Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario"

Transcription

1 Mathématiques Termiale S Corrigés des eercices Rédactio : Lauret Beroul Isabelle Teaud Sébastie Cario Coordiatio : Sébastie Cario Ce cours est la propriété du Ced Les images et tetes itégrés à ce cours sot la propriété de leurs auteurs et/ou ayats droit respectifs Tous ces élémets fot l objet d ue protectio par les dispositios du code fraçais de la propriété itellectuelle aisi que par les covetios iteratioales e vigueur Ces coteus e peuvet être utilisés qu à des fis strictemet persoelles Toute reproductio, utilisatio collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à dispositio de tiers d u cours ou d ue œuvre itégrée à ceu-ci sot strictemet iterdits Ced-

2 Corrigé de la séquece Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice O a : e, e +, e + + 6, e et c, c + 9, c Il semble doc que c + + 6, c e 4 O a c et ( + ) doc la propositio «c 4 ( + ) 4 pour» est vraie Supposos qu elle le soit pour u rag k et motros qu elle l est alors k k au rag suivat k + Autremet dit, supposos que ck ( + ) et 4 k k motros sous cette hypothèse queck + ( + ) ( + ) O a : 4 k k ck+ ck + k + ( + ) ( ) 4 k ( k + ) + 4( k + ) + ( k + ) 4 ( k + ) ( k + 4( k + )) ( k + ) ( k + 4k + 4) ( k + ) ( k + ) ( + ) 4 ( + ) doc o a bie, pour e d où l hérédité de la propositio Fialemet, pour tout, o a c O sait par ailleurs que, pour tout, o a e tout, c Eercice O cojecture l epressio de u e calculat les premiers termes de la suite u O a :u + u, u u u aisi il semble que + + u + u Le calcul de u ous coforte das cette idée E effetu u Corrigé séquece MA

3 La propositio «u» est doc vraie pour les premiers rags ( à + 4 ) Supposos qu elle le soit pour u rag k autremet dit, supposos queuk k + u Sous cette hypothèse, o a u k k k k et la + uk k + k + propositio est héréditaire + k + k + Fialemet, pour tout etier, u + Eercice Vérifios que la propositio est vraie pour les premières valeurs de : N k k O suppose que pour u etier k quelcoque est u multiple de 7 k k autremet dit 7A où A est u etier ( k+ ) k+ Motros sous cette hypothèse que est lui aussi u multiple k k k k de 7 Comme 7A, o obtiet + 7A ce qui doe ( k + ) k + ( k + 7A) 9 k k ( 9 ) + 7A 9 7( k + 9A) k et l hérédité est bie démotrée puisque 7 ( + 9A) est bie u multiple de 7 Fialemet, pour tout etier aturel, l etier est u multiple de 7 Eercice 4 Tout d abord, u doc u et la propositio «u» est vraie au rag Soit k N tel que u k alors + u k 4 puis + u k car est croissate sur [ ; 4], et, a fortiori, O peut doc coclure : pour tout etier aturel, u u k + Eercice 5 À l aide du tableur de GeoGebra par eemple, o obtiet ue représetatio graphique et u tableau de valeurs e même temps Pour cela, o fait apparaître le tableur (das le meu Affichage), o travaille comme à l aide du tableur d OpeOffice pour faire apparaître les calculs puis, après avoir sélectioé la plage A :B (par eemple), o clique droit et o choisit «Créer ue liste de poits» 4 Corrigé séquece MA

4 Il semble que la suite soit décroissate O peut par ailleurs remarquer que la suite semble avoir ue limite (la otio de limite sera étudiée au chapitre suivat) a) La foctio f est ue foctio ratioelle défiie sur [ ; ], elle est doc dérivable sur cet itervalle et, ( + ) ( + ) pour tout ;, f' ( ) ( + ) ( + ) Par suite, pour tout ;, f' ( ) et f est croissate sur [ ; ] b) O traduit la questio posée O est doc ameé à démotrer que pour tout, u etu+ u O peut démotrer par récurrece chacue de ces deu propriétés ou bie e faire qu u seul raisoemet par récurrece e motrat que pour tout, u+ u Preos ce deuième poit de vue u O a u et u + u + + doc o a u + u Supposos que pour k N o ait uk+ uk alors f ( ) f ( uk+ ) f ( uk ) f ( ) car f est croissate sur [ ; ] d où u k+ uk + ce qui implique u k+ uk + car ; ; Aisi, pour tout etier, u+ u La suite u décroissate à valeurs das l itervalle [ ; ] ( ) est doc suite Corrigé séquece MA 5

5 Eercice 6 a) O a! et doc la propositio «!» est vraie pour k Supposos que pour k, o ait k! - Il faut alors démotrer, sous cette k ( ) ( + ) + hypothèse, que k +! O sait que k!( k ) k! aisi, e multipliat chaque membre de l hypothèse de récurrece par k + qui est positif, o obtiet k ( k + ) k! ( k + ) k c est-à-dire ( k + )! ( k + ) () or, pour tout k, k k k + doc ( k + ) () ( ) et les iégalités () et () coduiset à k +! Fialemet, pour tout etier aturel, o a :! k b) 4! À l aide de ce tableau, o costate que la propositio «!» est pas vraie pour les rags, et mais qu elle l est pour le rag 4 E k supposat alors que pour k 4, o ait k!, o est ameé à démotrer que k + ( k + )! ce qui se fait e suivat eactemet la même démarche qu au a) Aisi, pour tout etier aturel 4, o a! Corrigé des activités du chapitre Activité a) À l aide de la calculatrice (par eemple), o défiit la suite et l o obtiet les deu types de représetatios graphiques TI8 Statsfr (ou TI8, TI84) 6 Corrigé séquece MA

6 Casio Graph 5+ Au vu de ces graphiques, il semble que les valeurs de u tedet à se stabiliser autour d u certai ombre O dira que la suite ( u ) semble coverger vers ce ombre b) À l aide du tableau de valeurs ci-dessous, il semble que la suite ( u ) admette pour limite lorsque deviet grad c) Pour répodre à cette questio, o travaille à l aide du tableau de valeurs obteu précédemmet Il semble alors que u < pour puis u < 5 pour et efi u < 8 pour Pour plus de clarté, o peut utiliser u tableur et compléter le travail e créat ue suite ( v ) défiie parv u Les foctios utilisées sur tableur sot les foctios RACINE pour la racie carrée et ABS pour la valeur absolue Corrigé séquece MA 7

7 Activité a) 6, b) Il semble que toutes ces suites admettet pour limite, seule diffère la vitesse à laquelle ces suites tedet vers c) Comme précédemmet, o costate que l o peut redre u aussi proche de sa limite pourvu que soit suffisammet grad 8 Corrigé séquece MA

8 4 E effet, o a : et pour tout supérieur au rag N 4 De faço aalogue, o a 8 pour tout supérieur au rag N 6 et pour tout supérieur au rag N 6 d) O a : or la suite de terme gééral est croissate et o observe que 4 < alors que 5 > doc pour tout supérieur au rag N 5 Pour les autres résultats, la démarche est la même que pour la questio c) O résume les résultats das u tableau Valeurs de r 8 r pour N N N 8 N r pour N N N 9 N 5 r pour N N 5 N 6 N Remarque O pourrait écrire u algorithme assez simple comportat ue boucle «tat que» permettat d obteir le résultat des questios c) et d) O trouve ci-cotre u tel algorithme implémeté sous Algobo Il suffit alors de choisir la valeur de r à savoir puis 8 et efi das l eemple choisi pour obteir le rag cherché Cepedat, l algorithme est très let et écessite u grad ombre de boucles O est dès lors très vite limité d autat plus que sous Algobo, le ombre de boucles e peut dépasser Corrigé séquece MA 9

9 Activité a) 6, b) Il semble que toutes ces suites admettet pour limite +, seule diffère la vitesse à laquelle ces suites tedet vers + c) O a : 6 doc pour tout supérieur au rag N ; doc pour tout supérieur au rag N ; 6 doc pour tout supérieur au rag N 6 d) Comme, or 6 doc pour tout supérieur au rag N, et N La suite de terme gééral est croissate or 54 < et 55 > doc pour tout supérieur au ragn 55 Les autres iéquatios peuvet être aisémet résolues et les résultats sot résumés das le tableau ci-dessous Valeurs de A A pour N A pour N N N 5 N 5 N N 55 N Activité 4 a) Compte teu de la costructio du floco, il semble clair que les suites ( C ), ( P ) et ( A ) soiet croissates et la suite ( L ) décroissate Par ailleurs, il semble ituitif de cojecturer que pour des grades valeurs de, la suite ( C ) tede vers +, la suite ( L ) tede vers E revache, il semble Corrigé séquece MA

10 difficile de cojecturer ituitivemet le comportemet des suites ( P ) et ( A ) lorsque ted vers + b) O peut alors cofirmer les cojectures précédetes et préciser que ( P ) semble tedre vers + alors que ( A ) semble tedre vers u ombre limite proche de 69,8 c) Puisque la suite ( P ) semble tedre vers +, il est possible que le périmètre dépasse u kilomètre L uité est le cetimètre or km cm, o cherche doc tel que P et à l aide du tableur, il semble que ce soit le cas à partir du rag 9 L aire du floco vaut alors eviro 69, 8 cm Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice 7 ( ) O a : lim lim + + lim + doc, par somme, + a + lim + + car lim + et O a : lim ( ) et lim + + et lim ) aisi, par produit, lim + ( ) + ( + ) + (par somme car lim + b + + Corrigé séquece MA

11 ( ) Pour >, c ( + )( ) ( ) or lim + et lim doc lim + + lim + d où par quotiet lim c + + Pour N, d or lim car < < 7 doc lim d et O a : lim O a : + car < < d où lim e + lim + et + lim ( + ) + + lim 5 + (car 5> ) doc par somme + 5 puis par iversio lim f + Pour N, + + g + ( + ) or lim + (car > ) doc par produit lim + g + Pour N, h 7 7 ( ) or lim 7 + (car < < ) 7 7 doc lim + puis lim 7 + (car 7> ) doc par produit 7 + lim h + O peut remarquer que la trasformatio d écriture h 7 7 ( ) permet d obteir le résultat tout aussi rapidemet Eercice 8 O a :u or lim doc par somme lim + u + a) O a lim u et lim + + doc, par défiitio de la limite, A état u réel quelcoque, o peut trouver u rag au-delà duquel u A Corrigé séquece MA

12 b) Soit O a u+ u puis u+ u ( + )( + ) ( + ) + + ( + ) or + + positifs et > car l iverse d ue somme de deu ombres strictemet > car > et + > aisi, par somme, u u ( + ) + > et la suite ( u ) est croissate c) La suite ( u ) état croissate, pour obteir le plus petit rag N à partir duquel tous les termes de la suite ( u ) appartieet à l itervalle A ;+ où A est u réel quelcoque, il suffit de calculer les termes successifs de la suite tat que u A L implémetatio sous Algobo est alors la suivate : Pour tout O peut remarquer que ( u ) ted letemet vers + et sous Algobo, o est très vite limité par le grad ombre de boucles écessaires pour obteir le résultat N, ( ) doc ( ) puis a + or lim ( ) + doc, par comparaiso lim a Pour tout N, ( ) ( ) lim + si doc b or doc, par comparaiso lim b + Corrigé séquece MA

13 Pour tout N, si doc c 4 (car 4 ) or lim + (car < < ) d où par le théorème des gedarmes 4 4 lim + c puis lim c + Pour tout N, cos doc + cos + De plus, pour tout, < + doc < aisi par produit, pour tout, + cos Pour, or lim doc lim et lim puis par quotiet lim De faço aalogue, + + o obtiet lim (o remarquera à cet edroit qu il est pas + écessaire de réécrire le détail de la démostratio das la mesure où o utilise eactemet la même démarche) Fialemet, par le théorème des gedarmes, lim d + Eercice Pour tout, ( ) doc + ( ) + puis par iversio + et, par produit par qui est positif, o a + ( ) u + Puis pour, et lim or lim + + doc lim puis par iversio lim, c est-àdire lim De faço aalogue, o motre que lim + Aisi, par le théorème des gedarmes lim ( u ) ce qui coduit à + lim u + 4 Corrigé séquece MA

14 Eercice O a u ( + ) doc u aisi pour tout N, + u + u ( + ) (+ ) ( + )(+ ) ( + )(+ ) Comme, o a ( + )( + ) > et pour tout, u+ u doc ( u ) est croissate Pour tout k, + + k doc k + + aisi u est la somme de termes tous iférieurs à + doc u + d où u Fialemet, ( u ) est croissate et majorée par doc ( u ) est covergete (théorème de la covergece mootoe) O remarquera que l o obtiet pas la valeur de la limite La seule iformatio dot o dispose parce que l o a prouvé, c est que la limite est iférieure à Corrigé des eercices de sythèse du chapitre 4 Eercice I La foctio f est ue foctio ratioelle défiie sur ( ) ; 6 doc f est dérivable sur sur 9 ; 6 Pour < 6, o a f' ( ) 9 doc f' ( )> ( 6 ) ( 6 ) ;6 et f est strictemet croissate sur ; 6 a) O souhaite démotrer que, pour tout N, u < et u u+ O peut doc motrer e ue seule étape que, pour tout N, u u+ < O raisoe par récurrece 9 O a u et u f( u) doc u u 6 u < Corrigé séquece MA 5

15 Soit k N tel que u strictemet croissate sur ; 6 O obtiet u u < k+ k+ Fialemet, pour tout, o a u u < k uk+ < alors f ( uk ) fu ( k+ )< f ( ) car f est + b) La suite ( u ) est croissate et majorée par doc, par le théorème de la covergece mootoe, o peut e déduire que ( u ) est covergete Par ailleurs, pour tout, u < doc la limite l de ( u ) vérifie l comme coséquece de la compatibilité avec l ordre a) Soit N O a : u v v + u+ u u 6 u 9 9 u 6 u 6 u u ( u ) ( u ) Aisi, pour tout N, v+ v et la suite ( ) v est arithmétique de raiso et de terme iitial v u 6 b) Pour N, o a v u doc u ou ecore u v + v La suite ( v ) état arithmétique de raiso et de terme iitial v, o 6 obtiet que pour tout N, v 6 et o e déduit que lim v + Par iversio, o a lim puis par somme lim Fialemet, lim u + v v Eercice II La suite ( u ) est costate si et seulemet si, pour tout N, u+ u soit u + 6 u u +, u + 6 u( u + ) ou ecore u + u 6 or l équatio + 6 a pour discrimiat 5 5 et pour solutios a et b Doc, e choisissat u ou u, ( u ) est costate 6 Corrigé séquece MA

16 a) La foctio f est ue foctio ratioelle défiie sur E ; ; + doc f est dérivable sur tout itervalle iclus ( + ) ( + 6) 4 das E et, pour, o af' ( ) ( + ) ( + ) Par suite, f' ( ) < sur E et f est décroissate sur ; et sur ; +,5,5 u u u,5 u b) Au vu du graphique, il semble que ( u ) e soit pas mootoe et qu elle soit covergete vers c) À l aide du logiciel Geogebra, après avoir créé la foctio f, o crée u curseur représetat u que l o peut ommer u_ et qui pred des valeurs etre et par eemple O crée u deuième curseur preat des valeurs etières etre et par eemple Efi, o sait que l o peut obteir u par la foctio Itératio[f,u_,] Pour cela, o etre das la barre de saisie u_ Itératio[f,u_,] O peut alors visualiser le problème e représetat e abscisse le poit de coordoées (u_,) Il reste alors à choisir différetes valeurs pour u et, das chaque cas, à faire varier pour observer le comportemet de u O obtiet par eemple : 5 u u Corrigé séquece MA 7

17 5 u, u 5 u 4,5 4 4 u À l aide d u tableur, o etre les valeurs de das la coloe A et e B, o etre la formule (B+6)/(B+) Il suffit alors de choisir différetes valeurs de u e B pour obteir des cojectures O obtiet par eemple : Ces résultats permettet de retrouver le fait que das les cas où u ou u, la suite est costate Das le cas où u, elle est doc covergete vers alors que das tous les autres cas, elle semble covergete vers O rappelle que b Pour qu il eiste u rag tel que u + alors u + 6 u + d où u + 6 ( u + ) ce qui coduit à u Autremet dit, pour qu u terme de la suite soit égale à, il faut que le précédet soit E supposat u, o e peut doc pas trouver de valeur de pour laquelle u 8 Corrigé séquece MA

18 E choisissat u, la suite ( v ) est doc bie défiie Soit N O a u + 6 u a u v + u + u+ b + + ( u ) u a u + 6 u u v ( u ) u b 4 La suite ( v ) est doc géométrique de raiso et de terme iitiale 4 u a v docv v u b 4 u a O remarque que a b doc pour tout N, v puis dev, o u b e déduit successivemet que v ( u b) u a, u ( v ) bv a bv a et efi u v O rappelle que a et b doc, pour tout N, u u u + 4 u u + 4 Comme < < 4, lim + v ce qui implique que lim u + O peut remarquer que ce raisoemet coviet pour toute valeur de u différete de et de Das le cas où u, la suite ( u ) est pas défiie et, das le cas où u, la suite ( u ) est costate et doc, covergete vers Les résultats démotrés cofirmet doc les cojectures émises précédemmet Eercice III La foctio f est u polyôme doc f est dérivable sur R et pour tout R, o a f'( ) 6, 6, 6, ( ) Par suite, f' ( ) est du sige de d où f' ( ) sur ; croissate sur ; et f' ( ) sur et décroissate sur ; + ; + La foctio f est doc Corrigé séquece MA 9

19 ,4,,, u u u u u 4,4,5,6,7,8,9 Il semble alors que la suite ( u ) soit croissate et covergete vers l abscisse o ulle du poit d itersectio de la courbe représetat f et de la droite d équatio y O peut préciser la cojecture e résolvat l équatio f () O a : f( ) 6, 6,, 6 6,, ( 8) ou 8 Aisi, il semble que ( u ) soit covergete vers 8 a) O a u, puis u, 6u( u) f( u), 44 doc u u 8 Soit k N tel que uk uk + alors f f u f u f 8 ( ) ( k ) ( k ) ( + 8 ) car f est croissate sur ; doc sur ; 8 Comme f (), fu ( k ) u k +, fu ( k+ ) uk+ et f 8 8, o a doc u + u + 8 k k Aisi, par récurrece, pour tout N, o a u u + 8 b) La suite ( u ) est croissate et majorée par 8 doc elle est covergete par le théorème de la covergece mootoe Par ailleurs, pour tout N, o a u doc la limite l de ( u ) 8 vérifie l 8 Corrigé séquece MA

20 a) Soit N O a : u+, u( u) u u u ( ) 8 5 u 5 or , u u u u 8 8 u 5 u u u 5 doc 6 5 u 8 +, u 8 u 8 La suite ( u ) est croissate de terme iitial u, doc pour tout N, u, puis 6, , 8, u, c est-à-dire 6 5, 84, 8 u De plus, u 8 doc 6, , 8 u u u aisi pour tout N, 84 u 8 +, u 8 b) O raisoe par récurrece O a u 8 8,, 75 et 84, doc la propositio est vraie au rag Supposos qu elle le soit pour u certai rag k ; c est-à-dire supposos que pour k N, o ait u 84 k 8 k, Sous cette hypothèse, o a alors 84, 84, 8 k+ u k 8 84 uk+, u 8 k d où u 84 8 k +, k+ et la propositio est héréditaire Fialemet, pour tout N, o a u 84 8, or c) Des questios a et 4b, o déduit que pour tout N, u 84 8, or lim 84, car <, 84< d où lim + des gedarmes Aisi lim u u par le théorème Corrigé séquece MA

21 Eercice IV Vrai E effet, toute suite décroissate est majorée par so premier terme Fau Toute suite décroissate et miorée est bie covergete par le théorème de la covergece mootoe Si elle est miorée par, o peut e déduire que sa limite l vérifie l mais rie e permet d affirmer que la limite est ulle Preos la suite de terme gééralu + Cette suite est décroissate, elle est miorée par mais elle admet pour limite Vrai Toute suite croissate est miorée par so premier terme Si la suite est de plus majorée, elle est doc borée Vrai Fau E effet, dire qu ue suite qui admet pour limite + sigifie que, quel que soit le réel M, o peut trouver u certai rag au delà duquel tous les termes de la suite dépasse M Aisi, aucu réel e peut être u majorat d ue telle suite Preos u + et v alors pour tout N, u < v E revache, + lim u et lim v doc, das ce cas, o a lim u lim v O peut remarquer que par la compatibité avec l ordre, lorsque ( u ) et ( v ) sot des suites covergetes telles que pour tout N, u < v alors, la seule affirmatio que l o puisse e déduire est que lim u lim v + + Eercice V La foctio f est ue foctio homographique doc ( u ) est défiie par a b u f + ( ) c + d b a+ b a b a puis u + c + d + or lim d d d où lim a + b + a + c+ c + et lim c + d a c Par quotiet, o obtiet doc lim u + aisi il suffit de + c choisir f telle que a Par eemple, e preat a et c, la suite c ( u ) défiie par u + coviet Corrigé séquece MA

22 Si ( u ) est ue suite géométrique covergete alors sa raiso q est telle que < q Mais si q la suite est cotate et si < q <, celle-ci coverge vers O e peut doc pas trouver de suite géométrique o costate covergete vers q La suite ( u ) est défiie par ue epressio de la forme u α q où α est u réel et q u réel différet de Pour que ( u ) coverge, o choisit < q < de sorte que lim + q q puis lim + q et lim u q + α q O obtiet le résultat e choisissat par eemple α6 et q 4 La suite ( u ) est défiie par ue epressio de la forme u α + β Elle est doc covergete si et seulemet si α autremet dit, si et seulemet si ( u ) est costate Par suite, o e peut pas trouver de suite arithmétique o costate covergete vers Eercice VI À l aide de Geogebra, o obtiet l illustratio ci-cotre,8 Il semble que les suites ( u ) et ( v ) soiet covergetes vers ue même limite comprise etre, et,4 L aire A semble doc être égale à cette limite,6 a) E s appuyat sur le graphique, o remarque que les rectagles cosidérés pour,4, 6 calculer u ot tous u côté de logueur et la hauteur vaut k pour k allat de à Aisi,,4,6,8 v,65 u,7 u ( ) k k De faço aalogue, o remarque que les rectagles cosidérés pour calculer v ot tous u côté de logueur et la hauteur vaut k pour k allat de à Corrigé séquece MA

23 Aisi v k b) Pour, o a k k et ( + )( + ) doc 6 6 k k ( + )( + ) la propositio «k» est vérifiée au rag 6 k p O suppose que pour p N pp ( + )( p+ ), o ait k et, sous cette 6 k p+ ( p+ )( p+ )( p+ ) hypothèse, o motre que k 6 k O a p+ p pp ( + )( p+ ) p( p+ )( p+ ) + 6( p+ ) k k + ( p+ ) + ( p + ) 6 6 k k ( p+ )( p + 7p+ 6) 6 or ( p+ )( p+ ) p + 7p+ 6 propositio est bie héréditaire d où k p+ ( p+ )( p+ )( p+ ) k 6 k et la Fialemet pour tout N, ( + )( + ) k 6 k O e déduit que ( ) ( ) k d où 6 k u ( ) ( ) 6 alors quev ( + )( + ) 6 c) Démotros que la suite ( u ) est covergete O a ( ) ( ) + doc, pour, + u + ( ) ( ) or lim + et lim doc lim puis par produit lim u E procédat de faço aalogue, o obtiet lim v Corrigé séquece MA

24 Comme o sait que pour tout, o au A v, o obtiet par passage à la limite (coséquece de la compatibilité avec l ordre) que A Fialemet, l aire cherchée vaut e uité d aire (l uité d aire état l aire du rectagle formé par les vecteurs de base) Eercice VII k O a :u k + +, u k k k k k 7 et u k k a) Soit N * k et k tels que k O a k + or, de k + k o déduit que puis d où + + k k k car > Alors par iversio +, c est-à-dire k + k + + k b) Pour N, o a k + pour tout k + k Doc k + k + or k k k + + et k car k das chaque cas o cosidère la somme de termes idetiques d où u + c) O a iversio + + or lim + + doc lim + + et par lim + d où lim + + Par le théorème des gedarmes, + o e déduit que lim u + Corrigé séquece MA 5

25 a) O a lim + u doc, par défiitio, o peut trouver u u etier p strictemet positif tel que, pour tout etier p, o a u < De u +, o déduit que + u d où u + Aisi, pour que u <, il suffit que + <, + > puis > 99 c està-dire E choisissat p, o est assuré que pour tout etier p, o a u < b) À l aide de l algorithme ci-dessous implémeté sous Algobo, o obtiet u, c) Compte teu de la questio précédete, l etier p cherché das cette questio est écessairemet iférieur ou égal à Pour répodre à la questio, o peut procéder de l ue des deu faços suivates Calculer toutes les valeurs de u pour allat de à et garder la plus petite valeur de pour laquelle u < O remarquera qu e travaillat das ces ses, o e peut pas s arrêter dès que la coditio u < est vérifiée pour u certai etier p car o a aucue iformatio sur le comportemet de la suite ( u ) pour p O obtiet par eemple l algorithme de gauche Raisoer das l autre ses e calculat les termes de la suite à partir de et s arrêter dès que la coditio u est vérifiée O obtiet par eemple l algorithme de droite 6 Corrigé séquece MA

26 À l aide de l u ou l autre de ces algorithmes implémetés sous Algobo, o obtiet p 9 et u 9,9996 d) Ue coditio suffisate sur p pour que u < soit vérifiée pour tout etier p coduit à p alors que la coditio est vérifiée dès que p 9 Ceci s eplique par le fait que l ecadremet obteu à la questio b est très large Il est suffisat pour obteir la covergece de ( u ), e revache il est trop large pour obteir des iformatios itéressates quat à la vitesse de covergece de la suite Corrigé séquece MA 7

27 Eercice VIII O a!!! u, u, u u,,, 7 9! 4 et u 9, Il semble que ( u ) soit covergete vers doc que tede vers + beaucoup plus vite que! O remarque que, u e s aulat pas, o peut cosidérer le quotiet Alors, pour, + u o a! ( + )! ( + ) ( + ) u + ( + )!! + ( ) u u + ( + ) + or, e appliquat l iégalité de Beroulli avec, o a + + d où u pour, u+ Démotros par récurrece que pour tout, u O a u et doc la propositio «u» est vraie pour u Supposos que pour k N, o ait u k De k, o déduit k uk+ par iversio que u k uk + puis par produit (caru k > ) que u k+ u k L hypothèse de récurrece permet alors d écrire u k + k u k + et la propositio est héréditaire k Fialemet, pour tout, u ou ecore O sait que pour tout, u or ( u ) est ue suite à termes positifs doc, pour tout, u De plus lim + doc par le théorème des gedarmes lim u + La cojecture est bie vérifiée et ted vers + beaucoup plus vite que! 8 Corrigé séquece MA

28 Eercice IX a) b) E testat l algorithme pour de grades valeurs de, il semble que ( u ) tede vers + ( k + k)( k + + k) a) Soit k O a k + k k + + k k + + k or k k k + et k k + k + doc par somme k k + k + k + et par iversio aisi pour tout k, k k k + + k k + k + + k k b) E sommat les iégalités k + k pour k allat de à, o obtiet k k + k k k or k k + k k + et u d où + u k k k k ce qui doe Corrigé séquece MA 9

29 + u Comme +, o e déduit fialemet que u () E sommat les iégalités k + k pour k allat de à, k + o obtiet k k k + + k k or k k + k k ( ) (u ) u et k + k + + d où u k ce qui doe u puis u ( ) Des iégalités () et (), o déduit que pour tout, u + a) O a lim + + doc lim + + or pour, u doc par comparaiso, lim u + + b) O sait que pour, o a u or > u doc + u, c est-à-dire or lim doc lim + + et lim + puis, par le u théorème des gedarmes lim Fialemet est u équivalet + de u O a aisi démotré que ( u ) est divergete et qu elle ted vers + à la même vitesse que ted vers + Eercice X a) La foctio f est ue foctio ratioelle défiie sur ; + doc f est dérivable sur ; + et pour tout >, o a Corrigé séquece MA

30 ( )( + ) A A A A f'( ) or + A > sur ; + doc f' ( ) est du sige de A à savoir égatif sur ; A et posi- tif sur A ; + Par suite, f est décroissate sur ; A et croissate sur A ; + b) f, 4,6,8,,,4,6,8 u u u u a) E s appuyat sur la représetatio des premiers termes de ( u ), il semble que la suite soit décroissate et très rapidemet covergete vers l abscisse du poit d itersectio de la courbe f et de la droite d équatio y Das le cas où A, il semblerait doc que ( u ) soit covergete vers b) Motros que u u Pour cela, o remarque que : A u u u + u u A u A u u + or u E( A) + doc u A d où u A de sorte que l o a bie u u De plus, comme u A et f est croissate sur A; +, o a A u f ( u ) f ( A ) A+ A A O suppose que pour k N, A uk+ uk u alors f ( A ) fu ( k+ ) fu ( k ) fu ( ) car f est croissate sur A ; f ( a ) uk+ uk+ f ( u ) + d où Corrigé séquece MA

31 d où A uk+ uk+ u tout N, A u u u + et la propositio est héréditaire Fialemet pour c) De ce qui précède, o déduit que pour N, u+ u doc ( u ) est décroissate et pour N, A u doc ( u ) est miorée par A aisi, par le théorème de la covergece mootoe, la suite ( u ) est covergete De plus, pour tout N, A u u doc la limite l de ( u ) vérifie A l u a) Soit N ( ) O a : A u A f u A u A u A Au u + ( ) + u + A u u or u A A car A > et u u u > par suite pour tout N, u+ A u A ( ) b) Pour, o a ( u A) u A doc la propositio «u A ( u A )» est bie vérifiée au rag O suppose que pour k N, uk A u A k ( ) D après la relatio obteue au a, o sait que uk+ A uk A ( ) d où uk + A ( u A k ) soit uk + A ( u A k + ) et la propositio est bie héréditaire Fialemet pour tout N, u A ( u A ) c) Pour tout N, u A ( u A) d après le b et le b or lim lim + + car < < d où, par le théorème des gedarmes lim ( u A) puis lim u A + + Corrigé séquece MA

32 O sait que pour N, u A ( u A ) or das le cas où A, o a u d où u ( ) or doc pour que u, il suffit que ou ecore que La suite de terme gééral 4 état croissate, < et >, la coditio est vérifiée dès que 4 Par balayage à l aide de la calculatrice, o trouve que le plus petit au-delà duquel u est 4 La différece avec le résultat précédet s eplique par le fait que les majoratios cosidérées das les questios a et b sot très fortes O ote que la covergece de la suite vers sa limite est très rapide puisque u 4 fourit déjà ue approimatio de à près Lire A Lire P N U + E( A) Tat que U A P faire N N+ U U + A U Fi Tat que Afficher U O peut compléter cet algorithme e demadat d afficher N e sortie obteat alors le plus petit rag au-delà duquel u A < P Afi de le tester, o peut implémeter cet algorithme sous Algobo ou sur la calculatrice Corrigé séquece MA

33 Eercice XI O remarque que u 57, u , etc u 57 Aisi, par costructio u d où u 99 et O a < < doc lim + puis lim + lim u et 4 Corrigé séquece MA

34 C Corrigé de la séquece Corrigé de l activité du chapitre Activité Pour les questios à, il suffit de suivre les istructios doées au cours de l éocé Les courbes obteues par cette costructio sot les suivates :, M v M s S M c u 4π π/ π π/ π π/ π π/ π/ π π/ π π/ π π/ 4π C C Cojectures attedues à la questio 4 π Il semble que la foctio sius soit croissate sur ;, décroissate π π sur ; et croissate sur π ; π π π π Variatios de la foctio sius Il semble que la foctio cosius soit décroissate sur ;π et croissate sur π ; π π π Variatios de la foctio cosius Corrigé séquece MA 5

35 Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice a) E s appuyat sur le cercle trigoométrique, si a pour solutios π π et sur π ; π alors que les solutios sur ; π sot 4 π 5π et b) E s appuyat sur le cercle trigoométrique, sur R o a π π cos + kπ où k Zou + k' π où k' Z, c est-à-dire π π cos + kπ où k Zou + k' π où k' Z 6 6 Aisi, cos a quatre solutios sur π ; π qui sot 5 π π, 6 6, π 6 et 5 π que l o obtiet respectivemet pour k ', k, k ' et k 6 Sur ; π cos a quatre solutios qui sot π 6, 5 π 7π π, et que l o obtiet respectivemet pour k ', k, k ' et k a) Sur R, si si( + π ) + π + k π où k Z π ou π ( + ) + k' π où k' Z π π π Pour k Z, + + kπ + kπ kπ (o peut remarquer que pour cette derière équatio, o peut tout autat écrire π + kπ puisque k peut predre toutes les valeurs de Z de sorte que k π et k π décrivet le même esemble de ombres) π π π k ' π Pour k ' Z, π ( + ) + k' π + k' π + 6 π Fialemet, l équatio si si( + ) admet comme solutios sur R les π ombres de la forme k π avec k Z ou bie π + k ' π avec k ' Z 6 6 Corrigé séquece MA

36 π b) O rappelle que pour tout réel a, sia cos( a) π Sur R, si cos cos( ) cos π π + kπ où k Z ou + k' π où k' Pour k Z, π π π k π + kπ 5 kπ (e précisat 5 π k π que cette derière équatio peut tout autat s écrire + 5 ) Z π Pour k ', π + k' π +k' π Fialemet, l équatio si cos admet comme solutios sur R les ombres de la forme π π k 5 avec k Z et ceu de la forme π + k ' π avec k ' Z O remarquera que selo la démarche utilisée, o peut recotrer les solutios écrites sous ue autre forme c) O rappelle que pour tout réel a, cos a si a Sur R, si cos si si si + si X si X + X Le triôme X + X a pour discrimiat 5 5 doc Z X + X X ou X O e déduit que si cos si ou si L équatio si a pas de solutio réelle car pour tout R, si π 5π Puis sur R, si + kπ où k Zou + k' π où k' Z 6 6 Fialemet, si cos admet comme solutios sur R les ombres de la forme π + k π avec k Z et ceu de la forme 5 π + k ' π avec k ' Z 6 6 Corrigé séquece MA 7

37 a) O s appuie sur le cercle trigoométrique pour coclure directemet L iéquatio cos π réuio π π ; ; π 6 6 admet comme esemble de solutios sur π ; π la b) E s appuyat sur le cercle trigoométrique, l iéquatio si admet comme esemble de solutios sur π ; π l itervalle π 4 π ; 4 π π c) O a π π + π + π aisi e posat π π X +, résoudre cos( + ) > cosx > avec π X π + π sur ;π se ramèe à résoudre E s appuyat sur le cercle trigoométrique, o a sur π π π ; +, 7π 9π cos X > < X < 4 4 Puis 7 π π 9π π 7π π 7π π < < < < < < π Fialemet l iéquatio cos( + ) > sur ;π l itervalle 7π 4 π ; 4 admet comme esemble de solutios d) O a 4cos ( cos )( cos + ) aisi, pour résoudre l iéquatio, il suffit de détermier le sige de chacu des facteurs cos et cos + sur ; π et de résumer le tout das u tableau de siges pour obteir le sige du produit E s appuyat sur le cercle trigoométrique, o a sur ; π, π 5π cos cos ou et cos cos π 5π < < < < 8 Corrigé séquece MA

38 π 4π De faço aalogue o a cos + cos ou π 4π et cos + < cos < < < π π 4π 5π π Sige de cos + + Sige de cos Sige de 4 cos Fialemet, l iéquatio 4cos admet comme esemble de solutios π π 4π 5π sur ; π la réuio ; ; ; π e) Pour suivre ue démarche aalogue à celle adoptée à la questio précédete, o commece par factoriser si si + O remarque X si que si si + Le triôme a pour X X + discrimiat doc X X + X ou X et o a X X + ( X )( X ) Comme X si, o a doc si si + (si )(si ) Il reste à détermier le sige de chacu des facteurs π π Sur π ; π, si si et, pour tout, si < c est-à-dire si < Sur π 5π π ; π, si si ou et 6 6 π 5π si > si > < < 6 6 Corrigé séquece MA 9

39 π π 6 π 5π 6 π Sige de si Sige de si Sige de si si Fialemet, l iéquatio si si + < admet comme esemble de solutios sur π ; π la réuio π π π 5π ; ; 6 6 Eercice a) Pour R, f( + π) cos ( + π) + si( + π) or pour a R, o a cos( a+ π ) cosa et si( a+ π ) sia d où f( + π) ( cos ) + si( ) f( ) O peut doc restreidre l étude de f à u itervalle de logueur π, l étude sur R s e déduisat à l aide de la périodicité de f Graphiquemet, f est doc ivariate par traslatio de vecteur πi Aisi, la courbe f se déduit de sa restrictio à u itervalle de logueur π par traslatio de vecteurs kπ i où k Z b) Dire que la courbe f admet la droite d équatio π comme ae de 8 symétrie sigifie que deu poits dot les abscisses sot situées symétriquemet de part et d autre de π 8 ot la même ordoée O est doc ameé à comparer π f( ) 8 + et f( π 8 ) où est u réel quelcoque Pour R, f( π ) cos ( π ) si( π ) or pour a R, cos a + cos( a) π π d où cos ( + ) + cos( + ) puis 8 4 π π π f( + ) + cos( + ) + si( +) cos( ) si( ) + si( ) + cos( ) 4 Corrigé séquece MA

40 π aisi, pour tout R, f( + ) + cos( ) 8 π E remplaçat par o obtiet que f( ) + cos( ) or la foctio 8 π cosius est paire et f( ) + cos( ) de sorte que, pour tout R, 8 π π f( + ) f( ) 8 8 La droite d équatio π 8 est doc bie u ae de symétrie pour la courbe f a) Pour R, f( ) cos + si( ) cos + cos si cos (cos + si ) b) La foctio f est le produit de cos par la somme des foctios cosius et sius Toutes ces foctios état dérivables sur R, f est dérivable sur R Formules utilisées : ( u+ v) u + v et ( uv ) u' v + uv Pour R, f ( ) ( si )(cos + si ) + cos ( si + cos ) 4si cos + (cos si ) Aisi f ( ) si( ) + cos( ) Par ailleurs, pour R, π si cos si cos 4 si π Fialemet, pour tout R, f ( ) si( ) 4 π c) Comme >, f ( ) est du sige de si( ) O a 4 π 5π 5π π π π π aisi, résoudre si( ) sur I 4 π 5π ; 8 8, se ramèe à résoudre π six sur π ; e posat X 4 Sur π ;, six X π ou X doc sur I π 5π ; 8 8, π π π 5π π si( ) π ou ou Corrigé séquece MA 4

41 De plus, sur π ;, six < π < X < doc sur I π 5π ; 8 8, π si( ) π π π 5 < < < < < π π 5π La foctio f est doc décroissate sur ; 8 8 a) O remarque que la courbe J admet des tagetes horizotales au poits d abscisse π 8 et 5 π 8 b) E s appuyat sur le résultat obteu à la questio b, o costruit la courbe J restrictio de la courbe f à l itervalle π π ; comme symétrique 8 8 de la courbe J par rapport à la droite d équatio π La réuio des 8 courbes est doc la restrictio de la courbe f à l itervalle π 8 5π ; 8 E s appuyat sur le résultat démotré à la questio a et e remarquat que l itervalle π 5π ; a pour logueur π, o obtiet la courbe 8 8 f par traslatio de cette derière de vecteurs kπ i où k Z Corrigé séquece MA

42 Eercice La foctio u est dérivable sur ;π comme somme de foctios dérivables sur cet itervalle et pour tout ; π, u ( ) cos Pour tout ; π, cos doc u ( ) Par suite, la foctio u est décroissate sur ;π or u( ) doc, pour tout ; π, u ( ), c est-à-dire si O a doc bie démotré que pour tout ; π, si a) La foctio f est ue somme de foctios dérivables sur ;π doc f est dérivable sur ; π Pour ; π, f ( ) + + cos La foctio f est elle-même dérivable sur ;π comme somme de foctios dérivables sur cet itervalle et pour ; π, f ( ) si u( ) De la questio, o déduit que f ( ) pour tout ;π doc f est décroissate sur ; π b) O remarque que f ( ) or f est décroissate sur ;π doc f sur ; π Par suite, o e déduit que f est décroissate sur ; π Efi, e remarquat que f ( ), o obtiet que f est égative sur ; π Pour tout ; π, f( ) c est-à-dire + + si doc pour 6 tout ; π, si 6 Corrigé des activités du chapitre Activité a) À l aide de la représetatio graphique de f, il semble que f( ) tede vers e et e + Corrigé séquece MA 4

43 b) E établissat u tableau de valeurs (à l aide d u tableur par eemple), o peut cofirmer les cojectures proposées à la questio précédete E utilisat le raisoemet recotré lors du calcul de limites de suites, o peut détermier la limite de f( ) e + O a lim + + et lim + et les propriétés recotrées sur les limites de quotiet de suites e permettet pas de coclure ; o est e présece d ue idétermiatio Pour lever cette idétermiatio, o trasforme l écriture de f( ) ( + ) + + O écrit f( ) Puis lim + doc, d ue part ( ) par somme, lim + + et d autre part par produit par puis par somme lim + Fialemet par quotiet, lim f + ( ) Ce raisoemet est eactemet celui utilisé pour les limites de suites Ue suite état ue foctio défiie sur N ou ue partie de N, il eiste pas de limites de suites e Ce qui suit e peut doc pas être calqué sur ce qui a été fait sur les suites e revache, o peut adapter la démarche E + effet, e repreat l epressio f( ), il suffit de détermier la limite du umérateur et du déomiateur or, lorsque ted vers, so iverse ted ituitivemet vers autremet dit il semble que lim et, e 44 Corrigé séquece MA

44 admettat ce derier résultat, o obtiet de la même faço que précédemmet lim + et lim d où lim f ( ) Activité a) 6 6 impossible impossible b) A la lecture du tableau précédet : il semble que tede vers + lorsque ted vers mais o remarquera qu il est écessaire que les valeurs de soiet strictemet positives pour que la foctio soit défiie ; il semble que tede vers ou vers + selo que ted vers e état strictemet iférieur à ou strictemet supérieur à ; il semble que tede vers + lorsque ted vers ; il semble que tede vers ou vers + selo que ted vers e état strictemet iférieur à ou strictemet supérieur à c) Sur ; +, 6 6 > < < < aisi, pour que dépasse 6, il faut et il suffit de choisir das ; Sur ; +, > < < < 4 aisi, pour que dépasse, il faut et il suffit de choisir das ; 4 E suivat ce raisoemet, o pourrait démotrer que peut deveir aussi Corrigé séquece MA 45

45 grad que l o veut pourvu que l o choisisse des valeurs de suffisammet proche de O dira que ted vers + lorsque ted vers et o otera lim + d) Sur ; +, 6 > < < 6 et pour que dépasse 6, il faut et il suffit de choisir das ; 6 Sur ; +, > < < et il suffit de choisir das ; et pour que dépasse, il faut E suivat ce raisoemet, o pourrait démotrer que peut deveir aussi grad que l o veut pourvu que l o choisisse des valeurs de strictemet positive et suffisammet proche de O dira que ted vers + lorsque ted vers par valeurs strictemet supérieures à et o otera lim + Sur ;, 6 6 < < < suffit de choisir das 6 ; Sur ;, < < < il suffit de choisir das ; et pour que 6 < >, il faut et il et pour que <, il faut et E suivat ce raisoemet, o pourrait démotrer que peut deveir iférieur à importe quel ombre (égatif et grad e valeur absolue) pourvu que l o choisisse des valeurs de strictemet égative et suffisammet proche de O dira que ted vers lorsque ted vers par valeurs strictemet iférieures à et o otera lim < e) Sur R *, 6 6 > < < < < < ou < < Sur R *, > < < < < < ou < < 46 Corrigé séquece MA

46 E suivat ce raisoemet, o pourrait démotrer que peut deveir aussi grad que l o veut pourvu que l o choisisse des valeurs de das u voisiage suffisammet proche de (par valeurs strictemet iférieures à ou par valeurs strictemet supérieures à ) O dira que ted vers + lorsque ted vers par valeurs strictemet supérieures à ou par valeurs strictemet supérieures à O otera lim +, lim + et, les limites < > à gauche de et à droite de état les mêmes, o otera plus simplemet lim + Activité 4 À l aide de la représetatio de f obteue das l activité, f ( ) semble tedre vers lorsque ted vers avec < et vers + lorsque ted vers avec > Pour plus de précisio, o établit u tableau de valeurs de f ( ) au voisiage de e preat soi de choisir u pas petit Il faut peser à choisir des valeurs de iférieures et des valeurs de supérieures à Il apparaît à la lecture du tableau de valeurs que les cojectures émises précédemmet peuvet être cofirmées, c est-àdire qu il semble que f () tede vers à gauche de et vers + à droite de a) Soiet A u réel aussi grad que l o veut (pour la démostratio, o pourra choisir A > ) et u réel tel que > Corrigé séquece MA 47

47 f ( )> A + A A > + > ( ) car > puis A f ( )> A A> A < ( ) car A > d où A < A A Fialemet, pour A aussi grad que l o veut, o sait trouver u réel A tel que pour < < o ait f () > A Cela sigifie que f( ) pourra être plus grad que importe quel réel A pourvu que soit suffisammet proche de O peut doc cofirmer que f( ) ted vers + lorsque ted vers e état supérieur à b) Selo les cojectures émises précédemmet, il semble que f( ) ted vers lorsque ted vers par valeurs iférieures à O choisit doc u réel A, égatif, aussi grad que l o veut e valeur absolue et o cherche les valeurs de telles que < pour lesquelles f( )< A O adapte alors le travail précédet f ( )< A + A A < + > ( ) car < puis A f ( )< A A> A > ( ) car o peut choisir A A d où A > Il apparaît doc que, pour A égatif, aussi grad que l o veut e valeur absolue, A o sait trouver u réel tel que pour A < < o ait f( )< A c est-à-dire que f( ) pourra être plus iférieur à importe quel réel A égatif pourvu que soit suffisammet proche de e état iférieur à et o peut doc cofirmer que f( ) ted vers lorsque ted vers par valeurs iférieures à Activité 5 a) O établit par eemple u tableau de valeurs de f( ) au voisiage de, à gauche et à droite, e preat soi de choisir u pas petit Il apparaît à la lecture du tableau de valeurs que f( ) semble tedre vers à gauche de comme à droite de Cette cojecture peut être cofirmée e traçat la courbe représetative de f O O b) La courbe représetative de f semble être la droite d équatio y autremet dit, il semble que pour tout, f( ) 48 Corrigé séquece MA

48 O O Pour, o a ( )( ) 4 doc, pour, f ( ) 4 + ( )( ) ( ) Puis, ituitivemet, lim d où lim f( ) La foctio f est doc pas défiie e mais elle admet ue limite fiie e Graphiquemet, o remarquera que le poit de coordoées ( ; ) appartiet pas à la courbe représetat f bie que l o puisse peser le cotraire Corrigé des eercices d appretissage du chapitre Eercice 4 a) L epressio + est u quotiet doc o est ameé à détermier la limite du umérateur et du déomiateur O a lim + > 4 et lim 4 car pour >, o a > 4 doc 4 < > + Par quotiet, o obtiet lim 4 > + b) La foctio cos + foctio ratioelle O a lim lim lim est la composée de la par la foctio cos doc, par compositio + + avec X, o obtiet lim cos lim X cos X c) L epressio + est u quotiet dot le umérateur et le déomiateur tedet vers lorsque ted vers O est doc ameé à trasformer Corrigé séquece MA 49

49 l epressio du quotiet pour lever l idétermiatio Les triômes de degré, + et admettet tous les deu pour racie, ils sot factorisables par D ue part + a pour discrimiat 9 et pour racies et d où + ( )( + ) D autre part ( )( + ) ( )( + ) Fialemet + ( )( + ) + or lim + et ( )( + ) + lim doc par quotiet lim + c est-à-dire lim d) O cherche la limite e du quotiet + si L idée est d ecadrer + si et de travailler par comparaiso après s être rameé à détermier des limites de foctios ratioelles Pour R, si puis + si + De plus, pour tout R, + > doc + si O a lim lim et, de faço aalogue, lim si doc par le théorème des gedarmes, lim + e) Pour et >, + ( + )( + + ) + 4 ( )( + + ) ( )( + + ) ( ) ( )( + + ) + + O a lim d où par quotiet lim c est-à-dire lim Corrigé séquece MA

50 f) L epressio cos ( ) est u quotiet dot o cherche la limite e Le umérateur et le déomiateur tedat vers e, o est ameé à trasformer l epressio O sait que, pour tout a R, cos a si a doc cos ( ) si ( ) et cos ( ) si ( ) Le calcul des limites du umérateur et du déomiateur de cette ouvelle forme coduit à ouveau à si X ue idétermiatio mais o sait que lim et l idée est d utiliser ce X X derier résultat O remarque que si ( ) si( ) si( ) 9 O a lim doc, par compositio avec X, si( ) X lim lim si X X puis, par compositio avec Y si( ), si( ) o a lim lim Y Y si( ) Fialemet, par produit par 9, o obtiet lim 9 9 c est-à-dire si ( ) lim 9 ou ecore cos ( ) lim 9 Eercice 5 4 La foctio f est ue foctio polyomiale doc lim f( ) lim + et lim f( ) lim La recherche d ue feêtre peut être facilitée das u premier temps par l utilisatio de GeoGebra Ue fois cette recherche effectuée, o peut proposer par eemple la feêtre ci-dessous avec le graphique correspodat Corrigé séquece MA 5

51 Eercice 6 Répose C E effet, + ( + )( + + ) ( ) ( ) + + or lim + + doc par iversio, lim + O remarquera qu il s agit ici d ue preuve mais, s il y a pas de démostratio du résultat demadée, o peut s appuyer sur ue cojecture du résultat obteue par eemple à la calculatrice ce qui peut permettre aussi de coclure Répose B E effet, pour tout R, si doc si et f( ) + or lim + doc par comparaiso e +, lim f( ) + O + + remarquera ici qu ue cojecture du résultat à l aide de la calculatrice écessite de predre des valeurs de suffisammet grade pour e pas proposer ue coclusio erroée Répose C + O a lim lim et, de la même faço, lim doc la droite d équatio y est asymptote à la courbe + d équatio y e et e + Le déomiateur s aule e et e alors qu e ces deu valeurs, le umérateur e s aule pas Il eiste doc deu asymptotes verticales d équatio et Répose D S il y a pas de démostratio du résultat demadé, o peut cojecturer le résultat à l aide de la calculatrice Pour ue preuve, o remarque que si si f( ) + + or lim si 5 Corrigé séquece MA

52 d où lim f( ) et e choisissat f ( ) o prologe la défiitio de f à R e costruisat ue foctio cotiue e aisi qu'o le verra das le chapitre suivat Répose C La foctio g est la composée de par f or lim + + doc, par compositio avec X, lim g ( ) lim f( ) lim f( X) X X > Répose B La foctio g est la composée de par f or lim + > compositio avec X, lim g ( ) lim f( ) lim f( X) X + > > doc, par Eercice 7 a) E s appuyat sur la représetatio graphique de f, il semble que : f soit défiie sur R \{ } ; 5 lim f( ), lim f( ) ; < lim f( ) + et lim f( ) + ; + > f admette ue asymptote verticale d équatio O peut évetuellemet cojecturer la présece d ue autre asymptote, ue asymptote oblique 5 O 6 4 O b) E complétat la graphique par le tracé de la droite la droite d équatio y +, il apparaît que f semble e effet avoir ue autre asymptote, à savoir la droite E effet, la courbe f semble se rapprocher de la droite au voisiage de et de + Corrigé séquece MA 5

53 5 5 O 6 4 O La foctio f est ue foctio ratioelle défiie par ( 5)( + ) f( ) 9 + Le déomiateur 9 + a pour discrimiat et pour racies et 5 doc f est défiie sur R privé de ces deu valeurs La foctio f est doc défiie sur D ; ; 5 5 ; + O ote que la cojecture émise à la questio était fausse Pour détermier les limites e et de +, o remarque que pour tout D, 9 + f( ) O a alors lim f( ) lim lim 9 + et, de faço aalogue o obtiet lim f( ) lim Pour détermier les limites e les zéros du déomiateur, o travaille par quotiet e détermiat les limites du umérateur et du déomiateur O a lim 9 + 4< et lim 9 + aisi, pour coclure par quotiet, il est écessaire de préciser le sige du déomiateur au voisiage de 5 + Sige de Corrigé séquece MA

54 O peut doc préciser la limite du déomiateur e, à savoir lim et lim 9 + < > puis o obtiet par quotiet lim f( ) et lim f( ) + < ( 5)( + ) O a f( ) 9 + > doc le umérateur et le déomiateur s aulet e 5 Le calcul des limites par quotiet coduit doc à ue idétermiatio que l o va lever e trasformat l epressio de f 5 E remarquat que 9 + ( )( ) ( )( 5), o a pour ( 5)( + ) + D, f( ) Comme lim + ( )( 5) 5 7 et lim, o obtiet par quotiet lim f( ) 5 5 a) Pour tout D, + + ( + )( ) 4 f( ) ( + ) ( + ) b) O a lim doc par iversio lim puis par produit par 4, o a lim f( ) ( + ) De la même faço, o obtiet lim f( ) ( + ) + Le ombre f( ) ( + ) représete l écart algébrique mesuré sur ue verticale etre les poits de coordoées ; f( ) 7 4 ( ) et ( ; +) autremet dit l écart etre la courbe f et la droite Du calcul des limites e et e +, o déduit que cet écart algébrique ted vers e et e ce qui est cohéret avec les costatios effectuées précédemmet C est même ue preuve du résultat O peut doc affirmer que la droite est asymptote à f e et e + Corrigé séquece MA 55

55 c) Les positios relatives de la courbe f et de la droite sot doées par le sige de f( ) ( + ) E effet, f et serot sécates lorsque f( ) ( + ) c est-à-dire f( ) ( + ), f sera strictemet au-dessus de lorsque f( ) > ( + ) c est-à-dire f( ) ( + ) > et f sera strictemet au-dessous de lorsque f( ) < ( + ) c est-à-dire f( ) ( + ) < O sait que < sur ; et > sur ; + doc par iversio et produit par 4, o e déduit que f( ) ( + ) < sur ; et f( ) ( + ) > sur ; + Par suite, f est strictemet au-dessous de sur ; et f est strictemet au-dessus de sur ; +, les deu courbes e se coupat pas Eercice 8 ( ) O a lim > et lim + doc par quotiet, lim f( ) + et, graphiquemet, o peut e déduire la présece d ue asymptote verticale d équatio Pour détermier les limites e et e +, o remarque que f est ue foctio ratioelle que l o peut écrire sous la forme f( ) ( 4 + 4) O a alors lim f( ) lim lim et lim f( ) lim lim + De ces deu deriers résultats, o e peut pas e déduire l eistece d asymptote sas raisoemet supplémetaire a) Pour, d ( ) f ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + )( 8 + 8) ( ) ( ) 56 Corrigé séquece MA

56 Comme lim, o obtiet par compositio avec X, ( ) + lim lim X X puis par iversio lim d ( ) O remarque que l o aurait pu raisoer e écrivat lim d ( ) lim lim lim ( ) De faço aalogue, o a lim d ( ) + L écart algébrique etre la courbe f et la droite ted vers e doc la courbe f ted à se rapprocher de la droite au voisiage de O e déduit que la droite est asymptote à f au voisiage de De la même faço, la droite est asymptote à f au voisiage de + b) Sur R \{ }, d ( ) ( ) car ( ) > ( ) sur R \ {} ( ) + Puis, sur R \{ }, d ( ) 8 7 Le triôme a pour discrimiat 8 ( ) et pour racies 4 et 4 + puis, état positif à l etérieur des racies o obtiet comme esemble de solutio de : 4 4 S + ; ; + Fialemet, d ( ) a pour esemble de solutio sur R \{ }, 4 S S 4 + R \{ } ; ; + Graphiquemet, d ( ) représetat l écart géométrique etre la courbe f et la droite, il apparaît que la distace mesurée verticalemet etre les deu courbes est iférieure à ue uité de logueur sur l esemble S O peut remarquer que, comme la droite est asymptote à f au voisiage de et de +, il est logique de retrouver ue distace etre les deu courbes iférieure à au voisiage de et de + c) Pour, d ( ) or ( ) > sur R \ sur R \{} ( ) {} doc d ( )> Corrigé séquece MA 57

57 Graphiquemet, le sige de d( ) ous doe les positios relatives de la courbe f et de la droite doc f et e se coupet pas et f est strictemet au-dessus de sur ; et sur ; + La foctio f est ue foctio ratioelle doc f est dérivable sur so esemble de défiitio, u vu uv Formule utilisée : v ' ' v Pour, ( ) ( ) 6 ( 6 ) + 9 ( 4) f'( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 4 ( ) ( )( 6 + 9) d où f ( ) 4 ( ) ( + ) Comme ( )( + ) 6 + 9, o e déduit que ( )( + ) f ( ) ( ) Le triôme + a u discrimiat strictemet égatif doc il e s aule pas sur R et, pour tout R, + > sur R O a doc le tableau de sige suivat : + est du sige de Par suite, + Sige de Sige de Sige de f () + + La foctio f est doc strictemet croissate sur ;, strictemet décroissate sur ] ; ] et strictemet croissate sur ; + 58 Corrigé séquece MA

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse Séquece Les suites umériques Sommaire Pré-requis Le raisoemet par récurrece 3 Notios de limites 4 Sythèse Das cette séquece, il s agit d ue part d approfodir la otio de suites umériques permettat la modélisatio

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario Mathématiques Termiale S Corrigés des eercices Rédactio : Lauret Beroul Isabelle Teaud Sébastie Cario Coordiatio : Sébastie Cario Ce cours est la propriété du Ced Les images et tetes itégrés à ce cours

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique

MATHEMATIQUES Terminale Scientifique MATHEMATIQUES Termiale Scietifique Fiches PROGRAMME 22 (v24) Sylvie LAMY Agrégée de Mathématiques Dilômée de l École Polytechique Cours Pi e-mail : lescoursi@cours-icom site : htt://wwwcours-icom siège

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Lycée Féelo aite-marie Préparatio ciece-po/prépa HEC Foctios Versio du juillet 05 Eercice d degré : racies et coefficiets O rappelle que si l équatio a + b + c = 0 ( a 0 ) adet deu racies α et β (évetuelleet

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1 Correctio Exercice 1 O cosidère la suite (v ) défiie par v 0 = 3 et pour tout 1, v +1 = v 2 3v +4. 1. Démotrer que la suite est croissate. v +1 v = v 2 4v +4 = (v 2) 2 0 quelque soit etier. Doc (v ) est

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

Terminale S (2014-2015) Suites numériques

Terminale S (2014-2015) Suites numériques Termiale S (04-05) Suites umériques Raisoemet par récurrece. Itroductio E Mathématiques, u certai ombre de propriétés dépedet d u etier aturel. Par exemple, la ( + ) somme des etiers aturels de à est égale

Plus en détail

Analyse 5 SUITES REELLES

Analyse 5 SUITES REELLES Aalyse chap 5 /6. GENERALITES SR LES SITES. Défiitios Défiitio : e suite est ue foctio, défiie sur ue partie D de. O ote () =, o lit «idice». O dit que est le terme gééral de la suite, ou terme de rag.

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces 013-014 Feuille : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissemets fiis, étude des variatios Les eercices sas ( ) sot des applicatios directes du cours.

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

I. (2 points) III. (2 points)

I. (2 points) III. (2 points) ère S Cotrôle du vedredi 7 mars 05 (0 mi) Préom : Nom : Note : / 0 II ( poits) Soit ABC u triagle isocèle e A tel que AB AC 8 cm et BC 5 cm O ote I le milieu de [AC] Calculer BI (valeur exacte) I ( poits)

Plus en détail

LIMITES DE SUITES. n ) u n = 2 n pour n IN 5 ) u n = 2n + 1 n - 5 pour n ³ 6 6 ) u n = (-1)n pour n IN

LIMITES DE SUITES. n ) u n = 2 n pour n IN 5 ) u n = 2n + 1 n - 5 pour n ³ 6 6 ) u n = (-1)n pour n IN LIMITES DE SUITES I Limites fiies ou ifiies Exercice 1 Pour chacue des suites, e calculat différets termes, cojecturer la valeur limite de u quad deviet ifiimet grad (c'est-à-dire quad ted vers + ). 1

Plus en détail

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire Séquece 8 Suites arithmétiques et géométriques Sommaire Pré-requis Suites arithmétiques Suites géométriques Sythèse du cours Exercices d approfodissemet Séquece 8 MA Ced - Académie e lige Pré-requis A

Plus en détail

4 ème aée Maths Limites Cotiuité et dérivabilité Octobre 9 A LAATAOUI Eercice : La figure ci cotre est la représetatio graphique d ue foctio f défiie et cotiue sur IR O ote que (ζf) admet au voisiage de

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL Corrigé du baccalauréat Polyésie 6 jui 4 STID STL spécialité SPCL EXERCICE 4 poits Cet eercice est u questioaire à choi multiples. Pour chacue des questios suivates, ue seule des quatre réposes proposées

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

Révisions d analyse (corrigé des indispensables).

Révisions d analyse (corrigé des indispensables). Révisios d aalyse (corrigé des idispesables). Limites des foctios de variable réelle à valeurs das ou.. a. La foctio f est le produit d e foctio borée sur ( a si ) et d e foctio qui ted vers 0 e 0 ( a

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand?

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand? Exercice : Détermier la limite de chaque suite (u ). a) u = si π b) u = () c) u = + d) 0,5 + cos(π) Exercice 2 : la costate d Apéry Pour tout etier, u = 3 + + 2 3 +. + 3 ) Doer u miorat de cette suite.

Plus en détail

Exercices. Limites de suites. Limite d une suite Dans les exercices suivants, déterminer la limite de la suite (u n ) en précisant le théorème

Exercices. Limites de suites. Limite d une suite Dans les exercices suivants, déterminer la limite de la suite (u n ) en précisant le théorème Exercices Limites de suites Exercice Limite d ue suite Das les exercices suivats, détermier la limite de la suite (u ) e précisat le théorème utilisé. ) u = + + + + ) u = cos(), N 3) u = + cos 4 3 4) u

Plus en détail

Suites et séries de fonctions

Suites et séries de fonctions [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

TS Limites de suites (3)

TS Limites de suites (3) TS Limites de suites (3) I. Rappels sur les suites majorées, miorées, borées ) Défiitio (suite majorée, miorée, borée) 5 ) Propriété Si u réel M est u majorat d ue suite u, alors tous les réels supérieurs

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES

Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES Nous allos voir commet : 1) Cojecturer le comportemet d ue suite ) Raisoer par récurrece 3) Utiliser les suites arithmétiques et géométriques 4) Étudier le comportemet

Plus en détail

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie A CORRIGE DE LA ère COMPOSITION DE MATHEMATIQUES Eercice. Calculer, e, la dérivée de : Arc ta( ) Soit f ( ) Arc ta( ), alors f ( ) Arc ta( )

Plus en détail

Fiche 8 : Fonctions II. Limites

Fiche 8 : Fonctions II. Limites Uiversité Paris-Est Val-de-Mare Créteil DAEU-B Fiche 8 : Foctios II. Limites Das la fiche 7 "Foctios I", o a vu la défiitio d ue foctio et différetes otios afféretes. E particulier, o a travaillé sur le

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE. Exercice. Ue suite de réels positifs qui coverge vers 0 est décroissate à partir d u certai rag. C est faux. Pour costruire u cotre-exemple, o pourrait cosidérer

Plus en détail

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse

Séquence 1. Les suites numériques. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse Séquece Les suites umériques Sommaire Pré-requis Le raisoemet par récurrece 3 Notios de limites 4 Sythèse Das cette séquece, il s agit d ue part d approfodir la otio de suites umériques permettat la modélisatio

Plus en détail

Exercices. Exercice 1 (Suites adjacentes) On considère les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par: 1 k u n = n 3, v n = u n + 1 n 1 2n 2

Exercices. Exercice 1 (Suites adjacentes) On considère les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par: 1 k u n = n 3, v n = u n + 1 n 1 2n 2 Exercices Exercice (Suites adjacetes) O cosidère les suites (u ) N et (v ) N défiies par: u 3, k3 k 2 + v u + 2 2 Motrer que (u ) N et (v ) N sot adjacetes. Exercice 2 Soiet les deux suites (u ) et (v

Plus en détail

Suites numériques 1 / 12 A Chevalley

Suites numériques 1 / 12 A Chevalley MT8 A 03 Suites umériques Aleth Chevalley. Rappels.. Défiitio O appelle suite umérique réelle, toute applicatio f : ϒ qui à tout etier aturel, fait correspodre le ombre réel f() et o désige la suite par

Plus en détail

collection odyssée Livre du professeur Nouveau programme François BRISOUX Professeur de mathématiques au lycée Frédéric Kirschleger de Munster

collection odyssée Livre du professeur Nouveau programme François BRISOUX Professeur de mathématiques au lycée Frédéric Kirschleger de Munster collectio odyssée MATHÉMATIQUES T le S Livre du professeur Eseigemet spécifique Eseigemet de spécialité Sous la directio de éric SIGWARD Nouveau programme IA-IPR de mathématiques de l académie de Strasbourg

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

5 Pour tout entier naturel n, on pose : 6 Démontrer que, pour tout entier naturel n : n k k! = (n + 1)! 1

5 Pour tout entier naturel n, on pose : 6 Démontrer que, pour tout entier naturel n : n k k! = (n + 1)! 1 Exercices 7 SUITES NUMÉRIQUES Récurrece O appelle factorielle et o écrit! le produit des etiers cosécutifs de à : Par covetio : 0! =.! = 3 ) Pour ue foctio f, o ote f ) sa dérivée - ième. Soit f défiie

Plus en détail

20. Algorithmique & Mathématiques

20. Algorithmique & Mathématiques L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

Terminale S Chapitre 2 : Fonctions, continuité et TVI Page 1 sur 5 ( ) = ( )

Terminale S Chapitre 2 : Fonctions, continuité et TVI Page 1 sur 5 ( ) = ( ) Termiale S Chapitre : Foctios, cotiuité et TVI Page sur 5 Ce que dit le programme : Défiitio Soiet f ue foctio défiie sur u itervalle I de R et a = O dit que f est cotiue e a si lim f x f a O dit que f

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * * SESSION 006 EPREUVE SPECIIQUE ILIERE MP MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Les calculatrices sot autorisées * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio

Plus en détail

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 43 Chapitre 4: Croissace, divergece et covergece des suites 4.1 Quelques défiitios Défiitios : Ue suite est croissate si chaque terme est supérieur ou égal à so précédet

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

1. Limite d'une suite... p2. Suites convergentes

1. Limite d'une suite... p2. Suites convergentes Suites covergetes 1.... p2 4. Cas particuliers... p9 2. Limites et comparaiso... p6 5. Suites mootoes... p11. Opératios sur les limites... p7 1. Limite d'ue suite 1.1. Limite ifiie a) Défiitios O dit que

Plus en détail

Exercices sur les limites de suites 1.

Exercices sur les limites de suites 1. Exercices sur les ites de suites. Détermier les ites des suites ci-dessous lorsque ted vers +. Exercice.. u cos. v. w si + 900 Exercice 5. 0, 7. u 0, + 0, 4. v 70 + 000. w 44 4 + 5 Exercice.. u +. v. w

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u :

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u : SUITES NUMERIQUES Coteus : Capacités attedues : Commetaires : Suites Limite d ue suite défiie par so terme gééral Notatio lim u Suites géométriques : - somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique

Plus en détail

1 Propriétés - Suites monotones

1 Propriétés - Suites monotones Uiversité d Aix-Marseille Licece de Mathématiques Semestre 06-07 Aalyse Plache - Suites umériques Propriétés - Suites mootoes Exercice Soiet les suites défiies, pour tout, par u = et v = Vérifier qu elles

Plus en détail

Comportement asymptotique des suites

Comportement asymptotique des suites Comportemet asymptotique des suites Table des matières 1 Itroductio 2 2 Limite d ue suite 2 2.1 Limite fiie d ue suite........................................... 2 2.2 Limite ifiie d ue suite..........................................

Plus en détail

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites 12 Cours - Suites.b 1/11 Suites I) Gééralités 1) Défiitio 2) Notatio 3) Commet peut être défiie ue suite 4) Suites et ordre 5) Propriété vraie à partir d u certai rag 6) Exercice 7) Suites arithmétiques,

Plus en détail

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite Eseigemet spécifique Chapitre 1. Les suites umériques Pricipe de récurrece Limite d ue suite I. Rappels sur les suites umériques 1. géérale Ue suite umérique est ue foctio défiie de N vers R, elle peut

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P.

Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. Uiversité Mohammed V - Agdal Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques et Iformatique Aveue Ib Batouta, B.P. 04 Rabat, Maroc Filière DEUG : Scieces Mathématiques et Iformatique (SMI) et Scieces Mathématiques

Plus en détail

I- Nombre dérivé de f en a

I- Nombre dérivé de f en a I- Nombre dérivé de f e a Défiitio 1: Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I, a I et h R* tel que a+h I f est dérivable e a I, si, et seulemet si, ( a + h) f ( a) Cette limite est le ombre dérivé de

Plus en détail

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

Chapitre 13 Comportement d une suite. Table des matières. Chapitre 13 Comportement d une suite TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 13 Comportement d une suite. Table des matières. Chapitre 13 Comportement d une suite TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 13 Comportemet d ue suite TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 13 Comportemet d ue suite Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1 2................................................

Plus en détail

Fonction logarithme népérien Corrigés d exercices / Version de décembre 2012

Fonction logarithme népérien Corrigés d exercices / Version de décembre 2012 Corrigés d eercices / Versio de décembre 0 Les eercices du livre corrigés das ce documet sot les suivats : Page 9 : N, 6 Page 9 : N Page 9 : N 7, 9 Page 98 : N 9,,, 6, 7, 9 Page 99 : N 4, 47, 49, Page

Plus en détail

Cours de Mathématiques : Polynômes et Suites

Cours de Mathématiques : Polynômes et Suites Uiversité de Cergy-Potoise Départemet de Mathématiques L MIPI - S2 205/206 Cours de Mathématiques : Polyômes et Suites - Polycopié d Exercices Chapitre : Nombres complexes Exercice a) Détermier la partie

Plus en détail

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites numériques

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites numériques L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites umériques Eocés Exercice Les assertios suivates sot-elles vraies ou fausses? Doer ue démostratio de chaque assertio vraie, et doer u cotre-exemple de chaque

Plus en détail

TD 2 : Suites numériques réelles

TD 2 : Suites numériques réelles Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge

Plus en détail

Exercices - Les nombres réels : corrigé. Valeur absolue - Partie entière

Exercices - Les nombres réels : corrigé. Valeur absolue - Partie entière Exercices - Les ombres réels : corrigé Exercice 1 - Ordre et R - L1/Math Sup - 1. Supposos que a 0 et posos ε = a /2 > 0. Alors o a a < ε = a /2, soit e simplifiat par a qui est positif, 1 < 1/2. Ceci

Plus en détail

Ch.1 ( ) ( ) + 9 ( ) ( ) = n ( n + 1 )( n + 2) ( )? ( ) ( ) ( )( n + 2) SUITES PARTIE 1 récurrence et suites bornées

Ch.1 ( ) ( ) + 9 ( ) ( ) = n ( n + 1 )( n + 2) ( )? ( ) ( ) ( )( n + 2) SUITES PARTIE 1 récurrence et suites bornées Termiale S Ch1 SUITES PARTIE 1 récurrece et suites borées Das tout le chapitre, les etiers cosidérés sot aturels, c'est-à-dire positifs ouls I Raisoemet par récurrece 1 / Itroductio Exercice 1 : soit u

Plus en détail

Comportement d une suite

Comportement d une suite CHAPITRE 6 Comportemet d ue suite ACTIVITÉS Activité L aire ajoutée (celle d u carré compese exactemet l aire elevée a p 6 ; p 5 ; p 6 6 b La suite (p est géométrique de raiso car la logueur de la lige

Plus en détail

Correction de la question de cours 1

Correction de la question de cours 1 Math I Aalyse Exame du 9 décembre 2007 Durée 2 heures Aucu documet est autorisé. Les calculatrices, téléphoes portables et autres appareils électroiques sot iterdits. Il est iutile de recopier les éocés.

Plus en détail

BA + DB. Métropole La Réunion septembre 2008

BA + DB. Métropole La Réunion septembre 2008 étropole La Réuio septembre 008 EXERCICE 4 poits Commu à tous les cadidats Das ue kermesse u orgaisateur de jeu dispose de roues de 0 cases chacue. La roue comporte 8 cases oires et cases rouges. La roue

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

Limites de suites et de fonctions

Limites de suites et de fonctions TermS Limites de suites et de foctios I ] Suites ) Défiitio : Ue suite réelle est ue foctio de! das!, défiie à partir d'u certai rag 0. Notatio : u = lire "u idice " = terme d'idice, ou de rag = terme

Plus en détail

C.B. Analyse : solutions

C.B. Analyse : solutions l( ) ) La foctio f C.B. Aalyse : solutios Partie I : Etude de la foctio L a) Par théorème géérau, f est de classe C sur ], [ {}. E, o motre simultaémet les deu propriétés e obteat u D.L. de f e. O sait

Plus en détail

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A Iformatique TP : Calcul umérique d ue itégrale CPP 1A Romai Casati, Wafa Johal, Frederic Deveray, Matthieu Moy Avril - jui 014 1 Zéro de foctio O doe le code suivat (vu e cours), qui permet de calculer

Plus en détail

b) Par définition, ln 1 est le nombre dont l'exponentielle est 1. Or e = 1. Donc ln 1 = 0 2) Traduction de la définition.

b) Par définition, ln 1 est le nombre dont l'exponentielle est 1. Or e = 1. Donc ln 1 = 0 2) Traduction de la définition. Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page sur 2 I) Défiitio et propriétés algébriques : ) La foctio : Défiitio : La foctio logarithme épérie, otée, est la foctio défiie sur ;+ qui, à tout réel >

Plus en détail

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel,

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel, Exercices aales corrigés : Suites Sujet atioal septembre 007 ( bac blac 008) La suite u est défiie par : = et = pour tout etier aturel a O a représeté das u repère orthoormé direct du pla doé ci-dessous,

Plus en détail

Compléments sur les suites Suites adjacentes

Compléments sur les suites Suites adjacentes DERNIÈRE IMPRESSION LE 7 février 07 à 6:3 Complémets sur les suites Suites adjacetes I Ecadremet d ue suite EXERCICE ) Motrer que pour tout k N et pour tout x [k ; k+], o a : k+ k+ k x dx k ) O pose u

Plus en détail