Chapitre 1: Les choix du consommateur Chapitre 4 du livre de Perloff

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1 Chaptre : Les chox du consommateur Chaptre 4 du lvre de Perloff. La contrante budgétare (CB. Introducton. L ensemble budgétare.3 Le taux margnal de transformaton (TMT du consommateur.4 Effets de changements de prx.5 Effets de changements de revenu.6 Quelques exemples. Les préférences. Les hypothèses. Les courbes d ndfférence (CI.3 La foncton d utlté.3. Introducton.3. Le concept d utlté margnale.3. Len entre la foncton d utlté et la courbe d ndfférence.4 Le taux margnal de substtuton (TMS.4. Défnton.4. Len entre le taux margnal de substtuton et la foncton d utlté.4.3 Len entre la forme de la courbe d ndfférence et le taux margnal de substtuton 3. Le chox optmal du consommateur 3. La méthode : A, B 3. La méthode 3.3 La méthode 3

2 . La contrante budgétare (CB. Introducton Défnssons le revenu de l agent économque comme étant Y. De plus supposons que l agent peut chosr entre bens: les pzzas notés et les CD notés CD. Le prx de chacun des bens est respectvement P et P CD. Sa contrante budgétare (CB est défn comme P + P CD Y CD où P donne les dépenses de l agent en et PCD CD les dépenses en CD. La quantté maxmale de qu peut être achetée est égale à ( Y PCD CD = P La quantté maxmale de CD qu peut être achetée est égale à ( Y P CD = P CD Graphquement, cela donne VOIR FIGURE.

3 . L ensemble budgétare L ensemble budgétare ( opportunty set content tous les paners de bens qu un consommateur peut acheter. Les paners se trouvant à l extéreur de l ensemble budgétare ne peuvent pas être obtenus par l agent car leurs coûts sont trop élevés. S nous chosssons un paner de ben à l ntéreur de l ensemble budgétare, cela sgnfe que la contrante budgétare n est pas «bndng», c est-à-dre que le consommateur utlse en parte (mas pas en totalté son revenu pour l achat du paner de bens chos. Ce chox n est pas optmal (effcent. Tros cas peuvent être dstngués:. Le paner de bens (, CD se trouve à l ntéreur de l ensemble budgétare (mas pas sur la drote de budget: P + P CD < Y. Le paner de bens (,CD se trouve sur la drote de budget (c est-à-dre sur la CB: CD P + P CD = Y CD 3. Le paner de bens (,CD se trouve à l extéreur de l ensemble budgétare (mas pas sur la drote de budget: P + P CD > Y CD.3 Le taux margnal de transformaton (TMT du consommateur Le taux margnal de transformaton (TMT du consommateur représente le nombre d untés consommées de CD aux quelles le consommateur dot renoncer pour qu l pusse consommer une unté supplémentare de tel que la quantté dépensée reste constante (le revenu Y reste constant. Le TMT est égal à P TMT = P CD Notons que le TMT est auss la pente de la CB. 3

4 .4 Effet de changements de prx Supposons que le prx des augmente. Que se passe-t-l du côté de la pente de la drote budgétare? La réponse est à chercher du côté du TMT. S mportante. P augmente, alors la pente en valeur absolue devent plus Que se passe-t-l du côté de la quantté maxmale de CD que le consommateur peut acheter alors que son revenu Y reste constant? La réponse est à chercher du côté de la drote budgétare. Il sufft de fxer la quantté consommée de à zéro et de calculer le montant correspondant dépensé pour l achat de CD et l on remarque ren ne change. La quantté maxmale de CD que le consommateur peut acheter est toujours égale au montant à dsposton (revenu dvsé par le prx de CD. Que se passe-t-l du côté de la quantté maxmale de que le consommateur peut acheter alors que son revenu Y reste constant? Nous devons procéder de la même manère que lors de la dernère queston. Mas cette fos-c cependant, la quantté maxmale de que le consommateur peut acheter dmnue car le prx des a augmenté. Nous avons désormas tous les éléments pour dessner la nouvelle drote de budget. VOIR FIGURE.a.5 Effets de changements de revenu Supposons que le revenu dsponble Y augmente. Que se passe-t-l du côté de la pente de la drote budgétare? La réponse est à chercher du côté du TMT. Comme les prx n on pas changé, cela sgnfe que le TMT est dentque donc que la pente de la CB n a pas changé. Que se passe-t-l du côté de la quantté maxmale de CD que le consommateur peut acheter alors que son revenu Y a augmenté? La réponse est à chercher du côté de la drote budgétare. Il sufft de fxer la quantté consommée de à zéro et de calculer le montant correspondant dépensé pour l achat de CD. Dans ce cas, comme les prx n ont pas changé mas que le revenu dsponble a augmenté, la quantté maxmale de CD que le consommateur peut acheter augmente. Que se passe-t-l du côté de la quantté maxmale de que le consommateur peut acheter alors que son revenu Y a augmenté? 4

5 Nous devons procéder de la même manère que lors de la dernère queston. Comme les prx n ont pas changé mas que le revenu dsponble a augmenté, la quantté maxmale de que le consommateur peut acheter augmente. Comme à la secton précédente, nous avons désormas tous les éléments pour dessner la nouvelle drote de budget. L effet d une augmentaton de revenu sur les quanttés consommées des bens sera équvalent à l effet d une dmnuton des prx TELLE QUE le TMT ne change (donc les prx dovent dmnuer dans la même proporton. Attenton: l effet d une réducton de tous les prx de moté est dfférent que lorsque tous les prx dmnuent de 30% car le prx de base peut varer selon le type de ben. VOIR FIGURE.b.6 Quelques exemples Lmtaton de la demande Supposons que nous avons une économe qu produt I bens et que je désre lmter la demande du ben. Quel nstrument dos-je utlser? Une façon de résoudre le problème est de fare augmenter le prx du ben en queston en le taxant plus par exemple. C est le cas pour l alcool ou les cgarettes. Une autre possblté est d mposer des quotas de producton. Cela sgnfe que la quantté de bens qu peut être achetée est lmtée à une certane quantté Schaffhausen. q. C est le cas des vstes aux cascades de VOIR FIGURE.3 Réducton de prx du ben après avor acheté la premère unté Cas : réducton unquement pour la ème unté (par ex., le prx dmnue de 50% Cas : réducton pour toutes untés achetées après la ère (par ex., le prx dmnue de 50% Cas 3 : réducton de prx qu augmente avec les untés achetées (par ex., le prx dmnue de 50% pour la ème unté, de 60% pour la 3 ème unté, etc VOIR FIGURE.4 5

6 . Les préférences Les préférences se rapporte à des combnasons de bens qu font parte de l ensemble budgétare (paners de bens qu peuvent être achetées par le consommateur qu a un revenu Y. On utlse les préférences pour arrver à dre s on préfère un paner par rapport à un autre paner. Le problème du consommateur se résume à chosr un paner de bens qu lu procure un maxmum d utlté en le consommant tel que ce paner fat parte de l ensemble budgétare. Notons l utlté, ou plus précsément la foncton d utlté est construte à partr de ses préférences. Supposons que nous avons une économe qu produt I bens et que le consommateur peut chosr entre les paners de bens suvant: (,,..., I = et X = x x X x x x,,..., I où x désgne la quantté de bens qu peut être consommée dans le paner X ( X. Pour smplfer, nous supposons I = où le ben est le ben qu nous ntéresse alors que le ben est le reste des bens produts. La queston prncpale qu concerne le consommateur est comment comparer les paners de bens de façon à fare un chox optmal.. Les hypothèses De façon à pouvor construre une foncton d utlté qu sot cohérente avec les préférences du consommateur, nous devons caractérser les préférences par une sére d hypothèses. Les préférences peuvent être représentées par une foncton d'utlté seulement s les préférences sont RATIONELLES. Les préférences sont ratonnelles s sont complètes: étant donné paners X et X, le consommateur est toujours capable de fare un chox par rapport aux préférences qu l a des paners. Sot l préfère X à X, sot l préfère X à X, sot l est ndfférent entre X et X. sont transtves: magnons qu l y at un 3 ème paner X à dsposton. S le consommateur préfère X à X et X à X, alors l dot préférer X à X. sont monotones: le consommateur préfère consommer plus de bens que mons. On suppose qu l n arrve à satété. Donc, s tous les éléments (quanttés des paners X et X sont égaux, mas que x > x quel que sot le ben, alors le consommateur dot préférer X à X. 6

7 . Les courbes d ndfférence (CI Défnton: la CI correspond à l ensemble de combnasons de quanttés de bens et de bens qu procurent le même nveau d utlté au consommateur. VOIR FIGURES.5a et.5b Proprétés des CI: Plus on s élogne de l orgne des axes, x, plus le nveau d utlté augmente (hypothèses de monotoncté et de transtvté. Chaque paner de bens X, x = se trouve sur une et une seule CI, ce qu sgnfe que les CI ne se crosent pas (cette proprété à l hypothèse selon laquelle les préférences sont complètes. 3 Les CI sont fnes (hypothèse de monotoncté, c est-à-dre de non-satété. 4 Les CI ont une pente négatve et sont convexes (Les CI sont convexes car un paner de bens se trouvant sur la drote relant paners appartenant à la même CI appartent à une CI assocée à un nveau d utlté plus élevé. Intuton: un mélange de paners de bens est préféré à chacun des paners VOIR FIGURES.6a,.6b et.6c.3 La foncton d utlté.3. Introducton La foncton d utlté est une façon de décrre les préférences du consommateur. Chaque paner de bens (,,..., I X x x x = est assocé à un certan nveau d utlté. Cela sgnfe que lorsque le consommateur dot chosr entre paners de bens X, x,..., xi seulement s = et X x x =,,..., I, l préférera X à X s et U ( X > U ( X où U ( est le nveau d utlté donnée par la foncton d utlté. Quelques clarfcatons mportantes: Les fonctons d utlté sont un outl économque. Il est dffcle de les utlser dans la vrae ve. Une foncton d utlté n est pas défne de façon unque. S h( est une foncton monotone crossante et que u( est une foncton d utlté qu décrt les préférences du consommateur, alors 7

8 ( (,,..., I h u x x x est une autre foncton d utlté qu décrt les mêmes préférences du consommateur. L utlté est mesure ordnale et non cardnale: au cas ou d'une transformaton monotone de la foncton d'utlté l'ordre entre paners ne change pas, même s la dstance entre paners en terme d'utlté a changé. La dstance entre paners est une caractérstque cardnale des fonctons d'utlté: elle ne résste pas au transformatons monotone..3. Le concept d utlté margnale Défnton: l utlté margnale mesure de comben l utlté augmente s le consommateur augmente la quantté consommée de ben à la marge (de façon nfntésmale en gardant la quantté consommée des autres bens nchangée à x, x x,..., x x, x x,..., x x = = = = =. On peut obtenr l utlté margnale + + I I par rapport à un ben, dsons le ben, en prenant la dérvé partelle de la foncton d utlté par rapport à x u,..., xi ux = x, x = x,..., x,,..., = x x + = x+ xi = xi = ( =, =,..., =, =,..., = x x x x x x x+ x+ xi xi Proprétés des functons d utlté: Le nveau d utlté donnée par la foncton d utlté arguments (utlté margnale postve.. Formellement, cela sgnfe que u,..., x augmente en chacun de ses I ( u x = x, x = x,..., x = x, x = x,..., x = x > 0, =,..., I x + + I I Cette proprété est due à l hypothèse de monotoncté des préférences (plus le consommateur a, plus l se sent ben. L utlté margnale dmnue en chacun de ses arguments (utlté margnale décrossante. Formellement, cela sgnfe que u,..., x I x x x x x x x x+ x+ xi xi ( =, =,..., =, =,..., = 0, =,..., I Cette proprété est due au fat que les CI sont convexes (mas pas forcément strctement. VOIR FIGURES.7a et.7b 8

9 .3.3 Len entre la foncton d utlté et la courbe d ndfférence Supposons que I =. Nous pouvons consdérer la collne du bonheur («hll of happness». Une CI est détermnée en prenant des coupes parallèles de la collne du bonheur à un nveau d utlté fxé. VOIR FIGURES.8 Formellement, une CI assocée à un nveau d utlté fxé à U = U est donnée par U = u, x Rappelons que la CI correspond à l ensemble de combnasons de quanttés de bens et de bens qu procurent le même nveau d utlté au consommateur (c U = U. Comment trouver la pente de la CI? Nous allons utlser le concept mathématque de la dfférentaton totale. De plus, nous savons que l ensemble de combnasons de quanttés de bens et de bens qu se trouvent sur une même CI correspond à un même nveau d utlté. Donc sur une CI, le nveau d utlté ne change pas, ce qu mplque que sur une CI du = du = 0 U = u, x Calculons la dfférentaton totale de la foncton d utlté donnée par u u du = dx + dx = 0 x = x, x = x S l on réarrange la dernère équaton, on peut obtenr la pente de la CI aux ponts dx dx x = x, x = x u, x = u, x x = x, x = x Donc la pente de la CI aux ponts x = x, x = x est égale au rato des utltés margnales (en valeur absolue. De plus la pente de la CI est négatve car l utlté margnale est postve. 9

10 .3 Le taux margnal de substtuton (TMS.3. Défnton Défnton: le TMS ndque de comben de unté du ben l faut renoncer pour augmenter de une unté la consommaton du ben tel que son nveau d utlté reste constant (c est-à-dre que l on reste sur la même CI. x TMS = x VOIR FIGURES.9a et.9b.3. Len entre le taux margnal de substtuton et la foncton d utlté Nous savons que lorsque nous calculons le TMS, le nveau d utlté reste nchangé, ce qu sgnfe que savons que lorsque nous calculons le TMS, nous nous déplaçons le long d une CI avec un nveau d utlté donnée. S nous observons la défnton formelle du TMS et de la pente de la CI, nous remarquons que le TMS nous donne la pente de la CI lorsque la consommaton de bens et est fxée ntalement à x = x, x = x. En effet u, x dx TMS = = dx ( u x, x x = x, x = x x = x, x = x Donc le TMS aux ponts x = x, x = x est égale au rato des utltés margnales (en valeur absolue. Cependant alors que l utlté margnale dépend du chox de la foncton d utlté, ce n est pas le cas pour le TMS pusque le TMS est égale au rato des utltés margnales. 0

11 .3.3 Len entre la forme de la courbe d ndfférence (type de préférences et le taux margnal de substtuton VOIR FIGURE.0 Préférences lnéares: les bens sont des substtuts parfats Formellement, les préférences du consommateur sont représentées par la foncton d utlté suvante u, x = a x + b x La pente de la CI est donnée par dx TMS = dx a = b On remarque que la pente de la CI reste la même quelle que sot la valeur prse par x, ce qu sgnfe que les CI sont des lgnes drotes. Dans ce cas, le consommateur peut consommer une quantté supplémentare de ben lorsqu l dmnue sa quantté consommée de ben de b a untés tel que le nveau d utlté reste nchangé. Donc, le consommateur substtue le ben au ben à un taux fxe égal à a. b VOIR FIGURES.a Préférences Leontef: les bens sont des compléments parfats Formellement, les préférences du consommateur sont représentées par la foncton d utlté suvante ( u, x = mn a x, b x Les CI sont données par des courbes à angle drot. Il faut noter que la CI n est pas dfférentable lorsque le consommateur chost le paner ( a x, b x a x = (nous verrons plus tard que ce paner de bens est le chox optmal. Donc lorsque le consommateur chost le paner ( a x, b x a x pas défne. Lorsque le consommateur chost les paners ( a x, b x a x Au contrare, lorsque le consommateur chost les paners ( a x, b x a x =, la pente de la CI n est <, la pente de la CI est nulle. >, la pente de la CI est nfne.

12 Exemples de compléments parfats : sucre et café, sk et chaussures de sk, chaussure drote et gauche. Dans le cas de l exemple de la chaussure drote et gauche, la valeur des paramètres a et b sont donnés a b par = =. En effet, lorsque le consommateur chost le nombre de chaussures drotes et gauches optmal, nous avons =. x x VOIR FIGURES.b Préférences Cobb-Douglas: les bens sont n des substtuts parfats, n des compléments parfats. Donc on dt que les bens sont substtuts mparfats. Formellement, les préférences du consommateur sont représentées par la foncton d utlté suvante u, x = x x α β Les CI sont données par des courbes convexes. La pente de la CI est donnée par dx α x x α x TMS = = = dx x x x α β α β β x = x, x = x β On remarque que contrarement aux préférences lnéares, le consommateur substtue le ben au ben à un taux qu vare en foncton de la quantté ntale consommée de bens et. En effet, plus la quantté de ben ( ntalement consommée x est élevée, plus la pente de la CI est fable (élevée. Cec est dû à la proprété de convexté des CI. VOIR FIGURES.c Example: nourrture et habts Un pont clé à mettre en évdence est que dfférents nveaux de consommaton de nourrture et d habts change la forme de la CI, c est-à-dre la relaton entre les bens. Pour des nveaux fables de consommaton des bens, ls sont complémentares alors que ls sont consdérés comme de plus en plus substtuables lorsque les quanttés consommées augmentent. VOIR FIGURES.

13 3. Le chox optmal du consommateur Le problème du chox optmal du consommateur est de maxmser la foncton d utlté sous la contrante budgétare (CB. Rappelons que la foncton d utlté est une façon de décrre les préférences. La CB se rapporte au fat que la quantté de monnae (argent que le consommateur peut dépenser est lmtée alors que la quantté de bens qu l désre consommer est llmtée. C est un problème type d allocaton optmale de ressources lmtées. Toutes les combnasons de bens telles que leur valeur fat parte de l ensemble budgétare représente les paners permssbles. «Maxmser la foncton d utlté sous la contrante budgétare» sgnfe que le consommateur dot chercher le paner optmal tel que le nveau d utlté est maxmal la contrante budgétare est «bndng», c est-à-dre que la CB tent avec égalté supposons que le consommateur dove chosr la quantté x de ben et la quantté x de ben. Résoudre ce problème de maxmsaton sous contrante revent à trouver types de solutons soluton ntéreure: les bens sont consommés à l optmum soluton de con: seul un des bens est consommé à l optmum Formellement, le consommateur dot résoudre le programme suvant max u, x x, x 0 s. c. p x + p x Y Ce programme de maxmsaton sous contrante peut être résolu de 3 façons dfférentes mathématquement graphquement ntutvement 3. La méthode : résoluton d un programme d optmsaton 3.. La méthode A: résoudre un problème un programme de maxmsaton sous contrante à l ade de la foncton de Lagrange La foncton de Lagrange s écrt comme Le problème de maxmsaton se rédut à x, x 0 ( L, x, λ = u, x + λ Y x p x p ( max L, x, λ = u, x + λ Y x p x p 3

14 où λ est le multplcateur de Lagrange qu la valeur margnale de la monnae Y à l optmum. Les varables de chox du consommateur (endogènes sont x, x et λ. Les condtons de premer ordre (pour les trouver : prendre la dérvé premère de la foncton de Lagrange par rapport aux varables de chox x, x et λ, et les égalser à zéro sont L = 0 ux, x λ p = L = 0 ux, x = λ p L = 0 x p + x p = Y λ En combnant les premères lgnes, nous trouvons la condton d optmalté suvante ux, x p = ux, x p { 443 = TMS = TMT La condton d optmalté du consommateur égalse le TMS au TMT (du consommateur. En d autres termes, la soluton optmale est obtenue lorsque le rato des utltés margnale au égal au rato des prx. S nous solons x (ou L x de la 3 ème condton de premer ordre ( = 0 λ qu correspond à la CB et que nous remplaçons cette varable dans la condton d optmalté, nous pouvons trouver en réarrangeant la valeur optmale pour x (ou x. S l on remplace la valeur optmale de x (ou x dans la CB, nous pouvons obtenr la valeur optmale pour x (ou x. La dernère étape est de calculer la valeur optmale de λ, qu nous donne l utlté margnale de la monnae Y à l optmum. Pour attendre ce résultat, l sufft de remplace les valeurs optmales x et x dans u, x λ p = ou x u, x = λ p et de réarranger pour soler λ. x 3.. La méthode B: résoudre un problème un programme de maxmsaton sous contrante sans l ade de la foncton de Lagrange Un moyen plus rapde de résoudre le programme de maxmsaton sous contrante est d utlser la CB en solant une varable qu sera alors foncton de l autre varable, des prx et du nveau de revenu. Ensute, on remplace la varable en queston dans la foncton d utlté ce qu donne 4

15 Y px Y p x = u( x, x p p p 443 = x Enfn, nous calculons la dérvée premère par rapport la varable de chox restante (c x et égalsons cellec à zéro. A partr de cette condton, nous pouvons trouver la condton d optmalté. En effet Y u( p p p x, x u( x, x = 0 ( p u( x, x + p u = 0 u x x, x, x = p p Pour trouver les valeurs optmales de x et x, nous procédons de la manère que pour la méthode A. 3. La méthode : trouver les solutons ntéreures ou de con à l ade d un graphque VOIR FIGURE.3 Etant donné la drote budgétare fxée par les prx des bens et le revenu, le consommateur dot chosr le paner de bens qu se trouve sur la CI la plus élognée de l orgne des axes. Ce paner de paner optmal correspond au pont de tangence entre la CI et la drote de budget. En d autres termes, ce pont de tangence correspond au paner qu maxmse la foncton d utlté (la CI la plus élognée de l orgne tout en respectant la CB. A ce pont de tangence, nous remarquons sur le graphque que la pente de la drote budgétare (TMT est égal à la pente de la CI (TMS. Nous avons donc la même condton d optmalté obtenue par la méthode où TMT d optmalté, nous trouvons = TMS au pont de tangence. En manpulant cette condton ux, x ux, x = p p Cette condton nous dt qu à l optmum, l utlté margnale d un ben ajustée par son propre prx est égale l utlté margnale de l autre ben ajustée également par son propre prx. En d autres termes, le rato «bénéfce margnal/coût margnal» dot être égal pour les bens à l optmum. VOIR FIGURE.4 Il faut noter que en cas de solutons ntéreures, nous avons TMT = TMS, c est-à-dre que le paner de paner optmal correspond au pont de tangence entre la CI et la drote de budget. Cependant, lorsque les CI 5

16 sont partculères plates (ou plates dans le cas de préférences lnéares, l peut arrver que le paner optmal ne corresponde pas à un pont de tangence. Dans ce cas, TMT TMS et nous parlons alors de solutons de cons car la quantté optmale consommée d un des bens est nulle. En effet, en cas de soluton de cons, le rato «bénéfce margnal/coût margnal» d un ben est supéreur à l autre ben même lorsque la quantté consommée de ce derner est nulle. Le consommateur n a donc aucun ntérêt à consommer une quantté postve de ce ben. VOIR FIGURES.5a et.5b 3.3 La méthode 3: analyse ntutve à l ade de la condton d optmalté du consommateur Le TMT en valeur absolue correspond au rato des prx. Il nous donne donc le taux auquel les bens sont échangés sur le marché. Le TMS en valeur absolue correspond au rato des utltés margnales assocés aux bens. A l optmum du consommateur, une soluton ntéreure est trouvée lorsque le TMT est égal au TMS. En manpulant cette condton d optmalté, nous trouvons une condton telle que l utlté margnale d un ben ajustée par son propre prx est égale l utlté margnale de l autre ben ajustée également par son propre prx. Par contre, s le consommateur préfère vendre du ben pour du ben aux prx donnés quelles que soent les quanttés consommées de ben, cela sgnfe que ux, x ux, x < p p TMT > TMS et donc le consommateur va substtuer le ben au ben jusqu au pont tel que TMS=TMT. 6