seulemet s elle est équvalete à J,,r (c est-à-dre qu l exste U G ( K ) et V G ( K ) telles que A = UJ,,rV ) Corollares : Sot 2 M,K O a rg(a) (A, ) ( ) telles que = UAV Sot A M,( K ) O a t rg( A) = rg(a) = rg() s et seulemet s l exste U G ( K ) et V G ( K )

7 MPSI 1 7 d Trosème méthode de détermato du rag d ue matrce : Sot A M,( K ) e rag d ue matrce extrate de A est féreur ou égal à celu de A e rag d ue matrce o ulle A de M ( ), K est égal au lus grad des ordres des matrces carrées versbles extrates de A IV Systèmes léares IV-1 Déftos et terrétatos Déftos : Ue équato léare à coues est ue équato de la forme : a1x1 + a 2x a x = b1 U système léare à coues et équatos est u système de la forme : a1,1x1 + a1,2x a1,x = b1 a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b 2,1 1 2,2 2 2, 2,1 1,2 2, où les x 1 sot les coues et les a, et b sot des scalares fxés e système (léare) homogèe assocé est le système : Ue soluto d u système léare est u -ulet de a1,1x1 + a1,2x a1,x = 0 a 2,1x1 + a 2,2x a 2,x = 0 a,1x1 + a,2x a,x = 0 Résoudre le système est chercher l esemble de ses solutos Iterrétato matrcelle : K qu vérfe le système Pour u système léare (S) tel que c-dessus, s o ose A = (a, ) M,( K) et = (b ) M,1( K ), le système se récrt : AX = où l coue est X M,1( K ) ( ( ) M,1 K état c detfé à Déftos : K ) Avec les otatos c-dessus, A est la matrce assocée à (S), est aelé le secod membre du système e système homogèe assocé, AX = 0, est dt sas secod membre a matrce A à laquelle o raoute our derère coloe est aelée matrce augmetée, otée (A )

8 MPSI 1 8 Iterrétato vectorelle : S o ote C 1,C 2,,C les vecteurs coloes de A, alors le système s écrt : Iterrétato e termes d alcatos léares : x1c1 + x2c xc = S o aelle u l alcato léare de K das K caoquemet assocée à A, et b le vecteur de coordoées (b 1, b 2,,b ) das la base caoque de K, alors le système se récrt : u(x) = b avec x vecteur cou de K (cf les équatos léares vues das le chatre d algèbre) IV-2 Oératos élémetares sur les lges, systèmes équvalets K de es oératos élémetares sur les lges d u système sot défes et otées de la même maère que les oératos élémetares sur les lges d ue matrce : multlcato d ue lge addto d u multle d ue lge échage de deux lges Défto : ar u scalare α o ul (codage : et α ) ; α à ue autre, (codage : + α ) ; (codage : ) Deux systèmes sot dts équvalets s o eut asser de l u à l autre ar ue sute fe d oératos élémetares sur les lges Deux systèmes équvalets ot le même esemble de solutos IV-3 Résoluto a Systèmes écheloés, coues rcales et secodares : Déftos : O dt qu u système est écheloé s sa matrce assocée est écheloée ar lges Das u tel système, le remer coeffcet o ul d ue lge est ecore aelé vot Das u système écheloé, les coues que multlet les vots sot aelées coues rcales les autres coues sot aelées coues secodares ou aramètres Tout système est équvalet à u système écheloé b Systèmes comatbles et comatbles : Déftos : O dt qu u système écheloé est comatble s l cotet ue lge sas coue résetat ue égalté fausse O dt qu u système est comatble s l est équvalet à u système écheloé comatble Das le cas cotrare, o dt que le système est comatble

9 MPSI 1 9 Prorétés : U système léare est comatble s et seulemet s l admet as de soluto U système léare est comatble s et seulemet s l admet au mos ue soluto c Rag d u système : Défto : e rag d u système léare (S) est le rag de la matrce A assocée au système Prorétés : Deux systèmes équvalets ot même rag e rag d u système écheloé est égal au ombre de ses vots e rag d u système est égal au ombre d coues rcales e ombre de aramètres est égal au ombre d coues mos so rag d Esemble des solutos d u système : Sot (S) u système léare à coues et équatos de rag r et (S o ) le système homogèe assocé esemble F des solutos de (S o ) est u sous-esace vectorel de K de dmeso r esemble F des solutos de (S) est sot vde, sot le sous-esace affe F = xo + F où x o est ue soluto artculère de (S) IV-4 Systèmes de Cramer Prorété et défto : Avec les otatos récédetes, s r = =, alors le système (S) admet ue uque soluto et das ce cas o dt que c est u système de Cramer