Définition 1 : Une variable aléatoire continue X est une fonction qui à chaque issue de Ω associe un nombre réel d un intervalle I de.

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Odette Paquin
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1 8. Lois à desité O osidère ue expériee létoire et u uivers ssoié Ω, mui d ue probbilité. 8.. Vrible létoire otiue Défiitio : Ue vrible létoire otiue X est ue fotio qui à hque issue de Ω ssoie u ombre réel d u itervlle I de. Exemple : l vrible létoire égle à l durée de bo fotioemet d u tube fluoreset (produit e grde série) est ue vrible létoire otiue. 8.. Loi de probbilité à desité Défiitio : X est ue vrible létoire otiue à vleurs ds u itervlle I et f est ue fotio otiue, positive sur I telle que : b x x + f ( t) si I [ ; b] lim f ( t) si I [ ;+ [ Dire que P est l loi de probbilité de desité f de X sigifie que pour tout itervlle J ilus ds X J M x; y ; x J et 0 y f x I, P( ) est égle à l ire du domie { ( ) ( )} C f C f Coséquees : O b P ( X b) P( X d ) () Pour tout ombre réel de I, P ( X ) 0 E effet, P( X ) P( X ) f ( t) 0 () O déduit imméditemet de () que : P X d P < X d P X < d P < X < d ; d l itervlle de bore et d ( ) ( ) ( ) ( ) Aussi ote-t-o prfois ( ) (3) Si J ( ; d ), lors P( X J ) d f ( t) E effet, o sit que l ire du domie { M ( x; y) ; x ( ; d ) et 0 y f ( x) } est égle, e uités d ire, à d f ( t) (4) Si I ] ;+ [ et si est u ombre réel tel que > C P : f ( X > ) P( X > ) P( < X ) f ( t) O d b 0 Cours Termile E. Pouli Pge 3

2 Remrque : Les propriétés des probbilités d évéemets reotrées ds le s disret s étedet turellemet u s otiu. Pr exemple : Si J est le omplémetire de J ds I, lors P( J ) P( J ) P Si I I et P ( I' ) 0, si J I, lors ( ) ( I J ) P I J P I 8.3. L loi uiforme sur [ ;b]. Défiitio et propriétés Défiitio : A et b désiget deux ombre réels distits. Dire qu ue vrible létoire X suit l loi uiforme sur l itervlle [ b] de probbilité de l loi X est ue fotio ostte sur [ ; b]. ( ) ; sigifie que l desité Propriété : L desité de probbilité de l loi uiforme sur [ ; b] est l fotio f défiie sur [ b] Preuve : f est ue fotio ostte sur [ ; b] défiie pr f ( x) λ O doit do voir b b λ soit [ t] λ, est-à-dire λ b λ D où λ ; pr Propriété : X est ue vrible létoire qui suit l loi uiforme sur [ ; b] Pour tout itervlle [ ; d] ilus ds [ ; b], P( X d ) Preuve : P ( X d ) ( t) d f d t b d d d d Remrque : Pr ovetio, hoisir u ombre u hsrd ds l itervlle [ b] l loi uiforme sur [ ; b] ;, est le hoisir selo E prtiulier, pour l loi uiforme sur [ 0 ;], l probbilité de hoisir u ombre u Défiitio : hsrd etre et d (ds l itervlle [ 0 ;] ) est égl à l diste etre et d.. Espére L espére d ue vrible létoire X de desité f sur [ ; b] est le ombre réel E ( X ) tf ( t) Propriété : X est ue vrible létoire qui suit l loi uiforme sur [ ; b]. So espére est E( X ) Preuve : E ( X ) b t t b b b ( )( b + ) b + Cours Termile E. Pouli Pge 4 b + b

3 8.4. Loi ormle etrée réduite OUVRIR feuille Exel de simultio TP-loiBiomileCetrerReduire.xls d ue loi biomile pour explique e qu est CENTRER et REDUIRE. OUVRIR fihier Geogebr GAUSS-LoiBiomile. Ue pprohe historique X est ue vrible létoire qui suit l loi biomile B( ;p) L vrible létoire etrée réduite ssoiée à X est Z X p p ( p) So espére est E ( Z ) 0 et so ért type est σ ( Z ) (voir TP-loiBiomileCetrerReduire.xls) + Ativité Trsmths p 6 A l loi disrète de Z o ssoie des ires de retgles fi d obteir u histogrmme omme i-dessous (s 00 et p0,5) ; Plus est grd, plus les bords supérieurs des retgles se rpprohet d ue ourbe régulière et symétrique. Le mthémtiie Abrhm de Moivre (XVIIème sièle) déouvert que ette x ourbe représete l fotio : f : x e e 78. π Krl Friedrih Guss étudier pr l suite ette ourbe e 809. Aisi P( Z b) ted vers ( x) b f dx lorsque ted vers +. L loi ormle etrée réduite Défiitio : Dire qu ue vrible létoire T suit l loi ormle etrée réduite, otée N (0 ;), sigifie que s desité de probbilité est l fotio f défiie sur pr f ( x) REMARQUE : les lultries doet diretemet P( T b) x e π Cours Termile E. Pouli Pge 5. Voir Trsmths p 5

4 Première propriétés () f est otiue sur () Pour tous ombres réels et b, P( T b) b f ( x) dx (3) L ire totle sous l ourbe est égle à ; elle représete l probbilité P ( T ] ; + [ ) 0 (4) L ourbe de f est symétrique pr rpport à l xe des ordoées, do P ( T [ ; + [ ) O dit que l ourbe f est ue «ourbe e lohe» (5) Pour tout ombre réel u : P( T u) P( T u) (du fit de l symétrie) P T u P T > u P T u P T u ( ) ( ) do ( ) ( ) U résultt prtiulier importt (6) P (,96 T,96 ) 0, 95. Eviro 95% des rélistios de T se trouvet etre -,96 et,96. Cours Termile E. Pouli Pge 6

5 8.5. L loi ormle N(µ ;σ²). Loi ormle d espére µ et d ért type σ Défiitio Dire qu ue vrible létoire X suit ue loi ormle N(µ ;σ²) sigifie que l vrible létoire µ T X suit l loi ormle N(0 ;) σ Propriétés (dmises) Si ue vrible létoire suit ue loi ormle N(µ ;σ²), lors so espére est µ, s vrie est σ² et so ért-type est σ. Remrque : Ue loi ormle N(µ ;σ²) est ue loi à desité, do il existe ue fotio g défiie sur telle que pour tous ombres réels et b P( X b) ( x) ps u progrmme). Ifluee des prmètres b g dx (es fotios e sot Courbe représettive de l fotio de desité lorsque σ : elle dmet l droite d équtio x µ pour xe de symétrie µ 4 µ0 µ3 Courbe représettive de l fotio de desité lorsque µ 3 : plus l ért-type est grd, plus l lohe est élrgie. σ0,5 σ σ 3. Les itervlles «u, deux, trois sigms» X est ue vrible létoire qui suit l loi ormle N(µ ;σ²) et N(0 ;) P µ σ X ( µ + σ ) P( T ) Ave l lultrie, P ( T ) 0, 68 Do P ( µ σ X µ + σ ) 0, 68 De l même fço, o détermie que P ( µ σ X µ + σ ) 0, 95 P ( ) 0, 997 µ T X suit l loi ormle σ µ σ X µ σ Remrque : el sigifie que l probbilité d obteir ue vleur de X distte de plus de 3σ est presque ulle Cours Termile E. Pouli Pge 7

6 68% µ-σ µ µ+σ µ-σ µ+σ µ-σ µ+σ Obteir ue probbilité ds le dre d ue loi N(µ ;σ²) ve ue lultrie X est ue vrible létoire qui suit l loi ormle N(µ ;σ²) et N(0 ;) µ T X suit l loi ormle σ Pour µ et σ ous, les lultries disposet de ommdes spéifiques pour luler : L probbilité de l évéemet { α X β}, α et β doé CASIO MENU F5 (DIST) F (NORM) F TEXAS d Vr : ormlfrép(α, β, µ, σ) (NCD); Lower: α, Upper : β, σ, µ Le réel x tel que P ( X x) CASIO MENU F5 (DIST) F (NORM) F3 (IvN); Are:, σ, µ, étt doé TEXAS d Vr 3: FrNormle(, µ, σ) Ue stue pour luler l probbilité de l évéemet { X α}, α doé O e peut ps érire sur l lultrie P( X x). O utilise l symétrie de l loi ormle. P X α 0,5 + P 0 X α Aisi ( ) ( ) Ne jmis hésiter à fire u roquis! Ue stue pour luler l probbilité de l évéemet { X > α} ( X > α ) P( X α ) 0,5 P( X α ) P 0, α doé Cours Termile E. Pouli Pge 8

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