Correction de la question de cours 1

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1 Math I Aalyse Exame du 9 décembre 2007 Durée 2 heures Aucu documet est autorisé. Les calculatrices, téléphoes portables et autres appareils électroiques sot iterdits. Il est iutile de recopier les éocés. Toutes répose doit être justifiée. Il sera teu compte de la qualité de la rédactio das la correctio. Questio de cours Soit A ue partie o vide de R.. Doez la défiitio d ue bore iférieure pour A. 2. Doer ue coditio écessaire et suffisate pour que A admette ue bore iférieure. 3. Si A admet a comme bore iférieure et si A Q, a-t-o écessairemet, a Q? Soit x R tel que pour tout ε > 0, x ε. Motrer que x = 0. orrectio de la questio de cours. Pour tout M La partie A admet ue bore iférieure s il existe b A (b est la bore iférieure de A) tel que pour tout a A, b a et pour tout x miorat A, o a x b. 2. A admet ue bore iférieure si et seulemet si A est miorée. 3. A = {r Q; r 2 < 2} admet 2 comme bore iférieure et 2 Q. Supposos que x 0, alors il suffit de predre ε = x pour motrer que pour tout ε > 0, x < ε est faux doc x = 0. Questio de cours 2 Eocer les théorèmes suivats, puis rappeler la défiitio des otios mathématiques iterveat das leur hypothèses : Théorème de Bolzao-Weierstrass Théorème des valeurs itermédiaires Théorème des accroissemets fiis orrectio De toute suite réelle borée o peut extraire ue sous-suite covergete. Soit I u itervalle de R. Pour tout a, b I, avec f(a) f(b), pour tout y etre f(a) et f(b) (c est-àdire das [f(a), f(b)] si f(a) < f(b) ou das [f(b), f(a)] si f(a) > f(b)), il existe x [a, b] tel que y = f(x). Soit ue foctio f: [a, b] R, avec a < b. O suppose que f est cotiue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c ]a, b[ tel que f f(b) f(a) (c) = f(b) = f(a) + (b a)f (c) b a Exercice : Soit ue foctio f: [0,] R dérivable et telle que f(0) = 0, f() =, f (0) = 0, f () = 0 O défiit g: [0,] R f(x) x g(x) = { si x 0 x 0 si x = 0 2

2 . Motrer que g est cotiue sur [0,]. E déduire qu il existe c [0,] tel que g(x) g(c) pour tout x [0,] 2. Motrer que g est dérivable e tout poit x ]0,] et calculer g (x). E déduire que c. 3. Motrer que c 0. E déduire que f (c) = f(c) c orrectio exercice. Si x ]0,] alors g est cotiue e tat que quotiet de foctios défiies et cotiues. E x = 0, pour x > 0 f(x) f(x) f(0) = x x 0 omme f est dérivable e 0, ce taux de variatio admet ue ite lorsque x ted vers 0 : f (0) = 0 = f(x) f(0) = f (0) = 0 = g(0) x 0 + x 0 e qui motre que g est cotiue e 0. g est cotiue sur [0,]. g est cotiue sur l itervalle fermé et boré [0,] doc g est borée et atteit ses bores, e particulier g admet u maximum e ue valeur c [0,], c est-à-dire que pour tout x [0,], g(x) g(c). 2. Si x ]0,] alors g est dérivable e tat que quotiet de foctios dérivables. f(x) g(x) = x 0 + x 0 + x x ]0,], g (x) = f (x)x f(x) x 2 g () = f () f() = < 0 Si c =, pour tout x [0,], g(x) g() = f() =, soit 0 e qui sigifie que Autremet dit = x x ε > 0, η > 0, x ] η, [, ( ) < ε x Or x ] η, [ > 0 x ar le umérateur et le déomiateur sot strictemet égatifs. Preos ε = 2 + < x 2 e qui est impossible car la valeur absolue d u ombre positif plus e peut-être iférieure à 2. Remarque : Le fait que g () < 0 motre qu e x = la pete de la tagete à la courbe est égative, l eui, c est que l o e peut pas e déduire que sur u itervalle (même petit) cette dérivée est égative, ce qui est dommage, parce que das ce cas o aurait pu dire que la foctio était décroissate sur u petit itervalle à droite de x = et que doc g() était pas u maximum. 3. g(0) = 0 et g() = doc g admet pas de maximum e x = 0, autremet dit c 0. Doc c ]0,[, la foctio g état dérivable sur l itervalle ouvert ]0,[, si elle atteit so maximum e c alors g (c) = 0, ce qui sigifie que f (c)c f(c) c 2 = 0 e qui équivaut à

3 f (c) = f(c) c Exercice 2 : Pour tout etier N, o cosidère la foctio f : R + R défiie par : f (x) = exp ( x ) 2( x). Das cette questio, l etier N est fixé. (a) Motrer que la foctio f est strictemet croissate sur R +. (b) Motrer qu il existe u uique x ]0,[ tel que f (x ) = 0. (c) Motrer que f + (x ) est strictemet positif. 2. O cosidère maiteat la suite de terme gééral x. (a) Motrer à l aide de la questio précédete que la suite (x ) N est décroissate. (b) E déduire que la suite (x ) N est covergete. O otera x = + x. 3. Il s agit de calculer x. (a) Motrer que ( x ) ted vers 0 lorsque ted vers l ifii. (b) oclure. orrectio exercice 2. (a) f est dérivable sur R + f (x) = exp ( x ) = > 0 ar La dérivée de f état positive sur l itervalle R +, f est strictemet croissate. (b) f (0) = exp(0) 2( 0) = 2 = < 0 et f () = exp ( ) 2( ) = exp ( ) > 0 La foctio f état cotiue sur l itervalle [0,], f est ue bijectio de ]0,[ sur ], exp ( )[, il existe u uique x ]0,[ tel que f (x ) = 0. (c) omme O a f (x ) = 0 exp ( x ) 2( x ) = 0 exp ( x ) = 2( x ) Puis e multipliat par x > 0 Puis par O obtiet x f + (x ) = exp ( + ) 2( x ) = exp ( x exp ( x + > + < x + < x x x < + ) < exp ( x + ) e qui motre que f + (x ) > 0 2. (a) Pour tout, la foctio f + est strictemet croissate sur R + 0 = f + (x + ) < f + (x ) x + < x + ) exp ( x )

4 Doc la suite (x ) N est strictemet décroissate. (b) omme x ]0,[, la suite (x ) N est miorée par 0, comme elle est décroissate, elle coverge vers ue ite x. 3. (a) 0 < x < doc 0 < x <, d après le théorème des gedarmes x + = 0 x + = 0 (b) O fait tedre vers l ifii das l expressio e qui équivaut à exp ( x ) 2( x ) = 0 exp(0) 2( x) = 0 O a doc 2 + 2x = 0 x = 2 + x = 2 Exercice 3 : Soit f: R R ue foctio dérivable telle que pour tout x R, f (x)f( x) = (). O défiit g: R R par g(x) = f(x)f( x). Démotrer que g est costate. (ommecer par calculer sa dérivée.) 2. O ote la valeur pris par g. Motrer que est o ul, et que pour tout x R, o a f (x) = f(x). 3. E déduire que f est de la forme f(x) = λ exp ( x λ2) avec λ Réciproquemet, motrer que pour tout λ 0, la foctio f: x λ exp ( x λ2) vérifie la propriété () orrectio exercice 3. g est ue foctio dérivable sur R. g (x) = f (x)f( x) + f(x)( f ( x)) = f(x)f ( x) omme pour tout x R, o a f (x)f( x) =, l égalité est vraie e chageat x e x : f ( x)f(x) = Par coséquet pour tout x R, o a g (x) = 0 doc g est costate. 2. D après () x R, f( x) 0 par coséquet e chageat x e x, x R, f(x) 0, o e déduit que x R, g(x) = f(x)f( x) 0 O a x R, f(x)f( x) = et f (x)f( x) = e qui équivaut à x R, f( x) = et f( x) = f(x) f (x) ar d après () i f(x) i f (x) e peuvet être ul. O e déduit que x R, f(x) = f (x) e qui équivaut à x R, f (x) = f(x) 3. D après 2.

5 E itégrat cette iégalité e qui équivaut à Si x R, f(x) > 0, o a Si x R, f(x) < 0, o a Das tous les cas o a x R, f (x) f(x) = x R, l f(x) = x + K, K R x R, f(x) = exp ( x + K) = exp (x ) exp(k), K R x R, f(x) = exp(k) exp ( x ), K R x R, f(x) = exp(k) exp ( x ), K R x R, f(x) = λ exp ( x ), λ R Remarque : Il aurait été plus simple de dire que f vérifiait l équatio différetielle liéaire du premier ordre suivate : y y = 0 Et d utiliser le résultat du cours qui dit que les solutios sot de la forme D autre part f vérifie () doc D où y(x) = λ exp ( x ), λ R x R, f (x)f( x) = x R, λ exp (x ) λ exp ( x ) = λ2 = = λ2 ar 0 4. λ 0 f vérifie bie (). x R, f(x) = λ exp ( x λ2), λ R x R, f (x)f( x) = λ λ 2 exp ( x λ 2) λ exp ( x λ 2) =

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