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1 Sythèse de cours PaaMaths (TS) Suites umériques Das ce chapitre, le terme «suite» désige ue suite umérique (c'est-à-dire, das le cadre du programme de Termiale S, ue suite de réels). Ue telle suite sera classiquemet otée u (otatio reteue das ce documet) ou, plus simplemet u. ( u ), ( ) Défiitios Suite (strictemet) croissate, décroissate, mootoe O dira que «la suite ( u ) est croissate (respectivemet strictemet croissate, décroissate, strictemet décroissate)» si, pour tout etier aturel, o a : u u + 1 (respectivemet u < u+ 1, u u+ 1, u > u+ 1) O dira que «la suite ( u ) est mootoe (respectivemet strictemet mootoe)» si elle est croissate ou décroissate (respectivemet strictemet croissate ou strictemet décroissate). Suite majorée, miorée, borée O dira que «la suite ( u ) est majorée (respectivemet miorée)» s il existe u réel M (respectivemet m) tel que pour tout etier aturel o a : u M (respectivemet u m) O dit alors que «le réel M (respectivemet m) est u majorat (respectivemet u miorat) u». de la suite ( ) O dira que «la suite ( u ) est borée» si elle est majorée et miorée. PaaMaths [1-6] Février 2009

2 Limite Limite fiie O dira que «la suite ( u ) admet ue limite l (l )» si, pour tout itervalle de la forme ] l ε; l+ ε[ ( ε > 0 N, o a u ] l ε; l+ ε[. O écrit alors : ), il existe u etier aturel N tel que pour tout etier aturel supérieur à lim u x + = l O dit alors que «la suite ( u ) coverge vers l» (ou «ted vers l»). Limite ifiie O dira que «la suite ( u ) admet + (resp. ) comme limite» si, pour tout réel A, il existe u etier aturel N tel que pour tout etier aturel supérieur à N, o a u u < A). O écrit alors : > A (resp. lim u x + = + (resp. ) Iterprétatio de la défiitio de lim u x + = + : pour tout réel (sous-etedu arbitrairemet grad), il existe u rag (N) au-delà duquel tous les termes de la suite sot supérieurs au réel cosidéré (de fait, ue telle suite e sera pas majorée!). Attetio! Ce qui précède implique e rie que la suite soit croissate! O pourra par exemple cosidérer, pour s e covaicre, la suite ( ) u défiie par : u = si π 2. Nature d ue suite Si la suite ( u ) ted vers ue limite fiie l, o dit qu elle coverge. Si la suite ( u ) ted vers + ou ou admet pas de limite, o dit qu elle diverge. Dire qu ue suite est covergete ou divergete, c est préciser la «ature» de la suite cosidérée. PaaMaths [2-6] Février 2009

3 Calcul de limites Opératios et limites Covetios de calcul Pour simplifier certais calculs de limites, o itroduit les «ombres» et + avec les règles de calcul suivates : Additio + + ( + ) = + ; + ( ) = ; a, a+ ( + ) =+ ; a, a+ ( ) = ; Opposé : ( + ) = et ( ) =+. le calcul «+ ( + )» est pas défii. Multiplicatio + ( + ) = + ; ( ) = + ; ( + ) =+ ( ) = ; + a *, a ( + ) =+ et a *, a ( ) + a *, a ( ) = et a *, a ( ) 1 Iverse : = 0 et + 1 = 0. + = ; =+ ; Les calculs «0 ( + )» et «0 ( )» e sot pas défiis. Il e découle que les calculs «± ±» e le sot pas égalemet. Le calcul «0 0» est pas défii. De faço plus géérale, lorsque le déomiateur du rapport de deux suites ted vers 0, o se demadera si le sige reste costat où pas (limite de type 0 + ou 0 ). Pour simplifier certais éocés (voir ci-après), o peut poser : = { ; + } PaaMaths [3-6] Février 2009

4 Opératios et limites A partir des covetios de calcul ci-dessus, o peut formellemet écrire : ) et ( ) v deux suites et k u réel. lim + ( ) ( ) ku = k lim u + lim u + v = lim u + lim v ( ) lim uv = lim u lim v u lim + v lim u + = lim v + Lorsque l o est cofroté à ue situatio «iterdite» (cf. les calculs o défiis ci-dessus), o dit que l o a affaire à ue «forme idétermiée». O retiedra les quatre types fodametaux de formes idétermiées :, «0 0», et «0» Composée d ue suite et d ue foctio ) ue suite et f ue foctio. Si lim u + = l et lim f ( x) l' x l = alors lim f ( u ) + = l'. PaaMaths [4-6] Février 2009

5 Quelques théorèmes fodametaux Suites adjacetes Défiitio O appelle «suites adjacetes» deux suites ( u ) et ( ) ( u ) est croissate et ( ) lim ( u v ) = 0. + v est décroissate ; v vérifiat : Propriété Si ( u ) et ( v ) sot deux suites adjacetes telles que ( u ) est croissate, ( ) décroissate et lim ( u v ) 0 u v. + = alors pour tout etier aturel : v est Théorème Si ( u ) et ( v ) sot deux suites adjacetes alors ( u ) et ( ) même limite. v coverget et admettet la Mootoie et ature d ue suite Théorème ) ue suite croissate (respectivemet décroissate). Si ( u ) est majorée (respectivemet miorée) alors ( ) Si ( ) u coverge ; u est pas majorée (respectivemet est pas miorée) alors lim u (respectivemet lim u = ). + + =+ PaaMaths [5-6] Février 2009

6 Suites récurretes Théorème ) ue suite défiie par : So premier terme u 0 ; Ue relatio, valable pour tout etier aturel, de la forme u f ( u ) foctio. Si ( u ) coverge vers l et si la foctio f est cotiue e l alors f ( l) + 1 = où f est ue = l. PaaMaths [6-6] Février 2009

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