Cours et exercices de PHYSIQUE :

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1 Cours et exercces de PHYSIQUE : Électrcté. Ingéneur CESI Préparaton aux tests de sélecton. Stéphane Vctor. [email protected] - -

2 Programme de physque. Électrcté. Chaptre : Les composants passfs. - Smplfcaton de schémas comportant des composants passfs (résstances, condensateurs, nductances) en sére et en parallèle. L - Calcul de résstance à partr de la formule : = ρ. S S - Calcul de la capacté d un condensateur plan, par la formule : C = ε. e - Calcul de la valeur d une nductance, la formule de calcul étant donnée. - Untés : Ohm, Farad, Henry, Joule. dw - Los fondamentales des composants passfs : U = I, P =, P = UI, W = CV, dt di U = L,W = LI. dt Chaptre : Electrocnétque. - Courant et tenson, pussance. - Untés : ampère, volt, watt. - Générateur de tenson et de courant ; récepteurs. - Los de l électrocnétque : Lo de Joule, Lo d Ohm, Los de Krchhoff (nœuds et malles), Théorème de superposton, Théorème de Mllman, ègle du dvseur de potentel. NOT : les théorèmes de Thévenn et Norton ne sont pas au programme. - Utlsaton pour le calcul de tensons et de courants dans un crcut électrque. Chaptre 3 : égme transtores. - charge et décharge d un condensateur à travers une résstance : Etablssement de l équaton dfférentelle, ésoluton, Constante de temps : défnton, détermnaton graphque. - Crcut (L,C) et (, L, C). Etude qualtatve unquement. Chaptre 4 : égme alternatf snusoïdal - Crcut (, L, C) sére en régme alternatf snusoïdal (étude par la constructon de Fresnel et en notaton complexe) Impédance, ésonance en ntensté, ande passante, Stéphane Vctor. [email protected] - -

3 Facteur de qualté. - Pussance moyenne Défnton, Facteur de pussance. Mécanque Chaptre 5 : Statque - Forces, moments de forces, - Equatons à l équlbre - Noton de frottement. Chaptre 6 : Cnématque - Vecteurs poston, vtesse et accélératon en coordonnées cartésennes. - Mouvements rectlgnes unforme et unformément accéléré. Chaptre 7 : Dynamque - Noton de référentel galléen - elaton fondamentale de la dynamque pour les systèmes en translaton, dans un référentel galléen. - pplcatons, notamment à la chute lbre. Chaptre 8 : Energétque - Traval, pussance, - Energe cnétque de translaton, - Energe potentelle de pesanteur, - Energe mécanque. - Théorème de l énerge cnétque. Stéphane Vctor. [email protected] - 3 -

4 épartton des séances : Programme PFI Mars 005. Séance Séance Séance 3 Séance 4 Séance 5 Séance 6 Séance 7 Séance 8 Séance 9 Séance 0 Thème Thème Thème 3 Grandeurs et untés Statque - Grandeurs, untés - Équatons aux dmensons Cnématque - Mouvement rectlgne unforme et unformément accéléré Énergétque - Energe cnétque de translaton - Traval et pussance, - Energe potentelle de pesanteur, - Energe mécanque. - Théorème de l énerge cnétque. Electrcté - Noton de résstance, de condensateur, d nductance. Dynamque - Systèmes en translaton, - PFD, - pplcaton à la chute lbre. Electrocnétque - Lo d Ohm - ègle du dvseur de potentel - Los de Krchoff - Théorème de superposton - Electrocnétque - Théorème de Mllman égme transtore égme alternatf snusoïdal Etude qualtatve des crcuts - Grandeurs alternatves du er et du nd ordre en régme - Crcut LC sére! transtore (C, L, LC, LC). - Dagramme de Fresnel égme alternatf snusoïdal - Crcut en notaton complexe Test blanc Corrgé pprofondssements : partr des sujets demandés par les élèves. Stéphane Vctor. [email protected] - 4 -

5 Table des matères. COUS LES COMPOSNTS PSSIFS ELECTOCINETIQUE....3 EGIME TNSITOIE COUNT SINUSOÏDL... 9 ÉNONCES DES EXECICES QUESTION SU LES OISEUX COUNT ET CHGE CPCITES EQUIVLENTES QUESTIONS SU LES CONDENSTEUS EFLEXION SU LES CPCITES PUISSNCE DISSIPEE DNS UNE ESISTNCE LUMINOSITE D UNE MPOULE ESISTNCE ET SECTION ESISTNCE ET ESISTIVITE ESISTNCE DU CUIVE ESISTNCE DU PLTINE ESISTNCE D UN TONC DE CONE ESISTNCE D UN MILIEU ENTE DEUX HEMISPHEES PUISSNCE DISSIPEE CCUMULTEU CHGE D UN CCUMULTEU ESISTNCE EQUIVLENTE EDUCTION DE L ESISTNCE ESISTNCE EQUIVLENTE UX ONES DE ESISTNCE EQUIVLENTE () ESISTNCE EQUIVLENTE UNE SSOCITION EN SEIE ESISTNCE EQUIVLENTE UNE SSOCITION EN DEIVTION ESISTNCE EQUIVLENTE (3) ESISTNCE EQUIVLENTE (4) CLCULS DE GNDEUS : I, U? CLCULS DE GNDEUS : I, U? SUITE GLVNOMETE MESUE D UNE ESISTNCE CONDENSTEU PLN DIELECTIQUE CHGE D UN CONDENSTEU, CICUIT C CLCULS DES ENEGIES DE DIPOLES PSSIFS ILN ENEGETIQUE DE CHGE D UN CONDENSTEU EPONSE D UN CICUIT,L UN ECHELON DE TENSION ETLISSEMENT ET UPTUE D UN COUNT EPONSE D UN CICUIT,L,C UN ECHELON DE TENSION CICUIT L,C PLLELE SOUMIS UN ECHELON DE COUNT C 004 ÎLE DE L EUNION, EXECICE: QUELQUES USGES DES CONDENSTEUS NTILLES 005 EXECICE N 3 : SONDE THEMIQUE (4 POINTS) NTILLES ; EXECICE : OINE INDUCTNCE EGLLE C JUIN 005 : MODELISTION D'UNE LME : 4 PTS POLYNESIE 006 : EXECICE : ESISTNCE D UNE OINE EELLE COUNT INDEPENDNT DU TEMPS CICUIT EQUIVLENT ESISTNCE EQUIVLENTE UX ONES D UN DIPOLE VLEUS LGEIQUES DE I ET E PPLICTION DU THEOEME DE SUPEPOSITION Stéphane Vctor. [email protected] - 5 -

6 .47 EPESENTTION MTICIELLE ESISTNCE EQUIVLENTE D UN MILLGE TNSFOMTION DE KENELLY VES LE PONT DE WHETSTONE LOIS DE KICHHOFF ET METHODE MTICIELLE PPLICTION DES THEOEMES DE THEVENIN ET NOTON PONT DE WHETSTONE COUNT CICULNT DNS UNE NCHE PONT DE MNCE COUNT CICULNT DNS UNE NCHE CLCUL D IMPEDNCES COMPLEXES CICUIT LC EN SEIE SCHEM EQUIVLENT CLCULS DE GNDEUS EFFICCES VITION DE L PULSTION OPTIMISTION DE P QUDTUE DE PHSE ÉGLITE DES TENSIONS PONT DE WHETSTONE COMPLEXE DIFFEENTES EXPESSIONS DE L PUISSNCE METHODE DES TOIS MPEEMETES METHODE DES TOIS VOLTMETES SOLUTIONS DES EXECICES QUESTION SU LES OISEUX COUNT ET CHGE CPCITES EQUIVLENTES QUESTIONS SU LES CONDENSTEUS EFLEXION SU LES CPCITES PUISSNCE DISSIPEE DNS UNE ESISTNCE LUMINOSITE D UNE MPOULE ESISTNCE ET SECTION ESISTNCE ET ESISTIVITE ESISTNCE DU CUIVE ESISTNCE DU PLTINE ESISTNCE D UN TONC DE CONE ESISTNCE D UN MILIEU ENTE DEUX HEMISPHEES PUISSNCE DISSIPEE CCUMULTEU CHGE D UN CCUMULTEU ESISTNCE EQUIVLENTE EDUCTION DE L ESISTNCE ESISTNCE EQUIVLENTE ESISTNCE EQUIVLENTE () ESISTNCE EQUIVLENTE UNE SSOCITION EN SEIE ESISTNCE EQUIVLENTE UNE SSOCITION EN DEIVTION ESISTNCE EQUIVLENTE (3) ESISTNCE EQUIVLENTE (4) CLCULS DE GNDEUS : I, U? CLCUL DE GNDEUS : I, U? SUITE GLVNOMETE MESUE D UNE ESISTNCE CONDENSTEU PLN DIELECTIQUE CHGEMENT D UN CONDENSTEU CLCULS DES ENEGIES DE DIPOLES PSSIFS ILN ENEGETIQUE DE CHGE D UN CONDENSTEU EPONSE D UN CICUIT,L UN ECHELON DE TENSION ETLISSEMENT ET UPTUE D UN COUNT EPONSE D UN CICUIT,L,C UN ECHELON DE TENSION CICUIT L,C PLLELE SOUMIS UN ECHELON DE COUNT Stéphane Vctor. [email protected] - 6 -

7 3.37 SUJET C 004 EUNION ; EXECICE : QUELQUES USGES DES CONDENSTEUS NTILLES 005 : EXECICE N 3 : SONDE THEMIQUE NTILLES ; EXECICE : OINE INDUCTNCE EGLLE C 005 : MODELISTION D UNE LME POLYNESIE EXECICE N : ESISTNCE D UNE OINE EELLE COUNT INDEPENDNT DU TEMPS CICUIT EQUIVLENT ESISTNCE EQUIVLENTE UX ONES D UN DIPOLE VLEUS LGEIQUES DE I ET E PPLICTION DU THEOEME DE SUPEPOSITION EPESENTTION MTICIELLE ESISTNCE EQUIVLENTE D UN MILLGE TNSFOMTION DE KENELLY VES LE PONT DE WHETSTONE LOIS DE KICHHOFF ET METHODE MTICIELLE PPLICTION DES THEOEMES DE THEVENIN ET NOTON PONT DE WHETSTONE COUNT CICULNT DNS UNE NCHE PONT DE MNCE COUNT CICULNT DNS UNE NCHE CLCUL D IMPEDNCES COMPLEXES CICUIT LC EN SEIE SCHEM EQUIVLENT CLCULS DE GNDEUS EFFICCES VITION DE L PULSTION OPTIMISTION DE P QUDTUE DE PHSE ÉGLITE DES TENSIONS PONT DE WHETSTONE COMPLEXE DIFFEENTES EXPESSIONS DE L PUISSNCE METHODE DES TOIS MPEEMETES METHODE DES TOIS VOLTMETES... 4 Stéphane Vctor. [email protected] - 7 -

8 Cours.. Les composants passfs... Dpôle électrocnétque On appelle dpôle électrocnétque tout système relé à l'extéreur par deux conducteurs unquement. Le comportement d'un dpôle est caractérsé par deux grandeurs électrques duales : la tenson et le courant. La tenson aux bornes d'un dpôle représente la dfférence de potentel u(t) entre les deux bornes du dpôle. La tenson s'exprme en Volt (V). Dpôle u = V - V Le courant traversant un dpôle correspond au déplacement de charges électrques sous l'effet du champ électrque ndut par la dfférence de potentel aux bornes du dpôle. tout nstant le courant entrant par une borne d'un dpôle est égal au courant sortant par l'autre borne. L'ntensté (t) de ce courant mesure le débt des charges électrques qu traversent une secton de conducteur : ( ) dq ( t) t =. dt L'ntensté s'exprme en mpère (). Le courant électrque est une grandeur orentée. Conventonnellement le sens postf correspond au sens de déplacement des charges postves (sens contrare au déplacement des électrons de charge négatve). On a (t) = (t) = (t). Il exste deux possbltés pour le chox des sens conventonnels de la tenson et du courant. Selon que u et sont de même sens ou non nous avons : Dpôle u Conventon Générateur Dpôle u Conventon écepteur En régme statonnare, ndépendant du temps, l exste une relaton entre l'ntensté traversant le dpôle et la tenson u entre ses bornes. Cette relaton peut éventuellement fare ntervenr des paramètres extéreurs (température, éclarement, champ magnétque, etc ). Stéphane Vctor. [email protected] - 8 -

9 Cette relaton peut se mettre sous la forme = (u) ou u = u(). Les graphes obtenus sont appelés caractérstques statques : = (u) : caractérstque statque courant-tenson du dpôle, u = u() : caractérstque statque tenson-courant du dpôle. Un dpôle est passf s son ntensté de court-crcut et sa tenson en crcut ouvert sont nulles : ses caractérstques statques passent par l'orgne. Il est dt actf dans le cas contrare. Un dpôle est lnéare s : (αu +βu ) = α (u )+β (u ) ou u(α +β ) = α u( )+β u( )... Pussance électrque reçue par un dpôle. Le traval lé au déplacement d un électron soums à une dfférence de potentel dv est donné par la relaton : dwe = Fe dl = ee dl = e dv. Pour un ensemble de charge q, on a la relaton dfférentelle : dwq = q dv. Consdérons un dpôle parcouru par un courant crculant de vers. Pendant un ntervalle de temps t, une charge q = t "entre" en et "sort" en avec une énerge. ( ) dw = V V dt = Pdt et par conséquent : ( ) P = V V. Dans la conventon récepteur la quantté P(t) = u(t) (t) représente la pussance électrque nstantanée reçue par le dpôle. écproquement dans la conventon générateur elle représente la pussance délvrée au reste du crcut par le dpôle...3 Los de Krchhoff. Un crcut ou réseau est un ensemble de conducteurs relés entre eux et contenant en générale des générateurs, des récepteurs et des résstances. Un nœud est un pont du réseau où sont connectés plus de deux conducteurs. Une branche est une porton de réseaux stuée entre deux nœuds. Une malle est un ensemble de branche formant un crcut fermé, qu ne passe qu une fos par un nœud donné. Stéphane Vctor. [email protected] - 9 -

10 ..3. Lo des noeuds : En tout noeud d'un crcut, et à tout nstant, la somme des courants qu arrvent est égale à la somme des courants qu sortent. Il s'agt d'une conséquence de la conservaton de la charge électrque. () 3 (3) (4) () 4 La somme des ntenstés entrantes est égale à celle des ntenstés sortantes. Sur l exemple : + = La lo des noeuds peut encore s'écrre sous la forme suvante : En tout noeud d'un réseau la somme algébrque des courants est nulle :..3. Lo des malles. k = 0. k C D Une malle est un crcut fermé prs dans le réseau. S l on chost un sens de parcours sur la malle, la somme de toutes les dfférences de potentel est nulle lorsqu un tour complet a été effectué. Cec se tradut mathématquement par la relaton suvante : r ε e = 0. ε vaut + ou - selon le sens du courant et la nature du dpôle. Pour applquer les los de Krchhoff, on procède de la manère suvante : Sur chaque branche, on adopte un sens postf de mesure pour le courant, le plus vrasemblable, et une valeur algébrque du courant. On écrt les los relatves aux nœuds. On écrt ensute la lo relatve aux malles pour le nombre convenable de malles ndépendantes en prenant sur chaque malle un sens de parcours arbtrare. On obtent un système d équatons lnéares permettant de calculer toutes les ntenstés algébrques nconnues. emarque sur les los de Krchhoff. L emplo des los de Krchhoff est asé et systématque. Celles-c présentent l avantage de fournr toutes les ntenstés dans les branches concernées. Ce derner avantage peut, du reste, Stéphane Vctor. [email protected] - 0 -

11 consttuer un nconvénent : en effet, pour un réseau un peu complqué, les calculs seront très lourds et on rsque de s encombrer dans ceux-c d ntenstés non recherchées et ne présentant pas d ntérêt...4 ssocaton de dpôles. On dstngue deux types d'assocaton de dpôles. Les dpôles peuvent être connectés en sére, ls sont alors tous traversés par la même ntensté. Ils peuvent être connectés en parallèle, ls sont alors tous soums à la même tenson...4. ssocaton en sére. u u u 3 u 4 u n u Chaque dpôle est traversé par la même ntensté et la tenson aux bornes du dpôle équvalent est égale à la somme des tensons partelles : = n ( ) ( ) u t u t. k= k..4. ssocaton en parallèle. 3 Les dpôles sont soums à la même tenson. Le courant total qu traverse l'ensemble des dpôles est égal à la somme des courants ndvduels : = n ( ) ( ) t t. k= k n u..5 ésstance et los d Ohm...5. Los d Ohm. Un dpôle passf est un ensemble de deux conducteurs possédant deux bornes et pour lequel l y a smplement transformaton d énerge électrque en énerge calorfque. On les appelle résstances. Le passage du courant dans un conducteur électrque est produt par des électrons mobles. Ceux-c sont soums à deux forces : Stéphane Vctor. [email protected] - -

12 - La force électrque F e = ee. - Une force de frenage F = λv, v étant la vtesse des électrons mobles. Cette force est due aux dfférents chocs des électrons sur les ons fxes du réseau crstalln du métal. En régme permanent, le vecteur vtesse d un électron donné est constant et donc : F e + F = 0, sot : e v = E. λ La densté de courant est j = ρ v, ρ étant la densté volumque de charges mobles, donc d électrons mobles. S N est le nombre d électrons mobles par unté de volume : ρ = - N e, donc : Ne j = N e v sot : j = E. λ On pose : Ne γ =, conductvté électrque du matérau, donc : λ j = γ E. Cette expresson est dte forme locale de la lo d Ohm. Dans le système nternatonal, γ s exprme en semens par mètre (S.m - )...5. ésstance d un conducteur. Consdérons un conducteur d extrémtés et parcouru par un courant d ntensté I : I = j n ds. S Par alleurs, V et V étant les potentels du conducteur en et : V V = E dl. S l on multple E par un scalare quelconque k, V - V est multplée par k, j est multplé V V par k, l en est de même de I, et par sute, le rapport est nchangé. I V V Par défnton, on appelle résstance du conducteur ohmque la quantté : =. I utrement écrt : u ( t) = ( t ). Le rasonnement précédent montre que la résstance du conducteur ne dépend que du matérau et de la géométre du conducteur. Stéphane Vctor. [email protected] - -

13 La résstance s écrt : = S E dl. γ E n ds Le symbole d une résstance est : s exprme en Ohm : Ω. γ s exprme en semens par mètre : S.m -. On utlse auss la résstvté du matérau défne par : ρ = γ qu s exprme en Ω.m ésstance d un conducteur flforme de secton constante. Un conducteur est dt flforme lorsque ses dmensons transversales sont fables devant sa longueur. Les lgnes de champs sont alors parallèles aux génératrces du fl. Sot L sa longueur et sot S sa secton drote : V V I I V V E = et J = = γ E d où : = γ. On en dédut : L S S L V V L L = = = ρ. I γ S S Cette formule peut être généralsée à des conducteurs quelconques ésstvté. Sans entrer dans les détals, la résstvté est foncton du matérau, ctons par exemple : g : ρ =,6 0-8 Ω.m. Quartz fondu : ρ = 0 6 Ω.m. Conducteurs : 0-7 Ω.m. Isolants : 0 5 Ω.m. Sem-conducteurs : 0 4 Ω.m à 0 6 Ω.m. La résstvté peut dépendre de la température, du champ magnétque extéreur, de la quantté de lumère à laquelle le matérau est exposé Lo de Joule. Nous avons deux manères de l évaluer. La premère consste à utlser l expresson de la pussance reçue par un dpôle : Stéphane Vctor. [email protected] - 3 -

14 P = u. Pusque u = alors : u P = u = =. Seconde méthode : evenons au conducteur précédent et calculons les travaux pendant un ntervalle de temps dt où l électron se déplace de dl des forces électrque et de frenage : dw = F dl = ee dl = e dv et dw = λv dl = λv dt. Par applcaton du théorème de e e l énerge cnétque, on a : dwe + dwf = Ec = 0 sot : f e dv = λ v dt. Le traval dwf est perdu sous forme de chaleur dans le conducteur. Cette perte de chaleur consttue l effet Joule. Sot N le nombre de porteurs par unté de volume. Le traval (par unté de volume) perdu par effet Joule correspond évdemment : dw N dwf N v dt = = λ. Par unté de temps, ce traval (par unté de volume) correspond à une pussance (par unté de volume) dsspée sous forme de chaleur : dw P = = Nλ v, dt Ne e or γ = et v = E ; donc : λ λ P = γe P = ρj. Ces relatons consttuent la forme locale de la lo de Joule. Consdérons un tube de champ élémentare d are ds de longueur dl. La pussance dp dsspée sous forme d effet de Joule par cet élément de volume est : dp = P ds n dl, n étant le vecteur untare de la normale à ds, dl étant un vecteur élémentare compté sur une lgne de champ, sot : = γ = γ = dp E ds n dl E n ds E dl (di)( dv) Par ntégraton sur L et S, on obtent : ( ). ( V V ) P = I V V = I =. On retrouve le même résultat qu avec la premère méthode. Stéphane Vctor. [email protected] - 4 -

15 L énerge dsspée sous forme d effet Joule dans le conducteur est telle que : dw = P dt pendant un temps nfntésmal dt : dw = I dt. Le courant étant supposé d ntensté constante, pendant un temps fn τ : W = I τ ssocaton de résstances Groupement en sére : Consdérons 3 résstances,, 3 montées en sére.. Dans ces condtons, les résstances sont traversées par le même courant. On peut écrre la lo d Ohm aux bornes de chaque résstance : I C D 3 V VC = I VC VD = I V V = ( ) I = I, en appelant la résstance équvalente VD V = 3I qu placée entre et, soumse à la même dfférence de potentel, est traversée par le même courant. On en dédut : = + + et on généralse asément : 3 sére = Groupement en parallèle : Consdérons 3 résstances,, 3 montées en parallèle. Dans ces condtons, les résstances sont soumses à la même dfférence de potentel mas sont traversées par des courants d ntenstés dfférentes. Premère Méthode : Les pussances dsspées par effet Joule dans chacune des résstances sont donc : ( V V ) ( V V ) ( V V ) P =,P =,P =, 3 3 La pussance totale dsspée par le groupement sera donc : ( V V ) I I I P = ( V V ) + + =, par dentfcaton : 3 = + + d où l on généralse : 3 I 3 3 Stéphane Vctor. [email protected] - 5 -

16 = //. Deuxème méthode : Sot I, I et I 3 les ntenstés traversant les dfférentes résstances et I l ntensté totale : I = I + I + I 3. Or V V = I = I = 3 I 3 = I, sot : V V V V V V V V I = ;I = ;I = ;I =. 3 3 On a donc : V V V V V V V V I = I + I + I3 = + + = ( V V ) + + =. 3 = //...6 Sources de tenson et de courant...6. Sources de tensons déales et réelles. Un générateur de tenson déal délvre une tenson ndépendante du courant débté : V -V = e = cte ". Cette tenson est la forme électromotrce (f.e.m) du générateur. u + - e u = e. e La résstance nterne d'un générateur de tenson déal est nulle, ce qu n'est généralement pas le cas pour un générateur réel. Un générateur réel est modélsé par un générateur déal en sére avec sa résstance nterne. En conventon générateur, la caractérstque statque tensoncourant du générateur de tenson réel devent : u = e r. La résstance nterne ndut une chute de tenson. Stéphane Vctor. [email protected] - 6 -

17 + - e r u u e u = e - r..6. Sources de courant déales et réelles. Un générateur de courant déal débte un courant dont l'ntensté est ndépendante de la tenson aux bornes du générateur : = S = cte. La résstance nterne d'une source de courant déale est nfne. Pour un générateur réel on tent compte de sa résstance nterne, en le modélsant par une source déale de courant en parallèle avec sa résstance nterne r. En conventon générateur, la caractérstque statque u courant-tenson du générateur de courant réel est donc : = S. r S u u Source déale de courant. S = S u r u Source réelle de courant. u = S r Stéphane Vctor. [email protected] - 7 -

18 ..7 Le condensateur...7. Défnton. Un condensateur est un dpôle qu emmagasne une charge électrque q proportonnelle à la tenson qu lu est applquée : q(t) = C u(t) = C (V (t)- V (t)). La charge q est portée par l armature. Symbole d un condensateur : q -q u Le coeffcent de proportonnalté C est appelé capacté du condensateur. L'unté est le Farad noté F...7. Capacté d un condensateur. La capacté C d un condensateur dépend de sa forme, de sa composton. Dans le cas «classque», l est composé de deux plaques conductrces dsposées face à face, séparées par un solant (délectrque). S les deux plaques sont planes de surface S, dstante de d et séparées par un délectrque de permttvté relatve ε r, alors la capacté est donnée par l expresson : S C = ε0ε r. d ε 0 est la permttvté du vde et est donnée par l expresson : ε r dépend du délectrque. 4πε 0 = SI. Délectrque Permttvté relatve lumne 4.5 à 8.5 r Mca 6 à 9 Verre 5 à Plastque à 5 Céramque 5 à Pussance et énerge d un condensateur. Stéphane Vctor. [email protected] - 8 -

19 D'autre part la varaton par unté de temps de la charge q est égale à l'ntensté du courant traversant le condensateur : ( ) du ( t) dq t ( t) = = C. dt dt La charge et donc la tenson d'un condensateur ne peuvent pas varer de manère nfnment rapde. La charge et la tenson d'un condensateur sont donc toujours des fonctons contnues par rapport au temps. Cette caractérstque est utle pour la détermnaton de condtons ntales. La pussance nstantanée reçue par un condensateur peut s'écrre : ( ) d u t p( t) = u ( t) ( t) = C. dt L énerge reçue par le condensateur pendant un ntervalle de temps t s écrt : 0 ( t) t ( ) ( ) ( ) ( ) q W = p x dx = Cu t = q t u t =. C..7.4 Groupements de condensateurs. Lorsqu on dspose de pluseurs conducteurs, on peut les grouper de dfférentes façons : - Sot en sére ; - Sot en parallèle Le groupement en sére : Dans ce type de groupement, l armature nterne de l un des condensateurs est relée à l armature externe du suvant. Pour tros condensateurs, par exemple, en appelant encore les armatures nternes et les armatures externes. Soent C, C, C 3 les capactés des condensateurs. Supposons ces condensateurs ntalement non chargés et cherchons la capacté du condensateur équvalent à ce groupement. C C C 3 M N Q -Q Q -Q Q 3 -Q 3 Etablssons entre M et N une dfférence de potentel V M -V N, C prend une charge Q, C une charge Q et C 3 une charge Q 3. L ensemble étant ntalement neutre, la charge de chacun des conducteurs entourés de pontllés sur la fgure c-dessus reste nulle (snon, l y aurat déplacement de charges). Donc : Stéphane Vctor. [email protected] - 9 -

20 -Q + Q = 0, -Q + Q 3 = 0, d où Q = Q = Q 3. Exprmons la dfférence de potentel entre M et N : Q Q Q 3 VM VN = + + = Q + +. C C C3 C C C3 Le condensateur équvalent sera tel que, placé entre M et N, soums à la dfférence de potentel V M -V N, l prendra la charge Q. Donc, s C est la capacté de ce condensateur équvalent : = + +. C C C C 3 Plus généralement, pour un nombre quelconque de condensateur assocés en sére : =. C C sére Le groupement en parallèle : Dans ce type de groupement, toutes les armatures nternes sont relées ensemble, de même que toutes les armatures externes. Pour tros condensateurs, par exemple, on aura un schéma comme celu de la fgure ccontre. Cette fos, chaque condensateur est soums à la même dfférence de potentel V M -V N. S Q, Q, Q 3 sont les charges des condensateurs, on a donc : M + C C C N - Q Q Q = = = La charge totale prse par le groupement est la somme des charges 3 VM V N. C C C3 prses par chacun des condensateurs, donc : Q = Q + Q + Q 3., sot Q = (C + C + C 3 ) (V M -V N ). Le condensateur équvalent aura une capacté C telle que lorsqu l est soums à la dfférence de potentel V M -V N, l prenne la charge Q : Q = C (V M -V N ). Par dentfcaton, on obtent : C = C + C + C 3. Stéphane Vctor. [email protected] - 0 -

21 Plus généralement, pour un nombre quelconque de condensateurs en parallèle : = C C. //..8 L nductance. La tenson aux bornes d une bobne est donnée par l expresson : d u = L. dt L nductance s exprme en Henry, H. L ntensté traversant une bobne ne peut pas varer de manère nstantanée. L'ntensté dans une bobne est donc une foncton contnue du temps. Cette caractérstque est utle pour la détermnaton de condtons ntales. La pussance reçue par la sefl est donnée par l expresson : ( ) d t p( t) = u ( t) ( t) = L. dt En ntégrant sur un ntervalle de temps t, on obtent l énerge accumulée dans une self :..8. ssocatons de bobnes ssocaton en sére. t W = p( x) dx = L ( t ). 0 L L L 3 L n u u u 3 u n Chaque self est parcourue par le même courant d ntensté et est soumse à une tenson u k : d( t) uk ( t) = Lk dt La tenson aux bornes de l ensemble est égale à la somme des tensons partelles, donc : ( ) ( ) ( ) u d( t) u t = L dt ( ) d( t) n d t n n u t = u t = L = L L = L. k k k k= dt k= dt k= Stéphane Vctor. [email protected] - -

22 En sére, l nductance équvalente est égale à la somme des nductances ssocaton en parallèle. 3 n L L L 3 Chaque self est soumse à la même tenson : n ( ) ( ) k= k ( ) t = t mplque : d ( t) k u t = L k. dt L n u ( ) ( ) ( ) ( ) n n n d t u t dk t u t = = = =. dt L dt L L L k= k= k k= k En parallèle, l nductance équvalente est égale à l nverse de la somme des nverses des nductances.. Electrocnétque... Théorème de superposton.... Prncpe. Les los de Krchhoff condusent à des équatons lnéares vs-à-vs des ntenstés et des forces électromotrces et contre-électromotrces. Lorsqu on tent compte, dans les équatons, de la lo de Krchhoff relatve aux malles, des équatons relatves aux nœuds, on obtent un système de n équatons lnéares à n nconnues (les n ntenstés ndépendantes). Ce système peut s écrre sous la forme matrcelle : () (I) = (E) (I) représente la matrce des ntenstés algébrques nconnues, (E) représente la matrce des forces électromotrces et contre-électromotrces (avec la condton d algébrsaton), () représente la matrce de toutes les résstances. Il est ben évdent que l on peut écrre : (G) (E) = (I) (G) étant la matrce des conductances, avec évdemment (G) () = ().... Théorème. Consdérons un réseau donné dont toutes les résstances sont fxées (y comprs celles des générateurs et des récepteurs) : la matrce des conductances (G) est parfatement connues. Stéphane Vctor. [email protected] - -

23 Imagnons alors que l on applque à ce réseau un système de forces électromotrces et contreélectromotrces caractérsées par la matrce (E ). Il s établt un régme de courants permanents caractérsé par la matrce (I ) telle que : (G) (E ) = (I ). emplaçons ce système par un autre système de forces électromotrces et contreélectromotrces caractérsé par la matrce (E ). Il s établt un régme de courants permanents caractérsé par la matrce (I ) telle que : (G) (E ) = (I ). Supposons mantenant les deux systèmes de forces électromotrces et contre-électromotrces de manère à obtenr un système caractérsé par la matrce (E + E ). Il s établt un régme de courants permanents caractérsé par la matrce (I) telle que : (I) = (G) (E + E ). Du fat de la lnéarté : (I) = (G) (E ) + (G) (E ) donc (I) = (I ) + (I ) Énoncé du théorème : Lorsque, dans un réseau de conducteurs, on superpose pluseurs systèmes de forces électromotrces et contre-électromotrces, l ntensté du courant dans chaque branche est la somme des ntenstés dans cette branche dues à chacun des systèmes agssant seul... Courants fctfs de malles. Le prncpe est le suvant : on magne que chacune des malles d un réseau est parcourue par un courant qu est précsément le courant fctf de malle. Ces courant fctfs parcourent tous des malles forcément ndépendantes. Une fos connus les courants fctfs de malles, on peut détermner les courants réels crculant dans les branches. On ntrodut la représentaton matrcelle sur un exercce : Exercce : eprésentaton matrcelle. Pour ntrodure la représentaton matrcelle, nous allons utlser un réseau smple permettant de ben mettre en évdence les courants de malles. Stéphane Vctor. [email protected] - 3 -

24 On a c tros malles ndépendantes. Nous noterons j, j, j 3 les courants fctfs de malle, parcourant toutes les malles dans le même sens (sens trgonométrque drect ou sens rétrograde, cela mporte peu). On écrt mantenant la lo de Krchhoff pour chaque malle : j j + j j + r j + e = 0 - malle () : ( ) ( ) - malle () : 3 4 ( 3 ) 5 ( ) - malle (3) : ( ) ( ) 5 3 j + j j + j j = 0 j j + j j + j e = Cela s arrange sous la forme matrcelle : r j e j = j 3 e On calcule ensute les ntenstés fctves j, j et j 3. Cec étant fat, on ntrodut les courants réels tels que : I = j 3, I = j, I = -j + j 3, I 3 = j j. e,r e,r j j j 3 5 I 5 I e, I 3 I e, L avantage de la méthode est certan lorsque l on a un réseau très complexe. L écrture de la matrce est mmédate. Par nverson, on peut en dédure la matrce des courants fctfs de malle et, par sute, détermner les seuls courants fctfs ntéressant pour ce que l on cherche. On en dédut alors les courants de branches...3 Théorème de Mllman : Consdérons le crcut suvant : Pour chacune des branches nous pouvons écrre : V V0 = V V0 = V3 V0 = 33 Sot encore : Stéphane Vctor. [email protected] - 4 -

25 V V0 = V V0 = V3 V0 3 = 3 En sommant ces relatons l vent : V V0 V V0 V3 V = Or nous avons : = 0, donc : V V V3 V0 + + = ou V V V V0 = Ce résultat se généralse à un nombre quelconque de branches : Vk GkVk k k k V 0 = =. Gk k k k La tenson au nœud est la moyenne des tensons aux bornes de tous les dpôles pondérée par les conductances respectves...4 Théorème de Thévenn (hors programme). Le théorème de Thévenn permet de modélser des portons de crcut afn de calculer les ntenstés dans des branches détermnées. Consdérons un dpôle actf jouant globalement le rôle de générateur et relons ce dpôle actf à un dpôle quelconque (actf ou passf). dpôle actf I dpôle quelconque Sot U = V V la dfférence de potentel aux bornes du dpôle et sot I l ntensté du courant débté par le dpôle actf dans le dpôle quelconque. ] Débranchons le dpôle quelconque et branchons aux bornes de et du dpôle actf un générateur parfat, c est-à-dre dépourvu de résstance nterne dont la force électromotrce e est précsément la dfférence de potentel V V. Stéphane Vctor. [email protected] - 5 -

26 dpôle actf I e Le dpôle actf se présente alors de la manère suvante : L ntensté I débtée est évdemment nchangée par rapport au cas précédent. On a ans transformé le dpôle actf en réseau fermé par le générateur de force électromotrce e. La branche e n est ren d autre qu une branche de ce réseau. Les los de Krchhoff étant lnéares en I et e : I = Ge + Ge, Ge étant relatf à toutes les autres branches du réseau comportant éventuellement des forces électromotrces et contre-électromotrces. ] Consdérons mantenant le dpôle actf en crcut ouvert. Le courant débté est nul, I = 0. La dfférence de potentel aux bornes de et devent U 0 et l expresson c-dessus de I subsste en fasant e = U 0 et I = 0 : Ge + GU0 = 0. dpôle actf On en dédut : I = Ge GU0, sot pusque e = V V : I = G (V V ) - G U 0. 3] Supprmons mantenant toutes les forces électromotrces du générateur mas en gardant les sources (on dt qu on étent les sources) et applquons aux bornes de et de le générateur de force électromotrce e. Il débte un courant I tel que : e I' =, étant la résstance équvalente du dpôle actf vue de et. fem supprmées I e Or, l expresson précédente de I, I = Ge + Ge, subsste (en fasant e = = e n = 0) : I = Ge, et compte tenu des sens des ntenstés, I = -I, d où : -I = Ge et : e Ge =, sot G =. En reportant dans I = G (V V ) - G U 0, l vent : U0 I = ( V V ) +, sot : ( ) V V = U I. 0 Cette relaton tradut le théorème de Thévenn. Un dpôle actf est équvalent, vu de ses deux bornes, à un générateur de tenson dont la force électromotrce est la dfférence de potentel aux bornes du dpôle en crcut ouvert et dont la Stéphane Vctor. [email protected] - 6 -

27 résstance nterne est la résstance équvalente, vue des deux bornes du dpôle lorsque l on a enlevé toutes les forces électromotrces et en gardant les résstances. U 0 U 0 Ce générateur équvalent est dt générateur de Thévenn. Il faut ben remarquer qu l s agt d une modélsaton du dpôle actf : on remplace ans un crcut complexe à étuder par un crcut qu lu est équvalent, mas seulement vu des bornes et du dpôle...4. Méthodologe : ) Supprmer le dpôle. ) Détermner la tenson aux bornes du dpôle, U 0. 3) Détermner l mpédance équvalente vue depus les bornes lorsque toutes les sources sont étentes, 4) emplacer le crcut par le schéma équvalent c-dessus...5 Théorème de Norton (hors programme). Ce théorème donne une autre modélsaton d un dpôle actf. Schématsons à nouveau le dpôle actf par un générateur de Thévenn et court-crcutons les bornes et. Le dpôle est U 0 traversé par un courant d ntensté I 0 : I 0 I U V V = U I devent : 0 0 =. La relaton ( ) 0 = ( V V ) I I 0. Cette relaton tradut le théorème de Norton : Un dpôle actf est équvalent, vu de ses deux bornes, à un générateur de courant dont le courant prncpal est le courant de court-crcut du dpôle et dont la résstance nterne montée en parallèle est la résstance équvalente vue de deux bornes du dpôle lorsqu on a enlevé toutes les forces électromotrces, cette résstance détournant un courant ( V ) V. I 0 ( V V ) Ce générateur équvalent est dt générateur de Norton. Il faut remarquer qu l s agt là encore d une modélsaton du dpôle actf, au demeurant parfatement équvalente à la précédente. Stéphane Vctor. [email protected] - 7 -

28 ..5. Méthodologe : ) Court-crcutez le dpôle. ) Détermner le courant de court-crcut crculant dans, I 0. 3) Détermner l mpédance équvalente vue depus les bornes lorsque toutes les sources sont étentes, 4) emplacer le crcut par le schéma équvalent c-dessus...5. Exemples d applcaton des théorèmes de Thévenn et de Norton : Proposons nous de calculer au moyen des théorèmes de Thévenn et de Norton l ntensté traversant le dpôle (e,r ). Pour cela, l nous faut modélser le dpôle e. e e r r Modélsaton de Thévenn : - Calcul de U 0 : e =. + r V V =, or V V n est ren d autre que U 0 : e U0 =. + r e r r - Détermnaton de : Vu de et, le dpôle, lorsqu on a supprmé e, se rédut à et r montées en parallèle donc : r =. + r Le crcut étudé est donc équvalent au suvant : Par conséquent : e e U U0 e r e e ( + r ) 0 + e = ou = =, + r r + r r + r ( + r ) r + r sot : ( ) ( ) e e e r =. r + r + rr Modélsaton de Norton : Détermnaton de I 0 : Stéphane Vctor. [email protected] - 8 -

29 e U + r e 0 I 0 = = =. r r + r Le crcut étudé est donc équvalent au suvant : V V = e + r. Par alleurs, d après le théorème de Norton : e I r 0 ( ) ( ) e e e r I =. r + r + r r I ( V V ) e e + r I = I0 sot : I = r r ( + ) e ( + ) r r e r I + = r r r + r, sot :, on en dédut :.3 égme transtore..3. Charge et décharge d un condensateur à travers une résstance. Vor la parte exercce..3. Crcut (L,C) Vor la parte exercce..3.3 Crcut (,L,C) Vor la parte exercce..4 Courant snusoïdal..4. appels sur les fonctons snusoïdales. Sot une foncton de dans : f(t) = F cos (ωt + φ) avec F réel postf. - Calculons la valeur absolue de la foncton : f(t) = F cos (ωt + φ) or cos (ωt + φ) d où l on dédut que f(t) F = F. F est la valeur maxmale de la foncton f(t). - ωt + φ est la phase nstantanée. - ω est la pulsaton propre de la foncton, elle s exprme en rad.s -. - On sat que la foncton cosnus est π-pérodque donc : π cos (ωt + φ) = cos (ωt + φ + π) = cos (ω(t+t) + φ) => ωt = π et T = =. T, la pérode, ω f s exprme en seconde, s, et f, la fréquence, en Hertz, Hz. (Ne pas confondre f et f(t), l une est une fréquence et l autre est la foncton ntrodute). Stéphane Vctor. [email protected] - 9 -

30 fn de ben comprendre la noton de phase, on trace la foncton cos(πt) et la foncton cos(πt + π/) : Le déphasage correspond à une avance ou à un retard d une courbe l une par rapport à l autre. Déphasage entre π td et π t+ π D t - - Valeur moyenne d une foncton snusoïdale : ( ) T T F f t = f ( t ) dt F cos ( t ) dt sn ( t ) T = T ω + φ = ωt ω + φ T, F f ( t) = sn ( T ) sn 0 ωt ω + φ φ = et donc : f t = 0, la valeur moyenne d une foncton snusoïdale est nulle. ( ) f H tl F f H t L sur deux pérode T t - - Valeur effcace d une foncton snusoïdale : T T T F F ( ) = ( ) = ( ω + φ ) = + ( ω + φ), f t f t dt cos t dt cos t dt T T T F F f ( t) = ( T + 0 ) =. T F Feff = f t =. On défnt la valeur effcace : ( ) Stéphane Vctor. [email protected]

31 f H tl F f H t L sur une pérode T t.4. appels sur les nombres complexes..4.. Défnton : L'ensemble des nombres complexes est l'ensemble des nombres qu s'écrvent a + jb avec a et b appartenant à et j² = -, mun des opératons d'addton et de multplcaton ayant les mêmes proprétés que celle de..4.. Nombre j. Nous avons un nouvel ensemble de nombres qu est composé de deux termes d'une somme : celu qu n'est pas multplé par le symbole j et celu qu est multplé par le symbole j, qu'l exste des opératons sur ces nombres, que ces opératons ont les proprétés des opératons sur mas que j est un symbole spécal, quand on le multple par lu-même on a : j² = -. C'est donc ce nombre qu caractérse les nombres complexes. Dans le cas où b = 0 on a : a + 0 = a. Ce qu nous fat dre que l'ensemble des nombres réels est nclus dans les nombres complexes ou que les nombres complexes sont une extenson des nombres réels Parte réelle, parte magnare Dans z = a + jb : a est appelé parte réelle de z qu est notée e(z), b est appelé parte magnare de z qu est notée Im(z). S e(z) = 0 alors z est un magnare pur. S Im(z) = 0 alors z est un réel Module d'un nombre complexe Défnton : Le module d'un nombre complexe est le nombre réel postf ou nul tel que : z ² = a² + b² Proprétés : z = 0 ss z = 0, le module est nul s et seulement s le nombre complexe est nul. z.z' = z. z'. Le module d'un produt est égal au produt des modules. Stéphane Vctor. [email protected] - 3 -

32 z + z' z + z'. Comme le module est une dstance, au même ttre que la valeur absolue des réels dont l est l'équvalent pour les complexes, l "obét" à l'négalté trangulare. C'est ce qu'ndque cette proprété Conjugason complexe Il y a deux nombres dont le carré est - : et -, et ce n'est que de manère arbtrare que nous avons chos et non pas -, l n'empêche que toutes les proprétés vraes pour le sont pour -, d'où l'mportance du nombre complexe a - b. Ce nombre s'appelle conjugué de z et se note z. S z = a + b alors z = a - b La conjugason complexe est très mportante, car toutes les proprétés que z possède, z les possède auss Notatons des nombres complexes Consdérons le repère orthonormé (O,, j ). De part la défnton des nombres complexes que nous avons donnée, nous pouvons repérer, sur l'axe des abscsses, la parte réelle et, sur l'axe des ordonnées, la parte magnare de chaque nombre complexe. Nous pouvons donc fare correspondre à tout nombre complexe le vecteur : W = e z + Im z j ( ) ( ) S z = a + jb, alors nous avons OM = a + bj. Le pont M est unque, on l appelle mage de z. Dans un tel plan, on a OM² = a² + b², d'après le théorème de Pythagore, ce qu reste cohérent avec la noton de module. On peut donc dentfer les ponts du plan, mun d'un tel repère, à l'ensemble des nombres complexes. C'est le plan complexe. Le pont de la fgure c-dessous a pour coordonnées ( ; 0) et le pont (0 ; ). L'axe (O) est l'axe des réels et l'axe (O) celu des magnares purs. On dra axe des réels et axe des magnares. j O θ M chaque pont M du plan complexe, on peut assocer le couple unque : (π)), c'est à dre le couple dstance (OM ; ( O,OM) du pont à l'orgne et l'angle orenté, modulo π, formé entre l'axe des abscsses (réels) et OM. Dans le plan complexe, sot M un pont d'affxe z, (π) est appelé argument de z. On le l'angle ( O,OM) note : arg (z). Sot z un nombre complexe, z = a + b. Notons r le module de z et θ son argument. On a : a = r.cosθ et b = r.snθ d'où z = r.cosθ + r.snθ Et nous pouvons écrre : z = r(cosθ +.snθ) qu est la notaton trgonométrque de z. Stéphane Vctor. [email protected] - 3 -

33 L'addton n'a aucun ntérêt à être fate avec la notaton trgonométrque, au contrare elle complque les choses. Par contre, la multplcaton des nombres complexes écrts sous la forme trgonométrque possède certans avantages. Sot z = r(cosθ+.snθ) et z' = r'(cosθ'+.snθ'), on a : zz' = r(cosθ+.snθ) r'(cosθ'+.snθ') = rr'( cosθ. cosθ' + cosθ..snθ' +.snθ cosθ' - snθ snθ') = rr'( cosθ. cosθ' - snθ snθ' +.(cosθ snθ' + cosθ'snθ)) D'après les formules de trgonométre (snus et cosnus d'une somme), nous avons : zz' = rr'(cos (θ+θ') +.sn (θ+θ')) On en conclut que : pour multpler deux nombres complexes, écrts sous la forme trgonométrque, l faut multpler leurs modules et addtonner leurs arguments. Cec n est pas sans rappeler les proprétés des exponentelles. L'argument d'un nombre complexe se comporte comme un exposant. On convendra de noter z = r(cos θ+.snθ) ans : z = r.e θ. C'est la notaton exponentelle. Dans ce cas le conjugué de z s'écrt : z = r.e -θ. Cette notaton a un gros avantage, elle permet de calculer rapdement les produts, de plus elle donne le module et l'argument du nombre Notaton complexe. À toute grandeur snusoïdale d ampltude a et de phase nstantanée ωt + φ, on fat correspondre un nombre complexe défn par : y(t) = a cos (ωt + φ) ( ) ( t ) j y t = a e ω +φ Ic, nous fasons le chox de la conventon jωt et non l opposée jωt. Le chox de l une ou de l autre dépend de l utlsateur et de la matère consdérée. En électrcté, on utlse généralement la conventon jωt. En théore de la propagaton, on utlse souvent jωt. S l on dérve et ntègre y(t) : d y ( ) ( t ) j a e j ω t+φ = ω = j ω y ( t ), dt j( ω t+φ ) y( t ) dt = a e = y( t ). jω jω ns la dérvée est remplacée par une multplcaton par : jω, d j dt ω. L ntégraton est remplacée par la multplcaton par : jω, dt =. j ω Stéphane Vctor. [email protected]

34 .4.3 Impédance complexe d un dpôle lnéare Défnton : Consdérons un dpôle lnéare : Chosssons u(t) = U cos ωt et (t) = I cos (ωt + φ). Dans ces condtons, jωt j( ω t+φ) u t = U e, t = I e. ( ) ( ) La relaton lnéare entre u ( t ) et ( ) t est : (t) u ( ) = z ( t ) u t z est l mpédance complexe, elle dépend de ω. ns u U = = = où I jφ jφ z e Z e - Le module Z = z est l mpédance. Elle s exprme en Ohms. - L argument φ est le déphasage de u par rapport à. Pour chaque dpôle, on écrt la relaton «courant-tenson» que l on compare à u ( t) z ( t) = ésstance : u = u ( t) = ( t) comparée à u ( t) z ( t) l on dédut : Z =, φ = 0. = donne : j z = = Z e φ, d où Condensateur parfat : u q C C jcω = = ( t) dt u ( t ) = ( t ) = z ( t ) donne : z = jcω d où l on dédut : π Z C =, φ C =. Cω u d L dt Inductance déale : = u ( t) jl ( t) z ( t) = ω = donne : z = jlω d où l on dédut : π ZL = L ω, φ L =. S l on représente les mpédances complexes dans le plan complexe, on a : Stéphane Vctor. [email protected]

35 Lω /Cω.4.4 ssocaton d mpédances complexes ssocatons en sére. u u u 3 u 4 u n z z z 3 z 4 z n u En sére, les tenson s ajoutent : u = u + u + u 3 + u u n ce qu donne : u = u + u + u + u u = z + z + z + z z = z et par conséquence, ( ) 3 4 n 3 4 n l mpédance équvalente est : zsére = z + z + z3 + z z n ssocaton en parallèle. En parallèle, la tenson aux bornes de chaque mpédance est constante, l ntensté totale est la somme des ntenstés dans chaque branche : u u u u u = n = = d où l on dédut : z z z z z 3 n z z = z z z z z // 3 n z 3 z 4 z n u.4.5 Pussance Pussance nstantanée. Sot un dpôle d mpédance z ; à l nstant t, la pussance consommée, en conventon récepteur, est : p(t) = u(t) (t), S u(t) = U cos ωt et (t) = I cos(ωt + φ), la pussance est égale à : Stéphane Vctor. [email protected]

36 p(t) = u(t) (t) = UI cos ωt cos(ωt + φ), ( )( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) p(t) = UI cos ωt cos ωt cos φ sn ωt sn φ, p(t) = UI cos ωt cos φ cos ωt sn ωt sn φ, (( ( )) ( ) ) p(t) = UI + cos ωt cos φ sn ωt sn φ, p(t) = UI( cos φ + cos( ω t + φ) ) Pussance moyenne ou actve. S l on fat la moyenne de l expresson temporelle de la pussance, on obtent, sachant que la valeur moyenne de la foncton cosnus est nulle sur une pérode : P = p(t) = UI cos φ = Ueff Ieff cos φ. P est la pussance actve. U I est la pussance apparente. eff eff cos φ est le facteur de pussance. Exercce : utre expresson de la pussance actve. Montrer que la pussance actve aux bornes d un dpôle d mpédance z = r + jx est Soluton : j t u = U e ω j( t ) et = I e ω +φ sont lés par u = z. On a donc : U = z I Ueff = z Ieff r u = z et cos φ =. On en dédut : 0 = arg ( z) + φ φ = arg ( z ) z r P = Ueff Ieff cos φ = z Ieff = r Ieff. Il est mportant de connaître cette dernère relaton. z P = r I eff Théorème de oucherot. j t Consdérons la tenson u = U e ω et l ntensté du courant * u pussance complexe : p =. * u jωt -j t -jφ ( ω +φ) ( ) p = = U e I e = UIe = UI cos φ jsn φ sot : p = U I cos φ ju I sn φ = P + jp. eff eff eff eff r On retrouve : j( t ) = I e ω +φ. On ntrodut la Stéphane Vctor. [email protected]

37 La pussance actve P = Ueff Ieff cosφ et on ntrodut la pussance réactve : Pr = Ueff Ieff sn φ. Elle s exprme en V, Volt mpère éactf. Consdérons alors les mpédances complexes z k k = à n, montées en sére (le même rasonnement peut être tenu avec un crcut en parallèle). Elles sont traversées par le même courant. Soent v k les dfférences de potentel complexe aux bornes de chaque mpédance. On a évdemment aux bornes de l ensemble : * * v = v sot v = v. k k k k Donc, p k, k = à n, étant les pussances complexes dsspées dans chaque mpédance : p = p, k = à n. k k Pour des mpédances en sére, les pussances complexes s ajoutent par conséquent. En dentfant parte réelle et parte magnare, l vent : P = P r = P k k P, r,k k Or les pussances actves sont postves ou nulles. Les pussances réactves sont postves, négatves ou nulles. On exprme les résultats c-dessus par le théorème de oucherot : La pussance actve consommée dans un réseau almenté en courant snusoïdal est égale à la somme des pussances actves consommées par les apparels du réseau ; la pussance réactve est égale à la somme algébrque des pussances réactves. On retendra donc que : u = U cos ωt et = I cos (ωt+ φ) P actve = P = ½ U I cos φ. P réactve = Q = ½ U I sn φ. P apparente = S = ½ U I = P + Q = P + P actve réactve Cas des dpôles : ésstance : φ = 0 donc cos φ = et sn φ = 0 P actve = P = ½ U I. P réactve = Q = ½ U I sn φ = 0. P apparente = S = ½ U I = P + Q = P + P = P. actve réactve Capacté C : z = /jcω = -j/cω d où φ = -π/ donc cos φ = 0 et sn φ = -. P actve = P = 0. P réactve = Q = ½ U I sn φ = -U²Cω. P apparente = S = ½ U I = P + Q = P + P = Q. actve réactve Inductance L : z = jlω d où φ = π/ donc cos φ = 0 et sn φ =. P actve = P = 0. P réactve = Q = ½ U I sn φ = = U²/Lω. P apparente = S = ½ U I = P + Q = P + P = Q. actve réactve Stéphane Vctor. [email protected]

38 .4.6 Crcut LC, résonance en ntensté, bande passante, facteur de qualté. Vor l exercce sur le crcut LC. Stéphane Vctor. [email protected]

39 Énoncés des exercces.. Queston sur les oseaux. Pourquo les oseaux ne prennent-ls pas de chocs électrques sur les gros fls?. Courant et charge. Un fl transporte un courant de. Comben d électrons passent par le fl en s? La charge élémentare d un électron est de e = C..3 Capactés équvalentes. partr de condensateurs de capactés µf, consttuer une porton de crcut de capacté équvalente égale à 3 µf, 0,5 µf..4 Questons sur les condensateurs. ) Vra ou faux? a. La tenson aux bornes d un condensateur double quand sa charge double. b. La tenson aux bornes d un condensateur est égale au produt de sa charge par sa capacté. c. Deux condensateurs de même capacté ont toujours la même charge. d. L énerge emmagasnée dans un condensateur est proportonnelle à la tenson à ces bornes. e. Sous une tenson donnée, un condensateur emmagasne d autant plus d énerge que sa capacté est grande. f. La constante de temps d une assocaton C en sére double quand la capacté double. ) Détermner la charge d un condensateur de capacté 0 nf chargé sous une tenson de 0 V. 3) Détermner l énerge emmagasnée dans un condensateur de capacté 0,40 mf chargé sous une tenson de 0 V. 4) L énerge emmagasnée dans un condensateur de capacté de 30 µf est de,5 mj. Quelle est sa charge? Quelle est la tenson à ses bornes? 5) On charge un condensateur de capacté,0 mf ntalement déchargé avec un générateur de courant constant délvrant une ntensté de 4,0 m. Quelle est l énerge emmagasnée dans le condensateur au bout de t = 0,50 s?.5 éflexon sur les capactés. Un condensateur de capacté C est soums à une dfférence de potentel V - V. ) Quelle est l expresson de la charge q de l armature du condensateur? ) Quelle est l expresson de la charge q de l armature du condensateur? 3) Quelle est l expresson de la charge du condensateur? 4) Quelle est l expresson de son énerge électrostatque? Stéphane Vctor. [email protected]

40 .6 Pussance dsspée dans une résstance. ux bornes d un générateur de force électromotrce e et de résstance nterne r, on branche une résstance varable. Détermner la valeur de pour laquelle la pussance perdue par effet Joule dans celle-c est maxmale..7 Lumnosté d une ampoule. La lumnosté d une ampoule augmente avec l ntensté du courant qu la traverse. Pour rédure la lumnosté d une ampoule, dot-on brancher en sére ou en parallèle une résstance auxlare?.8 ésstance et secton. Un fl de longueur L et de secton S a une résstance de 5 Ω. Quelle est la résstance d'un fl de même longueur mas de secton S/?.9 ésstance et résstvté. On donne les conductvtés suvantes : γ Cu = S.m, γ l = S.m, γ g = S.m. Quelle est la résstance d un câble de cuvre de m de long et de damètre,8 mm? Quelle dot être le damètre d un câble, de même longueur et de même résstance, en alumnum? Quelle dot être la longueur d un câble, de même secton et de même résstance, en argent?.0 ésstance du cuvre. Un fl de cuvre a un damètre 0.9 mm et une longueur de 0 m. La résstvté du cuvre est : Ω.m. Quelle est sa résstance? Quelle est la résstance d'un fl de cuvre de secton 4 mm et de longueur 00 m?. ésstance du platne. Un fl de platne de longueur 80 cm dot avor une résstance de Ω. Quelle dot être son damètre? La résstvté du platne est de :. 0-7 Ω.m.. ésstance d un tronc de cône. Calculer la résstance d un conducteur tronconque de rayons a et b et de hauteur h..3 ésstance d un mleu entre deux hémsphères. Calculer la résstance d un mleu comprs entre deux hémsphères concentrques de rayons et. Stéphane Vctor. [email protected]

41 .4 Pussance dsspée. Le courant passant par une résstance de 50 Ω est de. Quelle est la pussance dsspée en chaleur?.5 ccumulateur. Un accumulateur de V d une voture a une capacté de 80.h (l peut débter 80 pendant h). Quelle est l énerge emmagasnée dans l accumulateur? Les lampes du véhcule nécesste une pussance de 60 W, comben de temps l accumulateur peut-l les mantenr allumées quand le moteur (et donc son générateur) ne tourne pas?.6 Charge d un accumulateur. Quelle dot être la dfférence de potentel de la source de tenson pour que l on pusse charger un accumulateur de f.e.m 6 V et de résstance r = 0. Ω à rason de 0?.7 ésstance équvalente. On consdère le crcut de la fgure c-contre dans lequel K et K sont deux nterrupteurs. Calculer la résstance qu est en parallèle avec la résstance de 36 Ω, entre les ponts et, dans les cas suvants : ) K et K sont fermés ; ) K et K sont ouverts ; 3) K est ouvert et K est fermé ; 4) K est fermé et K est ouvert. K K 0 Ω 7 Ω 4 Ω 48 Ω 36 Ω.8 éducton de la résstance. Un crcut a une résstance de 50 Ω. Comment peut-on la ramener à 0 Ω?.9 ésstance équvalente aux bornes de. Détermner la résstance équvalente : C D Stéphane Vctor. [email protected] - 4 -

42 .0 ésstance équvalente (). Sot le schéma c-contre. Calculez la résstance équvalente entre et C.. ésstance équvalente à une assocaton en sére. On assoce en sére deux résstances l'une de 330 Ω et l'autre de 470 Ω. L'ensemble est almenté par un générateur délvrant une dfférence de potentel de 4 V. Calculer :. La résstance équvalente à l'assocaton.. L'ntensté du courant dans le crcut. 3. La ddp aux bornes de chaque résstance. 4. La pussance dsspée par effet joule dans chaque résstance.. ésstance équvalente à une assocaton en dérvaton. On assoce en parallèle cnq résstances dentques 00Ω - W Calculer :. La résstance équvalente du montage.. L'ntensté maxmale du courant admssble par une résstance. 3. L'ntensté maxmale du courant admssble par le montage. 4. La ddp maxmale applcable aux bornes du montage. 5. La pussance maxmale admssble par le montage..3 ésstance équvalente (3). On réalse le crcut c-contre où = 47 Ω, = 33 Ω et 3 = 8 Ω. On applque entre les bornes et une tenson U = V.. Quelle est l'ntensté I du courant traversant?. Quelle est l'ntensté I du courant traversant? En dédure la tenson aux bornes de la résstance Calculer la valeur de l'ntensté I du courant dans la branche prncpale. En dédure la valeur de la résstance équvalente du crcut. 4. etrouver la valeur de en utlsant les los d'assocaton des conducteurs ohmques. Stéphane Vctor. [email protected] - 4 -

43 .4 ésstance équvalente (4). Calculer la résstance équvalente à l'ensemble de résstances suvant, sachant que = kω, = 500 Ω, 3 = 4,7 kω, 4=, Ω, 5 = 7 kω Calculs de grandeurs :, u? Détermner dans chaque cas c-dessous la grandeur suves d un «?». =? = e = 0 V = 5 Ω = 5 Ω 3 u? u = 0 V 3 =? 4 = e = V = Ω = Ω e = 5 V u = 0 V u =? V 5 =? 6 = 0,8 e = V = Ω e = 4 V =? Ω u = 5 V u = V 7 = 8 = -3 e = -5 V = 0 Ω e =? V = 5 Ω u =? V u = 5 V.6 Calculs de grandeurs :, u? Sute. Détermner dans chaque cas c-dessous la grandeur suves d un «?». Stéphane Vctor. [email protected]

44 = Ω η = =? = Ω η = = 0 3 =? Ω η = - = u = 3 V u =? V u = 0 V 4 =? 5 =,5 6 0 Ω 3 0 V 0 Ω η? 0 V Ω u? V.7 Galvanomètre. Un galvanomètre qu mesure des courants de 0 à m a une résstance de 40 Ω. Comment ce galvanomètre peut-l être utlsé pour mesurer des courants de 0 à? Le même galvanomètre dot être utlsé pour mesurer des dfférences de potentel de 0 à V. Comment peut-on réalser cela?.8 Mesure d une résstance. Un voltmètre de résstance kω est branché aux bornes d une résstance et l ensemble est monté en sére avec un ampèremètre. Quand une dfférence de potentel est applquée, le voltmètre ndque 40 V et l ampèremètre 0,05. Quelle est la valeur de la résstance?.9 Condensateur plan délectrque. Les caractérstques d'un condensateur sont les suvantes : C = 0, µf, épasseur du délectrque e = 0, mm ; permttvté relatve de l'solant : ε r = 5 ; tenson de servce : Us = 00 V. ε 0 = 8, F/m. Calculer : - La surface des armatures. - La charge du condensateur soums à la tenson de servce. - L'énerge emmagasnée dans ces condtons. Le condensateur étant chargé, on l'sole, pus on l'assoce en parallèle à un condensateur de capacté C = 0,5 µf ntalement déchargé. Calculer : - La charge totale de l'ensemble formé par les deux condensateurs. - La tenson commune aux deux condensateurs en régme permanent. - L'énerge emmagasnée par le montage..30 Charge d un condensateur, crcut C. Un condensateur de capacté C = 500 µf, ntalement déchargé, est chargé sous une tenson constante E = 0 V, à travers une résstance = kω. Stéphane Vctor. [email protected]

45 ) eprésenter l évoluton de la tenson et de l ntensté aux bornes du condensateur en foncton du temps. On fera apparaître un temps caractérstque. ) u bout de comben de temps la tenson u C aux bornes du condensateur sera-t-elle de 9 V?.3 Calculs des énerges de dpôles passfs. Démontrer les expressons d énerges emmagasnées et rayonnées aux bornes d une résstance, d un condensateur et d une bobne..3 lan énergétque de charge d un condensateur. On consdère un crcut composé d un condensateur ntalement non chargé, d une source de tenson contnue de fem E, d une résstance et d un nterrupteur K ntalement ouvert. l nstant t = 0, l nterrupteur est fermé. ) eprésenter l évoluton de la tenson au cours du temps aux bornes de la fem. Comment appelle-t-on la représentaton? ) La réponse du crcut que nous allons étuder est la tenson v(t) aux bornes du condensateur ou l ntensté (t) traversant le crcut. Donner l équaton dfférentelle en foncton de la charge du condensateur q. Intégrer l équaton dfférentelle à partr des condtons ntales. Introdusez une constante dont vous précserez la dmenson. ) éponse en tenson. En dédure l évoluton temporelle de v(t). Tracer la courbe représentant l évoluton de la tenson v(t). 3) éponse en courant. En dédure l évoluton temporelle de (t). 4) lan énergétque. Calculez l énerge fourne par le générateur entre les nstants 0 et t >0. Calculez l énerge dsspée sous forme de chaleur dans. Calculez l énerge emmagasnée dans le condensateur C. Conclure..33 éponse d un crcut,l à un échelon de tenson. Consdérons un crcut contenant en sére un générateur de tenson de fem E, une résstance, une nductance L et un nterrupteur ntalement ouvert et fermé à t = 0. ) Quelle est l équaton dfférentelle vérfée par? ) Intégrer cette équaton en tenant compte des condtons ntales. On ntrodura une constante de temps. 3) Tracer l allure de (t). 4) lan d énerge. Vérfer que l énerge pour le générateur est ntégralement redstrbuée dans la résstance et dans l nductance L..34 Etablssement et rupture d un courant. ) l nstant t = 0, on ferme un nterrupteur placé près de la source de tenson E. Détermner les courants et. ) u bout d un temps très long, on ouvre l nterrupteur K. Calculer le courant crculant dans la bobne ans que la ddp aux bornes de ; montrer que pendant un laps de temps court, la ddp peut être très supéreure à E s les paramètres sont ben choss. E r L Stéphane Vctor. [email protected]

46 .35 éponse d un crcut,l,c à un échelon de tenson. Consdérons un crcut contenant en sére un générateur de tenson de fem E, une résstance, une nductance L, un condensateur de capacté C et un nterrupteur ntalement ouvert et fermé à t = 0. ) Ecrre l équaton dfférentelle vérfée par la tenson v aux bornes du condensateur. On L ntrodut deux constantes : ω 0 = et τ =. LC ) Trouver une soluton partculère à l équaton dfférentelle. 3) En supposant une soluton exponentelle à l équaton, trouvez une équaton caractérstque du second degré. 4) Cas du dscrmnant strctement postf. Quelle condton dot vérfer la résstance pour que le dscrmnant sot postf? Donner la soluton générale de l équaton dfférentelle vérfée par v. Tracer l allure de v(t). Comment nomme-t-on ce régme? 5) Cas du dscrmnant nul. Quelle condton dot vérfer la résstance pour que le dscrmnant sot nul? Comment nomme-t-on cette résstance? Donner la soluton générale de v(t). Tracer l allure de v(t). Quelle dfférence observez vous? Comment nomme-t-on ce régme? 6) Cas du dscrmnant négatf. Détermner la soluton générale de v(t). Tracer l allure de v(t). Quel type de régme observe-t-on? Introdure et évaluer la pseudo-pérode..36 Crcut L,C parallèle soums à un échelon de courant. On consdère un crcut comprenant un générateur de courant d ntensté I, en parallèle une bobne d nductance L et un condensateur de capacté C. Le condensateur est ntalement déchargé. On note v(t) la tenson aux bornes de condensateur. t = 0, le crcut est fermé. Détermner les ntenstés dans chaque branche ans que la tenson v(t). Stéphane Vctor. [email protected]

47 .37 C 004 Île de la éunon, Exercce: Quelques usages des condensateurs..37. Génératon d mpulsons: le stmulateur cardaque connecteurs des sondes crcut électronque ple spécale longue durée Notre cœur se contracte plus de fos par jour. Il bat 4 h sur 4 pendant toute notre ve, entre 60 et 80 fos par mnute, grâce à un stmulateur naturel: le nœud snusal. Lorsque celu-c ne remplt plus correctement son rôle, la chrurge permet aujourd'hu d mplanter dans la cage thoracque un stmulateur cardaque artfcel (appelé auss pacemaker) qu va forcer le muscle cardaque à battre régulèrement en lu envoyant de pettes mpulsons électrques par l'ntermédare de sondes. Le boîter de celu- c est de pette talle : 5 cm de large et 6 mm d'épasseur. Sa masse est d'envron 30 g. ple spécale r E C u C u vers le crcut de déclenchement... K Ce pacemaker est en fat un générateur d mpulsons ; l peut être modélsé par le crcut électrque en dérvaton, c-contre, qu comprend un condensateur de capacté C = 470 nf, un conducteur ohmque de résstance, une ple spécale et un transstor qu joue le rôle d nterrupteur, K. La ple qu apparaît dans ce dspostf peut être modélsée par l assocaton en sére d'une résstance r (c très fable vore néglgeable) et d'un générateur de tenson déal de force électromotrce E. Quand l'nterrupteur est en poston () le condensateur se charge de façon quas-nstantanée. Pus, quand l nterrupteur bascule en poston (), le condensateur se décharge lentement à travers le conducteur ohmque de résstance, élevée, jusqu'à une valeur lmte u lmte = e E avec In e = où In représente le logarthme népéren. cet nstant, le crcut de déclenchement envoe une mpulson électrque vers les sondes qu la transmettent au cœur : on obtent alors un battement! Cette dernère opératon termnée, l nterrupteur bascule à Stéphane Vctor. [email protected]

48 nouveau en poston () et le condensateur se charge, etc La tenson u C aux bornes du condensateur a alors au cours du temps l'allure ndquée sur la courbe, représentée sur l'annexe à remettre avec la cope Charge du condensateur Quand l'nterrupteur est en poston (), l se charge de façon quas nstantanée. Pourquo ce phénomène est-l très rapde? Pour obtenr l'enregstrement de l évoluton temporelle de la tenson u C, on utlse un ordnateur mun d une nterface d acquston de données et d un logcel de sase. eprodure le schéma et ndquer où dovent être branchées la masse M de l nterface et la voe Y d acquston pour étuder les varatons de la tenson u C aux bornes du condensateur Sur la courbe, colorer la (ou les) porton(s) qu correspondent à la tenson u C lors de la charge du condensateur. Justfer votre chox On consdère que le condensateur est complètement chargé. Quelle est la valeur de I'ntensté du courant qu crcule alors dans le crcut? La force électromotrce E est la valeur de la tenson aux bornes de la ple lorsqu'elle ne débte pas de courant. partr de l'enregstrement u C = f (t), donner la valeur de E Décharge du condensateur En respectant les conventons d orentatons du schéma du crcut : précser le sgne de l ntensté du courant lors de la décharge ; écrre la relaton entre l ntensté du courant et la tenson u ; écrre la relaton entre la charge q de l armature du condensateur et la tenson u C ; écrre la relaton entre l'ntensté et la charge q; écrre la relaton entre les tensons u et u C lors de la décharge En dédure que lors de la décharge, l équaton dfférentelle vérfée par la tenson u C est de la forme : du C + u 0 C = dt τ Donner l'expresson lttérale de la constante de temps τ. Montrer que cette grandeur a la même unté qu'une durée Détermner graphquement la valeur de τ par la méthode de son chox qu apparaîtra sur la fgure de l'annexe à rendre avec la cope En dédure la valeur de. Stéphane Vctor. [email protected]

49 Len entre la décharge du condensateur et les battements du cœur l'nstant t, le crcut de déclenchement génère une mpulson électrque ; le condensateur n est pas complètement déchargé. Quelle est l expresson lttérale de la tenson u C aux bornes du condensateur, à cet nstant? Graphquement la valeur de cette tenson est, V. Est-ce en accord avec la valeur de E obtenue à la queston I..d? Sachant qu'une soluton générale de l équaton dfférentelle précédemment étable est de la forme: u C (t) = E. t - e τ, montrez que t = τ En dédure la durée t qu dot séparer deux mpulsons électrques consécutves Quel est alors le nombre de battements du cœur par mnute?.37. Stockage d'énerge: le flash électronque L'énerge lbérée en un temps très bref par I'éclar d'un flash est au préalable stockée dans un condensateur de grande capacté, chargé par quatre ples en sére équvalentes à un générateur de f.e.m. U = 6 V. Elles contennent une énerge totale E = 8 kj, lorsqu elles sont neuves. On admettra que pour un fonctonnement optmal, la moté de cette énerge est transférable au condensateur. u-delà, les ples dovent être changées. Le mode d'emplo du flash Mnolta 5400HS ndque, pour une almentaton par quatre ples alcalnes de type : utonome (en nombre d'éclars) Temps de recharge après un éclar en secondes 00 à , à L'autonome ndque le nombre d'éclars possbles avant de changer de ples. La durée de l éclar peut être lmtée par un crcut électronque, ce qu explque les fourchettes de données. Les ndcatons en gras correspondent à des éclars d'ntensté lumneuse et de durée maxmales, résultant de la décharge complète du condensateur. Stéphane Vctor. [email protected]

50 .37.. En utlsant les données du mode d'emplo, calculer la valeur de l'énerge lbérée par un éclar d'ntensté lumneuse et de durée maxmales En dédure la capacté C du condensateur qu a été chargé sous la tenson constante U = 6 V En utlsant les données du mode d'emplo, donner un ordre de grandeur de la constante de temps du crcut de charge En dédure l'ordre de grandeur de la résstance à travers laquelle s'est chargé le condensateur Oscllatons électrques: le détecteur de fraude La photo c-contre montre un crcut électrque collé sous l'étquette du boîter d'un logcel. C est un oscllateur électrque du type LC, dont la pérode propre vaut T 0 = π LC. Démontrer la relaton précédente. S le boîter est tombé «par mégarde» dans un sac du clent au leu de passer par la casse du magasn, ce crcut va se retrouver entre les portques de sécurté à la sorte. Ces portques contennent des bobnes émettant en permanence une onde rado de fable ntensté mas de haute fréquence N = 0 MHz, exactement égale à la fréquence propre du pett oscllateur. Dans ces condtons, le crcut capte l énerge émse, se met à oscller, et émet à son tour une onde qu vent perturber l onde des portques. La détecton de cette perturbaton déclenche une alarme. Queston: l'nductance de la bobne vaut L = 0,5 µh. En dédure la capacté C du condensateur. Fgure : Courbe. Stéphane Vctor. [email protected]

51 .38 ntlles 005 Exercce n 3 : Sonde thermque (4 ponts) On peut consttuer une sonde thermque à l ade d un dpôle (,C) sére. On réalse le crcut suvant : Encente à la température u K + E = 4,0 V Système d'acqusto n C u C K Le condensateur a une capacté C =,0 µf Le conducteur ohmque est une thermstance : la valeur de sa résstance dépend de la température. On le place dans une encente dont la température nterne est notée θ. Un système d acquston permet d enregstrer l évoluton au cours du temps de la tenson u C aux bornes du condensateur.. Étalonnage de la sonde Protocole expérmental : On souhate tracer la courbe de l évoluton de la valeur de la résstance de la thermstance en foncton de la température. On réalse le protocole suvant : Le condensateur est ntalement déchargé et les nterrupteurs K et K sont ouverts. À t = 0, on ferme K et on enregstre l évoluton de la tenson u C jusqu à la fn de la charge du condensateur. Ensute, on ouvre K et on ferme K : le condensateur se décharge complètement. On ouvre enfn K. On modfe la température de l encente et on recommence le protocole précédent. On opère pour pluseurs valeurs de température et on obtent le graphque suvant : Stéphane Vctor. [email protected] - 5 -

52 À l ade des résultats expérmentaux, étudons la charge du condensateur... Établr la relaton entre la tenson E aux bornes du générateur, la tenson u aux bornes du conducteur ohmque et la tenson u C aux bornes du condensateur... Détermner l équaton dfférentelle vérfée par la tenson u C pendant la phase de charge..3. La soluton analytque de cette équaton est de la forme : u C = + e t /(C).3.. En tenant compte des condtons fnales de la charge, détermner..3.. En tenant compte des condtons ntales de la charge, détermner Dédure l expresson de u C..4. On donne l expresson de la constante de temps du dpôle (, C) : τ = C..4.. Vérfer par analyse dmensonnelle l homogénété de cette formule..4.. Détermner la valeur τ de la constante de temps, relatve à la température θ = 0 C, à partr du graphque. Explquer la méthode employée En dédure la valeur de la résstance correspondante Procéder de la même manère pour les autres températures et compléter le tableau de l annexe à rendre avec la cope Tracer sur paper mllmétré (à rendre avec la cope) la courbe d étalonnage = f(θ) en respectant l échelle suvante : abscsse : cm pour 5 C ordonnée : cm pour 0, kω. Mesure d une température : Essayons la sonde thermque en la plaçant dans une encente de température nterne θ à détermner. On mesure la résstance de la thermstance à l ade d un ohmmètre et on obtent : Stéphane Vctor. [email protected] - 5 -

53 = 0,50 kω. En vous servant de la courbe d étalonnage, détermner la température de l encente. NNEXE (À ENDE VEC L COPIE) (Seules les case blanches sont à compléter) Température θ ( C) Constante de temps τ (ms) ésstance (kω) θ = 0 τ = =,07 0,74 0,49 0, ntlles ; exercce : bobne à nductance réglable. u cours d'une séance de travaux pratques, on veut vérfer la valeur de l'nductance ndquée par le curseur du dspostf de réglage d'une bobne à noyau de fer doux. Pour cela on va procéder en deux étapes : Premère étape : on détermne la valeur de la capacté d'un condensateur par l'étude expérmentale de sa décharge à travers un conducteur ohmque. Seconde étape: on étude la décharge de ce condensateur à travers la bobne pour en dédure la valeur de son nductance.. DÉTEMINTION DE L CPCITÉ DU CONDENSTEU. Le crcut d'étude du condensateur est schématsé sur le document N en NNEXE N, à rendre avec la cope. L'nterrupteur est en poston. Le condensateur est chargé sous la tenson E. À la date t = 0, on commute l'nterrupteur en poston. Le condensateur se décharge à travers un conducteur ohmque de résstance = 5,6 kω. La courbe de décharge est donnée sur le document N en NNEXE N à rendre avec la cope... En utlsant la conventon récepteur, flécher les tensons u C aux bornes du condensateur et u aux bornes du conducteur ohmque. Noter par q et q les charges des armatures du condensateur... Montrer que l'équaton dfférentelle du crcut vérfée par la tenson u C peut s'écrre : du u C + C C = 0 dt t / La soluton de l'équaton est u C (t) = E. e τ avec la constante de temps τ = C..3. À t = τ, la tenson aux bornes du condensateur est-elle égale à 37 %, 63% ou 93% de sa valeur ntale? Justfer la réponse..4. À l'ade du graphe donné sur le document N, détermner la valeur de la constante de temps τ. Stéphane Vctor. [email protected]

54 .5. En dédure la valeur de la capacté C du condensateur..6. Sur le graphe donné sur le document N, tracer l'allure de la courbe de décharge u C = f(t) dans le cas où on utlse un conducteur ohmque de résstance ' plus fable. Justfer.. MESUE DE L'INDUCTNCE DE L OINE. La bobne étudée a une nductance L que l'on peut régler de 0, H à, H et une résstance r = Ω. On admet que la relaton u L = r + L d où u L et sont défns en conventon récepteur, reste dt valable aux bornes de la bobne avec noyau de fer doux. Pour mesurer une valeur L de l'nductance de la bobne, on place l'ndex de réglage sur 0,5 H. On réalse le crcut donné sur le document N 3 en NNEXE N à rendre avec la cope, en utlsant le condensateur de capacté C =, µf. L'nterrupteur est en poston. Le condensateur est chargé sous la tenson E. À la date t = 0, on commute l'nterrupteur en poston. On obtent la courbe u C = f(t) donnée sur le document N 4 en NNEXE N à rendre avec la cope... Pour vsualser à l'ordnateur la tenson u C aux bornes du condensateur, représenter sur le schéma du crcut donné sur le document N 3 en NNEXE N à rendre avec la cope les connexons de la voe l et de la masse de la carte d'acquston... Pourquo qualfe-t-on le régme de la tenson u C de pseudo-pérodque?.3. Dans notre expérence, on peut consdérer que la pseudo-pérode T est égale à la pérode propre donnée par la relaton: T 0 = π. LC. En vous adant de la courbe u C = f(t) du document N 4 en NNEXE N à rendre avec la cope, détermner la valeur de l'nductance L du crcut en explquant votre démarche..4. Comparer la valeur de l'nductance obtenue précédemment avec la valeur pontée par l'ndex de la bobne en calculant l'écart relatf Lexp Lbobne Lbobne. L'ndcaton de l'ndex estelle correcte? Justfer la réponse. 3. ILN ÉNEGÉTIQUE. Mantenant on s'ntéresse à l'évoluton temporelle des énerges emmagasnées par le condensateur et la bobne, W C et W L. Les courbes sont données sur le document N 5 en NNEXE N à rendre avec la cope. 3.. Écrre les expressons des énerges W C et W L en foncton des données u C, ntensté du courant dans le crcut, C et L. 3.. En vous adant des condtons ntales, dentfer sur le document N 5 en NNEXE N Stéphane Vctor. [email protected]

55 à rendre avec la cope les courbes W C et W L. Justfer votre réponse En comparant les évolutons temporelles des énerges W C et W L, que se passe-t-l entre le condensateur et la bobne? 3.4. L'énerge totale W = W C + W L emmagasnée par le crcut décroît au cours du temps. Quelle est l'orgne de cette perte d'énerge? 3.5. On aurat pu fare cette étude en assocant en sére avec la bobne à nductance réglable et le condensateur, un dpôle qu entretent les oscllatons électrques. Quel est le rôle de ce dpôle? NNEXE N (À ENDE VEC L COPIE) () () E = 6V C DOCUMENT. Stéphane Vctor. [email protected]

56 () () E = 6V C (L,r) Ordnateur. Stéphane Vctor. [email protected]

57 .40 ac Jun 005 : Modélsaton d'une alarme : 4 pts. Un élève, dans le cadre de travaux personnels, souhate étuder un système d'alarme. près avor modélsé la mse sous tenson du crcut de commande de la srène (premère parte de l'exercce), l cherche à savor s des phénomènes nductfs peuvent provoquer le déclenchement ntempestf de la srène (deuxème parte de l'exercce). I. Premère parte : fonctonnement smplfé d'une alarme d'appartement près avor ms sous tenson l'alarme d'un appartement, l faut pouvor dsposer d'une durée suffsante pour sortr sans la déclencher. Pour cela certans dspostfs utlsent la charge et la décharge d'un condensateur. Le crcut est almenté par une battere d'accumulateurs de force électromotrce (f.e.m.) E. Le schéma smplfé de l'alarme est le suvant. La mse sous tenson de l'alarme correspond à la fermeture de l'nterrupteur (K). Le crcut de commande de la srène est tel qu'à la fermeture de la porte de l'appartement, le condensateur est ms en court-crcut (ses armatures sont alors relées par un fl conducteur non représenté sur le schéma).. Étude de la charge du condensateur dans le crcut C Pour étuder la charge du condensateur de capacté C, l'élève vsualse la tenson u = f(t) à ses bornes à l'ade d'une nterface relée à un ordnateur. Le crcut de commande de la srène n est pas relé au condensateur lors de cette expérence. L'acquston commence lors de la fermeture de l'nterrupteur (K), le condensateur étant préalablement déchargé. L'élève obtent la courbe u = f(t) suvante : Stéphane Vctor. [email protected]

58 - Indquer sur le schéma du crcut les branchements de l'nterface pour vsualser u = f(t). L'entrée et la masse de l'nterface sont respectvement équvalents à une voe Y et à la masse d'un osclloscope. - En utlsant une méthode au chox, détermner, à partr de la courbe u = f(t), la constante de temps τ de ce crcut. La constructon qu permet sa détermnaton dot fgurer sur la courbe. - Donner l'expresson de la constante de temps τ en foncton des caractérstques du crcut et vérfer par le calcul la valeur trouvée à la queston précédente.. Déclenchement de l'alarme Ce crcut commande une srène qu se déclenche dès que la tenson aux bornes du condensateur attent la valeur de 8 V. À l'ade de la courbe u = f(t) donnée, détermner la durée t dont dspose l'habtant pour qutter l'appartement et fermer la porte, en ndquant clarement cette durée sur le graphe. - Explquer pourquo le fat de fermer la porte empêche l'alarme de se déclencher. Deuxème parte : l'alarme peut-elle se déclencher de manère ntempestve? Des phénomènes nductfs peuvent apparaître dans le crcut. Celu-c est alors analogue à un crcut LC sére. Pour comprendre l'nfluence de l'nductance l'élève réalse, au laboratore, le montage c-dessous, avec les composants dont les caractérstques sont données : Stéphane Vctor. [email protected]

59 L'élève enregstre comme dans la premère parte de l'exercce la tenson u = f(t) aux bornes du condensateur, pour deux valeurs de résstance = 60 Ω et =,4 kω. Il obtent les courbes a et b c-dessous.. Donner les noms des régmes assocés aux courbes a et b. Indquer pour chacun d'eux la valeur donnée à la résstance, en précsant la rason de ce chox. Pour étuder les régmes de charge du condensateur, on applquera les mêmes conclusons que dans le cas de la décharge du condensateur en sére avec une bobne et une résstance.. À partr de ces courbes, montrer que l'ntensté du courant dans le crcut s'annule au bout d'une durée suffsamment longue. 3. En applquant la lo des tensons, trouver la valeur fnale de la tenson u. 4. Quel nconvénent présenterat le régme assocé à la courbe (a) s cette modélsaton correspondat au crcut de déclenchement de l'alarme précédente? 5. Dans un crcut de capacté C, d'nductance L et de résstance, on évte les oscllatons s la condton suvante est vérfée : ½(C/L) ½ >=. La valeur de l'nductance dans le crcut d'alarme est supposée nféreure à mh. Dre, en justfant la réponse, s des oscllatons peuvent apparaître dans le crcut d'alarme étudé dans la premère parte, mmédatement après la fermeture de l'nterrupteur K..4 Polynése 006 : execice : résstance d une bobne réelle. Dans tout l exercce, on tendra compte de la précson des données afn d exprmer les résultats numérques en accord avec cette précson. Un étudant, cureux, veut vérfer la valeur de la résstance r d une bobne réelle d nductance 50 mh, modélsée sous forme d un dpôle (r, L) en sére. La tenson en foncton du temps dans le cas général d un courant électrque d'ntensté (t) aux bornes d une telle bobne est donnée par la relaton : u b = r. + L. d dt r u b L Stéphane Vctor. [email protected]

60 Il dspose de tout le matérel souhatable et procède à pluseurs essas. En régme permanent Pour mesurer la valeur de r, l étudant réalse un crcut comportant un générateur de tenson contnue de valeur E = 6,0 V de résstance nterne néglgeable, un ampèremètre numérque, un voltmètre numérque, des fls de connexon et la bobne à étuder.. Compléter le schéma du crcut en ndquant les postons de l ampèremètre et du voltmètre (annexe à rendre avec la cope). Fare fgurer la tenson U g = E (tenson aux bornes du générateur) ans que la tenson U b = (tenson aux bornes de la bobne). On néglgera la tenson aux bornes de l ampèremètre.. Les mesures des apparels donnent U b = 5,95 V et I b = 40 m. En dédure la valeur r de la résstance de la bobne dans ce cas partculer. Justfez votre démarche. En régme transtore L étudant modfe le montage précédent auquel l ajoute une résstance = 0,0 Ω en sére. Il remplace les apparels de mesure par un système d acquston nformatsé qu lu donne les varatons de (t) obtenues à la fermeture de l nterrupteur. La tenson du générateur reste fxe et égale à 6,00 V.. Quel est alors le phénomène observé dans le crcut?. Sur le schéma du crcut modfé (annexe à rendre avec la cope), ndquer comment brancher le système d acquston (voe d entrée et voe de référence) afn d obtenr une tenson proportonnelle à l ntensté du courant dans le crcut. Justfer votre réponse. 3. Détermner la valeur de la constante de temps τ à partr du document obtenu par le système d acquston. Détaller clarement la méthode utlsée sur le graphe donné en annexe à rendre avec la cope. 4.. La valeur de τ de ce crcut est égale au rapport où représente la résstance électrque totale du crcut. Donner l expresson lttérale de τ en foncton des paramètres du crcut et vérfer par une analyse dmensonnelle que τ est homogène à un temps. 4.. La bobne ayant une nductance L = 50 mh, dédure la valeur r de sa résstance. 5. On consdère que l ntensté (t) attent la valeur lmte I = 40 m au bout d une durée 5 fos supéreure à τ. 5.. Quel est alors le régme de fonctonnement de la bobne? 5.. Exprmer r, résstance de la bobne en foncton de E, I et. Calculer sa valeur r Les tros valeurs r obtenues dans les partes et sont-elles cohérentes entre elles? C En régme oscllatore Cette bobne est branchée aux bornes d un condensateur de capacté C = 4 µf, préalablement chargé par un crcut annexe non représenté, selon le schéma c-dessous : K L C r,l Stéphane Vctor. [email protected]

61 .. appeler l expresson lttérale de la pérode propre T 0 d un oscllateur LC... Calculer la valeur de cette pérode T 0... On branche un osclloscope aux bornes du condensateur et on observe sur l écran des oscllatons pseudo-pérodques de pseudo-pérode T. Interpréter l amortssement des oscllatons... On constate, avec une base de temps de mllsecondes par dvson, que pseudopérodes occupent entre 6, et 6,4 dvsons. Donner un encadrement de la pseudo-pérode T ans mesurée..3. Comparer ce résultat à T 0. NNEXE à rendre avec la cope Queston.. I F E = 6 Volts + r,l D Queston.. schéma à compléter K ' F E = 6 Volts + r,l (t) D Queston.3 : ésultat de l'acquston donné par le système nformatsé : (t) en m, t en ms Stéphane Vctor. [email protected] - 6 -

62 .4 Courant ndépendant du temps. On consdère le crcut c-contre. quelles condtons, l ntensté du courant total est-elle ndépendante du temps? Comben vaut-elle alors? On suppose qu à l nstant t = 0, où on ferme le crcut, le condensateur est non chargé. L C E.43 Crcut équvalent. Une porton d un crcut comporte 4 conducteurs ohmques de résstances,, 3, 4 et deux sources de tenson de fem e et e. ) Montrer que cet élément de crcut est équvalent à : e... ),, 3, 4 = 4 Ω. E = 5 V et E = 0 V. Calculer et e pus la tenson entre et s l ntensté qu crcule de vers est égale à. e.44 ésstance équvalente aux bornes d un dpôle. Détermner la résstance équvalente au dpôle suvant : e 3 4 Stéphane Vctor. [email protected] - 6 -

63 Valeurs algébrques de et e. Détermner les courants en respectant les sens arbtrares choss. N : e = 6 V ; e = V. r = Ω, r = Ω. = 0 Ω..46 pplcaton du théorème de superposton. On reprend l exercce précédent. On désre connaître l ntensté du courant dans chaque branche. e e r r () () e r e r.47 eprésentaton matrcelle. Même exercce. r + j e = d où l on extrat : r + j e ( e e ) er ( e e ) + er j = et j =. r + r + r r r + r + r r ( ) ( ) De plus I = -j, I = j et I = j j. er + er On retrouve les résultats précédents : =. r + r + r r ( ) e r j j e r.48 ésstance équvalente d un mallage. Détermner la résstance équvalente au réseau de résstances suvant, tous les cotés ayant la même résstances r : - vue de et, - vue de et C. C Stéphane Vctor. [email protected]

64 .49 Transformaton de Kenelly. On consdère un trangle de résstances. On remplace ce trangle par une étole branchée entre, et C de sorte que les deux réseaux soent équvalents. r 3 r r 3 C Détermner r, r et r 3 en foncton de, et 3. C.50 Vers le pont de Wheatstone. Par applcaton de la transformaton de Kenelly, calculer la résstance équvalente vue de et du réseau c-contre. C D.5 Los de Krchhoff et méthode matrcelle. On consdère le crcut suvant : ) Fare l nventare du nombre total de nœuds et de malles pus du nombre de nœuds et malles ndépendants E 3 ) Fxer un sens aux ntenstés et aux tensons et écrre les équatons de Krchhoff. 3) ésoudre ces équatons par la méthode drecte. ésoudre ces équatons par la méthode matrcelle. 4) Défnr des courants de malles, pus par la méthode des nœuds, calculer les ntenstés dans chaque branche. 5) N : E = 6 V, = 5 W, = 0 Ω, 3 = 5 Ω. Stéphane Vctor. [email protected]

65 .5 pplcaton des théorèmes de Thévenn et Norton. ) Calculer l ntensté du dpôle en applquant le théorème de superposton. ) Exprmer le dpôle de Thévenn entre et pus calculer. 3) Même queston avec le dpôle de Norton. E η.53 Pont de Wheatstone. Détermner, en utlsant le théorème de Thévenn, la relaton lant les 4 résstances, = : 4, pour que le courant crculant dans la résstance sot nul. E C 4 3 D η.54 Courant crculant dans une branche. 3 3 E Détermner l ntensté du courant crculant dans la branche par : ) la méthode de la superposton, ) le théorème de Thévenn. K E.55 Pont de Mance. C r 4 3 ) En applquant le théorème de Thévenn, calculer l ntensté du courant crculant dans la branche lorsque l nterrupteur est ouvert pus fermé. ) Quelle relaton dot-l exster entre les résstances,, 3 et 4 pour que l ntensté du courant crculant dans la branche sot le même dans les deux cas? D Stéphane Vctor. [email protected]

66 .56 Courant crculant dans une branche. Détermner l ntensté du courant crculant dans la résstance 3 par : ) Le prncpe de superposton, ) Le théorème de Thévenn. e e 3.57 Calcul d mpédances complexes. Calculer les mpédances complexes, les modules et les arguments des crcuts suvants : (d) (a) (b) (e) (c) (f) (g) (h) ().58 Crcut LC en sére. Consdérons un crcut formé d une résstance, une nductance L, une capacté C montées en sére aux bornes d un générateur de tenson alternatve e = E m cos ωt. ) Détermner l équaton dfférentelle satsfate par l ntensté du courant. ) Quelle est la forme générale de la soluton de l équaton dfférentelle. Montrer qu en régme snusoïdal forcée, seule une des solutons est retenue. Détermner la forme de (t) dans = I cos ω t + φ. ce cas là, montrer qu elle peut s écrre : ( ) m 3) Méthode algébrque : De l expresson de (t) trouvée précédemment, détermner les constantes. 4) Méthode de Fresnel : En prenant pour orgne des phases la phase de, construre le dagramme de Fresnel et en dédure l ntensté effcace I m en foncton de la tenson effcace E m. Détermner l expresson du déphasage entre l ntensté et la tenson. 5) Méthode symbolque : Utlser la méthode complexe pour obtenr les mêmes résultats. 6) La pulsaton ω vare, étuder les varatons avec ω de : - l ntensté maxmale I m, - la phase φ en chosssant sous la forme I m cos(ωt+φ). Stéphane Vctor. [email protected]

67 .59 Schéma équvalent. Une bobne d nductance L est placée en sére avec une résstance. Calculer l mpédance L et la résstance équvalentes lorsque les mpédances sont en parallèles pour avor la même mpédance complexe. On exprmera L et en foncton du rapport q = Lω/. Que se passe-tl lorsque q est très supéreur à? u.60 Calculs de grandeurs effcaces. On applque au crcut c-contre la tenson ( ) j t j( t ) ( t) = I e ω φ. C u t = U e ω, l ntensté ) Ecrre l mpédance z du crcut en foncton de la pulsaton. ) Calculer le module de l mpédance et l angle φ s : ω = 000 rad.s -, = = kω et C =,5 µf. 3) En dédure I eff s U eff = 00 V. 4) Evaluer u C, tenson aux bornes du condensateur. 5) En dédure les ntenstés dans les deux dpôles correspondants..6 Varaton de la pulsaton. ux bornes d un crcut «L» ( = 00 Ω, L = 0, H) sére on applque la tenson : j t u = U e ω j( t ) et on note = I e ω +φ l ntensté du courant. ) Ecrre l mpédance complexe z du crcut. ) Exprmer I et φ en foncton de ω. 3) Pour quelle pulsaton notée ω a-t-on φ = - 45? 4) Quelle est dans ces condtons la pussance P consommée dans ce crcut?.n. : On donne U e = 0 V. 5) ux bornes de quel dpôle (conducteur ohmque ou bobne) la tenson effcace (U e ou U el ) tend-elle vers U e = 0 V lorsque la pulsaton tend vers l nfn pus vers 0?.6 Optmsaton de P. Sot un générateur de f.é.m. e et d mpédance Z = + jx. Ce générateur almente un dpôle d mpédance z = r + jx. Détermner la pussance moyenne P consommée par ce dpôle. Quelle relaton dot-l exster entre les mpédances pour que P sot maxmale?.63 Quadrature de phase. On consdère le crcut suvant. On pose u = U m cos ωt. ) Détermner les ntenstés effcaces des courants et ans que leur déphasages φ et φ. ) Pour quelle valeur de C, et sont elles en quadrature? 3) On veut que et soent non seulement en quadrature, mas en plus égales en valeurs effcaces. Trouver la relaton u L, C L, Stéphane Vctor. [email protected]

68 entre, L et ω..64 Égalté des tensons. Les deux partes et D de la porton du crcut D (fgure ) sont composées de résstances pures et et de condensateurs parfats de capactés C et C. C C D On applque entre et D la dfférence de potentel snusoïdale : V V D = v = V cos ω t et l passe alors dans le crcut orenté de vers D un courant d ntensté algébrque : = I cos( ω t + φ ). a) Trouver les deux relatons réelles exprmant et C en foncton de, C et w pour que les dfférences de potentel snusoïdales : v = V V et v = V VD soent constamment égales. b) Les capactés C et C sont données et fxes ; on pose C = C / a, a étant une constante. Montrer que la condton v = v fxe la valeur de r en foncton de celle de, et la valeur de w en foncton de et C. Le coeffcent a peut-l être quelconque? c) On chost a =, valeur que l on conservera par la sute. Vérfer que l on a alors : = et Cω =..N. : c = 0,5 µf, = 000 Ω. Calculer la valeur numérque de ω pour laquelle v = v. d) La condton v = v étant réalsée avec a =, calculer les valeurs effcaces : I, I, I C des courants dans,, C respectvement, en foncton de V, et les déphasages φ, φ, φ C correspondant..n. : V = 0 V..65 Pont de Wheatstone complexe. On consdère un pont de Wheatstone en alternatf schématsé c-contre : D est un détecteur de zéro en alternatf (osclloscope, écouteur téléphonque, etc.). Etablr la condton d équlbre du pont. pplcaton au pont de Nersnst où z est consttuée d une résstance et d un condensateur de capacté C en parallèle, z est consttuée d une résstance et d un condensateur de capacté C en sére, z 3 et z 4 sont des résstances de valeurs respectves P et Q. Z Z D D Z 3 Z 4 C ~.66 Dfférentes expressons de la pussance On consdère un crcut LC sére dans lequel est dsspée un pussance P. Montrer que : Stéphane Vctor. [email protected]

69 * z + z =, * z + z * P =, 4 * * v + v P =, 4 v v P = + * z z 4 *..67 Méthode des tros ampèremètres. On se propose de détermner la pussance P dsspée dans une mpédance z quelconque. Pour cela, on consdère le montage suvant. r est une résstance morte,,, 3 sont des ampèremètres de résstances néglgeables. Exprmer P en foncton des ntenstés effcaces I, I et I 3 mesurées par, et 3. ~ r 3 z.68 Méthode des tros voltmètres. On se propose de détermner la pussance P dsspée dans une mpédance z quelconque. Pour cela, on consdère le montage suvant. r est une résstance morte, V, V et V 3 sont tros voltmètres dont on supposera les résstances nfnes. Exprmer P en foncton des tensons effcaces V, V et V 3 mesurées par V, V et V 3. V V r z V 3 Stéphane Vctor. [email protected]

70 3 Solutons des exercces. 3. Queston sur les oseaux. Les deux pattes sont au même potentel électrque. Il ne peut y avor passage du courant et donc électrocuton. 3. Courant et charge. dq q = = q = t = C. dt t Le nombre d électron traversant une secton pendant s est : 3.3 Capactés équvalentes. n C En sére : = = d où : Csére =. Csére C C n En parallèle : Cparallèle = C = nc. q = e 9 N=.5 0. Pour obtenr un condensateur équvalent de capacté 3 µf, l sufft de monter en parallèle 3 condensateurs. Pour obtenr un condensateur équvalent de capacté 0,5 µf, l sufft de monter en sére condensateurs. 3.4 Questons sur les condensateurs. ) Vra ou faux? a. q = CU donc q = C U. b. faux. c. faux. Pas nécessarement la même tenson. d. E = ½ C U². Faux. e. Vra. f. Vra. ) q = CU = =, µc. 3) E = ½ C U² = 0,5 0, ² = 0 mj. 4) E = q²/c d où q = (EC) / = C. U = q/c = 0 V. q 5) P = u = (q/c). de = (q/c) dt = (q/c) (dq/dt) dt = /C q dq d où E = qdq C =, q c C étant la charge fnale. Pusque le courant est contnu, cette charge vaut smplement q = t d où ( t) E = = mj. C Stéphane Vctor. [email protected]

71 3.5 éflexon sur les capactés. ) q = C (V - V ). ) q = C (V - V). 3) q ou q. 4) ½ C (V - V ). 3.6 Pussance dsspée dans une résstance. La lo d Ohm condut à : ( + r) I = e. La pussance dsspée dans la résstance varable est P = I. On a donc : P = e. On calcule la dérvée : r + ( ) dp e = r. d r ( ) ( ) 3 + e Pmax = P( = r ) =. 4 dp 0 r d d où : e r I 3.7 Lumnosté d une ampoule. S l ampoule est branchée sur un crcut électrque domestque, délvrant une tenson constante, l faut brancher la résstance en sére. En effet l ntensté parcourant le crcut dmnue dans ce cas là. S l ampoule est branchée aux bornes d un générateur de courant, pour dmnuer le courant crculant dans l ampoule, l faut placer une résstance en parallèle. 3.8 ésstance et secton. Sa résstance sera de 0 Ω. 3.9 ésstance et résstvté. l 4 l ) La résstance d un fl est donnée par : = ρ =. S γ π d On a donc : Cu = 6,8 mω. γcu ) d = dcu =,3 mm. γ γ l = l =,05 m. γ 3) Cu Cu 3.0 ésstance du cuvre. L 4L 4.0m S πd π m -8 = ρ = ρ =.7 0 Ω.m = 0.53 Ω. = 0,45 Ω. -3 ( ) Stéphane Vctor. [email protected] - 7 -

72 3. ésstance du platne. L 4L ρl = ρ = ρ d = mm. S πd π 3. ésstance d un tronc de cône. au nveau dmensonnel, la relaton entre la b résstance, la résstvté est donnée par la relaton : L = ρ. S On a donc c la résstance élémentare entre z et h dz z+dz : d = ρ. r πr La relaton lnéare qu le r et z est donnée par : a b r = z + a d où l on tre : a h a b h h dr dr = dz dz = dr. On a donc : d = ρ. h a b a b π r b b h dr ρh h On ntègre : = ρ = = ρ. π( a b) r π( a b) r πab a a z z+dz 3.3 ésstance d un mleu entre deux hémsphères. Par rason de symétre, le courant crcule de manère radale. dr L élément de résstance est : d = ρ où S(r) S r est la surface de l hémsphère de rayon r. ( ) ( ) dr ρ dr ρ πr π r π S r = πr d = ρ = =. 3.4 Pussance dsspée. U = I et P = UI sot P = I² = 00 W. 3.5 ccumulateur. E = ½ q u. 80.h est une charge : δq = s = C. L énerge emmagasnée est donc : W = J. S la pussance vaut 60 W alors : W = P t => t = W/P = 8800 s = 8 h. Stéphane Vctor. [email protected] - 7 -

73 E 3.6 Charge d un accumulateur. E r On applque la lo des malles. r E + E = 0 d où E = E + r = 7 V. 3.7 ésstance équvalente. ) Il n y a pas de dfférence de potentel aux bornes de la résstance de 0 Ω = 7 + = 88 Ω ) Il n y a pas de dfférence de potentel aux bornes de la résstance de 4 Ω. = = 40 Ω ) Les résstances de 4 et 48 Ω sont en parallèles, = = 08 Ω ) Les résstances de 0 et 48 Ω sont en en sére entre elles et en parallèle avec celle de 4 Ω. ( ) 4 = 7 + = 93 Ω éducton de la résstance. On dot monter en parallèle une résstance. 3.9 ésstance équvalente. eq = + = = 33.3 Ω. eq eq On note que V = V D et que V = V C. Il est facle de montrer que la dfférence de potentel aux bornes de chaque résstance est alors égale et que par conséquent, les 4 résstances sont en parallèles ; eq = / ésstance équvalente (). Observez que le dpôle entre "" et "" est en sére avec le dpôle entre "" et "C". l'ntéreur du dpôle C, et 3 sont en sére et ce dpôle -3 est en // avec = kω. ( + 3) 4 C = = 857 k Ω eq ( ) = + = = 37 Ω =, 37 k Ω.. C Stéphane Vctor. [email protected]

74 3. ésstance équvalente à une assocaton en sére. ésstance équvalente : équ = = 800 Ω. Intensté du courant dans le crcut : = U/ équ = 4 /800 = 0,03. ddp aux bornes de la premère résstance : u =330*0,03 = 9,9 V. ux bornes de la seconde résstance : u = 470 *0,03 = 4, V. Pussance consommée par la premère résstance P = u = 9,9*0,03 = 0,3 W. Par la seconde : u = 4,*0,03 = 0,4 W. 3. ésstance équvalente à une assocaton en dérvaton. ésstance équvalente équ = 00 /5 =0 Ω. Intensté maxmale admssble par chaque résstance : P= ² d'où = 0,. Intensté maxmale admssble par le montage : 5 x 0, = 0,5. ddp maxmale applcable aux bornes du montage = équ fos ntensté maxmale = 0 x 0,5 = 0 V. Pussance maxmale admssble par le montage = tenson maxmale admssble fos ntensté maxmale admssble P max = 0 x 0,5 = 5 W. 3.3 ésstance équvalente (3).. Intensté du courant traversant : D'après la lo d'ohm aux bornes de, U =.I I = 0,55. Intensté du courant traversant : On applque la lo d'ohm aux bornes de l'assocaton + 3, U = ( + 3 ).I I = 0,04 La tenson aux bornes de 3 est: U 3 = 3.I U 3 = 8.0,04 = 8,53 V. 3. Intensté du courant prncpal: D'après la lo des noeuds, I = I + I = 0,55 + 0,04 = 0,359. ésstance du crcut: U =.I = 33,4 Ω. 4. ésstance du crcut: L'assocaton sére, 3 a pour résstance: ' = + 3 = = 5 Ω. ' et sont assocées en dérvaton, d'où: = 33,4 Ω. 3.4 ésstance équvalente (4). et sont en sére. 3 et 4 sont en sére. 3 est en parallèle avec les ensembles {, } et { 3, 4 }. =,39 kω. Stéphane Vctor. [email protected]

75 3.5 Calculs de grandeurs :, u? Sot C un pont entre le générateur et la résstance. u = V V = V V C + V C - V = e = 0 5 = 0 d où = -. Sot le courant passant dans le générateur, drgé vers le bas; sot le courant passant dans la résstance, drgé vers le bas, de telle manère que = +. = - 3, d où : = = + 3 = 4. u = V V = = 0 V. 4 u = - + e = - x + 5 = 3 V. 3 u = e =0 e = => = e / =. 5 5 = - => = -,4. 6 = 4 + 0,8 = > = 0 Ω. 7 u = 0 x (-5) = 45 V. 8 5 = -e + = -e 5 x 3 => e = -90 V. 3.6 Calcul de grandeurs :, u? Sute. On pose = +. 3 =. =,5. = - donc = -0,5. 4 = +. = -3. u = 5. 0 = 5. = 4. + = 0. = -. =. u = = V. 5,5 = η. 0 = -0. = -. η = -3, =. = -. =, 0 =. = 5 Ω. 6 u = - η = - V. 3.7 Galvanomètre. G shunt Le galvanomètre est monté en parallèle avec une résstance de shunt. On applque la lo des malles. On obtent : 3 Igal 0 shunt = gal = Ω. I I gal Le galvanomètre est monté en sére avec une résstance. u = I + I d où : gal gal gal gal u = gal = 40 = 960 Ω. 3 I Mesure d une résstance. Sot u la tenson aux bornes du voltmètre et l ntensté mesuré, on a : rv V = u u, d où : = = 4 k Ω. rv V ( V ) = 0 u r V V V Stéphane Vctor. [email protected]

76 3.9 Condensateur plan délectrque. C = ε 0 ε r S / e sot S = C e / (ε 0 ε r S) S = 0, 0-6 * 0, 0-3 / (8, *5) = 0,543 m². charge q = CU s = 0, 0-6 *00 = 0, 0-4 C = µc. Énerge stockée : E = ½ CU s ² = 0,5 *0, 0-6 *00² = 0,6 0-3 J = 0,6 mj. Conservaton de la charge q = q + q = 0-6. Exprmons la tenson u de deux manères dfférentes : u = q / C = q /C. Sot q C = q C ; 0,5 0-6 q = 0, 0-6 q ou encore q = 0,8 q. On a donc : 0,8 q + q = 0-6 C. q = 6, C et q = 5, C. Tenson u = 5, /0, 0-6 =5,33 /0, = 44,4 V. Énerge stockée : E = ½ C u² + ½ C u² = ½(C+C ) u² E = 0,5 ( 0, ,5 0-6 ) 44,4² =, J = 0,66 mj. Une parte de l'énerge ntale a été perdue (effet joule, rayonnement électromagnétque lors de l'assocaton) 3.30 Chargement d un condensateur. On applque la lo des malles : q dq q dq q E ( t) + = E + = E + =. C dt C dt C En tenant de la condton ntale, q = 0 à t = 0, on a : t q t C C q( t) = CE ( e ) uc = = E ( e ). C dq E t Et ( t) = = e C. dt E C Evoluton de la tenson aux bornes du condensateur : u C thsl Stéphane Vctor. [email protected]

77 Evoluton de l ntensté : HtL ) E t f C ucf = E e tf = C ln =.5 s. E ucf 3 4 thsl 3.3 Calculs des énerges de dpôles passfs. Dans tous les cas : P = u. de = P dt = u dt. ésstance : u =. P = ². E = ² t. Condensateur : u = q/c. P = u = q/c = /C q dq/dt. de = /C q dq. E = q²/c. obne : u = L d/dt. P = L d/dt. de = L d. E = ½ L². emarque : l énerge emmagasnée dans le condensateur est donnée avec une constante d ntégraton nulle. Cec parce que l on consdère le condensateur ntalement déchargé. Idem pour la bobne. 3.3 lan énergétque de charge d un condensateur. ) La tenson applquée au crcut,c E(t) est représentée sur la fgure suvante. E(t) Elle représente un échelon de tenson. E ) t C L équaton dfférentelle est : q dq q ( t) + = E + = E. C dt C L ntégraton s effectue de la manère suvante : a) on cherche une soluton à l équaton dfférentelle sans second E membre : dq + q = 0. On réarrange les termes de manère à dt C séparer les varables : t C 0 dq dt dq dt dq dt q t + = 0 = ln q q e. q C q C = q = = C q0 C b) On cherche une soluton partculère, c la soluton constante : q = CE. C c) La soluton est la somme des deux solutons : q = q0e + CE. La constante est détermnée à partr des condtons ntales, q = 0 à t = 0. Cela mplque que : q 0 = -CE et par conséquent : t Stéphane Vctor. [email protected]

78 t C q = CE e. On ntrodut une constante ayant pour dmenson un temps : τ = C : constante de temps du crcut. t ) La tenson aux bornes du condensateur v(t) = q/c. Sot : v ( t) E e τ =. u t dq E τ t τ 3 4 3) éponse en courant : = = e. dt 4) lan énergétque. Energe fourne par le générateur : t t t t E τ τ dwfem = Edt Wfem = Edt = e dt E C e. = 0 0 Energe dsspée sous forme de chaleur dans : t t t E E C τ τ u =. P = ² d où : dw = dt W = e dt e. = 0 Energe emmagasnée dans le condensateur C : ( t ) t t q τ q E C dwc = dt = qdq WC = qdq e. C C C = = C 0 S l on fat la somme de l énerge dsspée sous forme de chaleur et de celle emmagasnée dans le condensateur, on montre qu elle est égale à celle délvrée par le générateur. t τ ) d E = + L. dt 3.33 éponse d un crcut,l à un échelon de tenson. ) On réécrt l équaton dfférentelle sous la forme : d + = E. On ntègre : dt L L d dt + τ = 0 avec τ = /L constante du crcut. On trouve (Cf exercce précédent pour la méthode) : t E ( t) e τ =. 3) Evoluton de (t) : Stéphane Vctor. [email protected]

79 ) lan d énerge. t t t t E E τ τ Wfem = Edt Wfem = Edt = e dt t e. = + τ 0 0 t t t t τ τ τ 0 E E 3 dw = dt W = e dt = t + τ e e. t d L τe dwl L dt Ld WL ( t) e τ = = = =. dt On vérfe ben que W fem = W + W L. Conservaton de l énerge. t τ 3.34 Etablssement et rupture d un courant. ) ère branche : E =. ème d r branche : r + L = E. Soluton partculère E = r. On dt E r E t L en dédut : = e. L r ) Lorsque l on ouvre l nterrupteur après un long moment, le courant est approxmatvement égale à : E = r. On consdère la malle formée par les deux résstances et r+ d E t L la bobne. On a donc : ( r + ) + L = 0 que l on ntègre : = e. dt r r+ t L La ddp aux bornes de est alors : U = Ee. S >>r alors la tenson aux bornes de la r résstance est très supéreure à E éponse d un crcut,l,c à un échelon de tenson. Consdérons un crcut contenant en sére un générateur de tenson de fem E, une résstance, une nductance L, un condensateur de capacté C et un nterrupteur ntalement ouvert et fermé à t = 0. d q q dq dv d v ) E = + L + avec v = et =. On a donc : E C LC v dt C C dt = dt + dt + et par d v dv E d v dv conséquent : + + v = que l on réécrt : + + ω 0v = ω0e. dt L dt LC LC dt τ dt ) Une soluton partculère évdente est la soluton constante : v = E. Stéphane Vctor. [email protected]

80 3) On cherche une soluton de la forme : v = a exp(rt). On ntrodut cette soluton dans l équaton précédente pour obtenr après smplfcaton : r + r + ω 0 = 0, le dscrmnant τ rédut s écrt : = ω0. τ 4) Cas du dscrmnant strctement postf. 4L L = ω 0 > 0 > >. τ C C Les solutons de l équaton caractérstques sont : r+ = ±. On en dédut la soluton sans second membre : r τ t t ( ) t t ( ) τ τ v = e a e + b e = e ch t + sh t. La seconde forme est plus adaptée à l ntroducton des condtons ntales. t La soluton générale s écrt : τ ( ) v = e ch t + sh t + E, reste à détermner les constantes et. t = 0, q = 0 donc v = 0 = + E d où = -E. t = 0, = 0 d où dq/dt = 0 d où dv/dt = 0. Calculons dv/dt : t t dv e τ ch t sh t e τ = + + dt τ sh t + ch t E E = =. Fnalement : τ ω τ ( ) ( ) 0 t v ( t) E e τ = ch ω 0 t + sh ω0 t. τ ω τ 0τ llure de v(t) : 0.8 v, en t = 0, cela donne : t égme apérodque. 5) Cas du dscrmnant nul. 4L L = ω 0 = 0 = = = crtque. ésstance crtque. τ C C t ( ) = τ [ + ] La soluton générale s écrt : ( ) τ [ ] v t e t. t v t = e t + + E. Stéphane Vctor. [email protected]

81 Les condtons ntales donnent : = -E et = -E/τ. t t Fnalement : v ( t) E e τ = +. τ v t L allure de la courbe est la même, la crossance est plus rapde dans ce derner cas. égme crtque. 6) Cas du dscrmnant négatf. 4L L = ω 0 < 0 < < = crtque. τ C C On réécrt le dscrmnant sous la forme : = ω 0 = ω0 =. τ τ Les solutons s écrvent : r + = ±. r τ La soluton générale s écrt : t t ( ) t t ( ) τ τ v = e a e + b e + E = e cos t + sn t + E. E E Les condtons ntales donnent : = -E et = =. τ ω τ Fnalement : ( ) v t v t E e τ = cos ω0 t + sn ω 0 t. τ 0 τ ω τ t égme pseudo-pérodque. 0 Stéphane Vctor. [email protected] - 8 -

82 La pseudo-pérode est donnée par l expresson : πτ T =. ω τ Crcut L,C parallèle soums à un échelon de courant. Sot le courant crculant dans la branche capactve et celu dans la bobne. On a I = +. On consdère la malle formée par le condensateur et la bobne : q L d = 0. C dt dq Il faut résoudre ce système d équaton sachant que =. dt dq d dq d q d L = 0 + L = 0 L = 0 C dt dt C dt dt d I C dt + =. dq dq dt LC LC I = + + = I + = I dt C dt C C La soluton s écrt sous la forme : = a cos t + b sn t + I. este à détermner les LC LC constantes. d t = 0, par contnuté = 0 d où a = -I. De plus à t = 0, q = 0 or q = LC. On en dédut dt après dérvaton que b = 0. On a donc : ( t) = I cos t. Et donc : ( t) = I cos t. LC LC La tenson aux bornes du condensateur est égale à celle aux bornes de la bobne d où : q d L v ( t) = = L = I sn t. C dt C LC La réponse à une exctaton contnue est snusoïdale Sujet C 004 éunon ; Exercce : Quelques usages des condensateurs Génératon d mpulsons: le stmulateur cardaque ple spécale Charge du condensateur r Le condensateur est chargé à 99,9% E au bout d'une durée égale à 5τ. Dans cette parte du crcut τ = r.c. C est fable pusque C = 470 nf sot 4, F. La valeur de la résstance est très fable, donc τ est proche de 0 s. Le condensateur se charge presque nstantanément. vers Y C u C K ranchements de l'nterface d'acquston: u vers le crcut de déclenchement... Stéphane Vctor. [email protected] - 8 -

83 En rouge, la tenson uc lors de la charge du condensateur. (u C est crossante et cela très rapdement) = τ Lorsque le condensateur est complètement chargé, l n'y a plus de courant qu crcule. = 0. On lt sur la courbe : u C maxmale = 5,7 V = E Décharge du condensateur : sgne de l'ntensté du courant lors de la décharge: négatve D'après la lo d'ohm: u =. (sgne car flèche et flèche u dans le même sens) q = C.u C dq = dt lors de la décharge d'après la lo d'addtvté des tensons: u C = u : u C =. u C +. = 0 dq u C + = 0 dt du u C +.C. C = 0 dt du C +.uc = 0 avec τ =.C, on obtent fnalement dt C du C +.uc = 0 dt τ τ =.C : Stéphane Vctor. [email protected]

84 u [ U] D'après la lo d'ohm: u =., = donc [] = [ I] du Comme explqué dans la queston précédente: = C. C dt [ T] sot C =. donc [C] = [I]. dt du C [ U] [ U ] [ T] [.C] = [] [C] = [I]. [ I] [ U] [.C] = [T] la constante de temps est ben homogène à une durée Détermnaton graphque de τ. Méthode : Pour t = τ, la tenson aux bornes du condensateur est égale à 37% de sa valeur maxmale u C = 0,37 E. u C =, V). On trouve τ = 0,8 s. Méthode (mons précse): On trace la tangente à la courbe représentatve de u C (t) en t =0 s. La tangente coupe l'asymptote horzontale u C = 0 à l'nstant t = τ. On trouve τ = 0,8 s : τ 0,8 = = =,7 MΩ. C Len entre la décharge du condensateur et les battements du cœur : L'énoncé ndque que l'mpulson est créée quand u C (t ) = u lmte = e E donc E = uc e. E =, e = 5,7 V. On vérfe que la valeur de E est en accord avec celle trouvée précédemment : u C (t) = E.e t/τ E, u C (t ) = u lmte = = E.e t τ = E. / e, par analoge, on a t e /τ = donc t = τ : La durée t qu sépare deux mpulsons consécutves dot être proche τ (τ durée nécessare pour que u C attegne u lmte + t 0 durée très fable pour recharger le condensateur) : Nombre de battements du cœur par mnute: Toutes les τ=0,8 s battement toutes les 60 s N battement N = 60 = 75 battements par mnute, ce qu semble réalste. 0,8 Stéphane Vctor. [email protected]

85 Stockage d'énerge: le flash électronque. Les ples permettent d'obtenr 00 éclars de durée et d'ntensté lumneuse maxmales. L'énerge totale des ples vaut E = 8kJ La moté de cette énerge est utlsée pour fournr 00 éclars. E Donc pour éclar: E = = 90 J E =. C. U donc C = UE = = 5 F grande capacté par rapport aux valeurs 36 rencontrées au cours de l'année scolare (de l'ordre de 0 6 ou 0 9 F). 3. La recharge dure s. Donc 5τ = τ =, s envron 4. τ =.C τ, = = = 0,44 Ω C Oscllatons électrques: le détecteur de fraude T 0 = π LC T 0 ² = 4π².L.C T 0 C = 4π². L N 0 = N = /T 0 C = 4π². L. N² C = 4π² 0,5.0 6 (0.06)² C = F C = 0,5 nf ntlles 005 : Exercce n 3 : Sonde thermque.. Étalonnage de la sonde.. D après la lo d'addtvté des tensons, on a : E = u + u C dq du.. Lo d'ohm: u = or = et q = C uc. On a donc = C C. dt dt du Sot u = C C en remplaçant dans l équaton de la queston.. on obtent : E = dt du C C dt + u C Sot l équaton dfférentelle : du C E + uc =. dt C C.3.. u C = + t/(c) e Le condensateur est complètement chargé quand t tend vers l nfn, on a alors u C = E. Stéphane Vctor. [email protected]

86 Le terme en exponentelle tend alors vers zéro, l vent = E..3.. l nstant t = 0, le condensateur est déchargé, u C = 0 0 = E + e 0 /( C) = E +. Donc = E.3.3. u C. = E E e t/(c) = E ( e t/(c) ).4.. τ est homogène à un temps, montrons que le produt C l est également : U q =, C =. Sot [ C] = [ U ] [ Q] [ Q] = I U [ I ] [ U ] [ I ] Q Or I = sot [I] = [Q].[T] t [ C] = [T] donc C est ben homogène à un temps.4.. Méthode : E = 4,0 V Or τ correspond à l abscsse du pont d ordonnée 0,63 E =,5 V τ =,3 ms (vor fgure page suvante) l faut savor poser une multplcaton! 4,0 0, ,50 Méthode : On peut tracer la tangente à la courbe représentatve de u C = f(t) à la date t = 0 s. Elle coupe l'asymptote horzontale d'équaton u C = E = 4,0 à la date t = τ. Cette méthode est cependant peu précse car le tracé de la tangente n'est jamas asé. 3 τ, =, = C 6, =,3 kω. tangente à la date t =0 s u C = E τ Stéphane Vctor. [email protected]

87 Température θ ( C) θ = Constante temps τ (ms) de τ =,3 0,9 0,6 0,4 0,3 ésstance (kω) = τ /C =,3,07 0,9 0,74 0,6 0,49 0,4 0,34 0, Vor fgure: 0,5 44,5. Mesure d une température : Par lecture graphque, l vent θ = 44,5 C ntlles ; exercce : bobne à nductance réglable.. DÉTEMINTION DE L CPCITÉ DU CONDENSTEU... En conventon récepteur, le sens des flèches tensons est opposé au sens du courant. Lorsque l'nterrupteur état en poston, le générateur a arraché des électrons sur l'armature relée à sa borne postve, l est apparu une charge + q sur cette armature. Le générateur a apporté autant d'électrons sur l'autre armature où l est apparu une charge q. () () + E = 6V + q C q u C u Stéphane Vctor. [email protected]

88 . Lo d'addtvté des tensons: u C (t) + u (t) = 0 Or d'après la lo d'ohm: u (t) =.(t) Donc u C (t) +.(t) = 0 () Compte tenu du sens du courant : (t) = dq dt et q(t) = C.u C(t) d(c.u C) duc Donc: (t) = = C. car C est une constante dt dt En reportant l'expresson de (t) dans () l vent : duc u C +.C. = 0 qu est ben l'équaton dfférentelle demandée. dt τ.3 Pour t = τ, u C (t = τ ) = E. e τ donc u C (τ) =E. e = E Donc la tenson aux bornes du condensateur est égale à 37 % de sa valeur ntale..4 Détermnaton la valeur de la constante de temps τ : E Méthode: - on calcule : E 0,37 = 6,0 0,37 =, V - on trace la drote horzontale u C =, V qu coupe la courbe en un pont d'abscsse égale à τ. Graphquement on lt: τ = ms 0,37 E.6. avec ' < τ.5 Comme τ =.C on a : C = τ C = 0 5, =, 0 6 F =, µf..6 Dans le cas où on utlse un conducteur ohmque de résstance ' <, avec C dentque au cas précédent, on a τ' = '.C alors τ' < τ. Le condensateur se décharge plus rapdement que dans le premer cas, d'où l'allure de la courbe u C (t) en pontllés page précédente.. MESUE DE L'INDUCTNCE DE L OINE.. Connexons de la voe l et de la masse de la carte d'acquston pour vsualser u C (t): Stéphane Vctor. [email protected]

89 . Le régme de la tenson u C est pseudo-pérodque car on observe une tenson snusoïdale dont l'ampltude dmnue au cours du temps (les oscllatons sont amortes). T Graphquement on lt: T =,9 ms ou 3 ms sot T = 6,5 ms On consdère que la pseudo-pérode T est égale à la pérode propre donnée par la relaton : T 0 = π. LC donc T 0 ² = 4.π².LC sot L = L = 3 ( ), ² 4π ², 0.4 écart relatf arronde de L. 6 L T 0 4π². C = 0,48 H calcul effectué avec la valeur non arronde de T. exp L L bobne bobne = 0, 49 0, 5 0, 5 = 4, %. calcul effectué avec la valeur non Stéphane Vctor. [email protected]

90 () () E = 6V u C C (L,r) Ordnateur.3 L'ndcaton de l'ndex est correcte à envron 4 % près (mas peut être erreur de mesure sur T, de plus on ne dspose que d'un chffre sgnfcatf sur L bobne ). 3. ILN ÉNEGÉTIQUE 3.. W C : énerge emmagasnée par le condensateur W C = ½.C.u C ² W L : énerge emmagasnée par la bobne W L = ½.L.² 3.. t = 0, le condensateur est chargé avec la tenson u C (0) = E = 6,0 V et aucune courant ne crcule dans le crcut donc (0) = 0. Donc la courbe non nulle à t = 0 correspond à W C (courbe en pontllés), et la courbe nulle à t = 0 correspond à W L (courbe en trat plen). W C W L 3.3. Lorsque W C augmente, W L dmnue et nversement. Lorsque W C est maxmale alors W L est nulle et nversement. Il y a donc échange d'énerge entre le condensateur et la bobne au cours du temps L'énerge totale W = W C + W L emmagasnée par le crcut décroît au cours du temps. Cette perte d'énerge est due à la présence de la résstance r = Ω de la bobne. Une parte de l'énerge stockée par le condensateur et la bobne est dsspée par effet Joule sous forme de chaleur dans la résstance r au cours du temps. Stéphane Vctor. [email protected]

91 3.5. On aurat pu fare cette étude en assocant en sére avec la bobne à nductance réglable et le condensateur, un dpôle qu entretent les oscllatons électrques. Le rôle de ce dpôle est de compenser les pertes énergétques dans la résstance r, afn que l'énerge totale W reste constante au cours du temps. On a alors des oscllatons snusoïdales non amortes ac 005 : Modélsaton d une alarme. L'ntersecton de la tangente à l'orgne avec l'asymptote donne un pont dont l'abscsse est la constante de temps. Ou ben tracer une horzontale d'ordonnée 0,63*9 = 5,7 V ; à partr de l'ntersecton avec la courbe tracer la vertcale. τ = C = *, 0-3 = 5 s. ( valeur est compatble avec celle trouvée graphquement ) Stéphane Vctor. [email protected] - 9 -

92 En fermant la porte, le condensateur est ms en court-crcut : la tenson à ses bornes s'annule. La tenson aux bornes du condensateur ne pouvant plus attendre 8V ( seul de déclenchement de l'alarme), l'alarme ne se déclenche pas tant que la porte reste fermée. régmes assocés aux courbes a et b : Courbe a : régme pseudopérodque ; la résstance n'est pas très élevée ( = 60 Ω). Courbe b : régme apérodque ; la résstance n'est élevée ( = 400 Ω). l'ntensté du courant dans le crcut s'annule à partr de t = 4 ms : la charge q du condensateur est égale à : q= C u. L'ntensté est égale à la dérvée de la charge par rapport au temps : = dq/dt = C du /dt du /dt correspond au coeffcent drecteur de la tangente à la courbe u =f(t) pour une date donnée. Les courbes a et b se rapprochent de l'horzontale vers t= 4 ms : à partr de cette date, la tangente aux courbes a et b est horzontale (coeffcent drecteur nul) et en conséquence l'ntensté s'annule. valeur fnale de la tenson u : u +u +u L =E u = avec fn =0 donc u s'annule. u L = Ld/dt avec fn =0 sot d fn /dt = 0 et u L =0. en conséquence u =E= 9 V au dela de t = 4 ms. Dans le cas de la courbe (a), la tenson u dépasse pluseurs fos la valeur lmte de déclenchement de l'alarme : celle-c se déclenche par ntermttence. calcul de ½(C/L) ½ >= avec C=, 0-3 F ; L= 0-3 H ; = 4,7 0 4 Ω. 0,5*4,7 0 4 (,) ½ =,5 0 4, valeur ben supéreure à : donc l n'y a pas d'oscllatons. Stéphane Vctor. [email protected] - 9 -

93 Polynése Exercce n : résstance d une bobne réelle En régme permanent.. m COM V U g V U b COM.. D après la lo d addtvté des tensons U g = E = U b d d U b = r. + L., or en régme permanent l ntensté est constante et égale à Ib, alors = 0. dt dt Il vent U b = r.i = E sot r = U I b b 5,95 r = = 4,5 Ω 0,40 b En régme transtore.. La bobne s oppose à l établssement du courant. La valeur maxmale de l'ntensté n'est pas attente mmédatement... D après la lo d Ohm : u (t) =.(t). La mesure de u au cours du temps nous permet d accéder à (t), connassant la valeur de. Voe d entrée Voe de référence u.3. L abscsse du pont d ordonnée (t) = 0,63.I correspond à la valeur de la constante de temps τ. (τ) = 0,63 40 = 5 m. (vor schéma c-après) Stéphane Vctor. [email protected]

94 0,63.I τ = 0 ms τ.4.. τ = L sot c τ = [τ ] = [ L] [ + ] [ L] [ ] = ' r L ' + r D'après la lo d'ohm U =.I (lo d Ohm) donc[ ] = d et U = L. dt Il vent [τ ] =.4... τ = [ T] [ I] [ U] [ I] [U]. L ' + r [I] [U] = [L]. [T] [ T] [ I] [ I] [ U] [ T] [L] = [ U] [ I] [ T] [ I] [U]. [U]. = = τ est ben homogène à un temps. + r = τ L r = τ L 50 r = 0 = 5 Ω La bobne fonctonne en régme permanent (ntensté constante), elle se comporte comme un conducteur ohmque de résstance r..5.. D après la lo d addtvté des tensons U g = E = U b + U = r. I +. I E '.I r. I = E. I sot r = I 6,00 0 0, 40 r 3 = = 5,0 Ω 0,40.6. Les tros valeurs r obtenues dans les partes et sont cohérentes entre elles (envron 3% d écart) C En régme oscllatore C... pérode propre d'un oscllateur LC : T 0 = π L.C Stéphane Vctor. [email protected]

95 -6 C... T 0. = π 0, = 6 ms C... La bobne possède une résstance nterne r, en rason de l'effet Joule de l'énerge est dsspée sous forme de chaleur. Il y a amortssement des oscllatons. C... k h = ms/dv 6, dv < x < 6,4 dv 6, 6,4 Or.T = k h.x < T < 6, < T < 6,4 ms C..3. Les deux valeurs obtenues sont semblables compte-tenu de la fable précson sur la valeur de C ( chffre sgnfcatf). 3.4 Courant ndépendant du temps. On a = +. d q On a auss : + L = E, E dt + C = avec = dq. dt La soluton de la premère équaton dfférentelle est : E = a exp - t +, à t = 0, = 0 d où a = -E et : L E ( t) = exp - t. L dq q Consdérons la seconde branche, l équaton dfférentelle s écrt : + = E. dt C dq q E + =. La soluton partculère est q = CE et la soluton générale est : dt C t q ( t) = CE + a exp -. C dq E t ( t) = = exp -. dt C t = 0, q = 0 d où : a = -CE et : ( ) E L C t q t = CE exp -. C E E E t = ( t) + ( t) = exp - t + exp -. s écrt comme la somme d un L C terme constant et de deux termes dépendant du temps. Pour que sot constant quelque sot le temps, l faut que la somme des deux termes dépendant du temps sot nulle à tout nstant. t t exp - t = exp - - t ln = - ln d où : L C L C L t = ln = =. L C C 3.43 Crcut équvalent. On scnde en deux la porton. On s ntéresse à la deuxème porton. La résstance équvalente de cette dernère est : 3 4 3// 4 = Stéphane Vctor. [email protected]

96 Premère porton : Supposons un courant passant en et se dvsant en et dans chaque branche. Consdérons un pont sur la boucle, mettons devant le générateur de tenson e, l est à un certan potentel. S nous fasons le tour de la boucle pour y revenr, la dfférence de potentel totale est nulle. On a donc : -e + e = 0. De cette équaton, on tre : e + e + = On évalue la tenson aux bornes du dpôle : u = e + ( e + e + ) e e 3 4 En regroupant les termes : u = + + = e ) e =,5 V et = 0 W. S =, u =,5 V ésstance équvalente aux bornes d un dpôle. et sont en parallèles. Idem pour 4 et 5., 45 et 3 sont en séres entre elles et en parallèle avec Valeurs algébrques de et e. Le réseau comporte deux nœuds et, tros branches et tros malles dont deux seulement sont ndépendantes. Lo des nœuds en : + = 0 sot : = +. On chost des sens arbtrare sur les malles () et () : Malle () : + r (+e ) = 0 Malle () : + r (+e ) = 0 Sot en remplaçant I par son expresson trouvée précédemment : (+ r ) + = e +(+ r ) = e La résoluton de ce système lnéare condut à : ( e e ) + er ( e e ) + er = et =. r + r + r r r + r + r r ( ) ( ).N. : = -,5 ; =,5 sot = 0,75. < 0 ce qu sgnfe que le sens réel du courant est de vers dans la branche () pplcaton du théorème de superposton. On décompose le schéma en tros systèmes. er système : On supprme e, on garde e. e r e r Stéphane Vctor. [email protected]

97 V V = = r = e r. = +. e e ( + r ) ' = et ' = r + r + r r r + r + r r ( ) er ' = r + r + r r ( ). ( ) Deuxème système : On supprme e, on garde e. V V = = r = e r. = +. e ( + r ) e '' = et '' = r + r + r r r + r + r r '' ( ) e ( + r ) ( + ) + = r r r r. ( ) d où : d où : e r r r e r () () Trosème système : on superpose les deux systèmes précédents. vec les sens choss pour les ntenstés sur la fgure c-après, l vent : = - + = - = +. sot : e e r ( e e ) + er ( e e ) + er r = et = ( r + r ) + r r ( r + r ) + r r Fnalement : e r + e r = r + r + r r. ( ) 3.47 eprésentaton matrcelle. Même exercce. r + j e = d où l on extrat : r + j e ( e e ) er ( e e ) + er j = et j =. r + r + r r r + r + r r ( ) ( ) De plus I = -j, I = j et I = j j. er + er On retrouve les résultats précédents : =. r + r + r r ( ) e r j j e r 3.48 ésstance équvalente d un mallage. - Etablssons entre et une dfférence de potentel V V de sorte que le courant total traversant le réseau sot I. Stéphane Vctor. [email protected]

98 La résstance équvalente est telle que : = (V - V ) / I. I Entre et, on a un élément de symétre : le centre. Les I I 4 dfférentes branches sont traversées par les courants c-contre. I I I I I I 3 I 4 On a alors : V 4 V = r + r + r + r = ri = I, on en C 4 4 I dédut : I 4 4 I 4 I I 3 = r. Entre et C, l n en est plus ans car l n y a plus de symétre. I Les los de Krchhoff relatves aux malles permettent I- d écrre : I- - Malle haute gauche : r + r3 r ( I ) r ( I ) = 0, sot en smplfant par r : 3 C I = I. 3 I Malle basse gauche : = 0, 3 Malle haute drote : = I, 4 Malle basse drote : = I. On a donc un système de 4 équatons à quatre nconnues dont la soluton est : = /4 I, = I/3, 3 = 7/4 I, 4 = -I/4. On en dédut : V V C = r(i - ) + r = 9/4 r I = I, d où : = 9/4 r Transformaton de Kenelly. Les deux réseaux sont équvalents s les tensons entre les ponts, et C sont les mêmes que les ponts soent relés ou non au reste du réseau. Débranchons, par exemple, C du réseau, on a donc le schéma équvalent c-contre et : et 3 en sére, en parallèle avec ; r3 et r en sére. ( + ) 3 On a donc l égalté suvante : r + r3 = Par symétre, on a : 3 ( + ) ( 3 + ) r + r = et r3 + r = La résoluton de ce système est smple : r r 3 Stéphane Vctor. [email protected]

99 3 r = + + r = + + r3 = Vers le pont de Wheatstone. D après l exercce précédent, le système est équvalent à : D r = / (3 ) = / 3. On a ensute de bras en parallèle de résstance + /3 = 4 / 3. La résstance équvalente est : / 3. /3 /3 Fnalement la résstance équvalente est : / 3 + / 3 =. /3 C 3.5 Los de Krchhoff et méthode matrcelle. ) Ce crcut compte deux noeuds M et N et tros malles : CD, MND et MCNM. Il y a tros branches donc tros ntenstés nconnues. ) On fxe un sens arbtrare, vor fgure ccontre. On écrt les équatons de Krchhoff : E D u u 4 M u 0 N 3 u 3 C u 5 u 3 u 6 = + 3 u + u + u 3 + u 0 = 0 u 4 + u 5 + u 6 u = 0. emplaçons ces tensons par leurs expressons : u = u 4 = u 6 = 0, u = - u 3 = - u 5 = 3 3 u 0 = E. On en dédut le système : Stéphane Vctor. [email protected]

100 + 3 = = E = 0 3) La résoluton du système est drecte : E( + 3 ) E 3 =, = E, 3 = Par la méthode matrcelle : 0 On a : 0 = E. On calcule le détermnant de cette matrce 3 x 3 : D = Pour calculer les courants, nous devons calculer les détermnants réduts : ( ) D = E 0 = E + 3, D = E 0 = E 3, D3 = E = E D j Et j =, j = : 3. D 4) Nous défnssons les malles ndépendantes, vor fgure. Dans la malle MND crcule le courant d ntensté I. Dans la malle MCN crcule le courant I. La lo des malles donne : I + ( I I ) = E, par la méthode matrcelle, la résoluton est très rapde : 3I + ( I I ) = 0 + I E = + I 0 I 3 E 3 = = 0 +, ( )( ) 3 D = + + = + +, par sute : ( + ) E 3 D courants réels sont relés aux courants de malles par : = I, = I I, 3 = -I. 5) = 0,4, 3 = -0,48 et = 0, et I + E 0 E = = D Les 3.5 pplcaton des théorèmes de Thévenn et Norton. ) Nous pouvons applquer le théorème de superposton car le crcut comporte pluseurs sources. a) Tout d abord, nous étegnons la source de tenson, sot E = 0. Nous avons donc deux résstances en parallèle et. Stéphane Vctor. [email protected]

101 Le schéma équvalent est alors : Fnalement : η η // // // =, η = +. // = d où : + =. + η // b) On enlève le source de courant (nterrupteur ouvert) : Le schéma équvalent est alors : E j j + D = = On pose j et j les courants de malle, on obtent le système : j + (j j ) E = 0 j + (j j ) = 0. Il se réécrt sous forme matrcelle : + j E = j, on calcule le détermnant : + 0 E On en dédut mmédatement le courant car = j : =. + + D après le théorème de superposton, le courant crculant dans la branche est : E + η = + =. + + ) Théorème de Thévenn : a) La premère étape consste à supprmer le dpôle. On calcule la tenson u 0 = V V : Le schéma équvalent est représenté c-contre : Le courant crculant dans la résstance est + η. E η On a donc : =. On en dédut la tenson : + η E E + η u0 = ( + η ) =. + b) On calcule la résstance équvalente lorsque toutes les sources sont étentes ; dans ce cas, et sont en parallèle, on a donc : eq =. + c) On a fnalement le schéma équvalent : + = u d où on tre : eq eq u 0 On a donc : ( ) eq 0 u E + η = =. 0 eq Stéphane Vctor. [email protected] - 0 -

102 3) Théorème de Norton : On court-crcute la branche, c est-à-dre que l on enlève la résstance dans la branche : E E η η η 0 Il apparaît que la tenson aux bornes de est nulle. Le schéma équvalent au montage c-contre est présenté c-dessous : On cherche à détermner le courant de court-crcut. On a deux relatons : + η = η 0 et = E d où l on dédut : E η 0 = η +. La résstance équvalente a déjà été calculée à la queston ). Le schéma fnal équvalent : On a donc : η 0 - eq E + η = η 0 =. + eq + + η 0 eq 3.53 Pont de Wheatstone. On calcule la tenson u 0 = V V lorsque l on débranche la résstance : E C 4 3 D ( ) ( ) + = E = + qu donne : 4 3 E =, = E or u0 = V V = + d où : 3 4 u0 = E. + + ( )( ) 4 3 On débranche la source de tenson et cherchons la résstance équvalente vue depus et. Cela revent à court-crcuter C et D. On a donc : La résstance équvalente est : = +. eq // 4 //3 4 3 Le schéma fnal équvalent est : Stéphane Vctor. [email protected] - 0 -

103 eq eq u 0 On a la relaton : ( ) + = u. On veut que sot eq 0 nul, cec mpose que u 0 sot nulle pusque la résstance équvalente ne l est pas. u 0 = 0 mplque : 3 4 = 0. Cette relaton permet de mesurer une résstance connassant les tros autres. Ce schéma est le «pont de Wheatstone», la résstance est remplacée expérmentalement par un détecteur de courant Courant crculant dans une branche. ) Méthode de la superposton : on coupe successvement la tenson électrque E et on ouvre le crcut où se trouve le générateur de courant. S l on coupe la tenson E, le schéma est équvalent à : La résstance équvalente correspond à la mse en parallèle des tros résstances, et 3. On a : η = + et ////3 = 0, on en dédut : η eq // //3 = η + avec 3 // //3 =. // // S l on coupe la source de courant en ouvrant l nterrupteur sur cette branche, le schéma équvalent est : 33 + // ( 3 ) = E d où l on dédut par la méthode // ( 3 ) = 0 matrcelle, en posant au préalable : // =, + + E 3 // 0 E = = // //. 3 + // // 3 + // + 3// + // // On en dédut que le courant crculant dans la branche est : = +. On trouve après calcul : = ( E + η 3 ) // ) Méthode de Thévenn : a) On débranche le dpôle, on obtent le schéma équvalent suvant : + -η On cherche à détermner la dfférence de potentel η entre et : On a résoudre le système : η 3 3 ( + η ) + = E. On détermne : E = 0 E Stéphane Vctor. [email protected]

104 ( + η ) E 3 =, u0 V V E d où = = = ( + η ) 3 3 On débranche toutes les sources et calcule la résstance équvalente vue de et. La résstance équvalente correspond à la mse en parallèle des tros résstances, et 3. On a donc le schéma équvalent de Thévenn avec une source de tenson u 0 et deux résstances et ////3. On a donc : u0 = = ( E + η 3 ) // // Pont de Mance. ) a) Interrupteur ouvert : On supprme la résstance r. On calcule la résstance équvalente en débranchant la source de tenson. ( + 4 )( + 3 ) eq = ( + 4 ) // ( + 3 ), sot : eq = On calcule la tenson u 0 = V V. Sot le courant crculant dans la boucle : E ( ) = E d où : = et l on en dédut la tenson : u0 = ( + 3 ) = E On a ensute la relaton désormas classque : (r + eq ) = u 0 d où l on dédut l ntensté du u0 + 3 courant dans la branche : ouvert = = E. r + r ( ) ( )( ) eq b) Interrupteur fermé On supprme la résstance r. On calcule la résstance équvalente en débranchant la source de tenson. Pusque C et D sont au même potentel, le schéma équvalent est : 3 On en dédut : C ( ) ( + ) D eq =. ( + )( ) 4 On calcule la tenson u 0 = V V. E Les ponts C et D sont au même potentel lorsque l nterrupteur est fermé, la dfférence de potentel est donc nulle entre C et D, par conséquent, l n y a pas de C 4 courant dans la branche DC. 3 D E ( + ) = E sot =, d où la tenson u 0 : + u 0 = = E +. On a ensute la relaton désormas classque : (r + eq ) = u 0 d où l on dédut l ntensté du courant dans la branche : Stéphane Vctor. [email protected]

105 u ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 fermé = = E. r + eq r ) Les deux ntenstés sont égales s (après un calcul ennuyeux ) : 3 = Courant crculant dans une branche. ) Prncpe de superposton : On étent e, e = 0. Le schéma équvalent est représenté ccontre. On a : 3 = 0 et + ( + ) + e = 0. On en dédut : e e = On étent e, e = 0. Le schéma équvalent est représenté ccontre. On a : 3 = 0 et + ( + ) = e. On en dédut : e = travers la résstance 3 est : e e = + = Par conséquent le courant crculant à 3 e e 3 ) Théorème de Thévenn : On débranche 3. Le schéma équvalent est représenté c-contre. La résstance équvalente est : eq =. + La tenson u 0 = V V est : e + e ( + ) = e + e d où : = et : + e e u0 = e =. + On a fnalement : ( ) e e 3 + eq = u0 et = e e 3.57 Calcul d mpédances complexes. (a) : z = +, Z = +, tan φ =. jcω C ω Cω ( jcω) (b) : z =, Z =, tan φ = C ω. + C ω + C ω Stéphane Vctor. [email protected]

106 Lω Lω (c) : z = ( Lω j ), Z =, tan φ =. + L ω + L ω Lω Lω (d) : z = + jl ω, Z = + L ω, tan φ =. π (e) : z = j L ω, φ =. Cω π (f) : z = jl ω, φ =. LCω ( ) ( ) ω ( ω ) ( ) ( ) + jω L LCω C + ω L LCω C z =, Z =, LCω + C ω LCω + C ω (g) : L LC C tan φ =. Lω( Lω+ j ( LCω )) (h) : z =. ( LCω ) + L ω Cω () : z = + j. LCω ( ) 3.58 Crcut LC en sére. ) L équaton dfférentelle est obtenue en applquant la lo des malles : d q + L Em cos t dt + C = ω sot, pusque dq d = : L dt Em cos t dt + dt + C = ω. ) Il est plus facle d étuder l équaton dfférentelle satsfate par la charge q : d q dq q L + + = E m cosω t. dt dt C La soluton générale est la somme de deux termes. Le premer terme provent de la résoluton de l équaton dfférentelle sans second membre, à d q dq q savor : L + + = 0. On cherche une soluton sous la forme : q = a exp(bt), en dt dt C - t L remplaçant dans l équaton dfférentelle, l vent : q a e f ( t) =. Le second terme prend en compte le second terme d oscllaton forcée, la soluton est donc de la forme du second membre, à savor une soluton snusoïdale de type : q = sn ω t + cos ω t. - t L La soluton générale s écrt donc : ( ) q = a e f t + sn ω t + cos ω t. u bout d un temps plus ou mons bref selon la constante de temps L, la charge tend vers la valeur : q = sn ω t + cos ω t et par conséquent le courant tend vers une valeur de la forme : Stéphane Vctor. [email protected]

107 = ω + ω sot : I cos( t ) Dsn t E cos t = ω + φ. Il s agt donc de détermner I m et φ. Pour ce m fare, on dspose de tros méthodes : 3) Méthode algébrque : = I cos ω t + φ mas l est plus facle de parte de la charge q, on écrt q sous la On a ( ) m dq forme : q = Qm sn ( ω t + φ ), on a donc : = = Qmωcos( ω t + φ) Im = Qmω. On remplace dt l expresson de q dans l équaton dfférentelle. On arrve à : Qm Lω sn ( ω t + φ ) + Qmωcos ( ω t + φ ) = Em cos ωt, on développe les fonctons C snusoïdales : Qm Lω cos φ Qmωsn φ sn ω t + Qm Lω sn φ + Qmωcos φ Em cos ω t = 0 C C expresson qu dot être vérfée quelque sot t, par conséquent : Qm Lω cos φ Qmωsn φ = 0 C en utlsant Im = Qmω, le système devent : Qm Lω sn φ + Qmωcos φ = Em C Im Lω cos φ Im sn φ = 0 Cω, la résoluton du système donne : Im Lω sn φ + Im cos φ = Em Cω Lω tan Cω φ = π Im 0, φ : Em I m =. + Lω Cω 4) Méthode de Fresnel : Elle consste à représenter une foncton snusoïdale de la forme y = a cos(ωt+φ) par un vecteur OM tournant autour d un pont fxe O à une vtesse angulare w, ce vecteur ayant une longueur a et fasant avec un axe polare dt axe orgne des phases un angle ωt + φ. Dans le cas du régme snusoïdale forcé, tous les vecteurs consdérés tournant à la même vtesse angulare w, l ensemble de ceux-c, dt constructon de Fresnel, tourne autour de O sans se déformer : auss a-t-on coutume de représenter les vecteurs à t = 0. dy π La foncton = aωsn ( ω t + φ ) = aωcos ω t + φ + sera représentée par le vecteur OM dt de longueur aω, fasant avec OM π un angle. a a π y dt = sn ω t + φ = cos ω t + φ sera représentée par le vecteur OM ω ω La foncton ( ) de longueur a ω fasant avec OM π un angle -. Stéphane Vctor. [email protected]

108 Im d π ns : L Lω I m, + dt I dt m π, C Cω sot : I m φ E m L ω I m I m Cω m + ω m = m On en dédut mmédatement : I L I E d où le résultat. Cω De la même manère pour l angle en évaluant la tangente de l angle. 5) Méthode symbolque. L mpédance totale est : z = + j Lω Cω, or u = z avec : j t u = Eme ω et jωt j( ω t+φ) on a donc : Eme = + j Lω Ime Cω qu donne : Lω j arctan C ω jωt ω +φ = + ω m j( t ) m j( t ) = I e ω +φ, Eme L e Cω I e sot en séparant les complexes le résultat attendu. 6) On étude les varatons de I m en foncton de ω : Em Im =, lorsque ω 0,I m 0 et lorsque ω +, Im 0. + Lω Cω 3 m dim = E + Lω L + Lω d où : dω Cω Cω Cω dim 0 Lω 0 ω ω 0 = en ntrodusant la fréquence de résonance ω 0 dω Cω LC Em défne par : ω 0 =. On a à la résonance Im ( ω 0 ) =. LC On peut réécrre l ntensté effcace sous la forme : Em Lω0 Im = en ntrodusant le facteur de qualté Q donné par : Q =. ω ω 0 + Q ω0 ω Imax On calcule les valeur ω et ω telles que Im ( ω ) =, on a alors : Stéphane Vctor. [email protected]

109 ω Q ( 4Q ) ( 4Q ) ω 0 = + ω Q ω 0 = + + ω Q L 0 ω = ω ω = = la bande passante. et E m IpourQ etq 3 L écart relatf entre les deux pulsatons s exprme sous la forme : I m ω = =. ω Lω Q 0 0 La résonance est d autant plus aguë que le facteur de qualté est élevé. On étude les varatons de φ en foncton de ω : π Lω ω 0, tan φ +, φ On a tan φ = Cω, sot lorsque π ω +, tan φ, φ pourq etq et fnalement : 3.59 Schéma équvalent. On égalse les deux mpédances : = + d où l on tre : + jlω ' jl ' ω jlω L' ω j ' = et en séparant les partes réelles et magnares : + L ω 'L ' ω L' ω + L ω = = ' = = ( + q ) + L ω 'L' ω ' Lω ' = = L' = L +. + L ω 'L' ω L' ω q Lorsque q >>, tend vers q sot vers l nfn et L tend vers L. Stéphane Vctor. [email protected]

110 3.60 Calculs de grandeurs effcaces. Cω ) z = + j. + C ω + C ω Cω ) Z = z = +. +.N. : Z = 89 Ω. + C ω + C ω ( ) U ZI U ZI ω ω φ = = On a : ω t = φ z + ωt φ φ z = φ Cω On en tre : tan φ =..N. : φ = C ω j t jφz j t eff eff U e = Z e I e ( ) Ueff 00 3) On a : Ieff = = = 84 m. Z 89 4) u = + u u = u = ( z ) d où : = ( ω) C C Cω u jc u C j. 5) = = ω = ( ω + ) C C C C jcω + C ω u u = = = j Cω. ( ) C C + C ω u j C. C + C ω ) z = + jlω 3.6 Varaton de la pulsaton. j ) ω t ( ) j( t ) Lω j arctan jφ u = z U e = + jlω I e ω +φ d où : U = + L ω e I e et donc : U Lω I = et φ = arctan. + L ω Lω π Lω - 3) φ = arctan = = ω = = 000 rad.s. 4 L Ue π 4) Pe = UeIe cos φ = cos 0, 5 W. = = + L ω 4 4 j( ω t+χ) j( ω t+φ) 5) U e = I e U = I Ue = Ie = Ue L + ω et : j( ω t+χ) j( ω t+φ) Lω L = ω L = ω el = ω e = e + ω U e jl I e U L I U L I U L Ue Ue Ue 0 ω 0, ω + U 0 U U. el el e 3.6 Optmsaton de P. d où tre que : On a montré précédemment que la pussance actve aux bornes d un dpôle z = r + jx état donné par : P = r I eff. Stéphane Vctor. [email protected] - 0 -

111 La lo des malles donne c : ( ) r r P = r Ieff = Eeff = E eff. z + Z e Eeff e = z + Z = Ieff = z + Z z + Z ( r + ) + ( x + X) ( ) d où l on tre : La pussance actve est maxmale, et X sont fxées, lorsque x = -X. Dans ce cas, la r pussance devent : P = Eeff. L étude de P(r) montre qu elle est maxmale pour r =. r + ( ) En résumé, les condtons à réalser pour assurer l adaptaton d mpédance sont : * r = et x = -X sot z = Z. u ) = jlω Quadrature de phase. et = u. On en dédut : + jlω + jcω jωt jωt Lω j t arctan j( t ) u U e U e U ω ω +φ,eff Lω jlω+ jlω+ j arctan + L ω eff eff eff = I e = = = = e + L ω e Um Lω d où : I,eff =, φ = arctan, + L ω Lω j t arctan C ω ω jωt ω +φ U e U ( ) j t m m = I,eff e = = e + jlω+ jcω + Lω Cω L U ω m I C,eff =, φ = arctan ω. + Lω Cω π On remarque que φ > φ, et sont en quadrature s : φ φ = sot : π tan φ = tan φ + = d où : tan φ tan φ = sot : tan φ Lω+ Cω Lω L = C =. + L ω I,eff = I,eff = d où : + L ω + Lω Cω d où : Stéphane Vctor. [email protected] - -

112 4 = L ω = = L ω. Par conséquent : 4 + L ω L ω + L ω L C = =. + L ω ω 3.64 Égalté des tensons. a) On écrt les tensons complexes : v = + et v = + jc ω =, jcω + j C ω s elles sont égales alors : + =. On arrve donc à : jc ω + j C ω C' ' + ' = 0 et 'CC' ω = qu donne fnalement : C C + C ω C' = et ' =. + C ω C ω a b) La dernère expresson combnée avec la relaton C = C/a donne : ' = a. a a L expresson de C amène à : ω = ω =. a dot être supéreur à. C C c) a =, = et ω = d où Cω =. C ω = 000 rad/s. d) v = v v = v = +, on a donc en développant : jcω j arctg j t ω Cω j( ω t+φ) V e = + e I e d où l on dédut : C ω V V I = ce qu d après la relaton Cω = donne : I =. + C ω π φ = arctg = arctg ( ) [ π]. Cω 4 V V v v I ' = = v = = ' ' ' = ' 4 ' φ ' = 0. VCω I = = v jc' jc v jc' ω 4 π φ C' =..N. : I = 7, m, I = 5 m, I C = 5 m. C' v v 4 4 = = C' C' = ω = ω V Stéphane Vctor. [email protected] - -

113 3.65 Pont de Wheatstone complexe. On applque le théorème de Thévenn entre les bornes et D. On débranche donc le dpôle D et cherchons à calculer la tenson entre les bornes et D. V V = z z D ( z z3 ) 3 ( z z4 ) 4 0 z + z3 ( z + z4 ), D = = ( z + z3 )( z + z4 ) ( z + z3 ) = e z + z3 0 0 ( z + z4 ) e z + z3 0 e = = ( + ) et = = ( z + z ) + + = z z D e 0 D 3 4 z + z e 4 3 D 3 D d où :, on en dédut : e V VD = z3 3 z4 4 = ( zz3 zz4 ). D On débranche la source de tenson alternatve et cherchons la résstance équvalente : z = z // z + z // z. eq 3 4 On a donc :( ) z + z = V V, on veut que le courant sot nul donc la tenson dot être eq D D nulle pusque l mpédance ne l est pas et fnalement : = 0 V VD = 0 zz3 = zz 4. pplcaton : z =, z = ' + + jc ω jcω, z3 Q ' = P P + C ω C'. Q Cω + C ω et = = P et z4 = Q ; on a : Dfférentes expressons de la pussance * z = + j Lω Cω et * z = j Lω Cω d où en fasant la somme : z + z =. - On sat que la pussance complexe est : v v p P jp P e, * * = = + r = v z + z P = e = e( z ) = e( z ) = = 4 * * * * * * * * * * * * v v v v v + v 3- P = e = e = e + =. 4 * * * v v v * * v v 4- P = e = P = e v v e v v. * = * = + * = + * z z z z z z Méthode des tros ampèremètres. L ntensté dans la branche est = + 3 et la tenson aux bornes de l mpédance est u = r 3 = z. La pussance est : * * P = e u = e r 3. On calcule :. Stéphane Vctor. [email protected] - 3 -

114 * = ( + )( + ) = + + ( ) d où : = ( 3 ) I I I e * * Méthode des tros voltmètres. V = V + V3 et V = r d où : P = e V = e V V * * 3 3 r. * Or : V * ( )( ) ( * V V V3 V V3 V V V3 e V3 V ) r P I I I. = + + = + + et donc : P = ( V V V 3 ). r Stéphane Vctor. [email protected] - 4 -