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1 Termiale S Exercices sur le chapitre «Suites umériques» Page Exercice : O cosidère la suite ( p ) défiie sur N par ) O cosidère l algorithme suivat : Variables u etier aturel et deux ombres réels Iitialisatio Récupérer la valeur de Traitemet Sortie p 0 p M Tat que p < M Afficher M pred la valeur + pred la valeur p p ) Que fait cet algorithme? ) Compléter le tableau ci-dessous e utilisat l algorithme avec M 0000 p 4) O a utilisé l algorithme avec différetes valeurs de M Le tableau ci-dessous idique alors les valeurs de obteues M Quelle cojecture peut-o alors faire pour la suite ( p )? p N p p 0 et, Exercice : BAC Liba 04 O cosidère la suite ( u ) géométrique de raiso et de premier terme O admettra que cette suite ted vers + Etat doé u réel positif M, o souhaite détermier, à l aide d u algorithme, la plus petite valeur de l etier aturel telle que u > M ) Expliquer pourquoi u tel etier existe forcémet ) Compléter l algorithme ci-dessous afi qu il affiche la valeur voulue Variables U u etier aturel et M deux ombres réels Iitialisatio Récupérer la valeur de M 0 U Traitemet Exercice : Détermier les limites des suites suivates : ( ) u ( ) u ( ) ( ) u ( 4) u 6 ( 5) u ( )( ) Sortie Exercice 4 : Das chacu des cas suivats, idiquer la limite de la suite : ( ) ( ) ( ) ( 4) u 6 u + 5 u u idicatio utiliser l'iégalité de Beroulli

2 Termiale S Exercices sur le chapitre «Suites umériques» Page Exercice 5 : Cojecturer à partir du graphique le comportemet (variatio et limite) des suites suivates : Exercice 6 : Détermier les limites des suites suivates : 5 u u u u ( ) ( ) ( ) ( ) 6 u + + u u + u 0 ( 5) 5 ( 6) ( 7) ( 8) Exercice 7 : Détermier les limites des suites suivates : u u u ( ) ( ) ( ) ( 4) u ( 5) u ( 6) u ( )

3 Termiale S Exercices sur le chapitre «Suites umériques» Page Exercice 8 : O cosidère la suite ( ) ) O pose N, v u + 6 a) Motrer que la suite ( v ) est géométrique b) Exprimer alors ( v ) e foctio de c) E déduire l expressio de ( u ) e foctio de d) Détermier la limite de ( u ) u défiie par u0 et N, u+ u ) O défiit alors la suite ( ) N 0 a) Exprimer S e foctio de b) E déduire la limite de la suite ( S ) Exercice 9 : O cosidère la suite ( ) S par, S u u + u + + u k k 0 u u défiie par u0 et N, u+ + u ) Calculer u et u ) La suite est-elle arithmétique? géométrique? ) O cosidère la suite ( v ) défiie par a) Calculer v0, v et v N, v u b) Motrer que la suite ( v ) est arithmétique Préciser sa raiso et so premier terme c) Exprimer v pui u e foctio de d) Calculer la limite de ( u ) Exercice 0 : BAC Amérique du ord 0 u défiie par u0 et N, u+ u ) O cosidère l algorithme ci-dessous : a) Doer ue valeur approchée à 0-4 près du résultat affiché lorsque b) Que fait cet algorithme? ) a) Démotrer que N, 0 u b) Démotrer que la suite est mootoe c) Démotrer que la suite est covergete d) Détermier la limite de la suite O cosidère la suite ( ) Variables et i deux etiers aturels u u ombre réel Iitialisatio Récupérer la valeur de u Traitemet Pour i allat de à u pred la valeur u Sortie Afficher u

4 Termiale S Exercices sur le chapitre «Suites umériques» Page 4 Exercice : BAC Liba 0 9 v défiie par v et N, v 6 v O cosidère la suite umérique ( ) 0 + Partie A : ) O souhaite écrire u algorithme affichat, pour u etier aturel doé, tous les termes de la suite, du rag 0 au rag Parmi ces trois algorithmes, idiquer le seul qui coviee Justifier la répose ) Pour 0 o obtiet l affichage suivat :,000,800,4,,455,58,600,647,684,74 Pour 00 les deriers termes affichés sot :,967,968,968,968,969,969,969,970,970,970 Quelles cojectures peut-o émettre cocerat la suite ( v )? ) a) Motrer par récurrece que N, 0 < v < b) Démotrer que ( v ) N, La suite ( ) v v + 6 v c) Démotrer que la suite ( v ) est covergete Partie B : O cosidère la suite ( ) w défiie par N, w v ) Démotrer que ( w ) est ue suite arithmétique de raiso ) E déduire l expressio de w puis celle de v e foctio de ) Détermier la limite de la suite ( w ) v est-elle mootoe?

5 Termiale S Exercices sur le chapitre «Suites umériques» Page 5 Exercice O cosidère la suite ( ) 4u u défiie par : u0 4 et N, u+ 4 u ) O cosidère la foctio f défiie sur R par f ( x) 4x 4 x + a) Motrer que f est croissate sur R b) O a représeté la courbe représetative de la foctio f das u repère orthoormé u sur l axe des abscisses Costruire les quatre premiers termes de la suite ( ) c) Quelles cojectures peut-o faire quad au comportemet de la suite (variatio et covergece)? d) Motrer par récurrece que la suite est mootoe et positive Que peut-o alors e déduire? ) O admet que tous les termes de la suite ( u ) sot o uls O ote ( ) v la suite défiie par : a) Motrer que la suite ( v ) est arithmétique Doer sa raiso et so premier terme b) Exprimer alors u e foctio de c) Calculer la limite de la suite ( u ) v + u

6 Termiale S Exercices sur le chapitre «Suites umériques» Page 6 Exercice BAC Polyésie Septembre 007 La végétatio d u pays imagiaire est composée iitialemet de trois types de plates : 40 % sot de type A, 4 % de type B et 9 % de type C O admet qu au début de chaque aée : Chaque plate de type A disparait et elle est remplacée par ue et ue seule ouvelle plate de type A, B ou C Chaque plate de type B disparait et elle est remplacée par ue et ue seule ouvelle plate de type A, B ou C Chaque plate de type C disparait et elle est remplacée par ue et ue seule ouvelle plate de type C La probabilité qu ue plate de type A soit remplacée par ue plate de même type est 0,6 et qu elle le soit par ue plate de type B est 0, La probabilité qu ue plate de type B soit remplacée par ue plate de même type est 0,6 et qu elle le soit par ue plate de type A est 0, Au début de chaque aée, o choisit au hasard ue plate das la végétatio et o relève so type Pour tout etier, o ote : A l évéemet «la plate choisie est de type A» B l évéemet «la plate choisie est de type B» C l évéemet «la plate choisie est de type C» O désige par a, b et c les probabilités respectives de A, B et C Compte teu de la compositio iitiale de la végétatio, o pose a0 040 et b0 04 ) Compléter l arbre podéré ci-dessous : ) a) Motrer que a 06 puis calculer b et c b) Motrer que pour tout etier aturel, a 06 a + 0 b b 0 a + 06 b + + ) O défiit le suites ( ) et ( ) a) Motrer que ( ) et ( ) s d par N, s b + a et d b a s d sot géométriques b) Exprimer alors a, b et c e foctio de c) E déduire les limites des suites ( ), ( ) et ( ) a b c Iterpréter le résultat

7 Termiale S Exercices sur le chapitre «Suites umériques» Page 7 Exercice 4 Amérique du ord Jui 007 U joueur débute u jeu au cours duquel il est ameé à faire successivemet plusieurs parties La probabilité que le joueur perde la première partie est de 0, Le jeu se déroule esuite de la maière suivate : S il gage ue partie, alors il perd la suivate avec ue probabilité égale à 0,05 S il perd ue partie, alors il perd la suivate avec ue probabilité d e 0, Pour tout etier aturel o ul, o appelle E : l évéemet «Le joueur perd la ième partie» ) O appelle X la variable aléatoire qui doe le ombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties a) Quelles sot les valeurs prises par X? O pourra s aider d u arbre podédé b) Motrer que P( X ) 00 c) Détermier la loi de probabilité de X d) Calculer l espérace de X ) O ote p la probabilité de E a) Motrer que N, p+ 005 p b) O cosidère la suite ( u ) défiie par Motrer que la suite ( u ) est géométrique N, u p 9 E déduire ue expressio de p e foctio de c) Calculer alors la limite de la suite ( p ) Iterpreter

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