Les suites C H A P I T R E

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1 C H A P I T R E Les suites Leoardo FIBONACCI :Né à Pise e 75 et mort e 50. De ses voyages e Égypte, e Syrie, e Sicile, et e Provece pour le compte de so père, il recotre divers mathématicies, et rapporte à Pise e 98 les chiffres arabes et la otatio algébrique. Ceci illustre les lies etre la vitalité commerciale des villes d Italie de l époque et la créativité scietifique et artistique de leurs membres.so ouvrage majeur, le Liber Abaci est u ouvrage écrit e 0 que l o peut traduire e Livre du calcul ou Livre de l abaque. Das cet ouvrage, Fiboacci présete les chiffres arabes et le système d écriture décimale positioelle. Le Liber Abaci est l u des premiers ouvrages d Europe occidetale chrétiee à vulgariser les chiffres arabes. So om est resté attaché à la célèbre suite défiie par la relatio de récurrece u + = u + + u

2 Sommaire 0 Gééralités 0. Programme de la classe de première S 0. Programme de la classe de termiale S 0.3 Programme libaais de Termiale série SG Itroductio. Exercice itroductif a) Éocé b) Solutio des questios à 3 c) Rappels : ses de variatios d ue suite umérique d) Solutio de la questio 4. Raisoemet par récurrece a) Pricipe b) Exemple de l exercice d itroductio c) Remarques d) Importace de l iitialisatio e) Autres exemples.3 Étude du comportemet de la suite (P ) a) Suite de l exercice itroductif b) Étude graphique c) Formalisatio de ces observatios d) Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques Covergece des suites umériques. Limite fiie ou ifiie d ue suite a) Itroductio b) Défiitio d ue limite fiie c) Défiitio d ue limite ifiie d) Limites des suites usuelles. Théorèmes gééraux a) Théorèmes de comparaiso b) Applicatio :Covergece des suites géométriques c) Théorème des gedarmes.3 Règles opératoires a) Opératios sur les limites b) Applicatio c) Retour à l exercice itroductif d) Exercices.4 Covergece mootoe a) Suites majorées, miorées, borées b) Relatios etre les otios de limite d ue suite et de suite borée c) Théorème de la covergece mootoe.5 Exercices a) Cas d ue suite récurrete b) Cas d ue suite défiie par u procédé de sommatio 3 Résumé du cours 4 Démostratios du cours 5 Exercices 8 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

3 0 Gééralités 0 Programme de la classe de première S Le programme s iscrit, comme celui de la classe de secode, das le cadre de la résolutio de problèmes. Les situatios proposées répodet à des problématiques clairemet idetifiées d origie puremet mathématique ou e lie avec d autres disciplies. U des objectifs de ce programme est de doter les élèves d outils mathématiques permettat de traiter des problèmes relevat de la modélisatio de phéomèes cotius ou discrets. L étude de phéomèes discrets fourit u moye d itroduire les suites et leur géératio e s appuyat sur des registres différets (algébrique, graphique, umérique, géométrique) et e faisat largemet appel à des logiciels. Les iterrogatios sur leur comportemet amèet à ue première approche de la otio de limite qui sera développée e classe de termiale. L étude des suites se prête tout particulièremet à la mise e place d activités algorithmiques. CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Modéliser et étudier ue situatio à l aide de suites. Mettre e œuvre des algorithmes permettat : Modes de géératio d ue suite umérique. d obteir ue liste de termes d ue suite de calculer u terme de rag doé. Il est importat de varier les approches et les outils. L utilisatio du tableur et la mise e œuvre d algorithmes sot l occasio d étudier e particulier des suites géérées par ue relatio de récurrece. Suites arithmétiques et suites géométriques. Ses de variatio d ue suite umérique. Approche de la otio de limite d ue suite à partir d exemples. Établir et coaître les formules doat et + q + + q. Exploiter ue représetatio graphique des termes d ue suite. O peut utiliser u algorithme ou u tableur pour traiter des problèmes de comparaiso d évolutios et de seuils. Par exemple, das le cas d ue suite croissate o majorée, o peut détermier u rag à partir duquel tout terme de la suite est supérieur à u ombre doé. Le tableur, les logiciels de géométrie dyamique et de calcul sot des outils adaptés à l étude des suites, e particulier pour l approche expérimetale de la otio de limite. O e doe pas de défiitio formelle de la limite d ue suite. Fracis CORTADO Sommaire chapitre 9

4 Raisoemet par récurrece. 0 Programme de la classe de termiale S Comme das les classes précédetes, l activité mathématique est motivée par la résolutio de problèmes. L u des objectifs du programme est de permettre à l élève, par ue cosolidatio et u erichissemet des otios relatives aux suites et aux foctios, d étudier u plus grad ombre de phéomèes discrets ou cotius. La otio de limite de suite fait l objet d ue étude approfodie. O prépare aisi la présetatio des limites de foctios. CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Savoir meer u raisoemet par récurrece. Limite fiie ou ifiie d ue suite. Das le cas d ue limite ifiie, état doés ue suite croissate (u ) et u ombre réel A, détermier à l aide d u algorithme u rag à partir duquel u est supérieur à A. Limites et comparaiso. Démotrer que si (u ) et (v ) sot deux suites telles que : u est iférieur ou égal à v à partir d u certai rag ; (u ) ted vers + quad ted vers + ; Ce type de raisoemet iterviet tout au log de l aée et pas seulemet das le cadre de l étude des suites. Pour exprimer que (u ) ted vers l quad ted vers +, o dit que : «tout itervalle ouvert coteat l cotiet toutes les valeurs u à partir d u certai rag» Pour exprimer que u ted vers + quad ted vers +, o dit que : «tout itervalle de la forme ]A, + [ cotiet toutes les valeurs u à partir d u certai rag». Comme e classe de première, il est importat de varier les approches et les outils sur lesquels le raisoemet s appuie. O présete des exemples de suites qui ot pas de limite. O démotre que si ue suite est croissate et admet pour limite l, alors tous les termes de la suite sot iférieurs ou égaux à l. Le théorème dit «des gedarmes» est admis. Opératios sur les limites. Comportemet à l ifii de la suite (q ), q état u ombre réel. Suite majorée, miorée, borée. alors (v ) ted vers + quad ted vers +. Étudier la limite d ue somme, d u produit ou d u quotiet de deux suites. Démotrer que la suite (q ), avec q >, a pour limite +. Détermier la limite évetuelle d ue suite géométrique. Utiliser le théorème de covergece des suites croissates majorées. O démotre par récurrece que pour a réel strictemet positif et tout etier aturel : ( + a) + a. O peut étudier des situatios où iterviet la limite de la somme des premiers termes d ue suite géométrique Ce théorème est admis. Il est itéressat de démotrer qu ue suite croissate o majorée a pour limite +. Des exemples de suites récurretes, e particulier arithmético-géométriques, sot traités e exercice. Des activités algorithmiques sot meées das ce cadre. 0 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

5 0 3 Programme libaais de Termiale série SG. Différetier ue suite majorée, miorée, borée, ue suite covergete, ue suite o covergete.. Utiliser les propriétés de la limite d ue suite. 3. Calculer les limites de suites relativemet simples. Recoaître ue suite majorée, miorée, borée. Calculer la limite l das les cas simples (l = lim u ) Détermier la ature d ue suite (covergete ou o). Coaître et utiliser les propriétés suivates das le cas où les suites (u ) et (v ) coverget respectivemet vers l et l La suite (u + v ) coverge vers l + l La suite (u v ) coverge vers l l La suite (αu ) coverge vers α l où α est u réel. ( ) Si l u est différet de 0, la suite coverge vers l l Utiliser les propriétés de comparaiso suivates : Si u v avec Si u v avec v lim u = + alors lim v = alors lim v = + lim u = Si les trois suites (u ), (v ) et (w ) sot telles que v u w avec lim v = lim w = α alors lim u = α Utiliser le raisoemet par récurrece pour démotrer qu ue suite est mootoe, majorée et miorée. Savoir que, si ue suite récurrete covergete est doée par la formule u + = f (u ) où f est ue foctio cotiue et si l est la limite de (u ), alors f (l) = l O admettra l uicité de la limite d ue suite umérique covergete. O admettra qu ue suite croissate majorée (respectivemet décroissate miorée) est covergete. O admettra que toute suite covergete est borée, mais o fera remarquer qu ue suite borée est pas écessairemet covergetes. O admettra que si ue suite positive (égative) coverge vers ue limite o ulle l alors l est positive (égative) ou ulle. La otio de limite d ue suite umérique sera itroduite d ue faço ituitive. O évitera la défiitio formelle de cette limite. O pourra exploiter la coaissace de l élève sur les limites d ue foctio e + das l itroductio de la limite d ue suite umérique. Fracis CORTADO Sommaire chapitre

6 Itroductio Exercice itroductif a) Éocé Exercice Ue populatio iitiale de 000 aimaux évolue de la faço suivate : Chaque aée 0% des aimaux disparaisset pour diverses raisos, o itroduit alors 0 aimaux. Le but du problème est de détermier le ombre d aimaux présets au bout de aées. O otera P l effectif de la populatio d aimaux au bout de aées, avec P 0 = Traduire l éocé par ue relatio faisat iterveir P. Calculer la valeur obteue la ciquième aée. 3. Que peut-o cojecturer cocerat la suite (P )? 4. Démotrer cette cojecture. b) Solutio des questios à 3. L éocé permet d exprimer le ombre d aimaux e foctio de celui de l aée précédete. E effet, ue dimiutio de 0% se traduit par u coefficiet multiplicateur de 0,80, ce qui doe : P + = 0,80 P + 0 (). Á partir du ombre d aimaux préset la première aée et à l aide de la relatio précédete, o obtiet : P 0 = 000 ; P = 0, = 90 ; P = 856 ; P ; P O costate que les valeurs dimiuet, o peut doc cojecturer que cette suite est décroissate. A cette occasio rappelos les défiitios correspodates c) Rappels: ses de variatios d ue suite umérique a. O dit qu ue suite (u ) est croissate à partir d u certai rag 0 si pour tout 0 o a u + u Défiitio b. O dit qu ue suite (u ) est décroissate à partir d u certai rag 0 si pour tout 0 o a u + u c. O dit qu ue suite (u ) est statioaire à partir d u certai rag 0 si pour tout 0 o a u + = u Les méthodes usuelles sot les suivates : Pour détermier le ses de variatio d ue suite (u ), o peut a. étudier le sige de u + u Propriété b. si tous les termes sot strictemet positifs, comparer u + u avec le réel c. si la suite est arithmétique ou géométrique, détermier sa raiso d. s il existe ue foctio f telle que pour tout o a u = f (), étudier les variatios de f sur [0;+ [ Sommaire chapitre Fracis CORTADO

7 De faço plus précise, cocerat le poit d., si la foctio f est croissate (resp. décroissate) sur [0, + [ alors la suite de terme gééral u = f () sera croissate (resp. décroissate). Mais la réciproque de cet éocé est fausse, comme o peut le costater sur le graphique suivat : Représetatio graphique d ue suite croissate associée à ue foctio o mootoe. d) Solutio de la questio 4 4. Pour prouver cette cojecture, l expressio()ous coduit à utiliser la première méthode, e motrat que P + P est égatif pour tout. P + P = 0, P + 0 = 0,0( P + 600) Le sige de cette expressio déped de la positio de P par rapport à 600, ce que ous igoros. Il faut doc evisager ue autre méthode. Nous avos obteu P 0 = 000 et P = 90, ce qui prouve que P P 0, mais qu e est-il pour deux termes d idices cosécutifs quelcoques? Partat de l iégalité P P 0, o peut e déduire que 0,80 P + 0 0,80 P et doc que P P, ce que l o pouvait costater directemet. Ce raisoemet peut s appliquer à deux termes cosécutifs quelcoques, e effet : Si P + P alors 0,80 P ,80 P + 0 soit P + P + O viet de prouver que cette iégalité se trasmet de proche e proche, ou ecore qu elle est héréditaire : Si elle débute, elle sera vraie pour tous les termes qui suivrot. Ce pricipe est à la base d ue ouvelle techique de démostratio appelée «démostratio par récurrece» Raisoemet par récurrece a) Pricipe Pour prouver qu ue propriété est vraie pour tout etier aturel, o procède e trois temps : Fracis CORTADO Sommaire chapitre 3

8 Iitialisatio O prouve qu elle est vraie pour = 0 Propriété Hérédité O suppose qu elle est vraie pour u certai rag, et o motre qu alors elle est vraie pour le rag suivat +. Coclusio O coclut qu elle est vraie pour tout etier aturel. b) Exemple de l exercice d itroductio Das cet exercice il faut prouver que pour tout etier aturel ous avos P P + Les trois étapes du raisoemet sot : Iitialisatio O motre que c est vrai pour = 0 P 0 = 000 et P = 90, doc P 0 P. Hérédité Supposos que c est vrai pour u certai rag, et motros que c est vrai pour le rag suivat +. Supposos que il s esuit que et doc que P P + 0,8 P + 0 0,8 P P + P + Coclusio La propriété précédete, «P P +» est vraie pour tout etier aturel. La suite ( P ) est ue suite décroissate. c) Remarques Remarque. La otio d hypothèse e mathématique est disticte de celle utilisée e SVT. E mathématiques, ue hypothèse est ue assertio vraie qui permet d e déduire d autres résultats, alors qu e SVT ue hypothèse peut se trouver cotredite par ue expériece. Remarque. Le raisoemet par récurrece e permet pas d obteir u résultat mais de démotrer qu ue propriété coue au préalable est vraie. Cela sigifie qu il faut avoir l idée de ce que l o doit démotrer e commeçat par phase de cojectures. Remarque. O peut étedre ce raisoemet à ue propriété valable uiquemet à partir d u certai rag 0, ce que l o otera e abrégé «a.p.c.r» 0. L étape d iitialisatio cosiste alors à vérifier que la propriété est vraie au rag 0 du départ. Pour prouver l hérédité o supposera que le rag cosidéré est supérieur à 0. 4 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

9 d) Importace de l iitialisatio Repreos l exercice itroductif, mais e supposat que la populatio iitiale soit de 300 aimaux au lieu de 000. Essayos toujours de prouver par récurrece que la suite correspodate otée ( Q ) est décroissate. Passos directemet à la secode étape, c est à dire à la preuve de l hérédité : O suppose Q Q + il s esuit que Soit 0,8 Q + 0 0,8 Q Q + Q + Ce qui prouve que la propriété «Q Q +» est héréditaire. Cette propriété est-elle pour autat vraie pour tout etier aturel? Calculos les premiers termes de cette suites : Q 0 = 300 ; Q = 360 ; Q = 408 ; Q 3 443, etc... O cojecture que la suite ( ) Q semble être croissate et o décroissate. Prouvos par récurrece, que pour tout, o a Q Q + Iitialisatio Q 0 = 300 et Q = 360, doc Q 0 Q. C est doc vrai pour = 0. Hérédité O suppose que Q Q +, il s esuit que et doc que 0,8 Q + 0 0,8 Q Q + Q + Coclusio Pour tout etier aturel, o a Q Q +, ce qui sigifie que la suite ( Q ) est croissate e) Autres exemples Exercice Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, o a = ( + ) Solutio Posos S = , o a S = Cette propriété est doc vraie pour =. Soit, supposos que et motros que De otre hypothèse, S = ( + ), il viet et ( + ) = = S = ( + ) S + = (( ( + ) + ) + ) = ( + )( + ) S + ( + ) = ( + ) + ( + ) Fracis CORTADO Sommaire chapitre 5

10 soit e factorisat par ( + ) S + = ( + ) + ( + ) = ( + ) ( + ) E factorisat par, ous obteos S + = ( + ) ( + ) ou ecore = ( + ) ( + ) C est ce qu il fallait prouver. E coclusio, pour tout, o a = ( + ) Exercice 3 Démotrer de même que, pour tout etier aturel, o a = ( + )( + ) 6 Solutio C est vrai pour =, e effet = 6 3 Supposos que = ( + )( + ) 6 et motros que ( + ) = )( ) (( 6 ( + ) + ) + ( + ) + = ( + )( + )( + 3) 6 Par hypothèse = ( + )( + ) 6 E ajoutat ( + ) aux deux membres de cette égalité, il viet ( + ) = ( + )( + ) + ( + ) 6 = ) (( 6 ( + ) + ) + 6( + ) Or, ( + )( + 3) = = , d où = 6 ( + )( ) ( + ) = ( + )( + )( + 3) 6 Ce qui prouve que cette propriété est héréditaire. Coclusio, pour tout etier aturel, o a = ( + )( + ) 6 Remarque. Écrire la propriété au rag + permet d expliciter ce qu il faut prouver. Ceci peut préseter ue aide o égligeable, das certais cas. 6 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

11 3 Étude du comportemet de la suite (P ) a) Suite de l exercice itroductif 5. Calculer le ombre d aimaux préset au bout de 0, 0, 5, 30 et 40 as 6. Que peut-o cojecturer? Solutio 5. L absece de l expressio de P e foctio de ous oblige à calculer les termes de proche e proche, ce qui peut vite deveir fastidieux. L iformatique permet d automatiser ces calculs. Utilisatio d u tableur. O etre la valeur u 0 = 000 das la cellule B, puis =0.8*B+0 das la cellule B3 qu il suffit de recopier vers le bas Les résultats ot été représetés sur deux coloes das le tableau ci-dessous. O obtiet B 643; B 604; D6 60; D 600 et D 600 = Fichier Excel Utilisatio d u algorithme : Algorithme : Détermiatio du terme de rag Saisir Iitialisatio U 000 Traitemet Tat que k < faire U 0,8 U+0 k k + FiTatque Afficher U Fi Algorithme L écriture de cet algorithme par Algobox ous doe Fracis CORTADO Sommaire chapitre 7

12 O obtiet u 0 = 64, et u 0 = 604,6 69 = Fichier Algobox Algorithme qui affiche la liste de tous les termes de u 0 à u : Algorithme : Détermiatio et affichage des termes de rag iférieurs ou égaux à Saisir Iitialisatio U 000 Traitemet Tat que k < faire U 0,8 U+0 k k + Afficher U FiTatque Fi Algorithme Avec Algobox, cela doe = Fichier Algobox 6. O cojecture que le ombre d aimaux semble se stabiliser vers 600. Il existe u moye graphique de visualiser et mettre cette cojecture e évidece. b) Étude graphique u u u u 7 8 j O ı u 8 u 7 6 u 5 u 4 u 3 u u u 0 8 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

13 O costate graphiquemet que les termes de la suite semblet se rapprocher de l abscisse du poit d itersectio de la droite d équatio y = x et de la courbe représetative de la foctio f défiie par f (x) = 0,8 x + 0. Ce qui doe par le calcul, 0,8 x + 0 = x, soit x = 600. c) Formalisatio de ces observatios Dire que les termes de la suite (P ) semblet se rapprocher de 600 sigifie ituitivemet que leur distace à 600 deviet de plus e plus petite. O peut exprimer cette distace par P 600. Itroduisos la suite (d ) défiie par d = P 600, ous obteos : d + = P = 0,8P = 0,8P 480 = 0,8 P 480 0,8 = 0,8 P 600 = 0,8d E coclusio, pour tout etier aturel, ous avos d + = 0,8d Par défiitio, cela sigifie que la suite (d ) est ue suite géométrique de raiso 0,8 et de premier terme d 0 = 400. Rappelos les résultats essetiels cocerat les suites géométriques et arithmétiques d) Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques Défiitio Défiitio d ue suite arithmétique. Ue suite (u ) est dite arithmétique, si et seulemet si, il existe u réel r tel que pour tout N, o ait u + = u + r r est appelée raiso de la suite arithmétique (u ). Expressio du terme d idice e foctio de Propriété 3 et d ue faço géérale u = u 0 + r u = u p + ( p)r Fracis CORTADO Sommaire chapitre 9

14 Somme des termes d ue suite arithmétique. La somme des -premiers termes cosécutifs d ue suite arithmétique s exprime par la formule u 0 + u + + u = ( u 0 + u ) Propriété 4 Soit d ue faço géérale, pour ue somme de u p à u comportat p + termes u p + u p+ + + u = ( p + ) ( u p + u ) Ce que l o peut reteir de la faço suivate : ombre de termes ( premier+derier ) Défiitio 3 Défiitio d ue suite géométrique Ue suite (u ) est dite géométrique, si et seulemet si, il existe u réel q tel que pour tout N, o ait u + = q u q est appelé raiso de la suite géométrique (u ). Expressio du terme d idice e foctio de u = u 0 q Propriété 5 ou bie si l o commece à u par D ue faço géérale u = u q u = u p q p Somme des termes d ue suite géométrique. La somme des -premiers termes cosécutifs d ue suite géométrique de raiso différete de s exprime par la formule suivate. u 0 + u + + u = u 0 q q Propriété 6 Soit d ue faço géérale, pour ue somme de u p à u comportat p + termes q p+ u p + u p+ + + u = u p q Ce que l o peut reteir de la faço suivate : de termes -raisob Premier terme - raiso Exercice 4 (u ) est ue suite arithmétique de premier terme u 0 = 5 et de raiso r =. Calculer u 7, u 0, et u 5. 0 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

15 Solutio Nous avos u = 5, d où : u 7 = 9; u 0 = 5; u 5 = 5 Exercice 5 (u ) est ue suite géométrique de premier terme u 0 = 9 et de raiso q = 3. Calculer u 3 et u 5. Solutio Nous avos u = 9 ( 3), d où u 3 = 9 ( 3) 3 = 43; u 5 = 9 ( 3) 5 = 87 Covergece des suites umériques Limite fiie ou ifiie d ue suite a) Itroductio Reveos à otre exercice iitial. Nous avos vu que la suite (d ) est ue suite géométrique de raiso 0,8 et de premier terme d 0 = 400, d après les rappels précédets d = d 0 0,8 = 400 0,8 Posos u = 0,8, o obtiet u 0 =, u = 0,8, u = 0,64, u 3 = 0,5, u 4 0,4, u 5 0,33, u 6 0,6 O costate que les termes de cette suite se rapprochet de plus e plus de 0. Précisos cette otio. Peut-o avoir 0 u 0,? Oui, car 0,8 0,086, et de plus comme cette suite est décroissate et positive, si, o aura 0,8 0,, soit 0 u 0,. Peut-o avoir 0 u 0,0? Oui, car 0,8 5 0,004 (par excès), et de plus comme cette suite est décroissate et positive, si 5, o aura 0,8 0,004 et doc 0,8 0,0, soit 0 u 0,0. O peut repredre ce raisoemet pour importe quelle valeur aussi petite que l o veut : 0,00;0,000 0 etc... O peut exprimer ceci de la faço suivate : À coditio de predre «suffisammet grad» o pourra redre u aussi petit que l o veut. U petit itervalle ouvert coteat 0 comportera tous les termes de la suite, à partir d u certai rag = 0 0, 0, valeurs des termes de la suite (u ) O dira que la suite (u ) ted vers 0 lorsque ted vers +, ou que la suite (u ) a pour limite 0 ou ecore qu elle coverge vers 0. Fracis CORTADO Sommaire chapitre

16 b) Défiitio d ue limite fiie Défiitio 4 O dit que la suite (u ) admet pour limite 0 ou qu elle coverge vers 0, si tout itervalle ouvert coteat 0 cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag. Cet itervalle pouvat être choisi aussi petit que l o veut, la défiitio précédete peut s exprimer de la faço suivate : O dit que la suite (u ) admet pour limite 0 ou qu elle coverge vers 0, si o peut redre u aussi petit que l o veut e valeur absolue, à coditio de predre suffisammet grad. Ce qui se traduit mathématiquemet par : O dit que la suite (u ) admet pour limite 0 ou qu elle coverge vers 0, si : quel que soit le réel ε > 0, il existe u rag 0 tel que si 0 alors u ε E gééralisat à u réel l quelcoque, o obtiet Défiitio 5 O dit que la suite (u ) admet pour limite l ou qu elle coverge vers l, si tout itervalle ouvert coteat l cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag. La défiitio précédete peut aussi s exprimer sous la forme : O dit que la suite (u ) admet pour limite le réel l ou qu elle coverge vers l, si o peut redre u aussi proche que l o veut de l, à coditio de predre suffisammet grad. u 3 l 0 Suite covergete vers l u I pour Exercice 6 Traduire la défiitio précédete sous forme mathématique Solutio «Redre u aussi proche que l o veut de l», sigifie que la distace etre u et l peut être redue plus petite que importe quel réel strictemet positif aussi petit soit-il. Cette distace etre u et l s exprime par la valeur absolue de leur différece u l. Si l o cosidère u réel très petit ε > 0, alors o pourra avoir u l ε, mais à coditio que soit suffisammet grad, c est à dire qu il dépasse ue certaie valeur que l o otera 0. E résumé, la défiitio précédete se traduit mathématiquemet par : Quel que soit le réel ε > 0, o peut trouver u etier aturel 0 tel que : si 0 alors u l ε. Ou ecore Quel que soit le réel ε > 0, il existe u etier aturel 0 tel que : si 0 alors u l ε O peut remarquer que cet etier 0 déped (e gééral) de la valeur choisie pour ε Exercice 7 Motrer qu ue suite qui est statioaire à partir d u certai rag est covergete Sommaire chapitre Fracis CORTADO

17 Solutio Cosidéros ue suite (u ) statioaire, c est à dire costate, à partir du rag 0. Supposos que pour tout 0 o a u = u 0. Ceci etraîe que : pour tout 0 o a u u 0 = 0 À partir du rag 0 la différece u u 0 état ulle, elle est bie évidemmet plus petite que importe quel réel strictemet positif, aussi petit que l o veut. O a prouvé que : quel que soit le réel ε > 0 si 0 alors u u 0 ε D après l exercice 6, cela sigifie que la suite (u ) coverge vers u 0 Das cet exemple, la valeur de 0 est la même pour tous les ε choisis. Exercice 8 Motrer que la suite (u ) défiie pour tout etier aturel o ul par coverge vers 0 Solutio u = Soit ɛ > 0, cosidéros l etier aturel 0 immédiatemet supérieur ou égal à ɛ. Puisque 0 ε 0 ε Il e résulte que Si 0 alors ε 0 D après l exercice 6, cela sigifie que la suite (u ) coverge vers 0. c) Défiitio d ue limite ifiie Pour traduire l idée ituitive d ue suite dot les termes devieet de plus e plus grads, sas jamais s arrêter, il suffit de remplacer «aussi petit que l o veut e valeur absolue» par «aussi grad que l o veut», ce qui doe : O dit que la suite (u ) admet pour limite + ou qu elle diverge vers +, si o peut redre u aussi grad que l o veut, à coditio de predre suffisammet grad. ou ecore Défiitio 6 O dit que la suite (u ) admet pour limite + ou qu elle diverge vers +, si tout itervalle de la forme ]A,+ [ cotiet tous les termes de la suite (u ) à partir d u certai rag. 4 Suite qui diverge vers A - u > A pour Fracis CORTADO Sommaire chapitre 3

18 Exercice 9 O cosidère la suite (u ) défiie par u = et soit A u réel quelcoque. Écrire u algorithme permettat de détermier u rag à partir duquel u A Solutio Algorithme : Détermiatio du rag tel que u A Saisir A Iitialisatio 0 Traitemet Tat que U < A faire + U FiTatque Afficher Fi Algorithme L écriture de cet algorithme par Algobox ous doe Par exemple, pour A = 35, o obtiet = 36 = Fichier Algobox 3 À la calculatrice, o vérifie que 36 = 96 et 35 = 5 Remarque. Le pricipe de l algorithme précédet est applicable à d autres suites e modifiat la doée de U 4 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

19 Exercice 0 Traduire la défiitio précédete sous forme mathématique Solutio Dire qu u itervalle de la forme ]A,+ [ cotiet tous les termes de la suite (u ) à partir d u certai rag, sigifie qu il existe u certai rag 0 à partir duquel tous les termes u serot supérieurs au réel A fixé à l avace (aussi grad soit-il) Quel que soit le réel A > 0, o peut trouver u etier aturel 0 tel que si 0 alors u > A. Ou ecore Quel que soit le réel A > 0, il existe u etier aturel 0 tel que si 0 alors u > A. Exercice Motrer que la suite (u ) défiie par u = diverge vers + Solutio Soit A u réel positif (que l o peut predre aussi grad que l o veut) et soit 0 l etier aturel immédiatemet supérieur à A. Si 0 alors 0 mais comme 0 > A, il viet que O a prouvé que : 0 > A et doc > A quel que soit le réel A > 0 si 0 alors > A D après l exercice 0, cela sigifie que la suite (u ) défiie par u = diverge vers + Défiitio 7 O dira que la suite (u ) diverge vers si la suite ( u ) diverge vers + Remarque. Ue suite qui e coverge pas est dite divergete, mais cela e sigifie pas obligatoiremet qu elle admet pour limite + ou Exemple. La suite (u ) défiie par u = ( ) a pas de limite : elle est divergete sas limite. d) Limites des suites usuelles Théorème a. Les suites de terme gééral,, aisi que diverget vers +. b. Les suites de terme gééral, aisi que coverget vers 0. c. Plus gééralemet, pour tout etier p, o a lim p = + et lim p = 0 Remarque. Soit (u ) ue suite usuelle qui coverge vers 0 et (v ) ue suite usuelle qui diverge vers + et soit k u réel strictemet positif, alors : La suite de terme gééral k u coverge vers 0. La suite de terme gééral k v diverge vers +. Fracis CORTADO Sommaire chapitre 5

20 Théorèmes gééraux a) Théorèmes de comparaiso Théorème Soiet (u ) et (v ) deux suites telles qu à partir d u certai rag, u v a. Si lim u = + alors b. Si lim v = alors lim v = + lim u = Démostratio. Motros le premier poit de ce théorème : Soit A u réel fixé arbitrairemet. Puisque lim u = +, il existe u rag tel que Si alors u > A () Notos le rag à partir duquel v u () Notos 0 le plus grad des deux etiers et, o ote 0 = max(, ) Soit 0, par défiitio de 0, o aura et. D après () et (), o aura u > A et v u et doc O a prouvé que : ce qui sigifie que v > A Si 0 alors v > A lim v = + Exemple. Cosidéros la suite (v ) défiie par v = Pour 0, o a Soit (u ) la suite défiie par u =, comme d après le théorème de comparaiso, il e résulte que lim v = + Cosidéros la suite (v ) défiie par v = + ( ). Pour 0, o a ( ) D où + ( ) + lim u = +, Or la suite de terme gééral diverge vers +, il e est doc de même pour la suite (v ) de terme gééral v = + ( ) b) Applicatio:Covergece des suites géométriques Soit (u ) ue suite géométrique de raiso q différete de et de 0 et de premier terme. Supposos que q >. O peut doc poser q = + x où x est u réel strictemet positif, d où : u = q = ( + x) () L idée cosiste à comparer ( + x) avec ue suite usuelle de limite coue. Pour cela démotros par récurrece l iégalité suivate, appelée iégalité de Berouilli, valable pour tout x > 0. ( + x) + x 6 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

21 Démostratio. La propriété est vraie pour = 0 Supposos que ( + x) + x, il viet Or + x + x + x + x + x, soit + x + x + x + ( + )x, et doc ( + x) ( + x) ( + x)( + x) ( + x) + + x + x + x ( + x) + + ( + )x E coclusio, pour tout N et tout réel x > 0, o a ( + x) + x Appliquos cette iégalité à l égalité (), il viet Comme x > 0, o e déduit que u + x lim + x = + D après les théorèmes de comparaiso, il e résulte que O peut doc éocer : lim u = +. Théorème 3 La suite géométrique de terme gééral q avec q > diverge vers + c) Théorème des gedarmes Soit l u ombre réel et soiet (u ), (v ), (w ) trois suites vérifiat : Théorème 4 a. À partir d u certai rag o a u v w b. Les deux suites (u ) et (w ) coverget vers u même réel l. Alors la suite (v ) coverge égalemet vers l Coformémet au programme ce théorème sera admis. Exemple. La suite (u ) défiie pour > par u = ( ) Or coverge vers 0. E effet, puisque pour tout N o a ( ), il s esuit que pour tout N ( ) lim = lim = 0 O e déduit, d après le théorème des gedarmes que ( ) lim = 0 Fracis CORTADO Sommaire chapitre 7

22 3 Règles opératoires a) Opératios sur les limites Das tout ce qui suit, l et l sot deux réels, " " désige idifféremmet + ou. Limite d ue somme. lim u l l + + lim v l + lim (u + v ) l + l + F.I " " Limite d u produit. lim u l l 0 0 lim v l lim (u v ) l l "règle des siges" "règle des siges" F.I "0 " Limite d u quotiet. lim u l l 0 0 l lim v l l ( ) u l F.I " 0 "règle des siges" 0 " 0 F.I " "règle des siges" " lim v l Ces expressios sot appelées «formes idétermiées», car o e peut pas à priori, dire quelle sera la limite de la suite obteue. Par exemple, das le cas de la somme de deux suites, o peut avoir : a. Soit u = + et v = la somme de ces deux suites coverge vers. b. Soit u = + et v = la somme de ces deux suites diverge vers +. c. Soit u = 3 et v = 3 la somme de ces deux suites diverge vers. b) Applicatio Cosidéros ue suite géométrique (u ) de raiso 0 < q <. ) Comme 0 < q <, o aura ( q >, et d après le théorème 3, o peut affirmer que la suite q diverge ( ) vers +, car c est ue suite géométrique de raiso strictemet supérieure à. Or = q q, la suite (v ) de terme gééral v = diverge doc vers +. q D après les règles opératoires, la suite iverse de terme gééral u = ( q ) coverge vers 0. Théorème 5 La suite géométrique de terme gééral q avec 0 < q < coverge vers 0 8 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

23 Supposos que < q < 0 d où 0 < q < : La suite ( q ) coverge doc vers 0. Or pour tout réel x, o a l ecadremet x x x, ce qui doe, pour tout N Comme q q q soit q q q lim q = il s esuit, d après le théorème des gedarmes que lim q = 0 lim q = 0 O peut doc rassembler tous les résultats relatifs à la covergece de la suite géométrique ( q ) das le théorème suivat : Théorème 6 Covergece des suites géométriques O cosidère la suite géométrique de terme gééral q. a. Si q = 0 ou q = la suite est statioaire à partir d u certai rag, elle est doc covergete. b. Si q la suite diverge sas avoir de limite. c. Si < q < la suite coverge vers 0. d. Si q > la suite diverge vers + c) Retour à l exercice itroductif O a motré que la suite (d ) défiie par d = P 600 est ue suite géométrique de raiso 0,8 et de premier terme d 0 = 400, et que d = 400 0,8 ( Comme la suite 0,8 ) coverge vers 0, il e sera de même de la suite de terme gééral 400 0,8. E coclusio, la suite (d ) coverge vers 0, soit d où lim P 600 = 0 et lim P = 600 lim P 600 = 0 Ce qui veut dire que le ombre d aimaux présets se stabilisera vers 600. Remarque. L itroductio d ue suite auxiliaire d = P 600 qui a la propriété d être géométrique est ue méthode géérale adaptable, sous certaies modificatios, aux suites défiies par ue relatio de récurrece de la forme u + = a u + b Remarque. La suite (d ) permet égalemet de trouver l expressio explicite de P e foctio de. E effet, puisque P > 600, o a d = P 600 = P 600, et Or d = 0,8, d où d = P 600 P = d P = 0, le terme gééral de la suite (P ) apparait doc comme la somme du terme gééral d ue suite géométrique et d ue costate. C est cette propriété qui cofère le om «d arithméticogéométriques» aux suites de cette forme. Fracis CORTADO Sommaire chapitre 9

24 d) Exercices Exercice Détermier les limites des suites dot le terme gééral est doé ci-dessous :. a) u = + et v = b) w = + et t = 3 +. a) u = + et v = + b) w = + et t = + Solutios. a) lim = 0 doc lim u = lim + = ( v = ), 3 or lim = lim lim + 3 = et doc 3 b) lim + = + doc ( 3 ) 3 t = ( + ) = + 3 = lim = 0, d où 3 lim v = lim = lim 3 = + lim v =, or lim = 0, d où lim lim t = lim + = 0 3 = 3 et 3 lim + = 3. a) E factorisat par «le terme domiat», o obtiet Or v = lim Or ( + ) + u = = = + =, d où lim u = + = + lim = 0 ( )( ) = + = lim + = lim + =, doc lim = + d où lim + + = + et lim = e coclusio lim v = ( )( ) b) w = + + lim + = 0 = = Sommaire chapitre Fracis CORTADO

25 w = ( + ) = + + = or lim + = et lim lim w = w = ( + ) = =, d où lim + = lim ( + ) = + Comme t = +, e factorisat par «le terme domiat», o obtiet t = t = ( + ) = + ( + ) = ( ) + Or D où et lim + lim lim t = = et lim = 0 + = lim = + 4 Covergece mootoe a) Suites majorées, miorées, borées Défiitio 8 Soit (u ) ue suite umérique. O dit que : a. la suite est majorée s il existe u réel M tel que pour tout, o ait u M. b. la suite est miorée s il existe u réel m tel que pour tout, o ait m u. c. la suite est borée s il existe deux réels m et M tels que pour tout, m u M. Remarque. Ue suite majorée (resp. miorée) admet ue ifiité de majorats (resp. miorats). Exercice 3 Que pesez-vous de la propositio suivate? «la suite (u ) est majorée, si pour tout, il existe u réel M tel que, o ait u M.» Solutio Das cette propositio, le réel M peut dépedre du cosidéré, mais est pas écessairemet le même pour tous les. Cette propositio sigifie simplemet que la suite est défiie pour tout et o qu elle est borée. Fracis CORTADO Sommaire chapitre 3

26 Exercice 4. Motrer que la suite défiie sur N par est borée par deux réels que l o détermiera.. Motrer que la suite défiie sur N par u = + u = est majorée. O majorera chacu des termes de cette somme, et o les comptera. Solutio. Tous les termes de cette suite sot positifs, la suite est doc miorée par 0. De plus, pour tout,il est évidet que + d où E coclusio, pour tout Ce qui sigifie que la suite (u ) est borée.. Le derier terme de cette somme s écrivat =, o e déduit que cette somme comporte termes. + Chaque terme état plus petit que, leur somme sera plus petite que c est à dire. Pour tout o a u. Cepedat ce résultat e permet pas de coclure que la suite est majorée, car le réel trouvé est pas idépedat de (voir exercice 0). Mais comme +, +,, o e déduit que +, +,, Chaque terme de cette somme est doc plus petit que, comme elle comporte termes, ous obteos Soit La suite (u ) est doc majorée par u b) Relatios etre les otios de limite d ue suite et de suite borée Preos le cas d ue suite qui diverge vers +. Puisqu elle peut dépasser tout réel aussi grad soit-il, à coditio de predre suffisammet grad, o coçoit clairemet qu elle e pourra pas être borée. Réciproquemet, ue suite o borée diverge-t-elle vers + ou? La répose à cette questio est égative, e effet si l o cosidère la suite géométrique (v ) défiie par v = ( ), ses premiers termes sot,, 4, 8, 6, 3, 64 etc 3 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

27 Cette suite a pas de limite. Quelle hypothèse doit-o ajouter pour faire e sorte qu ue suite o majorée (par exemple) diverge vers +? Le cotre-exemple précédet ous motre qu il faut pouvoir refuser le cas de suites qui «oscilleraiet» etre des valeurs positives et égatives très grades e valeurs absolues. Il faut doc ajouter ue hypothèse complémetaire de mootoie. Nous pouvos éocer et démotrer le théorème suivat : Théorème 7 a. Toute suite croissate et o majorée admet pour limite +. b. Toute suite décroissate et o miorée admet pour limite. Démostratio. Démotros le premier poit. Soit A > 0 doé, motros qu à partir d u certai rag p, tous les termes de la suite appartieet à l itervalle ]A ; + [ Comme la suite est pas majorée, il existe u etier p tel que u p > A. Comme la suite est croissate, pour tout > p, o a u > u p. Doc, pour tout > p, o a u > u p et u p > A d où, pour tout > p, o a u > A Ce qui sigifie, par défiitio, que lim u = + Remarque. Le théorème 7 éoce ue coditio suffisate (croissate et o majorée) pour avoir ue suite qui diverge vers +. Mais cette coditio est pas écessaire : Il existe des suites o majorées et o mootoe qui diverget vers Représetatio des termes d ue suite o mootoe qui diverge vers + Fracis CORTADO Sommaire chapitre 33

28 Cosidéros maiteat ue suite (u ) qui coverge vers u certai réel l. Par défiitio, cela sigifie, qu à partir d u certai rag, tout itervalle ouvert coteat la limite l cotiedra tous les termes de la suites. Choisissos par exemple l itervalle I =]l, l+[ alors il existe u rag 0 tel que si 0 alors u ]l, l + [. Les u restats (ceux de = 0 à = 0 ) état e ombre fii, otos u p le plus petit d etre eux et u g le plus grad. Preos u terme u quelcoque de cette suite, alors de deux choses l ue : Soit 0 et u ]l, l + [ Soit 0 0 et u p u u g Notos m le plus petit des deux réels l et u p aisi que M le plus grad des deux réels l + et u g, alors pour tout o a m < u < M. Ce qui sigifie que la suite (u ) est borée. Théorème 8 Ue suite covergete est borée Remarque. La démostratio de ce théorème est pas exigible, cepedat, ous pouvos doer ue autre démostratio das le cas ou la suite est croissate Propriété 7 Soit (u ) ue suite croissate défiie sur N Supposos que (u ) coverge vers l. Alors (u ) est majorée par l Démostratio. Démotros cette propriété par l absurde. Supposos qu il existe u certai rag 0 tel que Trivialemet l > l, et doc u 0 > l l < l < u 0 ce qui sigifie que l itervalle ouvert ] [ l,u 0 cotiet l. D après la défiitio de la limite fiie, cet itervalle cotiedra tous les termes de la suite, à partir d u certai rag. Or cette suite est croissate, doc si > 0 o aura u u 0. Ce qui etraîe que tous les u, à partir de u 0, e serot pas das l itervalle ] [ l,u 0. Cet itervalle e pourra doc pas coteir tous les u, à partir d u certai rag. Ce qui est e cotradictio avec le fait que (u ) coverge vers l. E coclusio, l hypothèse du départ est fausse et pour tout N, o a u l Étudios à préset les réciproques du théorème 8 et de la propriété 4. Ue suite borée est-elle covergete?. Ue suite majorée et covergete est-elle croissate? La répose est o à ces deux questios, e effet :. La suite (u ) défiie par u = ( ) est borée par et mais e coverge pas : elle diverge sas avoir de limite. (. La suite (v ) défiie par v = ) coverge vers 0 mais est i croissate, i décroissate. Commet modifier la première des deux affirmatios précédetes pour qu elle soit vraie? Il faut éviter le cas «oscillat» o doit doc ajouter ue hypothèse de mootoie. O obtiet alors l importat théorème suivat. 34 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

29 c) Théorème de la covergece mootoe Théorème 9 a. Si ue suite est croissate et majorée alors elle coverge. b. Si ue suite est décroissate et miorée alors elle coverge. La démostratio de ce théorème sera admise. Remarque. Ce théorème est qualitatif, il permet de prouver qu ue suite est covergete, mais il e doe pas la valeur de sa limite. Das cet éocé, il est sous-etedu que l o cosidère ue suite de ombres réels dot la covergete a lieu das R. Cela est plus écessairemet vrai si l o se restreit à u sous-esemble de R. E effet, o peut trouver des suites de ombres ratioels (élémets de Q) croissates et majorées, mais qui e coverget pas das Q Exemple. La suite (u ) défiie sur N par u = 5+ est positive doc miorée par 0, et décroissate, elle est doc covergete. + Mais il e faut pas e déduire qu elle coverge vers 0. O prouve simplemet qu elle coverge vers 5, e effet lim = 0, d où + lim u = 5 Ce théorème s utilisera, pour l essetiel avec des suites défiies par récurrece, dot o e peut pas détermier la limite à priori. C est ue secode étude qui peut, das certais cas, ous permettre de détermier avec exactitude la limite de la suite cosidérée. Exemple. Repreos l exemple itroductif Nous avos motré par récurrece que la suite ( P ) est décroissate. Par le même moye, o peut motrer facilemet qu elle est miorée par 0. Elle est doc covergete, e vertu du théorème de la covergece mootoe. Appelos l sa limite, ous avos lim P = l et doc lim 0,8 P + 0 = 0,8 l + 0 Soit lim P + = 0,8 l + 0 La suite (P ) état covergete, la suite (P + ) aura la même limite l (c est seulemet u décalage d idice), d où l = 0,8 l + 0 E résolvat cette équatio o obtiet l = 600. O retrouve le résultat observé graphiquemet : la valeur de la limite correspod à l abscisse du poit d itersectio de la droite d équatio y = 0,8x + 0 et de celle d équatio y = x. Cette démarche peut se gééraliser, mais il faut s assurer au préalable de la covergece de la suite cosidérée. Fracis CORTADO Sommaire chapitre 35

30 5 Exercices a) Cas d ue suite récurrete Exercice 5 Étudier la covergece de la suite (u ) défiie pour tout par u 0 = 0 et u + = 3u + 4 Solutio O calcule les premiers termes de cette suite pour avoir ue idée de so comportemet, o obtiet : u 0 = 0, u =, u = 0 3,6, u 3 = ,67, u 4 3,87 O cojecture que cette suite est croissate et qu elle coverge vers 4. Utilisatio du théorème de la covergece mootoe. Les démostratios qui vot s effectuer par récurrece, aussi de sorte à faciliter la rédactio, ous allos itroduire la foctio f défiie sur [0, + [ par Ce qui permet d écrire que, pour tout, f (x) = 3x + 4 u + = f (u ) Prouvos que la suite (u ) est croissate. u 0 = 0 et u =, d où u 0 u supposos que u u +. Puisque la foctio f est croissate sur [0, + [ (comme successio de deux foctios croissates sur [0, + [), il viet f (u ) f (u + ) soit u + u + E coclusio, pour tout o a u u +, ce qui sigifie que cette suite est croissate. Prouvos que la suite (u ) est borée. Pour prouver qu elle est borée, il faut avoir l idée d u majorat. L étude umérique (ou graphique) ous coduit à motrer qu elle est majorée par 4. Ce que ous allos prouver par récurrece. u 0 = 0 d où u 0 4 supposos que u 4. Puisque la foctio f est croissate sur [0, + [, il viet Or f (4) = = 6 = 4, d où f (u + ) f (4) u + 4 E coclusio, pour tout, u 4, ce qui sigifie que cette suite est majorée par 4. Cette suite (u ) est croissate et majorée, d après le théorème de la covergece mootoe ous pouvos e coclure qu elle est covergete. A ce stade, il serait faux d affirmer qu elle coverge vers 4. Détermios la limite de cette suite (u ). Comme ous veos de prouver que cette suite coverge, otos l sa limite, comme et que lim u + = lim u + = lim u = l lim f (u ) = f (l) 36 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

31 ous e déduisos que l vérifie f (l) = l Soit 3l + 4 = l 3l + 4 = l Ce qui doe l = ou l = 4 Tous les termes de cette suite état positifs, leur limite e peut pas être égale à, e coclusio l = 4 Nous veos doc de prouver que cette suite coverge vers 4. Méthode directe pour prouver qu elle coverge vers 4. O repred l idée utilisée das l exemple itroductif, à savoir l utilisatio d ue suite géométrique auxiliaire coveablemet choisie. L étude expérimetale de cette suite ous coduit à itroduire (voir l exemple de la suite (P )) la suite (v ) défiie par v = 4 u Étudios le comportemet de la suite (v ) e détermiat v + v + = 4 u + = 4 3u + 4 A ce stade, il faut utiliser u artifice de calcul fréquet lorsque iterviet des expressios coteat des radicaux : o multiplie et o divise par l expressio cojuguée de celle qui est présete D où ( 4 3u + 4 )( 4 + 3u + 4 ) v + = 4 + = 6 3u 4 3u u + 4 = 3u 4 + 3u u = u + 4 = 3 v 4 + 3u + 4 = v u + 4 Nous avos doc obteu que, pour tout 3 v + = v 4 + 3u + 4 A priori ous e savos rie du sige de v, o peut démotrer par récurrece que, pour tout, v 0. Il est égalemet possible, et plus simple, de s affrachir de cette preuve e cosidérat la valeur absolue de v (comme das l exemple itroductif), il viet alors : 3 v + = v 4 + 3u + 4 Nous avos obteu ue relatio liat v + et v mais qui est assez compliquée par la présece de u au déomiateur de la fractio. Détermiatio d u majorat Il est possible de simplifier cette expressio e majorat la quatité u + 4 Pour cela, il suffit de miorer coveablemet so déomiateur. O peut, par exemple, cosidérer que, pour tout, o a 4 + 3u Fracis CORTADO Sommaire chapitre 37

32 et doc que D où u v + v 3 4 Ce est pas ue égalité que ous avos obteu mais ue iégalité, cepedat cela va suffire pour coclure, e effet. Utilisatio de la majoratio obteue E écrivat l iégalité précédete à partir de et e «descedat» jusqu à, ous obteos iégalités etre ombres positifs : v v 3 4 v v 3 4. v v E les multipliat toutes membre à membre, o costate que l o trouve de part et d autre le produit v v v O peut doc simplifier par cette expressio. v v Le facteur 3 du membre de droite de cette iégalité état préset autat de fois que ous avios 4 d iégalités avat d e effectuer le produit membre à membre, c est à dire fois, d où : Soit, e teat compte que v 0 = 4 = 4 ( 3 v v 0 4 ) ( ) 3 ( 3 4 v Coclusio par l utilisatio ( du ) théorème des gedarmes 3 La suite de terme gééral état ue suite géométrique de raiso 3 comprise etre 0 et, 4 4 elle coverge doc vers 0, d où Et puisque ) ( ) 3 ( ) 3 lim = lim = ( ) 3 ( 3 4 v Par le théorème des gedarmes, o coclut que la suite (v ) coverge vers 0. Or v = 4 u d où u = 4 v, comme (v ) coverge vers 0, il s esuit que (u ) coverge vers 4. ) 38 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

33 Remarque. O peut égalemet prouver l iégalité par récurrece. ( 3 v v 0 4 ) Remarque. Si l o exprime cette iégalité à l aide de la suite (u ), ous obteos ( ) 3 4 u 4 4 C est ue iégalité de la forme u l k q Où k est ue costate réelle strictemet positive et q compris strictemet etre et. O peut prouver d ue faço géérale qu ue telle iégalité permet de coclure que la suite (u ) coverge vers l b) Cas d ue suite défiie par u procédé de sommatio Exercice 6 O cosidère la suite (S ) défiie pour 0 par S = k=. Motrer que cette suite est croissate.. Motrer qu elle est majorée. 3. Que peut-o e déduire? k = Solutio. S + = S + ( + ), d où S + S = ( + ) Doc S + S > 0 La suite (S ) est croissate. Cette deuxième questio est autremet plus délicate, surtout si l o e doe pas le majorat à priori. O peut cepedat procéder de la faço suivate, e remarquat que, pour d où ( ) ( ) E sommat membre à membre ces iégalités, o obtiet ( ) Fracis CORTADO Sommaire chapitre 39

34 Soit ( ) E faisat apparaître le terme géérique du membre de droite, ous obteos : D où Or, D où ( ) = k (k ) + + ( ) = k= k= k (k ) k= + k= k (k ) k (k ) = k k + k (k ) = k (k ) k (k ) = k k (k ) k k (k ) = k k k= ( ) = k= ( k (k ) = k ) k L iégalité () s écrit doc Or Soit k= k= ( k= k= + k k k= k= ( k= ( k k ) k= () () ) = k k ) = O costate qu u certai ombre de termes s élimiet deux à deux. E défiitive ous obteos k= ( k ) = k L iégalité () deviet alors k= Soit et doc Nous avos prouvé que la suite de terme gééral est majorée par. S = k= k = La suite (S ) état croissate et majorée par, il e résulte que d après le théorème de la covergece mootoe, elle coverge. Mais il serait faux de croire qu elle coverge vers! 40 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

35 O peut motrer, mais c est beaucoup plus difficile, qu elle coverge e fait vers π 6. Le majorat obteu à la questio était doc pas le plus petit possible. Exercice 7 Écrire u algorithme permettat d obteir ue valeur approchée, à e-près de π à l aide de la suite précédete Solutio Algorithme : Détermiatio d ue valeur approchée à e-près Saisir e Iitialisatio k U Traitemet Tat que 6U π > e faire U U + k k k + FiTatque Afficher k Afficher 6U π Fi Algorithme L écriture de cet algorithme par Algobox ous doe Par exemple, pour e = 0,0, o obtiet = 96 et u π = 0,009 9 = Fichier Algobox 4 Ce qui doe ue valeur approchée pour π de 3, Fracis CORTADO Sommaire chapitre 4

36 Résumé du cours Gééralités Raisoemet par récurrece. Pour motrer qu ue propriété p() qui déped d u etier aturel est vraie pour tout à partir d ue certaie valeur 0, o procède de la faço suivate : Iitialisatio : O vérifie que cette propriété est vraie pour 0 Propriété Hérédité : O suppose qu elle est vraie pour u certai rag 0 et o motre alors qu elle est vraie au rag +. Coclusio : Alors cette propriété sera vraie pour tout 0 Suites majorées, miorées, borées Défiitio O dit qu ue suite (u ) est majorée par M si pour tout o a u M O dit qu ue suite (u ) est miorée par m, si pour tout o a u m Ue suite qui est à la fois majorée et miorée est dite borée. Ses de variatio Défiitio O dit qu ue suite (u ) est croissate à partir d u certai rag 0 si pour tout 0 o a u + u O dit qu ue suite (u ) est décroissate à partir d u certai rag 0 si pour tout 0 o a u + u O dit qu ue suite (u ) est statioaire à partir d u certai rag 0 si pour tout 0 o a u + = u Suites arithmétiques et géométriques. Suites arithmétiques Défiitio 3 Ue suite (u ) est dite arithmétique si et seulemet si il existe u réel r tel que pour tout N, o ait u + = u + r r est appelée raiso de la suite arithmétique (u ). Terme d idice u = u 0 + r ou plus gééralemet u = u p + ( p)r Somme des premiers termes d ue suite arithmétique. u 0 + u + + u = (u 0 + u ) Pour ue somme de u p à u comportat p + termes u p + u p+ + + u = ( p + ) (u p + u ) soit ombre de termes ( premier + derier ) 4 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

37 Suites géométriques. Défiitio 4 Ue suite (u ) est dite géométrique si et seulemet si il existe u réel q tel que pour tout N, o ait u + = q u q est appelé raiso de la suite géométrique (u ). Terme d idice. u = u 0 q ou plus gééralemet u = u p q p Somme des premiers termes d ue suite arithmétique de raiso différete de. u 0 + u + + u = u 0 q q Pour ue somme de u p à u comportat p + termes u p + u p+ + + u = u p q p+ q soit de termes - raisob Premier terme - raiso Covergece des suites umériques. Défiitios Défiitio 5 O dit que la suite (u ) coverge vers l R, ou admet l comme limite quad ted vers + si l o peut redre u aussi proche de l que l o veut, à coditio de predre suffisammet grad. O ote lim u = l Ue suite qui e coverge pas sera dite divergete. Défiitio 6 O dit que la suite (u ) diverge vers + si l o peut redre u aussi grad que l o veut à coditio de predre suffisammet grad : Quel que soit le réel A, à partir d u certai rag 0, l itervalle ]A,+ [ cotiet tous les termes de la suite. O ote lim u = + Défiitio 7 O dit que (u ) diverge vers si la suite (u ) diverge vers + O ote lim u = Fracis CORTADO Sommaire chapitre 43

38 Théorèmes gééraux Théorème Limite des suites mootoes o borées. Ue suite croissate et o majorée diverge vers +. Ue suite décroissate et o miorée diverge vers. Théorème Théorème de la covergece mootoe. Toute suite de ombres réels croissate et majorée coverge. Toute suite de ombres réels décroissate et miorée coverge. Théorème de comparaiso et théorème des gedarmes. Si à partir d u certai rag o a u v et si lim (u ) = + alors lim (v ) = + Théorème 3 Si à partir d u certai rag o a u v et si lim (v ) = alors lim (u ) = Si à partir d u certai rag o a v u w et si (v ) et (w ) coverget vers la même limite l, alors lim (u ) = l Limites des suites usuelles. La suite de terme gééral, où k est u etier strictemet positif coverge vers 0. k La suite de terme gééral k, où k est u etier strictemet positif, diverge vers +. Si q > la suite de terme gééral q diverge vers +. Si < q < la suite de terme gééral q coverge vers 0. Si q = la suite la suite de terme gééral q coverge vers. Si q la suite de terme gééral q diverge sas avoir de limite. 44 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

39 Démostratios du cours Théorème Démostratio exigible Soiet (u ) et (v ) deux suites telles qu à partir d u certai rag, o ait u v. Si lim u = + alors lim v = + Démostratio. Soit A u réel fixé arbitrairemet, puisque tel que Si alors u > A () Notos le rag à partir duquel v u () Notos 0 le plus grad des deux etiers et, soit 0 = max(, ) Soit 0, par défiitio de 0, o aura et. D après () et (), o aura si 0 alors u > A et v u lim u = +, il existe u rag et doc O a prouvé que : ce qui sigifie que v > A Si 0 alors v > A lim v = + Théorème Démostratio exigible La suite géométrique de terme gééral q avec q > diverge vers + Démostratio. Posos q = + x où x est u réel strictemet positif, d où : u = q = ( + x) () Démotros, par récurrece, l iégalité de Berouilli, valable pour tout x > 0. La propriété est vraie pour = 0 Supposos que ( + x) + x, il viet Or + x + x + x + x + x, soit + x + x + x + ( + )x, et doc ( + x) + x ( + x) ( + x) ( + x)( + x) ( + x) + + x + x + x ( + x) + + ( + )x E coclusio, pour tout N et tout réel x > 0, o a ( + x) + x Fracis CORTADO Sommaire chapitre 45

40 Appliquos cette iégalité à l égalité (), il viet u + x Comme x > 0, o e déduit que lim + x = + D après les théorèmes de comparaiso, il e résulte que lim u = +. Théorème 3 Démostratio exigible Soit (u ) ue suite croissate défiie sur N Supposos que (u ) coverge vers l. Alors pour tout N, u l Démostratio. Démotros cette propriété par l absurde. Supposos qu il existe u certai rag 0 tel que Trivialemet l > l, et doc u 0 > l l < l < u 0 ce qui sigifie que l itervalle ouvert ] [ l,u 0 cotiet l. D après la défiitio de la limite fiie, cet itervalle cotiedra tous les termes de la suite, à partir d u certai rag. Or cette suite est croissate, doc si > 0 o aura u u 0. Ce qui etraîe que tous les u, à partir de u 0, e serot pas das l itervalle ] [ l,u 0. Cet itervalle e pourra doc pas coteir tous les u, à partir d u certai rag. Ce qui est e cotradictio avec le fait que (u ) coverge vers l. E coclusio, l hypothèse du départ est fausse et pour tout N, o a u l Théorème 4 Démostratio itéressate Soit (u ) ue suite croissate et o majorée, alors lim u + Démostratio. Soit A > 0 doé, motros qu à partir d u certai rag p, tous les termes de la suite appartieet à l itervalle ]A ; + [ Comme la suite est pas majorée, il existe u etier p tel que u p > A. Comme la suite est croissate, pour tout > p, o a u > u p. Doc, pour tout > p, o a u > u p et u p > A d où, pour tout > p, o a u > A Ce qui sigifie, par défiitio, que lim u = + 46 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

41 Exercices. Motrer par récurrece, qu à partir d u certai rag 0 que l o détermiera, ( + ). Démotrer que, pour tout etier, o a O cosidère la suite (u ) défiie sur N par u 0 = 7 et u + = + u. Motrer que cette suite est miorée et décroissate.. Que peut-o dire de la suite (v ) défiie sur N par v 0 = 0 et v + = + v Calculer e foctio de chacue des sommes p= S = 3 p p=, S = S 4 = p=0 p= p=0 p= (p+), S 3 = ( 3 p ) p=, S 5 = p= p= p= ( p p p=, S 6 = 3 Exprimer les sommes suivates à l aide de pour x R S = T = + x + x + x 4 + x x 4 O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 = 8 et u + = 5 u + 3 Démotrer que pour tout etier aturel : ( ) u = p= ) ( ) p 5 Pour les suites doées exprimer u e foctio de.. (u ) est ue suite arithmétique de raiso r vérifiat : a) u 0 = et r = 3 b) u 5 = 8 et u = 3 c) u 0 = et u u 0 = 44. (u ) est ue suite géométrique de raiso q vérifiat : a) u = 5 et q = 3 b) u 4 = et u 9 = 5 5 c) q = et u u = É tudier la mootoie des suites (u ) ci-après.. a) u = + 5 a) u = 3 + ( ) b) u = 5 + c) u = a) u = 3 b) u = 3 4 c) u + = 3u et u 0 = 8 Étudier la covergece des suites (u ) ci-dessous.. a) u = 3 + b) u = 3 c) u = d) u = 3 ( ). a) u = ( ) b) u = ( ) c) u = 5 ( 3 d) u = ) 3 ( ) ( ) ( ) 3. a) u = b) u = + ( c) u = 3 ) d) u = a) u = + cos(π) b) Cette suite est-elle mootoe? c) De quel théorème cette suite est-elle u cotreexemple? 9 Soit a u réel et les suites (u ) et (v ) défiies par : u 0 =, v 0 = 3 et pour tout N 4 u + = 5 (u + 4v ) et v + = 5 (3u + v ). À l aide d u outil iformatique cojecturer le comportemet de ces deux suites à l ifii.. a) Émettre ue cojecture sur la suite (w ) défiie par w = 3u + 4v. b) Démotrer cette cojecture. 3. E déduire v e foctio de u, puis exprimer u + e foctio de u seulemet. 4. E déduire les limites de (u ) et (v ). 0 O défiit la suite (u ) par u 0 = 0, et pour tout N par, u + = u + 3 u + 4. Cojecturer le comportemet de (u ) quad ted vers +.. Motrer que la suite (v ) défiie pour tout N par, v = u est géométrique. u Détermier la limite de (v ). 4. Exprimer u e foctio de v et e déduire la limite de la suite (u ). Fracis CORTADO Sommaire chapitre 47

42 O cosidère la suite (u ) défiie pour tout N par u u 0 = et u + = u +. Démotrer que u > 0 pour tout N.. Démotrer que la suite (u ) est décroissate. Que peut-o e déduire? 3. Motrer que pour tout N, o a : u = + 4. E déduire la limite de la suite (u ). Pour tout N, o pose u = a) De combie de termes u est-il la somme? b) Quelle est la limite de chacu de ces termes quad ted vers +? Peut-o e déduire la limite de (u )?. a) Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grad? b) E déduire que pour, + + c) E déduire la covergece de la suite (u ) 3 La suite de ombres,,,,,etc coverge-t-elle? 4. Chaque salle du lycée possède sa propre clé, différete de celle d ue autre salle. Quelle différece y-a-t-il etre les phrases A et B suivates : A«Pour toute salle, il existe ue clé qui permet d ouvrir cette salle» B :«Il existe ue clé qui, pour toute salle du lycée permet d ouvrir cette salle.». Soit (u ) la suite défiie sur N par u =. Les phrases suivates sot-elles vraies ou fausses? : A : «Pour tout de N, il existe M tel que u M.» B :«Il existe M tel que pour tout de N, u M» 5 Approfodissemet Soiet (u ) et (v ) deux suites umériques covergeat respectivemet vers les réels l et l, et soit a u réel strictemet positif.. Justifier qu il existe u etier tel que pour tout, o ait l a u l + a et u etier tel que pour tout o ait l a u l + a. Démotrer que (u + v ) coverge vers l + l 6 Approfodissemet Soit (u ) ue suite de ombres réels défiie sur N. Expliciter e lagage courat les suites (u ) et (u + ).. Soit α R { ; + }. Motrer que les suites (u ) et (u + ) ot pour limite α si, et seulemet si, la suite (u ) a pour limite α. 3. Applicatio : Soit q. Motrer que la suite (q ) admet aucue limite, fiie ou ifiie. 7 Écriture avec ou sas le symbole. Écrire sas : N ( ), =0. Écrire avec : p, p=, p= p= 8 E utilisat le fait que pour tout N, o a cos aisi que si, détermier les limites des suites de termes gééraux a) u = cos b) v = + ( ) c) a = si ( ) 3 d) b = si e) c = 3 cos ϕ) d = si 4 9 Ue suite (u ) est défiie par u 0 = u + = 3u + Soit l la solutio de l équatio x = 3x +. Étudiez la suite (v ) défiie par v = u l.. Déduisez-e l expressio du terme gééral de (v ) e foctio de. 3. Exprimez alors u e foctio de. 0 O cosidère la suite défiie pour par u = +. Calculer les dix premiers termes de la suite et e doer des valeurs approchées à 0 près.. Observer la représetatio graphique de la suite (u ) doée par ue calculatrice ou u ordiateur. Quelle cojecture peut-o faire sur la limite de la suite (u )? p 48 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

43 3. O cosidère l itervalle ouvert de cetre et de rayo 0,0, c est-à-dire ],99;,0[. Motrer qu à partir d u certai rag 0 à détermier, tous les termes de la suite (u ) appartieet à cet itervalle. 4. O cosidère l itervalle ouvert de cetre et de rayo r, c est-à-dire ] r, + r [. Motrer qu à partir d u certai rag 0 à détermier e foctio de r, tous les termes de la suite (u ) appartieet à cet itervalle. 5. Démotrer que (u ) coverge vers. O cosidère la suite (u ), défiie pour, par u = +. Calculer les dix premiers termes de la suite et e doer des valeurs approchées à 0 près.. a) Observer la représetatio graphique de la suite (u ) doée par ue calculatrice ou u ordiateur. b) Quelle cojecture peut-o faire sur la limite de la suite? 3. O cosidère l itervalle ]a,+ [ avec a 0. Motrez qu à partir d u certai rag 0 à détermier e foctio de a, tous les termes de la suite appartieet à cet itervalle. 4. Motrez que lim u = +. Soit (u ) la suite de terme gééral u = + 6. Cojecturez la limite de cette suite à l aide d ue calculatrice ou d u logiciel adapté.. Motrez que 6 u = et déduisez-e la limite de (u ) Soit (u ) ue suite. O cosidère les propriétés suivates P la suite (u ) est majorée ; P la suite (u ) est pas majorée ; P 3 la suite (u ) coverge ; P 4 la suite (u ) ted vers + ; P 5 la suite (u ) est croissate.. Doer la traductio mathématique des propriétés P et P 4.. Si les propriétés P et P 5 sot vraies, que peut-o e coclure pour (u ) (o e demade pas de justifier la répose)? 3. Si les propriétés P et P 5 sot vraies, que peut-o e coclure pour (u ) (o e demade pas de justifier la répose)? 4. Ue suite vérifiat la propriété P 4 vérifie-t-elle écessairemet la propriété P (o demade de justifier la répose)? 5. Ue suite vérifiat la propriété P vérifie-t-elle écessairemet la propriété P 4 (o demade de justifier la répose)? 4 Partie A Démostratio de cours Soit (u ) ue suite croissate o majorée.. Soit M u ombre réel et 0 u etier aturel tel que u 0 M. Démotrer que pour tout etier aturel, si 0 alors u M.. Quelles coséqueces peut-o e tirer pour la suite (u )? 3. Éocer le théorème du cours aisi démotré. Partie B Répodre par Vrai ou Faux aux propositios suivates e justifiat chaque répose : Si ue suite est pas majorée alors elle ted vers +. Si ue suite est croissate alors elle ted vers +. Si ue suite ted vers + alors elle est pas majorée. Si ue suite ted vers + alors elle est croissate. 5 Les deux questios de cet exercice sot idépedates.. O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 = et, pour tout ombre etier aturel u + = 3 u + 4. O pose, pour tout ombre etier aturel, v = u 6. (a) Pour tout ombre etier aturel, calculer v + e foctio de v. Quelle est la ature de la suite (v )? (b) Démotrer ( que ) pour tout ombre etier aturel,u = (c) Étudier la covergece de la suite (u ). Fracis CORTADO Sommaire chapitre 49

44 . O cosidère la suite (w ) dot les termes vérifiet, pour tout ombre etier : w = ( + )w + et w 0 =. Le tableau suivat doe les dix premiers termes de cette suite. w 0 w w w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w (a) Détailler le calcul permettat d obteir w 0. (b) Das cette questio toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. Doer la ature de la suite (w ). Calculer w Soit la suite (u ) défiie pour tout etier aturel par : u 0 = et u + = ( u + ) u. (a) Soit f la foctio défiie sur ]0 ; + [ par f (x) = ( x + ) x Étudier le ses de variatio de f, et tracer sa courbe représetative das le pla mui d u repère orthoormal ( O, ı, j ). (O predra comme uité cm). (b) Utiliser le graphique précédet pour costruire les poits A 0, A, A et A 3 de l axe ( O ; ı ) d abscisses respectives u 0, u, u et u 3.. (a) Motrer que pour tout etier aturel o ul u. (b) Motrer que pour tout x, f (x) x. (c) E déduire que la suite (u ) est décroissate à partir du rag. (d) Prouver qu elle coverge. 3. Soit l la limite de la suite (u ). Motrer que l est solutio de l équatio E déduire sa valeur. x = ( x + ) x. La suite (u ) coverge vers, abscisse du poit d itersectio des droites d équatios y = x et y = x.. La suite (v ), défiie sur N par v = u, est géométrique. 3. La suite (v ) est majorée. 8 Soit (u ) la suite défiie par u 0 = 4 et u + = u + 3. Motrez par récurrece que (u ) N est borée par 0 et.. Motrez que (u ) est croissate. 3. a) Démotrez par récurrece que : 0 < u / pour tout N b) Déduisez-e que (u ) coverge. 9 Soit (u ) la suite défiie sur N par : u 0 = u + = ( u + ) u pour tout N. Motrez que, pour tout N, u > 0.. Motrez que, pour tout N u + = ( u ) u 3. E déduire que (u ) est miorée par. 4. Déduisez-e que, pour tout N, u 5. Étudiez alors les variatios de (u ) et déduisez-e que cette suite est covergete. 6. Détermiez la limite l de (u ). 7. Motrez que, pour tout N, u Q. Est-ce que l Q pour autat? 7 Vrai ou Faux Ue suite (u ) est défiie sur N par u 0 =,5 8. Ue suite covergete de ombres ratioels a-telle toujours ue limite ratioelle? u + = u pour tout etier aturel. 50 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

45 30 Paradoxe de Zéo. Le paradoxe suivat a été imagié par Zéo d Élée ( Avat JC). Achille fait ue course avec la tortue. Il part 00 mètres derrière la tortue, mais il va dix fois plus vite qu elle. Quad Achille arrive au poit de départ de la tortue, la tortue a parcouru 0 mètres. Pedat qu Achille parcourt ces 0m, la tortue a avacé d u mètre. Pedat qu Achille parcourt ce mètre, la tortue a avacé de 0cm... Puisqu o peut réitérer ce raisoemet à l ifii, Zéo coclut qu Achille e peut pas dépasser la tortue (Il existe ue variate fléchée : avat d atteidre sa cible, ue flèche doit d abord parcourir la moitié de la distace la séparat de la cible, puis la moitié de la distace restate et aisi de suite...ue ifiité de fois, doc la flèche atteit jamais la cible!). Commet peut-o dépasser ce paradoxe? 3 Pour chacue des affirmatios suivates répodre sas justificatio par Vrai ou Faux.. A Soit (u ) et (v ) deux suites à valeurs strictemet positives. Si, pour tout etier, v u et si lim u = + alors lim v u = + B Toute suite borée est covergete. C Pour toutes suites (u ) et (v ) à valeurs strictemet positives qui tedet vers +, la suite de terme gééral u v coverge vers. D Toute suite croissate o majorée ted vers +.. Pour chacue des propositios de la première partie, justifier votre répose : das le cas où la propositio vous paraît fausse : e doat u cotre-exemple. das le cas où la propositio vous paraît exacte : e doat ue démostratio. Faire u représetatio «e toile d araigée» de cette suite et émettre ue cojecture sur so ses de variatio et sa limite pour a = 3 puis pour a = Soit la suite (u ) défiie pour tout etier aturel par : u 0 = et u + = ( u + ). u. (a) Soit f la foctio défiie sur ]0 ; + [ par f (x) = ( x + ) x Étudier le ses de variatio de f, et tracer sa courbe représetative das le pla mui d u repère orthoormal ( O, ı, j ). (b) Utiliser le graphique précédet pour costruire les poits A 0, A, A et A 3 de l axe ( O ; ı ) d abscisses respectives u 0, u, u et u 3.. (a) Motrer que pour tout etier aturel o ul u. (b) Motrer que pour tout x, f (x) x. (c) E déduire que la suite (u ) est décroissate à partir du rag. (d) Prouver qu elle coverge. 3. Soit l la limite de la suite (u ). Motrer que l est solutio de l équatio x = ( x + ). x E déduire sa valeur. 35 O cosidère la suite de ombres réels (u ) défiie sur N par : u 0 =, u = et, pour tout etier aturel, u + = u + 4 u 3 O cosidère la suite (s ) N de terme gééral s = k= + k E détermiat le plus petit et le plus grad terme de s, motrez que + s + et déduisez-e la limite de (s ) N. 33 O cosidère la suite (u ) défiie par { u0 = a a réel u + = u Calculer u et e déduire que la suite (u ) est i arithmétique i géométrique.. O défiit la suite (v ) e posat, pour tout etier aturel : (a) Calculer v 0. v = u + u (b) Exprimer v + e foctio de v. (c) E déduire que la suite (v ) est géométrique de raiso. (d) Exprimer v e foctio de. 3. O défiit la suite (w ) e posat, pour tout etier aturel : w = u v Fracis CORTADO Sommaire chapitre 5

46 (a) Calculer w 0. (b) E utilisat l égalité u + = v + u, exprimer w + e foctio de u et de v. (c) E déduire que pour tout de N w + = w + (d) Exprimer w e foctio de. 4. Motrer que pour tout etier aturel u = 5. Pour tout etier aturel, o pose : k= S = u k = u 0 + u + + u k=0 Démotrer par récurrece que pour tout de N : S = O cosidère ue droite D du pla muie d u repère ( O ; ı ). Soit (A ) la suite de poits de la droite D aisi défiie : A 0 est le poit O ; A est le poit d abscisse ; pour tout etier aturel, le poit A + est le milieu du segmet [A A + ].. (a) Placer sur u dessi la droite D, les poits A 0, A, A, A 3, A 4, A 5 et A 6. O predra 0 cm comme uité graphique. (b) Pour tout etier aturel, o ote a l abscisse du poit A. Calculer a, a 3, a 4 a 5 et a 6. (c) Pour tout etier aturel, justifier l égalité : a + = a + a +.. Démotrer par récurrece, que pour tout etier a + = a + 3. Soit (v ) la suite défiie, pour tout etier aturel, par v = a 3 Démotrer que (v ) est ue suite géométrique de raiso. 4. Détermier la limite de la suite (v ), puis celle de la suite (a ). 37 Pour chacue des propositios suivates, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la répose doée. Soit (u ) la suite défiie pour tout N par u = ( ).. La suite (u ) est borée.. La suite (u ) coverge. 3. La suite de terme gééral u coverge. 4. Toute suite (v ) à termes strictemet positifs et décroissate coverge vers O cosidère la suite défiie pour tout par u + = 0,u + 0,. À l aide de la calculatrice, émettre ue cojecture cocerat la limite de la suite (u ).. O cosidère la suite (v ) défiie pour tout etier aturel par : v = u 9. a) Démotrer que la suite (v ) est géométrique de raiso et préciser so premier terme. 0 b) Exprimer v e foctio de et e déduire ue expressio simple de u e foctio de. c) Calculer la limite de la suite (u ). 39 Exercice de type BAC Certais résultats de la PARTIE A pourrot être utilisés das la PARTIE B, mais les deux parties peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. PARTIE A : O défiit : la suite (u ) par : u 0 = 3 et, pour tout etier aturel, u + = 5 u la suite (S ) par : pour tout etier aturel, S = u k = u 0 + u + u + + u. k=0. Motrer par récurrece que, pour tout etier aturel,u = + 5. E déduire la limite de la suite (u ).. (a) Détermier le ses de variatio de la suite (S ). (b) Calculer S e foctio de. (c) Détermier la limite de la suite (S ). PARTIE B : État doé ue suite (x ), de ombres réels, défiie pour tout etier aturel, o cosidère la suite (S ) défiie par S = x k. k=0 Idiquer pour chaque propositio suivate si elle est vraie ou fausse. Justifier das chaque cas. 5 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

47 Propositio : si la suite (x ) est covergete, alors la suite (S ) l est aussi. Propositio : les suites (x ) et (S ) ot le même ses de variatio. 4 Exercice de type BAC Cet exercice fait iterveir la foctio logarithme épérie Soit (u ) la suite défiie pour tout etier o ul 40 Exercice de type BAC Partie A: O cosidère l algorithme suivat : Les variables sot le réel U et les etiers k et N. Etrée Saisir le ombre etier aturel o ul N. Traitemet Affecter à U la valeur 0 Pour k allat de 0 à N Affecter à U la valeur 3U k + 3 Fi pour Sortie Afficher U Quel est l affichage e sortie lorsque N = 3? Partie B: O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 = 0 et, pour tout etier aturel, u + = 3u Calculer u et u.. (a) Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, u. (b) E déduire la limite de la suite (u ). 3. Démotrer que la suite (u ) est croissate. 4. Soit la suite (v ) défiie, pour tout etier aturel, par v = u +. (a) Démotrer que la suite (v ) est ue suite géométrique. (b) E déduire que, pour tout etier aturel, u = Soit p u etier aturel o ul. (a) Pourquoi peut-o affirmer qu il existe au mois u etier 0 tel que, pour tout 0, u 0 p? O s itéresse maiteat au plus petit etier 0. (b) Justifier que 0 3p. (c) Détermier à l aide de la calculatrice cet etier 0 pour la valeur p = 3. (d) Proposer u algorithme qui, pour ue valeur de p doée e etrée, affiche e sortie la valeur du plus petit etier 0 tel que, pour tout 0, o ait u 0 p. u = l. O cosidère l algorithme suivat : Variables : Etrée : i et sot des etiers aturels. u est u réel. Demader à l utilisateur la valeur de. Iitialisatio : Affecter à u la valeur 0. Traitemet : Pour i variat de à. Sortie : Afficher u. Affecter à u la valeur u + i Doer la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur etre la valeur = 3.. Recopier et compléter l algorithme précédet afi qu il affiche la valeur de u lorsque l utilisateur etre la valeur de. 3. Voici les résultats fouris par l algorithme modifié, arrodis à u 0,697 0,674 0,658 0,647 0, u 0,63 0,66 0,58 0,578 0,578 0,577 À l aide de ce tableau, formuler des cojectures sur le ses de variatio de la suite (u ) et so évetuelle covergece. Fracis CORTADO Sommaire chapitre 53

48 4 Exercice de type BAC. O cosidère l algorithme suivat : Etrée Saisir u réel strictemet positif a Saisir u réel strictemet positif b (b > a) (b) Démotrer que, pour tout etier aturel : ( v+ u + = u v ). E déduire que, pour tout etier aturel, o a u v. 3. (a) Démotrer que la suite (u ) est croissate. (b) Comparer v+ et v. E déduire le ses de variatio de la suite (v ). Iitialisatio Traitemet Sortie Saisir u etier aturel o ul N Affecter à u la valeur a Affecter à v la valeur b Affecter à la valeur 0 TANTQUE < N Affecter à la valeur + Affecter à u la valeur a + b a + b Affecter à v la valeur Affecter à a la valeur u Affecter à b la valeur v Afficher u, afficher v 43 Exercice de type BAC Soit (u ) la suite défiie pour tout etier strictemet positif par u = ( π ). O cosidère l algorithme suivat : Variables : Etrée : i et sot des etiers aturels. u est u réel. Demader à l utilisateur la valeur de. Iitialisatio : Affecter à u la valeur 0. Traitemet : Pour i variat de à. Sortie : Afficher u. Affecter à u la valeur u + i Reproduire et compléter le tableau suivat, e faisat foctioer cet algorithme pour a = 4,b = 9 et N =. Les valeurs successives de u et v serot arrodies au millième. a b u v Das la suite, a et b sot deux réels tels que 0 < a < b O cosidère les suites (u ) et (v ) défiies par : u 0 = a, v 0 = b et, pour tout etier aturel : u + = u + v et v + = u + v. (a) Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, o a : u > 0 et v > 0. Doer la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur etre la valeur = 3.. Recopier et compléter l algorithme précédet afi qu il affiche la valeur de u lorsque l utilisateur etre la valeur de. 3. Voici les résultats fouris par l algorithme modifié, arrodis à u 0,84 0, 0,8 0,54 0, u 0,8 0,05 0,00 0,00 0,007 0,005 À l aide de ce tableau, formuler des cojectures sur le ses de variatio de la suite (u ) et so évetuelle covergece. 44 Exercice de type BAC O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 = et, pour tout etier aturel, u + = u. 54 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

49 . O cosidère l algorithme suivat : Variables : est u etier aturel Variables : Iitialisatio : est u etier aturel u est u réel positif Demader la valeur de Affecter à u la valeur u est u réel Iitialisatio : Affecter à la valeur 0 Affecter à u la valeur Traitemet : Traitemet : Pour i variat de à : Sortie : Affecter à u la valeur u Fi de Pour Afficher u (a) Doer ue valeur approchée à 0 4 près du résultat qu affiche cet algorithme lorsque l o choisit = 3. (b) Que permet de calculer cet algorithme? (c) Le tableau ci-dessous doe des valeurs approchées obteues à l aide de cet algorithme pour certaies valeurs de Affichage,44,957,998,999 9,999 9 Quelles cojectures peut-o émettre cocerat la suite (u )?. (a) Démotrer que, pour tout etier aturel, 0 < u. (b) Détermier le ses de variatio de la suite (u ). (c) Démotrer que la suite (u ) est covergete. O e demade pas la valeur de sa limite. 3. O cosidère la suite (v ) défiie, pour tout etier aturel, par v = lu l. (a) Démotrer que la suite (v ) est ue suite géométrique de raiso et de premier terme v 0 = l. (b) Détermier, pour tout etier aturel, l expressio de v e foctio de, puis celle de u égalemet e foctio de. (c) Détermier la limite de la suite (u ). (d) Recopier l algorithme ci-dessous et le compléter par les istructios du traitemet et de la sortie, de faço à afficher e sortie la plus petite valeur de telle que u >,999. Sortie : 45 O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 = et telle que pour tout etier aturel,. (a) Calculer u et u. u + = 3u + u (b) Démotrer, par récurrece, que pour tout etier aturel, 0 < u.. O admet que pour tout etier aturel, u <. (a) Démotrer que la suite (u ) est croissate. (b) Démotrer que la suite (u ) coverge. 3. Soit (v ) la suite défiie, pour tout etier aturel, par v = u. u (a) Motrer que la suite (v ) est ue suite géométrique de raiso 3, dot o précisera le premier terme. (b) Exprimer pour tout etier aturel, v e foctio de. (c) E déduire que, pour tout etier aturel, u = (d) Détermier la limite de la suite (u ). 46 Exercice de type BAC O cosidère la suite umérique (v ) défiie pour tout etier aturel par v 0 = Partie A v + = 9 6 v. O souhaite écrire u algorithme affichat, pour u etier aturel doé, tous les termes de la suite, du rag 0 au rag. Parmi les trois algorithmes suivats, u seul coviet. Préciser lequel e justifiat coveablemet la répose choisie. Fracis CORTADO Sommaire chapitre 55

50 Algorithme N o Algorithme N o Algorithme N o 3 Variables : Variables : Variables : v est u réel v est u réel v est u réel i et sot des etiers aturels Début de l algorithme : i et sot des etiers aturels Début de l algorithme : Lire Lire Lire v pred la valeur Pour i variat de à faire v pred la valeur 9 6 v Fi pour Pour i variat de à faire v pred la valeur Afficher v v pred la valeur 9 6 v i et sot des etiers aturels Début de l algorithme : v pred la valeur Pour i variat de à faire Afficher v v pred la valeur 9 6 v Afficher v Fi pour Fi pour Afficher v Fi algorithme Fi algorithme Fi algorithme. Pour = 0 o obtiet l affichage suivat :,800,43,333,455,538,600,647,684,74 Pour = 00, les deriers termes affichés sot :,967,968,968,968,969,969,969,970,970,970 Quelles cojectures peut-o émettre cocerat la suite (v )? 3. (a) Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, 0 < v < 3. (b) Démotrer que, pour tout etier aturel v + v = (3 v ) 6 v Partie B Recherche de la limite de la suite (v ) O cosidère la suite (w ) défiie pour tout etier aturel par w = v 3.. Démotrer que (w ) est ue suite arithmétique de raiso 3. E déduire l expressio de (w ), puis celle de (v ) e foctio de. 3. Détermier la limite de la suite (v ). 47 Exercice de type BAC L objet de cet exercice est l étude de la suite (u ) défiie par so premier terme u = 3 et la relatio de récurrece : u + = u + ( + ) Partie A - Algorithmique et cojectures Pour calculer et afficher le terme u 9 de la suite, u élève propose l algorithme ci-cotre. Il a oublié de compléter deux liges. Variables est u etier aturel u est u réel Iitialisatio Affecter à la valeur Affecter à u la valeur,5 Traitemet Tat que < 9 Sortie Fi Tat que Affecter à u la valeur Affecter à la valeur Afficher la variable u. Recopier et compléter les deux liges de l algorithme où figuret des poits de suspesio.. Commet faudrait-il modifier cet algorithme pour qu il calcule et affiche tous les termes de la suite de u jusqu à u 9? 3. Avec cet algorithme modifié, o a obteu les résultats suivats, arrodis au millième : La suite (v ) est-elle mootoe? (c) Démotrer que la suite (v ) est covergete u,5 0,65 0,375 0,66 0,06 0, ,0 0,0 56 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

51 Au vu de ces résultats, cojecturer le ses de variatio et la covergece de la suite (u ). Partie B - Étude mathématique O défiit ue suite auxiliaire (v ) par : pour tout etier, v = u.. Motrer que la suite (v ) est géométrique ; préciser sa raiso et so premier terme.. E déduire que, pour tout etier aturel, o a : u = + (0,5) 3. Détermier la limite de la suite (u ). 4. Justifier que, pour tout etier, o a : + ( + 0,5)(0,5) u + u = ( + ) E déduire le ses de variatio de la suite (u ). Partie C - Retour à l algorithmique E s ispirat de la partie A, écrire u algorithme permettat de détermier et d afficher le plus petit etier tel que u < 0, Exercice de type BAC Soit la suite umérique (u ) défiie sur N par : u 0 = et pour tout etier aturel u + = 3 u (a) Calculer u,u,u 3 et u 4. O pourra e doer des valeurs approchées à 0 près. (b) Formuler ue cojecture sur le ses de variatio de cette suite.. (a) Démotrer que pour tout etier aturel, u + 3. (b) Démotrer que pour tout etier aturel, u + u = 3 ( + 3 u ). (c) E déduire ue validatio de la cojecture précédete. 3. O désige par (v ) la suite défiie sur N par v = u (a) Démotrer que la suite (v ) est ue suite géométrique de raiso 3. (b) E déduire que pour tout etier aturel, ( ) u = + 3 (c) Détermier la limite de la suite (u ). 4. Pour tout etier aturel o ul, o pose : S = k=0 u k = u 0 + u u et T = S. (a) Exprimer S e foctio de. (b) Détermier la limite de la suite (T ). 49 Exercice de type BAC Partie A O cosidère la suite (u ) défiie par : u 0 = et, pour tout etier ature : u + = + 3u 3 + u. O admet que tous les termes de cette suite sot défiis et strictemet positifs.. Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, o a : u >.. (a) Établir que, pour tout etier aturel, o a : u + u = ( u )( + u ) 3 + u. (b) Détermier le ses de variatio de la suite (u ). E déduire que la suite (u ) coverge. Partie B O cosidère la suite (u ) défiie par : u 0 = et, pour tout etier ature : u + = + 0,5u 0,5 + u. O admet que tous les termes de cette suite sot défiis et strictemet positifs.. O cosidère l algorithme suivat : Etrée Soit u etier aturel o ul Iitialisatio Affecter à u la valeur Traitemet et sortie POUR i allat de à Affecter à u la valeur + 0,5u 0,5 + u Afficher u FIN POUR Reproduire et compléter le tableau suivat, e faisat foctioer cet algorithme pour = 3. Les valeurs de u serot arrodies au millième. Fracis CORTADO Sommaire chapitre 57

52 i 3 u. Pour =, o a prologé le tableau précédet et o a obteu : i u, ,997 3, ,999 7 i u,000 0,999 97, , , Cojecturer le comportemet de la suite (u ) à l ifii. 3. O cosidère la suite (v ) défiie, pour tout etier aturel, par : v = u u +. (a) Démotrer que la suite (v ) est géométrique de raiso 3. (b) Calculer v 0 puis écrire v e foctio de. 4. (a) Motrer que, pour tout etier aturel, o a : v (b) motrer que, pour tout etier aturel, o a : u = + v v (c) Détermier la limite de la suite (u ). 50 Pour tout etier aturel, o pose u = 0 O défiit aisi ue suite (u ) N.. Prouver, pour tout etier aturel o ul, l équivalece suivate : u + 0,95u si et seulemet si ( + ) 0,9.. O cosidère la foctio f défiie sur [ ; + [ par ( f (x) = + ) 0. x (a) Étudier le ses de variatio et la limite e + de la foctio f. (b) Motrer qu il existe das l itervalle [ ; + [ u uique ombre réel α tel que f (α) =, 9. (c) Détermier l etier aturel 0 tel que 0 α 0 (d) Motrer que, pour tout etier aturel supérieur ou égal à 6, o a : ( + ) 0,9. 3. (a) Détermier le ses de variatio de la suite (u ) à partir du rag 6. (b) Que peut-o e déduire pour la suite? 4. E utilisat u raisoemet par récurrece, prouver, pour tout etier aturel supérieur ou égal à 6, l ecadremet : 0 u 0,95 6 u 6. E déduire la limite de la suite (u ) N. 5 Vrai-Faux et QCM. Les suites suivates sot covergetes : ( + ( ) ) a. + N b. ( si ) >0 ( ) c. l. O cosidère trois suites (u ), (v ) et (w ) ayat, pour tout etier aturel, les propriétés suivates : u v w, lim (u ) = et lim (w ) =. Alors : (a) lim (v ) = 0. (b) La suite (u ) est miorée. (c) Pour tout de N, o a : v. (d) O e sait pas dire si la suite (v ) a ue limite ou o. 3. Ue suite (u ) est défiie pour tout etier aturel, u 0 =,5 par u + = u (a) La suite (u ) coverge vers, abscisse du poit d itersectio des droites d équatios y = x et y = x. (b) La suite (v ), défiie sur N par v = u, est géométrique. (c) La suite (v ) est majorée. (d) La suite (w ), défiie sur N par w = l(u ), est arithmétique. > 58 Sommaire chapitre Fracis CORTADO

53 5 Exercice BAC S jui 04 U volume costat de 00 m 3 d eau est réparti etre deux bassis A et B. Le bassi A refroidit ue machie. Pour des raisos d équilibre thermique o crée u courat d eau etre les deux bassis à l aide de pompes. O modélise les échages etre les deux bassis de la faço suivate : au départ, le bassi A cotiet 800 m 3 d eau et le bassi B cotiet 400 m 3 d eau ; tous les jours, 5 % du volume d eau préset das le bassi B au début de la jourée est trasféré vers le bassi A ; tous les jours, 0 % du volume d eau préset das le bassi A au début de la jourée est trasféré vers le bassi B. Pour tout etier aturel, o ote : a le volume d eau, exprimé e m 3, coteu das le bassi A à la fi du -ième jour de foctioemet ; b le volume d eau, exprimé e m 3, coteu das le bassi B à la fi du -ième jour de foctioemet. O a doc a 0 = 800 et b 0 = Par quelle relatio etre a et b traduit-o la coservatio du volume total d eau du circuit?. Justifier que, pour tout etier aturel a + = 3 4 a (a) Motrer que la suite (u ) est ue suite géométrique dot o précisera le premier terme et la raiso. (b) Exprimer u e foctio de. E déduire que, pour tout etier aturel ( 3 a = O cherche à savoir si, u jour doé, les deux bassis peuvet avoir, au mètre cube près, le même volume d eau. Proposer ue méthode pour répodre à ce questioemet. 53 Exercice Bac S jui 04 O cosidère la suite (u ) défiie par u 0 = 0 et, pour tout etier aturel,u + = u Calculer u et u.. O cosidère les deux algorithmes suivats : ) Algorithme Algorithme Variables : Etrée : est u etier aturel u est u réel Saisir la valeur de Variables : Etrée : est u etier aturel u est u réel Saisir la valeur de 3. L algorithme ci-dessous permet de détermier la plus petite valeur de à partir de laquelle a est supérieur ou égal à 00. Recopier cet algorithme e complétat les parties maquates. Variables : est u etier aturel Traitemet : u pred la valeur 0 Pour i allat de à : u pred la valeur u + i + Fi Pour Traitemet : u pred la valeur 0 Pour i allat de 0 à : u pred la valeur u + i + Fi Pour a est u réel Iitialisatio : Affecter à la valeur 0 Affecter à a la valeur 800 Traitemet : Tat que a < 00, faire : Affecter à a la valeur... Sortie : Afficher u Sortie : Afficher u De ces deux algorithmes, lequel permet d afficher e sortie la valeur de u, la valeur de l etier aturel état etrée par l utilisateur? 3. À l aide de l algorithme, o a obteu les tableaux et le uage de poits ci-dessous où figure e abscisse et u e ordoée. Affecter à la valeur... Fi Tat que u Sortie : Afficher Pour tout etier aturel, o ote u = a 30. u Fracis CORTADO Sommaire chapitre 59

54 (a) Quelle cojecture peut-o faire quat au ses de variatio de la suite (u )? Démotrer cette cojecture. (b) La forme parabolique du uage de poits amèe à cojecturer l existece de trois réels a,b et c tels que, pour tout etier aturel, u = a + b + c. Das le cadre de cette cojecture, trouver les valeurs de a,b et c à l aide des iformatios fouries. 4. O défiit, pour tout etier aturel, la suite (v ) par : v = u + u. (a) Exprimer v e foctio de l etier aturel. Quelle est la ature de la suite (v )? (b) O défiit, pour tout etier aturel S = v k = v 0 + v + + v. k=0 Démotrer que, pour tout etier aturel S = ( + )( + ). (c) Démotrer que, pour tout etier aturel S = u + u 0, et exprimer u e foctio de. 54 Exercice Bac S jui 04 Soit la suite umérique (u ) défiie sur l esemble des etiers aturels N par u 0 = u + = 5 u + 3 0,5,pour N. (a) Recopier et, à l aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite (u ) approchées à 0 près : (b) D après ce tableau, éocer ue cojecture sur le ses de variatio de la suite (u ).. (a) Démotrer, par récurrece, que pour tout etier aturel o ul o a u 5 4 0,5. (b) E déduire que, pour tout etier aturel o ul, u + u 0. (c) Démotrer que la suite (u ) est covergete. 3. O se propose, das cette questio de détermier la limite de la suite (u ). Soit (v ) la suite défiie sur N par v = u 0 0,5. (a) Démotrer que la suite (v ) est ue suite géométrique de raiso. O précisera le premier 5 terme de la suite (v ). (b) E déduire, que pour tout etier aturel, ( ) u = ,5. 5 (c) Détermier la limite de la suite (u ) 4. Recopier et compléter les liges (), () et (3) de l algorithme suivat, afi qu il affiche la plus petite valeur de telle que u 0,0. Etrée : et u sot des ombres Iitialisatio : pred la valeur 0 u pred la valeur Traitemet : Tat que... () Sortie : pred la valeur... () u pred la valeur... (3) Fi Tat que Afficher u 60 Sommaire chapitre Fracis CORTADO