Centrale PSI 1 un corrigé

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1 Cetrle PSI u corrigé L foctio Γ. I.A. f : t t e t est cotiue sur R + ; les seuls problèmes d itégrbilité sot u voisiges de et de +. - Au voisige de, f (t) t est itégrble si et seulemet si < (foctios de Riem). - Au voisige de +, f (t) = o(/t ) (croissces comprées) et f est doc itégrble. Filemet f est bie itégrble sur R + si et seulemet si >. I.B. Soit h : (, t) e t t ; h est cotiue sur R + R + et dmet sur cet esemble ue dérivée prtielle pr rpport à qui est ussi cotiue. Efi, { e < < b, [, b], t >, h(, t) φ (t) = t t si t [, ] e t t b si t > < < b, [, b], t >, h (, t) φ (t) = { l(t) e t t si t [, ] l(t)e t t b si t > φ et φ étt itégrbles sur R + (égligebles devt /t u voisige de + et devt t u voisige de pr croissces comprées et cotiues pr morceu illeurs), le théorème sur les itégrles à prmètres idique que Γ C (R + ) vec >, Γ () = l(t)e t t Pr illeurs, l foctio itégrée étt positive, cotiue et o ulle sur R +, o ussi >, Γ() > I.C. Soit >. Pour [, b] R +, ue itégrtio pr prties doe b e t t = [ e t t ] b b + e t t E fist tedre vers et b vers l ifii (les différetes limites eistet bie) o doc I.D. U clcul direct doe : >, Γ( + ) = Γ() Γ() = [ e t] + = L formule de l questio précédete doe lors directemet pr récurrece Formule de Stirlig. N, Γ() = ( )! II.A. O dérive (t k + )(k t) e k t et o primitive /t e /t pour obteir, pr itégrtio pr prties, (t k + )(k t) k k t t = t

2 Ue ouvelle itégrtio pr prties doe (o dérive k t e et o primitive /t e l(t)) (t k + )(k t) k t = [l(t)(k t)] k + E réordot cette églité, il viet = l(k) l(k ) + l(t) l(t) u k = l(k) l(t) = (l(k) l(k )) (t k + )(k t) t II.B. O remrque que t [k, k], (t k + )(k t) t t (k ) O e déit pr positivité de l itégrle que k, w k (k ) Pr compriso des séries positives, (w k ) k est ue série positive covergete. Notos S s somme. Avec l idetité de l questio précédete, o w k = k= (l(k) l(k )) k= l(k) + k= k= l(t) Pr télescopge, reltio de Chsles et propriété de morphisme logrithme, ceci deviet w k = (l( + ) l()) l(!) + k= l(t) = l() l(!) + l() + ce qui s écrit ussi ou ecore S v = l() + l() l(!) + l(!) = l() + l() + + v vec = S = + w k II.C. E post u = t k + (o pourrit trviller vec les epressios iitiles mis le clcul me prit plus clir vec des itégrle setre et ), o w k = u( u) (u + k ) Ue itégrtio pr prties doe lors (o primitive le umérteur) w k = u k + u3 3 (u + k ) k=

3 et isi (o clcule l itégrle et o soustrit) w k t = u k (k ) + u3 3 (u + k ) Ue étude élémetire de foctio motre que u u etre et. O doc u3 3 croît sur [, ] et pred des vleurs k (k ) w k Le mjort est plus petit que O vérifie pr illeurs que et le miort plus hut est plus grd que 6 O filemet motré que ce qui correspod u réultt demdé. II.D. O remrque que pour p + o k=+ t k (k ) + (u + k ) et doc que (u+) 6 k 6 t 3 k (k ) = k(k ) t 3. k 6 t 3 w k t 6 t 3 ( w k ) t = k=+ w k p t = = (u+) 6. t 3 k=+ w k + p O psse u mole et o utilise l iéglité trigulire et l questio précédete pour e déire que w k p t = ( w k ) t p 6 t 3 = p k=+ k=+ E psst à l limite qud p +, o e déit lors v O isi v = + O ( ) ce qui, ijecté ds le résultt de II.B doe 3 L idetité d Euler. l(!) = l() + l() O ( ) III.A. f est cotiue sur R + (le seul problème est e où le rccord se fit bie, limite à droite et guche vlt ), ulle u voisige de + (où elle est doc itégrble) et équivlete à t e (où elle est itégrble puisque > ). C est doc ue foctio itégrble sur R +. 3

4 III.B. L suite de foctios (f ) coverge simplemet sur R + vers t e t t (puisque l o ( u/) = ep( l( u/)) ep( u) qud + ). Les f isi que l limite simple sot cotiues sur R +. Pr cocvité de l, o u >, l( + u) u ; o doc (croissce de l epoetielle) t ], [, f (t) t e l( t ) t e t et l iéglité reste vrie trivilemet pour t. Le mjort est itégrble sur R + (déjà vu) et le théorème de covergece domiée s pplique pour doer lim I () = + lim + f (t) = III.C. Soit ], ] ; ue itégrtio pr prties doe [ u ( u) + u d = ( u)+ ] + + e t t = Γ() u ( u) E psst à l limite (les différetes qutités eistet ; e prticulier, > doe > et o l itégrbilité u voisige de ) J + () = + J ( + ) III.D. O motre pr récurrece que l propriété >, J () =! ( + )... ( + ) J ( + ) est vrie pour tout. - Iitilistio : le résultt est vri u rg d près l questio précédete. - Hérédité : supposos le résultt vri u rg. E utilist l questio précédete et l hypothèse de récurrece u rg vec +, o obtiet le résultt u rg +. Le clcul de J étt immédit, o trouve lors J () = III.E. Le chgemet de vrible u = t/ doe! ( + )... ( + ) ( t ) t = ( u) u = et l questio III.B idique lors que Γ() = 4 Ue itégrle à prmètres. lim + k=! ( + k)! ( + )... ( + ) IV.A. Si u [, [ lors = u + /, si u [, [ lors = u / et h() = /. O doc le grphe suivt 4

5 IV.B. h est, comme l foctio prtie etière, -périodique. So itégrle sur [t, t + ] est doc idépedte de t et vut (clcul pour t = pr eemple). O e déit lors que, H( + ) H() = + h(t) = ce qui motre que H est ussi -périodique. De plus, pour tout etier, h = et, H() = [] h(t) + [] h(t) = [] h(t) Le chgemet de vrible u = t doe (vec l périodicité de h), H() = [] = [] (u /) = ( [])( [] ) H est, comme l foctio prtie etière, cotiue et de clsse C pr morceu sur R. IV.C. Soit N. h est cotiue sur [, + [ et, d près le théorème fodmetl, l pplictio h est ue primitive de h sur [, +[. E joutt ue costte, o grde ue primitive. O doc ussi H qui est ue primitive de h sur [, + [. Ue itégrtio pr prtie doe lors [ ] H(u) ( ) : [, + [, + u = H(u) + + u ( + u) E fist tedre vers + ds cette reltio, o lors (puisque H() = H( + ) = ) ( ) : + + u = + H(u) ( + u) L foctio u +u étt cotiue sur R+, elle présete u uique problème, pour l eistece d itégrle, u voisige de +. Soit lors b >. O b + u = [b] k= + k b + u + [b] + u Avec ( ) et ( ) o doc (e tet compte de H([b]) = ) b + u = b 5 H(u) H(b) + ( + u) ( + b)

6 H étt cotiue et périodique est borée sur R. Le secod terme membre de droite est doc de limite ulle qud b +. De plus, u H(u) +u est cotiue sur R+ et domiée pr /u u voisige de +. C est doc ue foctio itégrble sur R +. O isi l eistece d ue limite qud b + pour l itégrle membre de droite ci-dessus. Filemet, l itégrle proposée eiste et + + u = H(u) ( + u) IV.D. Le chgemet de vrible t = u doe (vec l périodicité de h) N, + +/ O e déit que + u = N, / h(t) + + t u 8 k= / + k + h(t) = 8( + + ) Le miort est de limite ifiie qud + (somme prtielle d ue série positive divergete). A fortiori, b b +u dmet ps de limite fiie qud b +. Aisi, u +u est ps itégrble sur R +. IV.E. O v utiliser l théorème de régulrité des itégrles à prmètres. - u, H(u) est de clsse C sur R + de dérivée H(u) (+u) (+u) 3 - >, u H(u) (+u) - Soit [, b] R +. O et u H(u) (+u) 3 sot cotiues sur R +. [, b], u, H(u) ( + u) H ( + u) [, b], u, H(u) ( + u) 3 H ( + u) 3 Les mjorts sot itégrbles sur R + (cotius et domiés pr /u u voisige de + ). Le théorème s pplique et le clcul de l questio IV.C doe ϕ de clsse C sur R + vec >, ϕ () = Pr illeurs, le même clcul qu e IV.C doe O doc filemet ( + u) = 5 Ue utre idetité e à Euler. H(u) ( + u) 3 H(u) ( + u) 3 >, ϕ () = ( + u) V.A. Ue itégrtio pr prtie doe (o primitive e t i ) +i+ +i l(t) = [(t i ) l(t)] t=+i+ t=+i +i+ +i t i t Avec le chgemet de vrible u = t ds l itégrle membre de droite, o lors +i+ +i l(t) = l( + i) i+ i u i u + 6

7 V.B. O tout d bord i N, i+ i + u = i+ i u i / u + = i+ i u i u + + i+ i u + E sommt ces reltio de i = à i = et e utilist l reltio de Chsles et l questio précédete, il viet + = l(( + )... ( + )) + u ++ l(t) + + u + Le clcul des itégrles est immédit ( l() est ue primitive de l()) et o obtiet l qutité l(( + )... ( + )( + + )) ( l() ) l( + + ) + ( + + ) + l() + O lors V.C. O écrit que O e déit lors que c est à dire que + G () ( = l + u l(!) = l() + l()! + ( + )... ( + + ) + l(π) + o() ) = F () ( ) l( + + ) = ( ( ) l() + l( + + = ( ( ) l() o ) ( )) = l() + ( + 3 ) l() + ( + ) + o() G () = + ( + l(π) ) l() + + o() lim G () = ( + + ) l() + l( π) V.C. Avec l idetité d Euler et l cotiuité de l, o F () l(γ( + )) qud +. O isi, e psst à l limite ds V.B, l(γ( + )) = ( + ) l() + l( π) + u V.D. Si o dérive cette reltio, o obtiet lors ou ecore Γ ( + ) Γ( + ) = l() + + / + (u + ) Γ ( + ) Γ( + ) = l() + + (u + ) 7

8 6 Distributio de Bolzm. VI.A. Ω est ue prtie fermée comme imge réciproque fermé {(N, E)} pr l pplictio cotiue (,, 3, 4 ) ( i, ε i i ). C est ussi ue prtie borée (Ω est iclus ds l boule de cetre de ryo N pour l orme sur R 4, somme des moles des coordoées). C est doc u compct de R 4. Ue foctio cotiue sur Ω (à vleurs réelles) est doc borée et tteit ses bores. Elle présete doc u mimum sur Ω. VI.A. Il s git de résoudre u système de Crmer d icoues 3, 4 ( et sot des prmètres, le détermit système est ). O obtiet 3 = = ε ε 4 N E ε ε ε 4 N ε 3 E ε ε 4 = + ε ε 4 + Nε 4 E = ε 3 ε + ε 3 ε + E Nε 3 VI.A.3 Soit h : (, ) (,, u + v + w, u + v + w ). Sous réserve que ses coordoées soiet positives, l imge d u élémet de (R + ) pr h est u élémet de Ω (o peut psser des formules dot 3 et 4 u système de deu équtios défiisst Ω). Pr illeurs, h étt cotiue, si h(, ) ses coordoées >, c est ussi le cs pour touts les (y, y ) ds ue petite boule ouverte utour de (, ). Si o suppose les i strictemet positifs, il eiste doc ue boule ouverte B cetrée sur (, ) telle que pour tout (, y) B, h(, y) Ω. f présett u mimum globl sur Ω, il e est de même pour f h sur B et ce mimum est tteit e (, ). Comme B est u ouvert, (, ) est lors u poit critique de f h. Les formules de dérivtio composées doet isi = f h (, ) = f () + u f () + u f () 3 4 = f h (, ) = f () + v f () + v f () 3 4 VI.A.4 F = Vect((,, u, u ), (,, v, v )) est u espce vectoriel de dimesio (idépedce liéire des vecteurs immédite) qui dmet doc u supplémetire orthogol F de dimesio 4 =. Les formules obteues plus hut doet + u + u = + v + v = ε + uε 3 + ε 4 u = ε + vε 3 + ε 4 v = et (,,, ), (ε, ε, ε 3, ε 4 ) sot des vecteurs orthogou à F (puisqu ils sot orthogou u élémets d ue bse de F ) et egedret doc u sous-espce iclus ds F. Ils sot ussi idépedts (cr les ε i sot disticts, il suffit même que deu d etre eu le soiet). Pr iclusio et dimesio, o doc F = Vect((,,, ), (ε, ε, ε 3, ε 4 )) VI.A.5 D près l questio A.3., le vecteur de coordoées f i () est ds F. Il est doc combiiso liéire des deu vecteurs trouvés ci-dessus. Il eiste doc α et β tels que i {,..., 4}, f i () = α + βε i F VI.B. O ici i (N) = Γ (N i +) Γ(N i +). E utilist l secode idetité e à Euler et l questio précédete, o dispose de α et β tels que pour tout i, l(n i ) N i (N i + u) = α + βε i Il suffit de poser λ = α et µ = β pour obteir les reltios de l éocé. 8

9 VI.C. Pour tout u, o. E multiplit pr (u+n i (ce qui e chge ps le ) ses de l iéglité) et e itégrt etre et + (positivité de l itégrle et o pred soi de vérifier l eistece des itégrles) o obtiet N i (u + N i ) N i Si l iéglité de droite (pr eemple) étit stricte, o urit / (u+n i ) =. L foctio itégrée étt positive, o urit fortiori / / (u+n i = (o elève u morceu positif ) et o doc u résultt plus petit, qui est pr illeurs positif). Comme l foctio itégrée est psotive sur [, /] et cotiue sur cet itervlle, elle devrit être ul, ce qui est ps le cs. Les iéglités sot doc strictes et lors < θ(n i ) < N i VI.C. O l(n i ) + θ(n i ) = λ + µε i et doc (o compose pr l epoetielle) N i e θ(n i) = e λ e µε i C est l formule voulue vec K = e λ >. Soit cette questio est stupide, soit c est moi qui oublie quelquechose. Je e vois ps pourquoi o ous fit prouver l ecdremet pour θ(n i ). 9