2 ième partie : STATISTIQUE À DEUX VARIABLES

Transcription

1 2 ème parte : STATISTIQUE À DEUX VARIABLES A. Introducton En 4 ème année, nous avons étudé des éléments de statstque descrptve à un caractère d une populaton donnée. Ils nous permettent de : Représenter des données numérques sur dfférents types de dagrammes : crculares, des hstogrammes, des polygones d effectfs, etc. Calculer des paramètres de poston comme la moyenne, le mode, la médane et les quartles. Calculer des paramètres de dsperson comme la varance, l écart-type, l étendue et les écarts nter-quartles. ous allons aborder l étude smultanée de 2 caractères d une même populaton et rechercher s l exste une correspondance entre eux. Par exemple s l exste un len entre fumer et de développer un cancer des poumons. B. Etude statstque à 2 varables L étude statstque à 2 varables se fat en 3 étapes : ) La recherche d un len logque entre les varables dont on étude le comportement. Lorsque deux séres de données varent l une en foncton de l autre, l exste 2 types de relaton de causalté permettant de les classer : a) la relaton de cause à effet (exemple : la varaton du nombre de journées frodes en hver nfluence drectement celle de la consommaton de mazout pendant cette même pérode.) b) la relaton de cause commune (exemple : l est peu probable qu l exste un len entre la varaton de la consommaton de mazout de chauffage en hver et celle de la vente de gants pendant la même pérode, mas les varatons de ces 2 caractères sont probablement le résultat de température à cette sason.) 2) l analyse de régresson a pour but de décrre la nature fonctonnelle de la relaton entre ces varables lorsqu elle exste. La régresson rédut les données d un phénomène complexe en vue de le représenter par une lo smplfcatrce. Dans notre cas, on représentera le nuage de ponts par une drote. On parle de régresson lnéare. 3) L analyse de corrélaton dont le but est de mesurer le degré d assocaton entre les varables. La corrélaton entre deux varables est le len (dépendance statstque) qu unt ces deux varables. C est ce que nous recherchons. La corrélaton peut s étuder dans un domane beaucoup plus vaste que la statstque, mas les méthodes sont les mêmes. 6 ème année 2 ème parte - Statstque à deux varables otes générales p.

2 C. Table de corrélaton La table de corrélaton est un tableau à double entrée donnant les effectfs des deux caractères. Exemple : Le tableau c-dessous donne la talle et le pods des élèves de l école. Il s agt d une table de corrélaton. Le problème est de savor s l exste une corrélaton entre ces deux varables. j Y j Y<53 Y<57 Y<6 Y<65 Y<69 Y<73 Y<77 Y<8 Y<85 Y<89 Y<93 Y<97 Y< 49 Totaux X n 25 X< X< X< X< X< X< X X< X< X< Totaux n j Comme d habtude, chaque classe est caractérsée par son centre. ous nous trouvons c devant une sére statstque double. Chaque colonne, chaque lgne (et en partculer la colonne et la lgne des totaux) donne leu à une sére statstque smple et peut être étudée comme telle. Le polygone des effectfs aura la forme d une courbe en cloche. D. Défntons et notatons. Les centres des classes sont notés X et Y. 2. L effectf (ou répétton) du couple X, Y les valeurs du caractère sont respectvement X ous la noterons n j ( ème lgne, j ème colonne). j d j est le nombre d éléments de la populaton dont et Y. j Exemple L effectf du couple b X 7, Y6g est n 76 = L effectf margnal n correspondant à l élément X est la somme des effectfs de tous les couples d X, Yj quel que sot Y j. cy On a donc : n = nj = n + n 2 + n j= 6 ème année 2 ème parte - Statstque à deux varables otes générales p.2

3 De même, l effectf margnal n' j correspondant à l élément Y j est la somme des effectfs de tous les couples d X, Yj quel que sot X. cx On a donc : n ' j = nj = n j + n2 j + n3 j +... Exemple n 2 =266 et n =75 = 4. L effectf total de la sére est le nombre des observatons effectuées. Il correspond à : la somme des effectfs n j ; cx = j= = j= cy la somme des effectfs margnaux n correspondant aux valeurs X ; la somme des effectfs margnaux n' j correspondant aux valeurs Y j. Donc = n = n + n + n n + n + n n + n + n +... cx j = n = n + n + n +... cy j = n = n ' + n ' + n' +... j 2 3 L étude statstque du seul caractère X peut se fare au départ des valeurs X et des effectfs margnaux n correspondants. Cette étude se fera comme on l a vu en quatrème et permettra de construre les dagrammes que nous connassons ben et de détermner, pour cette sére, le mode, la médane, les quartles, la moyenne arthmétque x, la varance σ 2 ( X ) et l écart type σ ( X ). La notaton σ ( X ) et non plus σ tout seul, est mposée par le fat que l étude statstque du seul caractère Y peut se fare au départ des valeurs Y j et des effectfs margnaux correspondants n' j et donnera leu à la détermnaton du mode, de la médane, des quartles, de la moyenne arthmétque y, de la varance Dans le cas qu nous préoccupe, on a : σ 2 ( Y ) et de l écart type σ( Y ) x = 65, 04 ; σ ( X ) = 8, 7 ; y = 66, 93 ; σ ( Y) = 6, 54 de cette sére. 5. La covarance cov( X, Y ) est la moyenne arthmétque des produts ( X x)( Y y) ). Donc cx cy cov( X, Y ) = n ( )( ) j X x Yj y = j= cx cy = n ( ) j j X Yj X y x Yj x y = + = cx cy cx cy cx cy cx cy = n X Y y n X x n Y + x y n cx cy = n j X Y j j x y x y x y = + = cx cy = n j j X Yj x y = = = j= j j = j= j = j= j j = j= j 6 ème année 2 ème parte - Statstque à deux varables otes générales p.3

4 Il sera plus smple d utlser la formule : cov( X, Y cx cy ) = n j ( X x )( Y y j ) = j= La recherche de la covarance peut se fare grâce à la calculatrce et au moyen d un tableau du genre de celu de la page 5. Il est nécessare cependant que la calculatrce possède au mons tros mémores. Les résultats ntermédares seront néanmons complqués et la précson rsque de s en ressentr. C est pourquo, l sera, à notre avs, plus smple d utlser la formule : cov( X cx cy, Y ) = n X Y xy = j= j j cov( X, Y ) = [ n XY + n2 XY2 + n3 XY n X Y + n X Y + n X Y n X Y + n X Y + n X Y n X Y + n X Y + n X Y ] x y que nous accepterons sans démonstraton. ous allons llustrer ce procédé par la recherche de la covarance de la sére donnée page 2. Le tableau qu sut donne les valeurs des dfférents termes nj X Yj comprs dans les crochets de la formule c-dessus. Dans la lgne et la colonne «totaux», on trouve des sommes partelles, tands, qu à l ntersecton de ces deux rangées, on trouve la valeur de la somme comprse entre ces crochets. On obtent donc : cov ( X, Y ) = 65, 04 66, 93 = 40, ème année 2 ème parte - Statstque à deux varables otes générales p.4

5 Y Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y 8 Y 9 Y 0 Y Y 2 Y 3 Totaux X X X X X X X X X X Totaux ème année 2 ème parte - Statstque à deux varables otes générales p.5

6 6. Le coeffcent de corrélaton lnéare est le nombre cov( X, Y) r = σ ( X ) σ ( Y ) Dans l exercce qu précède, on obtent : 40,35 r = = 0,7 8,7 6,54.B : On dt qu l y a forte corrélaton s et seulement s 0,87 r. On démontre que r. E. Dagramme Dans un système d axes rectangulares, portons en abscsse la talle des élèves et en ordonnée leurs pods. ous obtenons ans un nuage de ponts. Pods des élèves Talles des élèves Remarque Certans auteurs lassent le dagramme tel qu l est présenté c-dessus. D autres préfèrent ndquer entre parenthèses, à côté de chaque pont l effectf correspondant. D autres, enfn, suggèrent une représentaton graphque, à tros dmensons, comme, par exemple, celle de la page suvante : 6 ème année 2 ème parte - Statstque à deux varables otes générales p.6

7 F. Détermnaton de la drote ajustée par la méthode graphque Il sufft de tracer une drote qu traverse le nuage de ponts de telle manère que de chaque côté de la drote, l y at, compte tenu des effectfs, à peu près le même nombre de ponts. La précson des résultats dépend de l opérateur. Un peu d habtude donne cependant des résultats très acceptables. On peut obtenr, au moyen de l ordnateur, une drote du genre de celle tracée c-dessous. Pods des élèves Drote de régresson Talle des élèves 6 ème année 2 ème parte - Statstque à deux varables otes générales p.7

8 G. Méthode des moyennes dscontnues (Méthode de Mayer). Défnton Le centre de gravté ou pont moyen d un ensemble de ponts est le pont dont l abscsse est la moyenne arthmétque des abscsses des ponts donnés et dont l ordonnée est la moyenne arthmétque des ordonnées des ponts donnés, compte tenu des effectfs. Exemple Le pont moyen de l ensemble des ponts formant le nuage dessné à la page précédente est le pont de coordonnées b65, 04; 66, 93g. En effet, nous avons vu que x = 65, 04 ; y = 66, La méthode consste à : dvser le nuage en deux ensembles de ponts d effectfs à peu près égaux. Le plus smple est d effectuer cette dvson en tenant compte sot des abscsses, sot des ordonnées. Dans l exemple chos, l effectf total est 57. Les deux ensembles devront comprendre envron 750 éléments. On pourra donc procéder d une des deux manères suvantes : Selon X : er ensemble : les 7 premères classes (suvant les abscsses). Effectf : e ensemble : les autres classes. Effectf : 687 Selon Y : er ensemble : les 5 premères classes (suvant les ordonnées). Effectf : e ensemble : le reste. Effectf : 929 On recherche les centres de gravté de chacun de ces ensembles : Selon X : er ensemble : (59,43 ; 63,23) ; 2 e ensemble : (7,82 ; 7,4). Selon Y : er ensemble : (59,0 ; 60,53) ; 2 e ensemble : (68,86 ; 70,99). 6 ème année 2 ème parte - Statstque à deux varables otes générales p.8

9 Il ne reste plus mantenant qu à écrre l équaton de la drote jognant les deux centres de gravté ; cette drote est la drote de régresson cherchée. ormalement, elle dot passer par le pont moyen du nuage de ponts. On a : Rappelons la formule générale de l équaton de la drote passant par deux ponts : x, y et x, y : b 0 0g b g y y0 y y0 = ( x x0 ). x x 0 Selon X : 7, 4 63,23 y 63, 23 = ( x 59, 43) 7,82 59, 43 ou : y = 0,66x 42,03 Selon Y : 70,99 60,53 y 60, 53 = ( x 59, 0). 68,86 59, 0 ou : y =, 06x 08,33 On trouve deux drotes de régresson suvant que l on a créé les deux ensembles de ponts au départ des abscsses ou au départ des ordonnées. Remarques Vérfons s le centre de gravté x, y ous avons calculé plus haut que x = 65, 04 et y = 66, 93. b g du nuage appartent effectvement aux drotes de régresson. On obtent,06 65,04 08,33 = 66,6 et le pont de coordonnées x, y à cette drote de régresson (compte tenu des approxmatons). De même : 0, 66 65, 04 42, 03 = 66,90 et la même concluson s mpose. b g appartent effectvement H. Méthode des mondres carrés Comme dans la méthode précédente, nous trouverons deux drotes des mondres carrés. ous nous contenterons de donner leurs équatons sans les démontrer. On a cov( X, Y ) y y = ( x x ) σ ²( X ) et cov( X, Y ) x x = ( y y) σ ²( Y ). ous avons vu que ( ) cov X, Y = 40,35 ; σ ( X ) = 8, 7 ; σ ( Y ) = 6,54 ; x = 65, 04 ; y = 66,93 Il en résulte que : cov( X, Y ) = 0,53 et σ ²( X ) cov( X, Y ) = 0,94 σ ²( Y ) 6 ème année 2 ème parte - Statstque à deux varables otes générales p.9

10 Les équatons des drotes des mondres carrés s écrvent respectvement : y = 0,53x 20,85 et x = 0,94y + 0, 9 ou y =, 06x 08, 0 2. La dstance d d un pont A à une drote a parallèlement à OY est la dfférence entre l ordonnée de ce pont et l ordonnée du pont d ntersecton de cette drote et de la parallèle à OY passant par ce pont. S : on recherche les dstances parallèlement à OY de tous les ponts du nuage à une drote d, on élève chacune de ces dstances au carré, on fat la somme de tous ces carrés, compte tenu des effectfs 2 2 on obtent un nombre égal à c r hσ ( Y). Ce nombre est mnmum quand d est la premère drote de régresson. Telle est la sgnfcaton de l expresson «mondres carrés». De même s l on travalle parallèlement à OX, la somme obtenue est mnmum quand d est la deuxème drote de régresson. 2 2 Elle vaut alors c r hσ ( X ). La melleure régresson est donnée par la varable présentant l écart-type le plus fable, dans ce cas-c σ ( Y ) < σ ( X ) la drote obtenue par l équaton selon Y offre la melleure régresson. I. Corrélaton cov( X, Y ) cov( X, Y ). Les coeffcents a = et a' = sont lés par la relaton aa'= r 2. σ ²( X ) σ ²( Y) Il en résulte que les drotes des mondres carrés sont toutes deux crossantes ou toutes deux décrossantes. En effet a et a sont leurs coeffcents angulares et sont de même sgne. Dans notre exemple, aa ' = 0,53 0,94 = 0,5 et r = 0,7 2. Il est possble de démontrer que r. Dès lors, 0 aa '. 3. S r 2 =, alors aa'= et les deux drotes des mondres carrés ont même coeffcent angulare et sont confondues. Les expressons r 2 σ 2 ( Y) et r 2 σ 2 ( X ) sont nulles, ce qu a leu sous la condton c h c h nécessare et suffsante que toutes les dstances consdérées plus haut soent nulles, c est-à-dre que tous les ponts soent algnés et appartennent aux deux drotes de régresson confondues. 4. La corrélaton est forte s et seulement s 0,87 r. Dans ce cas, le nuage est très allongé. 6 ème année 2 ème parte - Statstque à deux varables otes générales p.0