Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe

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1 Itégratio complexe Exercice - Avez-vous compris? - L3/M - Le chemi est paramétré par t (t, t 2 ), où t [, 2]. O a doc, le log du chemi, z t + it 2, dz ( + 2it)dt, et doc I 2 (t it 2 )( + 2it)dt i. Exercice L3/M - O peut paramétrer l arc de cercle par z 2e it, t π. Il viet I π/2 (4e 2it + 6e it )2ie it dt 8 3 i 44 3, après u petit calcul... Ue autre faço de procéder est de remarquer que, das l ouvert C, la foctio z z 2 + 3z admet ue primitive, égale à F : z z 3 /3 + 3z 2 /2. O a alors, et ceci e déped e fait pas du chemi suivi : Bie sûr, o doit trouver le même résultat! I F (2) F (2i). Exercice 3 - Idice d ue ellipse - L3/M - O va costruite ue homotopie, das C, etre le chemi γ et le cercle de cetre et de rayo a. Comme o sait que celui-ci est d idice par rapport à et que l idice est ivariat par homotopie, o obtiedra que Id γ (). L idée est de déformer le cercle e ellipse, par exemple e posat F (u, t) a cos(t) + i(ub + ( u)a) si(t), u, t 2π. O a F (u, t) 2 a 2 cos 2 (t) + (ub + ( u)a) 2 si 2 (t) > puisque a 2 > et (ub + ( u)a) 2 >. F est clairemet cotiue. De plus, F (, t) γ(t) et F (, t) ae it. D où le résultat. Applicatios de la formule de Cauchy Exercice 4 - Ue itégrale! - L3/M - O commece par calculer l itégrale e utilisat le paramétrage. O a γ dz z a si t + ib cos t a cos t + ib si t dt ( a si t + ib cos t)(a cos t ib si t) a 2 cos 2 t + b 2 si 2 dt t a 2 si t cos t + aib si 2 t aib cos 2 t + b 2 cos t si t a 2 cos 2 t + b 2 si 2 dt t (b 2 a 2 ) cos t si t + iab a 2 cos 2 t + b 2 si 2 dt. t

2 D autre part, γ est le paramétrage d ue ellipse. So idice par rapport à est. D après le théorème de Cauchy, o a dz z 2iπ. γ Par idetificatio des parties réelles et imagiaires, o trouve que l itégrale recherchée vaut 2π/ab. Exercice 5 - Ue itégrale! - L3/M -. O a D après la formule de Cauchy, o a z 2 + ( 2i z i ). z + i π I R ( 2iπ Γ R e iz z i dz Γ R e id(γ R, i) eid(γ R, i) e e e. e iz ) z + i dz O a doc I R π e. 2. O décompose Γ R e le segmet [, R] et le demi-cercle C R. O a R e iz + z 2 R R cos x + i si x + x 2 cos x + x 2 car la secode itégrale est ulle par imparité. De plus, pour z γ R, o a I(z) et doc e iz. De plus, pour ces mêmes z, o a z 2 + R 2. O e déduit O fait tedre R vers + et o trouve Puisque e γr iz + z 2 dz 2πR R 2. I R e lim R + γr iz dz. + z2 γr e iz + z 2 dz + R cos x + x 2, le résultat demadé est immédiat e utilisat la première questio et e faisat tedre R vers +. Remarquos (et c est peut-être par là qu il fallait commecer!) que + cos x +x 2 a bie u ses, car la foctio à l itérieur de l itégrale est domiée par /x

3 Exercice 6 - Ecore ue itégrale! - L3/M - O a, d après les formules de Cauchy, f(z) f(z) I 2 + f(z)dz + z z 2 dz 2iπ(2f() + + f ()). C C D autre part, o paramètre le cercle uité par l applicatio t e it. O trouve O e déduit I (2 + e it + e it )f(e it )idt 4i C f(e it ) cos 2 (t/2)dt. f(e it ) cos 2 (t/2)dt π ( 2f() + f () ). 2 Exercice 7 - Trasformée de Fourier de la Gaussiee - M -. Elle vaut, car o itègre ue foctio holomorphe sur u lacet. 2. Le segmet [R, R + it/2] se paramètre e R + iy, pour y t/2. O a doc R+it/2 t/2 f(z)dz e (R+iy)2 dy R t/2 e 2 e y2 /2 e iry dy t/2 te 2 /2 e 2 dy et le membre de gauche de cette iégalité ted vers. Le raisoemet est idetique pour l autre itégrale. 3. O découpe l itégrale le log du rectagle Γ R e la somme des 4 itégrales suivat ses côtés. Alors la première questio doe R+it/2 R R+it/2 +it/2 f(z)dz f(z)dz + f(z)dz f(z)dz. +it/2 O fait tedre R vers +, et o utilise le rappel pour coclure que : + +it/2 f(z)dz π. 4. O écrit + +it/2 +it/2 +it/2 f(z)dz R + e +t2 /4 e (x+it/2)2 dx + e x2 e itx dx. Utilisat le résultat de la questio précédete, o coclut que + e x2 e itx πe t2 /4. 3

4 Exercice 8 - Formule de Cauchy au bord - L3/M - Pour r ] z, R], o ote I r f(w) 2iπ C(,r) w z dw et o remarque que I r f(z) si z < R d après la formule de Cauchy. Il s agit doc de prouver que I r coverge vers I R lorsque r ted vers R. Mais 2π(I r I R ) re it f(re i t) re it z Reit f(re i t) Re it z dt O peut coclure de plusieurs faços, par exemple e appliquat le théorème de covergece domiée, e otat M u majorat de f sur D(, R) et e supposat r r z + α avec α >, o a re it f(re i t) re it z Reit f(re i t) Re it z RM α qui est ue foctio itégrable sur [, 2π]. Puisque la foctio à itégrer ted vers lorsque r ted vers R, o e déduit le résultat. O peut aussi s e sortir à la mai sas utiliser le théorème de covergece domiée. Iégalités de Cauchy, théorème de Liouville Exercice 9 - Iégalités de Cauchy reforcées - L3/M - Fixos r ], [. D après les formules de Cauchy, o a a 2πr f(re it )e it dt 2πr dt r r ( r). O optimise le membre de droite de l iégalité e étudiat la foctio g(r) r ( r). Sa dérivée est g (r) r ( r) r r ( ( + )r), elle s aule pour r +. O obtiet alors ( a + ) ( + ). Pour obteir la deuxième partie de l iégalité, il suffit de prouver que ( + /) e. Mais ( + /) exp ( l( + /) ) exp( /), où o a utilisé l iégalité classique l( + x) x. Exercice - U théorème de Liouville précisé - L3/M -. Écrivos f(z) a z. D après les iégalités de Cauchy, o a, pour tout, a M(r) r. Puisque M(r)/r p+, o a M(r)/r pour p + et doc a pour ces. Autremet dit, f est u polyôme de degré au plus p. 4

5 2. Traduisos la propriété avec M(r). O a, pour r R, M(r) Kr p. Aisi, pour ces r, M(r)/r p+ K/r et doc M(r)/r p+ ted vers. D après la questio précédete, f est u polyôme de degré au plus p. Supposos maiteat que R. Alors, pour tout r >, o a M(r) Kr p. Pour < p, d après les iégalités de Cauchy, o a a M(r)/r Kr p. O fait cette fois tedre r vers pour trouver a dès que < p. Seul le coefficiet a p peut être o-ul. f est doc ou bie la foctio ulle, ou u moôme de degré p. 3. Appliquos la questio précédete à f : f est u moôme de degré, i.e. il existe α C tel que f (z) αz. De plus, o a α e réijectat la formule das l iégalité de l éocé. E itégrat, il viet f(z) a + bz 2 où b α/2 et doc b /2. Exercice - Bi-périodique - L3/M - O va prouver que f est borée et la coclusio résultera immédiatemet du théorème de Liouville. Preos z x + iy C et posos E(x), m E(y). Puisque f est -périodique, o a f(z) f(z ). Puisque f est i-périodique, o a f(z) f(z im). Mais z i im est u élémet de partie réelle comprise etre et et de partie imagiaire comprise etre et. Notat K le carré de sommets,, + i, i, o e déduit f(z) sup f(w). w K Puisque f est cotiue sur le compact K, la quatité sup w K f(w) est fiie, ce qui achève la preuve que f est borée. Exercice 2 - Image dese - L3/M - Imagios que ce e soit pas le cas, et cosidéros w C qui est pas das l adhérece de f(c). E particulier, o peut trouver δ > tel que f(z) w δ pour tout z C. Posos g(z) f(z) w. Alors la foctio g est etière, et elle est borée par δ. Par le théorème de Liouville, elle est costate. Ceci est possible que si f est costate, ce qui cotredit les hypothèses faites sur f. Exercice 3 - Diverses moyees - L3/M -. O pose g(e iθ ) + a r e iθ. Alors, puisque la série a r coverge, la série défiissat g coverge ormalemet sur [, 2π]. La foctio g est doc cotiue, 2π-périodique, et ses coefficiets de Fourier sot a r si, sio. O e déduit, d après la formule de Parseval, 2π + g(e iθ ) 2 dθ a 2 r 2. 2π Puisque g(e iθ ) f(re iθ ), o e déduit le résultat. D autre part, sur [, R] avec R <, la série a 2 r 2 coverge uiformémemet (par rapport à r) car ormalemet puisque a r 2 a 2 R 2, et le membre de gauche est le terme gééral d ue série covergete. O e déduit que la foctio r [, [ a 2 r 2 est cotiue. Elle est clairemet croissate. 5

6 2. L iégalité de gauche est ue simple coséquece de l iégalité triagulaire. E effet, si z r, alors f(z) a z a r M (r, f). Pour l iégalité de droite, o utilise les iégalités de Cauchy pour majorer chaque a. E effet, o sait que, pour tout, o a a M(αr,f) α r. Il viet M (r, f) M(αr, f) α M(αr, f) /α α M(αr, f). α 3. Pour prouver l iégalité de droite, il suffit de reveir à la défiitio de M 2 (r, f). E effet, M 2 (r, f) 2 (2π) f(re iθ ) 2 dθ (2π) M(r, f) 2 dθ M(r, f) 2. L iégalité de gauche est, elle, ue coséquece de l iégalité de Cauchy-Schwarz. E effet, o a M (βr, f) β a r ( + ) /2 ( + ) /2 β 2 a 2 r 2 ce qui est équivalet au résultat attedu. ( β 2 ) /2 M 2 (r, f) Exercice 4 - Foctios etières de type expoetiel - L3/M -. D abord, o remarque que e z e Re(z) e z, ce qui motre que exp est ue foctio de type expoetiel iférieur ou égal à. Comme, pour x >, o a e x e x, le type de la foctio expoetielle est exactemet égal à. Pour la foctio si, o remarque que si(z) eiz + e iz 2 e z, ce qui prouve que si est de type expoetiel iférieur ou égal à. De plus, pour y >, o a si(iy) e y + e y ey 2 2 ce qui prouve que le type expoetiel de si est exactemet égal à. 2. (a) Soit A > tel que f(z) Ae C z pour tout z C. U tel A existe, car o sait qu ue telle iégalité est vraie pour z assez grad, et sur tout disque D(, R), il suffit de dire que la foctio z f(z) /e C z est cotiue. D après les iégalités de Cauchy, o obtiet exactemet, pour tout r, c r Ae Cr. 6

7 (b) O choisit le meilleur r possible e étudiat la foctio h(r) r e Cr. Sa dérivée est h (r) r e Cr ( Cr), et elle s aule pour r /C. Ce choix de r das l iagalité précédete doe ( ) Ce c A ce qui est le résultat voulu. 3. D après la formule de Stirlig 2πe, o sait que e A 2π pour ue certaie costate A et pour tout etier, ce qui doe c B C 2π pour ue certaie costate B >. Alors, pour tout z C, o a c z B 2π(C z ). Fixos ε >. Alors il existe N tel que, pour tout, o a 2πC (C + ε). O e déduit c z 2π(C z ) B P ( z ) + e (C+ε) z + B + + ( (C + ε) z ) où P est u polyôme de degré. Au voisiage de +, P (x) O(e (C+ε)x ), et doc o a c z O(e (C+ε) z ) quad z ted vers l ifii. Ceci motre simultaémet que la série c z coverge pour tout z das C et défiit ue foctio etière, et que cette foctio etière est de type expoetiel iférieur ou égal à C + ε. ε > état arbitraire, la foctio est de type expoetiel iférieur ou égal à C. Exercice 5 - Sigularité des séries etières - L3/M -. Das le premier cas, o a S (z) z z Pour le secod cas, o remarque que S 2 (z). Seul le poit est u poit sigulier. (+)(+2) z+2 est tel que S 2 (z) S (z). E particulier, S 2 et S ot les mêmes poits siguliers. Il y a doc pas de lie etre régularité d u poit ξ et covergece de la série a ξ. E effet : la série peut coverger et le poit être régulier (ex : ξ i pour S 2 ) ; la série peut coverger et le poit être sigulier (ex : ξ pour S 2 ) ; la série peut diverger et le poit être sigulier (ex : ξ pour S ) ; la série peut diverger et le poit être régulier (ex : ξ pour S ). 2. Ici, il est judicieux de prouver que C(, R)\sig(S) est ouvert. Et c est presque évidet d après la défiitio. E effet, si ξ est régulier, o peut trouver u voisiage ouvert Ω de ξ et F holomorphe das Ω tel que F S sur Ω D(, R). Mais, si o choisit w C(, R) Ω, alors Ω reste u voisiage ouvert de w, et w est bie u poit régulier. 7

8 3. Supposos que tout poit ξ est régulier. Pour chaque ξ, il existe u voisiage ouvert Ω ξ et ue foctio F ξ qui covieet. Par compacité de C(, R), C(, R) peut être recouvert par u ombre fii de tels Ω ξ. O les ote Ω,..., Ω p et o ote F,..., F p les foctios correspodates. O pose U D(, R) Ω Ω p. Alors U est u ouvert de C et il existe r > R tel que D(, r) Ω. De plus, la foctio F défiit par F (z) S(z) si z D(, R) et F (z) F i (z) si z Ω i est holomorphe das U. Remarquos que ceci a bie u ses car F i F j sur Ω i Ω j. C est vrai si l itersectio est vide, et si elle e l est pas, alors Ω i Ω j D(, R) est pas vide o plus, et F i F j sur cet ouvert. Par le pricipe des zéros isolés, elles sot égales sur tout Ω i Ω j. 4. O raisoe par l absurde. D après la questio précédete, S admet u prologemet, toujours oté S, das le disque plus grad D(, r). Soit R < ρ < r, et M u majorat de f sur C(, r). D après les iégalités de Cauchy, o a a ρ M. Mais alors, la série etière a z est de rayo de covergece supérieur ou égal à ρ > R, ce qui est absurde. 8