Chapitre 9 : Dénombrement

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1 Chapitre 9 : Déombremet PTSI B Lycée Eiffel 14 javier 214 Toute chose est ombre. Pythagore. Il y a trois sortes de mathématicies : ceux qui savet compter et ceux qui e savet pas compter. Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l idique à compter. Il e s agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d appredre à compter sur ses doigts, mais bie de défiir des objets et otatios mathématiques permettat de compter le ombre d élémets d esembles bie trop gros et compliqués pour être déombrés à la mai. Le déombremet a pas e soi éormémet d itérêt, mais trouvera toute so utilité esuite e probabilités : das le cadre des probabilités fiies, la probabilité d u évèemet se calcule e divisat le ombre de cas favorables par le ombre total de cas possibles, ce qui suppose qu o sache calculer les ombres de cas e questio. Objectifs du chapitre : être capable d aalyser correctemet u éocé pour choisir le bo type d outil de déombremet, et meer u raisoemet combiatoire clair et rigoureux maipuler sas hésitatio les coefficiets biomiaux Quelques exemples de problèmes faisat iterveir les objets que ous allos étudier das ce cours : U tirage de Loto cosiste à tirer sept boules das ue ure e coteat 49 (umérotées de 1 à 49. Combie y a-t-il de tirages possibles? Il y a 49 élèves das la classe. Quelle est la probabilité qu il y e ait (au mois deux parmi eux qui soiet és le même jour de l aée? O veut répartir les 48 élèves d ue classe e 16 triômes de colles. Combie y a-t-il de répartitios possibles (l ordre des triômes aisi que l ordre des élèves au sei de chaque triôme état pas importat? 1

2 1 Cardiaux d esembles fiis Défiitio 1. U esemble E est fii s il est e bijectio avec l esemble {1; 2;... ; }, pour u etier aturel. Cet etier est alors uique. Il est appelé cardial de l esemble E, et o le ote card(e, ou E, ou ecore E. Remarque 1. Cela correspod bie à la otio ituitive d esemble dot o peut compter les élémets. E effet, ue bijectio de E vers {1;... ; } est simplemet ue faço d étiquetter les élémets de E avec les uméros 1, 2,...,. Propositio 1. Soit E u esemble fii et F u sous-esmble de E, alors F est u esemble fii, et F E, avec égalité si et seulemet si E F. Démostratio. Cette propriété, comme souvet e ce qui cocere les esembles fiis, est assez évidete d u poit de vue ituitif, mais pas si simple à démotrer correctemet. Nous ous e tiedros au poit de vue ituitif. Propositio 2. Soiet E et F deux esembles fiis. Si E et F sot e bijectio l u avec l autre, ils ot même cardial. Démostratio. Il existe par hypothèse ue bijectio f de E vers F. De plus, F état fii, otos so cardial, il existe alors ue bijectio g de F das {1;... ; }. L applicatio g f : E {1;... ; } est ue composée d applicatios bijectives, doc est bijective, ce qui prouve que E est de cardial. Propositio 3. Soiet A et B deux sous-esembles d u même esemble fii E. Alors A B A + B A B. Démostratio. Commeços par costater que das le cas où les deux esembles A et B sot disjoits, o a A B A + B. Vous voulez ue démostratio? Soit f ue bijectio de A das {1;... ; } et g ue bijectio de B das {1;... ; p}, et p état les cardiaux respectifs de A et de B. O peut alors costruire ue bijectio h de A B vers {1;... ; +p} e posat x A, h(x f(x et x B, h(x g(x+p (ituitivemet, cela reviet à garder pour les élémets de A la umérotatio doée par l applicatio f, et à décaler pour les élémets de B la umérotatio doée par g, de faço à e pas utiliser deux fois les mêmes uméros. Ue fois ce fait admis, costatos que A B est l uio disjoite des trois esembles A\B, B\A et A B. O a doc, e utilisat le résultat que ous veos de démotrer, A B A\B + B\A + A B. Or, A état uio disjoite de A\B et de A B, o a égalemet A A\B + A B, ou ecore A\B A A B. De même, B\A B A B, doc o obtiet A B A A B + B A B + A B, ce qui doe bie la formule aocée. Théorème 1. Formule du crible de Poicaré. Soiet A 1, A 2,..., A des sous-esembles fiis d u même esemble E, alors i1 A i 1 1 i 1 < <i ( 1 +1 A i1 A i Propositio 4. La formule de Poicaré état assez peu lisible, voici ce que ça doe pour 3 et 4 : A B C A + B + C A B A C B C + A B C A B C D A + B + C + D A B A C A D B C B D C D + A B C + A B D + A C D + B C D A B C D 2

3 Démostratio. La preuve de la formule géérale, assez techique, se fait par récurrece. O se cotetera de prouver la formule pour 3 e partat de la propositio précédete : A B C (A B C A B + C (A B C A + B A B + C (A C (B C A + B A B + C A C A B + A C B C, ce qui doe bie la formule aocée. Exemple : Das u lycée de 3 élèves, 152 savet jouer au poer, 83 au tarot et 51 au bridge. De plus, 24 savet jouer à la fois au poer et au tarot, 14 au poer et au bridge, et 8 au tarot et au bridge. Efi, 3 élèves maitriset les trois jeux de cartes. Le ombre d élèves jouat aux cartes est alors de Propositio 5. Soit A u sous-esemble fii d u esemble fii E, alors Ā E A. Démostratio. C est ue coséquece de la formule pour ue uio : E est uio disjoite de A et de Ā, doc E A + Ā. Propositio 6. Soiet E et F deux esembles fiis, alors E F est fii, et E F E F. Démostratio. Pas de preuve rigoureuse pour celui-ci, simplemet ue idée de la faço dot ça marche. Soit le cardial de E, et e 1, e 2,..., e ses élémets, p le cardial de F et f 1,..., f p ses élémets. o peut placer les élémets de E F das u tableau de la faço suivate : e 1 e 2... e f 1 (e 1, f 1 (e 2, f 1... (e, f f p (e 1, f p (e 2, f p... (e, f p Il y bie p élémets das le tableau, doc das E F. 2 Listes, arragemets et combiaisos Défiitio 2. Soit E u esemble fii de cardial, et p N. Ue p-liste d élémets de E, ou p-uplet d élémets de E, est simplemet u élémet de E p. Remarque 2. O peut très bie avoir plusieurs fois le même élémet das ue p-liste. Par ailleurs, l ordre des élémets de la p-liste est importat. Propositio 7. Le ombre de p-listes das u esemble de cardial vaut p. Démostratio. C est ue coséquece de la formule de cardial du produit vue u peu plus haut : comme E F E F, o a E p E p, ce qui prouve bie la propriété. Exemple : O tire das ue ure coteat 1 boules umérotées de 1 à 1 quatre boules successivemet avec remise. Le ombre de tirages possibles est de (il y a répétitio possible à cause des remises, et l ordre est importat. Remarque 3. Le ombre de p-listes d u esemble à élémets est aussi le ombre d applicatios de l esemble {1;... ; p} vers cet esemble. E effet, se doer ue telle applicatio f reviet à se doer les valeurs des images f(1, f(2,..., f(p, c est-à-dire à se doer ue liste de p élémets de E. Défiitio 3. Soit E u esemble à élémets et p N, o appelle arragemet de p élémets de E ue p-liste d élémets disticts de E. Remarque 4. L ordre des élémets est toujours importat, par cotre o e peut plus avoir de répétitio d élémet das u arragemet. 3

4 Défiitio 4. Soiet et p deux etiers tels que p, o ote A p 2... ( p + 1.! ( p! ( 1( Propositio 8. Le ombre d arragemets de p élémets das u esemble à élémets vaut A p. Démostratio. Cotetos-ous de l idée ituitive : lorsqu o costruit u arragemet, o a choix pour le premier élémet, 1 pour le deuxième,..., p + 1 pour le pème, soit au total ( 1... ( p + 1( p ! ( 1 ( p + 1 ( ( p!. Exemple : O repred la même ure que précédemmet, mais o tire les quatre boules successivemet sas remise. Le ombre de tirages possibles est désormais de A 4 1 1! ! Remarque 5. Le ombre d arragemets de p élémets das u esemble à élémets est égalemet le ombre d applicatios ijectives de {1;... ; p} das E. Défiitio 5. U arragemet de élémets das u esemble à élémets est aussi appelé permutatio. Il y a doc! permutatios das u esemble à élémets. Exemple : Le ombre d aagrammes d u mot peut se calculer à l aide de permutatios. Il faut simplemet diviser le ombre total du permutatios du mot par! chaque fois qu ue même lettre apparait fois das le mot (aisi, s il y a trois E das le mot, o divise par 3! car les permutatios qui se cotetet d échager les E etre eux e modifiet pas l aagramme. Par exemple, le ombre 12! d aagrammes du mot DENOMBREMENT est 3! 2! 2!. Remarque 6. Le ombre de permutatios d u esemble à élémets est le ombre d applicatios bijectives de cet esemble das lui-même. Défiitio 6. Ue combiaiso de p élémets das u esemble fii E à élémets est u sousesemble à p élémets de E. Défiitio 7. Soiet et p deux etiers tels que p, o appelle coefficiet biomial d idices! et p le ombre (qui se lit «p parmi». p p!( p! Remarque 7. O pose souvet si p >. p Propositio 9. Le ombre de sous-esembles à p élémets d u esemble à élémets est. p Démostratio. E effet, ue combiaiso est rie d autre qu u arragemet das lequel o a elevé l importace de l ordre. Autremet dit, chaque combiaiso apparait p! fois quad o déombre les arragemets (puisqu il y a p! faços d ordoer u esemble à p élémets, doc le ombre de combiaisos à p élémets vaut A,p p! ( p. Exemple : Toujours das la même ure, o tire désormais quatre boules simultaémet. Le ombre 1 de tirages est A ! Remarque 8. O peut ecore ue fois iterpréter ceci à l aide d applicatios : le ombre de combiaisos à p élémets das u esemble à élémets est le ombre d applicatios strictemet croissates de {1;... ; p} das E. E effet, se doer ue applicatio strictemet croissate f est équivalet à se doer le sous-esemble {f(1; f(2,... ; f(p} (l ordre état imposé par la croissace de l applicatio. 4

5 U petit tableau pour résumer les cas d utilisatios de ces trois outils de déombremet : L ordre est pas importat L ordre est importat Répétitios Listes possibles puissaces Répétitio Combiaisos Arragemets iterdites coefficiets biômiaux quotiet de factorielles 3 Propriétés des coefficiets biomiaux Propositio ( 1. Quelques propriétés des coefficiets biomiaux, utiles pour les calculs : ( 1 2, 1 ; ;. ( ( 1 2 2, (propriété de symétrie. 1 1,. ( ( , + (relatio de Pascal. 1 Démostratio. Pour le premier poit, il suffit de repredre la défiitio des coefficiets biomiaux :!!! 1 ;! 1 ( 1! et! ( !( 2! 2! La propriété de symétrie est facile aussi : (!( (!! (!!. Il y a égalemet ue iterprétatio combiatoire de ce résultat : choisir u sous-esemble de élémets das u esemble à élémets est équivalet à choisir so complémetaire, qui est costitué de élémets, doc il y a autat de sous-esembles à élémets et à élémets das u esemble à élémets. Pour la troisième,!!(!! 1 ( 1!(!, et ( 1! 1 ( 1!( 1 + 1!!, les deux quatités sot bie égales. ( 1!(! ( 1 1 ( 1! Efi, la formule de Pascal : + 1!( 1! + ( 1! ( 1!(! ( ( 1! + ( 1! ( 1!. La ecore, il y a ue iterprétatio!(!!(! combiatoire. Soit E u esemble à élémets et x u élémet fixé de E. Les sous-esembles de E à élémets, au ombre de, se répartisset e deux catégories : ceux qui cotieet x, qui 1 sot au ombre de puisqu il reste 1 élémets à choisir parmi les 1 restats das E 1 1 ue fois x choisi ; et ceux qui e cotieet pas x, qui sot au ombre de puisqu il reste cette fois-ci élémets à choisir parmi les 1 restats (o e a ecore choisi aucu. D où la formule. Triagle de Pascal : La relatio de Pascal permet de calculer les valeurs des coefficiets biomiaux par récurrece, e les répartissat sous forme d u tableau triagulaire : 5

6 Pour obteir u coefficiet du tableau, o fait la somme de celui qui est au-dessus de lui, et de celui qui est à gauche de celui-ci. Théorème 2. Formule du biôme de Newto. Soiet a et b deux réels, et N, alors (a + b a b. Remarque 9. O peut obteir à partir de cette formule le développemet d ue différece : (b a ( 1 a b. E pratique, il suffit d alterer les siges. Exemple : (a + b 6 a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 2a 3 b a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6. L ordre est iversé par rapport à celui de la formule, mais c est la faço habituelle d écrire le développemet. Autre exemple : (1 2x x+1 (2x 2 1 (2x 3 +5 (2x 4 (2x 5 1 1x+4x 2 8x 3 +8x 5 32x 5. Démostratio. O va procéder par récurrece sur l etier. Pour, la formule du biome dit simplemet que (a + b a b, ce qui est vrai (o a 1 de chaque côté. Supposos la formule vraie au rag, o a alors (a + b +1 (a + b(a + b (a + b ( a b par hypothèse de récurrece, doc e développat le a+b et e le faisat retrer das la somme, o obtiet (a+b +1 a +1 b + a b +1. Effectuos u chagemet d idice e remplaçat par das la première somme (o e touche à rie das la deuxième : (a+b +1 a b +1 a +1 b + 1 ( + 1 a b +1 + ( 1 a b a b +1 (o a isolé u terme das chaque somme pour pouvoir regrouper les sommes. Maiteat, o recoait la formule de + 1 Pascal das la somme, doc (a + b +1 a +1 + a b +1 + b +1. Il e reste plus qu à 1 remettre les deux termes isolés das la somme pour obteir la formule au rag + 1, ce qu o peut faire puisqu ils sot justemet égaux aux termes maquats pour et + 1. Propositio 11. Soit E u esemble fii de cardial. Alors P(E est fii, de cardial 2. Démostratio. Le cardial de P(E est le ombre de sous-esembles de E. Or, o sait que, pour tout etier, il y a sous-esembles de E à élémets, ce qui fait au total sous-esembles. Cette somme est rie d autre qu u cas particulier de formule du biôme, pour a b 1, doc elle vaut (

7 Ue autre démostratio possible utilise le fait (démotré das u chapître atérieur que P(E est e bijectio avec l esemble des applicatios de E das {, 1} (via la foctio caractéristique. E découle que P(E {, 1} 2. Ue troisième démostratio pour la route, par récurrece e utilisat la relatio de Pascal. Le fait que 2 est trivial. Supposos que la formule reste vraie au rag, alors puisque les coefficiets biomiaux 1 sot uls pour 1 et pour + 1. Il est maiteat temps de répodre aux trois questios posées e début de chapitre : 49 C est ue applicatio directe du cours, il y a grilles différetes au Loto. 7 Le ombre de choix possibles pour les 49 dates de aissace des élèves de la classe est puisqu o a 365 dates possibles pour chaque élève. Si o e veut pas de répétitio (doc des élèves tous és à des dates distictes, il y a plus que A possibilités. Autremet dit, la probabilité que tous les élèves soiet és à des dates différetes vaut A La 3654 probabilité qu au mois deux élèves soiet és le même jour vaut doc eviro L existece d aiversaires simultaés est pratiquemet certaie. Pour costituer le premier triôme, il faut choisir 3 élèves parmi les 48 élèves de la classe. Pour le deuxième, o choisit 3 élèves parmi les 45 restats, et aisi de suite jusqu à avoir à predre 3 élèves parmi les 3 deriers pour le derier triôme (autat dire qu o a plus le choix. Reste à diviser tous ces ( choix par( 16!, le ombre d ordres différets ( possibles ( qu o peut avoir ( sur les triômes, soit ( 3 ( 3 ( répartitios possibles. Si o écrit ! tout sous forme de quotiet de factorielles, ça se simplifie beaucoup pour laisser 48! (3! 16 16! (qui est accessoiremet u ombre gigatesque. O peut retrouver ce résultat directemet : o choisit u ordre sur les 48 élèves (d où le umérateur, puis o découpe la liste ordoée de 48 élèves e 16 paquets de 3. L ordre das chacu des 16 paquets a aucue importace (o divise doc 16 fois de suite par 3! et l ordre des 16 paquets a pas o plus d importace, doc o divise ecore par 16!. 7