BAC BLANC DE MATHEMATIQUES EN TM1 et TM2.

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1 BAC BLANC DE MATHEMATIQUES EN TM et TM2. L ordre des exercices a pas d importace. La clarté de la rédactio et des raisoemets iterviedrot pour ue part importate das l appréciatio des copies. La calculatrice est autorisée. I ( 5 poits) U propriétaire propose à partir du er javier 2000 u appartemet dot le loyer auel iitial est Il evisage deux types d'augmetatio : ) Das le premier cas, le loyer auel augmeterait chaque aée de 200. O désige par P le motat auel du loyer pour l'aée ( ). O a doc P 0 = a. Calculer P l et P 2. b. Motrer que (P ) est ue suite arithmétique. Détermier sa raiso. c. Exprimer P e foctio de. d. Quel serait le motat auel du loyer e 205, arrodi à l'euro près? e. E quelle aée le loyer dépassera-t-il le double du loyer iitial? f. Calculer le motat total des loyers versés de 2000 à 205 compris. 2 ) Das le deuxième cas, le loyer auel augmeterait de chaque aée de 3 %. O désige par Q le motat auel du loyer pour l'aée ( ). O a doc Q 0 = a. Calculer Q etq 2. b. Motrer que ( Q ) est ue suite géométrique. Détermier sa raiso. c. Exprimer Q e foctio de. d. Quel serait le motat auel du loyer e 205, arrodi à l'euro près? e. E quelle aée le loyer dépassera-t-il le double du loyer iitial? f. Calculer le motat total des loyers versés de 2000 à 205 compris. II ( 5 poits) Pour chacue des trois questios de ce questioaire à choix multiple (QCM), ue seule des trois propositios est exacte.le cadidat idiquera sur sa copie le uméro de la questio et la lettre correspodat à la répose choisie. Pour chaque questio, il est compté u poit si la répose est exacte, -0,5 si la répose est fausse, zéro sio. Aucue justificatio 'est demadée. ) U prix T.T.C. est de 29,90 avec ue T.V.A. à 9,6 %. Le prix H.T.arrodi au cetime est de : a. 55,36 ; b. 04,40 ; c. 08,6. 2 ) Le prix d'u produit augmete de 8 %, puis dimiue de 7 %. Fialemet la variatio est : a. ue augmetatio de 0,44 % ; b. ue dimiutio de % ; c. ue augmetatio de %. 3 ) Si a pour idice 00, quel est l'idice de438? a. 79 ; b. 27 ; c. 27 %. 4 ) Le volume d'u ballo publicitaire a augmeté de 60 % sous l effet de la chaleur. Pour retrouver so volume iitial il doit maiteat dimiuer de : a. 40 % ; b. 37,5 % ; c. 60 %. 5 ) Etre le 0/0/2000 et le 0/0/2005 le coût de la vie a augmeté de 7%. Cela correspod à ue hausse auelle moyee arrodie au cetième, de : a. 3,4 % ; b. 3 % ; c.3,9 %. - Termiale Mercatique Bac Blac

2 III ( 5 poits) E 990, ue etreprise de fabricatio de jouets a été créée. Le but de cet exercice est d'étudier l'évolutio du pourcetage des salariés travaillat à temps partiel par rapport au total des salariés de l'etreprise. Le tableau suivat doe, pour les aées idiquées, le ombre x d'aées écoulées depuis 990 et le pourcetage y de salariés à temps partiel correspodat. Aées x y (e %) 8,9 0,2 0,5 2,2 2,3 3,2 3,8 4,9 ) Das u repère orthoormal (O ; i, j ) d'uité graphique cm, représeter le uage des poits M de coordoées (x ; y). 2 ) Détermier les coordoées du poit moye G de ce uage et le placer sur le graphique précédet. 3 ) Détermier les coordoées du poit moye G du uage formé des quatre premiers poits et placer ce poit sur le graphique. 4 ) Détermier les coordoées du poit moye G 2 du uage formé des quatre derier poits et placer ce poit sur le graphique. 5 ) Détermier l équatio de la droite (G G 2 ). La droite (G G 2 ) s appelle la droite de Mayer. 6 ) Vérifier que le poit G appartiet à (G G 2 ). 7 ) Tracer cette droite sur le graphique précédet. 8 ) E utilisat l ajustemet affie précédet, quel sera le pourcetage de salariés travaillat à temps partiel par rapport au total des salariés de l'etreprise e 2007? 9 ) E utilisat l ajustemet affie précédet, détermier e quelle aée le pourcetage de salariés travaillat à temps partiel par rapport au total des salariés sera d au mois 20 %? 0 ) Avec votre calculette trouver l équatio de la droite de régressio par la méthode des moidres carrés de y e x. O doera les résultats à 0,0près. Comparer avec 5 ). IV ( 5 poits) Partie A : Étude de deux foctios ) Soit f la foctio défiie sur [0,4] par : f ( x) = 3 + l(2x + 2). a. Motrer que f '( x) =. E déduire le sige de f '( x ).Etablir le tableau de variatio de f. x + 2 ) Soit g la foctio défiie sur [,4] par : g( x) = x² 4x + 6. a. Calculer g '( x ). E déduire le sige de g '( x ). Etablir le tableau de variatio de g. b. Recopier et compléter le tableau de valeur suivat ; arrodir à x 0 0,5,5 2 2,5 3 3,5 4 f ( x ) g( x ) A l aide du tableau costruire la courbe représetative C f de f et la courbe représetative C g de g das u repère orthoormal : uité graphique est 2 cm pour ue uité sur les deux axes. Partie B : Applicatio écoomique Ue etreprise fabrique u certai type de pièces pour les téléphoes mobiles. O admet que pour x milliers de pièces fabriquées et vedues : la recette, e milliers d'euros, est f ( x ) et le coût total de productio, e milliers d'euros, est g( x ). ) Détermier graphiquemet sur quel itervalle l'etreprise réalise u bééfice. 2 ) Détermier graphiquemet ue valeur approchée de la productio x 0 pour laquelle le bééfice est maximal. 3 ) A l aide du tableau doer ue valeur approchée du bééfice maximal. Arrodir à la dizaie d euro. Termiale Mercatique Bac Blac

3 Corrigé BAC BLANC DE MATHEMATIQUES, Termiale Mercatique I a. D après l éocé P = P = 6200 et P2 = P = b. Pour passer d u terme au suivat o ajoute toujours 200, doc la suite est arithmétique de raiso 200 et de premier terme c. O sait alors que P = P0 + r cad P = d. Comme P correspod à 2000+, c est P 5 qui correspod à 205. O a P 5 = = er + derier e. O cherche à détermier P0 + P P5 = bre de termes = 6 = a. Pour augmeter u ombre de 3% o le multiplie par + 00 =.03. Aisi, Q 0 = = 680, Q = = b. Pour passer d u terme au suivat o multiplie toujours.03, doc la suite est géométrique de raiso.03 et de premier terme c. O a alors Q = Q0 q cad Q =. 5 2d. E 205, le loyer sera de Q 5 = (arrodi à l euro). bre determe 6 q.03 2e. O cherche à détermier Q0 + Q Q5 = er terme = q.03 II ) U prix T.T.C. est de 29,90 avec ue T.V.A. à 9,6 %. Le prix H.T.arrodi au cetime est de : a. 55,36 ; b. 04,40 ; c. 08,6. PTTC Comme PTTC =.96PHT o a P HT = ) Le prix d'u produit augmete de 8 %, puis dimiue de 7 %. Fialemet la variatio est : a. ue augmetatio de 0,44 % ; b. ue dimiutio de % ; c. ue augmetatio de %. Le coefficiet multiplicateur global est de =.0044 qui correspod a ue hausse de 0.44%. 3 ) Si a pour idice 00, quel est l'idice de438? a. 79 ; b. 27 ; c. 27 %. O a I doc I = = ) Le volume d'u ballo publicitaire a augmeté de 60 % sous l effet de la chaleur. Pour retrouver so volume iitial il doit maiteat dimiuer de : a. 40 % ; b. 37,5 % ; c. 60 %. O a V f =.6V i Vi = Vi or = doc Vi 0.625V i.6.6 baisse de = 37.5 % = et multiplier par reviet à appliquer ue 5 ) Etre le 0/0/2000 et le 0/0/2005 le coût de la vie a augmeté de 7%. Cela correspod à ue hausse auelle moyee arrodie au cetième, de : a. 3,4 % ; b. 3 % ; c.3,9 %. 5 5 O a ( + t ) =.7 t =.7 3.9%. m m Page 3 sur 6

4 III Aées x y (e %) 8,9 0,2 0,5 2,2 2,3 3,2 3,8 4,9 ) Voir figure joite. 2 ) Le poit moye a pour coordoées la moyee des abscisse et la moyee des ordoées. O a doc G 8;2. ( ) 3 ) De même, o a ( 4.75;0.45) G. 4 ) Et o a G 2 (.25;3.55 ). 5 ) La droite est o verticale doc so équatio est du type y = ax + b, avec : y y = = x x G2 G > a G2 G > d où y = 0.48x + b et comme ( ) 4.75;0.45 d où 0.45 = b b = = 8.7 G est sur la droite, ses coordoées vérifiet l équatio > aisi, l équatio réduite de la droite (G G 2 ) est y = 0.48x + 8.7, où les coefficiets ot été arrodis au cetième. 6 ) Remplaços l abscisse de G das l équatio : = 2.0 yg doc il semble que o. Cepedat, les erreurs d arrodis ous ot peut être trompés G est le poit moye du uage doc par costructio,c est le milieu de [ G G 2 ] doc il est bie sur la droite ( G G 2 )! 7 ) Voir figure. 8 ) 2007 correspod à x = 7 doc y = et o peut estimer à 6.33% le pourcetage de salariés travaillat à temps partiel par rapport au total des salariés de l'etreprise e ) O veut résoudre l iéquatio y x x.83 x 24.6 soit x = 25. Dès 205, le pourcetage de salariés travaillat à temps partiel par rapport au total des salariés sera d au mois 20 %. 0 ) Avec la calculette l équatio de la droite de régressio par la méthode des moidres carrés de y e x est doée par y = 0.5x + 8.0, ce qui est cohéret avec la méthode de Mayer. IV A. Soit f la foctio défiie sur [0,4] par : f ( x) = 3 + l(2x + 2). > Appliquos la formule ( l u) > Comme x est das [0 ;4], x+ est positif doc f (x) est positive sur [0 ;4]. > O e déduit le tableau de variatio de f : u ' ' = avec u = 2x + 2 : o obtiet u 2 f '( x) = 0 + = 2 x + 2 x +. x 0 4 f (x) + 3+l(0) 5.30 f (x) 3+l(2) 3.69 ր A2a. Soit g la foctio défiie sur [,4] par : g( x) = x² 4x + 6. > A l aide des formules classiques, o obtiet g '( x) = 2x 4. > A l aide du sige d ue foctio affie, o trouve que x g = 2x g (x) ց 2 ր Page 4 sur 6

5 A2b. Voir les tableaux de valeurs (arrodies à 2 0 ) obteus à l aide de la calculatrice. x 0 0,5,5 2 2,5 3 3,5 4 f ( x ) g( x ) Voir figure e fi de corrigé. Partie B : Applicatio écoomique Ue etreprise fabrique u certai type de pièces pour les téléphoes mobiles. O admet que pour x milliers de pièces fabriquées et vedues : la recette, e milliers d'euros, est f ( x ) et le coût total de productio, e milliers d'euros, est g( x ). B. Graphiquemet, l'etreprise réalise u bééfice quad la courbe recette (Cf) est au dessus de la courbe coût (Cg) cad pour x compris etre eviro 0.5 et 3.8 (milliers de pièces). Cela correspod à des productios d eviro 500 à 3800 pièces. B2. Graphiquemet, la productio x 0 pour laquelle le bééfice est maximal est la valeur de x pour laquelle la distace etre les courbes recette et coût est maximale (puisque Bééfice = Recette Coût). O lit que cette productio est d eviro 2.6 milliers de pièces produites. B3. Pour x = 2 : B(2) = = 2.79 Pour x = 2.5 : B(2.5) = = 2.7 Le bééfice maximale est doc d eviro 2.79 milliers d euros soit 2790 eviro. y beef max 2 0 domaie de retabilité 2 3 x Page 5 sur 6

6 7 y G G x Page 6 sur 6