Docteur de l École Nationale Supérieure d'arts et Métiers

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1 N : 009 ENAM 0008 Ecole doctorale n 43 : Scences des Méters de l Ingéneur H È S E pour obtenr le grade de Docteur de l École Natonale Supéreure d'arts et Méters Spécalté Mécanque présentée et soutenue publquement par Vuong-Deu RINH le 0 avrl 009 FORMULAION, DÉVELOPPEMEN E VALIDAION D ÉLÉMENS FINIS DE YPE COQUES VOLUMIQUES SOUS- INÉGRÉS SABILISÉS UILISABLES POUR DES PROBLEMES A CINÉMAIQUE E COMPOREMEN NON LINÉAIRES Drecteur de thèse : Alan COMBESCURE Co-encadrement de la thèse : Fard ABED-MERAIM Jury : Alan COMBESCURE, Professeur, LaMCoS, INSA de Lyon... Examnateur Bruno COCHELIN, Professeur, LAM, Ecole Centrale de Marselle... Rapporteur Perre VILLON, Professeur, Laboratore Roberval, UC... Rapporteur Jean-Phlppe PONHO, Professeur, LAS, Unversté de Lège Examnateur Fard ABED-MERAIM, Maître de Conférences, LPMM, ENSAM de Metz... Examnateur Patrck MASSIN, Drecteur du LaMSID, UMR EDF-CNRS Examnateur Jean-Franços BILLAUD, Ingéneur, CEIM... Examnateur X Xaver DESROCHES, Docteur, LaMSID, UMR EDF-CNRS Invté Laboratore de Physque et Mécanque des Matéraux Arts et Méters Parsech, centre de Metz Arts et Méters Parsech (Ecole Natonale Supéreure d Arts et Méters) est un Grand Etablssement dépendant du Mnstère de l Ensegnement Supéreur et de la Recherche, composé de hut centres : AIX-EN-PROVENCE ANGERS BORDEAUX CHÂLONS-EN-CHAMPAGNE CLUNY LILLE MEZ PARIS

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3 able des matères ABLE DES MAIÈRES... ABLE DES FIGURES...3 LISE DES ABLEAUX...4 INRODUCION...6 CONEXE...7 MOIVAION DE LA HÈSE...8 OBJECIFS E CONENU DE LA HÈSE...9 CHAPIRE I ÉUDE BIBLIOGRAPHIQUE.... ÉUDES DE LA MMC E DE LA MEF..... Cnématque des mleux contnus..... Contrantes, équatons d équlbre et déformatons Relaton de comportement Prncpe des travaux vrtuels Prncpe varatonnel Dscrétsaton par éléments fns...8. MODÉLISAIONS DE COQUES EXISANES..... Modélsaton de coque trdmensonnelle dégénérée..... Modélsatons de coque en formulaton mxte Modélsatons solde coques...7 CHAPIRE II ÉLÉMENS COQUES VOLUMIQUES SHB EN LINÉAIRE ÉLÉMEN COQUE VOLUMIQUE SHB Modélsaton SHB6 en lnéare Cnématque et nterpolaton Opérateur gradent dscrétsé Formulaton varatonnelle utlsée pour l élément SHB Analyse des modes de «hourglass» pour l élément SHB Projecton par Assumed local stran method Matrce de rgdté géométrque K...45 σ..7. Forces suveuses et matrce de presson K...46 P.. Valdaton de l élément coque volumque SHB6 en lnéare Poutre en flexon smple Plaque en flexon et csallement dans son plan Poutre vrllée soumse à un effort tranchant Coque sphérque pncée Coque sphérque pncée avec mélange d éléments Coque cylndrque pncée avec daphragmes Plaque crculare soumse à une force ponctuelle Étude fréquentelle d une poutre lbre encastrée Flambement d un cylndre lbre sous presson externe ÉLÉMENS COQUES VOLUMIQUES SHB5 E SHB0...68

4 .. Modélsaton SHB5 en lnéare Cnématque et nterpolaton Opérateur gradent dscrétsé Modélsaton SHB0 en lnéare Cnématque et nterpolaton Opérateur gradent dscrétsé Formulaton varatonnelle utlsée pour les éléments SHB5 et SHB Matrce de rgdté géométrque K...95 σ..5. Forces suveuses et matrce de presson K...97 P.3. Valdaton des éléments coques volumques SHB5 et SHB0 en lnéare Poutre en flexon smple Plaque en flexon et csallement dans son plan Poutre vrllée soumse à un effort tranchant Coque sphérque pncée Coque cylndrque pncée avec daphragmes Plaque crculare soumse à une force ponctuelle Étude fréquentelle d une poutre lbre encastrée Flambement d un cylndre lbre sous presson externe Poutre en flexon avec dvers élancements Flambage d une coque cylndrque avec radsseur...09 CHAPIRE III ÉLÉMENS COQUES VOLUMIQUES SHB EN NON LINÉAIRE.4. NON-LINÉARIÉS GÉOMÉRIQUES...4. NON-LINÉARIÉS MAÉRIAUX CAS ESS NON LINÉAIRES GÉOMÉRIQUES E MAÉRIAUX Poutre console soumse à un effort tranchant Flambage d un panneau cylndrque épas soums à une force ponctuelle Flambage d un panneau cylndrque mnce soums à une force ponctuelle Coque cylndrque sans daphragmes soumse à une force ponctuelle...30 CONCLUSIONS E PERSPECIVES...35 BIBLIOGRAPHIE...37

5 able des fgures Fgure. Schéma de fonctonnement d une centrale nucléare...7 Fgure. Exemple de mallage 3D et centrales nucléares...8 Fgure 3. Cnématque des mleux contnus... Fgure 4. Facette de normale...4 Fgure 5. Modèles coques 3D d Ahmad... Fgure 6. Modèles coques 3D de Km Y.H.... Fgure 7. Hypothèse cnématque de Ressner Mndln...3 Fgure 8. Élément de référence de coque trangulare à 3 nœuds...4 Fgure 9. Élément de référence SHB6 et ses ponts d ntégraton...3 Fgure 0. Géométre, chargement et condtons aux lmtes pour le test de la poutre en flexon smple ; un exemple de mallage (xx)x...49 Fgure. Géométre, chargement et déformée de la plaque en flexon et csallement dans son plan ; un exemple de mallage (x4x)x...50 Fgure. Poutre vrllée soumse à un effort tranchant ; un exemple de mallage (x4x)x...54 Fgure 3. Hémsphère pncé ; un exemple de mallage 3x(5x5x)x...56 Fgure 4. Hémsphère pncé (SHB6 à un seul sommet) ; un exemple de mallage 4x(7x7x)...57 Fgure 5. Mallage mxte de l hémsphère pncé (SHB6 aux 3 sommets)...58 Fgure 6. Géométre, chargement et déformée de la coque cylndrque pncée avec daphragmes...60 Fgure 7. Géométre, chargement et déformée de la plaque crculare soumse à une force ponctuelle ; un exemple de mallage 3x(4x4x)x...6 Fgure 8. Géométre, chargement et modes propres de la poutre lbre encastrée ; un exemple de mallage (30x3x)x...65 Fgure 9. Géométre, chargement et condtons aux lmtes du cylndre sous presson externe ; un exemple de mallage (0x30x)x...66 Fgure 0. Courbe de convergence et modes de flambement du cylndre sous presson externe ; un exemple de mallage (0x30x)x...67 Fgure. Géométre de l élément de référence SHB5 et ses ponts d ntégraton...68 Fgure. Géométre de l élément de référence SHB0 et ses ponts d ntégraton...80 Fgure 3. Géométre, chargement et condtons aux lmtes pour le test de la poutre en flexon avec dvers élancements ; un exemple de mallage (0xx) SHB0...0 Fgure 4. Géométre, condtons aux lmtes et er mode de flambage d un quart de coque cylndrque avec radsseur ; un exemple de mallage mxte de 60 éléments SHB8PS pour le radsseur et 360 éléments SHB6 pour la coque prncpale... Fgure 5. Géométre ntale et er mode de flambage de la coque cylndrque avec radsseur ; un exemple de mallage de : a) 300 éléments SHB5 ; b) 00 éléments SHB0 3 Fgure 6. Géométre, chargement et déplacement de la poutre console en non-lnéare géométrque... Fgure 7. Géométre, chargement, condtons aux lmtes et déformée du panneau cylndrque épas sous force ponctuelle ; un exemple de mallage SHB6 de (30x30x)x... Fgure 8. Géométre, chargement, condtons aux lmtes et déformée du panneau cylndrque mnce sous force ponctuelle ; un exemple de mallage SHB6 de (5x5x)x...8 Fgure 9. Géométre, chargement, condtons aux lmtes et déformée de la coque cylndrque sous force ponctuelle ; un exemple de mallage SHB0 de (0x0x)...3 3

6 Lste des tableaux ableau. Données géométrques, matérau et de chargement pour le test de la poutre en flexon smple...48 ableau. Déplacement du pont A suvant Oz de la poutre en flexon smple...49 ableau 3. Données de géométre, matérau et de chargement du cas test de la plaque en flexon et csallement dans son plan...50 ableau 4. Résultats du déplacement du pont A suvant Oy de la plaque en flexon et csallement dans son plan...53 ableau 5. Données de géométre, chargement et de matérau de la poutre vrllée...54 ableau 6. Déplacement du pont A suvant Oz de la poutre vrllée...54 ableau 7. Données de géométre, matérau et de chargement de l hémsphère pncé...55 ableau 8. Déplacement du nœud A suvant Ox de l hémsphère pncé...56 ableau 9. Déplacement du pont A suvant Ox, mallage mxte SHB8PS et SHB6 en un seul sommet...57 ableau 0. Déplacement du pont A suvant Ox mallage mxte SHB8PS et SHB6 aux tros sommets de l hémsphère pncé...58 ableau. Données de géométre, chargement et de matérau du test de la coque cylndrque pncée avec daphragmes...59 ableau. Déplacement du pont A suvant Oz de la coque cylndrque pncée avec daphragmes...60 ableau 3. Données de géométre, chargement et de matérau de la plaque crculare soumse à un effort ponctuel...6 ableau 4. Déplacement du pont A suvant Oz de la plaque crculare soumse à un effort ponctuel...6 ableau 5. Données géométrques et matérau de la poutre lbre encastrée...63 ableau 6. Fréquences propres de la poutre lbre encastrée...64 ableau 7. Données géométrques et matérau du cas test de flambement d un cylndre lbre sous presson externe...65 ableau 8. Pressons crtques de flambage du cylndre sous presson externe...66 ableau 9. Déplacement du pont A suvant Oz de la poutre en flexon smple...00 ableau 0. Déplacement du pont A suvant Oy de la plaque en flexon et csallement dans son plan...0 ableau. Déplacement suvant Oz du pont A de la poutre vrllée...0 ableau. Déplacement du nœud A suvant Ox de l hémsphère pncé...03 ableau 3. Déplacement du pont A suvant Oz du cylndre pncé avec daphragmes...05 ableau 4. Déplacement du pont A suvant Oz de la plaque crculare soumse à un effort ponctuel...06 ableau 5. Presson crtque de flambage du cylndre lbre sous presson externe...08 ableau 6. Données géométrques, matérau et de chargement pour le test de la poutre en flexon smple avec dvers élancements...09 ableau 7. Déplacement du pont A suvant Oz de la poutre en flexon smple avec dvers élancements...0 ableau 8. Résultats du test de flambement de la coque cylndrque avec radsseur... ableau 9. Paramètres géométrques et matérau de la coque cylndrque avec radsseur.. ableau 30. Données géométrques et matérau de la poutre console...9 ableau 3. Soluton de référence pour le cas test de la poutre console en non-lnéare géométrque...0 4

7 ableau 3. Résultats obtenus pour le cas test de la poutre console en non-lnéare géométrque...0 ableau 33. Données de géométre et de matérau du panneau cylndrque épas sous force ponctuelle... ableau 34. Résultats obtenus du déplacement du pont A suvant Oz du panneau cylndrque épas soums à une force ponctuelle...3 ableau 35. Données de matérau élasto-plastque du panneau cylndrque sous force ponctuelle...4 ableau 36. Données de matérau élasto-plastque du panneau cylndrque épas sous force ponctuelle...4 ableau 37. Résultats obtenus du déplacement du pont A suvant Oz du panneau cylndrque épas soums à une force ponctuelle...6 ableau 38. Données de géométre et de matérau du panneau cylndrque mnce sous force ponctuelle...7 ableau 39. Résultats de référence...9 ableau 40. Données de géométre et de matérau de la coque cylndrque sous force ponctuelle...30 ableau 4. Résultats obtenus des déplacements des ponts A, B et C de la coque cylndrque soumse à une force ponctuelle...3 5

8 Remercements Ce traval a été réalsé dans le cadre d une collaboraton entre le Laboratore de Physque et Mécanque des Matéraux (LPMM) de l ENSAM CER de Metz, le Laboratore de Mécanque des Contacts et des Soldes (LaMCoS) de l INSA de Lyon et le Laboratore de Mécanque des Structures Industrelles Durables (LaMSID), dans le cadre d un partenarat avec EDF R&D et le CEIM. Je remerce Monseur le Professeur El Mostafa DAYA, drecteur du LPMM et Monseur Patrck MASSIN, drecteur du LaMSID, pour leurs accuels chaleureux et pour avor accepté que j effectue mes travaux de recherche au sen de leurs laboratores dans de bonnes condtons. Je remerce tout partculèrement M. Fard ABED-MERAIM qu m a encadré tout le long de l étude, m nsprant la rgueur nécessare et un certan professonnalsme. Il s est fortement mplqué dans ce traval et je lu en sus reconnassant. Messeurs les Professeurs Bruno COCHELIN et Perre VILLON m ont fat le plasr et l honneur d être rapporteurs de ma thèse, je les remerce vvement pour l ntérêt qu ls ont porté à mon traval et pour avor accepté la lourde tâche que comporte le traval de rapporteur. Je remerce également sncèrement Monseur le Professeur Jean-Phlppe PONHO, d avor accepté d examner et d évaluer ce traval de thèse ; Monseur le Drecteur du LaMSID Patrck MASSIN et Monseur Jean-Franços BILLAUD qu ont examné mon traval avec son et ont valorsé mon traval d un pont de vue ndustrel, ce qu est une de mes grandes préoccupatons. Je remerce M. Xaver DESROCHES pour m avor fat le plasr de partcper à mon jury de thèse. J a eu également beaucoup de plasr à travaller avec lu au cours de l étude. Jean-Mchel PROIX et Jean-Franços BILLAUD ont été des partenares préceux, vore ndspensables, tant d un pont de vue technque qu human, je les remerce sncèrement car ls ont grandement partcpé à la réalsaton de ce traval. Je tens à remercer tous mes collègues du LPMM et du LaMSID qu m ont adé en répondant à mes questons. Que ma famlle et tous mes ams soent assurés de mon mmense grattude et de ma sncère reconnassance pour leur souten permanent. Il me faudrat des sècles enters pour remercer mon drecteur de thèse Monseur le Professeur Alan COMBESCURE, car celu qu m apprend une lettre, je sera pour lu un esclave. Quant à lu, l état pour mo le bon drecteur qu m a mprégné la mécanque des structures, et le vra Professeur reconnu par sa modeste, et ses dées clares, pertnentes et encourageantes qu ont fat de mo un jeune ngéneur chercheur ambteux prêt à conquérr le monde. Enfn, l est sûr que j ouble certanes personnes qu ls m en excusent. ros années m ont perms de rencontrer beaucoup de personnes, qu ont toutes eu un rôle dans ma ve et par conséquent dans la constructon de ce traval. Ils se reconnaîtront.

9 Introducton Contexte Le groupe EDF est un leader européen de l énerge, présent sur tous les méters de l électrcté, de la producton au négoce et de plus en plus actf sur la chaîne du gaz en Europe. Acteur prncpal du marché franças de l électrcté nucléare, l est soldement mplanté en Grande-Bretagne, en Allemagne et en Itale. EDF garantt la maîtrse technque et économque de ses moyens de producton d électrcté, de la concepton à la fn de ve. Les exgences de sûreté et de dsponblté nécesstent d étayer les décsons de mse en explotaton, de réparaton ou de remplacement par la smulaton numérque. L analyse du comportement réel et des rsques des structures mécanques et de géne cvl en fonctonnement passe par la maîtrse des modélsatons non lnéares en mécanque et en thermque. Pour répondre à ces enjeux, le département Analyses Mécanques et Acoustques de la dvson Recherche et Développement d EDF a développé un code de calcul mécanque par éléments fns nommé Code-Aster. Au sen des untés de producton, on peut dénombrer des matérels : réacteurs nucléares, tuyauteres, encente de confnement, pompes, tour de refrodssement etc. (vor Fgure ans qu un Exemple de mallage 3D et centrales nucléares Fgure ). Ce sont des structures mnces (une dmenson très fable par rapport au deux autres dmensons). Pour modélser ces structures, nous pouvons utlser des éléments fns de type coque D. Pourtant, ces structures sont souvent raccordées aux autres structures épasses (fondatons, supports, murs ) qu sont modélsées par des éléments fns volumques 3D. La lason entre deux types d éléments D et 3D nous pose donc un problème de raccordement entre ces mallages D et 3D. Le développement d un élément fn de type coque solde qu a un comportement coque mas avec une géométre trdmensonnelle devent ans un réel beson. Fgure. Schéma de fonctonnement d une centrale nucléare 7

10 Introducton Fgure. Exemple de mallage 3D et centrales nucléares Un élément de type solde coque de géométre hexaédrque à cnq ponts de Gauss a récemment été mplanté dans le code ASER. Les bonnes performances de cet élément, nommé SHB8PS, ont été mses en évdence par Abed-Meram et Combescure [], ans que par Legay dans [5]. Cet élément représente une coque épasse obtenue à partr d une formulaton purement trdmensonnelle. Il possède hut nœuds et cnq ponts d ntégraton réparts selon la drecton de l épasseur. La lo de comportement trdmensonnelle a également été modfée pour se rapprocher du comportement des coques et évter certans verroullages (csallement, membrane). Pour élmner les modes à énerge nulle dus à la sousntégraton, une technque effcace de stablsaton a été utlsée en suvant la démarche de Belytschko et Bndeman [], Belytschko et al. [3]. De même, l opérateur gradent dscrétsé a été modfé pour l élmnaton des dfférents blocages. Ans, la verson obtenue de cet élément possède les avantages suvants : Capacté à modélser des structures trdmensonnelles mnces avec peu d éléments de mallage grâce à l élancement mportant toléré (gan de temps de calcul sgnfcatf) ; Mallage smplfé de géométres complexes où coques et éléments soldes dovent cohabter (renforts ou brdes par exemple) sans avor les problèmes classques de raccordements de mallages fats de dfférents types d éléments. Motvaton de la thèse outefos, l élément hexaédrque SHB8PS ne permet pas de maller des géométres de formes complexes quelconques. Le développement d un élément smlare mas de géométre prsmatque est donc nécessare : SHB6. Pluseurs travaux de recherche sur l élément de coque volumque SHB6 à sx nœuds ont été réalsés et mplantés dans le code de calcul INCA. L élément SHB6 est également sousntégré. Outre la réducton consdérable des temps de calculs, la méthode de sous-ntégraton permet de rédure nombre des dfférents verroullages rencontrés dans la mse en œuvre numérque des éléments fns. Cependant, cette sous-ntégraton n a pas que des avantages : elle ntrodut malheureusement des modes parastes assocés à une énerge nulle. En statque, cec peut condure à une sngularté de la matrce de radeur globale pour certanes condtons aux lmtes. En dynamque transtore, en revanche, cela condut à des modes en sabler «hourglass» qu vont déformer le mallage de façon rréalste et qu fnssent par fare 8

11 Introducton dverger la soluton. Cette défcence du rang de la matrce de radeur, due à la sousntégraton, dot donc être comblée en rajoutant à la rgdté élémentare une matrce de stablsaton. Le noyau de la nouvelle rgdté, obtenue par ce moyen, dot se rédure aux seuls modes correspondants aux mouvements de corps rgdes. Les premères études menées sur le SHB6 (Abed-Meram et al.) ont prouvé que cet élément ne présentat pas de modes de hourglass, mas après mplantaton, elles ont auss montré que celu-c présentat un sévère blocage numérque, notamment dans les problèmes domnés par la flexon où un csallement paraste ndut un verroullage en csallement. La méthode «Assumed stran» a ensute été utlsée pour élmner certans verroullages de cet élément SHB6. Le prncpe de cette méthode, largement utlsée dans la lttérature, consste à projeter l opérateur gradent dscrétsé B sur un sous-espace appropré afn d évter les dfférents problèmes lés au verroullage. Les auteurs ont réalsé dfférentes projectons pour trouver celle qu élmne le maxmum de verroullages. Leurs travaux ont apporté quelques améloratons à l élément SHB6 qu a montré une assez bonne convergence dans pluseurs cas-tests adaptés aux éléments de coques. Cependant, certans verroullages sévères de type csallement ou membrane persstaent encore dans certanes stuatons montrant que la formulaton de l élément SHB6 pouvat encore être amélorée du pont de vue du verroullage. Motvés par ces premers résultats encourageants, nous poursuvons l effort mené sur l élément SHB6 pour aboutr à une verson qu souffre le mons de verroullage. Objectfs et contenu de la thèse Ce traval entre dans le cadre général du développement et de la valdaton d éléments fns de type coques volumques, stables et effcaces dans le code de calcul ASER développé par EDF R&D. Ce projet regroupe quatre partenares : le LaMSID EDF R&D, le CEIM, le LaMCoS de l INSA de Lyon et le LPMM de l ENSAM CER de Metz. Le premer objectf est de développer des éléments fns à géométre volumque capables de représenter correctement et effcacement le comportement de structures mnces. En effet, dans sa démarche de concepton et de valdaton des structures, l ngéneur est souvent confronté à des calculs en éléments fns très coûteux en temps. Auss, le recours à des éléments à nterpolaton lnéare et aux méthodes de sous-ntégraton est de plus en plus courant. Afn d évter les verroullages, nous utlsons la méthode «Assumed stran». Ces technques sont exposées dans le premer chaptre de la thèse. Le premer chaptre fat état d une revue bblographque qu apporte des éléments théorques sur les dfférentes méthodes de développement des éléments fns coques volumques réalsées par des recherches durant ces dernères décennes. Le deuxème chaptre décrt la formulaton de l élément fn solde coque SHB6 et des modfcatons ntrodutes dans sa formulaton. Ensute, une sére de cas tests standards de la lttérature lu sera applquée. À travers ces exemples numérques, les améloratons ntrodutes par rapport aux dfférents blocages seront mses en évdence. Des résultats relatfs à la rapdté de convergence seront auss donnés et des comparasons seront fates avec d autres éléments fns 3D. 9

12 Introducton Le deuxème chaptre présente également une extenson de cette famlle d éléments fns de type solde coque. Nous développons donc deux éléments fns de géométre prsmatque et hexaédrque, respectvement, mas de formulaton quadratque nommés SHB5 et SHB0. Ce sont successvement des éléments à 5 et 0 nœuds. Ils sont également sousntégrés par 5 et 0 ponts de Gauss et possèdent une drecton prvlégée selon l épasseur de l élément. Une sére de cas tests numérques standards est également exposée pour montrer les gans et avantages en termes de convergence ans qu en termes de temps de calcul apportés par ces éléments par rapport aux autres éléments fns 3D. Par alleurs, l élément SHB8PS actuel a été couplé à seulement certanes los de comportement telles que élastque ou élasto-plastque avec écroussage sotrope de type von Mses. Le second objectf de cette étude est d élargr le champ d applcaton de l élément SHB8PS ans que les autres éléments fns solde coques SHB6, SHB5 et SHB0 à d autres los de comportement du code ASER. Le trosème chaptre présente le prncpe théorque de ce couplage ans que des cas tests pour valder cette approche. 0

13 Chaptre I Étude bblographque Dans sa démarche de concepton et de valdaton des structures, l ngéneur en mécanque a de plus en plus recours aux outls numérques de smulaton. La méthode numérque la plus répandue et certanement la plus utlsée de nos jours est la méthode des éléments fns (MEF). Cependant, la méthode des éléments fns classque, basée sur la formulaton trdmensonnelle du prncpe des travaux vrtuels et utlsant des approxmatons de bas degrés, devent neffcace lorsqu elle est applquée à des structures mnces (arches, planchers, voles ). Or, ces dernères consttuent la majorté des structures ndustrelles et de géne cvl. Pour résoudre ce problème, pluseurs travaux de recherche ont été menés dans lesquels les auteurs ont développé pluseurs technques et pluseurs modélsatons dfférentes de l approche coque. Dans l objectf de développer des éléments solde coques performants, nous allons présenter brèvement certanes technques et modélsatons d éléments fns de type coque ssus de la lttérature que nous trouvons proches de notre objectf. Cette étude bblographque sur le développement des modélsatons de coques réalsées le long des tros dernères décennes, nous donne une vson globale des avantages et des nconvénents de chaque modélsaton. Cela nous permet d avor une drecton de traval plus pertnente. Dans ce chaptre, nous allons rappeler quelques notons de base de la mécanque des mleux contnus (MMC), de la MEF, et des modélsatons de type coques exstantes.

14 Etudes bblographques. Études de la MMC et de la MEF Le contenu de ce paragraphe résulte d une pette synthèse des références consultées suvantes: Batoz et Dhatt [6], Dhatt et ouzot [34], Zenkewcz et aylor [9]. Nous commençons d abord par un rappel des théores de base de la mécanque des mleux contnus... Cnématque des mleux contnus Consdérons un corps solde quelconque à l état ntal appelé confguraton ntale Ω O. Ce corps qu est soums à dfférentes sollctatons statques et/ou dynamques, se transforme au cours du temps t. À un nstant t quelconque, l arrve à un nouvel état appelé confguraton actuelle Ω (vor Fgure 3). t M O U M t x z X O O y ΩO X t Ω t Fgure 3. Cnématque des mleux contnus Afn de décrre cette transformaton, nous utlsons un repère cartésen global O( x, y, z ). Donc, un pont M o matérel quelconque appartenant à Ω O est repéré par le vecteur des coordonnées XO ( xo, yo, zo). À l nstant t, le pont M o devent un nouveau pont M t appartenant à Ω t qu est mantenant repéré par le vecteur des coordonnées Xt ( xt, yt, zt). Dans le cadre d une descrpton lagrangenne, nous pouvons écrre : X = X + M M = X + U t O O O où le vecteur U est appelé le déplacement du pont M. L équaton () peut se réécrre sous la forme matrcelle suvante : o ()

15 Etudes bblographques Nous avons : x xo u x= y = x + u = y + v () o o z z o w x x x x0 y0 z0 dx 0 + u, x u 0, y u 0, z dx 0 0 x y y y dx= d dy v v v dy x = = + = F dx xo z z z x0 y0 z0 o 0, x0, y0, z0 0 o x0 y0 z0 dz0 w, x w 0 0, y + w dz 0, z 0 (3) La matrce F est appelée le tenseur gradent de transformaton. Nous écrvons également : F= I+ L0; L0 = D0 + W0 u, x ( u ) ( ) 0, y + v 0, x u 0, z + w 0, x0 u, x u 0, y u 0, z0 L0 = v, x v ( ) 0, y v 0, z ; v, y v 0, z w D = 0, y ; 0 L + L = + w, x w 0, y w 0, z0 sym w, z0 0 θz θ y W 0 = 0 0 = θz 0 θx L L θy θx 0 avec θx = ( w, y v ) ( ) ( ) 0, z ; θ 0 y = u, z w 0, x ; θ 0 z = v, x u 0, y0 où θx, θy, θ z représentent des rotatons nfntésmales autour des axes x, yz,, ne produsant aucune déformaton. D 0 est le tenseur des déformatons lnéarsées, ou pettes déformatons... Contrantes, équatons d équlbre et déformatons Consdérons la force f qu s exerce sur un élément de surface pont M dans la confguraton Ω (vor Fgure 4). t S de normale n au 3

16 Etudes bblographques S n Ω t M f x z O y Fgure 4. Facette de normale n Le vecteur des contrantes au pont M est défn par le postulat de Cauchy : f σ ( M, n ) = lm S (4) 0 S Il exste ans une nfnté de vecteurs des contrantes au pont M dépendant de σ, σ j, σ k les vecteurs des contrantes agssant, l orentaton du vecteur n. Soent ( ) ( ) ( ) respectvement, sur les facettes de normales,, j k du repère cartésen (,, ) composantes sont défnes de la manère suvante en coordonnées cartésennes : O x y z. Leurs ( ) () ( ) σ = σ + σ j+ σ k xx yx zx σ j = σ + σ j+ σ k xy yy zy σ k = σ + σ j+ σ k xz yz zz (5) Le tenseur des contrantes de Cauchy au pont M est défn par : σ xx σxy σ xz σ = σ yx σ yy σ yz (6) σ zx σzy σ zz L équlbre des moments autour des axes passant par M, en l absence de couples réparts à l ntéreur et à la surface du solde condut à : σ = σ ; σ = σ ; σ = σ (7) xy yx xz zx yz zy Nous défnssons ans le vecteur des contrantes σ à sx composantes : σ (8) = σxx σ yy σzz σxy σxz σzy Le solde dans la confguraton actuelle Ω t est soums à des sollctatons comme des forces surfacques f s applquées sur une parte de la frontère Ω t, des déplacements 4

17 Etudes bblographques mposés u d applqués sur une parte de la frontère Ω t, et des forces volumques f v (qu peuvent contenr des termes d nerte). La somme des partes de la frontère Ω t et Ω t représente le frontère totale fermée Ω t de Ω t. L équlbre du système s écrt de la façon suvante : ( ) ( M ) ( M ) dv σ + fv = 0 M Ωt u = ud M Ωt σ n= fs M Ωt où dv = x y z (9) Dans notre étude des structures mnces, subssant des transformatons élastques caractérsées par de grands déplacements et de pettes déformatons, on utlse la mesure des déformatons de Green Lagrange lnéarsé : ou encore : u, x ( u, y + v, x) ( u, z + w, x) ε xx εxy εxz ε = v, y ( v, z + w, y) = ε yy ε yz (0) sym ε sym w zz, z εxx εxx u, x ε ε v yy yy, y ε zz ε zz w, z ε = = = () εxy γ xy u, y + v, x ε xz γ xz u, z + w, x εyz γ yz v, z + w, y Les déformatons ε xx, εyy, ε zz (parfos notées ε x, εy, ε z) sont les déformatons dtes normales ; ε xy, εxz, ε yz (ou γ xy, γ xz, γ yz) sont les déformatons de csallement..3. Relaton de comportement Pour un matérau donné, sa relaton de comportement ou sa lo consttutve permet de détermner les contrantes en foncton des déformatons, des varables nternes Pour les matéraux dts élastques lnéares, les contrantes sont des fonctons lnéares des déformatons. Ces relatons se tradusent sous la forme smple générale : σ = C ε+ σ () 0 5

18 Etudes bblographques où C est un tenseur de comportement d ordre 4 dont les composantes font ntervenr les caractérstques physques du matérau, σ 0 est le tenseur de contrante à l état ntal (pour smplfer l écrture du problème, nous supposons que σ = 0 0 dans la sute). Les tenseurs σ et ε étant symétrques, nous avons : C = C et C = C (3) jkl jkl jkl jlk En notaton de Vogt, nous écrvons ans : σ = C ε (4) où C est une matrce de comportement 6x6. σ et ε sont donnés en (8) et (). En élastcté trdmensonnelle, la matrce de comportement d un matérau élastque lnéare homogène et sotrope est de la forme suvante : ν ν ν ν ν ν E ν 0 0 C = ( + ν)( ν ) ν 0 ν sym où E est le module d'young et ν est le coeffcent de Posson (5).4. Prncpe des travaux vrtuels Le prncpe des travaux vrtuels consste à satsfare l équaton d équlbre local (9) sous forme ntégrale, on dt auss sous forme «fable» : ( ( ) v ) W = + = * * u dv σ f dv 0 u (6) Ωt * où u représente un ensemble de fonctons tests : les déplacements vrtuels. On peut transformer le premer terme de cette équaton en effectuant une ntégraton par partes : ( ) u dv σ dv = u σ dv = u σ n ds u σ dv (7) * * * * j, j j j, j j Ωt Ωt Ωt Ωt Afn de rédure le nombre d nconnues du problème, on chost un champ des déplacements vrtuels nul sur Ω t (.e. cnématquement admssble). Nous avons ans : 6

19 Etudes bblographques u σ n ds = u σ n ds + u σ n ds = u f ds (8) * * * * j j j j j j s Ωt Ω t Ωt Ω t On obtent fnalement la forme fable de l équlbre du système dans la confguraton actuelle Ω : t * * * * W = u : σ dv u fv dv u fs ds = Wnt Wext = 0 u Ωt Ωt Ωt W = u : σ dv ; W = u f dv + u f ds / u = 0 sur Ω * * * * nt ext v s t Ωt Ωt Ωt (9) On défnt les déformatons vrtuelles : ε = ε ε ε ε ε ε = * * * * * * * xx yy zz xy xz yz = u v w u + v u + w v + w * * * * * * * * *, x, y, z, y, x, z, x, z, y (0) En ntrodusant les équatons (4) et (0) dans (9), on obtent l expresson du prncpe * des travaux vrtuels sous forme ntégrale en foncton de u et u : ( ) W u, u = ε C ε dv u f dv u f ds = 0 u * * * * * v s Ωt Ωt Ωt * u = 0 sur Ω t et u= ud sur Ωt () Un problème d élastcté consste ans à trouver u satsfasant l expresson (). Cette forme varatonnelle sert de base pour construre les modèles déplacements en éléments fns..5. Prncpe varatonnel Nous pouvons défnr un modèle général où toutes les relatons du problème d élastcté (9), () et (4) sont représentées sous forme varatonnelle comme la forme ntégrale suvante : W Ωt u dv σ f σ ε u u ε σ C ε ( ( ) v ) ( ) ( ) * * * = ( ) ds ( ) u f σ n σ n u u ds = 0 u, σ, ε * * * * * s d Ω t Ωt dv () Après ntégraton par partes du premer terme de l équaton (), on obtent : 7

20 Etudes bblographques * * * * * W = + ( + ) ( ) u u σ σ ε u u ε σ C ε u f Ωt ( d ) ( ) ds ( ) ( ) u f σ n σ n u u + u σ n ds = 0 u, σ, ε * * * * * * s Ω t Ωt v dv (3) L expresson (3) est un prncpe varatonnel de type mxte (fasant ntervenr les varables mxtes : déplacements, déformatons, contrantes). Il exste une fonctonnelle Π telle que sa varaton en u, σ, ε corresponde à W de * * * l équaton (3). En dentfant δu u, δσ σ, δε ε, on a alors : Π ( u, σε, ) = ε C ε σ ε ( u+ u ) u fv dv Ω t u f σ n ds σ n u u ds avec δπ = W = 0 ( ) ( s ) [ ] ( d) Ω t Ωt L expresson (4) est parfos appelée fonctonnelle mxte à 3 champs de Hu Washzu..6. Dscrétsaton par éléments fns La méthode des éléments fns est une technque partculère d approxmaton des fonctons solutons par sous-domanes (éléments). Les nconnues notées U sont des valeurs de ces fonctons en certans ponts ou nœuds de chaque élément. La forme varatonnelle défne sur le mleu contnu est ans représentée par une forme varatonnelle dscrétsée qu fat ntervenr les nconnues nodales U. Nous pouvons résumer les démarches de la MEF comme sut : Représenter le domane de volume V par un ensemble d éléments de volume V e : V = V e (4) Représenter la géométre de chaque élément V e par une relaton d nterpolaton : ( ξηζ,, ) = ( ξηζ,, ) = ( ξηζ,, ) x N x N x I I I I I où x est la poston d un pont quelconque ; x I sont des coordonnées des nœuds I défnssant V e ; ( ξ, ηζ, ) sont des coordonnées paramétrques ; N I sont des fonctons d nterpolaton (fonctons de forme) dépendant des varables paramétrques. Représenter la foncton soluton u sur chaque élément : 8

21 Etudes bblographques ( ξηζ,, ) = ( ξηζ,, ) ; ( ξηζ,, ) = ( ξηζ,, ) u N u u N u * * * * I I I I * où u sont fonctons solutons ; u sont fonctons vrtuelles ; u I sont des varables nodales caractérsant la foncton soluton ; u * I sont des varables nodales * vrtuelles ; N I sont des fonctons de forme dépendant des varables paramétrques. * S N N nous avons des éléments so-paramétrques. I I Représenter la forme varatonnelle dscrétsée sur chaque élément en foncton de U et U : e * e ( ) W = U K U f * e e e e e où K e est la matrce de rgdté élémentare ; f e est le vecteur élémentare des sollctatons. Assembler la forme varatonnelle : W ( ) ( ) = W = U K U f = U K U F = 0 U e * * * e e e e e e sot K U = F * où K, F, U, U sont successvement la matrce de rgdté globale, le vecteur global des sollctatons, l ensemble des varables nodales, l ensemble des varables nodales vrtuelles obtenus par assemblage des matrces élémentares. Résoudre les relatons K U= F en tenant compte des condtons aux lmtes. Pour un problème lnéare : U= K F. Évaluer des quanttés relatves à chaque élément : - extrare U e de U - calculer des déformatons, des contrantes Pour des problèmes non-lnéares, l état de la confguraton à l nstant t + dépend de celu à l nstant t. Donc, la matrce de rgdté dépend également des varables que l on cherche. Le problème ne peut donc pas être résolu explctement. On va donc, le résoudre de façon tératve par l ntermédare d une sute de problèmes lnéares. Nous présentons c le prncpe de la méthode de Newton Raphson par exemple : - Supposons que l on at U t à l nstant t tel que : ( ) ( ) K Ut Ut F= R Ut 0 - On cherche U = U + U vérfant : + t t 9

22 Etudes bblographques ( ) ( ) K Ut+ Ut+ F= R Ut+ = 0 - En fasant un développement en sére de aylor au premer ordre, on obtent : R R( Ut+ ) = R( Ut + U) = R( Ut) + U+ ο U Ut ( ) ( ) R Ut K Ut U - On a alors le problème lnéare ( ) = ( ) K Ut U R U t à résoudre. Une fos trouvé U, on remet à jour U = + t+ Ut U et ans de sute. 0

23 Etudes bblographques. Modélsatons de coques exstantes.. Modélsaton de coque trdmensonnelle dégénérée Parm les premers à avor tenté de fournr une réponse au problème de coque, on peut cter Ahmad [3] dans les années 70. Ces modèles, nommés éléments fns trdmensonnels dégénérés, se basent sur des éléments so-paramétrques volumques n ayant que deux nœuds suvant la drecton de l épasseur (vor Fgure 5). Ans, ces éléments respectent l hypothèse de sectons drotes classquement admse pour les coques. À cela est ajoutée une modfcaton du prncpe des pussances vrtuelles afn de néglger l énerge engendrée par la déformaton normale transverse. Cette modfcaton mpose, en partculer, l utlsaton d une relaton de comportement matérau prenant en compte l hypothèse des contrantes planes ( σ zz = 0 ). a) Modèle à 6 noeuds b) Modèle à 4 noeuds Fgure 5. Modèles coques 3D d Ahmad L auteur défnt les contrantes par la formule suvante : σ ε x x σ y ε y τ xy ε xy τ xz ε xz τ yz ε yz σ = = C ε = C où C est une matrce de comportement du matérau (5x5) ansotrope en général. Dans le cas d un matérau sotrope, cette matrce s écrt :

24 Etudes bblographques ν ν 0 0 E C = ( ν ) ν 0 k ν sym. k où E est le module d Young, ν est le coeffcent de Posson, et une constante k ntrodute dans les deux derners termes de csallement vaut 6/5 =,. Le rôle de k est d amélorer l approxmaton de déplacement en csallement. Selon la défnton des déplacements de cette modélsaton, la dstrbuton des déformatons de csallement est constante à travers l épasseur de l élément, mas en réalté cette dstrbuton est approxmatvement parabolque. La valeur k =, est le rapport des énerges de déformaton de ces deux approches. Il reste ensute à chosr un degré d nterpolaton suffsant dans les drectons du plan moyen pour évter les phénomènes de blocage en csallement transverse. La qualté prncpale de cette modélsaton, outre son aspect volumque, est qu elle s appue seulement sur des degrés de lberté de déplacement. Aucun degré de lberté de rotaton n étant ntrodut, le passage de l analyse lnéare à non-lnéare et la connexon aux éléments volumques 3D devennent des opératons smples. Son nconvénent est la modfcaton du prncpe de pussances vrtuelles, ce qu revent à modfer la relaton de comportement de matérau. Basés sur cette modélsaton, un ensemble d éléments ont été développés par pluseurs auteurs. Nous pouvons mentonner c les travaux de Brendel et Ramm [7], Parsch [64], Hughes et Lu [47]. Afn d évter de modfer le comportement du matérau, Km et al. [49] ont proposé un élément so-paramétrque hexaédrque à 0 nœuds (vor Fgure 6). La cnématque, nterpolée par l ntermédare des degrés de lberté de déplacement (DDL) aux nœuds, est assocée à une lo matérau trdmensonnelle classque pour le calcul des contrantes. Afn de rédure les blocages en csallement transverse, l évaluaton du prncpe de pussances vrtuelles est effectuée par une ntégraton numérque rédute xx3 ponts de Gauss. Pourtant, cette modélsaton reste chère en temps de calcul par rapport aux éléments coques car elle fat ntervenr 9 DDL le long d une fbre épasseur, alors que les éléments coques n en font ntervenr que 6. Cela ncte à plutôt s orenter vers des éléments de fable degré. Fgure 6. Modèles coques 3D de Km Y.H.

25 Etudes bblographques.. Modélsatons de coque en formulaton mxte Avant d aborder les modélsatons de coque en formulaton mxte, nous rappelons caprès les hypothèses cnématques de Ressner Mndln. Afn de rester le plus généralste possble, on se lmtera à la modélsaton capable de prendre en compte le csallement transverse. Cette théore s appue sur l hypothèse des sectons drotes qu consste à supposer qu une drote normale à la surface moyenne de la coque reste drote au cours de la transformaton. Cette drote subt donc seulement une rotaton sans élongaton (vor Fgure 7). n o n n β o Q Q o Z P o U P Confguraton Fbre moyenne ntale avant déformaton X Fgure 7. Hypothèse cnématque de Ressner Mndln Ans, la cnématque peut s écrre : U = U + zβ Q P P Confguraton après déformaton Fbre moyenne après déformaton où β est un vecteur de rotaton de la fbre drote, P o représente la projecton d un pont Q o sur la surface moyenne de la confguraton ntale, P représente la projecton du pont Q sur la surface moyenne de la confguraton déformée et z est la dstance du pont Q o par rapport à la surface moyenne. Donc, le déplacement d un pont quelconque de la coque est dentfé par le déplacement de sa projecton sur la surface moyenne et par la rotaton de la fbre drote assocée à ce pont. Les modélsatons de coques basées sur cette hypothèse sont nommées «Mxte» car elles possèdent non seulement des nconnues en déplacement, mas auss des nconnues en rotaton à chaque nœud. À notre connassance, la premère modélsaton de plaque de type mxte fût celle d Hermann [44]. Mas ce n est qu à la fn des années 70 qu ls ont été ntroduts pour tenter de surmonter les dffcultés lées au blocage en csallement transverse, quand le rapport entre largueur et épasseur de la plaque L/h devent grand, ans qu aux modes parastes. L apport de Malkus et Hughes [58] sur la noton d équvalence entre les modèles mxtes et ceux en déplacements avec ntégraton sélectve fût d une grande utlté, en permettant une justfcaton des technques d ntégraton rédute ou sélectve. En général, les varables cnématques w, β, β sont nterpolées par les relatons suvantes : x y β β w= N w = N n n x xi I I et I I β (5) = y I= β yi 3

26 Etudes bblographques où wi, β xi et β yi sont successvement des déplacements et des rotatons aux nœuds ; N I sont des fonctons de forme (fonctons d nterpolaton), et n est le nombre total de nœuds de l élément. Pour un élément trangulare à tros nœuds et à l nterpolaton lnéare (vor Fgure 8), par exemple, nous avons : 3 [ ] [ ] N = ξ η ; N = ξ ; N = η où ξ 0, ; η 0, ξ et n= 3 η 3 (0,) (0,0) (,0) Fgure 8. Élément de référence de coque trangulare à 3 nœuds Batoz et al. [4], Batoz et Ben ahar [5] ont montré qu un élément mxte smple, trangulare à 3 nœuds avec approxmatons lnéares en déplacement w et rotatons β x, β y et efforts tranchants, constants, condut à un blocage sévère en csallement transverse (C). x y Afn d élmner ce blocage, pluseurs auteurs ont utlsé la technque nommée des fonctons «bulle». Le prncpe de cette technque est d enrchr l nterpolaton de la formule (5) en ntrodusant des varables généralsées. Par exemple, l approxmaton de l élément coque trangulare à 3 nœuds c-dessus peut être enrche en ntrodusant une varable α de la façon suvante : où J Le terme β β w= N w N = N 3 3 n x xi I I + Jα J et I I J= β (6) = y I= β yi α sont les déplacements des ponts sur les tros côtés du trangle et ( ) ξ N = ξ η ξη. N J représente une foncton «bulle» qu est nulle sur les tros côtés du trangle. Plus généralement, ces varables généralsées peuvent être ntrodutes dans l nterpolaton des déplacements ou des rotatons et l ordre des fonctons «bulle» peut être quadratque, cubque ou d ordre 4. En se basant sur cette technque, une famlle d éléments fns de plaque ou coque a vu le jour. Nous ctons en partculer : L élément de Pnsky et Jast [67] basé sur un modèle mxte général dans lequel l approche des varables cnématques est assocée à un ensemble de fonctons «bulle» ndépendantes exprmées en foncton des paramètres généralsés que les auteurs élmnent par condensaton statque au nveau local. L élément «4-node bubble» est défn par une nterpolaton blnéare des varables cnématques w, J 4

27 Etudes bblographques β x, β y et par une approxmaton cubque des fonctons «bulle» nternes. Il y a 9 paramètres, au total, à élmner par condensaton statque, ce qu est élevé pour un élément de plaque. La famlle d éléments mxtes-hybrdes de Saleeb et Chang [73], Saleeb et al. [74] : l élément quadrlatéral HMPL5 est assocé à 3 fonctons «bulle» w, β x, β y représentées par le 5 ème nœud nterne. Les fonctons d nterpolaton des varables cnématques sont bquadratques, celles des varables mécanques comme moments { M } et efforts de csallement { } étant lnéares. L élément trangulare HMPL3 est plus smple à formuler (w, β x, β y : lnéares, { M } : constant et { } : lnéare). L élément 63B3 de Zenkewcz et Lefebvre [93] est un trangle à 6 nœuds avec fonctons «bulle» d ordre 4 pour β x, β y. Il possède varables nternes (3 pour chacune des varables x, y, βx et β y) qu sont élmnées au nveau local par condensaton statque. Cet élément est consdéré par pluseurs auteurs comme robuste. De bons résultats ont été obtenus pour les problèmes standards de plaques mnces et épasses. Onate et Castro [60], Onate et al. [6], Papadopoulos et aylor [6] ont proposé une famlle d éléments DRM (Dscrete Ressner Mndln) trangulares et quadrlatéraux avec des degrés de lberté addtonnels au mleu des côtés. Ces éléments, basés sur le modèle de déplacement avec déformatons de C ndépendantes, généralsent ceux de Krchhoff dscrets DK et DKQ de Batoz et Ben ahar [5], Batoz et Dhatt [9]. Pourtant, tous les éléments mxtes précédents ont un nconvénent majeur qu est le temps de calcul élevé causé par l ntroducton des fonctons «bulle». Ils nécesstent plus de ponts d ntégraton numérque au calcul des matrces élémentares. De plus, le temps de calcul devent encore plus grand lorsque l on trate des problèmes non-lnéares L augmentaton des varables généralsées assocées aux fonctons «bulle» est également un nconvénent, lé cette fos-c aux opératons d nverson de matrces lors du processus de condensaton statque. Sans passer par l utlsaton des fonctons «bulle», une autre famlle d éléments de plaque ou coque de type mxte-hybrde a été développée. Nous ctons c l élément quadrlatéral MQ4 présenté par Ayad et al. [8]. Cet élément utlse la même nterpolaton de M l équaton (5) pour les varables cnématques. En revanche, les varables mécanques { } et { } sont défns par : et par : { } [ ]{ α } M = P ; M = M M M p 0 0 PM = 0 p 0 ; p = 0 0 p [ ] M M x y xy ξ η ξη 5

28 Etudes bblographques où mn M, + M, p 0 p = = = M ; = ; y Mxy, x M + y, y 0 p p p = 0 j j η j + ξ j ; p = 0 j j η j + ξ j x x x xy y { } [ P ]{ α } [ P ] j sont des termes de la matrce Jacobenne nverse et { } ndétermnés. Ans, les varables mécanques { M } et { } lées à { } α représentent des paramètres α M ne sont plus ndépendantes, comme c est le cas dans les modèles mxtes classques. La condensaton statque permet α et d obtenr des éléments mxtes-hybrdes à varables nodales d élmner les paramètres { M } de type déplacement et rotaton. L utlsaton des équatons d équlbre pour défnr { } en foncton de { α M } dmnue le nombre d nconnues du problème, ce qu faclte les opératons matrcelles lors du processus de condensaton statque. Malheureusement, l élément MQ4 est bloqué en C. Afn d élmner ce blocage, Ayad et al. [8] ont développé le «Modèle Mxte Projeté en Csallement» (Mxed Shear Projected Model). Deux modèles de plaque appelés MSP3 (trangulare à 3 nœuds) et MSP4 (quadrlatéral à 4 nœuds) ont vu le jour. Ces derners consdèrent le vecteur des déformatons de C { γ } ndépendamment de l nterpolaton des varables w, β, β, tout en gardant le nombre de paramètres généralsés x y { α M } de départ. Le vecteur { γ } est chos en foncton des déformatons tangentelles { γ k } sur les côtés d un élément : γ γ γ yz γ ηz xz ξ z { γ } = = [ j] = [ j][ A]{ γ } Ensute, les quanttés { γ k } sont projetées sur les deux axes locaux ξ, η de l élément en utlsant les hypothèses de Mndln sous forme dscrète : w γ S βs + ds = 0 ; s est l'axe ξ ou η s (7) côtés À partr des relatons (7), les quanttés { γ k } peuvent être détermnées en foncton des w β β aux nœuds. Les paramètres { α }, élmnés au nveau varables cnématques,, x y local par condensaton statque, sont auss donnés en fonctons des varables w, βx, β y aux nœuds. Cette approche a été utlsée également pour les modèles en déplacements de Bathe et Dvorkn [], Chapelle et Bathe [30], Cheung et Chen [3]. Les modèles MSP3 et MSP4 ne présentent pas de blocage de C et passent ben les patch-tests standards. Ils peuvent être nterprétés comme une améloraton du modèle mxte standard. Pourtant, les modélsatons mxtes présentées c-dessus basées sur l approche en contrante plane néglgent, donc, la varaton de l épasseur des éléments au cours des M k M 6

29 Etudes bblographques transformatons. Cela devent un nconvénent quand la varaton de l épasseur n est pas néglgeable (ex. la mse en forme des tôles). Il est nécessare, dans ces cas, d utlser des théores de coques plus sophstquées pour tenr compte de la varaton de l épasseur. Ans, Buechter et al. [8] ont proposés un élément de coque à 4 nœuds et 7 degrés de lberté par nœud, utlsant une lo de comportement 3D et qu sot apte à reprodure les comportements de structures volumques ou mnces. Le modèle possède en chaque nœud 5 varables cnématques classques assocées aux coques (3 déplacements et rotatons) et nouvelles varables permettant de prendre en compte la varaton de longueur de la fbre épasseur. Pluseurs modélsatons de ce type ont été également proposées par Parsh [66], Betsch et al. [4], Bschoff et Ramm [5], Brank et al. [6], et Cardoso et Yoon [9]. De plus, les formulatons de coques mxtes ont un pont commun : les éléments sont modélsés par leurs surfaces moyennes. Or, dans la réalté, les structures mnces (plaques, coques) et les structures volumques trdmensonnelles coexstent fréquemment, et ces deux types d éléments dovent pouvor être utlsés smultanément. Cela lmte l utlsaton des modèles mxtes surtout dans les structures dont l épasseur vare. Des éléments effectfs à la fos pour des structures mnces et des structures 3D, smplferaent consdérablement la modélsaton de telles structures, et évteraent deux procédures supplémentares : la défnton arbtrare de zones de séparaton (ex. zones structurales avec partes 3D) pour assurer la contnuté structurale et la connexon des dfférents types d éléments (ex. coque avec 3D). De plus, les éléments 3D ont pluseurs avantages : le non recours à la cnématque élaborée et complexe de coques ; l utlsaton des los de comportement générales trdmensonnelles ; le calcul drect des varatons d épasseurs ; la faclté de tratement des grandes rotatons avec adaptaton smple des confguratons, la connexon naturelle aux autres éléments 3D, et le tratement naturel des condtons de contact sur les deux faces de la structure. Par conséquent, beaucoup d efforts ont été nvests pour développer de tel type d éléments fns nommés «solde coques» que nous allons présenter dans les prochans paragraphes..3. Modélsatons solde coques Pour donner un contexte hstorque des développements des éléments fns de type solde coques, nous pouvons commencer par des travaux de Wlson et al. [88] qu ont proposé un élément so-paramétrque hexaédrque à 8 nœuds et de 3 degrés de lberté en déplacement par nœud. Cet élément est assocé à une lo de comportement modfée de façon à prendre en compte les contrantes planes. Malheureusement, le fable degré d nterpolaton du modèle est très sensble au phénomène de blocage. Quand les structures modélsées sont en flexon domnante ou quand le rapport épasseur sur largueur tend vers zéro, le blocage en C se manfeste de façon plus évdente. Afn de surmonter ces verroullages, Wlson et al. [88] ont ntrodut la méthode appelée «modes ncompatbles». Grâce à cette technque, le comportement de l élément hexaédrque à 8 nœuds a été nettement améloré et surtout dans les problèmes à flexon domnante. Mas, cet élément ne passat pas le patch test pour une forme géométrque autre que le parallélogramme. Une verson modfée de cet élément, qu permet de passer le patch test, a été ensute ntrodute par aylor et al. [8]. Plus récemment, Smo et Rfa [78] ont montré que l ntroducton des modes ncompatbles pouvat être justfée dans le contexte des méthodes mxtes de type «Assumed Stran». 7