CHAPITRE 4 : NOMBRES RATIONNELS ET DECIMAUX

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1 CHAPITRE 4 : NOMBRES RATIONNELS ET DECIMAUX I L esemble Q des ombres ratioels : Cet esemble ermet de allier e artie certaies isuffisaces de l esemble des ombres etiers, otammet le fait que la divisio de a ar b (avec b o ul) a toujours u résultat das l esemble Q. 1.1 caractérisatio : U ombre ratioel est u ombre qui est le quotiet de deux ombres etiers a et b (b o ul). C est doc la solutio d ue équatiob x a, avec a et b deux etiers relatifs et b 0. Ce ombre eut s écrire sous la forme d ue fractio b a, qui sera aussi otée ar la suite a/b. a est le umérateur et b est le déomiateur de la fractio. a/b est le quotiet de a ar b. fractios égales : si b et d sot des etiers relatifs o uls ; o a a c ssi a d bc. (roduits e croix) b d si k est u etier relatif o ul ; a a k a a : k o et. b b k b b : k Ue fractio eut être simlifiée e divisat so umérateur et so déomiateur ar u diviseur commu. Ue fractio est dite irréductible si le umérateur et le déomiateur ot as de diviseur commu autre que 1 (a et b sot dits ombres remiers etre eux). E divisat le umérateur et le déomiateur d ue fractio ar leur lus grad diviseur commu, o obtiet la fractio irréductible égale à la fractio de déart. Les critères de divisibilité, les tables, la décomositio e facteurs remiers euvet faciliter la simlificatio de fractios. Exercice1 : Simlifier, e exlicitat, les fractios suivates sas utiliser de calculatrice : ; ; ; roriétés das l esemble des ombres ratioels : si a et b sot des etiers relatifs o uls, a b a b 1 b comme 1, l iverse de est doc. b a b a a a b la somme, la différece, le roduit, le quotiet de deux ratioels sot des ratioels. L esemble des ratioels est totalemet ordoé : si a et b sot deux ratioels, o a toujours a b ou a b. Pour comarer deux fractios, o eut utiliser lusieurs méthodes : Méthode1 : si les déomiateurs sot égaux, o comare les umérateurs. La fractio la lus grade est celle qui a le lus grad déomiateur. Méthode : si les umérateurs sot égaux, o comare les déomiateurs. La fractio la lus grade est celle qui a le lus etit déomiateur. Méthode3 : sio, o réduit les fractios au même déomiateur. Méthode 4 : o utilise des valeurs arochées décimales de chaque fractio. L itervalle ]a ;b[ (esemble des ratioels q tels que a q b) ossède ue ifiité d élémets. Master1 UE4, EC4A, Elémets de mathématiques chaitre 4 ombres ratioels et décimaux Page 1

2 15 Exercice : trouver ue fractio qui s itercale etre et et ue etre et II l esemble D des ombres décimaux : Les calculs sur les fractios sot arfois logs et comliqués. Ces tâches sot lus agréables avec certais tyes de fractios, otammet celles dot les déomiateurs sot écrits avec des uissaces de dix..1 caractérisatio : U ombre décimal eut être défii comme u ombre ouvat être écrit sous forme de fractio b décimale : a, b état u ombre etier relatif et u ombre etier aturel. 10 Il eut ecore s écrire comme roduit d u ombre etier relatif ar ue uissace de dix : a b10. Il eut ecore s écrire avec ue écriture décimale qui comorte ue artie etière, qui eut être ulle, et ue artie décimale dot le ombre de chiffres différets de 0 est fii. U ombre décimal est égal à la somme de sa artie etière et de sa artie décimale : 1,3 = 1 + 0,3.. roriétés : La somme ou le roduit de deux ombres décimaux sot des ombres décimaux. Exercice 3 : 1/ La somme de deux ombres décimaux est-elle toujours u ombre décimal? / La somme de deux ratioels o décimaux est-elle toujours u ratioel o décimal? Pour comarer deux ombres décimaux, o comare d abord les arties etières ; si elles sot différetes, le lus grad ombre est celui qui a la lus grade artie etière ; si les arties etières sot égales, o comare resectivemet chaque chiffre des arties décimales, à artir des dixièmes, e s arrêtat dès qu u chiffre diffère à u rag doé. Le lus grad ombre décimal est celui qui a le lus grad chiffre à ce rag. Etre deux décimaux, o eut toujours itercaler ue ifiité de ombres décimaux. Exercice 4 : détermier deux chiffres a et b qui satisfot à l ecadremet : 3,876 3,8ab 4 3,834. Exercice 5 : déombrer les solutios de la double iégalité : 43,876 a 3,5cd 4 53,834. III l esemble R des ombres réels : 3.1 caractérisatio : L esemble R des ombres réels est u esemble «cotiu» : les ombres réels ermettet de graduer arfaitemet la droite, sas «trou». Certais ombres réels sot irratioels (ils e euvet as s exrimer sous forme de fractio) et sot solutios d équatios : de tels ombres sot aelés «ombres algébriques». est ue solutio de 1 5 l équatio x ². Le ombre d or est ue solutio de l équatio x ² x 1 0. D autres ombres irratioels e sot as solutio de telles équatios ; ils sot aelés «ombres trascedats». Exemles :, e. Master1 UE4, EC4A, Elémets de mathématiques chaitre 4 ombres ratioels et décimaux Page

3 3. roriétés : Les roriétés vérifiées das Q le sot aussi das R. Tout élémet o ul a u iverse our la multilicatio. La somme, la différece, le roduit, le quotiet (sauf cas d ue divisio ar 0) de deux ombres réels sot des ombres réels. L esemble des ombres réels est totalemet ordoé. L itervalle ]a ;b[ (esemble des réels q tels que a q b) ossède ue ifiité d élémets. 3.3 ordre sur les ombres réels : Le assage aux oosés s accomage du chagemet de ses de l iégalité. a b équivaut à - a -b. Le assage aux iverses our des ombres de même sige s accomage du chagemet de ses de l iégalité. 1 1 a b équivaut à. (a et b état deux ombres réels o uls de même sige) a b E ajoutat u même ombre réel aux deux termes d ue iégalité, o obtiet ue ouvelle iégalité de même ses que la remière. a b équivaut à a c b c et a b et c d etraie a c b d. E multiliat les deux termes d ue iégalité ar u même ombre réel ositif, o obtiet ue ouvelle iégalité de même ses que la remière. a b équivaut à ac bc. avec c ombre réel ositif o ul. E multiliat les deux termes d ue iégalité ar u même ombre réel égatif, o obtiet ue ouvelle iégalité de ses cotraire ar raort à la remière. a b équivaut à ac bc. avec c ombre réel égatif o ul. IV différetes maières d écrire les ombres : Il y a différetes maières d écrire les ombres. La maière dot u ombre est écrit e détermie as toujours sa ature! = 6/3 = 8 π / 4 π = 4 = - (-) = 1,999 Le fait de ouvoir l exrimer sous ue certaie forme ermet de détermier sa ature. 4.1 Commet recoaître si ue fractio rerésete u ombre décimal? U ombre ratioel est u ombre décimal si, armi toutes les fractios qui le rerésetet, Il y a au mois ue fractio décimale (le déomiateur est ue uissace de dix) ² Exemles : 0, ,0675. Master1 UE4, EC4A, Elémets de mathématiques chaitre 4 ombres ratioels et décimaux Page 3

4 Commet alors recoaître si u ombre ratioel exrimé sous forme de fractio irréductible /q est u ombre décimal? Par défiitio, si c est u ombre décimal, il existe u etier tel que (/q) 10 soit u etier. Or 10 = 5, doc (/q) 5 est u etier, doc ( 5 ) / q est u etier ; q e divisat as, q divise forcémet 5, q est doc de la forme 5 m, avec 0 et 0 m. A reteir : Les seuls ratioels qui sot des décimaux sot doc ceux qui euvet s écrire à l aide d ue fractio irréductible du tye : a 5 et état des etiers aturels. Exercice 6 : O doe les ombres ratioels suivats : 364 A et B 75 1/Les ombres A et B sot-ils des ombres décimaux? / Le ombre A + B est-il u ombre décimal? 4. Quel tye de ombres ue écriture décimale eut-elle reréseter? Ue écriture décimale eut désiger u etier (3,00), u ombre décimal (3,5), u ratioel o décimal (0,333 ) ou u irratioel ( = 1,414 ). Il e faut doc as cofodre «ombre décimal» et «écriture décimale». Commet, à artir d ue écriture décimale, détermier à quel esemble aartiet u ombre? Si l écriture décimale du ombre est fiie, le ombre est u ombre décimal ar défiitio. Si l écriture décimale du ombre est illimitée, il ya deux cas ossibles. 1 er cas : cas d u ombre ratioel : Pour u ratioel /q, les restes das les divisios successives euvet redre au lus q valeurs (0, 1,, 3,, q-1), le reste état toujours iférieur au diviseur q. Si l u des restes est égal à zéro, la divisio s arrête, /q est alors u ombre décimal. Si les restes successifs sot tous différets de zéro, ils euvet redre les valeurs (1,, q-1). La suite de ces restes successifs est illimitée, mais red au lus q-1 valeurs différetes. O retrouvera u reste déjà roduit, et doc la même suite de chiffres (la ériode) our le quotiet. Exemle : 43/7 = 6, la suite décimale est doc illimitée et ériodique. Si, à droite de la virgule, ue suite décimale est ériodique et illimitée, elle est l écriture d u ombre ratioel. Master1 UE4, EC4A, Elémets de mathématiques chaitre 4 ombres ratioels et décimaux Page 4

5 Exemle : soit x = 15,777 = 15,7. Alors 100 x = 157,77 doc 100 x x = 157,77-15, Soit 99 x = 151. Doc x ou ecore x Cas articulier : soit x = 1,99999 = 1,9. Alors 10 x = 19,999 doc 10 x x = 19,999-1, Soit 9 x = 18. Doc x ou ecore x. 9 Ue écriture décimale de ériode 9 désige u ratioel décimal! ème cas : cas d u ombre irratioel : Ue écriture décimale illimitée, mais o ériodique, est l écriture d u ombre irratioel (doc o ratioel). Exemles : π, e etc. Exercice 7: Le quotiet de deux etiers aturels eut avoir ue écriture décimale qui e se termie as. Par exemle, 7 0, et, / O cosidère le ombre x = 0,9999 = 0,9 (ériode à u chiffre). Comarer 10 x et 9 + x. / Démotrer que 0,999 = 1 à l aide la questio récédete. 3/Détermier ue écriture fractioaire de 19, Notatio scietifique : So recours ermet facilemet d arécier l ordre de gradeur d u ombre quad il comorte u grad ombre de chiffres. U ombre est écrit e otatio scietifique s il est écrit sous la forme a 10 s écrivat avec u seul chiffre o ul avat la virgule et u ombre etier relatif. avec a ombre décimal Exercice 8 : le so se roage à 3,43 10 m/s (à 0 C). Etre la visio d u éclair et le cou de toerre, 3,5 s se sot écoulées. A quelle distace l orage se trouve-t-il? Master1 UE4, EC4A, Elémets de mathématiques chaitre 4 ombres ratioels et décimaux Page 5

6 V aroximatio décimale d u ombre réel : Ue aroximatio décimale d u ombre réel est u ombre décimal que l o accete comme suffisammet voisi du ombre réel cosidéré. Cette aroximatio eut être obteue ar les arrodis ou les trocatures. 5.1 Valeur arochée : Ue valeur arochée ar défaut, à rès d u ombre x est u ombre a tel que : a x a. Ue valeur arochée ar excès, à rès d u ombre x est u ombre a tel que : a x a. Exemles : /7 = 3, Ue valeur arochée ar défaut à 1/10 rès de /7 est 3,1. Ue valeur arochée ar excès à 1/10 rès de /7 est 3,. Ue valeur arochée ar défaut à 1/1000 rès (ou à 10-3 rès) de /7 est 3,14. Ue valeur arochée ar excès à 1/1000 rès de /7 est 3, Arrodi : L arrodi à l uité de /7 est 3 : c est l etier relatif le lus roche de /7. L arrodi au dix-millièmes rès de /7 est 3,149 : c est le ombre décimal comortat 4 chiffres das sa artie décimale et qui est le lus roche de /7. Par covetio, l arrodi à l uité du ombre,5 est l etier Trocature : Pour troquer u ombre au rag cosidéré, o «coue» le ombre au rag cosidéré et o surime tous les chiffres à droite arès la couure. La trocature à l uité de /7 est l etier 3. La trocature de /7 au dix-millièmes rès est 3,148. Exercice 9: Soit a u ombre ratioel et b u ombre irratioel ; y a-t-il des etiers o uls : - our lesquels a soit u etier? - our lesquels b soit u etier? Master1 UE4, EC4A, Elémets de mathématiques chaitre 4 ombres ratioels et décimaux Page 6

7 CORRIGE DES EXERCICES CHAPITRE 4: Exercice1 : est comosé de 4 cetaies et 4 uités doc est divisible ar doc De même, Exercice : il y a ou bie. ou bie avec les valeurs arochées : , et 0, 76 doc est ue fractio ossible Exercice 3 : a 1/ Soit et 10 a 10 b 10 les deux ombres décimaux avec <. b a b 10 a b 10 a b 10 qui est ue fractio décimale / U seul cotre-exemle suffit : 1 qui est u ratioel décimal uisque ombre etier. 3 3 Exercice 4 : a =, il y a 6 réoses, ar exemle : 3,876 3,894 3,834. etc Exercice 5 : déombrer les solutios de la double iégalité : 43,876 a 3,5cd 4 53,834. a = 5 obligatoiremet. O a doc : 43,876 53,5cd 4 53,834. il ya alors 10 chiffres ossibles our c et 10 chiffres ossibles our d soit 100 ombres, il ya doc 100 valeurs ossibles. Master1 UE4, EC4A, Elémets de mathématiques chaitre 4 ombres ratioels et décimaux Page 7

8 Exercice 6 : O doe les ombres ratioels suivats : 364 A et B 75 1/ = mais 364 est as divisible ar 11 (364 = ) doc le déomiateur de A est as du tye 5 m doc A est as u ombre décimal. 75 = 11 5 mais 384 est as divisible ar 11 (384 = ) doc le déomiateur de B est as du tye 5 m doc B est as u ombre décimal. / A B or ce qui rouve que A+B est u ombre décimal. 5 5² Exercice 7: 1/ 10 x = 10 0,9999 = 9,9999 et 9 + x = 9 + 0,9999 = 9,9999. Doc 10 x = 9 + x. / résolvos cette équatio : 10 x = 9 + x ssi 10 x x = 9 ssi 9 x = 9 ssi x = 1. 3/ soit x = 19, x = 1 978,7878 alors 100 x x = alors 99 x = alors x = / 99 = 653 / 33. ème méthode : Comme à la questio 1/ x = ,7878, osos y = 0,7878 alors 100 y = 78,7878 = 78 + y Alors 100 y = 78 + y soit 99 y = 78 et y = 78/99 et x = /99 = 653/33. Exercice 8 : d = v t. d = 3,4310 3, 5 = 1,00510 m = 100,5 m = 1,005 km. Exercice 9: 1/ soit a = /q alors a = /q = ( )/q. Il suffit de redre comme multile de q our que a soit u etier. / ar l absurde : suosos que b soit u etier c alors b = c alors b = c/ ombre ratioel. Or c est cotraire à l éocé uisque b est irratioel doc otre suositio est fausse doc b e eut as être u etier. Master1 UE4, EC4A, Elémets de mathématiques chaitre 4 ombres ratioels et décimaux Page 8