Efforts extérieurs de pression en grands déplacements

Transcription

1 Titre : Efforts extérieurs de pressio e grads déplaceme[...] Date : 28/03/2011 Page : 1/8 Efforts extérieurs de pressio e grads déplacemets Résumé : U chargemet de pressio e grads déplacemets est u chargemet suiveur. E employat des élémets de peau, o est ameé à calculer, d'ue part, u secod membre dot le calcul est proche de celui e petits déplacemets, et d'autre part, u terme de rigidité supplémetaire, qui 'est e gééral pas symétrique. O choisit éamois de le symétriser, escomptat u gai de temps appréciable même si quelques itératios supplémetaires peuvet être écessaires pour coverger.

2 Titre : Efforts extérieurs de pressio e grads déplaceme[...] Date : 28/03/2011 Page : 2/8 Table des matières 1 Itroductio Travail virtuel des efforts extérieurs de pressio Variatio du travail virtuel des efforts extérieurs de pressio Adoptio d'u paramétrage curvilige de la surface Itroductio das le Code_Aster Cas particulier d'ue structure soumise à ue pressio itere ou extere costate Bibliographie Descriptio des versios du documet... 8

3 Titre : Efforts extérieurs de pressio e grads déplaceme[...] Date : 28/03/2011 Page : 3/8 1 Itroductio La prise e compte de chargemets de type pressio (mot-clé PRES_REP das la commade AFFE_CHAR_MECA [U ]) pose u certai ombre de difficultés e l'absece de l'hypothèse de petits déplacemets. E effet, à la différece des charges mortes évoquées au [R ], la pressio déped des déplacemets puisqu'il s'agit d'u effort dot la directio est ormale au domaie ; o parle alors de forces suiveuses, activées par le mot-clé TYPE_CHARGE='SUIV' das la commade STAT_NON_LINE [U ]. Néamois, le choix de la cofiguratio actuelle comme cofiguratio de référece (lagragie actualisé) coduit à des expressios simples - moyeat quelques otios de géométrie différetielle - du travail des efforts de pressio et de sa variatio première par rapport au déplacemet, cette derière état ue forme biliéaire o symétrique. 2 Travail virtuel des efforts extérieurs de pressio Ω R Ω x = φ(x) φ = F Ω p R R Ω p P(X) p (x) Figure 2-a : Cofiguratio de référece et cofiguratio actuelle Das la cofiguratio actuelle, le travail virtuel des efforts extérieurs de pressio s'écrit simplemet [Figure 2-a] : W p u. v= p v ds éq 2-1 u De plus, o suppose doréavat que la valeur de la pressio e déped pas explicitemet du déplacemet mais seulemet du poit matériel d'applicatio : p x = P X Das ce cas, o peut alors exprimer le travail virtuel des efforts de pressio das la cofiguratio de référece :

4 Titre : Efforts extérieurs de pressio e grads déplaceme[...] Date : 28/03/2011 Page : 4/8 W p u. v= P det F T F 1. R v X ds R éq 2-2 R Sur le pla pratique, o utilisera la formule [éq 2-1] pour calculer le travail des efforts de pressio. Toutefois, la formule [éq 2-2] est la mieux adaptée à ue dérivatio par rapport au déplacemet, dot o va voir la écessité au paragraphe suivat. 3 Variatio du travail virtuel des efforts extérieurs de pressio Das l'optique d'ue résolutio du problème d'équilibre de la structure par ue méthode de Newto, o est ameé à exprimer la variatio du travail virtuel des efforts extérieurs de pressio par rapport au déplacemet, de maière similaire à ce qui a été fait pour le travail virtuel des efforts itérieurs au [R ]. Le domaie d'itégratio état fixe das l'expressio [éq 2-2], la dérivatio sous le sige somme est licite, (cf. [bib2]) : u u. u. v= P R u [det F T F 1 ]. u. R v ds R Nous décidos de choisir comme cofiguratio de référece la cofiguratio actuelle, pour laquelle F=Id. Ce choix coduit à ue expressio simple de la dérivée du terme etre crochets : u [det F F T ]. u=div u Id T u Fialemet, la variatio du travail virtuel des efforts extérieurs de pressio s'écrit das la cofiguratio actuelle : u u. u. v= p [div u Id T u ]. v ds éq 3-1 u Das l'expressio [éq 3-1] subsiste ue difficulté. E effet, o s'atted à obteir ue gradeur essetiellemet surfacique alors que l'itégrade fait apparaître des termes de dérivatio ormale à la surface. Autremet dit, il faut coaître l'expressio des déplacemets virtuels o seulemet sur la surface du domaie mais aussi à l'itérieur de celui-ci (das u voisiage de la surface pour pouvoir exprimer les dérivées ormales). Cet icovéiet 'est pas aodi puisque das Code_Aster, pour calculer les termes élémetaires dus aux efforts surfaciques, o emploie des élémets de peau pour lesquels ue variatio ormale 'a pas de ses.

5 Titre : Efforts extérieurs de pressio e grads déplaceme[...] Date : 28/03/2011 Page : 5/8 4 Adoptio d'u paramétrage curvilige de la surface Pour remédier au problème metioé précédemmet, il faut chercher à exprimer la relatio [éq 3-1] à l'aide de gradeurs surfaciques uiquemet. Pour cela, o a recours à des élémets de géométrie différetielle, [bib1], dot o adopte les otatios (e particulier, o adopte la covetio de sommatio des idices répétés où les idices grecs preet les valeurs 1 et 2 tadis que les idices latis preet les valeurs 1 à 3). θ 3 Ω p θ 2 S θ 1 M Ω Figure 4-a : Paramétrage curvilige du voisiage de la surface soumise à la pressio Soit 1, 2 u paramétrage admissible de la surface. Pour décrire le volume costitué d'u voisiage de cette surface, o lui adjoit ue troisième variable, 3, qui mesure la progressio suivat la ormale uitaire e 1, 2. O a aisi [fig 4-a] : OM 1, 2, 3 =OS 1, 2 3 1, 2 Avec ce choix de paramétrage, la base aturelle covariate g 1, g 2,g 3 et le teseur métrique g sot : g 1 = OM 1 g 2 = OM 2 =[ g 3 = OM g = g ij=g 3 i.g j 11 g ] g 21 g Das ce paramétrage curvilige, l'itégrade [éq 3-1] a pour expressio : p g ij i [ u k k v j u j k v k ] Ce terme se simplifie cosidérablemet. E effet, o peut déjà oter que lorsque j=k, le terme etre crochet est ul. E outre, das le système curvilige adopté, les composates cotravariates de sot : 1 =0, 2 =0, 3 =1. Efi, e teat compte de la forme particulière de g, la variatio du travail s'écrit simplemet : u u. u. v= p [ u v 3 u 3 v ] ds éq 4-1 u

6 Titre : Efforts extérieurs de pressio e grads déplaceme[...] Date : 28/03/2011 Page : 6/8 Sur cette expressio, o costate que seuls itervieet des opérateurs différetiels surfaciques (dérivatio covariate par rapport à 1 et 2 seulemet), ce qui est bie le but recherché. E itroduisat la base cotravariate g 1,g 2,g 3 =, appelée aussi base duale et qui s'exprime à partir de la base covariate par g i =[ g 1 ] ij g j, o peut s'affrachir des composates curviliges : u u. u. v= [ u.g u v. u. v.g ] ds éq 4-2 C'est doréavat l'expressio [éq 4-2] qui sera utilisée pour calculer la variatio du travail virtuel des efforts de pressio. 5 Itroductio das Code_Aster Das Code_Aster, des élémets fiis de peau (élémets surfaciques plogés das u espace tridimesioel) sot employés pour discrétiser les déplacemets réels et virtuels iterveat das des expressios surfaciques telles que [éq 2-1] et [éq 4-2]. Ces derières permettet d'exprimer respectivemet le vecteur secod membre et la matrice de rigidité dus à la pressio, dot l'emploi par l'algorithme de STAT_NON_LINE est précisé e [R ] et qui appellet quelques remarques : Le calcul du travail virtuel des efforts de pressio [éq 2-1] est e fait idetique à celui effectué e petits déplacemets, moyeat ue réactualisatio préalable de la géométrie. Rappelos qu'il est effectué à chaque itératio. Le calcul de la variatio du travail virtuel des efforts de pressio [éq 4-2], effectué à chaque costructio de la matrice de rigidité, s'avère u peu plus délicat das la mesure où il écessite la coaissace de la métrique de l'élémet de peau e chacu de ses poits de Gauss. Si o appelle N les foctios de forme et x la positio des oeuds de l'élémet, alors la métrique est calculée comme suit : g = N x = g 1 g 2 g 1 g 2 [ g ] =g.g g =[ g 1 ] g E outre, cette variatio se comporte comme u terme complémetaire de la matrice de rigidité tagete ; e gééral, il 'est pas symétrique (sauf cas particulier d'ue structure soumise à ue pressio itere ou extere costate, cf. [ 6]). Il est alors souhaitable d'écheloer la stratégie de résolutio. Das u premier temps, o e cosidère que la partie symétrique de ce terme complémetaire : le problème reste symétrique, même s'il écessite (peut-être) quelques itératios supplémetaires. C'est le choix effectué das Code_Aster. E cas de problèmes de covergece, o pourrait cosidérer ce terme complémetaire das so itégralité e état prêt à payer le prix d'ue résolutio o symétrique.

7 Titre : Efforts extérieurs de pressio e grads déplaceme[...] Date : 28/03/2011 Page : 7/8 6 Cas particulier d'ue structure soumise à ue pressio itere ou extere costate Ω Ω δv = 0 Ω p p Ω p p Figure 6-a : Structure sous pressio itere ou extere costate Das le cas particulier d'ue pressio costate das ue cavité [Figure 6-a], o motre que les efforts de pressio dérivet d'u potetiel qui 'est autre que le produit de la pressio par le volume de la cavité. Ce résultat s'éted au cas d'ue structure plogée das u fluide à pressio costate. P= p d = p det F d R p p R A ouveau, o choisit comme cofiguratio de référece la cofiguratio actuelle. La variatio de P coduit alors bie au travail virtuel des efforts extérieurs de pressio : P u v= p p div v d = p v ds=w p v Das ce cas particulier, la variatio du travail virtuel est aussi la secode variatio du potetiel P, c'est-à-dire ue forme biliéaire symétrique : u u. u. v= 2 P u. u. v 2 u

8 Titre : Efforts extérieurs de pressio e grads déplaceme[...] Date : 28/03/2011 Page : 8/8 7 Bibliographie 1) Fug Y. C. : Foudatios of solid mechaics. Pretice Hall. 1965, pp ) Mialo P. : Calcul de la dérivée d'ue gradeur par rapport à u fod de fissure par la méthode thêta EDF - Bulleti de la Directio des Etudes et Recherches - Série C , pp Descriptio des versios du documet Auteur(s) Aster Orgaisme(s) 3 E. LORENTZ (EDF/IMA/MM N) Descriptio des modificatios Texte iitial