Intégrales convergentes
|
|
- Gabin Vincent
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Universié Joseph Fourier, Grenoble Mhs en Ligne Inégrles convergenes L plupr des inégrles que vous renconrerez ne son ps des ires de domines bornés du pln. Nous llons pprendre ici à clculer les inégrles de domines non bornés, soi prce que l inervlle d inégrion es infini, soi prce que l foncion à inégrer end vers l infini u bornes de l inervlle. Pour ssimiler ce chpire, vous vez juse besoin d une peie révision des echniques de clcul des primiives, e d une bonne compréhension de l noion de limie. Tble des mières Cours. Définiions e propriéés Foncions posiives, inervlle non borné Foncions posiives, inervlle borné Foncions oscillnes, inervlle non borné Foncions oscillnes, inervlle borné Pln d éude Eemples Enrînemen 9. Vri ou fu Eercices QCM Devoir Corrigé du devoir Complémens L pédgogie des sourds-mues Un our de psse-psse d Euler L courbe de Guss mi
2 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Cours. Définiions e propriéés Nore bu dns ce chpire es de clculer des inégrles sur des inervlles non bornés (lln jusqu à + ou ), ou bien des inégrles sur un domine borné, de foncions yn une limie infinie en un poin de l inervlle d inégrion. Si on se réfère à l inerpréion inuiive d une inégrle comme l surfce d un domine dns le pln, dns les deu cs nous cherchons à clculer des surfces de domines non bornés. Considérons pr eemple l foncion f qui à R ssocie f() = 3/ sin() : son grphe es représené sur l figure. Commen donner un sens à l inégrle de f.5 y y= ^( 3/) sin() Figure Grphe de l foncion 3/ sin(). sur R? Nous souhions une définiion qui respece les propriéés de bse que son l relion de Chsles, l linérié e l monoonie. On commence d bord pr idenifier les poins incerins, soi ± d une pr, e d ure pr le ou les poins u voisinge desquels l foncion n es ps bornée ( = dns nore eemple). On découpe ensuie l inervlle d inégrion en un d inervlles qui fu pour que chcun d eu ne conienne qu un seul poin incerin, plcé à l une des deu bornes. L relion de Chsles impose que l inégrle sur l inervlle comple soi l somme des inégrles sur les inervlles du découpge. Dns l eemple de l foncion f() = 3/ sin() ci-dessus, il fu découper en 4 sous-inervlles : pour isoler e +, e ures pour le poin incerin. On pourr écrire pr eemple : f() d = f() d + f() d + f() d + f() d. Le seul bu es d isoler les difficulés : les choi de e comme poins de découpge son rbirires (pr eemple 3 e urien convenu ou ussi bien). Pr ce découpge, on se rmène à des inégrles de 4 ypes.
3 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble. inégrle sur ], ],. inégrle sur [, + [, 3. inégrle sur ], b], foncion non bornée en, 4. inégrle sur [, b[, foncion non bornée en b, Le chngemen de vrible perme de réduire ces 4 cs à seulemen. En effe : b f() d = f() d = b f( u) du, f( u) du. Nous devons donc définir l inégrle dns deu cs disincs. Définiion.. Soi f une foncion coninue sur [, + [. On di que l inégrle f() d converge si l limie qund end vers + de l primiive f() d eise. Si c es le cs, on pose : f() d = Dns le cs conrire, on di que l inégrle diverge. lim + f() d. (). Soi f une foncion coninue sur ], b]. On di que l inégrle b f() d converge si l limie à droie qund end vers de b f() d eise. Si c es le cs, on pose : b b f() d = lim f() d. () + Dns le cs conrire, on di que l inégrle diverge. Observons que l deuième définiion es cohérene vec les propriéés de l inégrle d une foncion coninue : si l foncion f es coninue sur [, b] ou enier, lors b f() d es une foncion de coninue en, e () es vérifié. Dns f() d, l borne de guche de l inervlle d inégrion n ps d influence sur le comporemen de l inégrle. Supposons f coninue sur [, + [ e choisissons un réel >. Pr l relion de Chsles, Comme si celle de f() d = f() d + f() d f() d ne dépend ps de, l limie de f() d eise si e seulemen f() d eise ussi. L convergence d une inégrle ne dépend donc ps du comporemen de l foncion sur des inervlles bornés, mis seulemen de son comporemen u voisinge de +.
4 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Si f n es ps bornée u voisinge de, l convergence de b f() d ne dépend ps de b, pour l même rison : elle ne dépend que du comporemen de f u voisinge de. Le résul suivn es une conséquence immédie de l linérié des inégrles e des limies. Proposiion.. Soien f e g deu foncions coninues sur [, + [, e α, β deu réels. Si les inégrles f() d e g() d convergen, lors αf() + βg() d converge e αf() + βg() d = α f() d + β g() d.. Soien f e g deu foncions coninues sur ], b], e α, β deu réels. Si les inégrles b f() d e b g() d convergen, lors b αf() + βg() d converge e b b b αf() + βg() d = α f() d + β g() d. Qund on peu clculer une primiive de l foncion à inégrer, l éude de l convergence se rmène à un clcul de limie. Voici plusieurs eemples. L inégrle En effe, d converge. + [ ] + d = rcn() = rcn() e lim rcn() = π +. On pourr écrire : [ ] + + d = rcn() = π, [ ] + à condiion de se souvenir que rcn() désigne une limie en +. Pr conre, l inégrle En effe, d diverge. + [ ] + d = ln( + ) = ln( + ) e lim ln( + ) = +. + L inégrle ln() d converge. 3
5 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble En effe, ln() d = On pourr écrire : Pr conre, l inégrle En effe, [ ] ln() = ln() e lim +( ln() ) = ln() d = [ ] ln() =. d diverge. [ ] d = ln() = ln() e lim ln() = +. () (b) (c) (d) Figure Différens ypes d inégrles : () inervlle non borné, foncion de signe consn ; (b) inervlle borné, foncion de signe consn ; (c) inervlle non borné, foncion de signe non consn ; (d) inervlle borné, foncion de signe non consn. Qund on ne si ps clculer une primiive, on recours à deu ypes de méhodes, selon que l foncion es ou non de signe consn u voisinge du poin incerin. Il y donc 4 cs disincs, selon le ype du poin incerin, e le signe, consn ou non, de l foncion à inégrer. Ces 4 ypes son schémisés dns l figure e leur éude fi l obje des secions suivnes. 4
6 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble. Foncions posiives, inervlle non borné Nous considérons ici f() d, où f es de signe consn u voisinge de +. Quie à réduire l inervlle d inégrion, e à chnger évenuellemen le signe de f s il es négif, nous pouvons supposer que l foncion es posiive ou nulle sur l inervlle d inégrion [, + [ (figure 3). Rppelons que pr définiion, () Figure 3 Inégrle d une foncion posiive sur un inervlle non borné. f() d = lim f() d. + Observons que si l foncion f es posiive, lors l primiive f() d es une foncion croissne de (cr s dérivée es f()). Qund end vers l infini, soi f() d es bornée, e l inégrle f() d converge, soi f() d end vers +. Si on ne peu ps (ou si on ne veu ps) clculer une primiive de f, on éudie l convergence en comprn vec des inégrles don l convergence es connue, grâce u héorème suivn. Théorème. Soien f e g deu foncions posiives e coninues sur [, + [. Supposons que f soi mjorée pr g u voisinge de + : A, > A, f() g(). Si g() d converge lors f() d converge. Si f() d diverge lors g() d diverge. Démonsrion : Comme nous l vons observé, l convergence des inégrles ne dépend ps de l borne de guche de l inervlle, e nous pouvons nous conener d éudier A f() d e A g() d. Or en uilisn l monoonie des inégrles, on obien que pour ou > A : f() d g() d. A 5 A
7 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Si A g() d converge, lors A f() d es une foncion croissne e mjorée pr A g() d, donc convergene. Inversemen, si A f() d end vers +, lors A g() d end vers + églemen. Comme pplicion ypique du héorème de comprison des inégrles, nous llons monrer que l inégrle pour ou réel α. Pour cel nous écrivons : On si que α e d converge, α e = α e / e /. lim + α e / =, pour ou α (l eponenielle l empore sur les puissnces de ). En priculier, il eise un réel A > el que : > A, α e /. En muliplin les deu membres de l inéglié pr e / on obien : > A, α e e /. Or l inégrle e / d converge. En effe : e / d = [ e /] = e / e / e lim + e / e / = e /. On peu donc ppliquer le héorème de comprison : puisque e / d converge, on en dédui que α e d converge ussi. Grâce u héorème de comprison, on peu remplcer l foncion à inégrer pr un équivlen u voisinge de + pour éudier l convergence d une inégrle. Théorème. Soien f e g deu foncions coninues e posiives sur [, + [, équivlenes u voisinge de + : f() lim + g() =. L inégrle f() d converge si e seulemen si g() d converge. Démonsrion : Dire que deu foncions son équivlenes u voisinge de +, c es dire que le rppor end vers, ou encore : ε >, A, > A, 6 f() g() < ε,
8 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble soi encore : ε >, A, > A, ( ε)g() < f() < ( + ε)g(). Fions ε <, e ppliquons le héorème de comprison sur l inervlle [A, + [. Si l inégrle A f() d converge, lors l inégrle A ( ε)g() d converge, donc l inégrle A g() d ussi pr l linérié (proposiion ). Inversemen, si A f() d diverge, lors A (+ε)g() d diverge, donc A g() d diverge ussi. Pr eemple, l inégrle En effe, e d converge e e, e nous vons déjà monré que l inégrle e d converge. L uilision des équivlens perme insi de rmener l éude de l convergence d une inégrle pour lquelle on n ps de primiive, à un clogue d inégrles don l convergence es connue. Les plus clssiques son les inégrles de Riemnn e de Berrnd. Inégrles de Riemnn : α d, où α es un réel sricemen posiif. Dns ce cs, l primiive es eplicie : α d = lim + lim + [ α + α+ [ ] ln() ] si α si α = On en dédui immédiemen l nure (convergene ou divergene) des inégrles de Riemnn. Si α α d diverge, si α > α d converge. Inégrles de Berrnd : (ln()) β d, où β es un réel sricemen posiif. L primiive es eplicie : (ln()) β d = lim + lim + [ β + (ln()) β+ [ ] ln(ln()) ] si β si β = 7
9 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble On en dédui l nure (convergene ou divergene) des inégrles de Berrnd. Si β si β > (ln()) β d diverge, (ln()) β d converge. Voici un eemple d pplicion : ( ( )) ( ) + 3 ln cos sin d converge. ln() Pour le démonrer, clculons un équivlen de l foncion u voisinge de = ln (cos( ) ( ) = ln + o( ) ) +. ( ) ( ) sin. ln() + ln() D où un équivlen de l foncion u voisinge de + : + 3 ln (cos( ) ( ) ) sin ln() + (ln()). Remrquons que l foncion es négive u voisinge de +, ce qui ne chnge ps l nure de l inégrle. D près le héorème, l inégrle proposée es de même nure que l inégrle de Berrnd (ln()) d, donc convergene..3 Foncions posiives, inervlle borné Nous rions ici le cs où l foncion à inégrer end vers l infini en l une des bornes de l inervlle d inégrion. Le riemen es ou à fi nlogue u cs précéden. Quie à réduire l inervlle d inégrion, e à chnger évenuellemen le signe de f, nous pouvons supposer que l foncion es posiive ou nulle sur l inervlle d inégrion ], b], e end vers + en (figure ). Rppelons que pr définiion, b b f() d = lim f() d. + Observons que si l foncion f es posiive, lors b f() d croî qund décroî vers : soi b f() d es bornée, e l inégrle b f() d es convergene, soi b f() d end vers +. Si on ne peu ps (ou si on ne veu ps) clculer une primiive de f, on éudie l convergence en comprn vec des inégrles don l convergence es connue, grâce u héorème suivn. 8
10 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble (b) Figure 4 Inégrle d une foncion posiive non bornée. Théorème 3. Soien f e g deu foncions posiives e coninues sur ], b]. Supposons que f soi mjorée pr g u voisinge de : ε, ], + ε], f() g(). Si b g() d converge lors b f() d converge. Si b f() d diverge lors b g() d diverge. Démonsrion : Comme nous l vons observé, l convergence des inégrles ne dépend ps de l borne de droie de l inervlle, e nous pouvons nous conener d éudier +ε f() d e +ε g() d. Or en uilisn l monoonie des inégrles, on obien que pour ou ], + ε] : +ε f() d +ε g() d. Si +ε g() d converge, lors +ε f() d croî qund décroî vers e es mjorée pr +ε g() d, elle converge donc. Inversemen, si +ε f() d end vers +, lors +ε g() d end vers + églemen. Voici une pplicion ypique du héorème de comprison des inégrles 3. Nous llons monrer que l inégrle ( ln()) α pour ou réel α. Pour cel nous écrivons : d converge, ( ln()) α = (( ln()) α /4 ) 3/4. On si que lim ln()α /4 =, + 9
11 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble pour ou α (les puissnces de l emporen sur le logrihme). En priculier, il eise un réel ε > el que : ], ε], ( ln()) α /4. En muliplin les deu membres de l inéglié pr 3/4 on obien : ], ε], ( ln()) α 3/4. Or l inégrle 3/4 d converge. En effe : 3/4 d = [ 4 /4 ] = 4 4 /4 e lim +(4 4/4 ) = 4. On peu donc ppliquer le héorème de comprison 3 : puisque 3/4 d converge, on en dédui que d converge ussi. ( ln()) α Grâce u héorème de comprison 3, on peu remplcer l foncion à inégrer pr un équivlen u voisinge de pour éudier l convergence d une inégrle. Théorème 4. Soien f e g deu foncions coninues e sricemen posiives sur ], b], équivlenes u voisinge de : f() lim + g() =. L inégrle b f() d converge si e seulemen si b g() d converge. Démonsrion : Dire que deu foncions son équivlenes u voisinge de, c es dire que le rppor end vers, ou encore : f() ε >, η, ], + η], g() < ε, soi encore : ε >, η, ], + η], ( ε)g() < f() < ( + ε)g(). Fions ε >, e ppliquons le héorème de comprison 3 sur l inervlle ], + η]. Si l inégrle +η f() d converge, lors l inégrle +η ( ε)g() d converge, donc l inégrle +η g() d ussi pr l linérié (proposiion ). Inversemen, si +η f() d diverge, lors +η ( + ε)g() d diverge, donc +η g() d diverge ussi. Pr eemple, l inégrle ln() + d converge. sin()
12 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble En effe, ln() + sin() ( ln()) /, + ( ln()) / e nous vons déjà monré que l inégrle d converge. L uilision des équivlens perme insi de rmener l éude de l convergence d une inégrle pour lquelle on n ps de primiive, à un clogue d inégrles don l convergence es connue. Les plus clssiques son du ype α d, mis enion, l convergence en foncion du prmère α es inversée pr rppor u inégrles de Riemnn. Si α < α d converge, si α α d diverge..4 Foncions oscillnes, inervlle non borné Nous considérons ici f() d, où f() oscille jusqu à l infini enre des vleurs posiives e négives (figure 5). L définiion de l convergence rese l même. (c) Figure 5 Inégrle d une foncion oscillne sur un inervlle non borné. f() d = lim f() d. + Conriremen u cs des foncions posiives, où l limie éi soi finie, soi égle à +, ous les comporemens son possibles ici : les vleurs de f() d peuven endre vers une limie finie, vers + ou ou bien encore osciller enre deu vleurs finies (comme sin() d), ou s pprocher lernivemen de + e (comme sin() d). Le cs le plus fvorble es celui où l vleur bsolue de f converge.
13 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Définiion. Soi f une foncion coninue sur [, + [. On di que bsolumen convergene si f() d converge. f() d es Le héorème suivn es souven uilisé pour démonrer l convergence d une inégrle. Mlheureusemen, il ne perme ps de clculer l vleur de cee inégrle. Théorème 5. Si l inégrle f() d es bsolumen convergene, lors elle es convergene. Démonsrion : Rppelons l définiion : f() d converge si e seulemen si f() d converge. Posons F () = f() d. Nous llons démonrer que, pour oue suie ( n ) n N, endn vers l infini, l suie (F ( n )) n N es une suie de Cuchy. Sns pere de générlié, nous pouvons supposer que l suie ( n ) n N es sricemen croissne. Pr l relion de Chsles, pour ou couple d eniers (n, m) vec n < m : F ( m ) F ( n ) = m n f() d m f() d Or pr hypohèse, l inégrle f() d converge. On en dédui que l suie de erme générl n f() d converge : c es donc une suie de Cuchy. Pour ou ε >, il eise n el que pour m > n > n, F ( m ) F ( n ) m n n f() d < ε. L suie (F ( n )) n N es une suie de Cuchy, donc elle converge. Puisque c es vri pour oue suie ( n ) n N endn vers l infini, l foncion F () dme une limie en +, d où le résul. Pr eemple, donc convergene. En effe pour ou, sin() d es bsolumen convergene, sin(). Or l inégrle de Riemnn d es convergene. D où le résul pr le héorème de comprison. Pr conre, sin() d n es ps bsolumen convergene. Voici un moyen de le vérifier. Comme sin() pour ou, on : sin() sin () = cos().
14 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble En ppliqun une inégrion pr pries à cos(), on obien : sin() cos() d = [ ] ln() + [ sin() ] + sin() Or d converge bsolumen, comme nous venons de le voir. Des 3 ermes de l somme ci-dessus, les deu derniers convergen, le premier end vers +. Donc l inégrle diverge, e pr le héorème de comprison, l inégrle sin() d diverge églemen. Il se rouve que sin() d converge. Pour le monrer, effecuons une inégrion pr pries : sin() d = [ cos() ] cos() d. L foncion cos() end vers (cr cos() es borné e end vers ). Pr comprison vec l inégrle de Riemnn d, on monre que l inégrle cos() d es bsolumen convergene, donc convergene. Pr conséquen, sin() d converge. Pour monrer qu une inégrle converge qund elle n es ps bsolumen convergene, on dispose du héorème suivn, di héorème d Abel. Théorème 6. Soi f une foncion coninûmen dérivble sur [, + [, posiive, décroissne, yn une limie nulle en +. Soi g une foncion coninue sur [, + [, elle que l primiive g() d soi bornée. Alors l inégrle f() g() d converge. Démonsrion : C es une générlision de l eemple précéden. Pour ou, posons G() = g() d. Pr hypohèse, G es bornée, donc il eise M el que pour ou, G() M. Effecuons minenn une inégrion pr pries. f() g() d = [ ] f() G() f () G() d. Comme G es bornée e f end vers, le premier erme converge. Monrons minenn que le deuième converge ussi, en vérifin que d. On : f () G() d es bsolumen convergene. f () G() = f () G() ( f ()) M, 3
15 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble cr f es décroissne (donc f () ) e G es bornée pr M. Pr le héorème de comprison, il suffi donc de monrer que f () d es convergene. Or : f () d = f() f() e lim (f() f()) = f(). + Comme eemple d pplicion, si α es un réel sricemen posiif, e k un enier posiif impir, lors l inégrle sin k () α d converge. Remrquons que cee inégrle n es bsolumen convergene que pour α >. On vérifie que les hypohèses du héorème 6 son sisfies pour f() = α e g() = sin k (). Pour s ssurer que l primiive de sin k es bornée, il suffi de penser à une linérision, qui rnsformer sin k () en une combinison linéire des sin(h), h =... k, don l primiive ser oujours bornée..5 Foncions oscillnes, inervlle borné Le dernier cs à rier es celui où l foncion à inégrer oscille u voisinge d une des bornes, prenn des vleurs rbiriremen proches de + e (figure 6). Le (d) Figure 6 Inégrle d une foncion posiive non bornée. chngemen de vrible u = /( ) perme de se rmener u cs précéden, ce qui nous dispenser de donner un de déils. Rppelons que pr définiion, b b f() d = lim f() d. + L noion imporne es oujours l convergence bsolue. 4
16 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Définiion 3. Soi f une foncion coninue sur ], b]. On di que b f() d es bsolumen convergene si b f() d es une inégrle convergene. Nous dmerons le héorème suivn, qui se démonre de l même fçon que le héorème 5. Théorème 7. Si l inégrle b f() d es bsolumen convergene, lors elle es convergene. Pr eemple, sin(/) d es bsolumen convergene, donc convergene. En effe pour ou, sin(/). Or l inégrle / d converge. D où le résul pr le héorème de comprison 3. Pr conre, sin(/) d n es ps bsolumen convergene, mis elle es convergene. Pour le voir, effecuons le chngemen de vrible /u. sin(/) d = / u sin(u) / u du = sin(u) du. u Nous vons déjà monré que l inégrle du es convergene sns êre bsolumen convergene. On pourri énoncer un héorème d Abel nlogue u héorème 6, mis cel n es ps vrimen uile. D une pr les foncions uquelles il s ppliqueri se renconren rremen, d ure pr, il es en générl fcile de se rmener à un problème sur [c, + [, sin(u) u pr le chngemen de vrible u = /( ) : nous l vons déjà fi pour.6 Pln d éude sin(/) Nous résumons ici l ensemble des echniques vues dns ce chpire pour l éude de l inégrle d une foncion f sur un inervlle non borné de R, l foncion én évenuellemen non bornée u voisinge d un ou plusieurs poins de l inervlle. Pour illusrer le pln d éude, nous déillerons l eemple inroducif : I = 3/ sin() d.. Idenifier le ou les poins incerins L foncion 3/ sin() es impire, elle end vers en oscilln qund end vers e +, elle end vers en e vers + en + (cf. figure ). Il y donc 4 poins incerins à éudier. 5 d.
17 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble. Isoler les poins incerins Pour cel, il fu découper l inervlle d éude en un de sous-inervlles qu il y de poins incerins, de mnière à ce que les problèmes soien ous siués sur une borne de chque inervlle. Dns nore eemple, on diviser en 4 inervlles. I = I 3 = 3/ sin() d, I = 3/ sin() d, I 4 = 3/ sin() d, 3/ sin() d, Chcune des inégrles obenues doi êre éudiée séprémen. L inégrle I n es définie que si chcun des morceu converge. 3. Se rmener à une inégrle sur [, + [ ou sur ], b] Pour cel, il suffi d effecuer le chngemen de vrible. Dns nore cs, puisque l foncion es impire, I = I 4 e I = I Clculer une primiive si c es possible Ayn une primiive, le problème es rmené à un clcul de limie (définiion ). Si on n ps de primiive eplicie, lors : 5. Si l foncion es de signe consn Chnger évenuellemen le signe pour se rmener à une foncion posiive. Clculer un équivlen u voisinge du poin incerin e uiliser le héorème ou 4. Si l équivlen ne donne ps l réponse direcemen, uiliser le héorème de comprison ou 3. Dns nore eemple, l inégrle I 3 es celle d une foncion posiive, endn vers + en +. 3/ sin() + /. Or l inégrle / d converge, donc I 3 converge. 6. Si l foncion n es ps de signe consn Commencer pr éudier l inégrle de f, comme dns le cs précéden (équivlen ou comprison). Si elle converge, l inégrle éudiée es bsolumen convergene, donc convergene. Si l inégrle n es ps bsolumen convergene, il fu essyer de mere l foncion sous forme d un produi pour ppliquer le héorème d Abel 6. Dns nore eemple, l inégrle I 4 es bsolumen convergene : on le dédui du héorème de comprison, cr 3/ sin() 3/, e l inégrle de Riemnn 3/ d es convergene. On pourri ussi ppliquer le héorème d Abel 6 vec f() = 3/ e g() = sin(). 6
18 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble.7 Eemples Comme eemple d inégrles don l primiive es epliciemen clculble, observons que l on peu générliser les inégrles de Riemnn e de Berrnd. Si γ si γ > 3 Pour des inégrles u voisinge de : 3 Si β si β > (ln()) (ln(ln())) γ d diverge, (ln()) (ln(ln())) γ d converge. / / ( ln()) β d diverge, ( ln()) β d converge. Voici minenn des pplicions des héorèmes de comprison e 3. L idée inuiive à reenir es l suivne. Qund une foncion es un produi de plusieurs foncions du ype eponenielle, puissnces de, puissnces de logrihmes, l une de ces foncions l empore sur les ures : l eponenielle l empore sur les puissnces de e les puissnces de l emporen sur le logrihme. Dns les eemples suivns, α, β, γ, δ désignen des réels sricemen posiifs. Les inégrles suivnes son convergenes. e α β d, e α β (ln()) γ d, e α β (ln()) γ sin() δ d. L démonsrion es l même que pour α e d. Nous en rppelons le principe, en le générlisn. Proposiion. Soien α e α deu réels els que < α < α. Soi f une foncion coninue sur [, + [ elle que e (α α ) f() soi bornée. Alors l inégrle e α f() d es bsolumen convergene. Démonsrion : Pr hypohèse, il eise M el que pour ou >, En muliplin pr e α, on obien e (α α ) f() M. e α f() e α M. D où le résul pr le héorème de comprison, puisque e α d converge. Le même risonnemen vu qund c es une puissnce de qui es dominne. Pr eemple, pour ou α > e pour ou β, α (ln()) β d converge. 7
19 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Proposiion 3. Soien α e α deu réels els que < α < α e soi f une foncion elle que (α α ) f() soi bornée. Alors l inégrle α f() d es bsolumen convergene. Démonsrion : Pr hypohèse, il eise M el que pour ou >, En muliplin pr α, on obien (α α ) f() M. α f() α M. D où le résul pr le héorème de comprison, puisque α d converge. 8
20 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Enrînemen. Vri ou fu Vri-Fu. Soi f une foncion définie e coninue sur R. Prmi les ffirmions suivnes lesquelles son vries, lesquelles son fusses e pourquoi?. Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors son inégrle sur R converge.. Si l inégrle de f sur R converge, lors son inégrle sur [, + [ converge. 3. Si f es une foncion pire, lors son inégrle sur R converge si e seulemen si son inégrle sur [, + [ converge. 4. Si l inégrle de f sur R + converge, lors son inégrle sur [, + [ converge. 5. Si f() end vers qund end vers + lors son inégrle sur [, + [ converge. 6. Si l inégrle de f sur R converge, lors f() end vers qund end vers Si f() end vers l qund end vers +, lors son inégrle sur [, + [ diverge. 8. Si l inégrle de f sur [, ] es une foncion bornée de, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. 9. Si f es posiive e si l inégrle de f sur [, ] es une foncion bornée de, lors l inégrle de f sur [, + [ converge.. Si pour ou, f(), lors l inégrle de f sur [, + [ converge.. Si f es posiive e si pour ou, f(), lors l inégrle de f sur [, + [ converge.. Si f es posiive e si pour ou e, f() (ln()), lors l inégrle de f sur [, + [ converge. 3. Si f es posiive e si pour ou, f() 4, lors l inégrle de e / f() sur [, + [ converge. 4. Si pour ou, f() 4, lors l inégrle de e / f() sur R converge. 5. Si pour ou R, f() e, lors l inégrle de e f() sur R converge. Vri-Fu. Soi f une foncion définie e coninue sur ], ]. Prmi les ffirmions suivnes lesquelles son vries, lesquelles son fusses e pourquoi?. Si f() end vers l qund end vers, lors son inégrle sur ], ] diverge.. Si l inégrle de f sur ], ] converge, lors l inégrle de f sur ], ] converge. 3. Si l inégrle de f sur [, ] es une foncion bornée de lors l inégrle de f sur ], ] converge. 9
21 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble 4. Si pour ou ], ], f() e si l inégrle de f sur [, ] es une foncion bornée de lors l inégrle de f sur ], ] converge. 5. Si l inégrle de f sur ], ] converge, lors l inégrle de /f sur [, + [ converge. 6. L inégrle de f sur ], ] converge si e seulemen si l inégrle de l foncion f( ) sur [, + [ converge. 7. Si pour ou ], ], f(), lors l inégrle de f sur ], ] converge. 8. Si pour ou ], ], f(), lors l inégrle de f sur ], ] converge. Vri-Fu 3. Soi f une foncion définie e coninue sur R. Prmi les ffirmions suivnes lesquelles son vries, lesquelles son fusses e pourquoi?. Si f() end vers qund end vers l infini, lors l inégrle de sin()f() sur [, + [ converge.. Si pour ou >, f(), lors l inégrle de sin()f() sur [, + [ converge. 3. Si f() es décroissne e si s limie en + es nulle, lors l inégrle de sin ()f() sur [, + [ converge. 4. Si f() es décroissne e si s limie en + es nulle, lors l inégrle de sin()f() sur [, + [ converge. 5. Si l inégrle de e i f() sur [, + [ converge, lors l inégrle de sin()f() sur [, + [ converge. 6. Si l inégrle de sin()f() sur [, + [ converge, lors l inégrle de e i f() sur [, + [ converge. Vri-Fu 4. Les inégrles suivnes convergen : vri ou fu e pourquoi? sin( ). rcn() d.. sin ( ) d cos ( ) d. 4 + e d. (e + 4 ) e d. (e + 4 ) e d. (e + 4 ) e d. Vri-Fu 5. Les inégrles suivnes convergen : vri ou fu e pourquoi?
22 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble / / / sin() n () d. sin() ( n()) d. 3 sin ( ) d. 3 n ( 3 ) 7 ln( ) d. cos ( 3 ) (ln( d. )) sin ( 3 ) 7 (ln( d. )) Vri-Fu 6. Prmi les inégrles suivnes convergen, mis ne son ps bsolumen convergenes : vri ou fu e pourquoi? sin 3 ( ). d. sin ( ). d. sin 3 ( ) 3. d sin() ln() d. sin() (ln()) 3 d. sin () (ln()) 3 d. sin () ( ln()) 3 d. Vri-Fu 7. Les inégrles suivnes convergen mis ne son ps bsolumen convergenes : vri ou fu e pourquoi?.. 3. sin( ) rcn() d. e ln d. e + + d.
23 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble ( + 8 ) d. 3 sin() + 8 d. Vri-Fu 8. Prmi les égliés suivnes lesquelles son vries, lesquelles son fusses e pourquoi? e d =. e d =.. Eercices e d = 4. cos()e d =. sin()e d =. cos()e d = d = π d = π. Eercice. Pour chcune des foncions f : f() suivnes : f() = f() =. Clculer pour ou,. En déduire f() d. ( + ) ln () ; f() = ; f() = f() d. ( + )( + ) ; ln()(ln(ln()) 3. Eercice. Pour chcune des foncions f : f() suivnes : f() = e cos() ; f() = e sin() ; f() = e ; f() = cosh().
24 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble. Clculer pour ou,. En déduire f() d. f() d. Eercice 3. Soi un réel sricemen compris enre e.. Clculer d.. En uilisn une inégrion pr pries, en déduire I() = 3. Quelle es l limie à droie en de I()? 4. Quelle es l limie à guche en de I()? Eercice 4. Démonrer les résuls suivns ln( ) d. e d converge. 4 e + d converge. sin() d converge. (ln()) d diverge. π sin() d diverge. + cos() d converge. sin() sin 3 () d converge. sin () d diverge d diverge. + e d converge. Eercice 5. Démonrer que les inégrles suivnes convergen e clculer leur vleur. ( + ) d ; + + sin() d ; + + sin( ) + ln( + ) d ; sin() ln() d. Eercice 6. Éudier l convergence des inégrles suivnes. ln() + + e d ; sin() + d ; ln() ( e d ; ) d ; ( ) d ; e d ; 3
25 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble + sin ( (ln()) d ; 3 + sin() + sin () d ; e d ; (ln()) d ; 3 ) 3 ( + ) d ; ln( + ) rcn( + ) d ; ln() rcn( + ) d ; e + d ; + d ; ( ) + + sin d ; ( + ) ln( + ) rcn( + 3 ) d ; ln() rcn( + ) d. Eercice 7. Éudier l convergence des inégrles suivnes. ln() + d ; + sin() d ; + sin() + ln() d ; sin () ( ) ln d. Eercice 8. Dns chcun des cs suivns, l foncion f es supposée coninue sur R +, ffine pr morceu, e nulle en. Pour chcun de ces cs. n N, f(n) =, f(n /n) = f(n + /n) = () n N, f(n) = /n, f(n /n) = f(n + /n) = (b) n N, f(n) = n, f(n /n ) = f(n + /n ) = (c) n N, f(n) = n, f(n /n 3 ) = f(n + /n 3 ) = (d). L foncion f dme-elle une limie en +?. L inégrle f() d es-elle convergene? Eercice 9. On rppelle l ngene hyperboliques es définie pr :. Vérifier que nh() = e +. nh() = e e e + e. 4
26 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble. Déerminer les deu réels e b els que l foncion f : nh() (+b) soi d inégrle convergene sur [, + [. Eercice. On rppelle que pour ou R, rcn() es défini comme l unique ngle θ ] π, π [ el que n(θ) =.. Vérifier que pour ou R, rcn() = rcn( ), e que pour ou >, rcn() + rcn( ) = π.. Déerminer les deu réels e b els que l inégrle de l foncion f : rcn( ) ( + b) soi convergene sur R. Eercice. Pour ou n, on pose : u n = (n+)π nπ sin(). Déerminer un réel > el que pour ou [nπ + π, nπ + 3π ], sin() En déduire un réel b > el que u n b 3. En déduire que l inégrle Eercice. Soi un nombre réel. π sin() n+. d. d es divergene.. Discuer, en foncion de, l nure de l inégrle d.. Uiliser le chngemen de vrible u = pour clculer cee inégrle pour =. Eercice 3. Soien e b deu réels. Discuer en foncion de e b l nure de l inégrle suivne. ( ) b d. Eercice 4. Soien e b deu réels. Discuer en foncion de e b l nure de l inégrle suivne. ln( + ) d. b Eercice 5. Soien, b, c rois réels. Discuer en foncion de, b, c l nure de l inégrle suivne. c ( ) ln( ) d. b Eercice 6. Uiliser le héorème d Abel pour démonrer que les inégrles suivnes convergen. Monrer qu elles ne convergen ps bsolumen. sin() + + d, sin 3 () d, + cos() + ln() d, sin 5 () 3 ln(ln()) d. 5
27 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Eercice 7. Soi f une foncion coninue sur R, périodique de période e elle que f() d =.. Appliquer le crière d Abel pour démonrer que el que < <. f() d converge pour ou. En uilisn le chngemen de vrible u = α, démonrer que l inégrle f( α ) d converge pour ou α >..3 QCM Donnez-vous une heure pour répondre à ce quesionnire. Les quesions son indépendnes. Pour chque quesion 5 ffirmions son proposées, prmi lesquelles son vries e 3 son fusses. Pour chque quesion, cochez les ffirmions que vous pensez vries. Chque quesion pour lquelle les ffirmions vries son cochées rppore poins. Quesion. Soi f une foncion définie e coninue sur R. A Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors l inégrle de f sur R converge. B Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. C Si lim f() =, lors l inégrle de f sur [, + [ diverge. + D Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors lim f() =. + E Si lim f( ) =, lors l inégrle de f sur R converge. + Quesion. Soi f une foncion définie e coninue sur [, [. A Si l inégrle de f sur [, ] converge, lors l inégrle de f( ) sur [, + [ converge. B Si l inégrle de f( ) sur [, + [ converge, lors l inégrle de f sur [, ] converge. C Si lim f() =, lors l inégrle de f sur [, ] converge. D Si l inégrle de f sur [, ] diverge, lors lim f() = +. E L inégrle de f sur [, ] converge si e seulemen si l inégrle de f( ) sur [, + [ converge. Quesion 3. Soi f une foncion définie e coninue sur R +. A Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. B Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. 6
28 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble C Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. D Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors l inégrle de sup{f(), } sur [, + [ converge. E Si l inégrle de f sur [, + [ converge, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. Quesion 4. Soi f sur foncion définie, coninue e sricemen posiive sur R +. A Si f() es mjoré sur R +, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. B Si lim f() =, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. + C Si lim + f() = +, lors l inégrle de f sur [, + [ diverge. D Si f() es équivlen à ln() u voisinge de +, lors l inégrle de f sur [, + [ converge. E Si pour ou, f(), lors l inégrle de f sur [, + [ diverge. ln() Quesion 5. Soi f sur foncion définie, coninue e sricemen posiive sur ], + ]. A Si lim f() =, lors l inégrle de f sur ], ] converge. + B Si lim ln( )f() =, lors l inégrle de f sur ], ] diverge. + C Si lim f() =, lors l inégrle de f sur ], ] converge. + D Si l inégrle de f sur ], ] converge, lors f() es bornée u voisinge de +. E Si l inégrle de f sur ], ] diverge, lors lim f() = +. + Quesion 6. L inégrle proposée converge. A ln d + + B d + + C d D E ln () + 4 d d Quesion 7. L inégrle proposée converge. A ln ( ) d B 4 + d 5 C d 7
29 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble D E e 3 d e ln(+34) d Quesion 8. L inégrle proposée es bsolumen convergene. sin( A ) d + cos() B d cos( C d D E sin() 3 + d sin( ) 4 + d Quesion 9. L inégrle proposée es convergene, mis ps bsolumen convergene. sin() A + d B C D E sin() 3 + d sin()e d sin() + 3 d cos( ) + 3 d Quesion. + A d = + B e d = C D E d = π ( + ) d = 4 e d = Réponses : BC CE 3 CD 4 DE 5 AB 6 CE 7 CD 8 CD 9 AE CE.4 Devoir Essyez de bien rédiger vos réponses, sns vous reporer ni u cours, ni u corrigé. Si vous souhiez vous évluer, donnez-vous deu heures ; puis comprez vos réponses vec 8
30 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble le corrigé e compez un poin pour chque quesion à lquelle vous urez correcemen répondu. Quesions de cours : Les foncions f e g considérées ici son supposées définies, coninues e sricemen posiives sur [, [.. Définir l convergence de l inégrle de f sur [, ]. On suppose qu il eise ε > el que pour ou [ ε, [, f() g(). Démonrer que si g() d converge, lors f() d converge, e que si f() d diverge, lors g() d diverge. 3. On suppose minenn que f e g son équivlenes u voisinge de : f() lim g() =. Démonrer que f() d converge si e seulemen si f() d converge. ( ln( )) 4. Démonrer que pour ou réel α, l inégrle α d converge. 5. Démonrer que l inégrle ( ln( )) d converge. sin(π) Eercice :. Démonrer que pour ou >, l inégrle converge. On noe f() s vleur. sin(). En uilisn deu inégrions pr pries successives, vérifier que pour ou >, 3. Démonrer que l inégrle f() = cos d es bsolumen convergene, e rerouver le résul de l quesion. 4. Démonrer que pour ou >, En déduire que l inégrle + sin() sin() 3 d sin() 3 d. cos() f(). f() d converge. 9
31 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble 5. Écrire l dérivée de f. En uilisn une inégrion pr pries, monrer que f() d = f() cos() En déduire que f() d =. sin() Eercice : Le bu de l eercice es de clculer d. sin (). Démonrer que l inégrle d es convergene.. En uilisn une inégrion pr pries e le chngemen de vrible u =, monrer que : sin () d = 3. Pour ou n N, on pose : I n = sin() cos() π sin (n) d d = sin() En uilisn le chngemen de vribles u = n, monrer que I + n lim n + n = sin() d. 4. Pour ou n N, on pose : A n = Clculer A e A. 5. Démonrer que pour ou n N, π sin (n) sin () d. sin (n) sin ((n + )) + sin ((n + )) = sin () cos((n + )). En déduire que A n A n+ + A n+ =. 6. Déduire des deu quesions précédenes que pour ou n N, A n = n π. 7. Pour ou n N, on pose : Monrer que A n B n = π 4. B n = π sin (n) n () d. 8. En uilisn le fi que pour ou [, π [, sin() n(), démonrer que pour ou n N, B n I n A n. 9. Déduire de ce qui précède que sin() 3 d = π. d.
32 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble.5 Corrigé du devoir Quesions de cours :. Pour ou el que < <, l foncion f es coninue sur l inervlle fermé [, ]. Son inégrle sur [, ] es donc définie. On di que l inégrle de f sur [, ] converge si l limie qund end vers de l inégrle de f sur [, ] f() d = lim f() d.. Pr l relion de Chsles, pour < < y <, Donc pour ou y [, ] : f() d = y f() d + y f() d. f() d converge y f() d converge. L convergence des inégrles sur [, ] ne dépend que du comporemen des foncions u voisinge de. En uilisn l monoonie des inégrles e l hypohèse, pour ou [ ε, [, ε f() d ε g() d Comme f e g son posiives, les deu inégrles ci-dessus son foncion croissne de g. Si l inégrle de g converge, lors celle de f es mjoré, donc elle converge. Si l inégrle de f diverge (end vers + ), il en es de même pour celle de g. 3. Si f() lim g() =, lors il eise ε > el que pour ou [ ε, [, g() f() g(). Si l inégrle de g converge, lors l inégrle de g converge églemen, donc celle de f ussi, d près l quesion précédene. Si l inégrle de f converge, lors celle de g converge églemen d près l quesion précédene, donc celle de g ussi. 4. D près les limies clssiques, lim ln( )( ) 4 =. 3
33 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble Donc il eise ε > el que pour ou [ ε, [, ( ln( )) α ( ) 3 4. En ppliqun le résul de l quesion, pour monrer que l inégrle proposée converge, il suffi de monrer que l inégrle de ( ) 3 4 converge. qui end vers 4 qund end vers. 5. Au voisinge de, Donc ( ) 3 4 d = 4( ) 4 + 4, sin(π) = sin(π π) = sin(π( )) ( ln( )) sin(π) ( ln( )) π( ) π( ). L seconde inégrle converge d près le résul de l quesion 4, donc l première converge d près le résul de l quesion 3. Eercice :. Pour ou > >, L inégrle sin() d = cos() cos() es bornée (comprise enre e ). L foncion es posiive e décroissne sur [, + [ e s limie en + es. Donc l inégrle d es sin() convergene, pr pplicion du héorème d Abel.. Pour ou >, [ + sin() d = cos() ] + cos() d 3. = cos() = cos() sin() 3 [ sin() + sin() d ] + 3 d =. sin() 3 sin() 3 d. Donc pour ou >, l inégrle sur [, + [ de sin() es l somme d une foncion de e d une inégrle convergene. Elle es donc convergene. d 3
34 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble 4. Pour ou >, cos() f() = sin() + sin() sin() 3 d d + =. cos() L inégrle d converge, en ppliqun le héorème d Abel comme dns l quesion. Nous venons de voir que f() cos() es mjoré pr un ( + foncion don l inégrle converge, donc l inégrle f() cos() ) d es bsolumen convergene. L inégrle f() d es l somme d une inégrle convergene e d une inégrle bsolumen convergene, donc elle converge. 5. L dérivée de f (comme inégrle dépendn de s borne inférieure) es : f () = sin(). f() d = f() d = [f()] f () d = f() + sin() d = f() cos() + 6. D près l quesion 4, f() cos(). Donc qund end vers +, f() cos() end vers : Eercice : lim f() d = + lim f() cos() + = = f() d. + 33
35 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble. Remrquons que sin () lim =. + L foncion peu êre prolongée pr coninuié en, donc le problème de l convergence de l inégrle ne se pose qu en +. Il suffi d uiliser le héorème de comprison. Pour ou, sin ().. Or l in égrle de converge. sur [, + [ converge, donc l inégrle de sin () sin () d = = = = [ sin () ] + sin() sin(u) u sin() d d. + du sin() cos() d sur [, + [ 3. Pour ou n N, Donc I n = π Puisque l inégrle de sin () I n π n lim n + n = lim n + sin (n) d = I n n = n π converge, n π sin () d. n sin (u) u n du. sin () + sin () + sin() d = d = d. 4. A = π d = e A = π d = π 34
36 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble 5. Pour ou, b R, sin( + b) sin( b) = ( )( ) sin cos b + cos sin b sin cos b cos sin b = sin cos b cos sin b = sin ( sin b) ( sin ) sin b = sin sin b. En ppliqun cee formule à = n, b = n +, puis = n +, b = n +, on obien : sin (n) sin ((n + )) + sin ((n + )) = sin((n + )) sin() + sin((n + 3)) sin() ( ) = sin() sin() cos((n + )) = sin () cos((n + )). En divisn pr sin (), puis en inégrn enre e π, on obien : π [ ] π A n A n+ + A n+ = cos((n + )) d = n + sin((n + )) =. 6. L propriéé es vrie pour A e A. Supposons-l vrie pour ous les eniers inférieurs ou égu à n. D près l quesion précédene, A n+ = A n A n = n π (n )π = (n + )π, 7. D où le résul pr récurrence. A n B n = π sin (n) ( sin () ) n d () = = = = π π π sin (n) cos () sin () sin (n) d cos(n) [ sin(n) ] π 4n d = π 4. d 35
37 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble 8. En pssn à l inverse, puis en muliplin pr sin (n) : sin (n) n () sin (n) En uilisn l monoonie des inégrles : sin (n) sin () π sin π (n) n () d sin (n) d π sin (n) sin () d, soi B n I n A n. 9. De l quesion précédene, nous déduisons que : D près l quesion 6, A n n = π B n n I n n A n n. De plus d près l quesion 7, A n lim n + n B n n = lim n + π 4n =. Donc B n n end vers π. Pr le héorème des gendrmes, I n n end ussi vers π. Cee limie es l inégrle cherchée, d près l quesion 3. I + n lim n + n = sin() d = π. 36
38 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble 3 Complémens 3. L pédgogie des sourds-mues Comme l plupr des svns de son emps, John Wllis (66 73) vi de nombreuses cordes à son rc. Pendn plus de 4 ns, il fu le crypogrphe en chef du prlemen puis de l cour royle. Il publi ussi sur l héologie, l héorie de l musique, l circulion du sng, l collision des corps, l logique, l grmmire nglise, ec. Il éi surou un ecellen mhémicien e un formidble clculeur, cpble di-on d erire de êe l rcine crrée d un nombre de plus de 5 chiffres. Son «Arihmeic Infiniorum», publié en 656, préfigure le clcul infiniésiml. Pr des méhodes de clcul de séries, il obien pour l première fois l inégrle des puissnces de l vrible, y compris négives. Il es donc le premier à voir compris que l ire d un domine non borné peu êre finie. r >, dr = r r. Bien sûr, il n eprimi ps le résul sous cee forme, e ses risonnemens éien esseniellemen géomériques. Il es ou de même le premier à voir noé l infini pr le symbole. S conroverse de plus de ns vec Thoms Hobbes ( ) es resée célèbre. Il fu dire que Hobbes ne se coneni ps d voir fondé l philosophie poliique (il es l inveneur de l noion de «conr socil»). Il préendi ussi résoudre les problèmes mhémiques clssiques qu éien l qudrure du cercle e l duplicion du cube, mis vi beucoup ml à reconnîre que ses démonsrions éien fusses. Qund en 66 Wllis enreprend d pprendre l nglis à un sourd-mue, l comprison ne mnque ps de sveur. I m now upon noher work ; s hrd lmos s o mke Mr. Hobbes undersnd demonsrion. I is o ech person dumb nd def o spek, nd o undersnd lnguge : of which he could do eiher, he oher would be more esy ; bu knowing neiher, mkes boh he hrder. And lhough he former my be hough he more difficul, he ler my perhps require s much of ime. For, if considerble ime be requisie for him, h cn spek no one, o lern second lnguge ; much more for him, h knows none, nor hh so much s he dvnge of speech. 3. Un our de psse-psse d Euler En ces emps insoucins où démonrer l convergence d une inégrle vn de l clculer ne veni à l idée de personne, le viruose qu éi Euler ne se privi ps d offrir u monde svn ces perles don son cerveu ferile éi prodigue. Celle-ci pr 37
39 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble eemple, prue u commenires de l Acdémie des Sciences de Sin-Péersbourg en 76. m ( n ) k y m d = dy. ( + y n ) k++ m n Commen vi-il rouvé cel? Fcile qund on s ppelle Euler : il suffi(!) de fire le chngemen de vrible y =. ( + y n ) n (Allez-y, vérifiez... ) Commen Euler s y prend-il pour clculer ces inégrles? Admirez l rise. Il commence pr poser P = α ( n ) γ, d où il ire (nous reproduisons ses epressions) dp = α α d ( n ) γ γn α+n d ( n ) γ. Dns l prie guche, le fceur ( n ) γ es récri en ( n ) γ ( n ) ; les ermes se rérrngen insi. dp = α α d ( n ) γ γn α+n d ( n ) γ. Dernier our de psse-psse : le fceur α+n devien α ( ( n )) : dp = (α + γn) α d ( n ) γ γn α d ( n ) γ. Or P s nnule en e : Euler dédui rois ideniés d inégrles des rois epressions de dp. α α ( n ) γ d = γn α+n ( n ) γ d, α α ( n ) γ d = (α + γn) (α + γn) α+n ( n ) γ d, α ( n ) γ d = γn α ( n ) γ d, Une formule récurrene, e hop, le our es joué! Avec en prime une foule d ideniés relin des rppors d inégrles à des produis infinis... don l convergence ne fisi ps vrimen prie des préoccupions d Euler. 3.3 L courbe de Guss Il eise u moins une dizine de démonsrions différenes du résul suivn. e d = π. 38
40 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble L hisoire de l courbe de Guss remone à Abrhm de Moivre ( ), qui donné l première version du héorème cenrl limie pour le jeu de pile ou fce, en fi une sympoique des probbiliés binomiles. Elle de semble--il de 7, bien que le résul n i éé publié qu en 733. De Moivre lui-même ne donne qu une vleur pprochée de l consne qui pprî dns son résul, don Sirling donner l vleur ece. En fi, ni l un ni l ure n eprimen epliciemen l inégrle de l courbe de Guss, ni ne se préoccupen des quesions de convergence. Il y eu depuis, dns chque mnuel de probbiliés, une démonsrion du résul. L méhode de clcul l plus clssique uilise un chngemen de vrible en coordonnées polires. Elle éé populrisée pr Ch. Surm (83 855), qui l ribue à Poisson. ( π ( ) e d) = e r r dr dθ = = ] + π [ e r π = π. dθ Auprvn, P.S. Lplce (749 87) vi éé le premier en 774 à fournir un clcul rigoureu. L foncion à inégrer én pire, e d = π π e d =. Voici l méhode que Lplce donne dns s «Théorie nlyique des probbiliés». Elle consise à écrire une inégrle double, dns lquelle on effecue le chngemen de vrible y s = y/. ( e d) = = = = = ( ( ( [ + dθ ) e ( +y ) dy d ) e ( (+s ) ds d ) e ( (+s ) d ds ( + s ) e (+s ) ( + s ) ds ] + ds = [ ] + rcn(s) = π 4 39
41 Mhs en Ligne Inégrles convergenes UJF Grenoble L «Méhode des moindres crrés», qui implique l uilision de l disribuion normle dns l esimion pprochée des erreurs, éé publiée en 85 pr Legendre e en 89 pr Guss. Mis Guss préendi à l nériorié : Au rese, ce principe, don nous vons fi usge depuis 795, éé donné dernièremen pr Legendre dns ses Nouvelles méhodes pour l déerminion des orbies des comèes, Pris 85 ; on rouver dns ce ouvrge plusieurs conséquences que le désir d bréger nous fi omere. Cee ciion négligene eu le don d gcer sérieusemen Legendre, qui répliqu. Je ne vous dissimuleri donc ps, Monsieur, que j i éprouvé quelque regre de voir qu en cin mon mémoire..., vous dies principum nosrum... Il n es ucune découvere qu on ne puisse s ribuer en disn qu on vi rouvé l même chose quelques nnées uprvn ; mis si on n en fourni ps l preuve en cin le lieu où on l publiée, cee sserion devien sns obje e n es plus qu une chose désobligene pour le vérible ueur de l découvere. En Mhémiques il rrive rès souven qu on rouve les mêmes choses qui on éé rouvées pr d ures e qui son bien connues ; c es ce qui m es rrivé nombre de fois, mis je n en i poin fi menion e je n i jmis ppelé principum nosrum un principe qu un ure vi publié vn moi. Vous êes ssez riche de [vore] fond, Monsieur, pour n voir rien à envier à personne ; e [je suis] bien persudé u rese que j i à me plindre de l epression seulemen e nullemen de l inenion... Mis Guss persise e signe. Je n vis ps l idée, que M. Legendre pouvi cher n de pri à une idée ussi simple, qu on doi pluô s éonner qu on ne l ps eue depuis ns, pour se fâcher que je rcone, que je m en suis servi vn lui? Le différen n es oujours ps réglé. Sns vouloir jeer de l huile sur le feu, un roisième lrron, beucoup moins connu que les deu précédens, lui ussi publié l méhode des moindres crrés, en 88 sns connîre les rvu des deu ures. Il s gi de Rober Adrin ( ), mhémicien méricin d origine irlndise. Comme le di B. Hyes, One obvious fc is h i cn be very hrd o ge noiced when you re snding on he frher shore of he ocen, no mer how vigorously you wve your rms. Anoher ruh, even more bier, is h i s lso very hrd in hose circumsnces o do nyhing worh noicing. And ye here is more cheerful oulook, les for hose who cn fford o be pien : The world urns, nd evenully he frher shore my become he cener. Schez ussi que Adrin s es fi licencier (à 59 ns) de son pose à l universié, cr il ne prveni ps à minenir l discipline dns ses cours.. B. Hyes : Science on he frher shore Americn Scienis 9(6) p () 4
Intégrales généralisées
3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle
Plus en détailExemples de résolutions d équations différentielles
Exemples de résoluions d équaions différenielles Table des maières 1 Définiions 1 Sans second membre 1.1 Exemple.................................................. 1 3 Avec second membre 3.1 Exemple..................................................
Plus en détailLICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER
LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries
Plus en détailSynthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral
Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (
Plus en détailThéorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann
Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler
Plus en détailCorrection de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (
Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :
Plus en détailLASTO Appuis élastomère
LASTO Appuis élsomère LASTO BLOCK F Appuis de déformion non-rmés Swizerlnd www.mgeb.ch Chmps d pplicion e specs imporns Chmps d pplicion LASTO BLOCK F es un ppui de déformion non-rmé en élsomère qui es
Plus en détailStabilisation des systèmes bilinéaires fractionnaires
Sbilision des sysèmes bilinéires frcionnires Ibrhim N Doye,, Michel Zsdzinski, Nour-Eddine Rdhy, Mohmed Drouch Cenre de Recherche en Auomique de Nncy, UMR 739 Nncy-Universié, CNRS IUT de Longwy, 86 rue
Plus en détailCours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions
Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d
Plus en détailsemestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005
MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................
Plus en détailChapitre VI Contraintes holonomiques
55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce
Plus en détailANNEXES. André de Palma et Cédric Fontan. Thema Transport & Réseaux. Le 26 octobre 2000
Enquêe MADDIF : Mulimoif Adpée à l Dynmique des comporemens de Déplcemen en Ile-de-Frnce ANNEXES André de Plm e Cédric Fonn Them Trnspor & Réseux Le 26 ocobre 2000 Lere de commnde N 99MT20 DRAST Minisère
Plus en détailTexte Ruine d une compagnie d assurance
Page n 1. Texe Ruine d une compagnie d assurance Une nouvelle compagnie d assurance veu enrer sur le marché. Elle souhaie évaluer sa probabilié de faillie en foncion du capial iniial invesi. On suppose
Plus en détailCalculer comment se constituer un capitale ; Calculer comment rembourser une dette en effectuant des versements réguliers.
CHAP: 8 Objecifs de ce chpire : Clculer comme se cosiuer u cpile ; Clculer comme rembourser ue dee e effecu des versemes réguliers. RAPPELS : Qu'es-ce qu'ue vleur cquise? Qu'es-ce qu'ue vleur cuelle? Le
Plus en détailLa rentabilité des investissements
La renabilié des invesissemens Inroducion Difficulé d évaluer des invesissemens TI : problème de l idenificaion des bénéfices, des coûs (absence de saisiques empiriques) problème des bénéfices Inangibles
Plus en détailChapitre 11 : L inductance
Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4
Plus en détailTout ce qu il faut savoir en math
Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion
Plus en détailLes circuits électriques en régime transitoire
Les circuis élecriques en régime ransioire 1 Inroducion 1.1 Définiions 1.1.1 égime saionnaire Un régime saionnaire es caracérisé par des grandeurs indépendanes du emps. Un circui en couran coninu es donc
Plus en détailTD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton)
TD/TP : Taux d un emprun (méhode de Newon) 1 On s inéresse à des calculs relaifs à des remboursemens d empruns 1. On noera C 0 la somme emprunée, M la somme remboursée chaque mois (mensualié), le aux mensuel
Plus en détailFonction dont la variable est borne d intégration
[hp://mp.cpgedpydelome.fr] édié le 1 jille 14 Enoncés 1 Foncion don la variable es borne d inégraion Eercice 1 [ 1987 ] [correcion] Soi f : R R ne foncion conine. Jsifier qe les foncions g : R R sivanes
Plus en détail2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre.
1 Examen. 1.1 Prime d une opion sur un fuure On considère une opion à 85 jours sur un fuure de nominal 18 francs, e don le prix d exercice es 175 francs. Le aux d inérê (coninu) du marché monéaire es 6%
Plus en détailModule 2 : Déterminant d une matrice
L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté
Plus en détailLicence M.A.S.S. Cours d Analyse S4
Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,
Plus en détailCOURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel
COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................
Plus en détailModèles de dimensionnement et de planification dans un centre d appels
Modèles de dimensionnemen e de plnificion dns un cenre d ppels Rbie Ni-Abdllh To cie his version: Rbie Ni-Abdllh. Modèles de dimensionnemen e de plnificion dns un cenre d ppels. Engineering Sciences. Ecole
Plus en détailVA(1+r) = C 1. VA = C 1 v 1
Universié Libre de Bruxelles Solvay Business School La valeur acuelle André Farber Novembre 2005. Inroducion Supposons d abord que le emps soi limié à une période e que les cash flows fuurs (les flux monéaires)
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO
Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................
Plus en détailFinance 1 Université d Evry Val d Essonne. Séance 2. Philippe PRIAULET
Finance 1 Universié d Evry Val d Essonne éance 2 Philippe PRIAULET Plan du cours Les opions Définiion e Caracérisiques Terminologie, convenion e coaion Les différens payoffs Le levier implicie Exemple
Plus en détailFiles d attente (1) F. Sur - ENSMN. Introduction. 1 Introduction. Vocabulaire Caractéristiques Notations de Kendall Loi de Little.
Cours de Tronc Commun Scienifique Recherche Opéraionnelle Les files d aene () Les files d aene () Frédéric Sur École des Mines de Nancy www.loria.fr/ sur/enseignemen/ro/ 5 /8 /8 Exemples de files d aene
Plus en détailChapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction
2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux
Plus en détailCHAPITRE 13. EXERCICES 13.2 1.a) 20,32 ± 0,055 b) 97,75 ± 0,4535 c) 1953,125 ± 23,4375. 2.±0,36π cm 3
Chapire Eercices de snhèse 6 CHAPITRE EXERCICES..a), ±,55 b) 97,75 ±,455 c) 95,5 ±,475.±,6π cm.a) 44,, erreur absolue de,5 e erreur relaive de, % b) 5,56, erreur absolue de,5 e erreur relaive de,9 % 4.a)
Plus en détailCHAPITRE I : Cinématique du point matériel
I. 1 CHAPITRE I : Cinémaique du poin maériel I.1 : Inroducion La plupar des objes éudiés par les physiciens son en mouvemen : depuis les paricules élémenaires elles que les élecrons, les proons e les neurons
Plus en détailChapitre IV Les oscillations couplées «Les oscillations libres d un système à plusieurs degrés de liberté»
Chre IV, cours de vbrons, ondes _Phs, Pr. Bds Bennecer MD 8-9 Chre IV es oscllons coulées «es oscllons lbres d un ssèe à luseurs degrés de lberé» Dns ce chre, nous llons coencer r éuder les oscllons lbres
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailTB 352 TB 352. Entrée 1. Entrée 2
enrées série TB logiciel d applicaion 2 enrées à émission périodique famille : Inpu ype : Binary inpu, 2-fold TB 352 Environnemen Bouon-poussoir TB 352 Enrée 1 sories 230 V Inerrupeur Enrée 2 Câblage sur
Plus en détailANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE
Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr
Plus en détailCaractéristiques des signaux électriques
Sie Inerne : www.gecif.ne Discipline : Génie Elecrique Caracérisiques des signaux élecriques Sommaire I Définiion d un signal analogique page 1 II Caracérisiques d un signal analogique page 2 II 1 Forme
Plus en détailS euls les flux de fonds (dépenses et recettes) définis s ent l investissement.
Choix d ives i s s eme e cer iude 1 Chapire 1 Choix d ivesissemes e ceriude. Défiiio L es décisios d ivesissemes fo parie des décisios sraégiques de l erepris e. Le choix ere différes projes d ivesisseme
Plus en détailMATHEMATIQUES FINANCIERES
MATHEMATIQUES FINANCIERES LES ANNUITES INTRODUCTION : Exemple 1 : Une personne veu acquérir une maison pour 60000000 DH, pour cela, elle place annuellemen au CIH une de 5000000 DH. Bu : Consiuer un capial
Plus en détailANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE
Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailLe mode de fonctionnement des régimes en annuités. Secrétariat général du Conseil d orientation des retraites
CONSEIL D ORIENTATION DES RETRAITES Séance plénière du 28 janvier 2009 9 h 30 «Les différens modes d acquisiion des drois à la reraie en répariion : descripion e analyse comparaive des echniques uilisées»
Plus en détailTurbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances
Turbine hydrulique Girrd simplifiée pour fibles et très fibles puissnces Prof. Ing. Zoltàn Hosszuréty, DrSc. Professeur à l'université technique de Kosice Les sites hydruliques disposnt de fibles débits
Plus en détailToyota Assurances Toujours la meilleure solution
Toyot Assurnces Toujours l meilleure solution De quelle ssurnce vez-vous besoin? Vous roulez déjà en Toyot ou vous ttendez s livrison. Votre voiture est neuve ou d occsion. Vous vlez les kilomètres ou
Plus en détailRecueil d'exercices de logique séquentielle
Recueil d'exercices de logique séquenielle Les bascules: / : Bascule JK Bascule D. Expliquez commen on peu modifier une bascule JK pour obenir une bascule D. 2/ Eude d un circui D Q Q Sorie A l aide d
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détail3- Les taux d'intérêt
3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à 22 1- Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents
Plus en détailSTI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE
L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.
Plus en détailSommaire de la séquence 12
Sommaire de la séquence 12 Séance 1........................................................................................................ Je prends un bon dépar.......................................................................................
Plus en détailCARACTERISTIQUES STATIQUES D'UN SYSTEME
CARACTERISTIQUES STATIQUES D'UN SYSTEE 1 SYSTEE STABLE, SYSTEE INSTABLE 1.1 Exemple 1: Soi un sysème composé d une cuve pour laquelle l écoulemen (perurbaion) es naurel au ravers d une vanne d ouverure
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailRappels théoriques. -TP- Modulations digitales ASK - FSK. Première partie 1 INTRODUCTION
2 IUT Blois Déparemen GTR J.M. Giraul, O. Bou Maar, D. Ceron M. Richard, P. Sevesre e M. Leberre. -TP- Modulaions digiales ASK - FSK IUT Blois Déparemen du Génie des Télécommunicaions e des Réseaux. Le
Plus en détailSéquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire
Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit
Plus en détailPartie 4 : La monnaie et l'inflation
Prtie 4 : L monnie et l'infltion Enseignnt A. Direr Licence 2, 1er semestre 2008-9 Université Pierre Mendès Frnce Cours de mcroéconomie suite 4.1 Introduction Nous vons vu dns l prtie introductive que
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailChapitre 2 L investissement. . Les principales caractéristiques de l investissement
Chapire 2 L invesissemen. Les principales caracérisiques de l invesissemen.. Définiion de l invesissemen Définiion générale : ensemble des B&S acheés par les agens économiques au cours d une période donnée
Plus en détailMathématiques financières. Peter Tankov
Mahémaiques financières Peer ankov Maser ISIFAR Ediion 13-14 Preface Objecifs du cours L obje de ce cours es la modélisaion financière en emps coninu. L objecif es d un coé de comprendre les bases de
Plus en détailF 2 = - T p K 0. ... F T = - T p K 0 - K 0
Correcion de l exercice 2 de l assisana pré-quiz final du cours Gesion financière : «chéancier e aux de renabilié inerne d empruns à long erme» Quesion : rappeler la formule donnan les flux à chaque échéance
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailOscillations forcées en régime sinusoïdal.
Conrôle des prérequis : Oscillaions forcées en régime sinusoïdal. - a- Rappeler l expression de la période en foncion de la pulsaion b- Donner l expression de la période propre d un circui RLC série -
Plus en détailLes soutiens publics à l exportation
A 04/04/13 1 2 0 2 2 0 1 3 c n b p r s o n l i z d s Ls Grnis Publiqus u srvic du dévloppmn inrnionl ds Enrpriss Michl DUTHEIL Dircur régionl Dircion ds grnis publiqus 04/04/13 f o l l o w : V i w / H
Plus en détailNed s Expat L assurance des Néerlandais en France
[ LA MOBILITÉ ] PARTICULIERS Ned s Expa L assurance des Néerlandais en France 2015 Découvrez en vidéo pourquoi les expariés en France choisissen APRIL Inernaional pour leur assurance sané : Suivez-nous
Plus en détailRelation entre la Volatilité Implicite et la Volatilité Réalisée.
Relaion enre la Volailié Implicie e la Volailié Réalisée. Le cas des séries avec la coinégraion fracionnaire. Rappor de Recherche Présené par : Mario Vázquez Velasco Direceur de Recherche : Benoî Perron
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailLe mécanisme du multiplicateur (dit "multiplicateur keynésien") revisité
Le mécanisme du muliplicaeur (di "muliplicaeur kenésien") revisié Gabriel Galand (Ocobre 202) Résumé Le muliplicaeur kenésien remone à Kenes lui-même mais il es encore uilisé de nos jours, au moins par
Plus en détailSciences Industrielles Précision des systèmes asservis Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot
Scence Indutrelle Précon de ytème erv Pncol Robert Lycée Jcque Amyot I - PRECISION DES SYSTEMES ASSERVIS A. Poton du roblème 1. Préentton On vu que le rôle d un ytème erv et de fre uvre à l orte (t) une
Plus en détail- Phénoméne aérospatial non identifié ( 0.V.N.I )
ENQUETE PRELIMINAIRE ANALYSE ET REFEREWCES : Phénoméne érosptil non identifié ( 0VNI ) B8E 25400 DEF/GEND/OE/DOlRENS du 28/9/1992 Nous soussigné : M D L chef J S, OPJ djoint u commndnt de l brigde en résidence
Plus en détailSYSTÈME HYBRIDE SOLAIRE THERMODYNAMIQUE POUR L EAU CHAUDE SANITAIRE
SYSTÈME HYBRIDE SOLAIRE THERMODYNAMIQUE POUR L EAU CHAUDE SANITAIRE Le seul ballon hybride solaire-hermodynamique cerifié NF Elecricié Performance Ballon hermodynamique 223 lires inox 316L Plaque évaporarice
Plus en détailDocumentation Technique de Référence Chapitre 8 Trames types Article 8.14-1
Documenaion Technique de Référence Chapire 8 Trames ypes Aricle 8.14-1 Trame de Rappor de conrôle de conformié des performances d une insallaion de producion Documen valide pour la période du 18 novembre
Plus en détailIntégration de Net2 avec un système d alarme intrusion
Ne2 AN35-F Inégraion de Ne2 avec un sysème d alarme inrusion Vue d'ensemble En uilisan l'inégraion d'alarme Ne2, Ne2 surveillera si l'alarme inrusion es armée ou désarmée. Si l'alarme es armée, Ne2 permera
Plus en détailMTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie. MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
VARIABLES ALÉATOIRES déo oco de réro vrble léore dscrèe moyee - vrce - écr ye esérce mhémque vrble léore coue oco d ue vrble léore : rsormo combso lére de vrbles léores Déo E : eérece léore S : esce échllol
Plus en détailLANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES
LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES Mrie-Pule Muller Version du 14 juillet 2005 Ce cours présente et met en oeuvre quelques méthodes mthémtiques pour l informtique théorique. Ces notions de bse pourront
Plus en détailEcole des HEC Université de Lausanne FINANCE EMPIRIQUE. Eric Jondeau
Ecole des HEC Universié de Lausanne FINANCE EMPIRIQUE Eric Jondeau FINANCE EMPIRIQUE La prévisibilié des rendemens Eric Jondeau L hypohèse d efficience des marchés Moivaion L idée de base de l hypohèse
Plus en détailCH.6 Propriétés des langages non contextuels
CH.6 Propriétés des langages non contetuels 6.1 Le lemme de pompage 6.2 Les propriétés de fermeture 6.3 Les problèmes de décidabilité 6.4 Les langages non contetuels déterministes utomates ch6 1 6.1 Le
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détail3 POLITIQUE D'ÉPARGNE
3 POLITIQUE D'ÉPARGNE 3. L épargne exogène e l'inefficience dynamique 3. Le modèle de Ramsey 3.3 L épargne opimale dans le modèle AK L'épargne des sociéés dépend largemen des goûs des agens, de faceurs
Plus en détailSINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases
SINE QUA NON Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases Sine qua non est un logiciel «traceur de courbes planes» mais il possède aussi bien d autres fonctionnalités que nous verrons tout
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailL'algèbre de BOOLE ou algèbre logique est l'algèbre définie pour des variables ne pouvant prendre que deux états.
ciences Industrielles ystèmes comintoires Ppnicol Roert Lycée Jcques Amyot I - YTEME COMBINATOIRE A. Algère de Boole. Vriles logiques: Un signl réel est une grndeur physique en générl continue, on ssocie
Plus en détailTRAVAUX PRATIQUES N 5 INSTALLATION ELECTRIQUE DE LA CAGE D'ESCALIER DU BATIMENT A
UIMBERTEAU UIMBERTEAU TRAVAUX PRATIQUES 5 ISTALLATIO ELECTRIQUE DE LA CAE D'ESCALIER DU BATIMET A ELECTROTECHIQUE Seconde B.E.P. méiers de l'elecroechnique ELECTROTECHIQUE HABITAT Ver.. UIMBERTEAU TRAVAUX
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailCalcul Stochastique 2 Annie Millet
M - Mahémaiques Appliquées à l Économie e à la Finance Universié Paris 1 Spécialié : Modélisaion e Méhodes Mahémaiques en Économie e Finance Calcul Sochasique Annie Mille 15 14 13 1 11 1 9 8 7 6 5 4 3
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détail2009-01 EFFICIENCE INFORMATIONNELLE DES 1948-2008 UNE VERIFICATION ECONOMETRIQUE MARCHES DE L OR A PARIS ET A LONDRES, DE LA FORME FAIBLE
009-01 EFFICIENCE INFORMATIONNELLE DES MARCHES DE L OR A PARIS ET A LONDRES, 1948-008 UNE VERIFICATION ECONOMETRIQUE DE LA FORME FAIBLE Thi Hong Van HOANG Efficience informaionnelle des marchés de l or
Plus en détailÉCONOMIQUE ET MÉCANIQUE LÉON WALRAS
ÉCONOMIQUE ET MÉCANIQUE LÉON WALRAS (1909) Bullein de l Sociéé Vudoise de Sciences Nurelles Vol. 45 p.313-325. [Noe on Elecronic Ediion: This is n elecronic version of Léon Wlrs's ricle "Économique e Mécnique"
Plus en détailLa médiatrice d un segment
EXTRT DE CURS DE THS DE 4E 1 La médiatrice d un segment, la bissectrice d un angle La médiatrice d un segment Définition : La médiatrice d un segment est l ae de smétrie de ce segment ; c'est-à-dire que
Plus en détailCOURS GESTION FINANCIERE A COURT TERME SEANCE 3 PLANS DE TRESORERIE. François LONGIN www.longin.fr
COURS GESTION FINANCIERE A COURT TERME SEANCE 3 PLANS DE TRESORERIE SEANCE 3 PLANS DE TRESORERIE Obje de la séance 3 : dans la séance 2, nous avons monré commen le besoin de financemen éai couver par des
Plus en détail5.2 Théorème/Transformée de Fourier a) Théorème
. Théorème de Fourier et Transformée de Fourier Fourier, Joseph (788). Théorème/Transformée de Fourier a) Théorème Théorème «de Fourier»: N importe quelle courbe peut être décomposée en une superposition
Plus en détailAMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN REGIME NON LINEAIRE
AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN REGIME NON LINEAIRE Dans e hapire l'amplifiaeur différeniel inégré sera oujours onsidéré omme parfai, mais la ension de sorie ne pourra prendre que deux valeurs : V sa e V
Plus en détailSéquence 2. Pourcentages. Sommaire
Séquence 2 Pourcenages Sommaire Pré-requis Évoluions e pourcenages Évoluions successives, évoluion réciproque Complémen sur calcularices e ableur Synhèse du cours Exercices d approfondissemen 1 1 Pré-requis
Plus en détailMIDI F-35. Canal MIDI 1 Mélodie Canal MIDI 2 Basse Canal MIDI 10 Batterie MIDI IN. Réception du canal MIDI = 1 Reproduit la mélodie.
/ VARIATION/ ACCOMP PLAY/PAUSE REW TUNE/MIDI 3- LESSON 1 2 3 MIDI Qu es-ce que MIDI? MIDI es l acronyme de Musical Insrumen Digial Inerface, une norme inernaionale pour l échange de données musicales enre
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détail