Caractéristiques dynamiques d'une structure de tenségrité en fonction de son niveau d'autocontrainte

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1 19 ème Congrès Franças de Mécanque Marselle, août 29 Caractérstques dynamques d'une structure de tenségrté en foncton de son nveau d'autocontrante J-F. ubé, B. Crosner, N. Angeller a a. Laboratore de Mécanque et Géne Cvl-UMR558, Unversté Montpeller 2, cc48, Place E. Batallon, 3495 MONTPELLIER Résumé : Les structures de tenségrté sont des structures spatales légères consttuées de barres comprmées et de câbles tendus qu assurent la contnuté. La rgdté de la structure de tenségrté est foncton de la radeur des éléments mas auss de l'état de tenson des câbles la consttuant. Cet état appelé état d'autocontrante assure la rgdté de la structure et sa stablté. La connassance de cet état d'autocontrante est prmordale pour la sécurté de la structure en place. ans l'optque de caractérser une structure par des essas non destructfs nous travallons sur son comportement dynamque. L'étude présente l'nfluence du nveau d'autocontrante mposé au sen de la structure sur son comportement dynamque. La concepton des structures de tenségrté condut à un fonctonnement non lnéare que l'on retrouve dans l'évoluton des fréquences propres et de l'amortssement structurel. Cette étude comporte une parte expérmentale sur une pette grlle de tenségrté plane à double nappe assocée à la smulaton numérque pour corréler la modélsaton et les essas. Les smulatons numérques corroborent les résultats d'essas avec une évoluton non lnéare des fréquences propres des deux premers modes crossant avec le nveau d'autocontrante. Les résultats sur l'amortssement sont plus dffcles à nterpréter avec une dfférence d'évoluton entre le premer et le second mode. Abstract : Tensegrty structures are lght space structures made up of compressed bars and tended cables whch ensure contnuty. The rgdty of the tensegrty structure s functon of the elements stffness but also of the cables tensons. Ths state called selfstress state ensures the rgdty of the structure and ts stablty. The knowledge of ths selfstress state s paramount for the structure safety n place. To characterze a structure by nondestructve tests we work on hs dynamc behavor. Ths study presents the nfluence of the selfstress level mposed wthn the structure on ts dynamc behavor. The structural desgn of tensegrty leads to a nonlnear operaton whch one fnds n the evoluton of the Egen frequences and structural dampng. Ths study comprses an expermental part on a small grd of plane tensegrty to double layer assocated wth the numercal smulaton to correlate modelng and the tests. The numercal smulatons corroborate the test results wth a nonlnear evoluton of the Egen frequences of the frst two modes growng wth the selfstress level. The results on dampng are more dffcult to nterpret wth a dfference n evoluton between the frst and the second mode. Mots clefs : tenségrté, autocontrante, vbraton, amortssement, comportement dynamque 1 Introducton epus de nombreuses années, l équpe de recherche Concepton en Structures du laboratore de Mécanque et Géne Cvl de l Unversté de Montpeller II, développe des recherches sur les systèmes de tenségrté, tant au nveau de leur concepton [1], [6], de leur mse en œuvre [3], [5], ou encore de leur qualfcaton et de leur comportement dynamque [4], [2], [7], [8] et [9]. L établssement et le contrôle de l état d autocontrante des éléments de telles structures, nécesste l utlsaton de moyens de mesure spécfques pour caractérser les éléments tendus ou les éléments comprmés. 1

2 19 ème Congrès Franças de Mécanque Marselle, août 29 2 Tenségrté et prncpe de l autocontrante 2.1. Etude d une mngrlle Il s agt d une grlle plane à double nappe basée sur le prncpe de l écarteur. Les barres forment, deux à deux, des V perpendculares, relés par un trant vertcal sur lequel on agt pour établr la mse en précontrante de la structure. La structure testée est consttuée de 81 éléments ; à savor, 24 barres sollctées en compresson (tubes), 36 câbles de nappes, et 21 trants actfs se décomposant en 9 trants vertcaux et 12 trants pérphérques. barres Barres (24) Trants trants (9 + 12) 2 nappes de câbles (36) nappes de câbles FIG. 1 Mngrlle : décomposton en barres, câbles et trants Etat d autocontrante adopté L équlbre du système est réalsé lorsque l ensemble des nœuds () de la structure est en équlbre. T (1) = Où T représente l effort nterne de l élément relant les nœuds et, et F l effort extéreur applqué au nœud. Les efforts nternes sont foncton de l allongement de chaque élément. On note x, y, z les coordonnées spatales du nœud, et l la longueur de l élément relant les nœuds et dans la confguraton géométrque de référence. La proecton de l équaton (1) sur les tros axes donne : T T T x x l l y y l z z Cette équaton d équlbre (2), peut être smplfée en ntrodusant la densté de force q de chaque élément (, T ) : q = (3) l La relaton (2) pour un nœud devent alors : x y z (2) 2

3 zqyq ( 19 ème Congrès Franças de Mécanque Marselle, août 29 q q q ( x x ) ( y y ) ( z z ) Le système d équatons obtenu en applquant les équatons (4) à tous les nœuds de la structure est la forme globale matrcelle suvante : x y z (4) Aq = f (5) Avec A la matrce d équlbre de la structure (de dmenson bx3n), q le vecteur des denstés de forces des b éléments, et f le vecteur du chargement extéreur agssant sur les n nœuds. L autocontrante est l ensemble des forces nternes présent à l état ntal en l absence de chargement extéreur. Cet état d équlbre correspond à un champ de densté de forces q satsfasant : Aq q kera (6) L état d autocontrante peut être exprmé sur la base du sous-espace kera. Cette base, notée S, est composée de pluseurs états d autocontrante fondamentaux. S cet état fondamental sollcte tous les composants l est dffus, dans le cas contrare l est partel. La base S dot permettre de construre un état d autocontrante total. L état d autocontrante qu satsfat au comportement unlatéral des éléments câbles est appelé conforme. Il peut être créé drectement par combnason lnéare de la base S [6]: q = Sα (7) Les composantes du vecteur α sont choses pour satsfare la conformté du comportement mécanque des éléments. La détermnaton des états d autocontrante de base dépend des condtons d appus (en l occurrence, 3 appus complètement bloqués et non symétrques), et des données géométrques de la grlle (poston des nœuds et connectvté des éléments). EA1 : LOCAL EA2 : GLOBAL FIG. 2 Etats d autocontrante de base de la mngrlle. 7 tenson (N) 5 3 TIRANTS VERTICAUX 1 BARRES n élément CABLES TIRANTS COTES/COINS -3-5 FIG. 3 Etat d autocontrante obtenu par combnason des deux états partels (a/b=,5). La mngrlle étudée ne possède que 2 états d autocontrante de base (Fg. 2), un état local EA1 et un état dffus EA2. Un état global d autocontrante peut être construt, par combnason lnéare des états partels (a EA1 + b EA2). Un rapport de,5 entre les coeffcents a et b, permet d obtenr une dstrbuton de sollctons dans les éléments relatvement homogène (Fg. 3). Le nveau d autocontrante global est réglé pour que cet état satsfasse aux crtères de stuatons de proet : résstance de tous les éléments aux E.L.U et 3

4 19 ème Congrès Franças de Mécanque Marselle, août 29 rgdté de la structure aux E.L.S. 3 Etude dynamque 3.1. Condtons d essas La mngrlle étant posée sur 3 appus (Fg. 4. trangles), elle est exctée vertcalement (Fg. 4. éclar) par un pot vbrant postonné en condton aux lmtes lbre/lbre sur la nappe supéreure de la structure. A B FIG. 4 - Eléments sollctés pour chaque sére d essas (A, B, ) Nœuds concernés par l exctaton (éclar), la mesure (rond) et les appus (trangles). La reconnassance dynamque se fat par analyse harmonque, sur la plage de fréquences [ Hz; 1 Hz], ce qu est suffsant pour dentfer les tros premers modes de la structure. La fréquence d échantllonnage des sgnaux adoptée est de 2 Hz Les dfférentes séres d essas Tros séres d expérences sont effectuées pour étuder l ncdence de l autocontrante sur le comportement dynamque de la structure. expérences A : La modfcaton de l autocontrante est obtenue par acton sur un élément actf d angle A (Fg. 4.). (avec,49<a/b<2,8) expérences B : La modfcaton de l autocontrante est obtenue par acton sur un élément actf pérphérque, latéral B (Fg. 4.). (avec,7<a/b<2,7) expérences : La modfcaton de l autocontrante est obtenue par acton sur 4 éléments actfs vertcaux, (Fg. 4.). (avec a/b de l ordre de,11) 3.3 Explotaton des résultats Incdence de l autocontrante sur le 1 er mode L explotaton des résultats est menée en prenant comme ndcateur du nveau de l autocontrante, la tenson dans le trant vertcal central de la structure. ans les séres A et B, le rapport a/b vare de,5 à 3, et on constate (Fg. 5), que la fréquence de résonance du premer mode augmente avec le nveau de l état partel dffus (b) (tands que le paramètre a dmnue). ans la sére, le rapport a/b reste sensblement constant, et on constate que la fréquence de résonance du premer mode augmente avec le nveau de l état d autocontrante global. A noter que les modes d ordre supéreur sont peu affectés par l augmentaton du nveau de prétenson. Conontement aux séres d expérences, des smulatons numérques de la structure ont été effectuées en utlsant des éléments de type poutre pour modélser les éléments comprmés et les trants. Ces smulatons permettent de comparer d une part, les résultats expérmentaux à des résultats de smulaton, et d autre part, afn de balayer des nveaux d autocontrante non attents par l expérence (Fg. 6.). La comparason des fréquences expérmentales à celles données par les smulatons menées pour les valeurs de a et b dentfées 4

5 19 ème Congrès Franças de Mécanque Marselle, août 29 expérmentalement permet de constater une très bonne concordance entre elles. (Les écarts maxmums ne dépassent pas 1%, et sont même < 3% dans le cas de la sére ) (Fg. 6.). 5 fréquence (Hz) EXP. A EXP. B EXP. 4,5 a/b ~,1,5 < a/b < 3 4 nveau d'autocontrante (coeffcent a) 3, FIG. 5 - Evoluton de la fréquence du premer mode en foncton du nveau d autocontrante pour chaque sére. 7,5 7 6,5 6 5,5 fréquence (Hz) EXP. A EXP. B EXP. smu poutre A, B, smu poutre a/b,1 Polynomal (smu 5 4,5 4 nveau d'autocontrante (coeffcent a) 3, FIG. 6 - Comparason des fréquences du premer mode mesurées et smulées Incdence de l autocontrante sur l amortssement Pour dentfer les caractérstques dynamques de la grlle, nous consdérons chaque mode propre () de la structure comme le mode d un système (m, c, k ) découplé, dans le cas de l hypothèse d un amortssement de type vsqueux. Les FRF expérmentales acquses, sont les fonctons Accélératon/Force, et celles-c sont comparées aux fonctons de transfert Ha(ω) des modes dentfés. A noter qu une modélsaton avec amortssement par frottement a également été menée afn d appréhender la nature prédomnante de l amortssement. Une méthode des mondres carrés est utlsée pour mnmser les écarts entre les FRF expérmentales et les dentfcatons. On défnt la foncton erreur E(m, ε, k), entre les N valeurs expérmentales y et le modèle théorque Ha(ω, m, ε, k), étant le numéro de l essa réalsé. N 2 = ( y Ha(, m,, )) = 1 ω ε (8) E( m, ε, k) k Cette opératon est menée pour les tros premers modes dentfés de la structure. On en dédut la masse m pour chaque mode, qu est supposée rester constante quelque sot l état d autocontrante. On relance le solveur avec la foncton d erreur E(ε, k) afn d affner l dentfcaton de l amortssement et le la radeur. S nous supposons que l amortssement est de type Raylegh, la matrce amortssement peut se mettre sous la forme : C = c M + c 1 K (9) L amortssement [1] peut alors s écrre sous la forme suvante en foncton des pulsatons propres ω : c ω ε = + c1 (1) 2 ω 2 Ayant dentfé les tros premers modes de la structure, on calcule les paramètres c et c 1, 5 avec la

6 19 ème Congrès Franças de Mécanque Marselle, août 29 connassance de 2 des 3 modes. Sur la fgure 7, on a reporté les amortssements obtenus pour les 3 premers modes, que l on compare à la courbe théorque obtenue pour l amortssement de type vsqueux. amortssement vsqueux, 6, 4, 2, expérmental théorque pulsaton (rd/s) FIG. 7 - Amortssement en foncton des pulsatons propres selon le prncpe de Raylegh. Quelle que sot la sére d expérences menée, et ndépendamment du nveau d autocontrante, on constate que l amortssement de la structure ne dépasse pas 2 %, et est très proche de l amortssement de type vsqueux. Les câbles de nappes de la structure ne semblent donc pas ntrodure d amortssement par frottement des torons des câbles entre eux. e plus, le rapport c 1 /c est de l ordre de 1-5, quel que sot le nveau d autocontrante, ce qu fat que dans la gamme des pulsatons correspondant aux premers modes, l amortssement est sensblement proportonnel à la masse. 4 Concluson Cette premère sére d expérences portant sur la sensblté et le fonctonnement de l amortssement en foncton de l autocontrante, montre que phénomène d amortssement est prncpalement vsqueux. La modélsaton de la structure correspond au comportement réel. es smulatons ncluant l amortssement structurel vsqueux dovent être menées pour conforter ces résultats. Ces smulatons seront assocés à une nouvelle campagne d essas sur une structure plus mportante afn généralser les conclusons proposées. Références [1] Motro R. Tensegrty, Kogan Page Scence 23. [2] Averseng J., Crosner B., Statc and dynamc robust control of tensegrty systems. Journal of the Internatonal Assocaton for Shell and Spatal Structures 24; 45(3): [3] Averseng J. Mse en oeuvre et contrôle des systèmes de tenségrté. Thèse de octorat de l Unversté Montpeller II. r. B. Crosner, J.F. ubé p. [4] ubé J.F., Crosner B. Identfcaton of cable slackenng by analysng the temporal response of the structure. In: Motro R. edtor. Proc. of IASS 24, shell and spatal structures from models to realzaton p n CROM. [5] Averseng J., Crosner B. Prestressng tensegrty systems. Applcaton to multple selfstress state structures. Internatonal Journal of Structural Stablty and ynamcs 24; 4(4): [6] Qurant J. Systèmes de tenségrté et autocontrante: Qualfcaton, sensblté et ncdence sur le comportement. Ph.. thess. Unversté Montpeller II, 2. [7] Jaen J. Etude de l amortssement d une structure de tenségrté en foncton du nveau d autocontrante. Mémore de Master Recherche, E.N.S.M.M., U.F.C. 27, 44 p. [8] Angeller N. Etat d autocontrante des grlles de tenségrté. Vers l dentfcaton sous sollctatons naturelles. Thèse de octorat de l Unversté de Montpeller II. r. B. Crosner, J.F. ubé p. [9] ubé J.F., Angeller N., Crosner B. Comparson between expermental tests and numércal solutons carred out on a tensegrty mngrd. Engneerng Structures 3 (28): [1] Caughey. Classcal Normal Modes n amped Lnear ynamc Systems. ASME, Journal of appled Mechancs, vol. 27,

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