Les fonctions logiques & l algèbre de Boole

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1 Les foncions logiques & l algèbre de Boole 1 - Algèbre de Boole Hisorique : Georges BOOLE, philosophe e mahémaicien anglais, publia en 1854 un essai sur les raisonnemens logiques poran sur les proposiions auxquelles les seules réponses possibles son oui ou non. L ensemble des opéraions découlan de ces proposiions forme une srucure mahémaique, donc une algèbre, appelée «algèbre de BOOLE». «L algèbre de Boole» se caracérise par l uilisaion de variables ne pouvan prendre que deux éas disincs. Ces deux éas son représenés par les valeurs 0 e 1. A noer : Cee algèbre de Boole es donc uilisée à chaque fois que, dans un sysème echnique, on souhaie raduire, le comporemen d une grandeur physique sous forme de deux éas disincs. Par exemple : - Posiion de la ige d un vérin : ige renrée ou sorie, - Ea d un conac élecrique : ouver ou fermé - Déecion présence d un obje : présen ou absen - Ea d un moeur : en roaion ou à l arrê ec. ec Ces deux «éas logiques» disincs se raduisen généralemen par deux «niveaux de ension» disincs : présence ou absence de ension. 2 - Quelques définiions Variable logique : grandeur, représenée par un idenificaeur (lere ou nom) qui peu prendre les seules valeurs 0 ou 1. Niveau logique : En élecronique, une variable logique es concréisée par un signal élecrique (ension ou couran) qui peu prendre deux niveaux élecriques (ou niveaux logiques) : - le niveau logique Hau (H) ou High - le niveau logique Bas (L) ou Low par convenion : Variable Logique (ou éa logique ) Niveau logique convenion posiive Niveau logique convenion négaive 0 Bas (L) Hau (H) 1 Hau (H) Bas (L) Algèbre de BOOLE : Ensemble de variables à 2 éas, de valeur, ou éa "1" (vrai) ou "0" (faux) e muni d'un pei nombre d'opéraeurs fondamenaux : NON, ET, OU. Foncion logique de n variables binaires : groupe de variables reliées par des opéraeurs logiques (NON, ET, OU) E1 E2 Ei Foncion logique f (E1,,, Ei,,En.) En Les foncions logiques & l algèbre de Boole - page 1 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édié le 18/09/2008

2 3 - Noion de able de vérié Une able de vérié es une représenaion graphique (ableau) faisan connaîre la réacion du circui logique, c es à dire l éa de la sorie en foncion de oues les combinaisons de valeurs (0 ou 1) que peuven prendre les variables binaires d enrées,,, E i,,e n. Exemple d une able de vérié pour une foncion logique à deux enrées e e une sorie Nombre de variables d enrées : Nombre de combinaisons de valeurs possibles pour les variables d enrées : 4 - Équaion logique à 1 d une sorie «L équaion logique à 1 d une sorie» radui sous forme d une équaion mahémaique, le comporemen de la sorie de la foncion logique. Elle consise en l écriure d une équaion des cas où la sorie de la foncion logique es égale à «1». Noa : - Par abus de langage e par commodié l expression «équaion logique à 1 de la sorie» es souven réduie à l expression «équaion logique» - «L équaion logique» peu êre rouvée à parir de la able de vérié d une foncion. Exemple : Rechercher l équaion logique de la foncion «OU EXCLUIF» don la able de vérié es donnée au paragraphe précéden ( c.f. 3.1 ) Ecriure des cas où es à «1» : Remarque : On verra par la suie qu il es parfois possible de simplifier une équaion logique. 5 - Les foncions logiques de l algèbre de Boole En général, dans un ysème Technique Indusriel.T.I ;-) la chaîne élecronique de raiemen de l informaion foncionne avec des variables binaires. Cee chaîne de raiemen es consiuée par un assemblage de foncions logiques représenaives de l élecronique numérique. Les foncions logiques & l algèbre de Boole - page 2 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édié le 18/09/2008

3 6 - Les opéraeurs logiques de l algèbre de Boole 6.1 L opéraeur logique NON (NOT) ymbole Européen : ymbole Américain : Table de vérié : Chronogrammes d évoluion : E E Equaion logique à 1 de la sorie : chéma à conacs : E 6.2 L opéraeur logique OU (OR) ymbole Européen : ymbole Américain : Table de vérié : Chronogrammes d évoluion : Equaion logique à 1 de la sorie : chéma à conacs : Les foncions logiques & l algèbre de Boole - page 3 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édié le 18/09/2008

4 6.3 L opéraeur logique ET (AND) ymbole Européen : ymbole Américain : Table de vérié : Chronogrammes d évoluion : Equaion logique à 1 de la sorie : chéma à conacs : 7 - Les aures opéraeurs logiques 7.1 L opéraeur logique OU-NON* (NOR) ymbole Européen : ymbole Américain : Table de vérié : Chronogrammes d évoluion : Equaion logique à 1 de la sorie : * A noer : «OU-NON» es LA bonne raducion de l acronyme «NOR». Car il s agi bien de l opéraeur logique «OU» suivi de l opéraeur «NON» [e pas le conraire]. Cependan par abus de langage on rouve courammen l expression «NON-OU» dans la liéraure echnique. Les foncions logiques & l algèbre de Boole - page 4 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édié le 18/09/2008

5 7.2 L opéraeur logique ET-NON* (NAND) ymbole Européen : ymbole Américain : Table de vérié : Chronogrammes d évoluion : Equaion logique à 1 de la sorie : chéma à conacs : * A noer : «ET-NON» es LA bonne raducion de l acronyme «NAND». Car il s agi bien de l opéraeur logique «ET» suivi de l opéraeur «NON» [e pas le conraire]. Cependan par abus de langage on rouve courammen l expression «NON-ET» dans la liéraure echnique. 7.3 L opéraeur logique OU-EXCLUIF (XOR) ymbole Européen : ymbole Américain : Table de vérié : Chronogrammes d évoluion : Equaion logique à 1 de la sorie : chéma à conacs : Les foncions logiques & l algèbre de Boole - page 5 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édié le 18/09/2008

6 7.4 L opéraeur logique OUI ymbole Européen : ymbole Américain : Table de vérié : Chronogrammes d évoluion : E E Equaion logique à 1 de la sorie : chéma à conacs : 7.5 Représenaion de foncions logiques complexes : Le logigramme Le logigramme (ou diagramme logique) perme la représenaion graphique d une foncion logique complexe consiuée d un ensemble d opéraeurs inerconnecés. La réalisaion d un logigramme consise en l associaion organisée d opéraeurs logiques raduisan une équaion logique sans préjuger de la echnologie adopée. Exemple 1 : Dessiner le logigramme correspondan à l équaion logique 1 = (A.B)+(C.D) Exemple 2 : Trouver l équaion logique correspondan au logigramme ci-dessous : A B & 1 1 & 1 Les foncions logiques & l algèbre de Boole - page 6 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édié le 18/09/2008

7 Exercices : a) Eablir le logigramme correspondan à l équaion suivane 2 = (A + B). (A + B) b) Eablir le logigramme correspondan à l équaion suivane 3 = (A. B) + (A. B) c) Eablir les ables de vérié correspondanes respecivemen aux équaions logiques de 1, 2 e 3. Les foncions logiques & l algèbre de Boole - page 7 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édié le 18/09/2008

8 d) Eablir les chronogrammes correspondans respecivemen aux équaions logiques de 1, 2 e Propriéés des opéraeurs logiques (propriéés de l algèbre de Boole) Les propriéés suivanes permeen d'effecuer des calculs dans l'algèbre de Boole : propriéés ET OU Applicaion COMMUTATIVITE A. B = B. A A + B = B + A Les enrées d un opéraeur logique son inerchangeables AOCIATIVITE DITRIBUTIVITE du OU par rappor au ET e du ET par rappor au OU (A.B).C = A.B.C = A.(B.C) (A+B)+C = A + C + B = A + (B+C) A + (B.C) = (A+B). (A+C) A. (B+C) = (A.B) +(A.C) Une foncion ou à 3 enrées peu êre réalisée à parir d opéraeurs à 2 enrées. ELEMENT NEUTRE A. 1 = A A + 0 = A ELEMENT PRIORITAIRE A. 0 = 0 A + 1 = 1 COMPLEMENTATION A. A = 0 A + A = 1 IDEMPOTENCE A. A = A A + A = A Les foncions logiques & l algèbre de Boole - page 8 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édié le 18/09/2008

9 8.2 Théorèmes de De Morgan : Hisorique : Augusus De Morgan, mahémaicien e logicien brianique, fondaeur avec Boole de la logique des classes e des relaions. Il a formulé ceraines lois du calcul des proposiions. Les 2 héorèmes de De Morgan : A + B = A. B A. B = A + B Inérê : implifier e opimiser la concepion des srucures à base d opéraeurs logiques. Exemple : A + B Exercice 1 : A l aide des propriéés de l algèbre de Boole, simplifier les expressions suivanes : 1/ a + ( b. a ) 2/ a. ( b + a ) 3/ a + a. b 4/ ( a. b ) + ( a.b ) Exercice 2 : Démonrer les égaliés suivanes : 1/ (A+B). (A+C) = A. B + A. C + B. C 2/ A + A. B = A + B Les foncions logiques & l algèbre de Boole - page 9 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édié le 18/09/2008

10 3/ ( A + B ). ( A + B ) = B 4/ ( A + B ) + ( A + B ). C = A + B 9. Concepion e opimisaion des sysèmes à base de logique combinaoire Définiion d un sysème di à «logique combinaoire» : Un sysème es di "combinaoire" lorsque qu'à une combinaison des variables binaires d'enrée correspond une (e une seule) combinaison des variables de sories. Noe : on parle de sysèmes combinaoires par opposiion aux sysèmes séqueniels, dans lesquels les variables de sorie dépenden à la fois des variables d'enrée e de l'éa anérieur des variables de sorie. 9.1 Concepion de sysèmes de naure combinaoire La réalisaion d'un sysème combinaoire nécessie un cahier des charges don l'énoncé perme, en déaillan chaque éape du foncionnemen, de dresser un ableau descripif comple de ous les éas binaires. Nous avons déjà vu que ce ableau s appelle une able de vérié. De cee able de vérié on peu irer une expression booléenne qu'il convien de simplifier afin de réduire la complexié de la réalisaion. Il exise plusieurs méhodes d'exracion e de simplificaion des équaions booléennes. 1 ère méhode (méhode algébrique) : Pour chaque variable de sorie figuran sur la able de vérié, on écri la "somme" logique des lignes ou la variable de sorie prend la valeur 1. noe: Lorsque les éas "1" son plus nombreux que les éas "0", il es avanageux d'écrire le complémen de la somme logique des lignes où la variable de sorie prend la valeur 0. Puis on simplifie l'expression obenue en uilisan les propriéés de l'algèbre de BOOLE. Cee méhode peu convenir pour les cas où le nombre de variables d'enrée ne dépasse pas 2 ou 3. 2 ème méhode (méhode graphique) : Dans le cas ou le nombre de variables devien rop imporan, il es plus avanageux d uiliser une représenaion graphique iniulée «Tableau de Karnaugh» permean de rouver direcemen une expression simplifiée de l équaion de sorie d une foncion logique. Les foncions logiques & l algèbre de Boole - page 10 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édié le 18/09/2008

11 9.2 Expression simplifiée d une sorie à l aide de la méhode du «Tableau de Karnaugh» Définiion : Ouil graphique de simplificaion des équaions logiques. Le nombre de case du ableau es égal au nombre de combinaisons possibles pour les enrées soi : C = 2 n Avec - C : nombre de combinaisons. - n : nombre de variables (ou enrées). Exemple : Avec un opéraeur OU EXCLUIF à 2 enrées, le ableau de karnaugh compore nombre de case : C = Table de vérié «OU EXCLUIF» Remarque : 1 équaion = 1 ableau de Karnaugh Méhode pour l obenion de l équaion simplifiée de la sorie : 1/ Groupemen des cases : Peuven êre réunies les cases adjacenes, conenan des valeurs 1 à condiion que le nombre de cases du groupemen soi égal à une puissance de 2 (1, 2, 4, 8, 16 ). Remarques : - On doi réaliser les plus grands regroupemens possibles, - Il es possible de faire des regroupemens par symérie, c'es-à-dire il es possible de faire des regroupemens en regroupan les «1» siués de par e d aure des deux axes de symérie du ableau. - Les «1» peuven servir à plusieurs regroupemens. - Tous les «1» doiven êres regroupés (au moins par défau avec eux-mêmes) Exemples : E E E Les foncions logiques & l algèbre de Boole - page 11 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édié le 18/09/2008

12 / Règle de simplificaion Lorsque, dans un regroupemen, une variable es présene à la fois sous la forme complémenée e non complémené elle es éliminée. Exemples : Les foncions logiques & l algèbre de Boole - page 12 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édié le 18/09/2008

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