Mémoire associative. Chapitre La tâche
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- Bertrand Pothier
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1 151 Chaptre 6 Mémore assocatve 61 La tâche Le but de la mémore assocatve est de retrouver un motf mémorsé auparavant Contrarement à la mémore dans l archtecture de von eumann de l ordnateur classque, les motfs mémorsés ne sont pas retrouvés grace à une adresse, mas drectement par le contenu (content-adressable memory) Regardons un exemple Comme sur la fgure 61, on reçot en entrée un dessn qu peut être partel ou bruté La tâche est de retrouver, parms les motfs en mémore, le motf le plus proche de l mage d entrée Fg 61 A gauche est montré l état actuel x(t 0 ) Le but est de retrouver parm tous les motfs à dsposton, le motf ξ (à drote) qu est le plus proche de x(t 0 ) Pour analyser cette tâche, on dvse l mage en pxels Les pxels ont des valeurs
2 152 CHAPITRE 6 MÉMOIRE ASSOCIATIVE x avec 1 x 1, et un ndce 1 où est le nombre de pxels L ensemble de pxels représente l mage actuelle et est noté comme x, comme llustré sur la fgure 62 Les motfs ξ en mémore ont des valeurs ξ = ±1 Ic 1 est l ndce du pxel et avec 1 P est l ndce du motf Pour la constructon d une mémore assocatve on va dentfer chaque pxel avec un neurone x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 xn Fg 62 L ensemble de pxels x représente l mage actuelle x Dans le modèle de Hopfeld, chaque pxel correspond à un neurone On peut défnr une mesure de smltude ( overlap ) ente l mage actuelle x et un motf : m (t) = 1 ξ x (t) (61) }{{} =1 =1 s ξ =x(t) Par la normalsaton, on a m (t) 1 S m = 1, tous les pxels sont corrects: ξ = x (t) Avant de dscuter le modèle de Hopfeld de la mémore assocatve, rappelons ce que serat un algorthme classque sur un ordnateur tradtonel pour résoudre la tâche de retrouver le motf le plus proche de l mage x 1 Mémorser tous les motfs ξ pour 1 P ξ = ±1, 1 P, 1 Cela fat P bts à stoquer 2 Intalser avec l état actuel x (t 0 ) 3 Pour 1 P, calculer la smltude: m (t) = 1 ξ x =1 4 Chercher avec m m
3 62 LE MODÈLE DE HOPFIELD Sortr ξ Par contre, avec un réseau de neurones, on peut résoudre la même tâche avec: Une mémore dstrbuée (les connexons) De multples processeurs smples(les neurones) Un algorthme qu est mplcte dans l nteracton entre les neurones Il nous faut donc défnr les connexons ou nteractons entre les neurones ans que la dynamque de chaque neurone et du réseau Ces défntons nous aménent au modèle de Hopfel de la mémore assocatve 62 Le modèle de Hopfeld Dans le modèle de Hopfeld, la dynamque des neurones, les nteractons entre les neurones, et la mse-à-jour du réseau sont défns d une manère très smple La dynamque d un neurone est défne dans le temps dscrèt La nouvelle valeur x (t) d un neurone (pxel) à temps t + t est donnée par une foncton sgmoïde de son potentel à temps t: ou le potental h est défn ans: x (t + t) = g[h (t)] = tanh[β h (t)] (62) h (t) = w x (t) (63) =1 C est-à-dre que chaque pare de neurone (,) est connectée, comme llustré sur la fgure 63 Fg 63 Chaque pare (,) est connectée Pour la mse-à-jour du réseau, on a le chox entre deux possbltés: En parallèle: Au temps t, calculer h (t) pour tout
4 154 CHAPITRE 6 MÉMOIRE ASSOCIATIVE Au temps t + t, mettre tous les neurones à jour Asynchrone: Au temps t, calculer h (t) pour un neurone Au temps t + t, mettre ce neurone à jour Pour ben comprendre le chox des connexons, nous dscutons d abord le stocage d un seul motf On chost une valeur de +1 pour une connexon entre deux neurones, s les deux neurones concernés du motf à stocer en mémore ont la même valeur; et on prend une valeur de 1 snon Ans, w = ξ ξ La fgure 64 montre la valeur des pods que peuvent prendre les connexons entre deux neurones Fg 64 Connexons entre les neurones Le chox explqué jusqu c est une excellente règle pour stocer un seul motf s le motf a à peu près le même nombre de pxels nor que de pxels blanc Parce que nous amerons en stocer pluseurs, nous utlsons plutôt une règle qu somme les résultats sur tous les motfs, w = 1 P ξ ξ (64) Le facteur 1/ effectue une normalsaton qu s avérera utle plus tard Remarque: On peut consdérer w dans l equaton 64 comme étant le résultat de l apprentssage Avant l apprentssage on ntalse tous les pods avec w (t = 0) = 0 Ensute, quand un motf est présenté au réseau, un changement w = 1 ξ ξ est effectué, ce qu ressemble à la règle de Hebb On peut se demander comben de motfs on peut stocer avec la règle 64 On trouve que le nombre maxmal p max de motfs qu on peut ans stocer dépends =1
5 63 AALYSE DE LA DYAMIQUE 155 du nombre de neurones dans le réseau, p max = α c Où α c représente la capacté du réseau Avec des motfs aléatores, α c 014 C est-à-dre qu avec des motfs aléatores, dans un réseau de 1000 neurones, on peut stocer envron 140 mages Remarque: Rappelons que l nformaton est stocée dans la valeur des connexons (et non dans les neurones) Le fat que le nombre p max est proportonel à est facle à comprendre car α c = p max = p max ombre de pxels a stocer 2 = ombre de connexons a dsposton 63 Analyse de la dynamque But Dans cette secton, nous cherchons à démontrer que le réseau décrt en 62 fonctonne correctement C est à dre que s nous donnons un motf à reconnaître à notre réseau, alors l se drgera vers le modèle le plus proche du motf en queston, parms les modèles stocés en mémore L entrée de chaque neurone vaut: h (t) = w x (t) Par 64, nous pouvons réécrre: h (t) = ( ) 1 ξ ξ x (t) Ce qu est équvalent à: h (t) = ξ [ ] 1 ξ x (t) }{{} m (t) (par 61) Donc, h (t) = ξ m (t) (65) Admettons que l entrée ae la melleure ressemblance avec le modèle ν Plus spécfquement, nous fasons l hypothèse que la smltude avec le motf ν a une
6 156 CHAPITRE 6 MÉMOIRE ASSOCIATIVE valeur m ν sgnfcatve (par exemple m ν = 03), alors que la smltude avec d autres motfs ν est m = 0 Prouvons que le réseau se drge vers ν Par 62, Par 65, cela nous donne: m ν (t + t) = 1 m ν (t + t) = 1 m ν (t + t) = 1 ξ ν x (t + t) ξ ν ξ ν tanh[β h (t)] tanh[β ξ m (t)] (66) ous voulons matenant montrer que s c est avec le modèle ν que la ressemblance est la plus grande au départ, alors m ν augmentera avec le temps Comme nous avons fat l hypothèse que m = 0 s ν, nous pouvons écrre Eq (66) dans la forme m ν (t + t) = 1 ξ ν tanh[β ξ ν mν (t)] Comme la foncton tanh est ant-symétrque par rapport à l orgne (cad, = tanh( x) = tanh(x)), et que ξ ν = ±1, nous pouvons mettre le facteur ξ devant la foncton tanh: m ν (t + t) = 1 ξ ν ξ ν tanh[β m ν (t)] }{{} =1 =1 En smplfant, nous obtenons donc que: m ν (t + t) = tanh[β m ν (t)] (67) Comme le montre la fgure 65, comme tanh est strctement crossante avec une borne supéreure de 1, m ν va donc tendre vers une valeur proche de 1 Par un rasonnement smlare on peut ensute montrer que les autres motfs ν, qu avat une valeur m = 0 au départ, restent dans l état m = 0 Autrement dt, le motf ν qu état partellement présent au départ est complété sute à la dynamque du réseau et les autres motfs restent nvsbles Remarque S au départ 3 motfs ou plus sont smultanement présent, le réseau se drge souvent vers un état mxte ( mxture state ) Dans ce cas-là, aucun motf pur est retrouvé
7 64 ESTIMATIO DE LA CAPACITÉ 157 m m 1 ν tanh(h) h m=h/ β Fg 65 Evoluton de m ν 64 Estmaton de la Capacté On a vu précédemment que le nombre maxmal p max de motfs que l on peut stocer dépend du nombre de neurones dans le réseau, p max = α c, où α c représente la capacté du réseau Dans ce paragraph on amerat estmer la capacté du réseau pour des motfs aléatores ous travallons avec un modèle de Hopfeld (secton 62) x (t+ t) = tanh(β h(t)) mas nous chosssons β 1 Dans ce cas-là, la foncton tanh s approche de la foncton sgne, et on peut consdérer que: Les pods sont prs avec la règle 64, x (t + t) = sgn(h(t)) (68) w = 1 p ξ ξ (69) =1 Les valeurs ξ des motfs sont générées d une manère aléatore Plus spécfquement, chaque pxel est ndépendant des autres La probablté qu un pxel j sot nor dans le motf est de p = 05, ndépendamment de j et En prncpe, une mémore assocatve devrat être capable de trouver le bon motf et compléter l mage, s un motf partel est présenté Pour estmer la capacté du réseau nous posons une condton mnmale: s un motf complet ν est présenté, le réseau ne dot en tout cas pas détérorer l mage Un motf complet mplque que x (t) = ξ ν pour chaque Avec h (t) = j w j x j (t) on trouve avec les équatons 68 et 69 x (t + t) = sgn ( 1 p =1 ξ ξ ξν ) (610)
8 158 CHAPITRE 6 MÉMOIRE ASSOCIATIVE Pour remplr notre condton mnmale, on dot montrer que x (t+ t) = x (t) = ξ ν Dans un premer temps nous échangeons l ordre de sommaton et séparons la somme sur en deux partes: { } x (t + t) = sgn ξ ν 1 ξ ξν + 1 ξ ξ ξν (611) otons que le terme entre crochets est égal à un Ensute on peut utlser le fat que ξ ν = ±1 Pusque sgn(y) est une foncton mpare (cad sgn[y] = ( 1) sgn[( 1) y]) alors sgn[y] = ξ ν sgn[ξν y] S on multple à l extéreur et l ntereur de la foncton sgn avec ξ ν on trouve x (t + t) = ξ ν sgn ξ ξν ξ ξν (612) ν ν où on a utlsé que (ξ ν)2 = 1 S on défnt a ν = 1 l équaton précédente se smplfe ν ξ ξν ξ ξν x (t + t) = ξ ν sgn (1 a ν) (613) otre condton mnmale, x (t + t) = x (t) = ξ ν est remple s a ν 1 Or, pour des motfs aléatores, a ν est une varable stochastque et on peut assmler a ν à la dstance parcourue par une marche aléatore avec (p 1) pas Pour un nombre de pas suffsemment grand, la dstrbuton des dstances parcourues dans une marche aléatore est approxmatvement donnée par une foncton Gaussenne avec un écart type de (p 1) On dvse par pour trouver l ecart type σ de la dstbuton des a ν : σ = (p 1)/ La probablté que notre condton mnmale ne sot pas remple est donc donnée par P Error = Prob {a ν > 1} 1 = exp [ (a ν) 2 ] 2π σ 1 2σ 2 da ν [ ( )] = 1 1 erf 2 2 (p 1) (614) Formellement, la condton mnmale n est jamas remple Par contre, s on assouplt la condton et s on admet un taux d erreur de 0001 (sot un faux pxel sur une mage de 1000 pxels) on peut utlser la formule pour trouver que le nombre maxmal de motfs qu on peut stocer est de p max = 0105 Autrement dt, la capacté du réseau pour un taux d erreur de 0001 est α = 0105 Remarque: Le calcul montre que pour le stocage, c est le rapport p/ qu compte, comme on l avat ndqué auparavant La capacté α dépends du taux d erreurs qu on est prêt à accepter De
9 65 MOTIFS CORRÉLÉS 159 l autre côté, le calcul ndqué en haut ne consdère que le premer pas d une boucle d tératons En prncpe, on peut crandre un effet d avalanche On présente un motf complet, dans le premer pas de temps 2 ou 3 erreurs apparassent, ce qu déclenche 4 autres erreurs dans le deuxème pas de temps et ans de sute Un calcul beaucoup plus détallé montre qu un tel effet d avalanche exsts s p > 014 Autrement dt, la capacté maxmale (même s j accepte quelques erreurs) est lmtée à α c = Motfs corrélés Jusqu à mantenant notre analyse se restrent à des motfs aléatores Le but de cette secton est d étendre quelques-uns de nos résultats aux mages réelles (par examples des lettres) qu auront forcément des corrélatons Défnssons la matrce de corrélatons C, dont les élements C ν représentent la mesure de smltude entre les motfs et ν: C ν = 1 ξ ξν (615) On parle auss de corrélaton entre deux motfs Les motfs ne sont pas corrélés s et seulement s: { C ν 0 pour ν = δ ν = (616) 1 pour = ν En général, on consdère que les motfs aléatores ne sont pas corrélés s tend vers l nfn Pour les mages réelles des corrélatons sont toujours présentes La fgure 66 nous montre que, par exemple, les mages des lettres E et F sont fortement corrélées Détour Avant de s attaquer au motfs corrélés, nous voulons d abord montrer que le réseau décrt en 62, selon le modèle de Hopfeld, fonctonne correctement Pour cela, une condton mnmale est que s on ntalse le réseau avec un motf exstant en mémore: x (t 0 ) = ξ, (617) alors, le réseau dot rester dans le motf Le calcul dans cette secton sera smlare à celu effectué dans les sectons précedentes, mas on mettra en évdence le rôle des corrélatons Remarque S on pose, comme dans le modèle de Hopfeld (secton 62) que x (t + t) = tanh(β h(t)) et que l on chost β 1, alors la
10 160 CHAPITRE 6 MÉMOIRE ASSOCIATIVE Fg 66 Les lettres E et F sont fortement corrélées Elle ne dffèrent que par la parte nor de la lettre E foncton tanh s approche de la foncton sgne, et on peut consdérer que: x (t + t) = sgn(h(t)) On pose donc: ( ) x (t + t) = sgn w x (t 0 ) D après 617, cela nous donne: ( ) x (t + t) = sgn w ξ ν (618) Dans le modèle de Hopfeld, les connexons sont données par l équaton (64), En utlsant cette défnton, nous obtenons ( ) 1 P x (t + t) = sgn ξ ξ ξν, ce qu peut se réécrre: x (t + t) = sgn ξ =1 ( ) 1 ξ ξν, }{{} C ν ou encore avec la matrce de corrélatons [ ] x (t + t) = sgn ξ Cν (619)
11 65 MOTIFS CORRÉLÉS 161 Pusque, dans le modèle de Hopfeld, on travalle avec des motfs aléatores et avec l hypothèse d un grand nombre de neurones, les motfs ne sont pas corrélés S on utlse Eq (616), nous avons: [ ] x (t + t) = sgn ξ δ ν = ξ (620) En résumé, s les motfs ne sont pas corrélés, on reste donc ben dans le motf ν Motfs corrélés Hopfeld ne sufft pas S l y a des corrélatons entre les modèles, alors la règle de w = 1 P ξ ξ =1 La soluton consste en la généralsaton de cette règle: On défnt les connexons ans: w = 1 ξ [C 1 ] ν ξ ν (621) ν Ans en effectuant le même test que précédemment pour les condtons mnmales et en ntalsant avec le motf ϱ, on obtent grâce à l équaton (618) ( ) x (t + t) = sgn w ξ ϱ Par 621, cela nous donne: ( 1 x (t + t) = sgn ) ξ [C 1 ] ν ξ ν ξ ϱ ( ) x (t + t) = sgn ξ [C 1 ] ν C νϱ Avec la defnton des matrces nverses on trouve ( ) x (t + t) = sgn ξ δ ϱ = sgn(ξ ϱ ) = ξϱ ν ν Donc, on est ben resté dans le motf ntal qed
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