BUREAU D'APPLICATION DES METHODES STATISTIQUES ET INFORMATIQUES

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1 BUREAU D'APPLICATION DES METHODES STATISTIQUES ET INFORMATIQUES DT 0/001 Estmaton des frontères de prodcton et mesres de l effcacté technqe Samel AMBAPOUR BAMSI BAMSI B.P Brazzavlle

2 DT 0/001 Estmaton des frontères de prodcton et mesres de l effcacté technqe Samel AMBAPOUR * Résmé : L objet de cet artcle est de présenter la méthodologe permettant d estmer les frontères de prodcton et les mesres de l effcacté technqe q en décolent. Mots clés : Frontère de prodcton, effcacté technqe. SNE BP 95, TEL : , FAX : ; BAMSI BP E-mal : ambapor_samel@yahoo.fr Je tens à remercer S. Perelman (Unversté de Lège et CREPP) et P. Plane (CNRS et CERDI) por avor ms à ma dsposton certans de lers écrts concernant le sjet traté c. Ces docments de traval ne reflètent pas la poston d BAMSI mas n engagent qe ses aters.

3 Introdcton Une foncton de prodcton établt, sos sa forme la pls générale, ne relaton entre les «ntrants» o npts et les «extrants» o otpts. Elle pet être ass conçe comme ne frontère, celle d possble por ne entreprse o tote atre nté de décson. Por Thry et Tlkens (1988) : «cette nterprétaton est natrelle dès l nstant où l on convent de précser qe la foncton de prodcton spécfe les qanttés maxmales d otpts accessbles por tot nvea des npts, et, por tot nvea de l otpt, les qanttés mnmales nécessares à ler obtenton». Ans, por tenr compte d crtère de maxmalté d prodt obten d ne part, et d accepter la possblté d ne sos tlsaton des moyens de prodcton d atre part, l on a sovent recort à la noton de frontère a détrment de la foncton de prodcton (Agbodj, 1996). Le terme de frontère fat donc référence à ne foncton lmte. Por S. Perelman (1996), la frontère est ne sorte d enveloppe, q coïncde sovent avec l ensemble des ponts dentfés comme représentatfs de la mellere pratqe dans le domane de la prodcton, et par rapport à laqelle, la performance de chaqe entreprse porra être comparée. La méthodologe des frontères permet l dentfcaton, la mesre et l analyse de l effcacté technqe o prodctve. Tros types d effcacté pevent être observés a nvea de l entreprse (Chaffa, 1989) : - l effcacté technqe. Une entreprse est technqement effcace, lorsq elle se ste sr la frontère ; c est-à-dre q avec ne qantté détermnée de facters, elle obtent le pls hat nvea d otpts ; - l effcacté allocatve. Elle mplqe qe l entreprse d ne part mnmse ses coûts totax de prodcton, et d atre part elle chost le nvea de cette dernère q dot socalement optmal (notamment par ne poltqe de prx de vente o de tarfcaton, approprée) ; - l effcacté à l échelle. C est le cas d ne entreprse en staton de concrrence parfate, et q opère à ne échelle approprée, c est-à-dre qe son coût margnal dot être égal a prx d marché de son prodt. En économe, qelle qe sot l actvté prodctve qe l on étde, on rasonne tojors en termes d objectfs à attendre. L objectf d effcacté technqe a cec de partcler q l est compatble avec les atres objectfs, qelle qe sot ler pondératon, l n y a pas de jstfcaton à l neffcacté technqe (Gathon, Peste, 1985).

4 Le concept d effcacté technqe trove son orgne dans les travax théorqes fondamentax a sjet d comportement des frmes : travax de Debre (1951), de Koopmans (1951) et de Farrell (1957). C est srtot ce derner ater, q a proposé ne approche por l estmaton de frontères d effcacté, partant de l dée qe les nformatons dsponbles sr ne actvté donnée, devaent permettre l estmaton d «best practce envelope», por cette actvté. Dex décennes pls tard, dex grandes famlles de méthodes sont concrrentes dans la manère de constrre la frontère et donc de calcler les effcactés technqes : les méthodes paramétrqes et les méthodes non paramétrqes. Dans l approche paramétrqe, on sppose qe la frontère est représentable par ne foncton analytqe dépendant d n nombre fn de paramètres. Le problème consste à spécfer cette foncton et à estmer les paramètres, sot par les méthodes statstqes de l économétre, sot par les méthodes sses de la programmaton lnéare. Dans les méthodes non paramétrqes, en revanche, on ne spécfe pas de forme analytqe partclère por la frontère, mas pltôt les proprétés formelles qe l ensemble de prodcton est spposé satsfare (Taffé, 1998). L approche non paramétrqe décole des travax ntax de Farrell et mplqe le recors ax technqes de la programmaton lnéare. Le chox entre les dex approches n est pas tojors facle. Bosman et Frecher (199) recommandent de se baser sr la connassance qe l on a de la technologe d secter étdé. Ces aters pensent qe, lorsqe l on a ne dée assez nette de ce q est la technologe sos-jacente, cas d secter agrcole et des branches manfactrères par exemple, l estmaton économètrqe des frontères de prodcton paramétrqe a n sens. Par contre, lorsq l s agt d ne nté de décson dont l actvté est la prodcton des servces, ne approche non paramétrqe semble d avantage approprée, d fat q elle ne repose sr acne hypothèse explcte concernant la technologe et q elle s applqe à des actvtés ayant plsers otpts et plsers npts. L objectf qe l on assgne à cet artcle est de présenter les dex grandes famlles de méthodologes d estmaton d ne frontère de prodcton. Le texte s artcle ator de dex axes prncpax qe l on a complétés par dex applcatons dans ne trosème parte. Dans la premère parte, nos exposons les méthodes paramétrqes. On décrt les dex types de modèle qe l on rencontre dans la lttératre : les frontères paramétrqes détermnstes et les frontères paramétrqes stochastqes. Les premères attrbent l écart à la frontère nqement à des facters q sont sos le contrôle d gestonnare alors qe les secondes spposent q l y a encore d atres 3

5 facters q nflencent l effcacté et q ne sont pas contrôlables. Dans la dexème parte, nos tratons le cas des méthodes non paramétrqes connes sos le vocable anglas de Data Enveloppent Analyss (DEA). Fondée sr la programmaton lnéare, la méthode de DEA est encore appelée méthode d pont extrême : elle détermne la frontère a sommet des observatons pltôt q n plan de régresson en ler centre. Nos retenons dex varantes de cette méthode. Dans la premère, on fat l hypothèse qe la technologe est à rendements constants (The Constant Retrns to Scale Model) ; modèle CCR (Charnes, Cooper et Rhodes (1978)). Dans la dexème, on relâche cette hypothèse por admettre des rendements non crossants o varables (The varable Retrns to Scale Model) ; modèle BCC (Banker, Charnes et Cooper (1984)). La trosème parte est pratqe. On donne dex applcatons de ces méthodes. Dans n premer temps, sr n échantllon de dx socétés afrcanes prodctrces d électrcté, est estmée ne frontère paramétrqe détermnste de type Cobb-Doglas. Le calcl des effcactés technqes et le classement de ces socétés sont forns. Dans n dexème temps, l approche non paramétrqe est tlsée por estmer l effcacté technqe de nef compagnes de chemns de fer opérant en Afrqe sbsaharenne. Le modèle tlsé, permet également de classer lesdtes compagnes selon ler degré d effcacté technqe. 1. Les méthodes paramétrqes Comme on l a déjà ndqé, ne foncton de prodcton donne l otpt maxmm réalsable à partr d vecter d npts x. S y est l otpt observé, la technologe est défne par la foncton de prodcton f (.) vérfant les proprétés de strcte concavté, contnté et monotonocté. Elle s écrt : y = f ( x, β ) (1) Avec, 0 La foncton f (.) est lnéarsée. β est n vecter nconn de paramètres à estmer ; mesre l écart entre l otpt observé y et l otpt maxmm réalsable par la technologe effcace. Il représente l neffcacté technqe et est nl por les entreprses o ntés de décson technqement effcentes. Par allers s ne représente q n sel effet, cel de l neffcacté technqe, on parle alors de modèle détermnste. Dans ce cas, on a ne frontère paramétrqe détermnste nqe por totes les entreprses ; et l écart q sépare ne observaton de la frontère est mptable à des 4

6 facters q sont sos le contrôle d gestonnare. En d atres termes, l neffcacté technqe réslte par exemple d ne mavase geston, d n mavas chox technologqe, d n personnel ncompétent, etc. Dans ce type de modèle, les mesres d effcacté de Farrell sont smplement estmées par le qotent : y f ( x, ˆ β ) () où, ˆβ est n estmater sans bas de β S l on ajote à la spécfcaton détermnste, n terme aléatore v, on obtent n modèle stochastqe et la frontère est dte paramétrqe stochastqe. Elle est dfférente por chaqe entreprse. Ce modèle prend en consdératon, non selement les facters q sont sos le contrôle d gestonnare, mas ass cex exogènes à l entreprse. Ce sont en partcler des chocs aléatores : la conjonctre économqe, les grèves, la météo On y nclt également les errers de mesre sr les varables, ans qe les errers de spécfcaton d modèle. Une fos la frontère dentfée, les mesres d effcacté de Farrell sont données par le qotent : y f ( x, ˆ β ) + ν (3) Notons enfn qe la foncton f (.) pet avor plsers formes. Les pls employées sans la lttératre sont Cobb-doglas et Translog. On va mantenant présenter les méthodes d estmaton de cette foncton afn d en évaler l neffcacté technqe. On exposera sccessvement les approches détermnstes et stochastqes Frontères paramétrqes détermnstes Estmaton non statstqe Dans le prolongement des analyses ponnères de Farrell (1957), Agner et Ch (1968) ont cherché la valer de β q mnmse sot la valer absole, sot le carré des écarts entre les observatons de l otpt y et la frontère f (.). Cette estmaton a été fate en résolvant le programme : 5

7 n y f ( x, β ) = 1 sc y f ( x, β ) (4) o encore n y f ( x, β ) = 1 sc y f ( x, β ) (5) où, = 1,, n est l ndce des ntés de décson (o entreprses) observées. On se ramène à ne programmaton lnéare por (4) et qadratqe por (5). Dans les dex cas, les contrantes assrent qe tos les écarts soent de même sgne. C est donc ne méthode de mnmsaton des résds nlatères. La méthode d Agner et Ch a le défat de présenter les nconvénents svants : -premèrement, l n est pas possble de fare de l nférence, car les estmatons calclées n ont pas de proprétés statstqes ; -le dexème nconvénent est la sensblté des estmaters ax observatons extrêmes Estmaton Statstqe On vet donner à l estmaton de la frontère f (.) des proprétés statstqes en ayant recors à des méthodes q vont svre. a) Méthode des mondres carrés corrgés On pet réécrre le modèle (1) sos la forme : y = β + β j xj (6) et l on sppose qe : H 1 : les termes sont dentqement et ndépendamment dstrbés selon ne lo normale de moyenne µ > 0 et de varance H : est sans corrélaton avec les npts. σ < + 6

8 On pet constater qe sos la premère hypothèse la méthode des mondres carrés n est pas applcable ( E( ) 0 ). Par cette méthode, on obtent des estmaters sans bas por tos les paramètres saf por le terme constant, psqe le terme a ne moyenne postve dès qe l effcacté prodctve n est pas parfate por totes les observatons. On a en effet : E( ˆ β ) = β µ 0 0 Avec, µ = E( ) Rchmond (1974), q est à l orgne de cette méthode propose de réécrre l éqaton (6) sos la forme svante : y = β + Σβ x δ (7) ' o j j Où, δ = ( µ ) est le novea terme de l errer q a totes les proprétés désrées (saf la normalté). β 0 = ( β 0 µ ) est n terme constant à estmer, q admet des errers de moyenne nlle et de varance σ L estmaton de l éqaton (7) par la méthode des mondres carrés donnera des estmaters sans bas por tos les paramètres. Por dentfer complètement la frontère, l sfft d ajoter à la constante estmée par les mondres carrés, la moyenne d terme. S par exemple, la dstrbton de est spposée svre ne lo Gamma : 1 1 σ g( ) = ( ) exp( );0 < < + ; σ > 0, Γ( σ ) on a : E( ) = Var( ) = µ ; On estmera alors µ par ˆ ˆ σ ( σ représente la varance estmée des résds des mondres carrés d modèle (6)). L estmaton des neffcactés ndvdelles des ntés de décson s obtent à partr des résds de l éqaton (7), sot : ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ = y β0 β jxj ) = δ + µ (8) La méthode des mondres carrés corrgés présente dex nconvénents : - avec cette méthode, même après la correcton, certans résds pevent encore être négatfs et, par conséqent, la frontère n enveloppe pas le nage de ponts ; 7

9 - la correcton dépend d chox de la dstrbton des résds. Por ces dex rasons, Thry et Tlkens (1988), notent qe «on ne pet accorder ne confance très grande a nvea absol de la valer nmérqe attrbée par cette méthode à l effcacté de chaqe observaton. Par contre, le rangement des observatons selon les degrés d effcacté q elle évale est pls fable, car ce rangement est évdemment ndépendant de la correcton d terme constant, et ne observaton est d atant pls effcace qe son résd est postf». b) Mondres carrés décalés. Cette méthode a été proposée par Greene (1980) por résodre le problème d sgne des résds dans la méthode précédente. En effet, dans (7), certans résds pevent avor des sgnes erronés. La méthode de Greene consste smplement à estmer le terme constant de manère convergente, en translatant la drote des mondres carrés de façon telle qe tos les résds soent de même sgne (tos négatfs o nls). On dot avor : ˆ = sp ( ˆ δ ) ˆ δ (9) L avantage de cette méthode par rapport à celle des mondres carrés corrgés est qe l on n a pas beson de spécfer la densté de. Par contre, l nconvénent est qe la dstrbton asymptotqe de la constante corrgée n est pas conne et en conséqence, ne permet pas de connaître la dstrbton des effcactés. c) Estmaton par le maxmm de vrasemblance Sos les dex hypothèses évoqées en a) et en spécfant ne dstrbton partclère por, le modèle (1) pet être estmé par le maxmm de vrasemblance. On parle alors de frontère détermnste statstqe. Schmdt (1976) a par exemple montré qe l ajstement par le maxmm de vrasemblance d modèle (1) avec svant ne lo doble exponentelle o ben ne lo sem normale est solton des systèmes (4) et (5) respectvement. De son côté, Greene a montré qe s la dstrbton de est asymétrqe, l estmater d maxmm de vrasemblance est pls effcace qe l estmater des mondres carrés. Comme on pet le constater, avec cette méthode, s estompe la frontère entre estmatons statstqe et non statstqe d ne frontère détermnste. 8

10 1.. Frontères paramétrqes stochastqes L approche stochastqe a été proposée smltanément par Agner, Lovell et Schmdt (1977) et Mesen et Van Den Broeck (1977). Un terme d errer aléatore v est ajotée dans la relaton (1). On obtent n modèle à errer composée : y = f ( x, β ) + ( ν ) (10) 0; v + ν représente l écart dû ax aléas q nflencent la prodcton et q ne sont pas drectement sos le contrôle d gestonnare. Par allers ν et sont ndépendants l n de l atre, ans qe de x. La relaton (10) pet encore s écrre sos la forme : y = β + β x + ε (11) 0 j j Avec ε = v Sot sos la forme matrcelle : y = X β + ε (11 ) L estmaton d modèle (11) pet se fare par les mondres carrés o par le maxmm de vrasemblance s l on spécfe les dstrbtons des termes d errer et ν Le Maxmm de Vrasemblance Svant Agner, Lovell et Schmdt (1977), on prend ne dstrbton normale por ν, c est à dre qe ν Ν (0, σ v ) et ne dstrbton normale centrée, tronqée à gache en zéro por, c est à dre σ Ν (0, µ ) les dex dstrbtons sont ndépendantes s écrt :. La densté jonte por ν et sachant qe 1 f v σ v (, ) = exp ( / ) ( / v ) πσ σ v σ S l on remplace ν en foncton de, l on obtent : 1 f (, ε ) = exp ( / σ ) ( ε + + ε ) / σ v πσ σ v (13) 9

11 Calclons mantenant la densté de ε en ntégrant la relaton (13) par rapport à. On a : [ ] f ( ε ) = ( / σ ) f *( ε / σ ) 1 F *( ελ / σ ) ε + (14) Avec σ = σ + σ Et v λ = σ / σ v F* (.) désgne la foncton de répartton d ne dstrbton normale centrée rédte et f *(.) sa densté. Le moment d ordre n et la varance sont donnés par : E( ε ) = E( ) = σ π V ( ε ) = V ( ) + V ( v) π V ( ε ) = σ + σ v π (15) Sgnalons qe la paramétrsaton λ = σ / σ est ntéressante ; λ est consdéré comme ne mesre de la varablté relatve de dex sorces d neffcacté. qe σ + et/o qe v λ 0 mplqe σ 0, ce q vet dre qe les chocs aléatores domnent dans l explcaton de l neffcacté. De même, lorsqe σ 0 alors les écarts à la frontère sont essentellement ds à l neffcacté technqe. Dsposant de n observatons et sachant (14), le logarthme de la vrasemblance de (11 ) s écrt : v 1 LogL( y / β, λ, σ ) = nlog + nlogσ π n n Log 1 F *( ελσ ) ε σ (16) = 1 = 1 Le calcl des dérvées premères par rapport a vecter β et par rapport ax dex paramètres λ et σ et l annlaton de ces dérvées, condt à l obtenton des estmaters correspondants q sont soltons d systèmes des éqatons de vrasemblance q devront être résoles a moyen d algorthmes d optmsaton. 10

12 n n * LogL 1 λ f = ( ) 0 y β x x + x * = Logβ σ = 1 σ = 1 (1 F ) n * LogL 1 f = ( y ' ) 0 (17) * β x = Logλ σ = 1 (1 F ) n n * LogL n 1 λ f = + ( y ' ) ( ' ) 0 4 β x + 3 y * β x = Logσ σ σ = 1 σ = 1 (1 F ) [( β ' ) λ / σ ] F = F y x et * Θ = le vecter des paramètres q maxmse (16). Por avor les écarts- Sot ( β, λ, σ ) types des coeffcents estmés (,, ) * f la densté de probablté correspondante. β λ σ par le maxmm de vrasemblance, solton de (17), on prendra l nverse de la qantté (Chaffa, 1989) : E LogL ΘΘ ' (18) 1-- La Méthode des mondres carrés et méthode des moments Le modèle (11) pet s écrre : y = β0 β j xj + ( v ( µ )) (19) On pet le reparamétrser comme st : ' ' y = β0 β j xj + ε (19 ) Avec β = ( β µ ) ' 0 0 ε = v ( E( ) = v ( µ ) = ε + µ ' La procédre d estmaton de (19 ) pet se fare en dex étapes : - dans n premer temps, étant donné qe la dstrbton de ' ε est symétrqe, on pet estmer (19 ) par la méthode des mondres carrés ordnares ; tos les β j seront sans bas ; - dans n second temps, on dentfe complètement la frontère en estmant β 0 et donc µ. Por ce fare, l fat spécfer ne dstrbton partclère por chacn des termes d errer. On pet alors estmer µ par la méthode des moments et, par la ste β 0 (Agner et al, 1977). 11

13 Spposons comme précédemment qe ' moments de ε dans (19) s écrvent : v N σ v (0, ) et qe N(0, σ ), alors les µ 1 = E( ε ') E( ε ) + µ = 0 (0) E( ) = µ = σ π π V ( ε ) = µ = E( ε ' E( ε ') = σ + σ v π (1) µ 3 = E( ε ' E( ε )) = σ 1 π π () A partr d vecter résdel ˆε de (19), on pet obtenr ne estmaton des moments d ordre dex et tros ˆµ et ˆµ 3 et donc de estmées de manère convergente par : ˆ σ et ˆv σ. Les varances ˆ σ et ˆv σ sont π π ˆ σ ˆ = µ 3. π 4 π ˆ σ ˆ ˆ v = µ σ π /3 (3) (4) Un estmater convergent de β 0 est dans ces condtons donné par : ˆ ' β ˆ 0 = β0 + ˆ σ (5) π Le problème c est qe l estmater obten par la méthode des moments pet o ne pas exster (Olson, Schmdt, Waldman, 1980). Il en sera ans s ˆµ 3 est postf o qand la valer de ˆ σ est négatve ; ce q est absrde. Il en sera de même, lorsq l est possble à partr de certanes valers de ˆµ et ˆµ 3 de trover des valers négatves de ˆv σ. Les méthodes non paramétrqes La caractérstqe essentelle de ces méthodes, c est le fat de ne pas mposer ne spécfcaton partclère de la foncton de prodcton. C est n élément mportant q présente dex avantages majers. D abord, l on sat qe dans n échantllon hétérogène, ne spécfcaton q convendrat à la majorté des ntés de prodcton n est pas oblgatorement pertnente por n sos-ensemble d entre elles. Enste, ces 1

14 méthodes permettent de consdérer en même temps plsers otpts et plsers npts. L nconvénent c, résde dans le fat qe les méthodes non paramétrqes ne tennent pas compte des errers q pevent affecter les données. Ces méthodes qe nos allons mantenant examner et q décolent drectement des travax ntax de Farrell, permettent de constrre ne frontère contne par morceax. En d atres termes, on commence d abord par détermner les ntés de décson effcaces, enste on dédt à partr de ces dernères ne frontère par extrapolaton lnéare o non lnéare. Dans cette présentaton, nos nos lmterons à décrre les dex modèles les pls employés dans la lttératre : le modèle CCR (Charnes, Cooper et Rhodes) et le modèle BCC (Banker, Charnes et Cooper). Ce sont là, dex varantes d modèle général, commnément appelé DEA (data envelopment analyss). Dans les dex cas, on dstnge : - les modèles dts orentés npts, s l on étde l effcacté en termes d npts, c està-dre s l on s ntéresse à l neffcacté en terme d excès d npts ; - les modèles dts orentés otpts s l on vet analyser l effcacté en termes d otpts, c est-à-dre s l on sohate appréhender l neffcacté par l nsffsance d otpts. L exposé q st sera bref avec relatvement mons de détals technqes. La méthode DEA est tratée de façon ntensve par Seford et Thrall (1990), Lovell (1993), Al et Seford (1993) et Charnes, Cooper, Lewn et Seford (1995) axqels le lecter porra se reporter. Par allers, on trovera ne bblographe très follée, et covrant la pérode dans l artcle de Seford (1995)..1. Le modèle CCR Dans ce modèle, on fat les hypothèses svantes : - l exste ne forte convexté de l ensemble de prodcton ; - la technologe est à rendements constants ; - l exste ne lbre dsposton des npts et des otpts. On consdère c, le modèle dt orenté npt. Svant Coell (1996), on dspose de K npts et M otpts por chacne des N ntés de décson (o entreprses). On note : x : le vecter ( K,1) des npts ; y : le vecter ( M,1) des otpts ; X : la matrce ( K, N ) des npts ; 13

15 Y : la matrce ( M, N) des otpts ; v : le vecter ( K,1) des pondératons assocées ax npts ; : le vecter ( M,1) des pondératons assocées ax otpts. Une façon nttve de procéder, est d ntrodre la méthode de DEA sos forme de rato entre tos les otpts et tos les npts de chaqe nté de décson, c est-à-dre comme ' y / v ' x. Le problème revent donc por chaqe nté de décson, à détermner les pondératons optmales en résolvant le problème de programmaton mathématqe svant : max, v ( ' y / v ' x ) sc ' y j / v ' x j 1 j = 1,,, N (6), v 0, C est à dre qe l effcence de la ème nté de décson sera obtene comme n rato entre otpts et npts sos la condton qe ce même rato sot égal o nférer à 1 por l ensemble des atres ntés de décson observées. Le problème avec cette forme fractonnelle, c est q elle est dffcle à optmser ; sa résolton admet ne nfnté de soltons. Elle pet néanmons être lnéarsée s l on défnt ne contrante selon laqelle v ' x = 1. Le programme s écrt alors : max ( ' y ) sc v ' x = 1 µ ' y j υ ' x j 0 j = 1,,..., N, (7) µ, υ 0, µ, υ µ où, et v ont été remplacés par µ et υ por ndqer qe c est n programme lnéare dfférent. En tlsant la dalté en programmaton lnéare, on obtent l éqvalent d programme (7) sos la forme d ne enveloppe : 14

16 mn θ, λθ sc y + Yλ 0 (8) θ x X λ 0 λ 0 Dans ce problème à résodre N fos, θ est n scalare q représente le score d effcacté technqe de la ème nté de décson ( θ 0). S θ = 1, l nté de décson observée se ste sr la frontère, c est à dre q elle est effcace a sens de Farrell ; a contrare s θ < 0, cela révèle l exstence d ne neffcacté technqe. λ est n vecter ( N,1) de constantes appelées mltplcaters. Ces derners ndqent la façon dont les ntés de décson se combnent por former la frontère par rapport à laqelle la ème nté de décson sera comparée. Ces mltplcaters reçovent le nom de pars (peers) en référence ax ntés de décson effcaces ( λ > 0) q forment chaqe segment de la frontère d effcacté... Le modèle BCC L hypothèse des rendements constants n est vrament approprée qe s l entreprse opère à ne échelle optmale. Ce q n est pas tojors le cas (concrrence mparfate, contrantes fnancères, etc.). Banker, Charnes et Cooper (1984), ont proposé n modèle q permet de détermner, s la prodcton se fat dans ne zone de rendements crossants, constants, o décrossants. Ler modèle condt à la décomposton de l effcacté technqe en effcacté technqe pre et en effcacté d échelle. L hypothèse des rendements d échelle constants, condt à la mesre de l effcacté totale ; l hypothèse de rendements d échelle varables condt à celle de l effcacté technqe pre. Ans, le modèle CCR pet être modfé en tenant compte de l hypothèse des rendements varables à l échelle. Il sfft por cela d ajoter ne contrante : N1 λ = 1 a programme (8) ; on obtent : mn sc y + Yλ 0 θ x X λ 0 (9) N1 λ = 1 λ 0 θ, λ θ Où N 1 est n vecter ( N,1) ntare. 15

17 3. Applcaton a des entreprses afrcanes sbsaharennes 3.1. Frontère paramétrqe détermnste Les données Les données sont extrates de l artcle de J.Y. Leser et P. Plane (1995). Elles concernent dx entreprses d secter électrqe. Tablea 1 : Données caractérstqes des entreprses afrcanes Forme Q K Pays Entreprse Jrdqe GWH (MW) L TENC1 Pérode Bénn SBEE Etat Brkna SONABEL Etat Cameron SONEL Etat Côte d Ivore EECI Mxte Gabon SEEG Mxte Nger NIGELEC Mxte Rwanda ELECTROGAZ Etat Sénégal SENELEC Etat Togo CEET Mxte Zaïre SNEL Etat NB : Q : prodcton physqe d électrcté ; K : pssance nomnale nstallée ; L : effectf total ; TENC1 : tax d encadrement. Sorce : J.Y. Leser et P. Plane (1995) Le Modèle J.Y. Leser et P. Plane (1995) ont estmé ne frontère de prodcton et les effcactés technqes de dx entreprses sbsaharennes d électrcté. Ils ont chos por ce fare, ne frontère de prodcton de type Cobb-Doglas, prenant en compte les facters conventonnels : à savor le traval et le captal ans q n progrès technqe ncorporé. La forme strctrelle d modèle retene par J.Y. Leser et P. Plane est la svante : LogQ = ( β + µ ) + β K + β LogL + γ t + ε (30) où : t 0 1 t t t Q t = Prodcton de l entreprse à la pérode t (mesrée en Gwh) ; K t = Captal technqe de l entreprse mesré par la pssance nomnale nstallée d résea (en Mw) ; 16

18 L t =Emplo mesré en ntés de prodctvtés margnales éqvalentes ; γ est ne varable temporelle captant l effet d progrès technqe ncorporé ; ε t = t µ ; avec µ = Max( t ) Par allers : L n 1 jt t = t + j (31) j= 1 t LogL LogL c L L t est l emplo total de l entreprse à la pérode t ; L jt / L représente le tax d emplo de la qalfcaton j dans l entreprse à la t pérodet. Des relatons (30) et (31), on dédt la forme rédte d modèle : L LogQ LogK LogL c t (3) n 1 jt t = ( β 0 + µ ) + β1 t + β t + j + γ + εt j= 1 Lj Dex tax d emplo sont consdérés : l n, ( TENC 1) mesre la part de l encadrement dans l effectf total et l atre, ( TENC ) la part d personnel maîtrse dans l effectf total. Le degré d effcacté technqe ( TE ) est calclé por chaqe entreprse à partr de la sére des résds nlatères ( ε t ). Sot : TE = exp( εt ) x Résltats de l estmaton d modèle J.Y. Leser et P. Plane ont estmé le modèle (3) par la méthode des mondres carrés décalés. A v des tests économétrqes habtels, certans varables ont été jgées non sgnfcatves. La confgraton défntve d modèle ne content qe les varables explcatves : K, L et TENC 1 avec n 17 R = Le degré d effcence technqe calclé (en %) por chaqe entreprse est donné dans le tablea. Tablea. Effcence technqe (en %) Pays Effcacté classement Bénn Brkna Côte d Ivore Nger Cameron Gabon Sénégal Togo Rwanda Zaïre Moyenne

19 3- Frontère non paramétrqe 3--1 Les données Elles provennent de l étde de Mbangala et Perelman (1997), sr l effcacté technqe de nef socétés de chemns de fer en Afrqe sbsaharenne. Elles sont présentées dans le tablea 3. Tablea 3 : Caractérstqes des nef socétés de chemns de fer (Valers moyennes sr la pérode ) Réseax Effectfs Eqpement Voyagers Km Tonnes Km Pays (personnes) (ntés) (10 6 ) (10 6 ) CFCO Congo CFM Mozambqe KR Kenya OCBN Bénn RFCM Mal RNFC Cameron SNCS Sénégal SNCZ Zaïre ZR Zambe Sorce : M. Mbangala, S. Perelman (1997) 18

20 3... Le modèle Dans l applcaton d modèle non paramétrqe ax données d tablea 3, Mbangala et Perelman ont chos ne approche pls générale, c est-à-dre l hypothèse des rendements varables et l orentaton en otpts por la mesre des effcactés technqes. Ils jstfent ler chox par le fat qe les entreprses pblqes, et partclèrement celles q opèrent dans les pays en développement, ont comme objectf la maxmsaton de l offre de ler servce. Par allers, ls ont adopté ne hypothèse de traval selon laqelle, la technologe de prodcton d transport par ral pet être résmée avec dex npts : le traval et l éqpement ; et avec dex otpts : les voyagers-klomètres et les tonnes klomètre des marchandses Ans, le programme (9), c est-à-dre le modèle BCC a été applqé ax données d tablea 3. Le calcl des effcactés technqes des nef entreprses a été fat en tlsant le logcel DEAP (Coell, 1996) Estmaton Dans le tablea 4, sont donnés les résltats obtens. Tablea 4. Effcacté technqe des réseax (en %) Réseax Effcacté Classement CFCO CFM KR OCBN RCFM RNCFC SNCS SNCZ ZR Moyenne

21 4. Perspectves Dans des pblcatons ltéreres, ce docment sera complété dans dex drectons. Tot d abord, nos revendrons sr des exemples pratqes et en défnssant à chaqe fos, des spécfcatons adéqates. Dans la seconde drecton, nos aborderons les développements récents de ces méthodes, notamment : - cex q concernent l estmaton des frontères paramétrqes avec facters exogènes d neffcacté. Ce sont des facters strctrels d envronnement, totalement extérers a processs de prodcton, mas q explqent ne parte de l neffcacté. Dans le cas des socétés d électrcté examnées précédemment, ce sont des facters q relèvent par exemple de la natre hydralqe o thermqe de l énerge prodte, de l ntensté de la demande,, o de façon générale, d nvea d développement d pays ; - cex q portent sr les données ndvdelles cmlant ne dmenson cope et ne dmenson temporelle (données de panel). A ce sjet, plsers modèles d estmaton de frontères paramétrqes stochastqes ont été proposés dans la lttératre por étder la varaton temporelle de l effcacté technqe ; - cex relatfs à l extenson d modèle DEA. Dans cette extenson, sont consdérés les problèmes de l effcacté allocatve (mnmsaton des coûts, maxmsaton d reven), de la prse en compte des varables d envronnement et des varables non dscrétonnares (otpts et npts non contrôlés par le gestonnare). Nos sohatons ans povor contrber à la vlgarsaton des frontères de prodcton por n large pblc d tlsaters. 0

22 Appendce : frontère non paramétrqe détermnste (A sens de Farrell) C est dans son traval ponner datant de 1957, qe Farrell a proposé la constrcton d ne frontère non paramétrqe à partr des observatons sr des actvtés prodctves. Il a également ntrodt les notons d effcacté technqe et d effcacté allocatve, ans qe ler mode de calcl. Farrell a llstré son dée en prenant n exemple smple : le cas d ne frme q tlse dex npts por prodre n otpt ; la foncton de prodcton s écrt : (, ) y = f x x 1 Il a ass spposé qe la technologe état à rendements constants, sot : ( ) 1 = f x / y, x / y 1 Dans ces condtons, la frontère technologqe pet être caractérsée par ne soqante ntare qe l on a notée par UU dans la fgre 1. Cette soqante permet de calcler l effcacté technqe. Les ponts stés a-desss de l soqante caractérsent les frmes non effcentes. Le rato des dstances entre le pont à l orgne et le pont effcent (sr l soqante) d ne part et le pont observé d atre part mesre l effcacté technqe de la frme consdérée. S par exemple, ne frme tlse des qanttés d npts défnes par le pont A por prodre ne nté d otpt, l neffcacté technqe de cette frme pet être mesrée par la dstance BA. Cette dernère ndqe la rédcton proportonnelle dans l tlsaton des npts q permet de contner à prodre le même nvea d otpt. Cette neffcacté est ass mesrée par le rato BA / OA. Ans, l effcacté technqe d ne frme est en général mesrée par le rato : TE = OB / OA = 1 BA / OA ; q prend les valers entre zéro et n. En regardant la fgre 1, on pet constater qe le pont B est technqement effcace ; car l se ste sr l soqante effcente. S mantenant, l on donne la lgne socoût PP ', représentant le rato des prx des npts, on pet alors calcler l effcacté allocatve. Elle est mesrée par le rato : AE = OD / OB. Et fnalement l effcacté économqe totale est mesrée par le rato : 1

23 EE = OD / OA. Par allers, la dstance DB pet s nterpréter en termes de rédcton des coûts. L effcacté économqe totale pet encore s écrre : ( )( ) EE = TE. AE = OB / OA OD / OB = OD / OA Fg : 1 Mesre de l effcacté technqe X /Y P U B A D C O P X 1 /Y U

24 Bblographe Afrat, S.N., (197). Effcency estmaton of prodcton fnctons, Internatonal Economc Revew, 13, Agbodj, A.E., (1996). l effcacté technqe dans l ndstre vorenne, Mémore de DEA, PTCI, Unversté d Abdjan. Agner, D.J., Ch, S.F., (1968). On estmatng the ndstry prodcton fncton, Amercan Economc Revew, 58, Agner, D.J., Lovell, C.A.K., Schmdt P., (1977). Formlaton and estmaton of stochastc fronter prodcton fncton models. Jornal of Econometrcs, 6, 1-7 Al, A.I., Seford, L.M., (1993). The mathematcal programmng approach to effcency analyss, n Fred, H.O., C.A.K. Lovell and S.S. Schmdt (Eds), The measrement of prodctve effcency : Technqes and Applcatons, Oxford Unversty Press, N.Y Banker, R.D., Charnes, A., Cooper, W.W., (1984). Some models for estmatng techncal and scale neffcences n Data Enveloppment Analyss, Management Scence, 30, Battese, GE., Coell, T.J., (1993). A stochastc fronter prodcton fncton ncorporatng a model for techncal neffcency effects, Workng Paper n Econometrcs and Appled statstcs, n 69, Departement of Econometrcs, Unversty of New England, Armdale. Baer, P.W., (1990). Recent developments n the econometrc estmaton of fronter, Jornal of Econometrcs, 46, Bjrex, H., Hjalmarson, L., Forsnd, F.R., (1990). Determnstc parametrc and nonparametrc estmaton of effcency n servce prodcton. A comparson, Jornal of Econometrcs, 46, Bosman, N., Fecher, F., (199). Une étde comparatve de l effcacté technqe d secter de la santé a sen des pays de l O.C.D.E, Workng Paper, 9/08, CIRIEC, Unversté de Lège. Broek, J.V.D., Forsnd, F.R., Hjalmarson, L., (1980). On the estmaton of stochastc and determnstc fronter prodcton fncton. Jornal of Econometrcs, 13, Chaffa, M.E., (1989). Estmaton des frontères de prodcton et de l neffcacté technqe. Econome et Prévson, n 91,

25 Chavea, T., Coppey, J., (1999). Les banqes françases de réseax n ont pas de problèmes majers d neffcacté prodctve : ne applcaton de la technqe d enveloppement des données (DEA), Cahers de la MSE, , Unversté de Pars 1. Charnes, A., Cooper, W.W., Rhodes, E., (1978). Measrng the effcency of decsons makng nts, Eropean Jornal of Operatonal Researh,, Charnes, A., Cooper, W.W., Lewn, A.Y., Seford, L.M., (1995). Data envelopment analyss.theory, Methodology and Applcatons, Klwer Academc Pblshers, Boston. Charnes, A., Cooper, W.W., Golany, B., Seford, L.M., Sttz, J., (1985). Fondatons of Data Envelopment Analyss for Pareto-Koopmans effcent emprcal prodcton fnctons, Jornal of Econometrcs, 30, Coell, T.J., (1996). A gde to FRONTIER, verson 4.1 : A compter program for fronter prodcton fncton estmaton, CEPA, Workng Paper 96/07, Department of Econometrcs, Unversty of New England, Armdale. Coell, T.J., (1996). A gde to DEAP, verson.1 : A data Envelopment analyss (compter) program, CEPA, Workng Paper 96/08, Department of Econometrcs, Unversty of New England, Armdale. Coell, T.J., (1998), A mlt-stage methodology for solton of orentated DEA models, CEPA, Workng Paper 96/01, Department of Econometrcs, Unversty of New England, Armdale. Coell, T.J., Rao, D.S.P, Battese, G.E., (1998). An ntrodcton to effcency and prodctvty analyss, Klwer Academc Pblshers, Boston. Debre, G. (1951). The coeffcent of ressorce tlsaton, Econometrca, 19, Deprns, D., Smar, L., (1989). Estmaton des frontères détermnstes avec facters exogènes d neffcacté. Annales d Econome et de Statstqe, n 1, Fare, R., Lovell, C.A.K., (1978). Measrng the techncal effcency of prodcton, Jornal of Economc Theory, 19, Farrell, M.J., (1957), The measrement of prodctve effcency, Jornal of the Royal Statstcal Socety, Seres A, CXX, Part 3, Fecher, F., Perelman, S., (1989). Prodctvté, Progrès technqe et Effcacté, Annales d Econome et de Statstqe, n 13, Forsnd, F.R., Hjalmarsson, L., (1974). On the measrement of prodctve effcency, Swedsh Jornal of Economcs, 76,

26 Forsnd, F.R., Hjalmarsson, L., (1979). Generalserd Farrell measres of effcency : an applcaton to mlk processng n swedsh dary plants, Economc Jornal, 89, Forsnd, F.R., Lovell, C.A.K., Schmdt, P., (1980). A srvey of fronter prodcton fnctons and ther relatonshp to effcency measrement, Jornal of Econometrcs, 13, 5-5. Fred, H.O., Lovell, C.A.K., Schmdt, S.S., (1993). The measrement of prodctve effcency : Technqes and Applcatons, Oxford Unversty Press, N.Y. Gathon, H.J., Peste, P., (1995). La performance des entreprses pblqes. Une qeston de proprété o de concrrence, Dscsson Papers 95/06, CREPP, Unversté de Lège. Greene, W.H., (1980). Maxmm lkelhood estmaton of econometrc fronter fnctons, Jornal of econometrcs, 13, Greene, W.H., (1993). The econometrc approach to effcency analyss, n Fred, H.O., C.A.K. Lovell and S.S. Schmdt (Eds), The measrement of prodctve effcency : Technqes and Applcatons, Oxford Unversty Press, New York, Greene, W.H., (000). Econometrc Analyss, Prntce Hall. Jondrow, J., Lovell, C.A.K., Materov, I.S., Schmdt, P., (198). On estmaton of techncal neffcency n stochastc fronter prodcton fncton model, Jornal of Econometrcs, 19, Koopmans, T.C., (1951). An analyss of prodcton as an effcent combnaton of actvtes, n T.C Koopmans, (Ed) Actvty analyss of prodcton and allocaton, Cowles Commsson for Research n Economcs, Monograph n 13, Wley, New York, Kmbhakar, S.C., Lovell, C.A.K., (000). Stochastc Fronter Analyss, Cambrdge Unversty Press. Leser, J.Y., Plane, P., (1995). Frontère de prodcton et mesre de l effcacté technqe : le cas de l électrcté dans dx entreprses sbsaharennes, Annals of Pblc and Cooperatve Economc, CIRIEC, 66, 3, Mbangala, M., Perelman, S., (1997). L effcacté technqe des chemns de fer en Afrqe sbsaharenne : ne comparason nternatonale par la méthode de DEA, Reve d Econome d Développement, 3, Meesen, W., Van den Broeck, J., (1977). Effcency estmaton from Cobb-Doglas Prodcton fnctons wth composed error, Internatonal Economc Revew, 18,

27 Olson, J.A., P. Schmdt, Waldman, D.M., (1980). A Monte-Carlo stdy of estmators of stochstc fronter prodcton fnctons, Jornal of Econometrcs, 15, Perelman, S., (1996). la mesre de l effcacté des servces pblcs, Reve Françase des Fnances Pblqes, 55, Rchmond, J., (1974). Estmatng the effcency of prodcton, Internatonal Economc Revew, 15, Schmdt, P., (1976). On the statstcal estmaton of parametrc fronter prodcton fnctons, Revew of Economcs and Statstcs, 58, Seford, L.M., Thrall, R.M., (1990). Recent developments n DEA : The mathematcal approach to fronter analyss, Jornal of Econometrcs, 46, Stevenson, R.E., (1980). Lkelhood fnctons for generalsed stochastc fronter estmaton, Jornal of Econometrcs, 13, Taffe P., (1998). Frontère d effcacté et évalaton de la performance énergétqe des bâtments, Thèse de Doctorat es Scences Economqes, Unversté de Genève. Thry, B.,. (1985). Une analyse de l effcacté technqe d ne socété de transports ntercommnax. Le cas de la STIL, Workng Paper 85/07, CIRIEC, Unversté de Lège. Thry, B., (1986). La performance d n servce pblc. Défnton, méthodes de mesre et applcaton à la Rége des Postes en Belgqe, L actalté Economqe, Reve d Analyse économqe, 6,, Thry, B., Tlkens, H., (1988). Prodctvté, effcacté et progrès technqe, 8 ème Congrès des Economstes Belges. Zellner, A., Revankar, N.S., (1969). Generalsed prodcton fnctons, Revew of Economc Stdes, 36, Zellner, A., Kmenta, J., Dreze, J., (1966). Specfcaton and estmaton of Cobb- Doglas Prodcton fncton models, Econometrca, 34,