1. Justifier que l intégrale I est l aire d une partie du plan que l on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie).

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1 Atilles-ue septembre 0 EXERCICE poits Commu à tous les cdidts O cosidère l foctio f défiie ] 0 ; + [ pr : f () = l Prtie A : Étude d ue foctio Détermier l limite de l foctio f e + b Détermier l limite de l foctio f e 0 Soit f ' l foctio dérivée de l foctio f Clculer f ' () pour tout réel de ] 0 ; + [ E déduire le tbleu de vritios de l foctio f sur ] 0 ; + [ Motrer que l équtio f () = 0 dmet ue uique solutio ds ] 0 ; + [ O ote cette solutio Détermier u ecdremet de à l précisio 0 Détermier le sige de f () lorsque pprtiet à ] 0 ; + [ Motrer que l = Prtie B : Clcul d ue itégrle O doe e ee l courbe C, représettio grphique de l foctio f ds u repère orthoormé O cosidère l itégrle suivte : I = f ( ) d Justifier que l itégrle I est l ire d ue prtie du pl que l o hchurer sur le grphique doé e ee (à redre vec l copie) À l ide d ue itégrtio pr prties, clculer l itégrle J = Motrer l églité : I = 6 l 8 E déduire ue vleur pprochée de I à 0 près l d EXERCICE poits Cdidts t ps suivi l eseigemet de spécilité L espce est mui d u repère orthoormé ( O ; i, j, k ) O cosidère les trois poits A, B et C de coordoées respectives : A ( ; ; ), B ( ; 6 ; ) et C ( ; ; ) Vérifier que les poits A, B et C défiisset bie u pl b Motrer que le vecteur ( ; ; ) est u vecteur orml u pl (ABC) c Détermier ue équtio crtésiee du pl (ABC) Soit P le pl d équtio : + = 0 Motrer que les pls (ABC) et P sot sécts b Soit D l droite itersectio des pls P et (ABC) Détermier ue représettio prmétrique de l droite D O cosidère l sphère S de cetre ( ; ; ) et de ro et o omme I le poit de coordoées ( ; ; ) O dmet que t l droite D pour représettio prmétrique t t t Motrer que le poit I pprtiet à l droite D b Motrer que le poit I pprtiet à l sphère S c Ds cette questio, toute trce de recherche, même icomplète, ou d iititive même o fructueuse, ser prise e compte ds l évlutio Motrer que l droite D coupe l sphère S e u deuième poit EXERCICE poits Cdidts t suivi l eseigemet de spécilité L espce est mui d u repère orthoormé ( O ; i, j, k ) O cosidère l esemble P des poits M( ; ; ) de l espce tels que : = + Les trois questios sot idépedtes Motrer que l itersectio de l esemble P et du pl d équtio = est u cercle dot o préciser le cetre et le ro b Détermier l ture de l itersectio de l esemble P et du pl d équtio = O cosidère l sphère S de cetre O et de ro 6 Doer ue équtio de l sphère S b Motrer que l itersectio de l sphère S et de l esemble P est u cercle Le but de cette questio est de détermier les poits M( ; ; ) de l esemble P, dot les coordoées sot des etiers reltifs, pprtet u pl d équtio + = et vérifit Doer u couple d etiers reltifs solutio de l équtio (E) : + = b Détermier l esemble des couples ( ; ) d etiers reltifs solutios de l équtio (E) Détermier les poits de l esemble P dot les coordoées ( ; ; ) sot des etiers reltifs vérifit : + = et Atilles-ue septembre 0

2 EXERCICE poits Commu à tous les cdidts Le pl est rpporté à u repère orthoormé direct (O ; u, v ) d uité grphique cm Prtie A : O ote P le poit d ffie p = i, Q le poit d ffie q = i, et K le poit d ffie Motrer que les poits P et Q pprtieet u cercle de cetre O et de ro b Fire ue figure et costruire les poits P et Q Détermier l esemble D des poits M d ffie tels que = + Représeter cet esemble sur l figure b Motrer que P et Q sot les poits d itersectio de l esemble D et du cercle Prtie B : O cosidère trois ombres complees o uls, b et c O ote A, B et C les poits d ffies respectives, b et c O suppose que l origie O du repère (O ; u, v ) est à l fois le cetre de grvité et le cetre du cercle circoscrit du trigle ABC b c Motrer que = b = c E déduire que b Motrer que + b + c = 0 b b c Motrer que d E utilist l prtie A, e déduire que b p ou b q Ds cette questio, o dmet que b p et c q q i Motrer que e p b q c Motrer que p b c Déduire des deu questios précédetes l ture du trigle ABC Atilles-ue septembre 0

3 EXERCICE poits Commu à tous les cdidts Les prties A et B sot idépedtes U site iteret propose des jeu e lige Prtie A : Pour u premier jeu : si l iterute gge ue prtie, l probbilité qu il gge l prtie suivte est égle à si l iterute perd ue prtie, l probbilité qu il perde l prtie suivte est égle à Pour tout etier turel o ul, o désige pr l évèemet «l iterute gge l -ième prtie» et o ote p l probbilité de l évèemet L iterute gge toujours l première prtie et doc p = Recopier et compléter l rbre podéré suivt : + p p + Motrer que, pour tout etier turel o ul, p + = p + Pour tout etier turel o ul, o pose u = p Motrer que (u ) est ue suite géométrique de riso et de premier terme u à préciser b Motrer que, pour tout etier turel o ul, p = c Détermier l limite de p Prtie B : Ds u secod jeu, le joueur doit effectuer 0 prties O suppose que toutes les prties sot idépedtes L probbilité de gger chque prtie est égle à Soit X l vrible létoire égle u ombre de prties ggées pr le joueur Quelle est l loi de probbilité suivie pr l vrible létoire X? Justifier b Quelle est l probbilité que le joueur gge u mois ue prtie? Le résultt ser rrodi à 0 près c Détermier l espérce de X Le joueur doit per 0 pour jouer les 0 prties Chque prtie ggée lui rpporte 8 Epliquer pourquoi ce jeu est désvtgeu pour le joueur b Clculer l probbilité pour u joueur de réliser u bééfice supérieur à 0? Le résultt ser rrodi à 0 près Atilles-ue septembre 0

4 CORRECTION EXERCICE poits Commu à tous les cdidts Prtie A : Étude d ue foctio lim b lim 0 l = + l = 0 doc doc lim lim 0 f () = + f () = + u( ) u '( ) doc f ' () = l = l + pour tout réel de ] 0 ; + v( ) l v '( ) [ l > 0 l > > e 0 e + f () 0 + f 0 + e L foctio f est décroisste sur ] 0 ; e ] et lim f () = doc pour tout de ] 0 ; e ], f () < 0 L foctio f e s ule ps sur ] 0 ; e ] L foctio est défiie strictemet croisste sur [e ; + [, f ([e ; + [) = [ e ; + [ 0 [ e ; + [ doc l équtio f () = 0 dmet ue uique solutio ds [e ; + [ doc sur ] 0 ; + [ f (,76) 0,00 et f (,77) 0,0 doc,76 < <,77 0 e + f 0 + e f () 0 + est solutio de f () = 0 l = 0 l = l = Prtie B : Clcul d ue itégrle L foctio f est défiie cotiue positive sur [ ; ] doc l itégrle I est l ire de l prtie du pl limitée pr l e des bscisses, l courbe et les droites d équtios = et = J = J = J = u '( ) u( ) v( ) l v '( ) l d = l d l doc : l d J = 8 l l + or l = doc l = et = doc l = l doc J = 6 l + I = J d = 6 l,76 < <,77 doc,76 < + <,77 doc,7 < I <,76 doc I,7 à 0 près ( ) doc I =,76,76 6 l 8 < I < 6 l 8,77,77 6 l 8 Atilles-ue septembre 0

5 EXERCICE poits Cdidts t ps suivi l eseigemet de spécilité AB pour coordoées ( ; 8 ; ), AC pour coordoées ( ; 0 ; ) Ces vecteurs e sot ps coliéires (coordoées o proportioelles) doc les poits A, B et C défiisset bie u pl b AB = + ( 8) + ( ) ( ) = = 0, AC = ( ) = = 0 est orthogol à deu vecteurs o coliéires du pl (ABC) doc le vecteur ( ; ; ) est u vecteur orml u pl (ABC) c Le pl (ABC) est l esemble des poits M tels que CM = 0 soit + ( ) = 0 Ue équtio crtésiee du pl (ABC) est + + = 0 Le vecteur ' ( ; ; ) est u vecteur orml u pl P Les vecteurs et et P sot sécts ' e sot ps coliéires doc les pls (ABC) b Soit M u poit de D, D est l droite itersectio des pls P et (ABC) doc les coordoées de M vérifiet 0 0 (e dditiot terme à terme les deu équtios) Ue représettio prmétrique de l droite D est t t t t t t t t O cosidère l sphère S de cetre ( ; ; ) et de ro et o omme I le poit de coordoées ( ; ; ) t Ue représettio prmétrique de l droite D est t t, le poit de D de cote pour prmètre t = et t pour coordoées ( ; ; ), doc le poit I pprtiet à l droite D b I = ( ) + ( ) + ( ) = + + = 9 doc I =, le poit I pprtiet à l sphère S c Soit M u poit d itersectio de S et de D, lors M = 9 soit (t + ) + ( t ) + (t ) = 9 soit (t ) + ( t ) + (t ) = 9 t t + + t 6 t t 6 t + 9 = 9 6 t 6 t + 0 = 0 t t + 0 = 0 Cette équtio dmet deu solutios t = et t = 0 doc l droite D coupe l sphère S e deu poits l u est I (prmètre t = ) l utre I (prmètre t = 0 ) Atilles-ue septembre 0

6 EXERCICE poits Cdidts t suivi l eseigemet de spécilité M P P = M = et = où est le poit de coordoées (0 ; 0 ; ) L itersectio de l esemble P et du pl d équtio = est u cercle de cetre (0 ; 0 ; ) et de ro b M P P = L itersectio de l esemble P et du pl d équtio = est ue prbole d e (O ) de sommet S(0 ; ; ) ds le pl d équtio = S est l esemble des poits M de l espce tels que OM = 6 Ue équtio de l sphère S est + + = 6 b M S P 6 L équtio + 6 = 0 dmet deu solutios = et = M S P ou + 0 doc il est impossible que + = M S P 6 ou 6 0 M = et = où est le poit de coordoées (0 ; 0 ; ) L itersectio de l sphère S et de l esemble P est u cercle de cetre (0 ; 0 ; ) de ro + = doc u couple d etiers reltifs solutio de l équtio (E) : + = est ( ; ) b ( ; ) solutio de + = ( ) + ( ) = 0 ( ) = ( ) ( ) = ( ) doc divise ( ) or et sot premiers etre eu doc divise Il eiste u etier reltif k tel que = k soit = k + E remplçt ds ( ) = ( ) o obtiet ( ) = k soit = k doc = k + Vérifictio : + = ( k + ) + ( k + ) = 6 k + 6 k + = L esemble des couples ( ; ) d etiers reltifs solutios de l équtio (E) est ( k + ; k + ) vec k P est l esemble des poits tels que = + doc = ( k + ) + ( k + ) = k + 6 k + doc k + 6 k + soit k + 6 k 0 0 = 96 = 6 doc k = et k = 0 k k 0 0 k ; k est u etier reltif doc k { ; ; 0} k 0 = k + = k + = + Les poits de l esemble P dot les coordoées ( ; ; ) sot des etiers reltifs vérifit : + = et sot les poits : A ( ; ; ) B ( ; ; ) et C ( ; ; ) Atilles-ue septembre 0 6

7 EXERCICE poits Commu à tous les cdidts Prtie A : p = = doc p = q = p doc q = p = doc les poits P et Q pprtieet u cercle de cetre O et de ro b P 0 = OM et + = KM doc l esemble D des poits M d ffie tels que = + est l esemble des poits M tels que OM = KM doc D est l méditrice de [OK] K - o b p ( ) = i doc p = p + doc P D or -0 P doc P est u poit d itersectio de l droite D et du cercle q ( ) = i doc q = q + doc Q D or Q Q - doc Q est u poit d itersectio de l droite D et du cercle Ue droite coupe u cercle e u plus deu poits doc P et Q sot les poits d itersectio de l esemble D et du cercle Prtie B : O est le cetre du cercle circoscrit du trigle ABC doc OA = OB = OC doc = b = c b c 0 doc 0 doc puisque = b = c lors b c b O est le cetre de grvité du trigle ABC, doc = 0 doc + b + c = 0 c b b c b c + b + c = 0 doc c = (b + ) doc doc b d doc le poit d ffie b pprtiet u cercle de cetre O de ro doc à b c or b b doc b b doc le poit d ffie b pprtiet à l droite D doc est u poit d itersectio de cette droite et du cercle doc b p ou b q Ds cette questio, o dmet que b p et c q = i = ( + i) et p = i = ( i) q i ( i ) i i i e p i ( i ) ( i ) (O urit pu ussi utiliser l forme epoetielle de + i et de i) b c c c b q doc q = c e i doc c b ; b p c rg k b q doc p = b doc k c q c p b b AC = AB (AB, AC ) k k le trigle ABC est équiltérl Atilles-ue septembre 0 7

8 EXERCICE poits Commu à tous les cdidts Prtie A : p + p + pour tout etier turel o ul, p + = p( + ) + p( + ) p + = p + ( p ) p + = p p + p + = p + u + = p + = p + u + = p u + = p or u = p 0 p = u + doc u + = p u + = u (u ) est ue suite géométrique de riso et de premier terme u = p soit u = doc u = b Pour tout etier turel o ul, p = u + doc pour tout etier turel o ul, p = c < < doc lim = 0 doc lim p = Prtie B : O ue successio de 0 epérieces létoires idetiques et idépedtes, chcue d elles deu issues : réussite : le joueur gge (p = 0,) échec : le joueur e gge ps (q = p = 0,7) doc l vrible létoire égle u ombre de prties ggées pr le joueur suit ue loi biomile de prmètres (0 ; 0,) b p (X ) = p(x = 0) = 0,7 0 soit eviro 0,9 c L espérce de X est égle à p soit 0 0, doc, Le joueur e moee gge, prties doc reçoit 8, = 0 or il pe 0 pour pouvoir jouer doc ce jeu est désvtgeu pour le joueur b Le joueur rélise u bééfice supérieur à 0 s il reçoit u mois 70 (l somme versée iitile met pour pouvoir jouer plus le bééfice) Ue prtie ggée rpport 8 doc le joueur doit gger u mois 9 prties p(x 9) = p(x = 9) + p(x = 0) soit eviro 0,0000 Atilles-ue septembre 0 8

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