CHAPITRE 1 SÉRIES NUMÉRIQUES

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1 CHAPITRE SÉRIES NUMÉRIQUES Gééralités Défiitio Soit ue suite de ombres réels, o pose : S = u 0 + u ++ = La limite de S est appelée série de terme gééral S est appelée suite des sommes partielles de la série Notatio u k Ue série de terme gééral est otée ou 2 Covergece Défiitio 2 Ue série de terme gééral est dite covergete si la suite des sommes partielles S est covergete Das ce cas, la limite de la suite S est appelée somme de la série et o ote : lim S = + Ue série qui est pas covergete est dite divergete E d autres termes, si o otel= lim S o a alors : + coverge versl lim S =l + ε>0, N N: N N= S l <ε ε>0, N N: N N= l <ε 0

2 Exemple 2 Série géométrique Ue série géométrique est ue série dot le terme gééral est de la forme = aq, a 0 Pour ce type de série, le calcul de la somme partielle est doé par la formule suivate : S = u 0 + u + + = a+aq+aq 2 + +aq = a+q+q 2 + +q a q+ si q = q a+ si q= O remarque aisi que lim S existe si et seulemet si q < Das ce cas la série géométrique + coverge et o a aq = a q = a q 2 Série harmoique C est la série dot le terme gééral est de la forme = où N Motros que cette série est pas covergete Pour cela motros qu elle est pas de Cauchy E effet, posos S = Alors S 2 S = = Or pour tout p N, p, o + p+ 2 et par suite : + 2= = = 2 2 Par coséquet S 2 S = 2 2 La suite S est pas de Cauchy, doc divergete De plus, S est strictemet croissate, o déduit alors que =+ 3 Soit la série de terme gééral = e élémets simples que : = + D où S = Comme = = avec O peut écrire après décompositio + + = = lim + S =, otre série est covergete et vaut Remarque 2 Cas complexe Si le terme gééral est complexe = a + ib ; la somme partielle est S = = a + ib = a k + i b k Alors o a le résultat suivat : coverge a et b coverget e même temps M er AMROUN NOUR-EDDINE 2 u k

3 A ce momet là o a le résultat évidet = a + i b Propositio 2 Soiet et v deux séries, o suppose que ces deux séries e diffèret que par u ombre fii de termes ie il existe p N tel que pour tout p o a = v alors les deux séries sot de même ature Soit p S = u k = T = v k = u k + v k + k=p+ k=p+ u k = S p + v k = T p + k=p+ k=p+ u k v k La différece S T = S p T p = c; c état état ue costate idépedete de et p alors : coverge S coverge T coverge v coverge Remarque 22 La propositio 2 permet de dire que les séries sot de même ature mais e cas de covergece, elles ot pas écessairemet la même somme Corollaire 2 O e chage pas la ature d ue série si o lui rajoute ou o lui retrache u ombre fii de termes Propositio 22 Soit ue série covergete alors lim + = 0 La réciproque est fausse Pososl= = lim + S = lim + S S S = u 0 + u u 0 + u + + = et lim S S = + lim = lim S lim S = La série harmoique est divergete bie qu elle vérifie lim + Remarque 23 La propositio 22 est utile sous sa forme cotraposée lim 0= diverge + O dira que la série est grossièremet divergete = 0 Propositio 23 Soit et v deux séries covergetes respectivemet vers u et v Alors 3 M er AMROUN NOUR-EDDINE

4 La série + v est covergete et o a + v = + 2 Pour toutα R, la série α est covergete et o a α =α Soit w = + v O aura : W = w k = u k + v k = u k + lim S + lim T = u+v Soit t =α T = α lim + S =αu t k = αt k =α v = u+v =αu v k = S + T Aisi lim + W = lim + S + T = u k =αs et par suite lim + T = lim + αs = Défiitio 22 Critère de Cauchy Ue série est dite de Cauchy si la suite des sommes partielles S est de Cauchy Cela reviet à dire que les propriétés suivates sot équivaletes : est de Cauchy 2 S est de Cauchy 3 ε>0, N N: p, q N p q N= S p S q <ε 4 ε>0, N N: p, q N p q N= q u k u k <ε 5 ε>0, N N: p, q N p q N= u k <ε k=q+ Propositio 24 Toute série réelle ou complexe de Cauchy est covergete M er AMROUN NOUR-EDDINE 4

5 3 Séries à termes positifs Défiitio 3 Ue série est dite série à termes positifs si u 0 pour tout N Remarque 3 Les séries vérifiat u 0 pour 0 sot aussi appelées séries à termes positifs voir corollaire 2 car la ature d ue série e chage pas si o lui retrache u ombre fii de termes 2 Si ue série est à termes positifs, la suite des sommes partielles S est croissate E effet, S S = 0 ; d où la propositio : Propositio 3 Soit ue série à termes positifs coverge S est majorée Il suffit d appliquer la remarque 3 et de se rappeler que les suites croissates et majorées sot covergetes Théorème 3 Règle de comparaiso Soit v deux séries à termes positifs O suppose que 0 u v pour tout N Alors : v coverge= coverge 2 diverge= v diverge v = S = v k = T Puisque T est ue suite covergete doc majorée alors S est covergete comme état ue suite croissate et majorée, coverge 2 C est la cotraposée de la première propositio Ce théorème reste vrai si l iégalité 0 v est réalisée à partir d ue certai ordre p 0 ie v si p 0 Exemple 3 Soit la série covergete, alors la série si ; o a 0 si 2 2 si est covergete 2 2 et doc est ue série géométrique 2 Théorème 32 Règle de comparaiso logarithmique Soit et v deux séries à termes strictemet positifs O suppose que + v + Alors v 5 M er AMROUN NOUR-EDDINE

6 v coverge= coverge 2 diverge= v diverge + v + + v v + v + u 0 Ceci implique que u 0 v Sachat que v v + v v v 0 v 0 u0 coverge alors v coverge et d après le théorème de comparaiso ci-dessus, v 0 coverge 2 C est la cotraposée de la première propositio Théorème 33 Critère d équivalece Soit et v deux séries à termes strictemet positifs O suppose que lim + E effet : v =l,l 0 et + Alors les deux séries sot de même ature ε>0, N N: N N= lim =l + v Pour uεtel que 0<ε<lo a alors l ε< l v <ε <l+ε pour tout N O a aussi v l εv < < l+εv pour tout N Si v coverge alors l+εv coverge et par suite grâce au théorème de comparaiso 3, coverge 2 Si coverge alors l εv coverge et doc v coverge Exercice Que se passe-t-il sil=0 oul=+? Exemple 32 Soiet les séries et v tels que u = Log + et v 2 = O a lim = 2 + v et comme v est covergete alors, série gémétrique de raiso /2<; l est aussi Exemple 33 Soiet les séries et v tels que u = et v = Log + O a lim = + v La première série état la série harmoique qui est divergete, doc il e est de même de la secode Remarque 32 O remarque ici qu o peut facilemet démotrer la divergece de v M er AMROUN NOUR-EDDINE 6

7 E effet o a : k= S = v = Log + + Log + + Log + + +Log + + Log k= = Log + Log + Log + +Log + Log 2 2 = log 2 Log +log 3 Log 2+log 4 Log 3+ +log Log +log+ Log =Log+ Log =Log+ Comme lim S = lim Log+=+, o e coclut que la série cosidérée est divergete, + + il e est doc de même de la série harmoique Ceci est ue autre démostratio de la divergece de la série harmoique, o verra ue troisième démotratio différete, voir exemple 34 Théorème 34 Comparaiso avec ue itégrale Soit f : [,+ [ R + ue applicatio cotiue, décroissate et positive O pose = f pour N Alors + coverge f x dx existe Remarquos tout d abord la chose suivate : x [, +] x + et comme f est décroissate + = f + f x f = E itégrat membre à membre o obtiet dx f x dx dx ou ecore + E sommat membre à membre, o obtiet Fialemet o aboutit à : Démostratio du théorème : S + u Si coverge alors S = tel que pour tout N, S M D après la remarque ci-dessous, + k= u k+ f x dx S k= + k+ k f x dx f x dx u k u k est majorée Cela veut dire qu il existe M>0 k= + Soit t R + Posos =[t] la partie etière de t ; t f x dx [t]+ f x dx= + f x dx S M f x dx S M O passe à la limite quad t + = +, o obtiet Ce qui se traduit par l existece de l itégrale 2 Iversemet, o suppose que l itégrale déduit que + + f x dx + f x dx M k= f x dx existe De la relatio o 7 M er AMROUN NOUR-EDDINE

8 + S + u + f x dx u + + f x dx=c La suite S état croissate et est majorée par C, elle est doc covergete La série l est aussi Remarque 33 Le résultat est ecore valable si la foctio f est positive, cotiue et décroissate sur u itervalle [a,+ [ e cosidérat la série f avec 0 a 0 Exemple 34 Cosidéros l applicatio f : [,+ [ R + défiie par f x= x t t dx=log t et lim x t + x dx=+ Doc diverge 2 Soit la foctio f : [,+ [ R + défiie par f x= f est cotiue, décroissate xx+ à vérifier e étudiat la dérivée par exemple et positive t t t f x dx=log Log ; et comme lim f x dx=log 2<+ ; t+ 2 t + la série est alors covergete + 3 Séries de Riema Défiitio 32 Soitα R O appelle série de Riema toute série dot le terme gééral est de la forme =, etα R α Les séries de Riema sot doc des séries à termes positifs 0 si α>0 Remarquos que lim u = si α=0 + + si α<0 O coclut immédiatemet que siα 0, la série de Riema est divergete puisque le terme gééral e ted pas vers 0 Siα=, o obtiet la série harmoique qui est divergete elle aussi Examios le casα>0,α Soit la foctio f α : [,+ [ R + défiie par f x= x f α α est ue foctio positive, cotiue et décroissate car la dérivée f αx= α xα+< 0 t O a f α x dx= t α+ et comme α t + si 0<α< lim f x dx= t + si α> α Propositio 32 Ue série de Riema coverge si et seulemet siα> α M er AMROUN NOUR-EDDINE 8

9 Les théorèmes 3, 32 et 33 vot ous permettre d étudier beaucoup de séries e les comparat seulemet à ue série géométrique ou ue série de Riema Propositio 33 Règle de Riema Soit ue série à termes positifs S il existeα> tel que la suite α soit majorée par u costate M>0 ; alors est covergete 2 S il existeα tel que la suite α soit miorée par ue costate m>0 ; alors la série est divergete Par hypothèse α M pour tout N Alors Commeα> la série α est covergete et d après le théorème de comparaiso u α coverge 2 O a α m>0 et doc m α Le fait que α alors m α diverge et par suite diverge e vertu du théorème de comparaiso Corollaire 3 Soit ue série à termes positifs O suppose qu il existeα R tel que lim + α =l, l 0 etl + Les séries et sot de même ature α lim + α =l ε>0, N N: N N= l ε< α <l+ε Ceci est équivalet à dire l ε < u α < l+ε pour tout etier N O choisit alors α ε>0 de maière quel ε>0 coverge α> et ceci implique que u α coverge 2 Si l ε coverge alors coverge et par suite coverge et doc α α α> 32 Critère de de D Alembert Propositio 34 Soit ue série à termes strictemet positifs S il existeλ R, 0<λ<tel que + covergete 2 Si + alors diverge λpour tout N alors la série est + λ<= λ= λ Par récurrece o obtiet λ u 0 Puisque 0 < λ <, alors u 0 λ est ue 9 M er AMROUN NOUR-EDDINE

10 série géométrique covergete et e vertu du critère de comparaiso, la série coverge 2 + = + la suite est alors croissate Puisque > 0, lim + 0 et par suite diverge Corollaire 32 Crière de D Alembert + Sous les mêmes hypothèses que la propositio 34, posos lim + l<= coverge 2l>= diverge 3l=, o e peut rie coclure Sil< + lim =l ε>0, N N: N N= l ε< + <l+ε + O choisit das ces coditiosε>0 tel quel+ε< pour que + <l+ε< La coclusio est ue coséquece de la propositio 34 2 Sil>, o choisitεtel quel ε> et par suite il existe N N tel que pour tout N, o ait + l ε> D après la propositio 34, la série diverge 3 Cosidéros la série de terme gééral = C est ue série de Riema covergete carα=2> lim = lim = Soit la série de terme gééral v =,, c est la série harmoique divergete lim = lim = v + v Ces deux exemples illustret bie le fait que lim + = apporte aucue iformatio sur la ature de la série + =l Exemple 35 Soit la série de terme gééral =! + lim + = lim + + = 0< La série 0 est covergete! 2 Soit la série de terme gééral =! + O a lim = ++! + + +! = lim = e>et par suite la série est divergete + M er AMROUN NOUR-EDDINE 0

11 33 Critère de Cauchy Propositio 35 Soit ue série à termes positifs S il existeλ R, 0<λ<tel que λ alors la série coverge 2 Si, la série est alors divergete λ= λ λ état ue série géométrique covergete 0<λ<, d après le théorème de comparaiso coverge 2 = = lim et doc diverge + Corollaire 33 Critère de Cauchy Sous les mêmes hypothèses de la propositio 35, posos lim + l<= coverge 2l>= diverge 3l= o e peut rie coclure =l =l ε>0, N N: N N= l ε< <l+ε ou ecore lim + ε>0, N N: N N= l ε < < l+ε Sil< O choisitεtel que 0<l+ε< La série l+ε est alors covergete et par voie de coséquece coverge 2 Sil> O choisitεvérifiatl ε> O aura alors > l ε > ce qui etraîe que lim et par suite la série diverge + 3 Preos la série harmoique Cette diverge bie que lim + = Soit la série de Riema covergete et lim 2 + Exemple 36 Soit la série de terme gééral a+ p, avec a>0 et p 0 lim + = lim a+ + p 2= Si p=0 lim = a+> et la série diverge + 2 Si p>0, lim = a La série est covergete pour a< et divergete si a> + 3 Si a=, = + [ = + + si 0<p< p] p e si p= p p si p> Le terme gééral e ted pas vers zéro, la série est divergete M er AMROUN NOUR-EDDINE

12 Ue questio se pose maiteat ; peut-o avoir des limites différetes e appliquat les deux critères de d Alembert et celui de Cauchy? La répose est doée par les deux propositios suivates Propositio 36 Soit ue série à termes positifs Alors si o al =l 2 + lim =l 0 et lim + + =l 2 0 Cosidéros la série de terme gééral v = a ; où a est u réel positif qu o va préciser O a v + lim + v + = a lim = al et lim + + v = a lim + = al 2 0 Fixos a strictemet etre l et l 2 alors écessairemet est compris etre al et al 2 ; doc otre série de terme gééral v est covergete suivat u critère et divergete suivat l autre, ce qui est absurde ; d oùl =l 2 Propositio 37 Soit ue série à termes positifs Alors O a pas l équivalece + Soit lim + + lim + =l= lim + =l =l Alors pour toutε>0, il existe u etier N N tel que pour tout etier No ait :l ε 2 < + l ε 2 < <l+ ε 2 l ε 2 < 2 <l+ ε 2 <l+ ε Soit N 2 l ε 2 < u N+ <l+ ε u N 2 E faisat le produit membres à membres, o obtiet : l ε N < u 2 2 un+2 u N+ < l+ ε N u N+ u N 2 Après simplificatio o obtiet : u N l ε N < < 2 u N u l ε N < N 2 < u l+ ε N N 2 Soitα = u N l ε 2 N etβ = u N l ε 2 N l+ ε 2 N et doc M er AMROUN NOUR-EDDINE 2

13 lim α =l ε + 2 = N N: N o aitα > l ε ε 2 2 =l ε lim β =l+ ε + 2 = N 2 N: N 2 o aitβ < l+ ε + ε 2 2 =l+ε Soit N 3 max{n, N, N 2 } Pour tout N 3 o a : l ε<α < <β <l+ε, ce qui exprime bie que l <ε pour tout N 3 et doc lim =l + Cotre-exemple Soit a>0 et b>0, a b et cosidéros la série défiie par = = a+ab+a 2 b+a 2 b 2 + a 3 b 2 + a 3 b 3 + E utilisat le critère de Cauchy : = Das les deux cas,o a lim = ab + E utilisat la règle de D Alembert : Aisi { a + b si est pair a + b + si est impair { 2 a + b = a + 2 b 2 si est pair 2+ a + b + = a b 2+ si est impair + = ab + = b si est pair a + b a +2 b + = a si est impair ab + { + b si est pair lim = + a si est impair Doc la limite existe pas Cette exemple motre bie que le critère de Cauchy est plus "fort" que celui de D Alembert U autre exemple plus simple est u 2 = 2 et u 2+ = 3, le série est doc : = { + 3/2 si est pair lim = + 2/3 si est impair 34 Critère de Kummer et lim + = Propositio 38 Soit ue série à termes strictemet positifs S il existeα> tel que 2 Si u + αalors la série diverge u + α alors la série est covergete 3 M er AMROUN NOUR-EDDINE

14 Cas oùα> Cosidéros la foctio f :R + R défiie par f x=+x α So développemet limité à l ordre au voisiage de 0 est doé par : f x= f 0+x f 0! f x= αx+ αα+ + x 2 f θ x, avec 0<θ x < 2! +θ x α 2 x 2 Pour x=, o obtiet : 2! f = α +αα+ 2! équivalete à + α, ous permet d avoir fialemet + α f = + α + α α = = + Soit v =, v + v α est ue série de Riema covergete +θ α 2 α 2 L hypothèse u + α état α = Comme v + + v + et d après le critère de comparaiso logarithmique 32, la série v est covergete 2 O suppose que u + Ceci implique + = Posos w =, 2 w + w est la série harmoique divergete De plus = + w D après critère de comparaiso logarithmique 32, la série diverge Corollaire 34 Critère de Raab Soit ue série à termes strictemet positifs O pose lim u + =l + Sil> alors la série coverge 2 Sil< alors la série diverge 3 Sil=, o e peut rie coclure O utilise toujours la défiitio de la limite d ue suite quad elle existe : lim u + =l + ε>0, N N: N N= l ε< u + <l+ε Sil> O choisitεde maière à avoirl ε=α> pour qu o ait u + α pour N et par suite utiliser le critère de Kummer pour affirmer qu il y a covergece 2 Sil< O choisitεtel que 0<ε l Das ces coditios, o aura u + < l+ε<pour tout Net doc la série diverge M er AMROUN NOUR-EDDINE 4

15 4 Séries à termes quelcoques Le paragraphe précédet était cosacré à l étude des séries à termes positifs et c est das cette partie qu il y a beaucoup de résultats sur la covergece Das ce paragraphe il sera questio des séries à termes quelcoques 4 Regroupemet des termes Théorème 4 Soit ue série à termes quelcoques et soitϕ :N N ue applicatio strictemet croissate vérifiatϕ0=0 O suppose e plus : lim + = 0 2 M N tel queϕ+ ϕ Mpour tout N O cosidère la série v défiie par v = ϕ+ k=ϕ+ Alors les séries et v sot de même ature Si les séries sot covergetes o a e plus : = Remarque 4 Preos u exemple d applicatio pour compredre les hypothèses de ce théorème Soitϕ :N Ndéfiie parϕ=2 = O a ϕ+ ϕ=2+2 2=2=Met v = u k v ϕ+ k=ϕ+ u k = 2+2 k=2+ u k = u 2+ + u 2+2 Ceci doe par exemple v 0 = u + u 2, v = u 3 + u 4 et aisi de suite O remarque sur cet exemple que les termes sot regroupés 2 par 2 Notos comme d habitude S et T les suites des sommes partielles respectivemet des séries et v T = ϕ+ k= v p = v 0 + v + +v = p=0 ϕ k=ϕ0+ u k + ϕ2 k=ϕ+ u k + + ϕ+ k=ϕ+ u k = u k = S ϕ+ Sachat queϕest ue applicatio strictemet croissate, la suite T est alors ue suite extraite de de S Par coséquet : coverge= S coverge= S ϕ+ coverge= T coverge = v coverge 2 Si diverge ϕ état strictemet croissate o aϕ<ϕ+ Doc pour tout etier N, il existe p Ntel queϕp <ϕp+ S S ϕp = u k u ϕp = k=ϕp+ u k Puisque lim + = 0 alors pour toutε>0, il 5 M er AMROUN NOUR-EDDINE

16 existe N N tel que < ε pour tout N Pour p assez grad ϕp+ N, o M a S S ϕp = u k u k < ε k=ϕp+ M ϕp ε ϕp+ ϕp ε car o a M k=ϕp+ par hypothèse ϕp + ϕp M O coclut que lim S S p = 0 et puisque la suite + S diverge alors S ϕp diverge et par suite T p diverge car S ϕp = T p Exemple 4 Soit la série = et soitϕ :N N défiie parϕ=2 v = u 2+ + u 2+2 = = Posos w = ϕ+ k=ϕ+ u k = 2+2 k=2+ w est covergete car w 4 2 et 4 2 covergete E coclusio : w coverge= w coverge= v coverge= coverge u k = est Théorème 42 Critère D Abel Soit ue série à termes quelcoques O suppose qu il existe deux suites ε et v telles que : =ε v pour tout 2 Il existe M>tel que pour tout p, q N p q= 3 = ε ε coverge 4 lim + ε = 0 Alors la série coverge k=q v k M O va motrer que les coditios du théorème impliquet que la série est de Cauchy Soitε>0 et posos v k si p q V q,p = k=q 0 si p<q Soit + p V,p V +,p = v k v k = v D autre part : k= k=+ M er AMROUN NOUR-EDDINE 6

17 u k = k=q+ k=q+ ε k v k = k=q+ ε k V k,p V k+,p = ε q+ V q+ V q+2,p +ε q+2 V q+2 V q+3,p ++ε p V p,p V p+,p = ε q+ V q+,p ε p V p+,p + V q+2,p ε q+2 ε q+ +V q+3,p ε q+3 ε q+2 +V p,p ε p ε p = ε q+ V q+,p ε p V p+,p + V k,p ε k ε k k=q+2 Doc u k ε q+ V q+,p + ε p V p+,p + V k,p ε k ε k k=q+ k=q+2 De plus o a les coséqueces suivates : a lim ε = 0= N N tel que ε ε + 3M pour tout N b La série ε ε coverge doc elle est de Cauchy Il existe alors N 2 N tel que pour tous p N 2 et q N 2, p q o a ε k ε k+ < ε 3M k=q+ c v k M pour tous p et q, p q k=q Soit N=max{N, N 2 } Pour No a alors k=q+ série est alors de Cauchy doc covergete Exemple 42 Appliquos ce théorème pour étudier la série l exemple 4 Soitε = et v = lim + ε = 0 et =M La série elle est équivalete à la série de Riema = =2 2 u k = ε 3M M+ ε 3M M+ ε M=ε La 3M qu o sait qu elle coverge d après =2 est covergete car Nous allos étudier u cas particulier de série à termes quelcoques à savoir les séries alterées 42 Séries alterées Défiitio 4 O appelle série alterée toute série vérifiat la relatio u + 0 Le terme gééral d ue telle série peut-être oté = v ou = + v avec v 0 Das le cas gééral ue série alterée sera souvet otée : Théorème 43 Critère de Leibiz Soit ue série alterée O suppose que : 7 M er AMROUN NOUR-EDDINE

18 La suite est décroissate 2 lim + = 0 Alors la série est covergete O suppose pour se fixer les idées que u 2+ 0 et u 2 0 a U 2+ U 2 = u 2+ 0 et doc U 2+ U 2 b U 2+ U 2 = u 2+ + u 2 0 car u 2+ =u 2+ u 2 = u 2 d après l hypothèse du théorème La suite U 2 est doc décroissate c U 2+2 U 2 = u u 2+ 0 car u 2+2 = u 2+2 u 2+ =u 2+ La suite U 2 est doc croissate E regroupat les résultats a, b et c, o a la situatio suivate : U 0 U 2 U 2+2 U 2+ U 2 U pour tout N La suite U 2 est croissate majorée par U, U 2+ est décroissate miorée par U 0 Elles sot doc toutes les deux covergetes Puisque lim U 2+ U 2 = lim += 0 alors lim U 2+= lim U 2= lim U Ceci traduit le fait que la série est covergete + Au fait, les suites U 2 et U 2+ sot adjacetes 5 Séries absolumet covergetes Défiitio 5 Ue série est dite absolumet covergete si la série est covergete Il est clair que toute série à termes positifs covergete est absolumet covergete Théorème 5 Toute série absolumet covergete est covergete La réciproque est fausse E d autres termes : coverge= coverge O va prouver que est de Cauchy Soitε>0 et p, q deux etiers tels que p q Up = U q u k u k Comme la k=q+ k=q+ série coverge, elle est de Cauchy Il existe alors N N tel que p, q Np q N o a u k = u k <ε Doc pour p q N, U p U q u k <ε et k=q+ k=q+ k=q+ par suite U est de Cauchy doc covergete et aisi coverge aussi Remarque 5 O sait que pour tout N, o a iégalité triagulaire E cas de covergece absolue, cette iégalité est coservée ; à savoir M er AMROUN NOUR-EDDINE 8

19 Pour motrer que la réciproque est fausse, il suffit de cosidérer la série qu o = a vu qu elle est covergete mais pas absolumet covergete puisque = Théorème 52 Soit ue série absolumet covergete Alors pour toute bijectioϕ :N N o a : u ϕ est absolumet covergete 2 = u ϕ La démostratio se fera e deux étapes : Etape O suppose que 0 Alors : covergete absolumet covergete Soitϕ : N N ue bijectio et posos v = u ϕ V = v 0 + v ++v = u ϕ0 + u ϕ ++u ϕ croissate et est majorée par De même,ϕ est bijective, = v ϕ Puisque la suite des sommes partielles V est alors V est covergete et o a U = u 0 + u ++ = v ϕ 0+ v ϕ ++v ϕ et sachat que les séries coverget o obtiet = v v v E passat à la limite v et par coséquet Etape 2 est ue série à termes quelcoques telle que coverge D après l étape, coverge= v coverge, avec v = u ϕ et o a = v Posos u + = max{, 0} et u = max{, 0} O a u + 0, u 0 et = u + u O a aussi comme coséquece 0 u + et 0 u Puisque la série est covergete alors et d après le théorème de comparaiso les séries u + et u sot covergetes Or = u + = u + u = u + ϕ et u + u u = u ϕ et doc = u + u = 9 M er AMROUN NOUR-EDDINE

20 u + ϕ u ϕ = u ϕ = v Remarque 52 Le théorème précédet cesse d être vrai si la série est seulemet covergete La série = + est covergete voir l exemple 42 mais est pas absolumet covergete + = = = k+ 22k+ + 22k+2 O pose v = = = v = [ ] + = = E réorgaisat autremet la somme d ue série covergete, o obtiet ue série covergete mais pas de même somme Cela est dû au fait que l additio d ue ifiité de termes est pas écessairemet commutative U bel exemple de série covergete et o commutativemet coverg ete Soit le série alterée + Log + = Il s agit d ue série alterée et le terme Log + décroit vers zéro, ce qui assure la covergece de la série doée O a : + Log + + = + Log = + [Log+ Log ] = = = = [Log 2 Log ] [Log 3 Log 2]+[Log 4 Log 3] [Log 5 Log 4]+ = 2[Log 2 Log 3+Log 4 Log 5+ ]=2 Log la série aisi obteue est grossièremet divergete, puisque le terme gééral e ted pas vers zéro Il est facil de vérifier que la série est pas absolumet covergete = M er AMROUN NOUR-EDDINE 20