Comparaison d échantillons de variables quantitatives - 1 -

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1 Comparason d échantllons de varables quanttatves 1 Pluseurs échantllons j m j, s j,... : queston dfférences observées sgnfcatves? démarche : atttude dubtatve de l avocat du dable : jusqu à preuve du contrare, dfférences observées non sgnfcatves (résultent d névtables fluctuatons d échantllonnage) SECTION I L (X) connue (= N ou TLC) approche paramétrque I1 CAS DE DEUX ÉCHANTILLONS ALÉATOIRES : comparason des moyennes de deux échantllons ensemble homogène de supérettes : fréquentaton quotdenne X N (03 ; 31) étude sur échantllons aléatores (10 journées par supérette retenue): échantllon 1 : 3 supérettes proches de GS ( 10x3 = 30 observatons) m 1 = 190,8 ; s 1 = 9, échantllon : 4 supérettes élognées ( 10x4 = 40 observatons) m = 05, ; s = 34,8 queston : proxmté GS affectetelle la fréquentaton des supérettes? chox entre H 0 (hypothèse nulle) : M 1 = M ( M 1 M = 0) : la fréquentaton moyenne des supérettes «proches» est la même que celle des supérettes «élognées» H 1 : M 1 M : la fréquentaton moyenne des supérettes «proches» dffère de celle des supérettes «élognées» approche dstrbuton d échantllonnage (même s M 1 et M nconnus) portant sur la dfférence observable, = m n1 m n ; notaton : V ( m n1 m n ) σ* Δ Δ n1 n

2 Comparason d échantllons de varables quanttatves I1.1 Cas de los Normales pour X 1 et X (ou utlsaton possble du théorème de la lmte centrale) σ 1 et σ connus Résultats connus : L (X) = N ou appel possble à TLC L ( m ) N M σ n = ; n L( X 1 ) = N ( x 1, σ 1 ) L( X ) = N ( x, σ ) Conséquence : L( X) = L( X 1 ± X ) = N ( x 1 ± x, σ 1 + σ ) S X 1 et X sont ndépendantes σ L( m n1 ) N 1 = M 1, n L( m σ L( Δ) L( m n1 m n ) N 1 σ n1 ) =? et n ou = = M 1 M, + σ L( m n ) =? et n 30 n 1 n L( m n ) N = M, n Lo de la dfférence des moyennes observables entre échantllons cas de los Normales ou d un usage possble du théorème de la lmte centrale varances connues relaton 143 hypothèse nulle (M 1 = M ) L( Δ) = L( m n1 m n ) = N 0, + relaton 144 σ 1 n 1 σ n

3 Comparason d échantllons de varables quanttatves 3 Applcaton : les échantllons sont réputés trés de la même populatonmère : Varables aléatores Varables certanes L( m n1 ) = L( m 30 ) = N 03, L(X 1 ) = N σ* Δ = 7,49 N = L( m L(X ) = N M 1 = M =03 n ) = L( m 40 ) = N 03, m σ 1 = σ = 31 n1, s n1 n 1 = 30 n = 40 L ( Δ = m n1 m ) N 0 ; n = 30 + m n, s 40 n m m = 05, 1 = 190,8 = N (0 ; 7,49) s 1 = 9, s = 34,8 Δ = m n1 m n Δ = 14,4 RISQUE BILATÉRAL RISQUE UNILATÉRAL 95% N (0 ; 7,49),5 %,5 % 5 % 95% N (0 ; 7,49) 1,96 0 1,96 T Δ 0 Δ T = 1 Δ 7,49 14, ,67 Δ 1,65 0 Δ 1 1,3 0 T Δ 0 T = 7,49 Δ Rejet de H 0 Non rejet de H 0 Rejet de H0 Rejet de H 0 Non rejet de H 0

4 Comparason d échantllons de varables quanttatves 4 14,4 approche du rsque lmte de rejet à tort de H 0 : P( Δ < 14,4) = P T < =,74% 749, = P( T < 1,9) I1. Remplacement de Cas de los Normales (ou utlsaton possble du théorème de la lmte centrale) pour X 1 et X σ 1 et σ nconnus L( Δ) = N ( M 1 M, σ* Δ ) N par St ν = n1 + n ( M 1 M, σˆ Δ* ) I1..1 Cas des varances dentques : σ 1 = σ 1 étape : estmaton de σˆ n 1 s 1 + n s = n 1 + n σ = σ 1 = σ Estmaton de la varance groupée en cas de varances dentques relaton 145 étape : estmaton de σ* Δ : σ* σ Δ = 1 + et σ 1 = σ : σˆ Δ* σˆ n 1 s 1 + n s = = n 1 n 1 + n n 1 n 1 n n σ n Estmaton de la varance de la dfférence des moyennes observables sur échantllons (s σ 1 = σ dans les populatonsmères) relaton 146

5 Comparason d échantllons de varables quanttatves L( Δ) = L( m n1 m n ) = St ν M 1 M, σˆ + Lo de la dfférence n1 n avec ν = n1 + n des moyennes observables entre échantllons cas de los Normales ou d un usage possble du théorème de la lmte centrale σ 1 = σ =? relaton 147 applcaton : σˆ 30 9, ,8 = =1088,54 et ν=30+40=68 L( Δ) St , =, = St 68 ( 0 ; 7,97) ; rsque unlatéral de 5 %, t = 1,671 pour ν=60 et t=1,664 ν=80 t 1,667 pour ν = 68 Rejet de H 0 s Δ < 1,667x7,97 = 13,8 Rejet car m 1 m = 14,4 I1.. Cas de l négalté des varances : σ 1 =? & σ =? Estmaton de σ* Δ : remplacement de σ 1 par σˆ 1 et σ par σˆ V(Δ) = σˆ Δ* = σˆ 1 /n 1 + σˆ /n σˆ σˆ 1 Δ* = + = n 1 σˆ 1 n s 1 n 1 1 relaton 148 σˆ 1 σˆ 1 ( σˆ L( Δ) = L( m n1 m n ) St ν M 1 M, + avec ν 1 n 1 + σˆ n ) n n 1 = n 1 n ( σˆ 1 n 1 ) ( σˆ n ) = s4 1 s4 + n 1 1 n 1 ( n 1 1) 3 + ( n 1) 3 s + n 1 s 1 s

6 Comparason d échantllons de varables quanttatves 6 Applcaton : σ* 9, Δ + 34,8 60,454 σ* 60,454 = = = 7,78 ; = 9 39 Δ ν = ( 88,04 30) ( 14,09 40) ,0 67 L( Δ) = St 67 ( 0;7,78) Rejet de H 0 car Δ = 14,4 < 1,667 x 7,78 = 1,94 I1.3 Cas de varables aléatores ne suvant pas de los Normales Exemple : dépenseclent avant et après ntroducton de casses enregstreuses Varables aléatores Varables certanes sous l hypothèse H 0 L(X 1 ) =? L(X ) =? m n1, s n1 m n, s n Δ = m n1 m n N = M 1 = M =? σ 1 =? n 1 = 100 m 1 = 5 s 1 = 7 AVANT N = M = M 1 =? σ =? n = 100 m = 55 s = 31 APRÈS σ* 7 31 Δ = + = 17, 07 σ* Δ = 4,13 Rejet de H 0 RISQUE BILATÉRAL 95% N (0 ; 4,13) 1,96 0 1,96 T Δ 0 Δ T = 1 Δ 4,13 8, ,10 Δ Non rejet de H 0 Rejet de H0

7 Comparason d échantllons de varables quanttatves 7 I1.4 Problèmes d estmaton d une dfférence M 1 M Applcaton du rasonnement développé au chaptre IV : σ 1 σ L( M 1 M ) = N m 1 m, + n 1 n Estmaton par ntervalle de confance de la dfférence des moyennes entre populatonsmères cas de los Normales ou d un usage possble du théorème de la lmte centrale varances connues relaton 151 SECTION II INTRODUCTION AUX TESTS NONPARAMÉTRIQUES L(X) nconnu ou refus d hypothèse sur L(X) même fondement : échantllons aléatores, avocat du dable, pb (Δ observé sgnfcatf?) II1 CAS DES ÉCHANTILLONS NON APPARIÉS Exemple : comparason de modèles de casses enregstreuses queston : M B < M A Supérette Casse A B A A B B A Temps moyen facturaton artcles non étquetables

8 reconnassance du cas non apparés II1.1 Test fshéren Comparason d échantllons de varables quanttatves 8 Hypothèse de l avocat du dable H 0 : dre que les casses enregstreuses sont de performances vosnes revent à dre que les deux échantllons observés (n 1 = 3, n = 4) sont tous les deux trés d une même populatonmère assgnaton arbtrare d une étquette A ou B aux observatons Explctaton de tous les échantllons possbles de 3 supérettes prses parm les 7 et des valeurs prses par la somme des observatons sur l échantllon Echantllon j Supérettes de l échantllon S j Echantllon j Supérettes de l échantllon S j Echantllon j Supérettes de l échantllon S j Echantllon j Supérettes de l échantllon S j Echantllon j Supérettes de l échantllon S j

9 Comparason d échantllons de varables quanttatves 9 Dstrbuton d échantllonnage de la somme des observatons effectuées sur un échantllon de 3 supérettes prses parm les 7 S n n h S n h = 1 h = 1 35 n h h = , , , , , , , , , , , , , , , , ,549 n h h = 1 n h 35 % p S S rsque α = 5 % alors zone de rejet est S 139 (car P(S 140) = 5,71%) non rejet de H 0 Rsque lmte de rejet à tort = 4,86% manfestement trop élevé non rejet de H 0 En pratque reconsttuton partelle de la dstrbuton

10 Comparason d échantllons de varables quanttatves 10 équvalence des démarches sur exemple p. 3 1,9 14,4 5% Rejet de H 0 N (0 ; 7,49) 1,65 1,3 Approche par comparason de valeurs de la varable T Δ 0 T = 7,49 Δ Approche par comparason de probabltés Rejet de H 0 5%,74% 1,9 14,4 N (0 ; 7,49) T Δ 0 T = 7,49 Δ II1. Test sur les rangs : test de Wlcoxon (MannWhtney) Reconsttuton de dstrbuton théorque de référence : long applcaton de la démarche du test fshéren sur les rang ( lo tabulée) ; c : = 11 Démarche : créaton de la dstrbuton théorque de référence : 3 rangs prs parm = 7 possbles ; comprs entre = 6 et = 35

11 Comparason d échantllons de varables quanttatves 11 Supérette Casse A B A A B B A Temps moyen Rang Explctaton ( C3 7 ) de tous les échantllons possbles de 3 éléments prs parm 7 et des valeurs prses par la somme des rangs des observatons sur l échantllon (tableau de données ponctuelles) Echantllon j Supérettes de l échantllon Echantllon j Supérettes de l échantllon Echantllon j Supérettes de l échantllon Echantllon j Supérettes de l échantllon Echantllon j Supérettes de l échantllon w j w j w j w j w j

12 Comparason d échantllons de varables quanttatves 1 Dstrbuton d échantllonnage de la somme des rangs des observatons effectuées sur un échantllon de 3 éléments prs parm 7 (tableau de dstrbuton) P(W 11) = 4,86 % n h w n n h w n n h = 1 h h = 1 h = 1 h = , , , , , , , , , , , , ,5714 Rsque lmte de rejet à tort = 4,86% manfestement trop élevé non rejet de H 0 Reconsttuton à des fns pédagogques : en réalté : lo tabulée n h % p W

13 Comparason d échantllons de varables quanttatves 13 Annexe 10 : tables de Wlcoxon échantllons nonapparés n 1 et n connus recherche de P(W w) avec w = somme des rangs observée sur l échantllon de talle n 1 n 1 = 3 w n ,050 0,09 0,018 0,01 0,008 0, ,100 0,057 0,036 0,04 0,017 0,01 8 0,00 0,114 0,071 0,048 0,033 0,04 9 0,350 0,00 0,15 0,083 0,058 0, ,500 0,314 0,196 0,131 0,09 0,067 =10,314 = 0, ,49 0,86 0,190 0,133 0, ,571 0,393 0,74 0,19 0,139 =10,00 = 0, ,500 0,357 0,58 0, ,45 0,333 0, ,548 0,417 0, ,500 0, , ,539

14 Comparason d échantllons de varables quanttatves 14 Remarques sur cette table : Echantllon prvlégé : celu de talle la plus fable (n 1 ). W (= n 1 x w) comprs entre W mn = n 1 (1+n 1 )/ et W max = n 1 {(n +1) + (n 1 + n )}/ n 1 = n = w = (1+3)/ = W = 3x = 6 w = (5+7)/ = 6 W = 3x6 = 18 n 1 = n = w = (1+3)/ = W = 3x = 6 w = (4+6)/ = 5 W = 4x5 = 15 n 1 = n = w = (1+4)/ =,5 W = 4x,5 = 10 w = (5+8)/ = 6,5 W = 4x6,5 = 6. dstrbuton symétrque autour du mode M o mode double s n 1 et n mpar : autour de (S mn + S max )/ = n 1 (n 1 + n + 1)/ exemple : n 1 = 3 et n = 3 symétrque autour de 10,5 M o = 10 ou 11 snon mode unque : M o = (S mn + S max )/ = n 1 (n 1 + n + 1)/ exemple : n 1 = 3 et n = 4 symétrque autour de M o = 1 (cf fgure supra)

15 Comparason d échantllons de varables quanttatves 15 Table partelle de la foncton de répartton : symétre de la dstrbuton (S mn + S max ) = (S mn + k + S max k) = n 1 (n 1 + n + 1) w = S mn + k w = S max k S mn S mn +1 S mn + S mn +3. relaton à utlser pour w non tabulé : P(W w ) = P(W w) = P[W n 1 (n 1 + n + 1) w ], avec w + w = n 1 (n 1 + n + 1)relaton 15. exemple : n 1 = 3 et n = 4, P(W 15) = P(W 3x8 15) = P(W 9) = 0,00. P(W w ) = 1 P(WŠw +1) = 1 P(W w+1), avec w +w=n 1 (n 1 +n +1) Table drectement utlsable s test unlatéral où H 1 = < (snon usage relaton 15) S max 3 S max S max 1 Tableau de calcul du test de Wlcoxon (MannWhtney) M n1 Supérette Casse A B A A B B A Temps moyen Rang W = 11 S max M n

16 Comparason d échantllons de varables quanttatves 16 S ex aequo (pas trop nombreux) usage du rang moyen du groupe des ex aequo ; exemple : 6e ex aequo (6 + 7)/ = 6,5 ; 3 6 e ( )/3 = 7 Approxmaton : L( W) N n 1( n 1 + n + 1) n 1 n ( n 1 + n + 1) ; s n 1 et n >8 1 W 1 (échantllon 1) et W (échantllon ) : W 1 + W = (n 1 + n )(n 1 + n + 1)/ : P(W 1 w) = P ( n W 1 + n )( n 1 + n + 1) w relaton 153 Test sur les les rangs plus rapde mas mons précs que test sur les valeurs II CAS DES ÉCHANTILLONS APPARIÉS exemple : gan de temps lé à usage des codes à barre (sur supérettes équpé de casse A)? Supérettes Echantllon 1 ( temps «avant» x 1 ) Echantllon ( temps «après» x ) Dfférence Δ = x 1 x

17 Comparason d échantllons de varables quanttatves 17 II.1 Test fshéren H 0 (performances dentques des machnes) sgne des écarts observés non sgnfcatf Explctaton dees combnasons n = 4 = 16 sgnes des dfférences de valeurs observées dans les échantllons apparés de 4 observatons et calcul de la somme S j de ces dfférences j Δ 1 Δ Δ 3 Δ 4 S j

18 Comparason d échantllons de varables quanttatves 18 Dstrbuton d échantllonnage de la dfférence de valeurs observées dans les échantllons apparés de 4 observatons S n n n h h h = 1 h = 1 h = ,065 1, ,150 0, ,1875 0, ,500 0, ,315 0, ,3750 0, ,4375 0, ,565 0, ,650 0, ,6875 0, ,7500 0, ,815 0, ,8750 0, ,9375 0, ,0000 0,065 n h 15

19 Comparason d échantllons de varables quanttatves 19 II. Test sur les rangs (test de Wlcoxon) Explctaton de toutes les combnasons de sgnes des rangs calculés sur les écarts absolus et + calcul de la somme T j des rangs des seuls écarts postfs j sgne et rang de la dfférence prse en valeur absolue Δ 1 Δ Δ 3 Δ 4 + T j 1 () 3 () 4 () () 1 0 () 3 () 4 () (+) () 3 () 4 (+) () 1 4 () 3 () 4 (+) (+) () 3 (+) 4 () () () 3 (+) 4 () (+) () 3 (+) 4 (+) () () 3 (+) 4 (+) (+) (+) 3 () 4 () () (+) 3 () 4 () (+) (+) 3 () 4 (+) () (+) 3 () 4 (+) (+) (+) 3 (+) 4 () () (+) 3 (+) 4 () (+) (+) 3 (+) 4 (+) () (+) 3 (+) 4 (+) (+) 1 10

20 Comparason d échantllons de varables quanttatves 0 Dstrbuton d échantllonnage de la somme des rangs des dfférences postves des observatons de échantllons apparés de talle 4 + T n n h h = ,065 1, ,150 0, ,1875 0, ,315 0, ,4375 0, ,565 0, ,6875 0, ,815 0, ,8750 0, ,9375 0, ,0000 0,065 n h h = n h h = 1 16

21 Comparason d échantllons de varables quanttatves 1 Tableau de calcul du test de Wlcoxon (échantllons apparés) Lo tabulée Supérettes Echantllon 1 ( temps «avant» x 1 ) Echantllon ( temps «après» x ) Dfférence Δ = x 1 x Valeur absolue de la dfférence Δ Rang des Δ Calcul de T T + = 8 Remarques : Tratement des exaequo que pour le précédent test de Wlcoxon Table étable de la forme P(T + t+) P(T + < t+) = 1 P(T + t+) P(T + t+) = 1 P(T + t+ +1).

22 Comparason d échantllons de varables quanttatves Annexe 11 : Table de Wlcoxon échantllons apparés n et t + connus recherche de P(T + t + ) t n ,000 0,938 0,875 0,81 0,688 0,56 0,438 0,31 0,188 0,15 0,06 1,000 0,969 0,938 0,906 0,844 0,781 0,688 0,594 0,500 0,406 0,31 0,19 0,156 0,094 0,06 0,031 1,000 0,984 0,969 0,953 0,9 0,891 0,844 0,781 0,719 0,656 0,578 0,500 0,4 0,344 0,81 0,19 0,156 0,109 0,078 0,047 1,000 0,99 0,984 0,977 0,961 0,945 0,9 0,891 0,85 0,81 0,766 0,711 0,656 0,594 0,531 0,469 0,406 0,344 0,89 0,34 1,000 0,996 0,99 0,988 0,980 0,973 0,961 0,945 0,96 0,90 0,875 0,844 0,809 0,770 0,77 0,680 0,69 0,578 0,57 0,473 1,000 0,998 0,996 0,994 0,990 0,986 0,980 0,973 0,963 0,951 0,936 0,918 0,898 0,875 0,850 0,80 0,787 0,75 0,715 0,674 1,000 0,999 0,998 0,997 0,995 0,993 0,990 0,986 0,981 0,976 0,968 0,958 0,947 0,935 0,90 0,903 0,884 0,86 0,839 0,81

23 Comparason d échantllons de varables quanttatves 3 Table drectement utlsable s test unlatéral où H 1 = M 1 >M ( Δ = x 1 x plutôt >0) s H 1 = M 1 <M, l faut adapter la défnton de l écart :. H 1 défn par M 1 >M Δ = x 1 x. H 1 défn par M 1 <M Δ = x x 1 Test utlsable pour H 0 défn comme M 1 = M + δ. sot adapton de la défnton de l écart : H 1 défn par M 1 > M + δ Δ = x 1 x δ H 1 défn par M 1 < M + δ Δ = x + δ x 1. sot adapton de la défnton de T + : T + = somme des rangs des écarts postfs, s H 1 est défn par M 1 > M + δ T + = somme des rangs des écarts négatfs, s H 1 est défn par M 1 < M + δ Approxmaton pour n>10 L( T + ) N nn ( + 1) nn ( + 1) ( n + 1), s n > relaton 154