Fiche 8 : Fonctions II. Limites

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1 Uiversité Paris-Est Val-de-Mare Créteil DAEU-B Fiche 8 : Foctios II. Limites Das la fiche 7 "Foctios I", o a vu la défiitio d ue foctio et différetes otios afféretes. E particulier, o a travaillé sur le domaie de défiitio d ue foctio ; la représetatio graphique d ue foctio. Das cette fiche o va approfodir ces otios e se doat des moes calculatoires permettat de compredre: ce qui se passe das certais cas quad o se rapproche d ue bore du domaie de défiitio d ue foctio ; commet ajouter des droites remarquables à ue courbe (représetat ue foctio) permettat de doer des iformatios très itéressates sur la courbe et sur la foctio.. Limites à l ifii.. : Ue première approche graphique. Eercice : lecture graphique Chacue des foctios représetées ci-dessous est défiie sur R. Dessi Dessi Dessi Dessi Dessi Dessi Preos le dessi. O remarque que pred des valeurs de plus e plus grades quad deviet grad (voir les covetios graphiques). O dit alors que ou f () ted vers + quad ted vers +. - Que peut-o dire sur f () quad ted? - Dites vers quoi semble tedre quad ted vers, puis vers + pour les dessis,, et. - Pesez-vous que l o puisse coclure de la même faço sur le dessi 6?

2 . : Limite ifiie à l ifii a) Étude d u eemple : la foctio carrée. La foctio carrée est défiie sur R par f () =. O s itéresse au comportemet de cette foctio pour les grades valeurs de. Observos sa courbe représetative aisi que les deu tableau de valeurs doés ci-dessous : ² ² O costate que plus est grad et plus l est aussi... Plus précisémet o peut redre aussi grad que l o désire dès que est suffisammet grad. O dit alors que f () ted vers + quad ted vers +. À l aide du deuième tableau ou e utilisat la parité de la foctio carrée, o peut dire de la même faço que f () ted vers + quad ted vers. b) Limite ifiie quad ted vers +. Soit f ue foctio défiie sur u esemble E coteat au mois u itervalle de la forme ]A;+ [. Défiitio Dire que "la foctio f a pour limite + e + " sigifie ituitivemet que le réel f () deviet aussi grad que l'o veut dès que est suffisammet grad O ote : lim f( ) Défiitio Dire que "la foctio f a pour limite e + " sigifie ituitivemet que le réel f () est égatif et deviet aussi grad que l'o veut e valeur absolue dès que est suffisammet grad O ote : lim f( ) c) Limite ifiie quad ted vers. Soit f ue foctio défiie sur u esemble E coteat au mois u itervalle de la forme ]-,A[. O obtiet des défiitios du même tpe quad ted vers. Défiitio Dire que "la foctio f a pour limite + e " sigifie ituitivemet que le réel f () deviet aussi grad que l'o veut dès que est égatif et suffisammet grad e valeur absolue. O ote : lim f( ) Défiitio Dire que "la foctio f a pour limite e " sigifie ituitivemet que le réel f () deviet égatif et aussi grad e valeur absolue que l'o veut dès que est égatif et suffisammet grad e valeur absolue. O ote : lim f( )

3 d) Limites des foctios usuelles (à coaître): lim lim lim lim (pour tout etier aturel >0).. si est impair si est pair Remarque: certaies foctios ot pas de limite à l ifii (voir dessi 6). ========================================================================= Eercice a) Soit f la foctio défiie sur R par : f () =. Détermier la limite de f e +. b) Soit f la foctio défiie sur R par : f () = ². Détermier la limite de f e. c) Soit f la foctio défiie sur R par : f () =. Détermier la limite de f e +. d) Soit f la foctio défiie sur R par : f () =. Détermier la limite de f e.. : Limite fiie à l ifii. a) Étude d u eemple : la foctio iverse. La foctio iverse est défiie sur R* par g. O regarde le comportemet de la foctio iverse pour les grades valeurs de (e positif et e égatif). Pour la foctio iverse, si est grad alors g est proche de 0... Plus précisémet, o peut redre aussi proche de 0 que l o désire pourvu que soit suffisammet grad. O dit alors que g() ted vers 0 quad ted vers +. O peut reteir : plus le déomiateur d u quotiet est grad, plus le quotiet est proche de 0. b) Limite fiie quad ted vers +. Soit f ue foctio défiie sur u esemble E coteat au mois u itervalle de la forme ]A;+ [. Défiitio Dire que "la foctio f a pour limite l e + " sigifie ituitivemet que le réel f () deviet aussi proche que l'o veut de l dès que est suffisammet grad. O ote : lim f ( ) l , 0, 0,0 0,0 0, , -0, -0,0-0,0-0,00

4 c) Limite fiie quad ted vers. Soit f ue foctio défiie sur u esemble E coteat au mois u itervalle de la forme ]-,A[. Défiitio 6 Dire que "la foctio f a pour limite l e " sigifie ituitivemet que le réel f () deviet aussi proche que l'o veut de l dès que est égatif et suffisammet grad e valeur absolue. O ote : lim f ( ) l. d) Iterprétatio graphique : asmptote horizotale. Si "e + " ou bie "e ", f admet ue limite fiie l, alors la courbe deviet «très proche» de la droite d équatio = l Défiitio 7: Si lim f ( ) l ou lim f ( ) l, la courbe représetative de la foctio admet la droite d équatio =l comme asmptote horizotale. Remarque : très souvet, l asmptote est tracée e poitillés, comme cela a été fait sur les deu précédets graphiques. e) Limites des foctios usuelles (à coaître): lim 0 et lim 0 lim 0 et lim 0 (pour tout etier aturel o ul). Eercice a) Soit f la foctio défiie sur R* par : f b) Soit f la foctio défiie sur R* par : f c) Soit f la foctio défiie sur R* par : f. Détermier la limite de f e +. Détermier la limite de f e. Détermier la limite de f e.. Limites e u poit.. : Ue première approche graphique. Chacue des foctios représetées ci-dessous est défiie sur u esemble E. a est u réel qui est soit u réel de E, soit ue bore ouverte de E.

5 Eercice : lecture graphique Pour chacue des foctios représetées ci-dessous, dites vers quoi semble tedre f () quad ted vers la valeur a doée (c est-à-dire pour des valeurs de proches de a) ; o sera ameé parfois à séparer les cas : < a et > a. Précisez la otatio qui vous viet ituitivemet. Dessi Dessi Dessi a = a = a = 0 Dessi Dessi Dessi a = - et a = a = - a = 0. : Limite ifiie e u poit. a) Étude d u eemple. La foctio h est défiie sur R* par h ². O regarde le comportemet de cette foctio pour les valeurs de proches de 0 (e positif et e égatif). 0, 0, 0,0 0,0 0, ² , -0, -0,0-0,0-0, ² O costate que plus est proche de 0, plus ² pred de grades valeurs. Plus précisémet, o peut redre aussi grad que l o désire pourvu que soit suffisammet ² proche de 0. O dit alors que h() ted vers + quad ted vers 0. O peut reteir : plus le déomiateur d u quotiet est proche de 0, plus le quotiet pred des valeurs grades e valeur absolue. b) Limite ifiie quad ted vers a. Soit f ue foctio défiie sur u esemble E. a est soit u réel de E, soit ue bore ouverte de E.

6 Défiitio 8 Dire que "la foctio f a pour limite + e a" sigifie ituitivemet que le réel f () deviet aussi grad que l'o veut dès que est suffisammet proche de a. a O ote : lim f( ). a O défiit de même Défiitio 9 Dire que "la foctio f a pour limite e a" sigifie ituitivemet que le réel f () deviet égatif et aussi grad que l'o veut e valeur absolue dès que est suffisammet proche de a. O ote : lim f( ). a c) Limite à gauche; limite à droite. O est parfois ameé à séparer les cas : < a et > a (voir la foctio iverse au voisiage de 0). La foctio peut avoir e effet u comportemet différet suivat que < a ou > a. O ote alors : lim f ( ) lim f ( ) (o parle alors de limite à gauche de a) a a a et lim f ( ) lim f ( ) (o parle alors de limite à droite de a) a a a d) Iterprétatio graphique : asmptote verticale. Si "e a " ou "e a+", f admet ue limite ifiie, alors la courbe deviet «très proche» de la droite d équatio = a. Défiitio 0: Si lim f( ) ou lim f( ), la courbe représetative de la foctio admet la droite d équatio a a = a comme asmptote verticale. e) Limites des foctios usuelles (à coaître): est pair: est impair: lim et...lim lim 0 lim...et...lim

7 Eercice a) Soit f la foctio défiie sur R* par : f b) Soit f la foctio défiie sur R* par : f droite de f e 0.. Détermier la limite de f e 0. Détermier la limite à gauche et la limite à Eercice 6 Das chacu des cas, o doe le tableau de variatio d ue foctio f. Tracer, à mai levée, ue courbe susceptible de représeter la foctio f das le repère h est impaire k est paire

8 . : Limite fiie e u poit. Défiitio Dire que "la foctio f a pour limite l e a" sigifie ituitivemet que le réel f () deviet aussi proche de l que l'o veut dès que est suffisammet proche de a. O ote : lim f ( ) l. a Remarques : O est aussi ameé parfois à séparer les cas : < a et > a. Si ue foctio f admet e u poit a ue limite à gauche et ue limite à droite qui sot égales, alors f admet ue limite e a et das ce cas lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) a a a a a ======================================================================== Eercice 7 =============================================================================================. Limites et opératios Das ce paragraphe, u et v sot deu foctios défiies sur u même esemble E. l et l sot deu réels. α représete soit u réel, soit +, soit -.. : Limite de la somme de deu foctios La derière coloe est ue forme idétermiée, ce qui sigifie qu il faut effectuer des calculs ou trasformatios d écriture avat de pouvoir coclure. Cela e sigifie surtout pas que la foctio a pas de limite.. : Limite du produit de deu foctios O remarque qu il a aussi ue forme idétermiée. 8

9 . : Limite du quotiet de deu foctios O remarque das ce tableau deu ouvelles formes idétermiées. : Les formes idétermiées Il eiste doc, etre autres, formes idétermiées, c'est à dire des formes où le résultat 'apparaît pas directemet. Il coviet das ces cas-là de procéder à des trasformatios d'écriture permettat de lever l'idétermiatio ou permettat d'utiliser u résultat cou. Nous allos étudier des eemples où o sait lever l idétermiatio.. : Limites à l ifii de foctios polômes. Les foctios polômes sot les foctios de la forme : P( ) a a... a a0 avec a o ul. alors, o dit que : est le degré du polôme P, a est le moôme de plus haut degré. Par eemple, le polôme P() = + est de degré et so moôme de plus haut degré est. Si o s itéresse à la limite de P e +, o se trouve très souvet face à ue forme idétermiée [du tpe " "]. Repreos l eemple précédet : P() = + = + ( ) : or : et lim ( ) lim ( ) O est doc e présece d ue forme idétermiée. Factorisos le terme de plus haut degré : P() = + = ² lim 0 et lim 0, doc, par somme, lim. ² O e déduit, par produit : lim lim ² O peut gééraliser cette méthode et reteir que pour lever l idétermiatio e - et e + das le cas d ue foctio polôme, o peut factoriser le moôme de plus haut degré. Théorème La limite d ue foctio polôme e + (respectivemet e -) est égale à la limite e + (respectivemet e -) du moôme de plus haut degré. lim a a... a a lim a 0 ( ) ( ) 9

10 .: Limites à l ifii de foctios ratioelles. Ue foctio ratioelle (appelée aussi fractio ratioelle) Q est u quotiet de deu polômes : a... a a0 Q( ) avec a m et b m o uls. b... b b m 0 Preos l eemple : Q( ) or : lim ( ) et lim ( ) O est doc e présece d ue forme idétermiée [du tpe " / "].. Factorisos au umérateur et au déomiateur les moômes de plus haut degré : Q( ) lim 0 et O e déduit, par produit : lim 0, doc, par somme et par quotiet, lim Q lim lim. O peut gééraliser cette méthode et reteir que pour détermier la limite e - et e + d ue foctio ratioelle, o factorise au umérateur et au déomiateur le moôme de plus haut degré. Théorème La limite d ue foctio ratioelle e + (respectivemet e -) est égale à la limite e + (respectivemet e -) du quotiet des termes de plus haut degré du umérateur et du déomiateur. a... a a a b... b b b 0 lim lim m ( ) m 0 ( ) m m Eercice 8 Eercice 9 Calculer les limites des foctios suivates e + et e e précisat les évetuelles asmptotes : a) f ( ) ² ² d) h ( ) 7 ² b) h( ) ² ² e) j ( ) c) f( ) 7 ² Soiet les foctios f et g défiies par Eercice 0. Préciser l esemble de défiitio de f et de g.. Calculer les limites de f et g e + et e.. Calculer les limites de f et g e. La foctio f est défiie sur R\{} par: 0 f( )

11 a) Détermier les limites de f e - et e +. b) Préciser le sige de f () e foctio de. c) Détermier les limites suivates: lim f( ) et lim f( ). d) Motrer que la courbe représetative de f admet deu asmptotes. Eercice La foctio f est défiie sur R\{} par: f( ). a) Détermier les limites de f e - et e +. lim lim. Préciser le sige de ( ) e foctio de. b) Détermier et c) E déduire les limites suivates: lim f( ) et lim f( ). d) Motrer que la courbe représetative de f admet deu asmptotes. Eercice Détermier les limites à gauche et à droite de a de chacue des foctios suivates 7 ² 7 a) g ( ) a = b) k ( ) a = ² ² Eercice * ² O cosidère la foctio f défiie sur ],+ [ par f( ).. Détermier trois ombres réels a, b et c tels que, pour tout ombre ],+ [, o ait c f ( ) a b..a. Étudier la limite de f e +. b. Étudier la limite e + de f() (a + b). c. E déduire que la courbe représetative C de f admet ue asmptote oblique dot o doera ue équatio au voisiage de + ; c est à dire que la courbe C se rapproche au voisiage de + d ue droite qui est i horizotale i verticale. Étudier la positio de C par rapport à sur l itervalle ],+ [, c est-à-dire : préciser lorsque C est au-dessus de et le cotraire. (O étudiera le sige de f () (a + b)).. Motrer que la courbe C admet ue autre asmptote dot o doera ue équatio.. Limites et comparaiso α est soit u réel, soit -, soit +. Théorèmes de comparaiso Si, au voisiage de α, f () g() et lim g ( ) alors lim f( ) Si, au voisiage de α, f () g() et lim g ( ) alors lim f( ) Théorème dit théorème des gedarmes Si, au voisiage de α, g() f () h() et si lim g( ) lim h( ) l alors lim f ( ) l.

12 Eercice La foctio f est défiie sur I = [0 ;+ [ par: f () = ². ) Motrer que, pour tout réel de I, o a: f (). ) E déduire la limite de f e +. Eercice 6. Cotiuité O se doe la foctio f défiie sur l itervalle [, 8] dot la représetatio graphique est doée ci-dessous.. Détermier les images de,, 0, et 6 par f.. Détermier l epressio de f () pour [, 8].. Par lecture graphique, détermier *. Que peut-o dire de : ========================================================================= 6.. Cotiuité e u poit Das tout ce paragraphe, o travaille sur u itervalle quelcoque qui cotiet au mois deu élémets disticts, cet itervalle sera oté I. Défiitio Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I et a u réel apparteat à I. f est cotiue e a si et seulemet si lim f ( ) f ( a) a f est cotiue e f est pas cotiue e.

13 O retiedra : Si le réel a est pas ue bore ouverte de l itervalle I, f est cotiue e a si et seulemet si lim f ( ) lim f ( ) f(a) a a a a Si I est u itervalle fermé du tpe [a,b], - dire que f est cotiue e a reviet à dire que f est cotiue à droite de a : lim f ( ) f(a) - dire que f est cotiue e b reviet à dire que f est cotiue à gauche de b : lim f ( ) f( b ) 6.. Cotiuité sur u itervalle. Défiitio f est cotiue sur I si et seulemet si f est cotiue e tout réel de I. Remarques : Das u tableau de variatio, ue flèche sous-eted la cotiuité de la foctio. E cas de discotiuité e u poit, la flèche sera iterrompue, même si le ses de variatio de la foctio e chage pas. Approche ituitive La courbe représetative d ue foctio f cotiue sur I peut être tracée sas lever le crao, d u trait cotiu sur I. Eemples a a b b La foctio est discotiue e = 0. (o observe graphiquemet u saut e = 0). La foctio partie etière est défiie sur R par : f () = E() où E() est l etier immédiatemmet iférieur ou égal à. Cette foctio est discotiue e toute valeur etière. (o observe graphiquemet u saut pour chaque valeur etière de.) O retiedra : Les foctios usuelles sot cotiues sur tout itervalle iclus das leur domaie de défiitio :

14 La foctio idetité est La foctio carrée est La foctio iverse est La foctio racie carrée cotiue sur R. est cotiue sur R. est cotiue sur ]-,0[ et est cotiue sur [0 ;+ [. sur ]0 ;+ [. Remarques. Le fait que les foctios usuelles soiet cotiues sur tout itervalle iclus das leur esemble de défiitio permet de justifier les calculs du tpe : 8 lim( ² ) f() ou bie lim f(7) Par cotre cela e dit rie pour des limites au bores du domaie de défiitio. ============================================================= Eercice 6 a. Das le graphique ci-cotre tracer la courbe représetative de la foctio f sur l itervalle [0,]. b. La cotiuité par le graphique. E observat la représetatio graphique de la foctio f, selo vous, f est-elle cotiue? c. La cotiuité par le calcul. Calculer lim f( ). La foctio f est-elle cotiue sur [0, ]? Eercice 7 f ( ) a si 0 Soit f la foctio défiie sur R par f ( ) si 0 Détermier la valeur de a afi que f soit cotiue sur R. (a R) Eercice 8 f ( ) si Soit f la foctio défiie sur R par f ( ) si Démotrer que f est cotiue sur R. =========================================================================

15 7. Le théorème des valeurs itermédiaires O travaille das ce paragraphe das u itervalle fermé et boré : I = [a, b] où a, b R et a < b. O se doe ue foctio f défiie et cotiue sur [a, b]. Défiitio. O dit que k R est ue valeur comprise etre f (a) et f (b) lorsque f (a) k f (b) (si f (a) f (b)) ou bie f (a) k f (b) (si f (a) > f (b)). Le Théorème des Valeurs Itermédiaires (abrégé par TVI et éocé ci-dessous) eprime u fait presque évidet : o fie ue valeur k comprise etre f (a) et f (b) Le but du TVI est de prouver l eistece d ue solutio à l équatio f () = k où l icoue est et parcourt l itervalle [a, b]. Théorème des valeurs itermédiaires Soit f ue foctio cotiue sur l itervalle [a ;b ] Pour tout réel k compris etre f (a) et f (b), il eiste au mois u réel c compris etre a et b tel que f (c) = k. Remarques. Ce théorème peut se reformuler de la maière suivate : Toutes les valeurs comprises etre f (a) et f (b) sot atteites au mois ue fois par f. Le TVI e doe aucue iformatio sur le ombre de solutios outre le fait que l o sait qu il e eiste au mois ue. Par cotre, si o sait que la foctio f est strictemet mootoe (strictemet croissate ou bie strictemet décroissate) alors, il est clair que l équatio f () = k possède au plus ue solutio. Aisi si 0 est ue solutio, alors 0 est uique. O a alors le théorème suivat : Théorème des valeurs itermédiaires appliqué au foctios strictemet mootoes. Si f est ue foctio cotiue et strictemet mootoe sur l itervalle [a,b], alors pour k tout réel k compris etre f (a) et f (b), l équatio f ()=k admet ue uique solutio c apparteat à l itervalle [a,b]

16 Etesio du théorème. Ce théorème peut être étedu à tout itervalle ouvert (boré ou o boré) de R. Ue variate très utilisée du TVI: Si f est cotiue sur l itervalle [a,b] et si f (a) et f (b) sot de siges cotraires [doc la valeur 0 est comprise etre f (a) et f (b)], alors il eiste au mois u réel 0 [a, b] tel que f ( 0) = 0. Localisatio des solutios Le TVI permet se situer la solutio sur l itervalle [a,b]. Cette localisatio de la solutio peut maquer de précisio. Gééralemet, si o désire ue valeur approchée de cette solutio, o va chercher à dimiuer l amplitude de l itervalle. O procède par eemple par balaage décimal successif (méthode pratique sur ue calculatrice) ou par dichotomie. La dichotomie cosiste à localiser 0 sur l u des deu itervalles : [a,c] ou [c,b] où c est le milieu de l itervalle [a,b] e réitérat l utilisatio du TVI. O peut reouveler cette méthode plusieurs fois pour obteir ue valeur approchée de plus e plus précise de la solutio. ========================================================================= Eercice 8 Soit f la foctio défiie sur R par : f () = +.. Justifier que f est cotiue sur R.. Calculer f (0) et f ().. E utilisat le TVI motrer qu il eiste 0 [0, ] tel que f ( 0) = 0. Eercice 9 La foctio h est défiie sur [0,+ [. So tableau de variatio est doé ci-cotre. Démotrer que l équatio h()=0 admet eactemet deu solutios sur [0,+ [. 6

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