Chap 2 : Ensembles de nombres, calculs dans Q et R
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- Claire Dumais
- il y a 6 ans
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1 Chap 2 : Esembles de ombres, calculs das Q et R 1 L esemble N des ombres aturels 11 Caractérisatio - 2 esembles sot défiis comme équipotets si o peut établir ue bijectio (= correspodace terme à terme) etre eux Le ombre cardial est le représetat de tous els esembles qui sot équipotets etre eux - U ombre est u élémet d ue suite orgaisée : o Chaque élémet a u successeur uique apparteat à cet esemble (, +1) o 2 élémets différets ot des successeurs différets o Zéro est le successeur d aucu ombre o Toute partie de N vérifiat ces propriétés et coteat zéro est égale à N 12 Propriétés das N L additio fait correspodre à tout couple (a, b) de N x N le ombre oté a+b apparteat à N - Du poit de vue cardial, la somme a+b est associée à la réuio de 2 esembles disjoits qui ot respectivemet a et b élémets B A x A U B - Du poit de vue ordial, la somme a + b représete le ombre qui se situe b après a Par exemple, : L additio das N est : - associative : (a + b) + c = a + (b + c) - commutative : a + b = b + a - régulière : si a + c = b + c alors a = b - elle possède 0 comme élémet eutre La multiplicatio fait correspodre à tout couple (a, b) de N N le ombre oté a b apparteat à N - Du poit de vue cardial, le produit a b est associé au cardial du produit cartésie de 2 esembles Par Ptit_Rubis le 31/01/
2 - Du poit de vue ordial, le produit a b est associé au b-ième terme de la suite de a e a à partir de 0 La multiplicatio das N est : - associative : (a b) c = a (b c) - commutative : a b = b a - régulière : si c 0 : a c = b c => a = b - distributive par rapport à l additio : a x (b + c) = (a x b) + (a x c) - le ombre 1 est élémet eutre - 0 est élémet absorbat L esemble N est ordoé par ue relatio qui permet de comparer les ombres a b si et seulemet s il existe c apparteat à N tel que b = a + c Cet ordre correspod : - Du poit de vue cardial, au fait que l esemble A (de cardial a) a mois d élémets que l esemble B (de cardial b) - Du poit de vue ordial, le fait que «a est situé avat b das la suite des ombres» 13 Les isuffisaces de N - Das l esemble des ombres etiers aturels, la soustractio est pas toujours possible : x = a b a de solutio das N que si a b - Les ombres aturels e permettet de graduer qu ue demi-droite 2 L esemble Z des ombres etiers 21 Caractérisatio L esemble des etiers relatifs complète l esemble des etiers aturels Il est composé des aturels et de leurs opposés 22 Propriétés das Z L additio das Z - Elle est associative et commutative - Elle possède u élémet eutre 0 - Tout élémet x a u opposé x qui vérifie x + x = x + x = 0 et est oté x La multiplicatio des etiers aturels - Mêmes propriétés que das N - Règles des siges : o Le produit de 2 ombres positifs est positif o Le produit de 2 ombres égatifs est positif o Le produit d u ombre positif par u ombre égatif est égatif L ordre de Z prologe celui de N Il est compatible avec l additio, la multiplicatio par u etier strictemet positif Si c > 0 et a b alors a c b c Si c < 0 et a b alors a c b c D autre part si a b et c d alors a + c b + d Par Ptit_Rubis le 31/01/
3 23 Les isuffisaces das Z - Certaies équatios a x = b ot pas de solutio das Z, comme par ex 2 x = 5 - Les ombres etiers relatifs, sauf 1 et -1 ot pas d iverse pour la multiplicatio 3 L esemble Q des ombres ratioels 31 Caractérisatio U ratioel est u ombre x qui est solutio d ue équatio b x = a avec a et b etiers et b 0 Ce ombre x peut s écrire sous la forme d ue fractio a/b, a état le umérateur, b le déomiateur et a/b le quotiet de a par b Fractios égales 2 fractios a/b et c/d sot égales si elles représetet le même ratioel O a alors a d = b c Simplificatio de fractios - Ue fractio peut être simplifiée e divisat so umérateur et so déomiateur par u diviseur commu - Ue fractio est irréductible si le umérateur et le déomiateur sot premiers etre eux - U ombre ratioel peut être représeté par ue ifiité de fractios égales - La décompositio e facteurs premiers du umérateur et du déomiateur peut faciliter la simplificatio des fractios 32 Propriétés das Q Tout élémet o ul a u iverse pour la multiplicatio a b a b 1 b L iverse de est car = 1 doc b a b a a = a b La somme et le produit de 2 ratioels a et b sot des ratioels, aisi que leur différece et leur quotiet Pour additioer ou soustraire des fractios : - Si les déomiateurs sot égaux, o additioe les umérateurs - Si les déomiateurs sot différets, o cherche d abord u déomiateur commu (multiple commu, e gééral ppcm) Pour multiplier ue fractio par u etier : o multiplie le umérateur par cet etier Pour multiplier 2 fractios etre elles : o multiplie les umérateurs etre eux et les déomiateurs etre eux Pour diviser ue fractio par ue autre : o multiplie la 1 ère par l iverse de la 2 ème L esemble des ombres ratioels est totalemet ordoé : Pour comparer 2 fractios, plusieurs méthodes : - Si les déomiateurs sot égaux, o compare les umérateurs : la fractio la plus grade est celle qui a le plus grad umérateur - Si les umérateurs sot égaux, o compare les déomiateurs : la fractio la plus grade est celle qui a le plus petit déomiateur - Réduire les fractios au même déomiateur Par Ptit_Rubis le 31/01/
4 4 L esemble D des ombres décimaux 41 Caractérisatio U ombre décimal peut s écrire : - Avec ue écriture décimale : partie etière + partie décimale dot le ombre de chiffres différets de 0 et situés après la virgule est fii - Sous forme d ue fractio décimale : a = b 10 - Comme le produit d u etier par ue puissace de 10 : 10 = 1 10 = 0,0001 ( chiffres après la virgule) a = b Propriétés U ombre a est décimal s il existe u etier aturel tel que a 10 soit u etier relatif b a 10 = b doc a = b 10 L esemble des ombres décimaux est stable pour l additio et la multiplicatio La somme ou le produit de 2 ombres décimaux sot des ombres décimaux L opposé x d u décimal x est u ombre décimal L iverse 1 x d u ombre décimal x o ul est pas toujours u ombre décimal Ex : 0,3 (ou 3/10) est u ombre décimal mais so iverse 10/3 = 3,3333 (avec ue ifiité de 3 e l est pas) Comparaiso des décimaux Pour comparer 2 décimaux, o compare les parties etières puis respectivemet chaque chiffre des parties décimales à partir des dixièmes Desité Etre 2 décimaux o peut toujours trouver u ombre décimal C est u esemble dese 5 L esemble R des ombres réels 51 Caractérisatio - Les ombres réels permettet de graduer parfaitemet (sas trou) la droite - Certais ombres irratioels sot solutio d équatios : ce sot des ombres algébriques Ex : 2 est solutio de x² = 2 - D autres ombres irratioels e sot pas solutio de telles équatios et sot appelés trascedats 52 Propriétés - Les propriétés vérifiées das Q le sot aussi das R - Tout réel peut être approché d aussi près que l o veut à l aide des décimaux O appelle valeur approchée du réel x à 0,01 près tout décimal a tel que a 0,01 x a + 0, 01 Si a < x, a est appelé valeur approchée par défaut à 0,01 près Si a > x, a est appelé valeur approchée par excès à 0,01 près Par Ptit_Rubis le 31/01/
5 53 Puissaces das R - Si est u aturel o ul a = a a a ( fois) et a 0 = 1 avec a 0 - O défiit que a = 1 a avec a p a = a p a a b = a b - ( ) Idetités remarquables : (a + b)² = a² + 2a b + b (a b)² = a² - 2a b + b² a² - b² = (a + b) (a b) 2 Source : Hatier maths tome2 54 Calculs sur les radicaux - Pour a apparteat à R+, a est le ombre positif dot le carré est égal à a : ( a)² = a - Pour a et b apparteat à R+, a b = a b - Pour a et b apparteat à R+, a b = a / b (avec b 0) - Si a 0, a ² = a - Si a 0, a² = a - ATTENTION a + b a + b 6 Ecritures décimales 61 Fractios décimales - U ratioel est u décimal si, parmi toutes les fractios qui le représetet, il y a au mois ue fractio décimale - Fractio décimale = fractio dot le déomiateur est ue puissace de 10 de la forme a 10 - Les seuls ratioels qui sot des décimaux sot ceux qui peuvet s écrire à l aide d ue fractio irréductible dot le déomiateur est composé par le produit d ue puissace de 2 par ue puissace de 5 62 Ecritures décimales - Ue écriture décimale peut désiger : u etier (3,00), u décimal (3,25), u ratioel o décimal (0,3333 avec ue ifiité de 3 est égal à 1/3), ou u irratioel ( 2 = 1,414) e pas cofodre «ombre décimal» et «écriture décimale» - L écriture décimale de x est fiie : elle comporte u ombre fii de chiffres o uls après la virgule - x est u ratioel o décimal : il peut s écrire sous la forme p/q avec p et q premiers etre eux - Si ue suite est périodique et illimitée, elle est l écriture d u ombre ratioel - Ue écriture décimale illimitée mais o périodique sera l écriture d u ombre irratioel Par Ptit_Rubis le 31/01/
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