TD5 : Variables aléatoires discrètes dénombrables

Transcription

1 MA40 : Probabilités : Variables aléatoires discrètes déobrables Exercice Ue ure cotiet des boules blaches et oires. O suose que la robabilité de iocher ue blache vaut ]0, [. O effectue des tirages successifs avec reise. Soit la variable aléatoire égale au rag d aaritio de la -ère boule blache.. Recoaître la loi de et doer la valeur de E( ) et de V ( ).. Soit la variable aléatoire égale au rag d aaritio de la -ièe boule blache. Déterier la loi de aisi que so esérace. Exercice O cosidère deux variables et Y telles que (Ω) Y (Ω) N et i, N, P ( i et Y ) i+ ( ) + ( ) i+.. Doer les lois de et de Y.. Motrer que et Y adettet des eséraces et exliciter E() et E(Y ). 3. Justifier que la variable ( ) adet ue esérace et la calculer. E déduire V (). Procéder de êe avec Y. 4. Si, otrer que et Y sot déedates (utiliser P ( Y )) 5. Motrer que et Y sot idéedates lorsque. Exercice 3 Soiet a et b deux réels tels que 0 < a < et 0 < b <. O effectue ue suite d exériece aléatoires cosistat à eter siultaéet deux ièces de oaie otées A et B. O suose que ces exérieces sot idéedates et qu à chaque exériece les résultats des deux ièces sot idéedats. O suose que, lors d ue exériece, la robabilité que la ièce A doe ile est a, et que la robabilité que la ièce B doe ile est b. Soit le obre d exérieces qu il faut réaliser avat que la ièce A doe face our la reière fois, et Y le obre d exérieces qu il faut réaliser avat que la ièce B doe face our la reière fois.. Quelles sot les lois de robabilités de et de Y? Calculer E().. Calculer la robabilité de l évèeet ( Y ). Iterrétatio. 3. Trouver, our N, la valeur de P ( > ). E déduire les robabilités P ( > Y ) et P ( Y ). Iterrétatio. Exercice 4 U éage coorte guichets uérotés de à. Soit N la variable aléatoire égale au obre de voitures arrivat au éage e heure. O suose que N suit ue loi de Poisso de araètre λ > 0. O suose de lus que les coducteurs choisisset leur file au hasard et que ces choix sot idéedats. Soit la variable aléatoire égale au obre de voitures se résetat au guichet.. Calculer P (N) ( ), 0.. Justifier que P ( ) + P (N) ( ) P (N ) 3. Motrer que P ( ) e λ ( λ )! + 0 ( ( λ.! )) 4. E déduire la loi de robabilité de (o retrouvera ue loi usuelle) 5. Doer sas calcul les valeurs de E() et de V (). Exercice 5 O suose que le obre N de colis exédiés à l étrager chaque our ar ue etrerise suit ue loi de Poisso de araètre λ. Ces colis sot exédiés idéedaet les us des autres. La robabilité our qu u colis exédié à l étrager soit détérioré est égale à t. O s itéresse aux colis exédiés à l étrager u our doé : N est la variable aléatoire égale au obre de colis exédiés ; est la variable aléatoire égale au obre de colis détériorés ; Y est la variable aléatoire égale au obre de colis e bo état. O a doc : + Y N.. Calculer, our tout, N, la robabilité coditioelle suivate : P (N) ( ).. E déduire que suit la loi de Poisso P(λt). 3. E suivat ue éthode siilaire à, déterier la loi de Y. 4. Les variables et Y sot-elles, à riori et sas calcul, idéedates? 5. Calculer la robabilité P (( ) (Y q)) et P ( )P (Y q). Coclusio L Mathéatiques et Iforatique FST - Uiversité Paul Cézae

2 MA40 : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices correctio de l exercice. O réète idé iet l exériece E " iocher ue boule das l ure ", les exérieces état utuelleet idéedates et rerésete le rag de réalisatio de l évèeet A " obteir ue boule blache " dot la robabilité est égale à doc suit la loi géoétrique G(), c est-à-dire () N ; 8 N P ( ) ( ) E articulier, adet ue esérace et ue variace et o a E( ) et V ( ). Loi de : Etat doé que l o e eut obteir la -ièe boule blache qu à coter de la secode ioche, il est iédiat que () Nf0; g: Le rag d aaritio de la secode boule blache déedat du rag d aaritio de la reière boule blache, c est-à-dire des évèeets f( ); ( ); ::g f( i)g in : E utilisat le systèe colet d évèeets f( i)g in ; o a 8 Nf0; g; P ( ) i P ( i \ ) ( ) ( ) ( )( ) i i i P ( i \ ) + i P ( i \ ) {z } 0 Justi catio des calculs de robabilités : Etat doé que la secode boule blache aarait écessaireet arès la reière boule blache (!!), l évèeet ( i \ ) est iossible lorsque i > : Lorsque i <, i 6 ; l évèeet ( i \ ) est idetique à l évèeet B \ \ B i \ B i \ B i+ \ B \ B, où B désige l évèeet " obteir ue boule blache à la -ièe ioche ". Etat doé que ces évèeets sot utuelleets idéedats, que deux de ces évèeets ot our robabilité et les autres ot la robabilité ( ), o e déduit que P ( i \ ) P (B \ \ B i \ B i \ B i+ \ B \ B ) P (B ) P (B i )P (B i )P (B i+ ) P (B )P (B ) ( ) Esérace de : La variable adet ue esérace ssi la série > P ( ) > ( )( ) > coverge, ce qui est le cas car ]0; [ doc à ] ; [ et l o a E( ) ( )( ) + ( )( ) ( )( ) ( ( )) 3 correctio de l exercice. Loi de : Par dé itio, () N et, e utilisat le systèe colet d évèeets f(y ); (Y ); :::g f(y )g N ; o a, our tout i N ; P ( i) P ( i \ Y ) i+ ( ) + ( ) i+ i+ ( ) + ( ) i+ + + i+ ( ) + + ( ) i+ ( ) i+ ( ) i+ ( ) 0 0 ( ) + ( )i+ ( )i + ( ) i ( ) + ( ) i+ De êe, Y () N et, e utilisat le systèe colet d évèeets f( ); ( ); :::g f( i)g in ; o a, 0 /7 abdellah bechata L Mathéatiques et Iforatique FST - Uiversité Paul Cézae

3 MA40 : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices our tout N ; P (Y ) i ( ) P ( i \ Y ) 0 i + + ( ) + ( ) + ( 0 ( ) + ( ) i+ ( ) + ( ) i+ ( ) i + ( ) ( ) i 0 0 ( ) + ( ) + ) ( ) ( ) + ( ) ( ). adet ue esérace et calcul de E() : La variable adet ue esérace ssi la série ip ( i) i ( ) i + ( ) i ( ) i i + i( ) i ( ) i i + i( ) i i> i> i> i> i>0 i>0 i i coverge. Or cette derière série est ue cobiaiso liéaire de deux séries covergetes (car et à ]0; [ doc à ] ; +[); ce qui ilique que adet ue esérace et aartieet E() i> ip ( i) ( ) i i ( ) i + ( ) i ( ) i i + ( ) i( ) i i ( ) + ( ) ( ( )) + Y adet ue esérace et calcul de E(Y ) : La variable Y adet ue esérace ssi la série > P (Y ) > ( ) + ( ) ( ) + >0 ( ) >0 ( ) + > i ( ) > coverge. Or cette derière série est ue cobiaiso liéaire de deux séries covergetes (car et à ]0; [ doc à ] ; +[); ce qui ilique que Y adet ue esérace et aartieet E(Y ) P (Y ) 0 ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) 0 ( ( )) + ( ) ( ) + 3. Variace de : La variable adet ue variace ssi la série P i> i P ( i) coverge, ce qui est vrai uisque l égalité suivate i P ( i> i) [i(i i> ) + i] P ( i) i(i i> )P ( i) + ip ( i) i> i> i(i ) ( ) i + ( ) i + i> ( ) i> ( ) i>0 i(i ) i + ( ) i> i(i ) i + ( ) i>0 i ( ) i + ( ) i i(i )( ) i + ( ) i> i(i )( ) i + ( ) i>0 0 i i + ( ) i> i i + ( ) i>0 i( ) i i( ) i L Mathéatiques et Iforatique FST - Uiversité Paul Cézae /7 abdellah bechata

4 MA40 : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices (car les teres corresodat à i 0 sot uls) otre que la série cosidérée est ue cobiaiso liéaire de séries covergetes (car et aartieet à ]0; [ doc à ] ; +[) et l o a E i i P ( i) + + ( ) i(i ) i + ( ) i0 i0 i(i )( ) i + ( ) i0 i i + ( ) i0 i( ) i ( ) ( ) 3 + ( ) ( ( )) 3 + ( ) ( ) + ( ) ( ( )) V () E( ) [E()] " # Variace de Y : La variable Y adet ue variace ssi la série P P (Y ) coverge, ce qui est vrai uisque l égalité suivate > P (Y ) >[( ) + ]P (Y ) > ( )P (Y ) + > > >0 > ( ) ( ) + ( ) + > ( ) ( ) + ( ) + >0 ( ) >0 + >0 ( )( ) + ( ) >0 ( ) + ( ) >0 P (Y ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) otre que la série cosidérée est ue cobiaiso liéaire de séries covergetes (car et aartieet à ]0; [ doc à ] ; +[) et l o a E Y ( ) P (Y ) 0 ( ) + + ( )( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ( )) 3 + ( ) + + V () E( ) [E()] 4. D arès l éocé, o a et d arès la questio, o a ( )) ( ( )) + ( ) + P ( \ Y ) ( ) + ( ) ( )( + ) ( ) P ( )P (Y ) [( ) + ( )] + ( ) ( ) + ( ) 0 ( ) L Mathéatiques et Iforatique FST - Uiversité Paul Cézae 3/7 abdellah bechata

5 MA40 : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices Par coséquet, e teat cote que et aartieet à ]0; [ et sot disticts de ; o a P ( \ Y ) P ( )P (Y ), ( ) ( ) + ( ), + ( ), ( + ), , ( ) 0, ce qui est absurde car 6 doc les variables et Y sot déedates lorsque 6 : 5. E utilisat l éocé et la questio, o a, our tous i et das N ; " i P ( i) P (Y ) + # " i + " i+ # " i+ + # " + # " i+ + + i i+ i+ i+ i+ P ( i et Y ) + + i++ i+ doc 8i; N ; P ( i) P (Y ) P ( i et Y ) ; ce qui ilique que les variables et Y sot idéedates lorsque : # # + i+ correctio de l exercice 3 O cosidère P (res. F ) l évèeet " obteir Pile au -ièe lacer " (res. " obteir Face au -èe lacer "). Pour éviter des otatios tro lourdes, o otera P P F l évèeet P \ P \ F 3 :. Loi de : () N (il faut au ois u lacer our obteir Face!) et lacers z } { 8 N ; ( ) ( P {z P } F ) (P ):::(P )(F ) a ( a) fois Loi de Y : Y () N (il faut au ois u lacer our obteir Face!) et lacers z } { 8 N ; (Y ) ( P {z P } F ) (P ):::(P )(F ) b ( b) fois Esérace de : La variable adet ue esérace ssi la série P P ( ) P a ( a) ( a) P a > > >0 coverge, ce qui est le cas car a ]0; []. L évèeet ( Y ) s écrit aussi ; [ et l o a E() ( a) 0 a ( a) ( Y ) ( \ Y ) [ ( \ Y ) [ L uio état disoite et les variables et Y état idéedates, o a : P ( Y ) P ( \ Y ) ( a)( b) ( a) a + [ P ( )P (Y ) (ab) ( a)( b) ( a)( b) ( a)( b) ab ab 0 ( \ Y ) (ab) ( ) a ( a)b ( b) L Mathéatiques et Iforatique FST - Uiversité Paul Cézae 4/7 abdellah bechata

6 MA40 : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices Iterrétatio : La robabilité que chaque oueur obtiee ile our la reière fois au êe lacer est égale à 3. P ( > ) : L évèeet ( > ) s écrit ecore L uio état disoite, o e déduit que P ( > ) + ( a) ( a)( b) : ab ( > ) ( + ) [ ( + ) [ P ( ) 0 + a ( a) ( a) + + [ + ( ) a + ( ( + ) ) + + ) ( a)a + P ( > Y ) : O itroduit aturelleet le systèe colet d évèeets a ( a) a + a a ( a)a a a f(y ); (Y ); :::g (Y ); N Esuite, la réalisatio de l évèeet [( > Y ) \ (Y )] ilique bie etedu la réalisatio de l évèeet ( > )\(Y ); la réciroque état évidete (rearquez que l o e eut as dire que les évèeets [( > Y ) \ (Y )] et ( > ) sot idetiques car ce derier e doe aucue iforatio sur Y ): Dès lors, e teat cote que les variables et Y sot idéedates, o e déduit que P ( > Y ) b b P [( > Y ) \ (Y )] a b ( b) b b ab (ab) 0 a( b) ab P [( > ) \ (Y )] a b b b (ab) b b P ( > )P (Y ) 0 (ab) + ( ) correctio de l exercice 4. L évèeet (N ) est réalisé et l o souhaite la réalisatio de l évèeet ( ); autreet dit, voitures arrivet au éage e heure et o souhaite que voitures se résetet au guichet. O réalise doc exérieces idetiques à E " la voiture se résete au éage ", utuelleet idéedates et o souhaite réalisatios de l évèeet A " la voiture se résete au guichet ", dot la robabilité est égale à (chaque éage état choisi avec la êe robabilité). Par coséquet, o se trouve das le cadre du schéa biôial doc 8 N; 8 [[0; ]]; P (N) ( ). Le obre de voitures se résetat au guichet déed évideet du obre de voitures résetes au éage, c est-à-dire des évèeets f(n 0); (N ); :::g f(n ); Ng : E utilisat le systèe colet d évèeets (N ) N ; la forule des robabilités totales ous doe P ( ) 0 P (N \ ) P (N \ ) + {z } 0 0 P (N \ ) P (N )P (N) ( ) P (N \ ) Justi catio : O e eut avoir lus de voitures au guichet que de voitures résetes au éage doc l évèeet (N \ ) est iossible lorsque >, < : L Mathéatiques et Iforatique FST - Uiversité Paul Cézae 5/7 abdellah bechata

7 MA40 : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices Puisque N suit la loi de Poisso P(); c est-à-dire les questios et ous doe les égalités suivates P ( ) e e!! N() N et 8 N; P (N ) e! ; ( )! + e e!!!( +! 0! )! e! 0! e! 0! 4. E utilisat la questio récédete, o costate que la soe corresod à la soe de la série exoetielle doc e 8 N; P ( ) ex! O e déduit iédiat que suit la loi de Poisso P 5. D arès le cours sur la loi de Poisso, o a E() V (). ex! correctio de l exercice 5. L évèeet (N ) est réalisé et l o souhaite la réalisatio de l évèeet ( ); autreet dit, colis sot exédiés et souhaite que colis soiet détériorés. O réalise doc exérieces idetiques à E " exédier le colis ", utuelleet idéedates et o souhaite réalisatios de l évèeet A " le colis est détérioré ", dot la robabilité est égale à t. Par coséquet, o se trouve das le cadre du schéa biôial doc 8 N; 8 [[0; ]]; P (N) ( ) t ( t). Le obre de colis détériorés déed évideet du obre de colis exédiés, c est-à-dire des évèeets f(n 0); (N ) f(n ); Ng : E utilisat le systèe colet d évèeets (N ) N aisi que la forule des robabilités totales et e teat cote que l évèeet (N \ ) est iossible lorsque < (o e eut avoir stricteet lus de colis détériorés que de colis exédiés), o e déduit les di éretes égalités suivates P ( ) 0 e t + e t! e t! e t! P (N \ ) P (N \ ) + {z } 0 0 P (N \ )! doc suit la loi de Poisso P(t):!!!( )! ( t) e t! ( t) ( ) P (N )P (N) ( )! ( t) e t ( ( t))!! 0 ex ( ( t)) ex ( t) (t)! P (N \ ) e! ( t) ( )! (série exoetielle) t ( t) L Mathéatiques et Iforatique FST - Uiversité Paul Cézae 6/7 abdellah bechata

8 MA40 : Probabilités PHEC Correctio feuille d exercices Les calculs sot absoluet idetiques (et laissé au lecteur) e relaçat ar Y; t ar t (robabilité qu u colis e soit as détérioréà, o obtiet au al (( t))q Y () N et 8q N; P (Y q) ex ( ( t)) q! 4. O se dit que le obre de colis détériorés déed du obre de colis o détériorés et réciroqueet doc o ese que les variables et Y sot déedates D ue art, les questios et 3 ous doe 8; q N; P ( )P ( q) ex ( t) (t)! (( t))q ex ( ( t)) q! e +q t ( t) q!q! Esuite, our calculer la robabilité P (( ) \ (Y q)); ous devos cosidérer le systèe colet d évèeets (N ) N (le obre de colis détériorés et o détériorés déed du obre de colis exédiés) doc P (( ) \ (Y q)) 0 P [( ) \ (Y q) \ (N )] Or N + Y doc lorsque 6 + q; l évèeet ( ) \ (Y q) \ (N ) est claireet iossible doc P (( ) \ (Y q)) P [( ) \ (Y q) \ (N + q)] P [( ) \ (N + q)] E e et, la réalisatio de l évèeet ( )\(Y q)\(n +q) ilique celle de l évèeet ( )\(N +q): Réciroqueet, si l évèeet ( ) \ (N + q) est réalisé alors, état doé que N + Y ar dé itio, o a écessaireet Y ( + q) q doc l évèeet ( ) \ (Y q) \ (N + q) est réalisé. Pour ir, e utilisat les questios et, o obtiet " # P (( ) \ (Y q)) P (N + q)p (N+q) ( ) e +q + q t ( t) q ( + q)! ce qui etraie que e +q t ( t) q ( + q)! e +q t ( t) q ( + q)!!q!!q! 8; q N; P (( ) \ (Y q)) P ( )P ( q) doc les variables et Y sot idéedates!!! E fait, la coaissace du obre de colis détériorés e eut déterier celui du obre de colis o détériorés car le obre de colis exédiés est as dé i doc celui du obre o détériorés égaleet. Réciroqueet la coaissace du obre de colis o détériorés e eut déterier le obre de colis détériorés. L Mathéatiques et Iforatique FST - Uiversité Paul Cézae 7/7 abdellah bechata