Radiance & ondelettes sphériques

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1 UNIVERSITE PAUL SABATIER & INPT Année Fomaton Doctoale en Infomatque Laboatoe IRIT DEA & Doctoats Infomatque de l Image et du Langage (IL) Radance & ondelettes sphéques pa Thomas Mulle Decteu de echeche : Monseu le Pofesseu R. CAUBET Responsable de stage : Monseu M. Pauln Mots Clés : Photo-éalsme, Radance, adosté dectonnelle, envonnements non dffus, compesson pa ondelettes. Résumé : La méthode de adosté pemet de smule l llumnaton globale d une scène vtuelle de manèe tès éalste. Cependant, elle ne pend en compte que les nteactons dffuses. Pou un endu photo-éalste, l faut pouvo smule touts types d nteactons. Il est possble d étende la méthode de adosté au tanspot dectonnel de l énege, donc au calcul de la adance. Mas la complexté et la quantté de donnée généées pa un tel algothme ne pemettent pas d obten une soluton dans un temps fn. Nous poposons donc c une epésentaton de la adance compessée pa ondelettes, une algèbe assocée ans que son utlsaton dans un algothme de type Gauss-Sedel Abstact: The adosty method allows to smulate the global llumnaton of a vtual scene. Howeve, t ust loos fo dffuse nteactons. Fo a photo-ealstc endeng we need to cae about all types of nteactons. The adosty method can be extended to manage dectonal tanspot of adance. But t taes a lot of memoy space and tme, so we pesent hee a wavelet compessed epesentaton of the adance, an algeba and a Gauss-Sedel algothm mplementaton well suted to ou needs.

2 Remecements Je emece M. Fañas Del Ceo, decteu de l IRIT, de m avo accuell dans son laboatoe. Je emece M. le pofesseu René Caubet, decteu de echeche du Laboatoe de Synthèse d Images, de m avo pems d assouv ma passon pou la synthèse d mages. Je emece Mathas Pauln pou son encadement, ses explcatons et ses consels avsés. Je emece toute l équpe de synthèse d mages pou son ade, son accuel et la bonne ambance qu ègne dans les bueaux. Je emece l ensemble de mes collègues de DEA pou avo touous gadé leu calme face a mes questons t-cabeloctomesques et pou les heues de taval achanées en salle B3. DEA I.I.L - - I.R.I.T

3 Radance & ondelettes sphéques... Intoducton...7 Les modèles d éclaage...8. Intoducton...8. Notons su les ondes électomagnétques...8 équatons de Maxwell...8 Réflexon et éfacton... Quelques défntons de adométe Angle solde Radance Iadance Radosté : Isotope Bdectonal Reflectance Dstbuton Functon (BRDF) Réflectance....3 Modèle Mathématque : Equaton du endu Les modèles d llumnaton locale...4 Modèle de Lambet...4 Spéculaté pue...5 Modèle de Phong...6 Modèle de Coo-Toance...7 Lance de ayons...9 Méthodes de Monte-Calo....5 Modèle d llumnaton global : La Radosté... Pésentaton du modèle :... Le facteu de fome et epésentaton matcelle... Résoluton Concluson Extenson de la Radosté aux sufaces non dffuses Intoducton Fomulaton su les éléments fns Méthode du cube englobant...6. Méthode pa extenson du facteu de fome...7. Utlsaton des hamonques sphéques pou epésente la foncton de dstbuton de la adance...8. Radance pa ondelettes Note appoche de l llumnaton Réalste Intoducton Base d ondelettes sphéques et Compesson...3 Dscétsaton de la sphèe untae Défnton Implémentaton...34 Lftng scheme su une base sphéque Défnton Adaptaton à note poblématque...38 Compesson Résultats Dscusson su la BRDF Défnton d une algèbe et de la stuctue des fonctons...4 DEA I.I.L I.R.I.T

4 Algèbe...4 Constucton de fonctons Smulaton d éclaage...44 Modélsaton dscète Radance dscète Réflectance dscète Modèle mathématque Explcaton : Eeus et appoxmatons...47 Tanspot de l énege Angle solde dscétsé Tansfomée d un angle solde en une combnason d angles soldes élémentaes Algothme de dscétsaton : Concluson...53 Applcaton des algothmes de Radosté à note modèle de adance Facteu de fome Radosté héachque Mallage de dscontnuté développements futus Concluson Réféences bblogaphques...58 A. Ondelettes...59 Un exemple smple : la base de Haa...59 Exemple de tansfomaton...59 Généalsaton et Analyse mult-ésoluton...6 Généalsaton...64 Foncton de dlataton et décomposton...65 B. Planches de test...67 C. ésultats...69 DEA I.I.L I.R.I.T

5 Fgue : géométe de la éflexon / tansmsson... Fgue : angle solde... Fgue 3 : adance... Fgue 4 : géométe de la éflexon / tansmsson...3 Fgue 5 : Géométe pou le modèle de Lambet...4 Fgue 6 : Géométe pou un matéau spéculae pu...5 Fgue 7 : Géométe pou le modèle de Phong...6 Fgue 8 : Repésentaton de la éponse d un matéau selon le modèle de Coo-Toance...7 Fgue 9 : Illustaton du facteu d atténuaton géométque...8 Fgue : Le lance de ayons...9 Fgue : Tacé de chemns... Fgue : Géométe pou le facteu de fome... Fgue 3 : Cube englobant pou la adosté dectonnelle...6 Fgue 4 : Illustaton du facteu de fome étendu...7 Fgue 5 : Réponse d un matéau spéculae dffus à un ayon lumneux ncdent...8 Fgue 6 : Exemple d hamonques sphéques...8 Fgue 7 : Fomaton de la adance...9 Fgue 8 : Mappng d une hémsphèe su un caé untae...3 Fgue 9 : Subdvson écusve d un octaède...3 Fgue : Subdvson d un tangle...3 Fgue : Poecton d une aête subdvsée de l octaède...33 Fgue : Subdvson/poecton d un octaède...33 Fgue 3 : numéotaton des sommets,des faces et oentaton de l octaède...34 Fgue 4 : numéotaton des sommets des tangles...34 Fgue 5 : numéotaton des fls et des sommets des fls...35 Fgue 6 : numéotaton des vosns...35 Fgue 7 : chaînage des bandes d un tableau ceux...4 Fgue 8 : addton de deux bandes...4 Fgue 9 : Addton de deux tableaux ceux compessés...43 Fgue 3 : Dagamme des classes...43 Fgue 3 : adance dscète...44 Fgue 3 : ntégaton de la adance dscète...47 Fgue 33 : Eeu dans l émsson de l énege...48 Fgue 34 : Consevaton de l énege...49 Fgue 35 : Combnason d angles soldes élémentaes...5 Fgue 36 : ntesecton de deux tangles...5 Fgue 37 : géométe d ntesecton...53 Fgue 38 scène expémentale...54 Fgue 39 : hologamme...56 DEA I.I.L I.R.I.T

6 Équaton : équatons de Maxwell dans le vde...9 Équaton : lo de la Réflexon... Équaton 3 : ndce de éfacton... Équaton 4 : lo de Snell-Descates... Équaton 5 : adosté... Équaton 6 : défnton de la BRDF... Équaton 7 : éflectance dectonnelle éfléche...3 Équaton 8 : équaton de éflectance...3 Équaton 9 : équaton généale du endu...4 Équaton : BRDF lambetenne...5 Équaton : adance dffuse...5 Équaton : bdf spéculae...5 Équaton 3 : modèle de Phong...6 Équaton 4 : teme dffus pou Coo-Toance....7 Équaton 5 : équaton de endu dans le cas dffus... Équaton 6 : Radosté... Équaton 7 : Facteu de fome.... Équaton 8 : Système d équaton de la adosté...3 Équaton 9 : adance dscète...5 Équaton : adance dscète...6 Équaton : Foncton d échelle...37 Équaton : ondelettes...37 Équaton 3 : Foncton d échelle...38 Équaton 4 : Itéaton de la tansfomée en ondelettes...38 Équaton 5 : Itéaton de la econstucton du sgnal...38 Équaton 6 : éflectance dscète...45 Équaton 7 : équaton généale de endu dscétsée pa ondelettes...45 DEA I.I.L I.R.I.T

7 Intoducton L un des buts de la synthèse d mage est de podue des mages de scènes vtuelles généées pa odnateu ndfféencable de photogaphes de scènes éelles. Un cetan nombe de modèles ont été développés depus les débuts de l nfogaphe pou appoche le photoéalsme. Aux pemes modèles, puement géométques, ont succédé des smulatons d éclaage plus ou mons empques ( Phong, Coo-Toance.). Pa la sute, le lance de ayon, ntodut pa Whtted, pemt de smule les éflexons spéculaes avec de tès bons ésultats. Mas l ne pemet pas de pende en compte des éflexons de natue dffuse (un teme d ntensté ambante qu n a pas de éalté physque, est habtuellement aouté). Ces algothmes dts d llumnaton locale n étant pas satsfasants, des checheus des unvestés d Hoshma et de Conell poposent en 984 un nouveau modèle : la adosté. Basée su des éléments fns, c est une méthode d llumnaton globale qu, d un pont de vue themodynamque, modélse les échanges énegétques ente éléments de suface. Mas la adosté, dans sa fome classque, ne gèe que les nteactons puement dffuses, ce qu contant à ne pouvo smule que des matéaux dts lambetens tels le plâte, la cae etc. Une scène éelle n est, généalement, pas consttuée unquement de ce type de matéaux. Il est couant, pa exemple en achtectue, d avo beson de fae des smulatons d éclaages su des matéaux tel que le bos cé, les pentues laquées ou ben de pouvo vsualse les taches lumneuses que podut, su le sol, la éflexon d une lampe dans un mo. L équaton généale de endu [Ka86] donne une soluton analytque à l équlbe énegétque d une scène en calculant la adance en chaque pont. C est a de l énege pa unté d angle solde et d ae qu pat de ce pont, cec pou toutes dectons. Au cous de ce DEA, nous poposeons une modélsaton dscète de la adance sous fome d ondelettes sphéques dévées des tavaux de Pete Schöde et Wm Sweldens [Sch95] et de Matheu Robat [Rob99]. Une algèbe généque pemettant de manpule adance, éflectance, BRDF où toute aute foncton défne su une sphèe sea développée ans qu un opéateu de tanspot, cec afn de popage la adance (donc une nfomaton dectonnelle) dans un algothme de adosté classque. Le but étant d obten des mages éalstes pou tout type de matéaux sans que les temps de calcul et l espace mémoe utlsé ne soent excessfs, nous nous ntéesseons donc auss à la stuctuaton des données en mémoe ans qu à l élaboaton d une base sphéque mult-ésoluton adaptatve. DEA I.I.L I.R.I.T

8 Les modèles d éclaage. Intoducton La echeche du éalsme en mage de synthèse passe pa la smulaton du taet de la lumèe dans un envonnement donné. En effet les matéaux qu composent une scène vont émette, dffuse, éfléch, éfacte et absobe une cetane quantté d énege lumneuse. Ce sont ces nteactons qu vont ête peçues pa l œl (ou pa une caméa). On vot donc qu l faut s ntéesse à l énege lumneuse, à sa dstbuton spatale ans qu à la manèe dont éagssent les matéaux à un tel flux énegétque. Ic, apès un cout appel des notons d électomagnétsme et de adométe, nous abodons un cetan nombe de modèles mathématques et nfomatques qu ont été développés pa le monde de la echeche en nfogaphe. Pam ces modèles, on dstngue deux classes : les modèles d llumnaton locaux qu détemnent l nfluence des souces lumneuses su un obet sans ten compte de l nfluence des autes obets. Les modèles d llumnaton globaux vsant a ésoude la dstbuton de l énege dans la scène. Généalement ces modèles ne développent pas toutes les nteactons ou se placent dans le cade d hypothèses estctves ou ben encoe, ne donnent qu une soluton patelle dans un temps fn, cec de façon a ende le poblème calculable pa un odnateu.. Notons su les ondes électomagnétques La plupat des modèles d éclaement eposent su des bases physques ca la lumèe dte vsble est une onde électomagnétque de longueu d'onde compse ente 4nm et 7nm. Elle voyage gâce à un phénomène qu peut se podue dans le vde, la adaton. En cela, elle est consdéée comme une énege. Toutefos cetans modèles, tel le lance de photon, s attachent plus à la natue copusculae de la lumèe. équatons de Maxwell La théoe de l'électomagnétsme epose su quate équatons fondamentales : les équatons de Maxwell. Ces équatons décvent le compotement d'une onde électomagnétque, dans le vde ou dans un mleu matéel. Cette descpton possède une fomulaton plus smple dans le vde, ca elle nécesste l'utlsaton d'un mons gand nombe de gandeus physques nécessaes à la descpton du matéau tavesé. C est cette fomulaton qu emploent généalement les modèles d llumnaton. DEA I.I.L I.R.I.T

9 Ans, la lumèe est une énege tanspotée pa une pae de champs couplés : le champ électque E, le champ magnétque B. Ces champs sont lés à deux champs d'nducton : un champ d'nducton électque (ou de déplacement électque), un champ d'nducton magnétque. Ces quate champs epésentent quate notons à manpule, lées ente elles pa les quate équatons de Maxwell. Ces champs sont céés pa la pésence d'une chage en un pont de l'espace et se manfestent en tout pont du même espace. On est donc en pésence d'un effet mutuel. En tout pont, les quate équatons de Maxwell décvent localement l'état de ces champs. H ot E t dv B dv E ε E ot B µ ε t Équaton : équatons de Maxwell dans le vde B E DEA I.I.L I.R.I.T

10 Réflexon et éfacton On peut dédue des équatons de Maxwell les los de Descates-Snell qu décvent les elatons angulaes ente le ayon ncdent et les ayons éfléchs ou tansms. R θ θ R n n θ t Rt Fgue : géométe de la éflexon / tansmsson θ θ Équaton : lo de la Réflexon L angle éfléch θ est égal à l angle éfacté θ pa conte le ayon Rt est tansms suvant un angle dépendant de l ndce de éfacton. c n v Équaton 3 : ndce de éfacton c :célété de la lumèe dans le vde. v : célété de la lumèe dans le matéau. n.sn θ n.snθ Équaton 4 : lo de Snell-Descates n etant l ndce de éfacton du mleu d ogne n celu du nouveau mleu. t Quelques défntons de adométe Comme nous l avons dt, la lumèe voyage pa adaton. Nous donnons donc c des défntons de gandeus physques caactésant ce mode de tanspot. Ces gandeus dépendent mplctement de la longueu d onde. DEA I.I.L - - I.R.I.T

11 ... Angle solde La descpton pécse des échanges d'énege ayonnante dans l'espace nécesste l'ntoducton de la noton d'angle solde, qu est l'extenson t-dmensonnelle de l'angle D ente deux dotes. Un angle solde est utlsé pou mesue la poton d'espace occupée pa un obet vu depus un pont et ans caactése une decton. Défnton : l'angle solde sustenté pa un obet depus un pont P, est l'ae de la poecton de cet obet su une sphèe untae centée au pont P. Son unté est le stéadan (s). Fgue : angle solde... Radance Défnton : la adance L est la quantté d'énege voyageant en un pont selon une decton donnée, pa unté de temps, pa unté d'ae pependculae à la decton de déplacement, pa unté d'angle solde. Son unté est le W.m -.s -. da dω L( x, ω ) Fgue 3 : adance La dstbuton de la adance caactése complètement la dstbuton de la lumèe dans une scène. toutes les autes gandeus adométques peuvent ête calculées à pat de la adance....3 Iadance La défnton de la adance mplque une noton de decton. Une aute gandeu est l'énege totale ncdente à une suface, pa unté d'ae : l'adance E. Défnton : l'adance E d'une suface est la pussance totale avant en un pont d'une suface, pa unté d'ae. Son unté est le W.m -. DEA I.I.L - - I.R.I.T

12 ...4 Radosté : La adosté B est tès smlae à l'adance : alos que l'adance est l'énege ncdente à une suface pa unté d'ae, la adosté est l'énege quttant une suface pa unté d'ae. Défnton : la adosté B d'une suface est la pussance totale quttant cette suface pa unté d'ae. Son unté est W.m -. On en dédut donc : B L.cos θ. dω Équaton 5 : adosté où L o est la adance quttant la suface....5 Isotope Ω o Défnton : on dt qu'une suface est sotope s sa éponse à une onde lumneuse ncdente dépend unquement de l'angle polae d'ncdence et non de son azmut. Il est mpotant de ten compte de cette popété, ca elle peut ête essentelle au éalsme de cetans matéaux pésentant un caactèe dectonnel (métal bossé, bos, etc.)....6 Bdectonal Reflectance Dstbuton Functon (BRDF) Défnton : on appelle BRDF le appot ente la adance éfléche dans la decton ω, L (ω ), et l'adance dfféentelle depus la decton ω qu la podut, L (ω ).cosθ.dω. Cette foncton est postve, ca elle epésente une dstbuton et appatent à l'ntevalle [, ]. Cette foncton a pou unté le s - (concentaton de flux, en stéadan). La BRDF donne un coeffcent de popotonnalté ente l énege ncdente et l énege éfléche, cec pou toutes les dectons d ncdence et de éflexon. Elle caactése donc la façon dont va éag un matéau donné à un flux d énege lumneuse....7 Réflectance L ( ω ) bd ( ω, ω ) L ( ω ).cosθ. dω Équaton 6 : défnton de la BRDF Défnton : la éflectance est défne comme étant le appot ente le flux éfléch et le flux ncdent. Cette gandeu n'a pas d'unté. On consdèe le appot ente le flux éfléch et le flux ncdent. Pa défnton, le flux éfléch est touous plus fable que l'ncdent (lo de consevaton de l'énege) donc ce taux est plus pett que. DEA I.I.L - - I.R.I.T

13 Défnton : la éflectance dectonnelle éfléche (ω ) coespond au ato de lumèe dffusée dans une decton de l hémsphèe de éflexon pou une decton d'ncdence fxée. ( ω ) ( ω, ω ). cosθ d Équaton 7 : éflectance dectonnelle éfléche Dans la sute de ce document nous nommons éflectance la éflectance dectonnelle éfléche losqu l n y a pas de confuson possble. bd.3 Modèle Mathématque : Equaton du endu dω n dω x' θ θ n x Fgue 4 : géométe de la éflexon / tansmsson L équaton de éflectance donne la dstbuton de la lumèe éfléche en un pont en foncton de la BRDF en ce pont et de la dstbuton de la lumèe ncdente. L ( x, ω ) ( x, ω, ω ) L ( x, ω ) Ω bd cosθ dω Équaton 8 : équaton de éflectance Le calcul de la dstbuton de la lumèe ncdente coespond à la echeche d un modèle d éclaement. J.T. Kaya [KAJ86] a poposé en 986 une fomulaton généale de ce modèle : DEA I.I.L I.R.I.T

14 L e ( x ω ) L ) ( x, ω ) L ( x, ω ) + ( x, ω, ω ). L( x, ω ). G( x, x dxx e S bd Équaton 9 : équaton généale du endu, est la adance pope émse au pont x dans la decton G(x,x ) est appelé facteu de fome dfféentel. C est un teme puement géométque qu epésente l atténuaton du flux en foncton de l oentaton mutuelle des nomales aux ponts x et x. s x vsble depus x snon I ω. cos θ cos θ G ( x, x ) avec d la dstance sépaent les ponts x et x πd G( x, x ) Ben que l équaton généale de endu ne penne pas en compte la dffacton et la polaté de la lumèe on peut en dédue la plupat des modèles d llumnaton. Ces modèles passent généalement pa la dscétsaton et/ou smplfcaton de l équaton ca l ntégale ne peut ête ésolu dectement pa un odnateu. Il faut note toutefos, la méthode de Monte-Calo [Sll94] qu vse à appoche cette ntégale pa un échantllonnage statstque..4 Les modèles d llumnaton locale Modèle de Lambet Fgue 5 : Géométe pou le modèle de Lambet Ce modèle, qu coespond aux sufaces pafatement dffuses(et qu donc est un cas lmte), est déct pa une BRDF constante. Cec sgnfe que la lumnance éfléche est ndépendante de la decton de éflexon : DEA I.I.L I.R.I.T

15 d bd π Équaton : BRDF lambetenne d est le coeffcent de dffuson comps ente et E(x) est l adance au pont x d donc L ( x, ω ) E( x) π Équaton : adance dffuse Spéculaté pue R R θ θ Fgue 6 : Géométe pou un matéau spéculae pu Pou modélse la spéculaté pue qu est auss un cas lmte, on défn la BRDF de la façon suvante : δ (cosθ cosθ ) bd ( x, ω, ω ) δ ( Φ ( Φ ± π )) cosθ Équaton : bdf spéculae Où δ est la foncton de Dac qu etoune losqu on lu passe en paamète, snon. La BRDF est donc égale à / cos θ losque la decton d ncdence, la decton éfléche et la nomale sont dans un même plan et que ces dectons sont symétques pa appot à la nomale. Dans tous les autes cas la BRDF est nulle. Notons qu c les los de Descates sont ben espectées. Rappelons que la adance s expme ans : Ω, pou ω ω donc L ( x ω ) L ( x, ω ) spéculae pue. L ( x, ω ) ( x, ω, ω ) L ( x, ω ) bd cosθ dω, espectant la lo de Descates su la éflexon DEA I.I.L I.R.I.T

16 Modèle de Phong Le modèle d éclaage le plus utlsé à l heue actuelle pou un affchage temps éel est celu défn pa B.T. Phong en 975 [Pho75]. C est un modèle totalement empque qu ne especte n le pncpe de consevaton de l énege n le pncpe de écpocté de Helmholtz. Poutant l pemet dans des temps de calculs tès couts de génée des mages un peu éalstes. Souce lumneuse Nomale Decton éfleche α α β Ves l obsevateu Obet llumné Fgue 7 : Géométe pou le modèle de Phong. n I( P) I +.cos α. I + ( α).cos β. I d ambant d N N Équaton 3 : modèle de Phong I ambant est une estmaton de l ntensté ambante N est le nombe de souces, I(P) est l ntensté totale au pont P d est le coeffcent de dffuson au pont P, α est l angle ente la nomale et la decton de la souce I est l ntensté de la souce, n est l exposant de Phong s (α ) est le coeffcent de éflexon au pont P (dépend de α ) β est l angle ente la decton éfléche et celle de l obsevateu Le modèle de Phong peut malgé tout se dédue de l équaton généale de endu en ne tenant compte, en chaque pont, que des dectons d ncdences povenant des souces lumneuses. Ans l cée une mpesson de volume pou les obets de la scène. Mas comme l ne tent pas compte de toutes les nteactons lumneuses, on vot appaaîte un teme d ntensté ambante qu n a pas de ustfcaton physque. De plus seul sont calculées les ombes popes aux obets et non leus ombes potées. Ce modèle n est donc pas plenement satsfasant. s DEA I.I.L I.R.I.T

17 Modèle de Coo-Toance Le modèle Toance-Spaow [To67], développé en physque applquée, est un modèle physque d'une suface égulèe éfléchssante. Il a été d'abod adapté en synthèse pa Blnn pus mplanté pa Coo-Toance [Coo 8]. R R m Fgue 8 : Repésentaton de la éponse d un matéau selon le modèle de Coo-Toance R : ayons ncdents. R : ayons éfléchs pa les mcocassettes. m : mcofacettes. En gs foncé : la éponse puement dffuse du matéau. En gs cla : éponse du matéau. Dans ce modèle, la suface est supposée ête composée d'un ensemble de facettes mcoscopques planes et sotopes, se compotant chacune comme un éflecteu pafat. La géométe et la dstbuton de ces mcofacettes, ans que la decton ncdente de la souce lumneuse, détemnent l'ntensté et la decton de la éflexon spéculae. Pou la composante dffuse de la éflectance, le modèle utlse la lo de Lambet : d d d π Équaton 4 : teme dffus pou Coo-Toance. Avec : d : la popoton de suface se compotant comme un éflecteu dffus. : la popoton de lumèe éfléche pa le éflecteu dffus. d DEA I.I.L I.R.I.T

18 Pou la composante spéculae de la éflectance, Coo et Toance utlsent : s Fλ π D. G ( N V )( N L) D est la foncton de dstbuton de l'oentaton des mcofacettes. G est le facteu d'atténuaton géométque, qu epésente les effets de masque et d'ombage ente les mcofacettes elles-mêmes F λ est le teme de Fesnel. N est le vecteu nomal de la suface. V est la decton d'obsevaton L est la decton d'llumnaton. Fgue 9 : Illustaton du facteu d atténuaton géométque Foncton de dstbuton des mcofacettes Chaque mcofacette se compote comme un éflecteu pu. Ans, le modèle ne pend en compte que les mcofacettes dont la nomale coespond au vecteu moyen H ente les dectons d ncdence et de éflexon. Seule une facton D des mcofacettes ont cette oentaton. Pluseus dstbutons peuvent ête utlsées : Toance et Spaow ont chos une dstbuton gaussenne, Blnn une dstbuton de Towbdge et Retz, et Coo-Toance celle utlsée pa Becmann (équaton c-dessous). tan β m D e 4m cos 4 β β l'angle ente N et H. m la pente ms moyenne des mcofacettes. Quand m est fable, les pentes des mcofacettes vaent peu pa appot à la suface DEA I.I.L I.R.I.T

19 Lance de ayons Plus qu un modèle, cet algothme né en 968 n est éellement exploté pou synthétse l éclaage d une scène qu à pat de 98. Dans son atcle Whtted [Wh8] pésente pluseus mages avec des effets optques alos nédts. Actuellement le endu pa lance de ayons est utlsé dans la plupat des logcels de endu pou podue des mages éalste de qualté. Ben que n étant pas adapté à une utlsaton nteactve, la pussance sans cesse cossante des odnateus pemet d obten des ésultats dans des temps asonnables. Toutefos nous allons vo qu l souffe de cetanes lacunes édhbtoes pou attende un photo-éalsme pafat. pou chaque pxel de l écan fae { défn le ayon pmae œl pxel ; pou chaque obet fae { teste les ntesectons ; pende la plus poche ; } elance des ayons ves les souces lumneuses ; lance un ayon dans la decton de éflexon ; lance un ayon dans la decton de éfacton ; calcule l éclaement du pont d ntesecton ; affecte la couleu du pxel ; } Le pncpe consste à lance des ayons qu patent de l œl et passent au taves d une glle de pxel fomant l mage vtuelle. La couleu d un pxel est calculée à pat du peme obet que enconte le ayon dt pmae. De cette ntesecton sont lancés des ayons secondaes ves les souces lumneuses et éventuellement dans les dectons de éflexon et de éfacton. Ans de sute usqu'à obten la couleu du pxel pa combnason des éneges eçues. On vot que le modèle d éclaage utlsé est une extenson de celu de Phong, c l on pend en compte les éflexon, les éfacton, et les ombes potées. Mas on va vo c auss appaaîte un teme ambant sans plus de ustfcaton d un pont de vue physque. Souce lumneuse Obsevateu Glle de pxels Obet tanspaent Obet éflechssant Fgue : Le lance de ayons DEA I.I.L I.R.I.T

20 On emaque que les ayons suvent le taet nvese de la lumèe. Poutant de ce pont de vue le modèle este valde ca l especte le pncpe de écpocté de Helmholtz et les los de Descates. Pa conte l échantllonnage top fable des dectons ne pemet pas de pende en compte les nte-éflexons dffuses. Ans un obet mat, non dectement éclaé pa une souce lumneuse, ne sea vsble que gâce au teme d ntensté ambante. Les mages généées pa des algothmes de lance de ayons souffent donc d un aspect synthétque Peut ête que la noton d aspect synthétque est née de cet algothme!!?? Méthodes de Monte-Calo Les méthodes de Monte-Calo sont des méthodes pobablstes qu eposent su des tages aléatoes. Elles peuvent ête utlsées pou ésoude des poblèmes détemnstes tel l ntégaton d une foncton. Dans ce cas la méthode consste à effectue un tage aléatoe su l ntevalle d ntégaton qu va pemette de défn un estmateu pmae de l ae sous la coube. Su un gand nombe de tages, la moyenne des estmateus pmae pemet de défn un estmateu secondae ans de sute usqu'à obten une valeu appochée de l ntégale. Cette méthode peut s applque à l équaton généale de endu comme l a monté Kaya en 986 [Ka86] pa la méthode du tace de chemns. X écan X Œl Souce lumneuse Fgue : Tacé de chemns La méthode du tacé de chemns consste à constue une mache aléatoe X,X,,Xn en patant de l œl et en passant pa un pxel donné. Le ayon avant en un X est envoyé dans une decton aléatoe donné pa une foncton de densté de pobablté spécfque au matéau. Losque une souce lumneuse étendue est attente cela contbue à une estmaton de la valeu du pxel. C est donc apès un gand nombe de chemns tacés que l on obtent une bonne estmaton du pxel. Cette méthode un peu butale donne de tès bons ésultats mas convege dans des temps souvent excessfs. De plus elle se pête mal à l optmsaton ca la statége ne tent pas compte de la confguaton de la scène à tate. Il faut note qu l exste auss une méthode duale du tacé de chemn : le tacé de photons. Ic on sut le pacous de la lumèe usqu'à attende l œl. DEA I.I.L - - I.R.I.T

21 .5 Modèle d llumnaton global : La Radosté Pésentaton du modèle : Le modèle de Radosté, poposé pa C.M. Goal en 984 [Go84], se base su la théoe du tansfet adatf de chaleu adaptée à la lumèe. Sous sa fome classque cette méthode pose tos hypothèses estctves : La scène est composée d un nombe fn de petts éléments de suface plans nommés patchs ou sufels consdéés de adosté constante (vo def...3.4). Toutes les sufaces de la scène sont lambetennes c est a de opaques et pafatement dffuses. Le système est femé et les obets sont placés dans le vde. Un algothme de Radosté pavent ans à smule les nte-éflexons dffuses de façon tès éalste. Suvant ces hypothèses l équaton du endu se smplfe. La BRDF ne dépendant plus de la decton elle peut ête sote de l ntégale sous fome d une smple éflectance : L ) ( x, ω ) L ( x, ω ) + ( x) L( x, ω ) G( x, x dxx e Équaton 5 : équaton de endu dans le cas dffus S Alos on peut éce la adosté B du patch de la façon suvante : B E + B F Équaton 6 : Radosté E étant l émsson (dffuse) pope du patch la éflectance du matéau. F le facteu de fome géométque ente les éléments et. DEA I.I.L - - I.R.I.T

22 Le facteu de fome et epésentaton matcelle Le facteu de fome est un teme puement géométque foncton de l oentaton mutuelle des patchs. cosθ cosθ F vs( dada ) dada πa d A A ( da, da ) Équaton 7 : Facteu de fome. N N θ da θ d(da, da ) A da A Fgue : Géométe pou le facteu de fome vs ( da da ) epésente la vsblté ente les deux sufaces élémentaes. d ( da, da ) est la dstance ente les sufaces élémentaes. Les sufaces de la scène dovent donc ête subdvsées en éléments suffsamment petts pou que l on pusse les consdée de adosté constante. Un cetan nombe de echeches vsent à optmse cette subdvson, on notea en patcule la Radosté héachque ntodute pa Hanahan en 99 [Han9][Pau95] et le mallage de dscontnuté déct pa Dan Lschns en 99 [Ls9][Bon98]. Nous ne développons pas plus ces algothmes dans ce document mas l faut note qu ls ne sont pas à po ncompatble avec les modèles que nous poposons. Fnalement on obtent un système d équaton donnant la adosté de chaque élément en foncton de tous les autes. Le poblème peut se pésente sous fome matcelle comme sut. [ M ] [ B] [ E] DEA I.I.L - - I.R.I.T

23 FF Λ FF FF Λ FF Μ Μ Ο Μ FF FF Λ n n B E B E Μ Μ B E n n n n n Équaton 8 : Système d équaton de la adosté Cette équaton matcelle possède des popétés ntéessantes : La matce M est à dagonale domnante stcte. Les éléments de la dagonale sont stctement postfs, les autes négatfs ou nuls. Les éléments du vecteu E sont tous postfs ou nuls. Résoluton Deux méthodes ont été poposées pa Goal en 984 [Go84] pou ésoude ce système : Méthode de Gauss-Sedel : pou chaque élément B E tant que non convegence fae pou chaque élément B E + B FF Méthode de Southwell : pou chaque élément B E B E tant que non convegence fae pende tel que B * A est le plus gand pou chaque élément B B + B FF B B B + B FF Le poblème de la méthode de Gauss-Sedel est qu l faut calcule et stoce toute la matce des facteus de fome avant de pouvo fae la ésoluton. La méthode de Southwell ne nécesste pa conte de stoce et de calcule qu une colonne de la matce des facteus de fome pa téaton. La méthode de Gauss-Sedel convege pa conte beaucoup plus vte que la méthode de Southwell. DEA I.I.L I.R.I.T

24 .6 Concluson Pam les dfféents modèles que nous avons vus, seul le lance de ayons et la Radosté attegnent un bon nveau de éalsme tout en pésentant une soluton dans un temps elatvement cout. Poutant la adosté podut des mages photo-éalstes mas dans des condtons top estctves pou ête applqué à une scène quelconque, alos que le lance de ayons fount lu, une belle mage mas, de façon plus ou mons empque (donc non photo-éalste). Ces deux modèles étant complémentaes, cetans tavaux ont cheché à défn des méthodes hybdes tel la méthode de Sllon et Puech [Sl89] qu consste en une passe de adosté suve d une passe de lance de ayon édut(sans calculs d ombages). Mas, ben que la qualté des ésultats sot exceptonnellement bonne, les temps de calculs sont tès long et toutes les nte-éflexons ne sont pas pses en compte. Une aute appoche consste à étende un modèle de façon à le ende plus pefomant. On peut pa exemple vo la méthode de Monte Calo comme une extenson du lance de ayon. Dans cette optque l semble pometteu de voulo étende la Radosté aux matéaux non dffus. La adosté est selon nous une bonne base pou le développement d un algothme de synthèse photo-éalste ca l tate l nfomaton de façon globale et donne des ésultats pafatement en accod avec les los de la physque. La echeche est à l heue actuelle encoe tès actve dans ce domane, nous en donnons un apeçu dans le chapte suvant. DEA I.I.L I.R.I.T

25 3 Extenson de la Radosté aux sufaces non dffuses.7 Intoducton Calcule la adosté su des sufaces non lambetennes mplque le etou de la foncton de éflectance ( bdf ) dans l ntégale de l équaton de endu. Les smplfcatons qu en découlaent ne peuvent donc, ben évdemment, pas ête fates. Dans la lttéatue on pale alos de adosté dectonnelle, on devat plutôt pale de foncton de dstbuton de la adance ca la adosté est nomalement défn comme la somme su l hémsphèe de éflexon de la adance en un pont, elle est donc ndépendante de la decton de éflexon. Rappelons la fome de l équaton généale de endu : L ) ( x, ω ) L ( x, ω ) + ( x, ω, ω ). L( x, ω ). G( x, x dxx e S bd Ben que l on conseve les autes hypothèses de la adosté (dscétsaton de la scène, adance constante su le patch ) la pésence de la BRDF end le poblème ben plus dffcle à ésoude. D un pont de vue algothmque, la quantté d nfomaton nécessae au calcul de la dstbuton de la éflectance est ben plus mpotante. Ca pou pouvo calcule la adance en un pont x suvant un algothme de adosté l faut connaîte l ntensté lumneuse povenant de tous les autes ponts de la scène. Ce qu sgnfe qu l faut connaîte en pemanence la adance de tous les ponts de la scène. De plus la dstbuton de la adance n est pas une foncton lssée, l est donc dffcle de la epésente analytquement. I.8 Fomulaton su les éléments fns L dée de base de la méthode de Radosté est de modélse les tansfets d énege contnus pa un ensemble d éléments fns (les patchs) consdéés de adosté constante. Nous allons donc dscétse l équaton de endu à la fos su les sufaces et su les dectons de l espace. L l L e ( x, ω ) + L N ( x, ω ) l Équaton 9 : adance dscète l L L N l : adance du pont dans la decton l ( l ) ( x, ω ) e x, : émsson pope ( x, ω, ω ). δ ( x ω l bd ω Ω l, ω ). cos θ. dω δ ( x, ω ) étant une foncton de dac égale à s du pont on vot le pont, égale à zéo snon. x dans la decton ω DEA I.I.L I.R.I.T

26 Cette fomulaton expme que la adance d un patch dans une decton dscète donnée est une combnason lnéae des adances émses pa les autes patchs de la scène dans la decton de. Remaque : une decton dscète peut ête vue comme étant un angle solde. Ω étant le domane angulae de cet angle solde et ω une decton donnée appatenant à Ω. De la même façon x est un pont du patch..9 Méthode du cube englobant La fomulaton en éléments fn que nous venons de vo peut encoe se smplfe s l on suppose que depus un pont x et dans une decton dscète, un seul patch est vsble. On peut de plus fae l hypothèse que la foncton de éflectance est constante su cet angle solde. Cec suppose une dscétsaton de l espace des dectons d autant plus fne que les patchs sont petts. Alos la adance su l élément pend la fome : L l L e, l + bd ( x, ω l, ω ) Lv ( ) ( x ω ) Équaton : adance dscète ω Ω avec v ( ) l ndce de l élément vsble depus dans la decton dscète cos θdω La méthode consste alos à échantllonne l espace des decton su un cube pou chaque patchs [Sll94]. Ans pou chacune des dectons du cube on poua stoce une adance dectonnelle dscète consdéée constante su l angle solde ans défn. Tous les cubes ont la même oentaton, ans l est facle de calcule l ntesecton de la dote passant pa le cente de deux patchs et des cubes englobants. Fgue 3 : Cube englobant pou la adosté dectonnelle La ésoluton de cette équaton peut se fae de façon téatve comme pou la adosté classque. l faut note que l ntégale epésente le delta facteu de fome assocé à la decton, l dot ête calculé une fos seulement los de l ntalsaton de l algothme. Apes le calcul de l éclaement, la scène peut ête vsualsée gâce à un algothme de lance de ayons pmaes de façon à vo appaaîte l aspect cé de cetans matéaux, ou ben même les éflexons ( s l échantllonnage est tès fn). DEA I.I.L I.R.I.T

27 Cette méthode pose toutefos un cetan nombe de poblèmes. Les effets spéculaes ayant nomalement une fote féquence spatale, les ésultats pésentent des poblèmes d alassage. De plus l algothme nécesste le stocage d nfomatons de vsbltés pou chaque patchs et dans toutes les dectons. Malgé tout, les temps de calculs sont de l ode de O (( n. m ) ), n étant le nombe de patchs et m le nombe de dectons su le cube englobant. Pou une scène smple les calculs peuvent pende pluseus semanes su une machne actuelle. Le fat que tous les cubes soent égaux epésente auss une lmtaton, en effet toutes les BRDF n ont pas beson d une même dscétsaton de l espace des dectons.. Méthode pa extenson du facteu de fome Habtuellement le facteu de fome F epésente la popoton de l énege total quttant le patch pavenant au patch. Il est possble de défn un facteu de fome étendu Ext F [Sha88] comme étant l énege totale quttant le patch qu attent le patch apès un nombe quelconque de éflexons spéculaes. P Obet Spéculae Obet Spéculae P Fgue 4 : Illustaton du facteu de fome étendu Cette méthode s utlse dans un algothme de adosté classque, seule le calcul de l ensemble des facteus de fome est modfé à l ntalsaton. Généalement cette méthode est ncluse dans un algothme en deux passes, c est à de que la vsualsaton se fat pa lance de ayon pou ende les effets d optque dépendent du pont de vue. Mas les mages podutes ésultent de la supeposton des phénomènes adatfs de dffuson pue et de spéculaté déale alos que les matéaux natuels pésentent une nfne vaaton ente ces deux cas lmtes. Dans la patque seul un nombe fn de éflexon spéculaes sont pses en compte. DEA I.I.L I.R.I.T

28 . Utlsaton des hamonques sphéques pou epésente la foncton de dstbuton de la adance Fanços X. Sllon à pésenté en 989 [Sl94] une epésentaton généale de la adance su la base d hamonques sphéques. Le but étant d ave à dépasse les lmtatons des modèles pécédants. C est à de ne pas se lmte aux cas extêmes (dffus et/ou spéculae) tout en lmtant la masse de données à tate. Fgue 5 : Réponse d un matéau spéculae dffus à un ayon lumneux ncdent Losqu une énege lumneuse attent un pont suvant une decton ncdente caactésée pa un angle polae, elle est éfléche dans toutes les dectons suvant une dstbuton fxée pa la BRDF. La éponse ( adance dectonnelle ) ans généée peut alos ête aouté à la adance déà pésente en ce pont. C est en suvant ce asonnement que Fanços X. Sllon popose de modélse les adances dectonnelles ncdentes à un patch mun de l opéateu d addton de façon à génée la adance en ce patch. Pou cela l utlse les hamonques sphéques qu sont des fonctons lssées (splnes) notées Y ( θ, ) où l et l, m φ l m l. Ces fonctons foment une base othogonale pou les dectons su la sphèe untae. On peut donc appoxme la foncton de dstbuton de la adance, gâce à un vecteu de N coeffcents pou une telle base. De ce pont de vue on peut compae la tansfomée en hamonques sphéque avec la tansfomée de Foue. Fgue 6 : Exemple d hamonques sphéques DEA I.I.L I.R.I.T

29 Fgue 7 : Fomaton de la adance Pou l applcaton de ce modèle à la adosté classque, la double ntégale su la BRDF dans les dectons d ncdences et de éflexon, dot ête pé-calculée. Heueusement une scène content généalement un nombe lmté de matéaux. Pou la BRDF chaque hamonque sphéque peut ête epésentée elle même pa un vecteu de coeffcents. Le facteu de fome quand à lu est calculé une fos seulement los de l ntalsaton de la scène, un seul facteu de fome pa patch est utlsé pou toutes les dectons. Ce modèle pésente l avantage de donne une appoxmaton contnue de la adance avec un nombe de coeffcents éduts. De plus, une fos sélectonnée une éflectance dectonnelle à pat de la BRDF et de la decton nctante l sufft de multple cette éflectance pa la valeu de l ntensté ncdente pou obten la contbuton sous fome de adance dectonnelle à aoute à la adance de l élément concené. Cette opéaton n augmente donc pas le nombe de coeffcents utlsés. Les fablesses de ce modèle se stuent au nveau du mode de tanspot de l énege lumneuse. Pou un angle solde d émsson donné on ne sat pas calcule analytquement l énege dstbuée pa une epésentaton hamonque. La adance est alos consdéée constante su cet angle solde. Il est alos cla que pou que le modèle sot valde d un pont physque l faut des angles soldes petts et donc un mallage tès fn de la scène. Cette emaque empêche toute optmsaton su le mallage.. Radance pa ondelettes Les ondelettes, vo annexe, ont d abod été utlsées dans les algothmes de Radosté pou epésente la vaaton de adosté su les sufaces [Go93] et défn une stuctue de donnée compessée. Pus en 994, constatant que la pncpale dffculté du calcul de la adance povent de l énome quantté d nfomaton à tate, tos équpes de checheus [Ch94][Sum94][Sch94] poposent une fomulaton de la adance sous fome d ondelettes. L dée maîtesse est de epende une fomulaton en éléments fns de la adance et de la poete su une base d ondelette pou pouvo ensute la compesse. Les ondelettes semble en effet ben adaptées à la foncton de dstbuton de la adance ca elles pemettent une econstucton locale de l nfomaton sans égénée totalement le sgnal d ogne. ce qu est nécessae los de la ésoluton du système pou le tanspot de l énege lumneuse. DEA I.I.L I.R.I.T

30 Fgue 8 : Mappng d une hémsphèe su un caé untae Dans la méthode de Pe H. Chstensen [Ch94] l espace des dectons est dscétsé su la sphèe untae pa une paamétsaton angulae classque. Ensute la sphèe est poetée pus étée de façon à couv un caé untae. C est su cette base géométque qu est applquée la tansfomée en ondelettes. La base d ondelettes peut alos ête une base classque de Haa ou une base non standad. L ntéêt d une base non standad est qu elle peut pemette de tate à la fos la adance en un pont ( suvant deux codonnées angulaes) et la vaaton de cette adance su une suface( deux coodonnées spatales). Les popétés de mult-ésoluton des ondelettes pemettent de donne une valeu appochée plus ou mons fne de la dstbuton de la adance d un élément, ce qu pemet d adapte la qualté du tansfet suvant la géométe (patchs élognés) et la quantté d énege tanspotée. Dans ces méthodes le facteu de fome est calculé de façon classque, l fome donc un ctèe géométque possble. Ic la contbuton énegétque d un pont x à un pont y passe pa la econsttuton de la valeu de la adance de y dans la decton de x à pat de la foncton de base φ et des ondelettesψ pou le vecteu de coeffcents V(d(y,x). Ces méthode donnent de tès bons ésultats dans un temps et un espace mémoe édut. Poutant la dscétsaton de l espace des dectons ne semble pas satsfasant, les angles soldes défns pa la base géométque ne epésentent pas tous la même suface su la sphèe untae. Cette non unfomté end dffcle la geston de l eeu su l éclaement. Pa exemple un pc spéculae sea meux défn s l s oente vetcalement que suvant une pente de 45. De plus l aspect mult-ésoluton des ondelettes n est pas ms à contbuton de façon optmale avec ce gene de base géométque. DEA I.I.L I.R.I.T

31 4 Note appoche de l llumnaton Réalste.3 Intoducton Nous avons vu que pou améloe le éalsme des mages podutes pa un algothme de smulaton d éclaage l faut un modèle qu pend en compte tous types de matéaux, l dot auss pemette la smulaton de toutes les nteactons adatves qu exstent natuellement ente deux sufaces. Ce modèle dot donc se confome à l équaton généale de endu! Malheueusement les odnateus actuels ne sont pas capables de ésoude cette équaton dans un temps fn. Pam les dfféents modèles exstants nous avons noté que la Radosté founssat des ésultats photo-éalstes sous cetanes hypothèses dont la dscétsaton de la scène. S de plus on dscétse l espace des dectons, pou ne pas se lmte aux sufaces lambetennes, les ésultats sont spectaculaes tant au nveau de la qualté du endu que de la quantté de données à tate. En effet une smple BRDF mesuée et échantllonnée tous les 6 degés su 4 degés angulaes (decton d ncdence, decton de éflexon) pend faclement 5 Mega-octet de mémoe. Avec un tel échantllonnage une decton dscète (angle solde) balaye appoxmatvement un centmète caé à un mète de dstance ce qu est encoe elatvement gosse. Dans les mêmes condtons une éponse su une suface va nécesste 5 Ko de mémoe, donc pou une scène de complexté moyenne de patchs cela epésente 5 Mo de mémoe vve. La compesson pa ondelettes des données en mémoe semble donc une appoche ntéessante comme nous l avons vu. Une nouvelle base d ondelettes (de seconde généaton) a été pésenté en 995 pa Pete Schöde et Wm Sweldens. Elle pemet de epésente su une sphèe, de façon dscète et mult-ésoluton, une foncton tel la BRDF, la éflectance ou la adance. Pou nos tavaux nous poposons donc d utlse ce type de base adaptée au tansfet adatf. Une fo défne sous fome d ondelettes, BRDF, éflectance et adance sont des obets que l on veut pouvo compesse. Nous développons donc dans un peme temps une base géométque sphéque adaptatve d accès aux données ans qu une stuctue de donnée lnéae à accès apde. Ensute, pou manpule ces fonctons nous défnssons une algèbe classque (addton, soustacton ) ans que les méthodes lant ces fonctons. Pa exemple, nous monteons, comment obten la éponse d une suface à une énege ncdente suvant un angle solde donné en foncton de la BRDF, pus comment assoce ces éponses pou évalue la adance. Nous pésentons dans ce document l applcaton de ces modèles au tanspot de la adance pou le calcul de l llumnaton globale d une scène vtuelle. Nous montons comment la vsualsaton peut se fae de manèe nteactve tout en tenant compte des éflexons du dffus au pesque spéculae pu. Le spéculae pu étant ésevé à une deuxème passe en lance de ayons édut. Enfn nous abodons, en vue de développements futus, l adaptaton à ce modèle des méthodes d optmsaton de la adosté classque( héachsaton, mallage de dscontnuté ) et l extenson de la adance su suface non planes. DEA I.I.L I.R.I.T

32 .4 Base d ondelettes sphéques et Compesson Dscétsaton de la sphèe untae 4... Défnton Les fonctons que nous voulons modélse sont défnes su une sphèe, nous allons donc dscétse la sphèe untae de façon à ce que chaque élément de suface epésente une poston, un angle solde. Pete Schöde [Sch95] popose une dscétsaton non paamétque de la sphèe su la base d un octaède dont on subdvse les faces écusvement. Fgue 9 : Subdvson écusve d un octaède Fgue : Subdvson d un tangle La subdvson pat des faces d ogne qu sont des tangles équlatéaux, pou obten quates fls eux mêmes équlatéaux. Les faces ans obtenues peuvent donc ête elles même subdvsées écusvement usqu'à obten le mallage voulu. Cette méthode pésente un cetan nombe d avantages dans note cas : Les sufaces sont toutes égales de fome et d ae à un nveau donné. Elles sont assmlables, poetées su la sphèe, à un angle solde élémentae conque. Elles sont épates unfomément su l octaède. La subdvson d un tangle pèe en quate fls se fat dans la suface du pèe (ce qu n est pas le cas pou la tangulaton de Delaunay) L octaède pésente, ente aute, une dscontnuté su le plan xy comme peut en pésente une éflectance (éfléche et éfactée). Une fos poeté su la sphèe on obtent un mallage ndépendant de la paamétsaton de la sphèe (une paamétsaton polae donnant un échantllonnage égule). DEA I.I.L I.R.I.T

33 Ce type de mallage est dt mult-ésoluton : un tangle fls a une ésoluton 4 fos plus fne que son pèe. Une fos poeté su la sphèe ce mallage consttue une dscétsaton pesque égulèe de la sphèe tant pou la suface que pou les dectons. Pesque égulèe, ca los de la poecton le mallage subt une défomaton due à la coubue de la sphèe. c b d a d d o Fgue : Poecton d une aête subdvsée de l octaède On note que ac mas que b est plus gand que a! Matheu Robat [Rob99] popose de poete les tangles su la sphèe apès chaque subdvson pou dmnue ces défomatons. C est cette méthode que nous utlseons. L mpact des défomatons peut encoe ête dmnué s l on pat, pa exemple,d un dodécaède au leu de l octaède. Fgue : Subdvson/poecton d un octaède DEA I.I.L I.R.I.T

34 4... Implémentaton Nous avons voulu développe une dscétsaton de la sphèe adaptatve, c est à de que l on pusse subdvse plus dans une decton que dans une aute s le beson s en fat sent (pa exemple pou augmente la fnesse d échantllonnage su un pc spéculae) ou passe à une base dodécaèdque. On veut auss pouvo accéde faclement à toutes les dectons dscètes (tangles) quelque sot la ésoluton ans qu aux pèes, vosns et fls. Le poblème pncpal étant l odonnancement des éléments. Nous avons opté pou une paamétsaton vectoelle de la sphèe, ben plus égulèe dans note cas. Chaque tangle est oenté et numéoté pou un epéage unque de chaque decton Fgue 3 : numéotaton des sommets,des faces et oentaton de l octaède Tous les vosns d un tangle sont oentés en sens nvese à ce tangle. De plus, les sommets de chaque tangle sont numéotés suvant l oentaton de ce tangle de façon à fae coïncde ces numéos avec ceux des vosns : Fgue 4 : numéotaton des sommets des tangles DEA I.I.L I.R.I.T

35 Cette aangement pemet une subdvson écusve decte pou passe à la ésoluton supéeue tout en consevant les popétés que l on vent de défn. 3 Fgue 5 : numéotaton des fls et des sommets des fls Un fls n ( n ) a donc le sommet n en commun avec son pèe, ce sommet est lu même numéoté n pou le fls. Il est oenté dans le sens nvese de son pèe. Le fls 3 ne patage pas de sommet avec son pèe, l est oenté dans le sens du pèe. Touous pou conseve les mêmes popétés les vosns (s ls exstent) sont numéotés de la façon suvante : Fgue 6 : numéotaton des vosns Un vosn est numéoté s l a en commun les sommets et avec le tangle, s l a en commun les sommets et et dans le dene cas ( et ). Pou fn nous avons défn un opéateu d accès à la base, l pend un vecteu V (decton) et un nveau de ésoluton et l etoune le numéo du tangle ponté à cette ésoluton. Pou savo s V ponte un tangle T on egade s V est au dessus de chacun des 3 plans Pn défns pa le cente et deux sommets de T. C est à de s le podut scalae de V avec la nomale(oenté ves l ntéeu du tangle T) de chacun des Pn est postf. S c est le cas on applque le même algothme écusvement aux fls usqu à la ésoluton souhatée. DEA I.I.L I.R.I.T

36 Code C++ de la subdvson : vod Tangle::Subdvse() { //s non subdvsé f (!_sub) { // sommets des fls Vecteu3D *sfls[3]; nt ; _sub; fo (;<3;++) sfls[] new Vecteu3D; // céaton ou sélecton des sommets des fls fo (;<3;++) *sfls[] ((_vosn[])&&(_vosn[]->subdvsed()))? *(_vosn[]->getfls(3)->getsommet()) : ((*_sommet[(+)%3])+(*_sommet[(+)%3])).nome(); //céaton des fls: //paamètes pou le constucteu de tangles: // (sommet, sommet, sommet3, pèe, oentaton, no du fls) _fls[3] new Tangle(sfls[],sfls[],sfls[],ths,_oent,3); _fls[] new Tangle(_sommet[],sfls[],sfls[],ths,-_oent,); _fls[] new Tangle(sfls[],_sommet[],sfls[],ths,-_oent,); _fls[] new Tangle(sfls[],sfls[],_sommet[],ths,-_oent,); //Lason avec les vosns s'l y en a. fo(;<3;++) { f((_vosn[])&&(_vosn[]->subdvsed())) { _vosn[]->getfls((+)%3)->setvosn((+)%3,_fls[(+)%3]); _vosn[]->getfls((+)%3)->setvosn((+)%3,_fls[(+)%3]); _fls[(+)%3]->setvosn((+)%3,_vosn[]->getfls((+)%3)); _fls[(+)%3]->setvosn((+)%3,_vosn[]->getfls((+)%3)); } _fls[]->setvosn(,_fls[3]); _fls[3]->setvosn(,_fls[]); } fo(;<4;++) _fls[]->setnomales(); } } A ce nveau nous pouvons déà epésente une foncton défn su une sphèe. Pa exemple s l on effectue une subdvson au quatème nveau on peut mémose su chaque tangle de ce nveau la éflectance dans la decton du cente des tangles pou un pas d échantllonnage d envon 5. Mas cela epésente une quantté d nfomaton consdéable pou un gand nombe de éflectances (une BRDF pa exemple). C est pouquo on va cheche à epésente les données sous fome compessée. Nous allons pofte de la fome mult-ésoluton de note mallage pou mplémente une compesson pa ondelettes selon la méthode du lftng scheme ntodute pa Schöde. DEA I.I.L I.R.I.T