Au sommaire : Des généralités. Polynôme d'endomorphisme. Polynômes minimal d'un endomorphisme. Valeur et vecteur propres. Sous-espace propre.

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1 - De la réducto des edomorphsmes - Ce cours a été rédgé e ovembre 994 alors que e préparas l'agrégato de mathématques et ms à our e u et ullet 2. Das le cas où l comporterat des erreurs, merc de me les sgaler. Il est exclusvemet ms e lge par le ste "la tavere de l'irladas" ( Ce cours est du veau Math Spé / début de Lcece. Au sommare : Des gééraltés. Polyôme d'edomorphsme. Polyômes mmal d'u edomorphsme. Valeur et vecteur propres. Sous-espace propre. Des théorèmes de décomposto des oyaux d'hlbert/drac et de Cayley-Hamlto. 2. Théorème de décomposto des oyaux. 2.2 Théorème de décomposto des oyaux gééralsé. Polyôme caractérstque d'u edomorphsme. 2.3 Théorème de Cayley-Hamlto. 2.4 Théorème de Hlbert-Drac. Des edomorphsmes dagoalsables et de leur dagoalsato. 3. Edomorphsme dagoalsable. 3.2 Caractérsato de dagoalsato avec le polyôme mmal. 3.3 Caractérsato de dagoalsato avec le polyôme caractérstque. 3.4 Edomorphsme à spectre smple. Des edomorphsmes trgoalsables et de leur trgoalsato. Sous-espace caractérstque ou spectral. 4. Edomorphsme trgoalsable. 4.2 Caractérsato de trgoalsato avec le polyôme mmal. 4.3 Edomorphsme lpotet. 4.4 Trgoalsato des edomorphsmes lpotets. 4.5 Caractérsato de trgoalsato avec le polyôme caractérstque. 4.6 Décomposto de Fttg. Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

2 - De la réducto des edomorphsmes - Des gééraltés. Das tout ce qu sut K désgera u corps quelcoque et E u espace vectorel sur K de dmeso quelcoque et doc o écessaremet fe. O parlera à ce suet de K-ev. Rappelos qu'u edomorphsme de K-ev est ue applcato K-léare d'u K-ev sur lu-même! O otera L(E la K-algèbre des edomorphsmes sur E. De plus s A est u sous-esemble de E et u L(E, alors : Dre que A est stable par u sgfe que u(a A. Dre que A est varat par u sgfe que u(aa. Proposto. : S u et v sot deux edomorphsmes de E et qu'ls commutet (c'est-à-dre uov vou alors Ker(u et Im(u sot stables par v. E effet s x Ker(u alors u(x d'où u(v(x v(u(x d'où v(x Ker(u. De plus s x Im(u alors y E tel que u(y x. C e qu doe que v(x v(u(y u(v(y. Doc v(x Im(u. Polyômes d'edomorphsmes. Sot P K[X] u polyôme à coeffcets das K. O appelle le degré de P. O covedra que : P a. X. Pour tout edormphsme u sur E et pout tout eter aturel, la pussace -ème de l'edormorphsme est l'edormorphsme déf par : u u u $... $ u $ fos La pussace de l'edomorphsme u est l'applcato detque sur E otée Id E. Ayat défe la pussace etère d'u edomorphsme, l est possble de parler d'mage de celu-c par u polyôme P. P(u est l'edomorphsme de E déf par : P (u a.. Notos K[u] l'esemble des polyômes d'edomorphsmes obteus à substtuat à l'détermée X l'edomorphsme u. K[u] est ue sous-k-algèbre utare et commutatve (pour la composto de l'algèbre (L(E, +, o,.. Dre que P K[X] est u polyôme aulateur de u sgfe que P(u (C'est-à-dre l'applcato ulle. L'esemble des polyômes aulateurs de u formet u déal de K[X]. Comme K est u corps, K[X] est alors u aeau prcpal. Tout déal de celu-cest doc moogèe. Il exste u P K[X] egedrat cet déal. Ce P est uque à la multplcato par u élémet de K près. Pour fxer les dées, o pred P utare. Ce derer est alors appelé (s'l est o ul polyôme mmal de u. O otera m u ce polyôme. u Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

3 - De la réducto des edomorphsmes - E dmeso fe ce polyôme exste touours et l est touours o ul. E effet s ce 'état pas le cas, l exsterat u x E tel qur P K[X]\{} P(u. (x E. u (x costtuerat ue famlle lbre à -élémets. Autremet dt pour tout eter la famlle ( {..} Ce qu das u K-ev de dmeso fe ferat légèremet désordre... De plus s u admet u polyôme mmal (sous-etedu o ul alors o appelle spectre de l'edomorphsme u ecore oté Sp(u l'esemble des valeurs propres de u. Il est clar que s u et v L(E commutet alors P et Q K[X], P(u et Q(u commutet. Tout cela se passat das L(E. Valeurs, vecteurs et sous-espaces propres. Sot u L(E. O dt alors que : Dre que x E\{E} est u vecteur propre de u sgfe qu'l exste λ K tel que u(x λ.x. O dt alors que λ est la valeur propre assocée à x. S λ est ue valeur propre pour u alors l'esemble {x E tel qur u(x λ. x} qu est auss Ker(u -λ. IdE. C'est le sous-espace propre assocé à la valeur propre λ. Das la sute, o otera E λ le sous-espace propre assocé à la valeur propre λ. Comme o le verra plus tard, toute valeur propre de u aule le polyôme caractérstque de u. Par ce qu a été dt précédemmet s u et v L(E commutet alors tout sous-espace propre de u est stable par v (et vs et versa. Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

4 - De la réducto des edomorphsmes - 2 Théorèmes de décomposto des oyaux d'hlbert/drac et de Cayley-Hamlto. Das ce paragraphe, ous allos éocer et prouver les théorèmes essetels sur lesquels s'appuet tout ce qu suvra. Théorème 2. de décomposto des oyaux. Sot Q et R K[X] deux polyômes premers etre eux. O appelle P leur produt. S u L(E alors Ker P(u Ker Q(u Ker R(u. La preuve : Nous avos deux choses à prouver : d'abord ue somme drecte pus ue égalté d'esembles. Pour commecer o va motrer que cette somme est drecte. S x Ker Q(u Ker R(u alors Q(u.(x R(u.(x. Comme K[X] est u aeau prcpal et que Pgcd(Q, R K, e applcato du théorème de Bezout l exste deux polyômes U et V K[X] tel que U.Q + V.R K. Il vet doc que : U(uoQ(u+V(uoR(u IdE. Et plus partculèremet pour otre x, l vet que : x U(uoQ(u.(x + V(uoR(u.(x Or Q(u.(x R(u.(x. Par sute l vet doc que x. D'où Ker Q(u Ker R(u {}. Autremet dt la somme de Ker Q(u et de Ker R(u est drecte. C'est-à-dre ce qu'o voulat! Motros à préset l'égalté des deux s-ev de E. Comme drat le sage: "Motrer ue égalté, c'est motrer ue double cluso!" ( : Sot x Ker P(u. Par ce qu précède, o peut écrre que : x Q(u.(U(u. (x + R(u.(V(u. (x. O appelle x le premer terme de cette somme et x 2 le secod. O peut écrre que : R(u.( x P(uoU(u.(x U(uoP(u.(x doc x Ker R(u. De même : Q(u.( x 2 P(uoV(u.(x V(uoP(u.(x d'où x 2 Ker Q(u. Et cela car tout commute! (Vor f du premer paragraphe. As x x + x 2 fat-l parte écessaremet de Ker Q(u Ker R(u. ( : S x Ker Q(u alors P(u.(x R(u.(Q(u.(x. As Ker Q(u est-l clus Ker P(u. Il e va de même pour Ker R(u. Combat ces deux choses, l vet que : Ker Q(u Ker R(u Ker P(u. La double cluso ous doe l'égalté et par là-même le théorème! O peut faclemet gééralser le théorème de décomposto des oyaux à u produt quelcoque de polyômes premers etre eux. As : Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

5 - De la réducto des edomorphsmes - Corollare 2.2 (théorème des oyaux gééralsé. S P P avec les P premers etre eux deux à deux alors Ker P(u Ker P. Polyôme caractérstque et théorème de Cayley-Hamlto. Das tout ce qu sut E sera de dmeso fe que l'o otera. e ue base de E. Sot ( {.. } Le polyôme caractérstque de l'edomorphsme u est oté χu et déft par : χ u det [ X.Id Mat ( u, ] E ( e {.. } Le polyôme caractérstque de u e déped pas de la base chose pour y exprmer sa matrce. e à E effet s ( f {.. } est ue autre base de E et que l'o ote P la matrce de passage de ( {.. } celle-c alors comme das toute base la matrce d'ide est la matrce detté, o a que : det [. P] - [ X. Id - Mat( u, (f ] det P. ( X. Id - Mat( u, (e E det(p det -. det(p. det [ X. Id - Mat( u, (e ] [ X. Id - Mat( u, (e ] χu est u polyôme utare de degré. De plus s'l est etèremet scdé, c'est-à-dre s'l a ses races comptées avec leur ordre de multplcté das K que l'o ote λ,..., λ alors o a que Tr(u λ où Tr est la trace de u (e fat de la matrce de u das ue certae base. O otera là ecore la trace d'u edomorphsme e déped pas de la base chose pour l'y exprmer. Cec car vu que pour toutes matrces A et B, Tr(A. B Tr(B. A.. Quoqu'l e sot, s'l est etèremet scdé et e coservat les mêmes otatos, o a que : χu (X λ X + (.s ( λ,..., λ où les s sot les polyômes symétrques élémetares de K[X,..., X ]. E partculer le terme costat de χu est-l égal à (-. det(u. De plus s λ est ue valeur propre de u alors det[. Id - Mat( u, (e ].X λ. Cec car E λ 'est alors pas rédut à {}. Autremet dt λ est race de χu le polyôme caractérstque de u. Récproquemet s λ K est ue race de ce polyôme caractérstque χu alors det[ λ. Id - u]. Doc l'edomorphsme λ.ide - u 'est pas ectf. Ce qu mplque que λ est ue valeur propre de u. E résumé, ous avos l'équvalece : λ valeur propre de u λ est ue race de χu. Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

6 - De la réducto des edomorphsmes - Théorème 2.3 de Cayley-Hamlto. Tout edomorphsme aule so polyôme caractérstque. As tout polyôme mmal d'u edomorphsme dvse le polyôme caractérstque de celu-c. La preuve : La démostrato que ous feros 'est valable qu'e dmeso fe. Avat d'etamer la maoeuvre prcpale, ous allos prouver u pett lemme. Avat cec, rappelos certaes choses. E est u espace vectorel sur K de dmeso. M(K est la K-algèbre des matrces carrées à lges (doc coloes. S M M (K alors la comatrce de M otée Com(M est la matrce formée des cofacteurs de M. C'est-à-dre que et {.. } : + ( Com(M (-. où A,, det(a, est la matrce dédute de M e supprmat la lge et la coloe. La cotrasposée de M est alors la trasposée de la comatrce. O ote souvet celle-c Le lemme qu ous adera das otre quête de l'éclatate vérté est le suvat : Lemme : S (C {.. } et (D {.. } M (K sot telles que das l'aeau M (K[X] l'o at l'égalté X.C X.D alors {.. } C D. Nous allos démotrer ce lemme. Pour tout eter {.. }, o appelle la matrce C. As : De la même faço, M. c, ( le coeffcet de la ème lge et de la ème coloe de C ( c, ( et {..} d, ( désge le coeffcet ( ; de la matrce D. Et là ecore : D ( d, ( et {..} O peut alors écrre que et {.. } das K[X], o a l'égalté : c, (.X d, (. X Ce qu se tradut égalemet par le fat que {.. }, et {.. } c, ( d, ( Autremet dt C D. C'est-à-dre le lemme que ous voulos! Reveos mateat à otre théorème. Notos M la matrce de u das ue base B quelcoque de E. O pose T X. Id - M. Cosdéros T la cotrasposée de T. Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

7 - De la réducto des edomorphsmes - Comme T est ue matrce carrée à lges o pose T (P, et {.. }. P, état le détermat d'ue matrce d'ordre - dot chacu des coeffcets est u polyôme de degré au plus égal à, celu-c est doc u polyôme de degré au plus égal à -. Cec compte teu de ce qu'est le détermat, D'alleurs et {.. } o écrt P, sous la forme : P c (. X. De plus {.. -} o appelle C la matrce (, ( et {..} Il va sas dre que C M(K. O a alors que :, T, c. X. C. Pour compléter la sauce o pose C C (Compreez la matrce ulle. Or le produt d'ue matrce par la trasposée de la comatrce doe le détermat de cette matrce multplé par Id. Par sute vu que det[ X. Id - u] χu χ, l vet que : u. Id T.T X.C.( X.Id M X.(C C.M E applcato de otre lemme, s χu a. X alors {.. } Id C C. M. Ce qu s'exprme ecore par : As : a.m M ( C C.M M. (C C M (K C.M.M.M Et doc falemet χu(u. C'est-à-dre que u aule so polyôme caractérstque et doc ce derer est dvsble par le polyôme mmal. Note : Ce théorème 'est valable que lorsque E est de dmeso fe. D'alleurs la preuve a été fate das le seul cas d'u K-ev de dmeso fe. S Cayley-Hamlto état valable e dmeso quelcoque alors tout edomorphsme admettrat polyôme mmal o ul. Ce qu etre ous est lo d'être la cas. C.M + Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

8 - De la réducto des edomorphsmes - E effet das le K-espace vectorel K[X], l'edomorphsme u : K [X] K[X] est lo d'admettre u u polyôme l'aulat. P Théorème 2.4 de Hlbert/Drac. S λ est ue valeur propre de u alors pour tout polyôme P, P(λ est ue valeur propre de l'edomorphsme P(u. Ce théorème auss smple que pussat découle du fat que N u(x λ. x. A l'opposé du théorème de Cayley-Hamlto, l est valable e dmeso quelcoque. Le théorème de Hlbert-Drac codut à ce que toute valeur propre pour u certa edomorphsme est race de tout polyôme l'aulat. Plus gééralemet, os deux théorèmes sot valables sur tout A-module. La seule restrcto à apporter l'est pour Cayley-Hamlto. Le A-module devat être de rag f. Et A s possble prcpal, be que là ce e sot pas absolumet écessare! P' Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

9 - De la réducto des edomorphsmes - 3 Des edomorphsmes dagoalsables et de leur dagoalsato. Das ce paragraphe E e sera pas écessaremet de dmeso fe. Défto 3. : Dre que qu'u edomorphsme u de E est dagoalsable sgfe que E est somme drecte de ses sous-espaces propres. Das ce paragraphe, ous allos vor à quelles codtos sur so polyôme mmal ou so polyôme caractérstque, u edomorphsme est-l dagoalsable. Ce qu e dmeso fe équvaut au fat que E admette ue base de vecteurs propres pour u. Cela équvaut égalemet au fat qu'l exste ue base de E das laquelle la matrce de u est dagoale. De plus cette matrce est sur sa dagoale formée exclusvemet de valeurs propres de u. Récproquemet s u admet u polyôme mmal alors toute race de mu est ue valeur propre de u. E effet s λ est ue race de mu qu est le polyôme mmal de u, alors l exste u polyôme Q de degré strctemet féreur à celu de mu tel que : m u (X-λ. Q. De plus, comme m u est le polyôme mmal de u alors Q 'aule pas u. Autremet dt l exste x E\{} tel que Q( u.( x. De là vu que m u (u.(x, l vet que : (X-λ.(u.(Q(u. x u(q(u.(x - λ. ( Q(u.(x. Autremet dt Q(u. x qu est o ul est u vecteur propre de u pour la valeur propre qu'est λ. D'où ce qu'o voulat! As s u admet u polyôme mmal mu alors o a l'équvalece : λ est ue valeur propre de u λ est ue race de m u. Ce qu etre ous assure que pour tout edomorphsme admettat u polyôme mmal (ou même au mos u polyôme aulateur o ul le ombre de vecteurs propres est f. Caractérsato des edomorphsmes dagoalsables à l'ade de leur polyôme mmal. Tour repose sur le théorème suvat qu est valable e dmeso quelcoque. Théorème 3.2 : E est ue K-espace vectorel de dmeso quelcoque. u est u edomorphsme de E admettat u polyôme mmal. Alors l y a équvalece etre : ( u est dagoalsable. ( Il exste u polyôme P scdé sur K (c'est-à-dre dot toutes les races sot das K dot toutes les races sot smples et aulat u. ( m u le polyôme mmal de u est scdé sur K et 'a que des races smples. La preuve : Af d'établr l'équvalece etre les tros assertos, ous allos tourer e rod e les mplquat l'ue par rapport à l'autre! Illustrato. ( ( : S u est dagoalsable alors E est somme drecte des sous-espaces propres de u. C'est-à-dre que s o ote λ,..., λ les valeurs propres de u, o a alors que : E Ker( u - λ. IdE... Ker( u - λ. IdE Sot alors le polyôme P déf par : P(X Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés. ( X λ

10 - De la réducto des edomorphsmes - P est u polyôme scdé sur K et à races smples. De plus o a que : P(u ( u - λ. IdE o...o( u - λ. IdE Vu qu'l y a ue somme drecte, x E, {... } l exste u et u seul x Ker ( u - λ. IdE tel que x. x A partr de là, vu que s Q et R sot deux polyômes alors les edomorphsmes Q(u et R(u commutet, l vet que {.. } P(u.(x (u λ.ide.(u(x λ.x (u λ Comme P(u est ue applcato K-léare, alors : As P aule u d'où l'asserto (. P(u.(x P(u.(x ( ( : S P est u polyôme aulateur de u, scdé sur K et 'ayat que des races smples alors par ce qu a été dt précédemmet m u dvse P. Doc les races de m u sot égalemet des races de P. Autremet dt m u est scdé sur K et 'a que des races smples (s ce 'état pas le cas alors P e pourrat être scdé et/ou 'avor que des races smples. ( ( : S m u est scdé sur K et 'a que des races smples alors m u s'écrt sous la forme : m u (X λ avec les λ deux à deux dstctes. Autremet dt et {.. } les polyômes X-λ et X-λ J sot premers etre eux s. E applcato du théorème 2.2 de décomposto des oyaux, l vet que : Ker P(u E Ker (u λ Or l'o a vu précédemmet qu'l y avat équvalece etre λ race de mu et λ valeur propre de u. Autremet dt E est somme drecte des sous-espaces propres de u ce qu équvaut que u est dagoalsable. Ce qu ous doe l'asserto (..Id E..Id E.( Ue asserto e mplquat ue autre, ous avos démotré le théorème! Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

11 - De la réducto des edomorphsmes - Caractérsato des edomorphsmes dagoalsables à l'ade du polyôme caractérstque. Ce sous-paragraphe e cocere que les K-espace vectorel de dmeso fe. Théorème 3.3 : E est K-espace vectorel de dmeso fe. Dre que l'edomorphsme u de E est dagoalsable équvaut à dre que so polyôme caractérstque χ est scdé et pour toute valeur propre λ de u, la dmeso du sous-espace propre assocé à λ et oté u E est égale à la multplcté λ pour λ χ u. (.e dm E λ m(λ. Note : ce théorème a be u ses car o a vu précédemmet qu'l y avat équvalece etre λ race de χu et λ valeur propre de u. La preuve : Pour démotrer l'équvalece de ce théorème, ous allos ue double mplcato. ( : S u est dagoalsable alors s o désge par λ,..., λ les valeurs propres alors l exste ue base B de vecteurs propres pour u das laquelle la matrce de u est dagoale et e compte sur celle-c que des valeurs propres de u. E clar : λ... λ λ 2 Mat (u,b... λ... λ Cette matrce s'écrt auss s {,..., } α désge le ombre de fos que λ fgure das celle-c : λ.idα... λ.id α... Mat(u, B λ.idα De plus {,..., } o a que : dm Eλ α Par sute comme le polyôme caractérstque de u est dépedat de la base chose pour exprmer la matrce de u, l vet alors que : (X λ.idα... (X λ.id χ α... det(x.id Mat(u,B 2 2 u (X λ.idα D'où : χ u Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés. α ( X (X λ. Autremet dt χu est scdé sur K et la multplcté de chaque valeur propre de u est égale à la dmeso du sous-espace propre attaché à celle-c. D'où cette premère mplcato! ( : Récproquemet s o a l'asserto de drote alors comme das la preuve du théorème 3.3 quat o motre que ( (, la somme des sous-espaces propres de u est drecte. Cec à cause du théorème de décomposto des oyaux et de l'équvalece : λ valeur propre de u λ race de χu.

12 - De la réducto des edomorphsmes - Appelos F le sous-espace de E somme drecte des sous-espaces propres de u. O peut dre que : dm (F m ( λ où s x est ue race de χu alors m(x désge la multplcté de celle-c. Vu que χu est de degré (la dmeso de E, l vet alors que : dm (F. Or des sous-espaces vectorels de E de même dmeso que lu, l 'y e a qu'u : C'est E lu-même! Autremet dt E est somme drecte de ses sous-espaces propres. Ce qu sgfe ecore que u est dagoalsable. D'où la f de otre calvare! Avat de coclure ce paragraphe, ous allos éocer u derer théorème valable e dmeso fe. Il cocere les edomorphsmes à spectre smple c'est-à-dre à ceux dot le spectre cotet élémets (dstcts s est la dmeso de E. Théorème 3.4 : E est u K-espace vectorel de dmeso fe. u est u edomorphsme de E. S u est à spectre smple alors l est dagoalsable et chacu de ses sous-espaces propres est ue drote vectorelle (c'est-à-dre u K-sev de dmeso. Que u sot dagoalsable découle du fat que χu est u polyôme aulateur de u ayat races dstctes. C'est d'alleurs par la même occaso le polyôme mmal! La dmeso des sous-espaces propres ous est doé par le précédet théorème 3.3. Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

13 - De la réducto des edomorphsmes - 4 Des edomorphsmes trgoalsables et de leur trgoalsato. Das tout ce qu sut E sera écessaremet u K-espace vectorel de dmeso fe. Au terme "trgoalsato", certas préfèret le mot "tragularsato". Sous-espaces caractérstques d'u edomorphsme. Sot λ K. Pour tout eter aturel, o ote E λ, le oyau de l'edomorphsme dre l'edomorphsme u - λ. IdE composé fos. E clar o a doc que : La sute λ, N E λ, Ker (u - λ. IdE (E as formée est ue sute crossate pour l'cluso. (u - λ. Id E c'est-à- Fastoche à vérfer comme l s'agt d'edomorphsme! De plus cette sute est statoare. S ce 'état pas le cas o pourrat extrare de cette sute ue soussute (Eλ tel que dm Eλ < dm λ., N, E, + Autremet dt pour tout eter aturel p, o pourrat costrure u sous-espace de E de dmeso p. Or E est de dmeso fe et l coffe tout ce pett mode. Doc otre sute est écessaremet statoare. O ote alors F λ (u le sous-espace déf par : F (u λ N Autremet dt c'est la lmte de otre sute. F λ (u est alors ce que l'o appelle le sous-espace caractérstque de u pour le scalare λ. Note : A l'star des sous-espaces propres, o abrège souvet F λ (u par F λ lorsque l'edomorphsme suggéré e fat pas de doute. E λ, S F λ (u est o rédut à {} alors λ est ue valeur propre de u. λ.id E état égal à {} alors x E\{} u( x λ. x. Doc pour tout eter aturel, l'espace E λ, serat rédut à {}. F (u E effet s l'espace E (u Ker( u λ Ce qu mplquerat otammet que { } λ. Récproquemet s λ est ue valeur propre de u alors comme Eλ (u Fλ (u alors F λ (u est o rédut à {}. E résumé, ous avos doc établ l'équvalece suvate : F λ (u est o rédut à {} λ est ue valeur propre de u. Das ces cas là, o dt que F λ est le sous-espace caractérstque ou spectral de u assocé ou rattaché à la valeur propre λ. Le plus pett eter tel que Eλ, Fλ est l'dce de la valeur propre λ. Cet dce 'est e fat, re d'autre que la multplcté de la valeur propre λ das mu, le polyôme mmal de u. O otera celle-c (λ. Motros ce résultat! Motros d'abord que (λ. Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

14 Appelos uλ - De la réducto des edomorphsmes - l'edomorphsme dut par u sur F λ. E clar, u u. Le polyôme mmal de u λ dvse celu de u. Cec car mu (u λ et tous les déaux de K[X] sot moogèes. Comme Fλ Ker (u - λ. IdE Cec à cause du chox de. Par sute, Doc (λ., o peut alors écrre que λ Fλ (X - λ est le polyôme mmal de u λ. (X - λ dvse écessaremet m u.doc e peut excéder la multplcté de la race λ. Supposos à préset que (λ sot strctemet supéreur à. O aurat alors que : Ker (u - λ. Id De plus, l exsterat u polyôme o ul Q tel que De part so costtuto, Q serat premer avec ( λ E Ker (u - λ. IdE ( λ mu (X - λ ( λ.q (X - λ et doc auss avec ( λ O aurat alors que les sommes Ker Q(u + Ker (u - λ. Id E et drectes. La premère est égale à Ker m c'est-à-dre E. De plus vu que égale à E. Ker (u - Autremet dt e la persoe de degré féreur à celu de u ( λ λ. IdE Ker (u - λ. IdE (X - λ Ker Q(u (X - λ. + Ker (u - λ. Id E seraet, l vedrat que la secode somme serat auss. Q, ous auros trouvé u polyôme aulateur de u de m u, le polyôme mmal de u. Ce qu 'est hélas pas possble! Par sute l vet doc que 'est pas strctemet féreur à (λ et doc que : (λ. C'est-à-dre ce qu'o voulat! De plus s λ,..., λ sot les valeurs propres de l'edomorphsme u alors la somme de tous les sousespaces caractérstques qu y sot attachés, est drecte. E effet comme toutes ses valeurs propres sot dstctes alors pour tous eters aturels o uls p et q, pour tout couple (, {,..., } avec les polyômes p (X - λ et q (X - λ sot premers etre eux. E partculer lorsque p et q sot des dces de valeur propre, par le théorème 2.2 de décomposto des oyaux, l vet que la somme F est drecte. λ Ce qu s'exprme ecore que les sous-espaces eux. F λ,...., A préset, ous pouvos défr ce qu'est u edomorphsme trgoalsable. F λ sot léaremet dépedats etre Défto 4. : E est K-espace vectorel. Dre que l'edomorphsme u de E est trgoalsable sgfe que E est somme drecte des sous-espaces caractérstques de u. Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

15 - De la réducto des edomorphsmes - O otera que la oto d'edomorphsme trgoalsable 'est e gééral pas extesble e dmeso quelcoque. S toutefos les sous-espaces caractérstques sot pour ue raso de dmeso fe, l serat alors evsageable de défr la oto e questo. S u 'est pas trgoalsable alors sur chacu de ses sous-espaces caractérstques F λ, cet edomorphsme u s'écrt sous la forme : u λ. IdF + vλ où v λ est u edomorphsme de F λ Il e est as car e posat F λ. As : lpotet d'dce. λ λ v λ u λ.idf, o motre que vλ du fat de la défto même de S u est trgoalsable alors v λ est lpotet d'ordre (λ. Ef, comme u et ( u - λ. Id E commutet, alors F λ est stable par u. Toutes les élémets prélmares ayat été abordés, ous allos vor commet caractérser u edomorphsme trgoalsable à partr de so polyôme mmal pus à partr de so polyôme caractérstque. Caractérsato des edomorphsmes trgoalsables à l'ade du polyôme mmal. Tout repose sur le théorème suvat que voc : Théorème 4.2 : E est u K-espace vectorel de dmeso fe. u est u edomorphsme de E. Il y a équvalece etre : ( u est trgoalsable. ( Il exste u polyôme aulateur de u qu est scdé sur K. ( mu est scdé sur K. La preuve : Parellemet à ce qu a été fat pour le théorème 3.2 aalogue de dagoalsato, ous allos établr u cercle de tros mplcatos. ( ( : Soet λ,..., O appelle alors,..., l Itéressos-ous au polyôme P(X λ l les valeurs propres de u. O supposera les avor prs dstctes! les dces respectfs de ces valeurs propres. l ( X λ. O peut écrre que pour tout {,..., l}, o a : x F λ (u - λ. Id. (x Doc x F λ, P (u.(x. E Par sut,e P(u état u edomorphsme de E et E état somme drecte de ses sous-espaces caractérstques, l vet que : x E, P(u.(x. Autremet dt, P est u polyôme aulateur de u qu est scdé d'où (. Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

16 - De la réducto des edomorphsmes - ( ( : O a alors que mu dvse P u polyôme aulateur de u qu est scdé sur K. Nécessaremet o a alors que mu est scdé. ( ( : S λ,..., λ l sot les valeurs propres de u, o a alors compte teu de ce qu a été dt précédemmet et vu que mu est scdé, les races de mu sot les valeurs propres de u et mu s'écrt : Là-dessus vu que ( ( λ X - λ et ( ( λ X - l m (X λ. u ( λ λ sot premers etre eux s, e applcato du théorème 2.2 de décomposto des oyaux, l vet que Ker P(u c'est-à-dre E est somme drecte des Ker (u - ( λ λ. IdE avec comprs etre et l. Or o a vu précédemmet que ( λ 'est re d'autre que l'dce de la valeur propre de u, c'est-à-dre otre. Autremet dt Ker (u - ( λ λ. IdE Fλ pour tout {,..., l}. Doc E est somme drecte des sous-espaces caractérstques de u. As u est-l trgoalsable. Le cercle mplcatf état bouclé, otre démostrato est termée! Pour ote, s K est u corps algébrquemet clos comme C, alors tout edomorphsme de E est trgoalsable. Trgoalsato des edomorphsmes lpotets, matrces tragulares et edomorphsmes trgoalsables. Avat toute chose, ous devos rappeler ce qu'est u edomorphsme lpotet. Défto 4.3 : Dre que l'edomorphsme u de l'espace vectorel E est lpotet sgfe qu'l exste u eter aturel tel que u u... $ u sot l'applcato ulle. $ fos Le plus pett eter aturel tel que u est ce que l'o appelle l'dce de lpotece de u. Il est possble de caractérser matrcellemet les edomorphsmes lpotets. Théorème 4.4 : E est u K-espace vectorel. Dre que l'edomorphsme u de E est ulpotet équvaut à dre qu'l exste ue base B de E das laquelle la matrce de u sot tragulare supéreur lpotete. (Autremet dt les élémets dagoaux de celle-c sot tous uls. La preuve : Pour démotrer ce théorème, ous avos ue double mplcato à établr. ( : Cette mplcato, ous allos la fare par récurrece sur la dmeso de E. Pour : s u est lpotet alors la matrce de u das ue certae base est de la forme (a avec a K. Or ous savos qu'l exste u eter tel que u. Nécessaremet, o a alors que a. E Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

17 - De la réducto des edomorphsmes - K état u corps tègre, a est doc écessaremet ul. Autremet dt, ce que l'o voulat! Au rag : Supposos que l'mplcato vrae pour tout espace vectorel de dmeso strctemet féreure à. Sot E u espace vectorel de dmeso et u l'u de ses edomorphsmes lpotet de E d'dce. O a alors que das 'mporte quelle base B : [ Mat ( u, B ] det [ Mat(u, B ] ( det Autremet dt, le détermat de la matrce de u das toute base B est ul. Doc u 'est pas ectve. Autremet dt l exste x Ker u qu est o ul. Comme E est de dmeso fe et égale à, par le théorème de la base complète, l exste des élémets e 2,..., e tel que {x, e 2,..., e } sot ue base de E. Appelos-la B. La matrce de u das cette base est alors : B' Mat (u,b A où B' est ue matrce lge à - coloes et A ue matrce carrée à - lges. Or ous savos que : Mat(u, B. Avat d'aller plus lo, ous devos établr certaes choses. S l'o multple deux matrces, o a alors que: + + A. A.A' B.C' A.B' B.D' C D B A' C ' D' B' C.A' + D.C' C.B' + D.D' Note : Ic A, B, C, D, A', B', C' et D' sot des matrces quelcoques sas rapport avec celles de otre maoeuvre. Cette égalté est valable pour A et A' M p, p ( K, B et B' M p, -p ( K, C et C' M -p, p ( K et D et D' M-p, -p ( K. Utlsat cette remarque, o motre par récurrece sur m que Mat(u, B m B est de la forme A B m M, - ( K. Pour m, c'est assez évdet! Pour m+ : supposos l'asserto vrae au rag m. O peut alors écrre: m B' B + m B'.A m Mat (u,b. m A m+ A A D'où ce que ous avacos! Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés. m m avec E partculer pour m, o a écessaremet que A. Autremet dt, A qu est la matrce d'u edomorphsme v sur le sous-espace F Vect( e 2,..., e est lpotete. Or F est u espace de dmeso -. E applcato de l'hypothèse de récurrece, o peut trouver ue base B' de F das laquelle la matrce de v sot tragulare supéreure. Par sute, la matrce de u das la base de E qu'est {x} B' est ue matrce tragulare supéreure qu est doc lpotete. D'où ce qu'o voulat!

18 - De la réducto des edomorphsmes - ( : Récproquemet s'l exste ue base B de E das laquelle la matrce de u sot tragulare supéreure mas surtout lpotete, l est be clar que pour u certa eter aturel (le même que la matrce, o a que : u u $... $ u fos So l 'e serat pas de même pour otre matrce!, E Applcato ulle sur E D'où le théorème 4.4 Dmeso des sous-espaces spectraux (ou caractérstques. S u est u edomorphsme de E alors o motre que pour toute valeur propre λ de u, la dmeso du sous-espace caractérstque assocé à λ que l'o ote F λ (u est égal à la multplcté de la race λ das le polyôme caractérstque χ u. Caractérsato des edomorphsmes trgoalsables à l'ade du polyôme caractérstque. Comme ses camarades de ce quatrème paragraphe, le théorème qu sut est uquemet valable e dmeso fe. Théorème 4.5 : E est u K-espace vectorel de dmeso fe. U est u edomorphsme de E. Il y a équvalece etre : ( u est trgoalsable. ( Il exste ue base B de E das laquelle la matrce de u est tragulare supéreure. ( Le polyôme caractérstque de u oté χu est scdé sur K. La preuve : Pour prouver ce théorème, ous allos prouver que chaque asserto mplque la suvate. As ous feros u cercle qu ous fourra l'équvalece. ( ( : S u est trgoalsable et s o ote λ,..., savos que : E F (u. l λ λ l sot ses valeurs propres de u alors ous Notos u la restrcto de l'edomorphsme u au sous-espace caractérstque F λ. E vertu de ce qu a été démotré e ouverture de ce paragraphe, o peut écrre qu' l exste alors u edomorphsme lpotet v tel que : E applcato du théorème 4.4, l exste ue base u λ. IdF + v λ B du sous-espace F λ telle que la matrce de v das cette base sot ue matrce tragulare supéreure. Et même lpotete! Par sute la matrce de u das la base B e tat que somme d'ue matrce dagoale et d'ue matrce tragulare supéreure est ue matrce tragulare supéreure. l Comme la somme des sous-espaces propres est drecte et vaut E, la famlle B est ue base de E. Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés. B

19 - De la réducto des edomorphsmes - De plus comme u et ( ( λ X - λ.(u commutet, alors F Ker ( u -. ( λ λ La matrce de u das la base B est formée sur sa dagoale des matrces des λ est stable par u. Id E u das les bases E clar, ous avos la chose suvate : Mat(u,B Mat(u, B.... Mat(ul,Bl Cette matrce 'ayat sur sa dagoale que des matrces tragulares supéreures et des alleurs, elle est elle-même tragulare supéreure. D'où l'asserto (. ( ( : Sot B cette base das laquelle la matrce de u est tragulare supéreure. Nous savos que le polyôme caractérstque est déf par : χ u det ( X. Id - Mat (u, B Or la matrce dot o cosdère le détermat est elle-même tragulare supéreure e tat que somme d'ue matrce dagoale et d'ue matrce t tragulare supéreure. S a,..., a désget les élémets dagoaux de Mat(u, B alors l vet que : χ (X (X a. u Autremet dt le polyôme caractérstque de u set scdé sur K. D'où l'asserto (. ( ( : Pour cette mplcato, ous allos utlser l'asserto ( du théorème 4.2. Comme o a u polyôme aulateur de u qu est scdé sur K e la persoe χ u,, u est alors trgoalsable. D'où le théorème! B. La derère carte : Décomposto de Fttg. Le théorème suvat qu cosacre la décomposto de Fttg est e fat ue proprèté des edomorphsmes trgoalsables c'est-à-dre des edomorphsmes dot le polyôme caractérstque est scdé sur K. Théorème 4.6 de décomposto de Fttg. S u u edomorphsme de E trgoalsable alors u s'écrt d'ue et ue seule maère sous la forme u d + v où d est u edomorphsme dagoalsable et v u autre lpotet. De plus, v et d commutet. La preuve : Pour démotrer ce théorème, ous devos établr l'exstece et l'ucté d'u tel couple (v ; d d'edomorphsmes. L'exstece d'u tel couple. Comme u est trgoalsable, E est doc somme drecte des sous-espaces caractérstques. S λ est ue valeur propre de u alors l exste u edomorphsme lpotet de F λ oté vλ tel que : Sur F λ, u λ. IdF + v λ λ Notos λ l'dce de lpotece de v λ. O costrut alors sur E deux edomorphsmes d et v tel que : S x fat parte d'u sou-espace caractérstque F λ (u alors d(x λ.x et v(x v λ (x. Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

20 - De la réducto des edomorphsmes - Vu que E est somme drecte des sous-espaces caractérstques de u, d et v sot alors parfatemet défs e tat qu'edomorphsmes. Ue chose évdete est l'équvalece : λ est ue valeur propre de u λ est ue valeur propre de d. De plus le sous-espace caractérstque F λ (u pour u est égalemet le sous-espace propre de d assocé à la valeur propre (pour d λ. Autremet dt E est somme drecte des sous-espaces propres de d. Ce qu équvaut au fat que d est dagoalsable. Itéressos-ous à préset à v. O ote Sup λ où Sp(u désge le spectre de u c'est-à-dre l'esemble des valeurs propres de u. λ Sp(u Notos λ,...,λ l les l valeurs propres de u. l Vu que E Fλ, o a que : x E, l exste pour tout {,..., l} x F λ tel que O regarde alors l'edomorphsme v v... $ v. O peut écrre pour tout x E : Vu que {,..., l} v (x $ fos l v (x l (v λ.(x λ, l vet que pour tout x E v (x. l x. Doc v est lpotet! De plus comme sur chaque sous-espace caractérstque d et v commutet et que la somme de ceux-c est E, l vet que d et v commutet sur E. D'où l'exstece du couple! L'ucté d'u tel couple! d v tel que u d + v avec d dagoalsable, v lpotet et ces deux-là qu commutet etre eux! Sot alors λ ue valeur propre de d. O cosdère alors le sous-espace propre assocé à la valeur O suppose doc qu'l exste u autre couple ( ; propre λ qu'o otera E λ ( d. Vu que v est lpotet, l exste u eter aturel ' tel que v. E λ, o peut écrre que : Pour tout x de ce sous-espace propre ( Or sur ( d E λ, o a : d (x λ. x. v d ' (x ' E ' ' ( u d (x As vet-l qu'l exste ' tel que ( u - λ. Id. (x. As a-t-o que Eλ (d Fλ (u. Ce qu mplque auss que toute valeur propre de d est valeur propre de u. A partr de là, comme d est dagoalsable, o a que E (d. Eλ λ Sp(d Or comme u est dagoalsable (car χu scdé sur K, o a égalemet que F λ (u. x E λ Sp(u Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.

21 - De la réducto des edomorphsmes - Il vet que pour tout λ Sp( d Eλ (d Fλ (u. So E serat u espace de dmeso strctemet supéreure à. Cela ous dt auss que toute valeur propre de u est valeur propre de d. So E serat u espace de dmeso strctemet féreure à car ue valeur propre de u aurat échapper à d. L'mportat est que sur chacu des sous-espaces caractérstques F λ (u, o a : d λ.id d Or la somme de ces sous-espaces caractérstques est drecte et vaut E. Cela sufft à défr u edomorphsme sur E. As vet-l que : d d L'ucté de l'edomorphsme d etraîe auss celle de v. E effet : v u d u d v D'où l'ucté du couple! Ue aveture mathématques coçue et réalsée par Jérôme ONILLON (e-mal : taopah.o@free.fr (c La tavere de l'irladas ( Novembre 994/Jullet 2. Tous drots réservés.