N d'ordre 98 ISAL 0045 Année 1998 THÈSE. présentée DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON. pour obtenir LE GRADE DE DOCTEUR

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1 N d'ordre 98 ISAL 0045 Année 998 THÈSE présentée DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON pour obtenr LE GRADE DE DOCTEUR FORMATION DOCTORALE : Mécanque ÉCOLE DOCTORALE : École Doctorale des Scences de l'ingéneur de Lyon : Mécanque, Énergétque, Géne Cvl, Acoustque (MEGA) PAR Chrstophe MONTERNOT Maître ès Scences de l'unversté Claude Bernard (LYON I) COMPORTEMENT DYNAMIQUE DES TRANSMISSIONS DE PUISSANCE PAR COURROIE DENTÉE Soutenue le : jun 998 devant la Commsson d'examen Jury MM. J. Rchard J.-P. Pelle J.-P. Lallemand D. Play M. Bons C. Ispas J.-M. Dancé P. Gauch M. Travert Présdent Rapporteur Rapporteur Drecteur de Thèse Cette thèse a été préparée au Laboratore de Concepton et Analyse de Systèmes Mécanques de l'insa de LYON

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3 /DG\QDPLTXHFODVVLTXHTXLHVW VDQVGRXWHODVFLHQFHWKpRULTXHOD SOXVDFKHYpHQHVWSDVXQHVFLHQFH IHUPpHRQSHXWSRVHUGDQVOH FDGUHGHFHWWHWKpRULHQRPEUHGH TXHVWLRQVVLJQLILFDWLYHVTXLQRQW SDVHQFRUHGHUpSRQVHV,O\D3ULJRJLQH 3K\VLTXH7HPSVHW'HYHQLUS 7

4 Avant Propos Cette étude a été effectuée au Laboratore de Concepton et Analyse de Systèmes Mécanques (C.A.S.M.) de l'insttut Natonal des Scences Applquées de Lyon, sous la drecton de Monseur le Professeur Danel Play. J'exprme toute ma grattude à Monseur le Professeur D. Play pour m'avor fat confance, pour mener à ben ce traval. Je lu témogne également ma profonde reconnassance pour m'avor apporté un souten ndéfectble tout au long de ce traval, tout partculèrement dans les moments dffcles. Cette étude s'nscrt prncpalement en contnuté des travaux effectués par J.-M. Dancé du laboratore C.A.S.M. Je le remerce également pour m'avor nté et adé avec compétence et benvellance. Je lu sus vvement reconnassant d'avor accepté d'être membre du Jury. Je sus très sensble à l'honneur que me font Messeurs les Professeurs G. Lallemand de la Faculté des Scences de Besançon, et J.-P. Pelle de l'école Normale Supéreure de Cachan en acceptant de juger ce traval, et d'en être rapporteur et membre du Jury. Je souhate également exprmer mes plus sncères remercements à Messeurs les Professeurs M. Bons de l'unversté Technologque de Compègne, J. Rchard de l'insttut Unverstare Technologque de Cachan, et C. Ispas de l'unversté Polytechnque de Bucarest pour l'mportance qu'ls accordent à mon traval en acceptant d'être membre du Jury. Je tens à remercer vvement Messeurs M. Travert et P. Gauch de la socété PSA Peugeot Ctroën pour leur contrbuton à ce traval et d'avor accepté d'être membre du Jury. Je remerce tout partculèrement Madame C. Contet, secrétare au laboratore C.A.S.M., pour sa gentllesse, son dévouement, et son souten constant. Je remerce également Messeurs D. Berjoan et P. Solelhac, techncens au laboratore C.A.S.M., pour leur ade patente et compétente. Je désre exprmer mes remercements à K. Benhamadouche et K. Yakhou, chercheurs au laboratore CASM, pour leur collaboraton à ce traval. J'adresse également mes remercements à l'ensemble de l'équpe du Laboratore CASM pour leur sympathe. Enfn, je désre remercer le Mnstère de l'ensegnement Supéreur et de la Recherche pour avor fnancé la réalsaton de ce traval pendant tros ans. 9

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6 TABLE DES MATIÈRES... INTRODUCTION GÉNÉRALE...3 CHAPITRE I : ACQUISITION DES CONNAISSANCES PAR LA BIBLIOGRAPHIE...5 I.. PRÉSENTATION GÉNÉRALE SUR LES COURROIES DENTÉES...6 I... HISTORIQUE...6 I... SYNTHÈSE DES ÉTUDES EN STATIQUE...6 I..3. SYNTHÈSE DES ÉTUDES EN DYNAMIQUE...7 I.. PRÉSENTATION DES MODÈLES DE ROTATION EN DYNAMIQUE... I... MODÉLISATION POUR LES TRANSMISSIONS PAR COURROIE POLY-V... I... MODÉLISATION DES TRANSMISSIONS SYNCHRONES PAR COURROIE DENTÉE...73 I..3. CONCLUSION SUR LA PRÉSENTATION DES MODÈLES EN ROTATION...8 CHAPITRE II : MODÉLISATION D'UNE TRANSMISSION COMPLEXE PAR COURROIE DENTÉE ET PROGRAMMATION...83 II.. INTRODUCTION...85 II.. HYPOTHÈSES DE TRAVAIL...85 II... LA COURROIE...85 II... LA POULIE...9 II..3. LE TENDEUR DYNAMIQUE...98 II..4. L'ACTION DE LA PESANTEUR...98 II.3. MODÉLISATION ET STRUCTURE DU PROGRAMME...99 II.3.. ENTRÉES DU MODÈLE...00 II.3.. ER MODULE : CALCUL DES PARAMÈTRES GÉOMÉTRIQUES DE LA TRANSMISSION...0 II.3.3. ÈME MODULE : CALCUL DE LA TENSION DANS LES BRINS...04 II ÈME MODULE : CALCUL DES CHARGES ET DES DÉFORMATIONS SUR LES DENTS DE COURROIE ENROULÉES...5 II ÈME MODULE : CALCUL DES RAIDEURS ET AMORTISSEMENTS ÉQUIVALENTS POUR LE MODÈLE FINAL...3 II ÈME MODULE : RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT...46 II.3.7. SORTIES DU MODÈLE...6 II.4. CONCLUSION...6 CHAPITRE III : MESURES ET VALIDATION...63 II.. INTRODUCTION...64 III.. PRÉSENTATION TECHNIQUE DES COURROIE DAYCO DE TYPE ISORAN...64

7 III.3. MESURES SUR UN BANC DE SIMULATION D'UNE TRANSMISSION PAR COURROIE DENTÉE III.3.. MÉTHODOLOGIE DES MESURES ET DU CALCUL DE LA RAIDEUR DES BRINS III.3.. RÉSULTAT POUR UNE CONFIGURATION DE TRANSMISSION III.4. MESURES DES CARACTÉRISTIQUES MÉCANIQUES D'UNE COURROIE DE TYPE ISORAN III.4.. MÉTHODOLOGIES MISES EN ŒUVRE III.4.. CONCLUSION SUR LE MESURAGE DES CARACTÉRISTIQUES D'UNE COURROIE III.5. VALIDATION STATIQUE DU MODÈLE III.5.. VALIDATION DU CALCUL DES TENSIONS III.5.. VALIDATION DU CALCUL DE LA ROTATION DES POULIES III.6. CONCLUSION CHAPITRE IV : CALCUL ET DISCUSSION... 0 V.. INTRODUCTION... 0 IV.. PORTRAIT DE LA TRANSMISSION DE DISTRIBUTION... 0 IV.3. EXPLOITATION ET ANALYSE D UNE TRANSMISSION SIMPLIFIÉE IV.3.. IDENTIFICATION DES MODES CRITIQUES IV.3.. ÉVOLUTION DE LA TRAJECTOIRE DES PALIERS... 9 IV.3.3. ÉVOLUTION DE LA TENSION DANS LES BRINS... 5 IV.3.4. COMPORTEMENT DU TENDEUR DYNAMIQUE (DISCUSSION SUR LA CONSTANTE D'EFFICACITÉ DU TENDEUR η) IV.3.5. CHARGE SUR L ÂME ET LES DENTS DE COURROIE IV.4. CAS INDUSTRIEL D'UNE TRANSMISSION DE DISTRIBUTION IV.5. CONCLUSION CONCLUSION GÉNÉRALE BIBLIOGRAPHIE ANNEXE I ANNEXE II... 6 ANNEXE III ANNEXE IV ANNEXE V ANNEXE VI... 76

8 Introducton Générale D x-sept septembre 995 : La motocyclette n 9 s'élance en premère poston de la prestgeuse course Le Bol d'or [Busslet et al., 995]. Ses performances lassent présager une vctore. Elle est anmée par un bcylndre dont la prncpale partcularté est sa dstrbuton desmodromque entraînée par courroe dentée (photo ). Mas une double rupture consécutve d'une des deux courroes de dstrbuton provoque l'abandon de l'équpe. La stuaton dans le domane grand publc n'est pas plus brllante. Un artcle du magazne Auto- Plus (996), nttulé avec justesse Courroe de dstrbuton: le grand fléau, témogne du désarro des usagers de l'automoble : La courroe de dstrbuton qu casse, c'est LE gros problème mécanque d'aujourd'hu.. Paradoxalement, l'emplo de la courroe dentée peu apprécée des utlsateurs en rason de son manque de fablté, s'est consdérablement accru, en partculer dans le domane hautement concurrentel de l automoble. En effet, les concepteurs de bureau d'études apprécent la courroe pour sa souplesse d'utlsaton. Cependant, pour assurer la pérennté de ce mode de transmsson sur des groupes motopropulseur de plus en plus performant, l faut s efforcer de résoudre les problèmes nhérents à ce type de transmsson : la longévté de la courroe, le nveau de brut et le confort acoustque, l'erreur de transmsson, la tenue du matérau sur une large gamme de pussance avec un encombrement rédut. La résoluton des tros premers ponts passe par la compréhenson du comportement dynamque d'une transmsson par courroe dentée. En effet, une courroe dentée est un matérau composte consttué d'éléments plus ou mons déformables. Ans, de nombreux problèmes apparassent. Au nveau local, les éléments, en partculer la denture, nteragssent entre eux, ans qu'avec la denture de la poule. Ces nterférences génèrent du brut d'engrènement et fatguent la courroe. Au nveau global, ces dffcultés sont accentuées par les phénomènes vbratores perturbant le fonctonnement de la transmsson. Deux types de mouvements vbratores sont présents dans les transmssons par courroe dentée. En premer leu, les vbratons de rotaton des poules sont responsables d'une erreur dynamque de transmsson mportante, qu peut largement dépasser le degré dans les dstrbutons de moteur automoble. Ces vbratons peuvent être couplées avec les vbratons transversales des brns. Naturellement, les constructeurs automobles sont attentfs à ces problèmes. Le problème ndustrel posé se résume ans : comment concevor une transmsson par courroe dentée au bureau d'études, c'est-à-dre garantr un fonctonnement adapté pour une durée suffsante. L'enjeu de ces recherches est donc de pouvor proposer un modèle prédctf du comportement 3

9 dynamque pour une transmsson quelconque. En ntégrant tous ces aspects, on peut défnr l'objectf de la thèse comme sut : Modélsaton et compréhenson du comportement dynamque des transmssons de pussance par courroe dentée. Passage du comportement global au comportement local des dentures. D'un pont de vue scentfque, de nombreuses voes de recherche ont été poursuves ces deux dernères décennes aux États-Uns, au Japon, et en Europe. Notamment, deux thèses ont été présentées au laboratore. L'une portat sur l'étude expérmentale des dstrbutons de charge en statque entre les dents de la courroe, alors que la seconde thèse portat sur la modélsaton fne d'un arc de courroe enroulé sur une poule. Le chaptre I présente une analyse de l'ensemble de ces travaux de recherche. L'accent est porté sur les modèles en rotaton des transmssons par courroe Poly-V et dentée. Le chaptre II détalle la modélsaton d'une transmsson par courroe dentée avec ou sans tendeur dynamque. Le comportement local de la courroe au nveau de sa denture, et la souplesse des palers sont prs en compte. Le chaptre III est consacré à la valdaton en statque du modèle, et développe les méthodes employées pour la caractérsaton mécanque de la courroe. Le quatrème chaptre explote le modèle sur la base d'une transmsson smple. Une analyse exhaustve est menée, ce qu permet d'une part, la compréhenson du comportement dynamque de la transmsson étudée, et d'autre part, de passer du comportement global au comportement local de la denture de la courroe. À terme, ce traval permettra d'établr des règles de concepton pour maîtrser le comportement dynamque d'une transmsson par courroe dentée, en partculer, la durée de ve et le brut rayonné. Photo : Ce moteur Ducat V très performant, comprend deux transmssons par courroe dentée consttuées de tros poules de même damètre et de deux galets tendeurs fxes [TPM, 990] 4

10 CHAPITRE I Bblographe PREMIER CHAPITRE Acquston des connassances par la bblographe. I.. PRÉSENTATION GÉNÉRALE SUR LES COURROIES DENTÉES... 6 I... HISTORIQUE... 6 I... SYNTHÈSE DES ÉTUDES EN STATIQUE... 6 I..3. SYNTHÈSE DES ÉTUDES EN DYNAMIQUE... 7 I..3.. Phénomènes vbratores... 7 I..3.. Len des tensons dans les brns avec la durée de ve... 8 I Len des tensons dans les brns avec le brut... 0 I Concluson sur la synthèse des études en dynamque... I.. PRÉSENTATION DES MODÈLES DE ROTATION EN DYNAMIQUE... I... MODÉLISATION POUR LES TRANSMISSIONS PAR COURROIE POLY-V... I... Modèle élémentare de Fawcett et al. (989)... I... Modèle généralsé de Gasper et Hawker (989)... 4 I...3. Modèle généralsé de Yang et Barker (989) avec tendeur... 5 I...4. Modèle généralsé de Hwang et al. (994) avec tendeur I...5. Modèle avec glssement de Debbab (990) I...6. Modèle couplé rotaton/mouvement transversal de Bekmann (99) I Modélsaton du système I Contante d'effcacté du tendeur η I Analyse du modèle lnéare de vbraton I Analyse du modèle non-lnéare de vbraton I Résultats expérmentaux... 7 I... MODÉLISATION DES TRANSMISSIONS SYNCHRONES PAR COURROIE DENTÉE I... Modèle élémentare de Mzuno et al. (988) I... Modèles pour deux transmssons à deux poules de Banaszek et al. (993) I..3. CONCLUSION SUR LA PRÉSENTATION DES MODÈLES EN ROTATION

11 CHAPITRE I Bblographe I.. Présentaton générale sur les courroes dentées I... Hstorque Les transmssons par courroe dentée ont été nventées par Rchard Case en 946, afn de synchronser le mouvement de l agulle et de la bobne d une machne à coudre. Celles-c sont nées de la nécessté de dsposer d un type de transmsson ntermédare entre la chaîne (trop lourde, trop bruyante et nécesstant un système de lubrfcaton) et de la courroe plate ou à secton trapézoïdale (encombrement mportant, charge élevée sur les palers, rendement médocre et surtout rapport de transmsson nconstant). La courroe dentée permet d élmner les nconvénents susnommés des deux types de transmsson auxquels elle s apparente et par conséquent de fare des économes. Cependant, le fort développement des courroes dentées dans les moteurs automobles a ms en relef les lmtes de ce type de transmsson dans un domane très concurrentel, ans que les carences de nos connassances sur le comportement mécanque de la courroe en fonctonnement. En effet, les premères études scentfques, spécfques aux courroes dentées, ne débutent qu à la fn des années 70, et leur nombre reste encore aujourd hu lmté. I... Synthèse des études en statque En statque, de nombreuses études ont été effectuées dans dvers domanes : Comportement des dents, [Atouf, 99], répartton des charges sur les dents, [Dancé, 99 - Gerbert, Koyama, Chlds et al., 990], erreur de transmsson quas-statque appelé auss erreur cnématque,.[kagotan et al., Frbank, Daabn et al., 99], saut de dent, [Gerbert, 99], forme de la courroe, [Fosdck & Vllago, Gervas, 967]. Ces dernères décennes, les constructeurs de courroe ont drgé leurs efforts sur l accrossement de la pussance transmse, en optmsant, en partculer, la forme de denture permettant une melleure répartton de la charge sur la dent (fgure I.). Les dfférents matéraux utlsés dans une courroe crantée (fgure I.) ont également évolué, dans le but d une plus grande tenue dans le temps. Ces matéraux dffèrent suvant le domane d utlsaton. En matère automoble, le câblage en acer des débuts a lassé place au fbres de verre, ou parfos en aramde, qu sont mons sujettes à la fatgue en flexon. Le polychloroprène est depus longtemps un standard pour la consttuton du corps de la courroe. Cependant, d autres matéraux (ACSM : Alkylated Chlorosulphonated Polyethylene, HNBR : Hydrogenated Ntrle Rubber, EAM : Ethylene Acrylc Rubber) offrant plus de résstance à la température, à l hule et à l ozone, sont de plus en plus utlsés [Pllow, 994]. 6

12 CHAPITRE I Bblographe profl trapézoïdal 946 profl H.T.D. (Hgh Transmsson Drve) années 80 capacté de pussance améloré de 30% par rapport au profl trapézoïdal profl curvlgne (ou corrgé) années 90 capacté de pussance améloré de 30% par rapport au profl H.T.D. Fgure I. : Évoluton hstorque des profls de courroes (profls DAYCO). Dos polychloroprène: Protecton de l'armature à l'usure, aux températures élevées et à l'ozone Câblés en fbres de verre torsadées: Résstance élevée et stablté en tracton, bonne flexblté. Tssu polyamde ou Nylon: Résstance à l'usure, fable coeffcent de frottement. Denture Polychloroprène: Résstance au csallement. Fgure I. : Descrpton des éléments d une courroe I..3. Synthèse des études en dynamque I..3.. Phénomènes vbratores En dynamque, des phénomènes vbratores perturbent le fonctonnement de la courroe, malgré sa légèreté qu la favorse par rapport aux chaînes. On consdère dans la lttérature tros types de mouvement vbratore dans les transmssons par courroe dentée : ) Les vbratons en rotaton des poules sont responsables d une erreur dynamque de transmsson mportante qu peut dépasser le degré dans les dstrbutons automobles 7

13 CHAPITRE I Bblographe entraînées par des courroes dentées [Banaszek et al., Uchda et al., 99 - Sabanchev, Fawcett et al., Monternot, Heduk & Arnold, 994]. L erreur de transmsson des transmssons par courroe Poly-V est plus généralement étudée [Hwang et al., Gasper & Hawker, Yang & Barker, Debbab et al., Bekmann et al., 996 (a) et (b) - Bekmann et al., 997]. On note une grande varété de vocabulare dans les publcatons analysées. On trouve quatre termes désgnant le même phénomène à l orgne de l erreur dynamque : vbraton axales, vbraton torsonnelle des poules, vbraton longtudnale, vbraton angulare. Pour notre part, nous retendrons le terme de vbraton en rotaton résultant de l oscllaton des poules responsable de l erreur de transmsson. L étude de ce phénomène très préjudcable, est l objet de cette thèse. ) Ces vbratons en rotaton peuvent être couplées avec les vbratons transversales (ou de flexon s le modèle utlsé est celu de la poutre) des brns lbres entre les poules [Mockensturm et al., Bekmann et al., 996 (a) et (b) - Bekmann et al., Yue, Fawcett & Burdess, Watanabe et al, Smpson, La & Chen, 97 - Abrate, Tokoro, 997]. L étude de ces vbratons est souvent effectuée en lason avec des consdératons acoustques. Ce domane est de lon le plus étudé et les nvestgatons sont très varés : vbratons forcées ou lbres, stablté, modèle de la corde ou de poutre (statonnare ou en déplacement), lnéarté ou non lnéarté, calcul analytque ou par dfférences fnes ou par éléments fns. 3) Les vbratons torsonnelles des brns lbres sont également l objet des préoccupatons des ndustrels, mas les études unverstares sont rares et ancennes [Alspaugh, 967]. Ces vbratons semblent apparaître avec un mauvas algnement des arbres [Fawcett & Burdess, 980]. D. W. Alspaugh et C. D. Mote (965, 97) évoquent le couplage des vbratons torsonnelles avec les vbratons transversales. Ces deux derners phénomènes ne seront pas étudés lors de cette étude. L enjeu de cette thèse est de proposer un modèle prédctf de l erreur de transmsson dynamque pour une transmsson quelconque en tenant compte du comportement local de la courroe au nveau des poules. Ce modèle devra en partculer calculer la tenson dynamque dans les brns lbres et enroulés (relée à la charge sur les dents enroulées) de la courroe, car celle-c est dffclement mesurable expérmentalement. La connassance des tensons permettra d élaborer des modèles prédctfs d endommagement d une courroe et de son brut rayonné, comme le montrent les deux partes suvantes. I..3.. Len des tensons dans les brns avec la durée de ve La durée de ve des courroes dentées est un domane mportant où se focalse nombre de recherches [Chlds et al., Chlds, 99, Lzuka, Lzuka & Gerbert, Koyama et al., 979 (b) - Koyama et al., 980 Ueda et al., Dalgarno, 99]. L artcle de Dalgarno et al., résume les quatre modes de défallance rencontrés en automoble : Un premer cas de mesure des tensons dynamques dans les brns rapporté dans la bblographe est brèvement décrt par C. Debbab (990) grâce à l'utlsaton d'une caméra ultra-rapde et d'une grlle de déformaton tracée sur la courroe (chaptre I.I...5). Un deuxème cas de mesure utlsé dans l'ndustre automoble est décrt par H. Tokoro et al. (socété Toyota) en utlsant des jauges sur les palers. 8

14 CHAPITRE I Bblographe. La rupture à la base de la dent (tooth root crackng) ntervent lorsque le tssu protecteur (fgure I.) se dégrade (fgure I.3 a). K. W. Dalgarno (99) montre que ce phénomène dépend de la charge tangentelle sur la dent de courroe.. Le délamnage des câbles (cord delamnaton) débute avec la sorte partelle d un câble sur le côté de la courroe (fgure I.3 b). De pettes fbres s échappant du câble nte probablement ce phénomène qu peut entraîner la sorte complète du câble. Les varatons de tenson dans le câble, ans que sa qualté, provoque vrasemblablement, selon K. W. Dalgarno et al. (994 b), la dégradaton progressve de la courroe. 3. Le corps de la courroe en élastomère peut se séparer (fabrc separaton) de la nappe de câble (fgure I.3 c). L assemblage de ces deux matéraux sans affntés chmques, mpose l emplo d une couche adhésve ntermédare. Cette couche relant deux zones hétérogènes de transmsson d'effort est stuée dans un secteur de très forte contrante. Cela a été vsualsé par J.-M. Dancé (99) en effectuant des mesures qualtatves de photoélastcté sur un modèle de courroe en élastomère photoélastque. Ce fat est confrmé par M. Atouf (99) avec la méthode du speckle vdéo (E.S.P.I. Electronc Speckle Patterns Interferometry). Ce type de défallance est donc provoqué par le nveau de charge sur la dent et la tenson dans l âme (ou le câblé) de la courroe. 4. Des fentes apparassent sur le dos de la courroe (back crackng) pouvant aboutr à la rupture de la courroe. Cette défallance est due à des courbures de la courroe trop prononcée sur les galets. Les tros premers modes de défallance dépendent donc du nveau de charge sur les dents et le câblé. Les travaux de K. W. Dalgarno montrent en effet une excellente corrélaton entre la charge des dents de courroe en prse et la durée de ve d'une courroe (fgure I.4) quelque sot son mode de défallance. La smulaton numérque de ces charges adera donc à l élaboraton d une lo d endommagement d une courroe crantée. (a) (b) (c) Fgure I. 3 : Modes de défallance d'une courroe dentée [Dalgarno, 99] : (a) rupture de la dent, (b) délamnaton du câblé, (c) séparaton des éléments de la courroe. 9

15 CHAPITRE I Bblographe Fgure I. 4 : Corrélaton entre la dernère dent enroulée sur la poule menée d'un banc de smulaton avec la durée de ve de pluseurs types de courroe [Dalgarno et al., 994 (a)]. I Len des tensons dans les brns avec le brut Pc de brut Brut de srènement Fgure I. 5 : Relaton entre le nveau de brut et la vtesse de rotaton pour quatre types de courroe [Ueda, et al.]. Une transmsson émet pluseurs types de brut. Le brut de srènement (runnng nose) est le plus étudé dans la lttérature. Le brut de srènement est défn en fréquence par le fondamental et les harmonques de la fréquence d engrènement des dents de courroe. Son ntensté en décbel est proportonnelle à la vtesse de rotaton de la transmsson (fgure I.5). Les causes majeures sont l mpact des dents de courroe sur les dents de poule lors de l engrènement [Kagotan, 98], et les vbratons transversales des brns lbres de la courroe [Ueda et al., 996 0

16 CHAPITRE I Bblographe - Kubo et al., 97]. Les vbratons transversales sont engendrées par le mouvement vertcal alterné aux deux extrémtés du brn causé par l effet polygonal (descrpton au chaptre II...3) et l'excentrcté des poules. Lorsque ces vbratons entrent en résonance, le nveau sonore augmente brutalement de 0 à 5 db (pcs de brut sur la fgure I.5). Pour les brns courts, les causes peuvent être l effet polygonal [Tokoro et al., 997]. Pour les brns plus longs, l exctaton peut être paramétrque, le plus souvent avec la varaton harmonque de la tenson dans le brn (chaptre II...4). La résonance du mouvement transversal s aggrave auss lorsque celle-c correspond à la résonance du mouvement en rotaton des poules, d où l mportance de ben les dentfer [Waugh et al., Bekmann et al., 996 (b)]. La connassance des tensons dans les brns lbres (ampltude et fréquence) par un modèle de rotaton peut ans permettre une melleure compréhenson du brut rayonné par les vbratons transversales. Le calcul smultané de la répartton des charges sur les dents engrenées et dépendant des tensons dans les brns, permettra auss de reler la charge sur la premère dent avec le brut d mpact. Des mesures nternes au laboratore ont perms de confrmer le len entre la charge des dents et le brut de srènement. H Tokoro et al. (997) rele en outre la charge sur la premère dent engrenée avec les vbratons transversales génératrce de pc de brut. Le rôle proémnent de la tenson dans le brut est confrmé expérmentalement par T. Koyama (990). Il obtent une varaton de la tenson en jouant sur les excentrctés des poules (vor chaptre II...). T. Koyama observe alors une réducton de 0 db. des pcs de bruts mas une augmentaton de 4 à 5 db. du brut de srènement. Fgure I. 6 : Relaton entre le nveau de brut de srènement et la charge sur la premère dent de courroe en prse sur une poule. I Concluson sur la synthèse des études en dynamque Ces tros problèmes (erreur de transmsson, brut rayonné, longévté) rencontrés actuellement par les constructeurs automobles justfent l élaboraton d un modèle de mouvement rotatonnel des poules, qu permettra de dégager les paramètres mportants pour une transmsson générale.

17 CHAPITRE I Bblographe I.. Présentaton des modèles de rotaton en dynamque Dfférents modèles en rotaton ont été élaborés pour des transmssons par len souple. Les constructeurs automobles dsposent aujourd'hu de modèles smples du mouvement en rotaton des poules entraînées par courroe dentée, s'apparentant étrotement avec les modèles élaborés pour les transmssons par courroe Poly-V. En rason de la smltude du comportement de ces deux types de transmssons, nous consdérons unquement dans l'étude bblographque ces deux types de transmssons par courroe. I... Modélsaton pour les transmssons par courroe poly-v La plupart des modèles en rotaton ont été développé pour des transmssons par courroe Poly-V (ou dte strée). Ces courroes sont ranurées dans le sens de la longueur par des dents de secton trangulare. Utlsée dès les années 60 sur les moteurs Desel des engns agrcoles, ce type de transmsson n entraînat à partr du vlebrequn, qu un ou deux organes auxlares. Aujourd hu, les contrantes en matère de coûts, de pods, et d encombrement, oblgent les constructeurs automoble à entraîner tous les accessores par une courroe unque (gan de 0 kg en moyenne). La complexté accrue de ce type de transmsson, appelée serpentne à cause de sa forme tortueuse (fgure I.7), contrant les fabrcants de courroe à élaborer des modèles dynamques en rotaton, afn de smuler le comportement dynamque. Il est ntéressant de consdérer le cas smple en rason de l absence de denture, de ces modèles applqués aux serpentnes. Les hypothèses communes à tous les modèles sont : Fgure I. 7 : Transmsson par courroe Poly-V dte serpentne.. la courroe ne glsse pas sur les poules,. la courroe est consdérée parfate sur le plan géométrque et mécanque, 3. les vbratons en rotaton des poules sont découplées des vbratons transversales des brns. 4. le moment de flexon et l'nerte de la courroe sont néglgés. I... Modèle élémentare de Fawcett et al. (989)

18 CHAPITRE I Bblographe Un modèle élémentare (fgure I.8) pour une transmsson à deux poules par courroe poly-v, est décrt par J. N. Fawcett et al (989). r K J Fgure I. 8 : Vbraton en rotaton d une transmsson à deux poules. K J r L équaton d'équlbre des moments exprmée au centre de chaque poule donne : ( ) J θ = r T T + C Equ. I. avec J : moment d nerte, θ : déplacement angulare de la poule, r : rayon de la poule, T : tenson du brn, C : couple applqué sur la poule (par les arbres à cames ou les accessores moteurs). La relaton entre la tenson dans un brn T et la rotaton des poules θ est : ( ) T = T 0 + K rθ r + θ + Equ. I. avec T 0 : tenson de pose de la courroe, K : radeur d un brn lbre et enroulé. Nous obtenons les équatons du mouvement en combnant les équatons I. et I. : J 0 0 θ J θ K r r r + rr r C θ = θ C Equ. I. 3 Les pulsatons propres ω du système vérfent : Jω + Kr Krr det Krr J ω + Kr = 0 Equ. I. 4 Comme on a un premer mode du corps solde, le système n a qu une fréquence de résonance : 3

19 CHAPITRE I Bblographe f= KrJ ( + rj ) / ( JJ ) Equ. I. 5 π Aucun résultat expérmental n'est publé. Toutes les modélsatons proposées dans la lttérature ne s écartent guère en substance de la modélsaton élémentare proposée par J. N. Fawcett. Ce modèle se généralse asément pour pluseurs poules. I... Modèle généralsé de Gasper et Hawker (989) R. G. S. Gasper et L. E. Hawker (989) proposent une généralsaton des équatons pour une transmsson par courroe poly-v avec un nombre arbtrare de poules. Seule la rotaton des poules est consdérée. Les brns sont modélsés par des ressorts lnéare sans masse couplés avec un amortsseur vsqueux lnéare (Fgure I. 9 b). L adjoncton d un amortsseur vsqueux de torson (coeffcent b dans Fgure I. 9 b) à la poule est unque dans la lttérature et la rason n est pas donnée. L applcaton des los de Newton sur la poule condut à : [( ) ] ( ) J θ + c + c r + b θ + k + k r θ = ± c r r θ ± c r r θ ± k r r θ ± k r r θ + M avec J moment d nerte massque, θ déplacement angulare, c coeffcent d amortssement de la courroe, r rayon de la poule, b coeffcent d amortssement angulare, k radeur de la courroe, M varaton du moment extéreur. Equ. I. 6 Le sgne ± de l équaton I.6 dépend de la confguraton des poules llustrée en Fgure I. 9 a. L applcaton de l équaton I.6 à toutes les poules, s exprme par un système matrcel : J θ + C θ + K θ = F Equ. I. 7 [ ]{} [ ]{} [ ]{} {} Des méthodes classques sont ensute décrtes pour obtenr les modes propres. Aucun résultat de calcul n est donné et n a été confronté à des mesures. 4

20 CHAPITRE I Bblographe Fgure I. 9 : Modélsaton de la rotaton pour une transmsson par courroe Poly-V. I...3. Modèle généralsé de Yang et Barker (989) avec tendeur Yung-Ln Yang (989) consdère une transmsson serpentne (fgure I.0). La poule est lée au vlebrequn dont l connaît à chaque nstant la poston angulare θ et la vtesse. La deuxème poule entraîne le ventlateur et la pompe à eau. L assstance de la drecton du véhcule est assurée par la trosème poule. La quatrème poule n a qu un rôle de gude. La cnquème poule entraîne l alternateur. La sxème poule assure la tenson de tout le système par l ntermédare du bras 8 et d un ressort. La septème poule assure l ar condtonné. Des dscussons avec le personnel de Dayco Techncal Center ressort qu un modèle smplfé est suffsant pour décrre le comportement dynamque en rotaton d une transmsson par courroe Poly-V, s toutefos on néglge les vbratons transversales. Il se dégage également des dscussons avec les ngéneurs que le glssement de la courroe sur la poule peut être néglgé. Cela est en contradcton avec les conclusons de C. Debbab (990) sur la vsualsaton à l'ade d'une caméra ultra-rapde (4000 mages/seconde) d'une courroe en fonctonnement sur un moteur au ralent. Il note des glssements de la courroe très mportants, confrmés par des mesures sur un moteur nstrumenté. Le même type de modélsaton que J. N. Fawcett (989) et R. G. S. Gasper (989) avec des brns de courroe consdérés comme des radeurs lnéares sans masse, est reprs. Seul un tendeur est ajouté. Le but poursuv est la modélsaton du mouvement en rotaton des poules durant des montées en régme du moteur. 5

21 CHAPITRE I Bblographe Fgure I. 0 : Confguraton de la transmsson serpentne. L équlbre des moments par rapport au centre de la poule condut à des équatons du mouvement smlares à l équaton I.3 : ( ) I θ = r T T TL Equ. I. 8 avec I : moment d nerte, θ : déplacement angulare de la poule, r : rayon de la poule, T : tenson du brn, TL : couple applqué sur la poule. Il faut donc pouvor reler la tenson dans les brns T n en foncton de l angle de rotaton θ n de la poule n. Pour cela, on consdère l'allongement des brns n, la radeur du brn K n et l amortssement du brn D n : T = T + K ( θ, θ ) + D ( θ, θ ) Equ. I. 9 n 0 n n n n+ n n n n+ calcul de K n et de D n La radeur et l amortssement des brns lbres de la courroe sont calculés comme sut (successon de ressort et d amortsseur de longueur unté en sére) : 6

22 CHAPITRE I Bblographe K n K val = avec K val = N. pour n=...7 Equ. I. 0 l n D n D val = (D val non ndqué) n=...7 Equ. I. l n En connassant les coordonnées (x, y ) du centre des poules dans le repère donné, nous pouvons calculer la longueur d un brn l : l = ( x x ) + ( y y ) ( r + r ) Equ. I. calcul de n La varaton de longueur (=,,3,4,7) se calcule de la manère suvante : = r r + + Equ. I. 3 θ θ La vtesse de varaton est ans : = r θ r + θ + Le tendeur est étudé à part comme le montre la fgure I.. La poston de la poule 6 est détermnée par l angle β : x = x + r cosβ y = y + r snβ Equ. I. 4 ce qu permet de détermner les longueurs de brn l 5 et l 6. L auteur détermne également les angles ψ : ψ ψ 5 6 = tan = tan y x y x 5 6 y x 5 6 y x π + tan π + tan l r + r l r + r Equ. I. 5 Equ. I. 6 Les varatons de longueurs des brns l 5 et l 6 sont détermnées par la rotaton des poules (rθ r + θ + pour =5,6) pusque la courroe reste "collée", par la varaton géométrque des longueurs due à la rotaton du bras du tendeur (l -l 0 pour =5,6), et par la varaton des angles formé par les brns 5 et 6 ( ψ ψ 0 pour =5,6) : 5 = l 5 l 50 + r 5 5 r r 5 + r ( ) ( θ θ ) ( )( ψ ψ ) Equ. I. 7 ( l l ) ( r θ r θ ) ( r r )( ψ ψ ) Equ. I. 8 6 =

23 CHAPITRE I Bblographe En dérvant, on obtent également 5 et 6. Fgure I. : Effet de la poston du tendeur sur les longueurs de brns. Les mesures effectuées par Dayco Techncal Center montrent un comportement fortement non lnéare du tendeur avec une frcton mportante. Le tendeur ne bouge pas alors que les tensons dans les brns varent sensblement. Au delà d une certane tenson, le tendeur se caractérse par une radeur torsonnelle lorsque le tendeur s élogne de la courroe et par une autre radeur torsonnelle lorsque le tendeur s approche de la courroe. Aucune nformaton sur l amortssement du tendeur n est donnée. En consdérant les équatons I.9, I.3, I.7 et I.8, nous obtenons la tenson dans un brn : ( θ θ ) ( θ θ ) T = T + K r r + D r r =,, 3, 4, 7 Equ. I ( θ θ ) ( ) ( )( ψ ψ ) ( θ θ ) ( ) ψ ( θ θ ) ( ) ( )( ψ ψ ) ( θ θ ) ( ) ψ T = T + K r r + l l + r + r D r r + l + r + r T = T + K r r + l l + r + r D r r + l + r + r Les équatons I.8 et I.9 donnent les équatons du mouvement en rotaton des poules auxquelles l faut ajouter l équaton du mouvement du tendeur : ( ) I + M r β + K β+ D β = TL80 + K β [ sn( ψ β) T sn( ψ β) ] + r T Equ. I. 0 8

24 CHAPITRE I Bblographe avec ( I M r ) moment d nerte du tendeur par rapport à son pvot, K 8 radeur en torson du tendeur, D 8 amortssement en torson du tendeur, TL80 + K β = 0 équlbre des couples à l nstant ntal. 8 0 Les équatons du mouvement sont non-lnéares en rason de la présence du tendeur. L auteur lnéarse donc les équatons en bloquant le tendeur : M θ + C θ + K θ = F Equ. I. [ ]{} [ ]{} [ ]{} [ ] où : {} θ θ θ 3 θ 4 = θ5 θ 6 θ 7 [ ] F K r r + D r r TL θ θ TL3 0 = TL5 0 K7r7X + D7r7X TL7 [ ] M I I I = I I I 7 avec TL : couple sur la poule, En entrée du modèle, Y.-L. Yang consdère : 9

25 CHAPITRE I Bblographe - l acyclsme du moteur r θ et r θ mesuré expérmentalement sont la seule exctaton du système, - les dfférents couples résstants TL en foncton de la vtesse, Seule une analyse fréquentelle est présentée par l auteur. La matrce d'amortssement est consdéré comme proportonnelle à la matrce de radeur et à la matrce d'nerte ce qu permet de découpler le problème modal. Ensute la méthode classque vectorelle d tératon nverse est utlsée pour calculer les valeurs propres et les vecteurs propres. Les sx fréquences naturelles non amortes trouvées sont : ω =53,853 Hz =33 tr/mn ω =6,643 Hz =7599 tr/mn ω 3 =67,777 Hz =0066 tr/mn ω 4 =348,39 Hz =0903 tr/mn ω 5 =055,96 Hz =63358 tr/mn ω 6 =438,73 Hz =8634 tr/mn Le taux d amortssement ξ n et la pulsaton amorte ω n sont donnés pour chaque mode dans le tableau I. pour des amortssements de courroe D val varant de 0 à 0. Pour ce derner amortssement, le sxème mode dépasse l amortssement crtque. 30

26 CHAPITRE I Bblographe Table I. : Taux d amortssement ξ et la pulsaton amorte ω d avec tendeur bloqué. Yung-Ln Yang calcule la réponse fréquentelle dans le cas où le tendeur est bloqué et en néglgeant les couples résstants. L exctaton due à la poule est approxmée. Deux résultats sont présentés (fgures I. et I.3). On remarque la smltude de la réponse entre les poules du tendeur et de la drecton assstée (fgure I.0). On retrouve les fréquences de résonance de la table I.. Aucun résultat n est présenté avec le tendeur lbre. Toutefos, une analyse expérmentale suggère que les fréquences naturelles s abassent lorsque le tendeur est lbre. 3

27 CHAPITRE I Bblographe Fgure I. : Réponse fréquentelle de la poule de la drecton assstée. Fgure I. 3 : Réponse fréquentelle de la poule du tendeur. 3

28 CHAPITRE I Bblographe I...4. Modèle généralsé de Hwang et al. (994) avec tendeur Hwang, et al. (994) développent en collaboraton avec Ford, un modèle complet pour une transmsson en serpentne spécfque (fgure I.4). Fgure I. 4 : Schéma de défnton pour une transmsson serpentne. Les équatons du mouvement sont toujours dentques à l équaton I. : ( ) I θ = R T T Q 6 Equ. I. avec I : moment d nerte de la poule et de la chaîne cnématque aval, θ : déplacement angulare de la poule, R : rayon de la poule, T : tenson du brn, Q : couple applqué sur la poule. 33

29 CHAPITRE I Bblographe Une autre équaton est développée pour le galet tendeur pour tenr compte de sa rotaton autour du pvot tendeur (fgure I.5). Le pods du tendeur est également prs en compte. Fgure I. 5 : Gros plan sur le tendeur. S. J. Hwang consdère un volume de contrôle vc ncluant le bras du tendeur et son galet. La somme des moments pour le volume de contrôle par rapport au pvot donne : = r v dv ( r v) ( v da) p + b t ρ ρ [ ( ) ] r F + r gρ dv + Q r ω v + ω ω r + ω r ρ dv sc vc vc p sc sc vc p Equ. I. 3 Dans l équaton I.3, le vecteur de poston r et de vtesse v sont mesurés dans le, j, k lé au bras du tendeur et d orgne le pvot. On retrouve donc les référentel non galléen ( ) termes d accélératon de Corols et d entraînement lés à la vtesse de rotaton ω du référentel. Le vecteur F sc représente les forces extéreures applquées à la surface du volume de contrôle et gρ pdv les forces de volume. Le vecteur Q sc représente les couples extéreurs applqués à la surface du volume. ρ p et ρ b sont respectvement les denstés massques de la poule et de la courroe. L évaluaton de chaque terme de l équaton I.3 donne : { 6[ ( Ψ6 θ ) 7] 7[ ( Ψ7 θ ) 7] } r g ρp dv = meff Leff g cos( θ t ) k vc Qsc = { Kt( θ0 θt) Ctθ t Qt} k [ ω ω ( ω ) ω ] ρ ( ) θ r F = T L sn + R + T L sn + + R k vc sc t t t t r v + r + r dv = I + I k t p 7 7 vc r v ρ dv = I θ k p t 7t t 34

30 CHAPITRE I Bblographe [ ] r v ρ v da dv ρ A R θ L sn θ sn θ k sc ( ) ( ) b = b ( 7 7) t ( Ψ6 + t) + ( Ψ7 + t) où I t est le moment d nerte du bras du tendeur par rapport au pvot, I 7t le moment d nerte du galet par rapport au pvot. θ 0 est l angle du tendeur au repos et Q t sa précharge. La masse totale du galet et du tendeur est m eff. Le centre de masse du galet et du tendeur est stué à une longueur L eff du pvot. L t est la longueur du bras du tendeur. L ntensté de la gravté est g. Les angles Ψ 6 et Ψ 7 représentent les angles de contact poule - courroe (fgure I.5) : π Y 6 Y7 L 6 Ψ6 ( θ t ) = tan tan X7 X6 R6 + R7 π Y 7 Y L 7 Ψ7 ( θ t ) = + tan + tan X7 X R7 + R X7 = X8 + Lt cosθ t Y = Y L cosθ 7 8 ( θ t ) = ( ) + ( 6 7) ( 6 7) ( θ t ) ( ) 7 7 t t L X X Y Y R R L = X X + Y Y ( 7 ) ( R7 R) Fnalement, l vent de l équaton I.3 : ( I I ) t 7t θ I t 7θ7 Ctθ t Kt( θt θ0) R7( T7 T6) Qt + meffleffgcosθ t ( Ψ ) ( ) Ψ = [ ] ( 7 )[ 7 ( 7 7) ] Lsn + θ T ρ ARθ + L sn + θ T ρ ARθ t 6 t 6 b 7 7 t t b Equ. I. 4 avec K t et C t, radeur et amortssement du bras du tendeur, A are de la secton de la courroe. En consdérant un autre volume de contrôle consttué du galet seul et en sommant les moments par rapport au centre du galet d une manère analogue à celle décrte plus haut, S. J. Hwang obtent une deuxème équaton décrvant le comportement du tendeur : ( θ θt ) ( ) I = R T T Q Equ. I On remarque dans les équatons I.4 et I.5 le couplage nertel entre θ 7 et θ t. Ce couplage entre la rotaton propre du galet tendeur et du mouvement de son centre de masse n apparaît nul part alleurs dans la bblographe et n a pas leu d être s on consdère le contact sans glssement entre la poule et la courroe. Une dscusson à ce sujet est donné dans la deuxème parte du chaptre II On peut noter auss que S. J. Hwang est le seul à prendre en consdératon le pods du tendeur. S. J. Hwang obtent fnalement tros équatons (I., I.4 et I.5) relant l accélératon des rotatons avec les tensons dans les brns. Il faut mantenant reler les tensons aux angles θ pour établr les équatons du mouvement : 35

31 CHAPITRE I Bblographe T = T0 + K 7 avec R R et j = + = θ jθ j δ j j= s = 7 Equ. I. 6 Comme la radeur K n est celle que du ème brn lbre, l faut auss consdérer la radeur K pj du brn enroulé sur la j ème poule. Celle-c est nclue dans le terme d élongaton du brn enroulé δ (équaton I.3). L élongaton δ est calculée d après la tenson dans le brn enroulé consdéré comme étant la moyenne des tensons des brns lbres adjacents à la poule. ( ) T + T = T + K ( )δ Equ. I p + + L applcaton des équatons I.6 et I.7 mène aux relatons suvantes entre les tensons T dans les brns lbres et la rotaton θ des poules : K K K + T + = + T + T0 + K( Rθ R+ θ+ ) 5 Equ. I. 8 K p ( ) K p ( ) K p ( ) L nfluence du tendeur est à prendre en compte pour les brns 6 et 7 : K = K T K K T K K 7 T K R R p p p ( θ θ ) [( ) ( )( Ψ Ψ )] + K L L + R + R K = + + K T K K T K K T K R R p p p ( θ θ ) [( ) ( )( Ψ Ψ )] + K L L + R + R Equ. I. 9 Les équatons I.8 et I.9 nsérées dans les équatons I., I.4 et I.5 donnent les équatons non-lnéares du mouvement. Ces équatons sont lnéarsées autour de l état de mouvement statonnare de la transmsson pour obtenr une équaton dfférentelle à coeffcent constant : M ξ + Cξ + Kξ = 0 Equ. I. 30 avec ξ θ, θ,, θ = t 7 T. θ est le mouvement du vlebrequn mposé dans le modèle. Ensute les modes de rotaton sont calculés de manère classque. Les équatons d équlbre sont obtenues en élmnant les termes de dérvées temporelles dans les équatons I., I.3 et I.4 : ( ) = ( ) ( ) R T T Q 7 Equ. I. 3 R T T = Q + K θ θt + m L g cos θ t t 0 eff eff t 36

32 CHAPITRE I avec V : vtesse de la courroe. ( Ψ6 θ )[ 6 ρ ] ( Ψ7 θ )[ 7 ρ ] L sn + T AV t t b + L sn + T AV t t b Bblographe Equ. I. 3 L équaton I.3 donne pour T 6 = T 7 = T 0 et V=0 la tenson de pose pour un angle θ t donné : T 0 ( θ0 θ ) ++ cos θ sn( Ψ + θ ) sn( Ψ + θ ) K t Q m L g = L t t eff eff t [ 6 7 ] T t t Equ. I. 33 Les treze équatons I.8, I.9, I.3 sont lnéares selon les treze varables T ( =,,..., 7) et θ ( =,..., 7). On peut alors résoudre T 6 et T 7 avec θ t comme paramètre. L équaton I.3 est alors résolue par tératon selon le schéma de Newton-Raphson pour obtenr le paramètre θ t. Ce paramètre connu, les treze autres varables sont calculées par les équatons I.8, I.9, et I.30. Ans est défn l état d équlbre à partr duquel est lnéarsé l équaton du mouvement en dynamque. La lnéarsaton mpose de fables varatons de couple devant le couple moyen de chaque poule s on veut rester dans le domane de valdté des équatons non-lnéares. Le tendeur dot également avor une fable ampltude de mouvement. Ces restrctons sont acceptables pour une transmsson par courroe Poly-V, dont les accessores entraînés (des pompes et l alternateur) ont de très fables varatons de couple à une vtesse de rotaton donnée. Par contre, ces condtons ne sont pas du tout remples dans le cas d une transmsson par courroe crantée d une dstrbuton automoble. Les varatons de couple aux arbres à cames peut dépasser 60 N.m autour d une valeur moyenne proche de zéro. Cela entraîne un déplacement mportant du tendeur. Dans le cadre des transmssons par courroe crantée, l convent donc d utlser une équaton dfférentelle du mouvement non-lnéare à coeffcents varables. Une étude théorque du glssement sur les poules est auss présentée par S. J. Hwang. Ce domane, spécfque aux transmssons par courroe Poly-V, ne sera pas abordé dans cette bblographe. Table I. : Données de la transmsson. 37

33 CHAPITRE I Bblographe Des résultats sont présentés sur la base d une transmsson serpentne d un moteur de sére de cylndrée 3.0 ltres (fgure I.4). Les caractérstques géométrques et mécanques de la transmsson sont présentées dans le tableau I.. S. J. Hwang note comme S. L. Yang (et Barker) le comportement non-lnéare du tendeur en radeur et en amortssement. La courbe mesurée de la radeur du tendeur est lnéarsée au pont d équlbre pour obtenr la valeur du tableau I.. L amortssement est calculé d après l hystéréss de la courbe mesurée (couple, angle du tendeur). Un codeur optque est monté sur la poule du vlebrequn ce qu permet de connaître l exctaton angulare θ de la transmsson qu est une donnée du modèle : () [. cos π θ ( π )] / t = t tr mn Equ. I Le moteur tourne c au ralent à 477 tr/mn. La fréquence d exctaton de 4 Hz, sot tros fos la fréquence de rotaton, permet de penser qu on a affare à un moteur V6 avec un vlebrequn à tros manetons. Les couples applqués aux dfférentes poules sont constants : Q = Q4 = Q5 = Q7 = 0, Q3 = 4. 40, Q6 = 36.. L acyclsme moteur est donc la seule exctaton. Deux autres codeurs optques sont montés sur la poule de la pompe de la drecton assstée et la poule de l alternateur ce qu permet la comparason des résultats calculés et expérmentaux (fgure I.6). Nous constatons sur la fgure I.6 que la vtesse angulare calculée (trat plen) de la poule de l alternateur (ALT) et celle de la poule de la pompe de la drecton assstée (P/S) concordent ben avec la vtesse mesurée (trat dscontnu). L alternateur a une plus grande vtesse angulare du fat du pett rayon de sa poule. Les trats dscontnus et plens sont confondus pour le vlebrequn car sa vtesse angulare est une donnée d entrée. Fgure I. 6 : Vtesse angulare calculée et xpérmentale pour le vlebrequn (C/S), la pompe de la drecton assstée (A/C), et l alternateur (ALT) pour une exctaton par le vlebrequn. Fgure I. 7 : Fluctuatons de tensons sous l acton du vlebrequn. 38

34 CHAPITRE I Bblographe La fgure I.7 montre les varatons de tenson pour tous les brns. Du fat des couples nuls aux poules, 4, et 7, nous retrouvons des tensons quasment égales dans les brns et, les brns 3 et 4, et les brns 5 et 6. Par contre, la tenson dans les brns 4 et 5 est presque en opposton de phase alors que le couple sur la poule 5 est nul. Cela sgnfe certanement qu on a passé un mode par rapport à l'état quas-statque des tensons. Pourtant le premer mode est à 46 tr/mn et les poules 4, 5 et 6, adjacentes aux brns 4 et 5, sont en phase sur ce mode (fgure I.8). Le deuxème mode à 5778 tr/mn, et le trosème qu lu est proche à 6 tr/mn sont surtout des modes de tendeur, c est-à-dre avec une grande ampltude de rotaton du tendeur. Ces deux modes explquent auss dffclement pourquo les tensons dans les brns 4 et 5 sont quasment en opposton de phase. Malheureusement, l auteur ne mène aucune analyse modale des résultats, ce qu permettrat une vértable compréhenson des phénomènes de vbraton en rotaton. Aucune courbe du mouvement du tendeur n est également dsponble. Fgure I. 8 : Modes de rotaton pour une transmsson à tr/mn. I...5. Modèle avec glssement de Debbab (990) C. Debbab (990) une étude orgnale tant sur les hypothèses que sur le type de modélsaton développée. 39

35 CHAPITRE I Bblographe L'étude expérmentale des paramètres prncpaux qu caractérsent la transmsson par courroe Poly-V dans les condtons sévères du fonctonnement sur des moteurs automobles, condut C. Debbab à retenr que le facteur prncpal est l'exstence d'rrégularté cyclque de vtesse engendrant des taux de glssement nstantané de la courroe. Cette hypothèse qu mène à la caractérsaton fne du glssement de la courroe, se démarque des études précédentes qu consdèrent toutes le glssement comme néglgeable. La modélsaton est également orgnale car basée sur les équatons des mleux contnus. Le modèle a été développé dans l'optque de calculer prncpalement ces tros grandeurs: () la déformaton ξ en chaque pont de la courroe, () la vtesse V de la courroe permettant de caractérser le glssement, (3) la tenson T dans la courroe. La courroe est assmlée à un solde undmensonnel de secton constante, dont le pont courant est repéré par son abscsse curvlgne s. Le problème étant plan, l est exprmé dans le repère de Frenet : τ & (vecteur untare tangent) et n & (vecteur untare normal avec n & = Rdτ & ds et R(s), rayon de courbure de la courroe). La cnématque de la courroe est décrte par le déplacement tangentel (ou axal) ξ(s,t) suvant & τ et la rotaton φ(s,t) = ξ(s,t)/r(s) de la secton drote autour du vecteur bnormal & b. L'hypothèse des pettes déformatons est adoptée. L'état des déformatons est alors : ξ(,) st ε(,) st = ( déformaton axale) s φ(,) st & γ b = ( courbure suvant le vecteur bnormale b) s Equ. I. 35 En néglgeant le moment de flexon (suvant b & & ) ans que l'effort tranchant devant l'effort T, nous obtenons les relatons du mouvement : ξ T & m0 F t = τ +. τ s m 0 ξ T F t R n & = n +. Equ. I. 36 dans lesquelles m 0 désgne la masse lnéque de la courroe, F τ et F n les denstés lnéques d'effort de contact sollctant la courroe. La lo de comportement retenue est celle d'un solde lnéarement élastque à amortssement vsqueux. Il vent pour la tenson T : ξ(,) st ξ(,) st T(s,) t = K + C s t s Equ. I. 37 avec K, radeur longtudnale de la courroe et C, son coeffcent d'amortssement. 40

36 CHAPITRE I Bblographe En chaque pont, la masse de la courroe est obtenue à partr de la lo de conservaton de la masse : m0 mst (,) = (,) st + ξ s Equ. I. 38 Fgure I. 9 : Dscrétsaton de la courroe en brns I à VIII. La courroe est décomposée en quatre sous-domanes (brns numérotés de I à VIII sur la fgure I.9) détermnés par la forme géométrque de la courroe et dont les partculartés sont :. Les brns lbres qu n'ont aucun contact surfacque avec les poules et qu ne sont pas lés au galet tendeur, possède un rayon de courbure R nfn. Donc les équatons du mouvement se rédusent à : ξ T(s,) t m0 t = s (F τ et F n sont nuls) Equ. I. 39. Les brns lbres qu sont en contact avec le galet tendeur dovent tenr compte du mouvement X tend du centre du galet tendeur (fgure I.). Les équatons I.36 à I.38 s'écrvent alors avec un déplacement axal supplémentare ξ tend : ξ'(,) st = ξ(,) st ± ξ (,) st Equ. I. 40 tend Le sgne ± dépend du sens de déplacement du galet tendeur par rapport à la trajectore du brn étudé (AB ou CD sur la fgure I.0). L'auteur admet une évoluton lnéare du déplacement ξ tend dont la valeur est toujours nulle en A pour devenr ξ tend = X tend cosα en B. Il en résulte : ξ tend s (,) st = Xtend (,) st cosα Equ. I. 4 L 4