Matrices et suites RÉSOLUTION DE PROBLÈMES CHAPITRE. SÉQUENCE 1 Suite de matrices colonnes (page 142) Problème. A 1. Étape Voir en bas de page.

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1 HPIRE Matrices et suites SÉQUENE Suite de matrices coloes (page ) RÉSOLUION E PROLÈMES Problème Étape La louche aller cotiet cl de café oc, après l aller, cotiet cl de café et cl de café oc, la louche retour cotiet cl de café O obtiet : a + et b Étape La louche aller cotiet cl de café oc, après l aller, cotiet cl de café et cotiet cl de café oc, la louche retour cotiet cl de café O obtiet : a + et b 9 9 Étape + La louche aller cotiet a de café oc, après l aller, cotiet a a a et cotiet b + a oc, la louche retour cotiet b + a, c est-à-dire b + a a + a + b + a a + b oc b + b + a b + a a + b Voir e bas de page (a ) et (b ) semblet coverger vers a + a + ( a ) a + a) Pour, a a Si a a +, alors : a + a ; doc a + a + La propriété état vraie pour et héréditaire, elle est vraie pour tout aturel b) La suite (a ) est décroissate et miorée ; elle est doc covergete c) Sa limite c vérifie c c +, c est-à-dire c Natha rasmath erm S Spécialité Spécialité hapitre Matrices et suites

2 a) e a + a + et c c +, o déduit, par soustractio membre à membre : a + c ( a c ) oc, x + x : la suite (x ) est géométrique de raiso et de premier terme x b) x, doc : a + + b a La suite (b ) est croissate et a pour limite oc, o ted vers des mélages idetiques das les deux récipiets f le cours, page Remarque a + a + ( a ) a + b + ( b ) + b b + a + utremet dit b + a b + + (I ) (I ) Or I qui a pour iverse oc Problème après l arbre ci-dessous :,,,,,,,,,,,,,, o obtiet : _spe_prof_fig a,, +,,, b,, +,,, a,, +,,, b,, +,,, L arbre ci-dessous justifie les formules Étape Étape +, a, ébut Natha rasmath erm S Spécialité lors V (V ) + Or V, doc V a b + d où a + et b, b ette formule se déduit des formules précédetes _spe_prof_fig Voir e bas de page Il semble que les parts de marché se stabiliset autour de % et % a +,a +,( a ),a +, b +,( b ) +,b,b +,,, Spécialité hapitre Matrices et suites

3 utremet dit a + b +,, a b +,, a a,a +, a) d où b,b +, b b) e P + P + E et + E, o déduit par soustractio membre à membre : P + (P ), soit X + X c) Pour, X X puisque I Si X X alors X + X X + X La propriété état vraie pour et héréditaire, elle est vraie pour tout aturel, a), I, I, b) X P X oc P,, +,, a +, c) b, O vérifie les valeurs trouvées au,, lim a ` et lim b ` e sot les parts de marché de lloel et ravoel sur le log terme lim P ` f cours, page 9 Remarque a et b peuvet s iterpréter comme les probabilités, pour l aée +, qu u cliet pris au hasard soit chez lloel ou chez ravoel Il s agit d ue marche aléatoire etre les deux états et Problème j, a ; j, a j femelles doet aissace à j jeues et devieet,j adultes a femelles doet aissace à a jeues, puis meuret j oc + j + a a +, j Voir e bas de page Les proportios de jeues et d adultes semblet se stabiliser autour de 9 % et % à la logue, la populatio semble doubler tous les as V et V LV + Pour, V L V car V I Si V L V alors V + LL V L + V La propriété, vraie pour et héréditaire, est doc vraie pour tout aturel a) L,, L + I b) L I L +I oc x et y Si L x L + y I, alors : L + ( x L + y I)L x L + y L x L + I ( x + y )L + x I oc x + x + y et y + x, + y L c) Si, () x et + () y Si x () et y + (), alors : x + () + + () + () + et y () + + () + La propriété, état vraie pour et héréditaire, est doc vraie pour tout aturel a) V L V ( x L + y I)V x LV + y V x + y Natha rasmath erm S Spécialité Spécialité hapitre Matrices et suites

4 Natha rasmath erm S Spécialité b) j x + y + () + a x () s j + a + j a) lim ` lim ` + a lim ` lim ` s oc lim ` j b) lim ` lim s ` j s 9 a lim a lim ` s ` s 9 à log terme, les proportios de jeues et d adultes se stabiliset à 9 et 9 s c) lim + s ` s lim ` + lim ` + à log terme, le taux d évolutio est de % ; autremet dit, la populatio double tous les as Les résultats b) et c) cofirmet les cojectures du Problème Le triagle est rectagle si, et seulemet si, a + (a + ) b ; c est-à-dire a + a + b, ce qui équivaut à a(a + ) b + a) a, b 9 Le triagle de côtés, et 9 est rectagle car b) a + a + + b + ( a + b +) ( a + b + ) ( a + b + ) a ( a +) b b c) Pour, a a + Si a ( a +) b, alors, d après ce qui précède a + ( a + +) b + La propriété, état vraie pour et héréditaire, est doc vraie pour tout aturel U et U + a + b + U + a b + U + a) + (I ) (I ) Or, I oc qui a pour iverse,,,,,,, b) e U + U + et +, o déduit, par soustractio membre à membre : U + (U ) c) Pour, U (U ) puisque I Si U (U ), alors : U + (U ) + (U ) La propriété, état vraie pour et héréditaire, est vraie pour tout aturel U U Or U + + M( U ) + ( ) N U,,+, oc M(U ),+,,,, et N(U ),, O e déduit : ( + ) a, +, b, +, ( + ) +,, + ( ), + (,, ) ( ) Remarques es formules fourisset bie des valeurs etières car si o développe les termes s élimiet b lim,+, : le triagle ted à être ` a,+, rectagle isocèle Spécialité hapitre Matrices et suites

5 Problème après l arbre ci-dessous : P,, P S o obtiet :,,,,,,, p,,, _spe_prof_fig s,, +,,, t,, +,,+,, après l arbre ci-dessous : Étape Étape +, P P, S o obtiet : ébut p p +,p _spe_prof_fig s +,p +,s t +,p +,s + t s t S S O costate que la part du secteur primaire dimiue régulièremet, celle du secteur tertiaire augmete régulièremet et celle du secteur secodaire augmete puis dimiue p +, p Les relatios s +,p +,s s écrivet t +,p +,s + t matriciellemet :,,, S S p +, p s +,, s t +,, t Pour, E M E puisque M I Si E M E, alors E + ME MM E M + E La propriété, état vraie pour et héréditaire, est vraie pour tout aturel M M M,,,,9,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Si, + + I M Si M, +, +, alors : M + M M, M +, M + M, + +, + + La propriété, état vraie pour et héréditaire, est vraie pour tout aturel E M E, E +, E + E a) E,,, doc :,, E,, E,, E,, O e déduit : p,, s,, +,, t,,,, + b) lim E ` : la tedace à log terme est que tous les emplois soiet das le secteur tertiaire Remarque a, b et c peuvet s iterpréter comme les probabilités qu u travailleur de la géératio pris au hasard soit das le secteur primaire, secodaire et tertiaire Il s agit doc d ue marche aléatoire etre les trois états P, S et Natha rasmath erm S Spécialité Spécialité hapitre Matrices et suites

6 Natha rasmath erm S Spécialité EXERIES pplicatio (page ) I Le détermiat de la matrice est pas ul : ad bc oc I est iversible, et : (I ),, a) R de même, R R S S ; R ; de même, S S b) Notos E l égalité ( ) R + S E est vraie : ( ) R + S R + S I E est héréditaire : si ( ) R + S, alors : + [( ) R + S] ( ) R + S ( ) R + S ( ) + R + + S oc, E est vraie pour tout aturel herchos la matrice coloe, telle que + :,, (I ) Posos, pour tout aturel : X U e U + U + et +, o déduit, par différece : U + (U ) soit X + X oc, par récurrece, X X pour tout Or, ( ) R + S pour tout oc X RX + SX, pour tout Or, X U ; doc RX SX () Fialemet X pour tout + O e déduit, pour tout aturel : a) U () et et lors, pour tout, O b) herchos la matrice coloe d ordre, telle que +, c est-à-dire (I ) Or, I, d où (I ) 9 oc e U + U + et +, o déduit : U + (U ), d où U (U ) + Or, à partir du rag, O, doc U c) e résultat est idépedat de U I doc I a) M b) M ;,,,, oc MM c) L égalité est vraie pour : M M MIM MM I L égalité est héréditaire Si M M alors : + M M MM M IM M M M + M La propriété est doc vraie pour tout aturel d) L égalité est vraie pour : I L égalité est héréditaire : si alors + () () + () + + L égalité est doc vraie pour tout aturel Spécialité hapitre Matrices et suites

7 a) herchos la matrice coloe, telle que + :,, (I ),, b) Posos, pour tout aturel, X U lors, pour tout, X + X c) Pour tout aturel, X X M M X Or X U o oc : X () + () () + () () + + où U X + () I Le détermiat de la matrice,, vaut oc I est iversible et (I ) L égalité est vérifiée pour : L égalité est héréditaire : si, alors I La propriété est doc vraie pour tout aturel herchos la matrice lige, telle que + : (I ) Pour tout aturel : V ( V ) +,, ( ) I La calculatrice idique que : ( I ),, + L égalité est vérifiée pour : I L égalité est héréditaire : Si alors +, La propriété est doc vraie pour tout aturel herchos la matrice lige, telle que + : (I ) ( ),, ( ) Pour tout aturel, V ( V ) + ( ) + ( ) Natha rasmath erm S Spécialité Spécialité hapitre Matrices et suites

8 SÉQUENE Étude de marches aléatoires (page ) Natha rasmath erm S Spécialité RÉSOLUION E PROLÈMES Problème Les sommets idiquet les deux possibilités : Voyelle ou osoe ; les flèches idiquet les probabilités de passer de l ue à l autre Pour les deux flèches partat d u même sommet, la somme des probabilités vaut ; e effet, pour ue lettre, il y a que ces deux possibilités et elles sot exclusives l ue de l autre après l arbre ci-dessous : V V o obtiet : v + _spe_prof_fig + + 9, c ,99 ; P V ( + ) ; P V ( + ) ; P V V ( + ) P + c et v après l arbre ci-dessous : ébut c v V ième lettre ( + ) ième lettre V V V V V V V o obtiet : c + c + v v + c + v Les relatios ci-dessus s écrivet : ( c + v + ) ( c v ) c est-à-dire P + P, Les probabilités semblet se stabiliser autour de, (cosoe) et, (voyelle) c + c + v c + ( c ) c + a) c c + b) e c + équivaut à c, soit c et c c +, o déduit par c + soustractio : c + c (c c), soit x + x La suite (x ) est doc géométrique de raiso premier terme x c c c) x, doc c v c + + et de Spécialité hapitre Matrices et suites _spe_prof_fig

9 lim P `, puisque ela cofirme la cojecture du, et, es deux ombres s iterprètet comme les proportios respectives de cosoes et de voyelles das l esemble de l œuvre Problème Si l assuré est au tarif, il y a ue probabilité, pour qu il y reste l aée suivate et,9 pour qu il passe au tarif Si l assuré est au tarif, il y a ue probabilité, pour qu il passe au tarif l aée suivate et,9 pour qu il passe au tarif Si l assuré est au tarif, il y a ue probabilité,9 pour qu il y reste l aée suivate et, pour qu il passe au tarif Voir l arbre ci-dessous,,,9,9,,9,,,,,9,9,,9,,,,9,9,,9 L arbre ci-dessous justifie les formules ée ée + _spe_prof_fig, ébut a b c,9,,9,,9 a) b) c) as les deux cas, les valeurs de a, b et c semblet se stabiliser respectivemet autour de, ;,99 et,9 Les formules du peuvet s écrire :,,9 ( a + b + c + ) ( a b c ),,9,,,9 soit P + P Pour, P P puisque I Si P P, alors P + P P P + La propriété état vraie pour et héréditaire, elle est vraie pour tout aturel a,a +,b a b 9a 9 b,9a +,c équivaut à c 9b soit b 9 c,9b +,9c a + b + c 9 a + b + c c 9 a) E( X) PU 9 9 b) L espérace de gai pour la compagie est de par assuré ; l espérace de coût est de par assuré La compagie peut doc espérer u bééfice et de par assuré Natha rasmath erm S Spécialité _spe_prof_fig Spécialité hapitre Matrices et suites 9

10 Problème Voir l arbre ci-dessous,,,, p _spe_prof_fig9 u début, les deux puces sot sur Pollux, doc : q r p p, lors, d après l arbre, q et q r r, Quad il y a deux puces sur Pollux, il est certai qu à la miute suivate, il y e aura ue Quad il y e a ue, à la miute suivate, il y e aura soit, soit (selo celle qui chage de chie) de faço équiprobable Quad il y e a, il est certai qu à la miute suivate, il y e aura ue p + P X +,, P(X ) P X X ( + ) q, + P( X ) P X X ( + ) q + P X + P( X ) P X X + p + r p + r r + P( X + ) P(X ) P X X ( + ) q, ( p + q + r + ) ( p q r ),,, soit P + P Par récurrece, o e déduit que P P, pour tout aturel,, a),,, b) implique,, etc Par récurrece, o peut formaliser que k, pour tout aturel k o ul O e déduit que k + k c) Si est pair o ul :,, P P P ( ) (,, ),, p, oc q r, Si est impair : P P P ( ),, ( ) p oc q r d) Selo que est pair ou impair, o retrouve bie les valeurs de la questio précédete () + () E(X) p + q + r + O peut s attedre e moyee à trouver à chaque miute ue puce sur Pollux E effet, soit il y e a effectivemet ue seule, soit il y e a ou avec équiprobabilité Natha rasmath erm S Spécialité Quad est impair, p q et r Quad est pair o ul, p q, et r p +,q q + p + r, peut s écrire : r +,q Si est impair, Pollux a ue seule puce ; doc est pas ue valeur possible pour a) O peut se référer à l arbre du, etre l étape k et l étape k + : S il y a puce sur Pollux, deux miutes plus tard, il y e aura ou de faço équiprobable S il y a puces sur Pollux, deux miutes plus tard, il y e aura ou de faço équiprobable Posos, pour tout aturel k o ul : u k P( k) u k+ P( k + ) P( k) P k ( k + ) P( k) u k La suite (u k ) est géométrique de raiso et de premier terme u P( ) oc, pour tout aturel k o ul, u k P( ou ) P( ) + P( ) + est bie ce qu idique l arbre du k Spécialité hapitre Matrices et suites

11 Problème 9 Si la suite est das l état, et qu o ajoute u chiffre, alors : ou bie ce ouveau chiffre est le même que le derier et la suite passe à l état ; ou bie il est différet et la suite reste à l état Si la suite est das l état, et qu o ajoute u chiffre, alors : ou bie ce ouveau chiffre est le même que le derier et la suite passe à l état, ou bie il est différet et la suite passe à l état Si la suite est das l état et qu o ajoute u chiffre, alors la suite reste das l état,,,, a) après l arbre ci-dessous : O costate que la probabilité cherchée c est eviro,9 : autremet dit, il est très probable qu ue séquece de chiffres biaires équirépartis cotiee au mois ue séquece de trois chiffres idetiques,,, Problème Graphe probabiliste ci-dessous,,,, a b c,,,, a b c,,,, b) après l arbre ci-dessous a : b ébut c a b ébut et,,, _spe_prof_fig, c O obtiet : _spe_prof_fig a +,a +,b b +,a c +,b + c qui peut s écrire : ( a+ b+ c+ ) ( a b c ),,,, Les possibilités de parcours des deux premières arêtes _spe_prof_fig sot représetées sur l arbre ci-dessous a b c d a b c d a Spécialité hapitre Matrices et suites b Natha rasmath erm S Spécialité

12 Natha rasmath erm S Spécialité a) après l arbre ci-dessous : O obtiet : ébut qui peut s écrire : a b c d ( ) _spe_prof_fig a + b + c + d b + a + c + d c + a + b + d d + a + b + c ( a+ b + c+ d+ a b c d ( ) a + b + c + d + ) ( a b c d ) a b c d a b c d c est-à-dire P + P b) Pour, P P puisque I Si P P, alors P + P P P + La propriété, état vraie pour et héréditaire, est vraie pour tout aturel a) a+ b + c + d b + c + d a b) a+ a + L équatio x x + a pour solutio x O e déduit a a, d où : + a La probabilité cherchée est + a, c) lim a Sur ue logue période, la fourmi passe e ue fois sur a + b + c + d, doc a + b, d où : a b oc lim b Par suite, lim P : sur ue logue période, chaque sommet est égalemet visité a) o o _spe_prof_fig b) p, 9 o o o o Spécialité hapitre Matrices et suites

13 EXERIES pplicatio (page ) Or P ( ) Notos et E, les deux états «llumée» et «Éteite» et classos-les das cet ordre,,,,, La matrice de trasitio est, de la P P ( ),,, (,,,, p p,9,,,,, forme avec p, et q, q q P P ( ),,, (,,, ) omme (p, q) est différet de (, ) et de (, ),,9 la répar-,titio de probabilité coverge vers la répartitio stable a aucu coefficiet ul ; doc (P, ) coverge vers la répartitio stable de probabilité P (c d m) q p, c est-à-dire étermios P : p+q p+q,c +,d +,m c Or, Sur ue logue période, la diode est allumée,c +,9d +,m d équivaut à :,d m eviro % du temps c + d + m Notos et F, les deux états «Vet défavorable» et «Vet favorable» et classos-les das cet ordre La matrice de trasitio est p q p avec p q et q, doc :,c, d,d m c + d + m soit La derière équatio fourit : c d m d d + d + d d, d où m et c isi P,,, Sur ue logue période, ill passe % de so temps à courir, % à dormir et % à mager,,, 9,,,,,, doc,,,, 9,,, 9,,,,,, 9 ( P P,,,,,,, 9 (,,, ) P P,,,,,9,, de la forme omme (p, q) est différet de (, ) et de (, ), la répartitio de probabilité coverge vers la répartitio stable : q p+q p p+q 9 9 9,, Sur ue logue période, le vet est favorable eviro % du temps, défavorable % du temps M,,,,9,,,,,,,, _spe_prof_fig,,,,9,,,,,, 9 Spécialité hapitre Matrices et suites,,, 9,,,,,, O peut prévoir % de patiets e sois réguliers, % e sois itesifs et % à l extérieur a aucu coefficiet ul ; doc (P ) coverge vers la répartitio stable de probabilité P ( a b c ) Natha rasmath erm S Spécialité,,

14 étermios P :,a +,b +,c a,a +,b +,c b,a +,b +,c c a + b + c a b c a b + c a + b c a + b + c soit équivaut à : a b, a b, a + b, c, a c est-à-dire b c à log terme, o peut prévoir patiet sur e sois réguliers, sur e sois itesifs et sur à l extérieur, c k p t c c k p t k c k p t p c k p t t c k p t c + k + p + t c k + p + t c + k p + t peut s écrire :, d où c k p t c + k + p t c + k + p + t Sur ue logue partie, les quatre cases sot équiprobables Soit le ombre de coups de la partie, supposé suffisammet grad, pour que la répartitio de probabilité etre les cases soit sesiblemet la répartitio stable Notos, K, P et, les variables aléatoires idiquat respectivemet le ombre de passage par les cases œur, arreau, Pique, rèfle, et X la variable aléatoire qui idique le gai fial du joueur X + K P, doc : E( X) E() + E(K) E(P) E() + Le jeu est équitable EXERIES sur l esemble des séqueces (page ) EXERIES ctivités de recherche (page ) Natha rasmath erm S Spécialité Structure de populatio Les outils Suite de matrices coloe (P ) telles que P + P Les objectifs Étudier l évolutio d ue structure de populatio P + P équivaut à : j +,a a + j +,a v +,a +,v ue géératio à la suivate : E moyee les adultes doet aissace à, jeues par adulte (soit u taux de fécodité de, efats par femme) ous les jeues devieet adultes ; % des adultes restet das la catégorie adulte (autremet dit % des adultes devieet vieux ou meuret) % des adultes devieet des persoes âgées (doc, d après ce qui précède, % des adultes meuret) ; et % des persoes âgées survivet (doc % meuret) a) Supposos que j a v lors j +, a, a +, a et v +, a oc j + a + v + b) j +, j, a +, a et v +, v oc j + + a + + v +, (j + a + v ) La populatio totale est multipliée par, : elle augmete de % Spécialité hapitre Matrices et suites

15 a) P La populatio totale est passée de à 9, soit ue augmetatio de 9 %,, b) P P Or,,,,9, oc P Le rat,,,9 Les outils Graphe probabiliste Matrice de trasitio Répartitio stable de probabilité héorème de covergece Les objectifs Étudier ue marche aléatoire etre trois états f figure ci-dessous,,,,,, _spe_prof_fig,,,,,,,,,,,, a) a aucu coefficiet ul ; doc, d après le héorème, la suite des répartitios de probabilité (P ) coverge vers la répartitio stable b) herchos la répartitio stable P (a b c) :,a +,b +,c a,a +,b +,c b,a +,b +,c c a + b + c a + b + c a b + c équivaut à a + b c a + b + c Par exemple, o peut tirer c a b de la derière équatio et reporter das les trois autres : a + b b a + 9b c a b O e déduit b, d où a puis c Fialemet P à log terme, le rat passe, % de so temps das le compar - timet, % das le et, % das le Narratio de recherche Si a, la suite (u ) est arithmétique de raiso b Elle est doc croissate, costate ou décroissate selo que b est positif, ul ou égatif Si a, il existe c uique tel que c ac + b lors, pour tout aturel, u a (u c) + c Si a, la suite (u ) est pas mootoe (les termes sot alterativemet iférieurs ou supérieurs à c), sauf si u c où elle est costate Si a, la suite (u ) est costate à partir de Si a, la suite (u ) est décroissate, costate ou croissate selo que u c, u c, u c Si a, la suite (u ) est croissate, costate ou décroissate selo que u c, u c, u c Narratio de recherche Nous supposeros bie etedu que la pièce est équilibrée lors, la matrice de trasitio est Le héorème s applique car qui a aucu coefficiet ul,,,,,,,,,,,,,,,, herchos la répartitio stable de probabilité P (e s) :, +,s e,e +,s,e +, s ela implique e s e + + s oc, à log terme, les trois sommets ot autat de chaces d être visités 9 Pertiece d ue page web,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, a) L égalité P K V traduit le fait que, pour chaque lige, la somme des coefficiets de P est égale à Natha rasmath erm S Spécialité Spécialité hapitre Matrices et suites

16 Natha rasmath erm S Spécialité b),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, +,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, +,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, +,K oc, l égalité P + P équivaut à : P + P ( +,K) P +, V P + Voir e bas de page O costate que les valeurs de P se stabiliset à : (,,9,9,9,,,) ; cela fourit les valeurs approchées à près des idices de pertiece de chaque page Remarques La matrice limite P vérifie P P (héorème ) mais aussi P P + (cf I du cours page 9) Mais I est pas iversible, alors que I est iversible u chapitre, o avait trouvé des valeurs différetes : (,,9,,,,,), correspodat à ue probabilité (au lieu de,) de choisir au hasard ue page Mais l ordre des pages est le même : Page Page Page Page Page Page Page Lyx et lièvres vec les coefficiets idiqués, les relatios : u+ ( b) u + auv v+ ( + c) v duv s écrivet : u+, u + uv v+, v uv av u bu u e et v e doivet vérifier : e e e cve dueve E écartat la solutio triviale u e v e, o obtiet : u e c d et v b e a u x + u e x + et v y + v e y + E reportat ces expressios das les relatios de récurrece, o obtiet : x+ x +, y + xy + y+, x y xy a) Si o églige les termes e x y, ces relatios s écrivet : soit x y + + x+ x +, y, y+, x + y,, x y b) O obtiet des courbes aalogues c) L égalité du a) s écrit P + P ; d où, par récurrece P P Spécialité hapitre Matrices et suites

17 EXERIES Etraîemet (page ) e tête a) La relatio de récurrece est de la forme : u + au + b, avec a et b omme a, la suite (u ) coverge vers c tel que c c, soit c b) La relatio de récurrece est de la forme : u + au + b, avec a et b a doc la suite est divergete ; sauf si u, auquel cas elle est costate La marche aléatoire coverge, car p _spe_prof_figbis et q : ils e sot pas tous deux uls, i tous deux égaux à,, q,, p, et q,, doc p + q, p et p + q, La marche aléatoire coverge vers la répartitio stable de probabilité (,,),,,,,,,,, ette matrice a aucu coeffi- ciet ul ; doc la marche aléatoire coverge herchos a telle que + : b a a + implique a b b b + ( ) + + V V a + oc b lim doc lim V r +,9 r +, u P équivaut à : u+,r +, 9u r +,9, r, u+,, 9 u c est-à-dire P + MP r +,9r +,u u,r +, 9u + peut s écrire : orrigé sur le site élève V a a + b + a+ a + a peut s écrire ; b + a + b b + b + b a+ a + c est-à-dire, b+ b + a + soit a +, b+ b soit V + V + I r +, 9r +, ( r ), u,( u ) +, 9u + r +,r +, c est-à-dire soit P u+,u + + P + e, I, o déduit :,, I, herchos r telle que + : u r,r +, implique r u,u + et u, ( ) + + P P, r + oc, u, Spécialité hapitre Matrices et suites Natha rasmath erm S Spécialité

18 b a Natha rasmath erm S Spécialité lim, doc lim P La populatio ted vers ue répartitio stable costituée pour de ruraux et pour d urbais Remarque Si o raisoait sur les proportios et o les effectifs, o pourrait traduire les doées e termes de probabilités Il s agit d ue marche aléatoire etre deux états R et U ; o retrouve le résultat par le héorème + Z ; e effet :, cos π cos(π), si π si (π) Remarque La défiitio de la suite (Z ) implique que toutes les matrices Z ot leurs coefficiets etiers Or, effectivemet la formule explicite fourit des ombres etiers : k si k, est etier et : π π kπ kπ cos,si cos,si {,, } a) zz (a+bi)(a + b i) (aa bb ) + (ab + ba )i k si k +, et : π π π kπ π kπ cos + +,si cos,si, a b a b aa bb ( ab + ba ) MM b a b a ab + ba aa bb a b π π π kπ π kπ cos + +,si cos,si, aa bb ( ab + ba ) b a ab + ba aa bb oc zz est associé à MM 9 a) Si la suite (u ) coverge vers le ombre c, alors b) z + i est associé à M c c, c est-à-dire c b) Pour tout aturel, u (u ) + oc : Si z est associé à M, alors z z est associé à M M, d après a) si u, lim u + ; oc z + est associé à M + si u, lim u ; La propriété est vraie pour et héréditaire ; elle est doc si u, la suite est costate doc lim u vraie pour tout aturel a) Si u était strictemet supérieur à, d après b) la a) Le ombre complexe associé à la matrice M est π suite (u ) aurait pour limite + ; doc elle e serait pas i z + i qui peut s écrire z e majorée b) Si u était iférieur à, d après b) la suite (u ) serait O e déduit : π décroissate ou costate ; doc elle e serait pas strictemet i π + π z e cos i si croissate c) Si u était différet de, d après b) la suite (u ) e serait z est associé à la matrice M, qui est doc égale à : pas covergete M Z + + π π π π cos si cos si π π π π si cos si cos b) herchos a telle que M + N : b a a b + b a + b, doc Z M ( Z ) + π cos π si π cos π si π si π cos + Marche aléatoire etre deux états a, et b, La matrice de trasitio est,,,, oc, pour tout, : a+,a +,b,a +, a,a +, π cos b +, a +, b,( b ) +, b, b +, π si Étude de (a ) : c,c +, fourit c, oc pour tout, a, a, +,,, +, Étude de (b ) : c,c +, fourit c, oc pour tout, b, b, +,,, +, Spécialité hapitre Matrices et suites

19 lim a, et lim b, oc, à log terme, o peut prévoir aboemets et aboemets orrigé sur le site élève f figure ci-dessous p p R V q q P + P_spe_prof_fig, avec / / / / Posos p et q p et q état pas uls i égaux p + p + pq p p pq + + p à, la suite (P ) coverge vers la répartitio stable de probabilité : q pq q q pq q q p p q p q Remarque r v, et pour tout : r + r + v r + ( r ) r + λ( I) ( p q) v + r + v ( v ) + v v + Étude de (r ) : x x + fourit x 9 oc pour tout, r r + Étude de (v ) : x x + fourit x oc pour tout, + v v + f figure ci-dessous, F,, P + P _spe_prof_fig, avec,,,, Posos p, et q, p et q état pas uls i égaux à, la suite (P ) coverge vers la répartitio stable de probabilité : q p p + q p + q,, à log terme, il y aura % de fumeurs et % de o fumeurs Remarque x et y, et pour tout : x+, x +, y, x +, ( x ),x +, y+, x +, y,( y) +,y,y +, Étude de (x ) : x,x +, fourit x, oc pour tout, x, x, +,,, +, N, Étude de (y ) : y,y +, fourit y, oc pour tout, ( y ) y,, +,,, +, p p p p p + p + pq q q q q q q pq p p p + p + pq p p pq q q q q pq q + q + pq doc : p q p + p + pq p p pq q q pq q + q + pq p + p + pq p p pq q q pq q + q + pq p q p q p + p + q q p autre part : p p λ( ) ( ) p + p + pq p p pq I p q q q q q pq q + q + pq p p p + p + pq p p pq q q q q pq q + q + pq O costate l égalité L égalité est vraie pour, car I λ ( I ) + Si λ + ( I), alors ( ) λ ( I), doc λ ( ) λ ( I) Pour, l égalité est vraie et héréditaire ; doc, elle est vraie pour tout aturel I I λ( I) λ ( I) λ ( I) dditioos, membre à membre : + λ + λ + + λ ( ) λ I I ( I) λ Marche aléatoire etre plusieurs états orrigé sur le site élève Exemple de simulatio : Natha rasmath erm S Spécialité Spécialité hapitre Matrices et suites 9

20 Spécialité hapitre Matrices et suites Natha rasmath erm S Spécialité a a b a b c b c a b c fourit a, b, c a) M M M M N N R R à chaque ouvelle tablette, chaque dessi a ue chace sur trois d être obteu L istructio LE() de la cellule fourit u ombre au hasard etre et S il est iférieur à, o obtiet Étoile ; s il est compris etre et, o obtiet œur ; s il est supérieur à, o obtiet rèfle O peut compléter la simulatio comme idiqué e bas de page afi de détermier aisémet la fréquece demadée rbre podéré de l évolutio possible pour les trois premières semaies _spe_prof_fig9 Graphe probabiliste de l évolutio de semaie e semaie _spe_prof_fig Matrice de trasitio Formule e E : Formule e I :

21 b) Pour, + M N + R M + N + R I Si + M N + R, alors : + M + N + R + M + + N + R Pour, l égalité est vraie et héréditaire ; doc, elle est vraie pour tout aturel a) e la relatio P + P, o déduit par récurrece la formule explicite P P b) P P M + N + R P M + P N + P R Or P ( ), doc : P M, P N, P R oc : a b c + ; ; + M, N et R ot trois coefficiets uls aux mêmes emplacemets : (, ), (, ), (, ) oc a toujours ces trois coefficiets uls Néamois lim a, lim b, lim c La coditio du héorème est suffisate pour la covergece mais pas écessaire a) e l égalité c + b + c, o déduit que c + c pour tout aturel o ul ela sigifie que plus o achète de plaquettes, plus la probabilité d avoir les trois dessis est élevée b) Le tableau de a motré que c,9 et c,9 oc, à partir de plaquettes, o est assuré d avoir les trois dessis à plus de 9 % c) u bout de semaies, la simulatio motre qu o a presque toujours les trois dessis orrigé sur le site élève vec les IE E,, Graphe probabiliste ci-dessous :,,,, _spe_prof_fig,, E, Matrice de trasitio _spe_prof_fig,,,, a) N + R,, +,, N, R,,,, E E E,,,,,,,,,,,,, b),,,, N,, N,,,,,,,,,,, R,,,,,,,, R,,,, NR,,,,,,,,, RN,,,, c) Pour, N + (, ) R N + R I Si N + (,) R, alors : + N + (, ) R ( N, R ) N, NR + (, ) RN + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) N +, R N,R N,NR, RN, R N, R La formule e fourit, avec ue probabilité + + +,, N + la ( valeur, ) R - ( N(passage, Rde ) à N ou, de NR à ) + (; et, avec ) RN ue + (, ) R N + (, ) R La propriété état vraie pour et héréditaire, elle est vraie pour tout aturel probabilité, la valeur (pas de chagemet) Il suffit de recopier cette formule vers le bas jusqu à la cellule E, il suffit d etrer la formule : SOMME(:)/ O costate que la fréquece d allumage est voisie de, rbre idiquat l état possible des réverbères pour les jours et + ( ) + P P P N, R P N, R Or P, doc P N (,,) et P R (,,) oc a, +, (,) lim a, Sur ue logue période, le réverbère est allumé la moitié du temps e résultat est e accord avec les simulatios de la partie Natha rasmath erm S Spécialité Spécialité hapitre Matrices et suites

22 Predre toutes les iitiatives 9 Ordoos les trois états das l ordre I, M et S lors :, 9,,,,, et,,,,,, ayat aucu coefficiet ul, la répartitio de probabilité coverge vers la répartitio stable P (i m s),9 I, 9i +,m i,m +,s m,i +, s s i + m + s d où : i m s fourit i + m + s i, m,9 s,, M,,, S, à log terme, o peut prévoir :, % d immuisés, 9, % de malades et, % de o malades o immuisés _spe_prof_fig EXERIES Le jour du (page ) Natha rasmath erm S Spécialité orrigé sur le site élève Graphe probabiliste ci-dessous :,,, Matrice de trasitio _spe_prof_fig,,,, 9 a b,,9,,,,,, Les probabilités de et semblet se stabiliser à, et, p, et q, ; doc : q a p + q et b p p + q omme p et q e sot pas uls i égaux à, la suite (P ) coverge vers ; a a+,a +,b,a +,( a ), a +, et b b+,a +,9b,( b ) +,9b,b +, Étude de (a ) : x,x +, fourit x oc +, a, a,9 Étude de (b ) : x,x +, fourit x oc + +, b, b O vérifie que a lim et lim b ` La relatio de récurrece a+, a +, subsiste, mais a oc : + +, a, a O e déduit, a +, O trouve a, ; b, ; c, La calculatrice, ou le tableur, idiquet que b se stabilise autour de, émotros-le doc,,,,,,,,,,,,,,,, la matrice a aucu coefficiet ul ; doc la répartitio de probabilité coverge vers la répartitio stable P (a b c) étermios P :,a +,b a b a,a +,b +,c b équivaut à c a ;,b +, c c a + b + c a + b + c ; Spécialité hapitre Matrices et suites

23 d où a, b, c O vérifie que lim b herchos la matrice coloe telle que + : (I ), e U + U + et +, o déduit par soustractio : U + (U ) où, par récurrece, U (U ) ; doc : U (U ) + La matrice de trasitio est Soit P ( a b ) + +, la répartitio de probabilité à l étape a+ a + b a + ( a ) a + x x + fourit x oc, pour tout, a a + O e déduit lim a Par suite lim b lim( a) oc lim P est iférieur à ; doc, la suite diverge (elle a pas de limite) Répose exacte : c) herchos la matrice coloe telle que + : (I ) e U + U + et +, o déduit par soustractio : U + (U ) où, par récurrece, U (U ) ; doc : U (U ) + Répose exacte : c) Répose exacte : b),, EXERIES Pour aller plus loi (page ) U U + + I : so détermiat état ul, la matrice est pas iversible Remarque ire que I est pas iversible équivaut à dire que est valeur propre de herchos (x y) telle que + : x x + ; il y a pas de solutio y y a) u et u + u + : la suite (u ) est arithmétique de raiso ; doc u + pour tout aturel b) v et v + v + : la suite (v ) est arithméticogéométrique ; c doc v (v + ) pour tout aturel c) O vérifie que : u, v -, u, v lim u + et lim v + oc, la suite (U ) est pas covergete Pour : si si( α) I si( α ) I I Pour : α si si() I si α x u ue y v ve P α α P si P si( ) P Or, P oc :,, x α + α si si( ) y α + α si si( ) Natha rasmath erm S Spécialité Spécialité hapitre Matrices et suites

24 Natha rasmath erm S Spécialité u ue + x + ( ) ( ) si α + si( α) v ve + y + ( ) ( ) si α + si( α) a) rbre probabiliste de l évolutio de l ure au cours des quatre premières étapes : b) Graphe _spe_prof_fig probabiliste de l évolutio de l ure : Si o _spe_prof_fig ordoe les états das l ordre,, et : c) herchos la répartitio stable de probabilité : P ( π π π π ) π π π + π π π + π π π π π + π + π + π π π O e déduit π π équivaut à π π π π π π π + π + π + π O recoaît la loi biomiale ; a) Le ombre de boules das l ure chage de parité à chaque étape Or, à l étape, il y e a ; doc, pour toutes les étapes impaires, il y e a ou b) Si à l étape k, il y a boules das l ure alors à l étape k +, il y e a : avec la probabilité (il e part puis il e part ecore ) ; avec la probabilité (il e part puis il e reviet ) Si à l étape k, il y a boule das l ure alors à l étape k +, il y e a : avec la probabilité + (il e part 9 puis il e reviet ou il e viet puis il e repart ) ; avec la probabilité (il e viet puis il e 9 viet ecore ) Remarque O pourrait obteir ces valeurs e calculat la matrice : c) La probabilité qu il y ait boules das à l étape k est p k ; c est doc p k qu il y e ait eux étapes plus tard, la probabilité p k+ qu il y ait boules das est : p k + p k 9, soit p k d) Posos, pour tout aturel k : u k p k u et, pour tout k, uk+ uk Spécialité hapitre Matrices et suites

25 k O e déduit u k + 9 ; doc : k + p k + 9 e) L arbre de la questio a) motre que : p ; p ; p + a) e pred que des valeurs paires puisque lors des étapes impaires, il y a ou boules das l ure b) P( ) P( ) c) P( ) P( ) + P( ) p Remarque k P( k) pour tout aturel k E() 9 9 ous les coefficiets sot positifs et de somme pour chaque lige, ette séquece est, fois plus probable chez le mycoplasme que chez l homme P ( + ) ; P ( + ) ; P ( + ) ; P ( + ) Graphe probabiliste de l évolutio du duel : _spe_prof_fig9 Matrice de trasitio O cherche ue répartitio stable de probabilité a+ a + d P (a b c) : _spe_prof_fig b a a b b + b + d c c c+ c + d a + b + c Il y a ue ifiité de solutios ; par exemple : (,, ), ( ), (,,,) d+ d Les solutios sot de la forme (a a a), avec d et d+ d, doc a d P ( ) implique : a+ a d P ( ) ; P ( ) ; oc a a P ( ) ; P ( ) isi P où le résultat puisque a ( ), si est pair ; P ( ), si est impair : la suite (P U raisoemet aalogue fourit : ) est pas covergete b et as le Problème, o a trouvé : c + p r et q lim a : c est la probabilité que soit vaiqueur Les trois suites (p ), (q ) et (r ) ot pas de limite ; doc, la suite (P ) est pas covergete lim b : c est la probabilité que soit vaiqueur P( G ) lim c : c est la probabilité que tous les deux soiet P ( G)P G ( )P ( )P P P P ( )P ( ) touchés,,,,,,,,,9, lim d : c est la probabilité que les deux restet idemes P( G ) Remarque Il y a ue ifiité de répartitios stables, de la forme P( G)P G ( )P ( )P P P P ( )P ( ) (a b c ), avec a + b + c car les trois états,,,,,,,,,,9, sot absorbats, O est pas das les coditios du,,,9, héorème ; éamois la suite (P ) coverge Natha rasmath erm S Spécialité Spécialité hapitre Matrices et suites