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- Gérard Picard
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1 CONCOURS DE RECRUTEMENT AU PROFESSORAT DE L'ENSEIGNEMENT DU SECOND DEGRE AGRICOLE CAPESA SESSION 2011 Cocours : Sectio : EXTERNE MATHEMATIQUES PREMIERE EPREUVE ECRITE D'ADMISSIBILITE Culture discipliaire (Coefficiet 2 : - Durée : 5 heures) La qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets iterviedrot pour ue part importate das l'appréciatio des copies. L'usage des calculatrices de poche est autorisé, à coditio qu 'elles soiet à foctioemet autoome et qu 'il e soit pas fait usage d'imprimate. Le sujet comporte ciq pages. 1/5
2 Objectifs O s'itéresse das ce problème à quelques propriétés des matrices stochastiques et certaies de leurs applicatios e probabilité. Les trois parties peuvet être traitées de maière idépedate. Notatios et prérequis Etat doé u etier aturel supérieur ou égal à 1, o désige par M {R) l'esemble des matrices carrées à coefficiets réels à liges et coloes et par M ) i(r) l'esemble des vecteurs coloes à liges. Das l'uivers probabilisé (fi,p(q),p), si A G V(i2) tel que P(A) ^ 0, o ote P& la probabilité coditioée par l'évéemet A et pour tout B G 'P(fi). P,\{B) la probabilité que B se réalise sachat que A est réalisé. Ue matrice est dite positive si tous ses coefficiets sot des ombres réels positifs ou uls ; elle est dite strictemet positive si tous ses coefficiets sot des ombres réels strictemet positifs. Ue matrice coloe V G M i(r) est dite vecteur de probabilité si V est positif et si ^Vj = 1. i=i Ue matrice A = {aij)i<i< t i<j< G M (R) est dite stochastique si elle est positive et si la somme des coefficiets de chacue de ses coloes est égale à 1, c'est à dire : \fj G {1,...,}, i=i m Soit P = a kx k u polyôme de R[X}. k=0 O rappelle que, pour toute matrice A de M (R), P(A) = aoi + a\a a m A m, où I désige la matrice uité de M (R). O rappelle que si P et Q sot deux polyômes de R[X] et si A est ue matrice de M (R), alors : (PQ)(A) = P(A)Q(A). O dit que la suite de matrices de M (R) coverge vers la matrice A de M (R) si et seulemet si les 2 suites réelles défiies par les coefficiets des matrices Acoverget vers les coefficiets respectifs de A. O rappelle que si les suites de matrices (Ak) et (A' k ) coverget vers A et A' alors les suites (Ai ; + A' k ) et (AkA' k ) coverget respectivemet vers A + A! et AA!. = 1- Partie 1 : Matrices stochastiques d'ordre 2. Soiet a et b deux élémets de [0,1]. 1. Das l'uivers probabilisé (fî, V(fi),P), o cosidère la suite de variables de Beroulli (X ) >; où chaque X est de paramètre p avec p = P(X = 1) G [0; 1] telles que : r p(x 0 = i)= P0 i \ V G N, P (X=1) (X +1 = 1) = a et P {X=0) (X +1 = 0) = 1 - b J Pour tout G N, o pose q = 1 p - a. Exprimer, pour tout G N, p +i e foctio de p et q. b. E déduire que, pour tout G N, p +1 = (a b)p + b. 2/5
3 c. Que peut-o dire de la suite (p )en si a b = 0? d. Démotrer que si a b = 1, alors la suite {p )en est costate. e. O s'itéresse maiteat aux cas où a b ^ 1 et o 6^0 (i) Démotrer que, pour tout G N,p = (po p)(a b) +p, où p 1-a + b (ii) Das le cas où a b = 1, étudier la covergece de la suite (p )en selo les valeurs de po- (iii) Das les cas où a bj^ 1, motrer que (p ) N est covergete vers ue limite idépedate de po- ( P 2. O pose, pour tout S N, Y = I \ I a. Détermier la matrice A M2(R) telle que, pour tout N, Y + \ = AY puis motrer que A est stochastique. Justifier que toute matrice stochastique de M2(R) s'écrit sous la forme de A. b. Que peut-o dire de A si a 6=1? c. Démotrer que P c = (X 1 )(X + b a) est le polyôme caractéristique de A. d. Pour tout g N*, exprimer e foctio de a et b, lorsque a b^ 1, le reste de la divisio euclidiee de X par P c. e. A l'aide du théorème de Cayley-Hamilto, e déduire que pour tout 6 N*, A = ( (a l)(a b) b fe(q-fe) -l ^ a b 1 a b 1 (i-a)^" 6 )"" 1 (a-l)-b(a-by V a b 1 a b 1 f. A quelle coditio la suite matricielle (A ) coverge-t-elle? 3. a. Motrer que A est diagoalisable. b. Détermier les sous-espaces vectoriels propres associés aux valeurs propres de A. c. Das quels cas existe-t-il u uique vecteur de probabilité ivariat par A? 4. Applicatio : U commerçat dispose d'u stock de plates à fleur rose ou blache veiée de rose. Chacue des plates fleurit ue fois par a. Pour tout etier aturel : -si l'aée, la plate a doé ue fleur rose, alors l'aée + 1, elle doera ue fleur rose avec 2 ue probabilité de O -si l'aée, la plate a doé ue fleur blache veiée de rose, alors l'aée -h 1, elle doera ue g fleur blache veiée de rose avec ue probabilité de -. Les plates à fleurs blaches veiées de rose état plus esthétiques, sot vedues beaucoup plus cher. U premier cliet achète 90 plates à fleur blache veiée de rose et 10 à fleur rose. U deuxième cliet achète 10 plates à fleur blache veiée de rose et 90 à fleur rose. O appelle u (respectivemet v ) la probabilité que le premier cliet (respectivemet le deuxième cliet) obtiee ue plate à fleurs blaches veiées de rose e preat au hasard ue des plates de so stock l'aée. a. Préciser uq et vq, exprimer pour tout (E N, u et v e foctio de puis calculer U5 et t'j. b. Détermier lim (u ) et lim (v ). Commeter les résultats obteus. >-f-oo >~h oo 3/5
4 c. Quelle proportio de plates à fleur blache veiée de rose u cliet devrait-il acheter afi que la probabilité d'obteir ue plate à fleurs blaches veiées de rose soit égale à cette même proportio à chaque fleurissemet? Partie 2 : Combiaisos avec répétitio, matrices stochastiques à coefficiets ratioels. Soiet et p deux etiers aturels o uls et E u esemble de cardial. O rappelle que ) désige le ombre de combiaisos de p élémets de E. W O appelle combiaiso avec répétitio de p élémets de E toute collectio de p élémets de E, o ordoés, et o écessairemet disticts. Par exemple, si E = {a, b, c, d}, abc, aac, bdd. ccc sot des combiaisos avec répétitio de 3 élémets de E. aca, aac et caa désiget la même combiaiso avec répétitio. O ote T 7 Ù le ombre de combiaiso avec répétitio de p élémets de E. O remarquera que toute combiaiso de p élémets de E est ue combiaiso avec répétitio de p élémets de E et que cotrairemet aux combiaisos, si p >, o 'a pas T = 0 1. Calculer, puis exprimer T sous la forme d'u coefficiet biomial pour p = 1 et 2. ( 71 p 1 P Soit x u élémet doé de E. a. Détermier le ombre de combiaisos avec répétitio de p élémets de E e coteat pas x. b. E déduire que = T p ~ l + 1 ' p c. E déduire que = + Y^, k 2 d. A l'aide d'ue récurrece sur p, démotrer que pour tout etier aturel p, p f + k-2 \ / +p- 1 h V k ) \ p e. A l'aide d'ue récurrece sur, démotrer alors le résultat demadé. 3. Applicatio : o veut rager p boules das tiroirs ; combie y-a-t-il de ragemets possibles si : a. Les boules sot umérotées de 1 à p et o e peut rager qu'au plus ue boule das u tiroir doé. b. Les boules sot umérotées de 1 à p et o peut rager autat de boules qu'o le veut das u tiroir doé. c. Les boules sot idifféretiables et o e peut rager au plus qu'ue boule das u tiroir doé. d. Les boules sot idifféretiables et o peut rager autat de boules qu'o le veut das u tiroir doé. 4. O cherche à déombrer les matrices stochastiques de M (R) dot tous les coefficiets sot ratioels et ot pour déomiateur p. a. Soit F l'esemble des applicatios f de E das {0,.-.,p} telles que ^ f(x) = p. Motrer qu'il existe X E ue bijectio de F das l'esemble des combiaisos avec répétitio de p élémets de E. 4/5
5 b. E déduire que le ombre de suites de etiers aturels dot la somme est égale à p est c. E déduire le ombre de matrices stochastiques de M (R) dot tous les coefficiets sot ratioels et ot pour déomiateur p. Partie 3 : Matrices stochastiques et probabilités. A/ Cas gééral : Soit (Çl, V(Çi), P) u espace probabilisé, soit r u etier aturel supérieur ou égal à 2 et soit E = {ei,..., e r } u sous-esemble de R tel que e\ <... < e r. Pour tout en,z est ue variable aléatoire défiie sur Q telle que : r Z {Çt) = E et Vj {1,..., r}, P(Z 0 = ej) ± 0 \ V(i,j) G {1,...,r} 2,P {Z=ej) {Z + 1 = e») = p ià avec p itj > 0 / P(Z = ei) \ Pour tout G N, o pose II = : G M r j (M) et o appelle matrice de trasitio de l'état V P{Z = e r ) ) à l'état + 1 la matrice A = (Pi,j) 1<i<r l< j< r M r (R) 1. Motrer que A est stochastique. r 2. Justifier que : V N, Vj G {1,..., r}, P(Z +1 = ej) = i= 1 = e^) x P [Z=ei) {Z +l = ej). 3. E déduire que pour tout G N, II +i = AII. 4. E déduire que pour tout ra G N, II = A II 0. B/ Applicatio à u cas particulier : La plupart des pays, afi de pouvoir empruter, sot évalués par des ageces de otatio. O cosidère pour simplifier que ces ageces déceret chaque aée pour chaque pays ue ote etière comprise etre 1 et 3, correspodat au degré de cofiace qu'o peut accorder à ce pays quat à ses capacités de remboursemet d'u prêt qu'o lui accorderait. Si, pour tout G N, o appelle Z la variable aléatoire égale à la ote obteue par u pays doé l'aée, la coaissace de la matrice de trasitio de l'aée à l'aée + 1 permet d'aticiper sur la ote que pourrait obteir ce pays coaissat la probabilité iitiale qu'a celui-ci d'obteir chacue des différetes otes. Supposos que pour u pays doé, o ait, pour tout j fixé das {1,2,3}, P( Z= j)(z + 1 = j) = et si i j, les P(z =j)(z + 1 = i) sot proportioels à rrr J\ Démotrer que la matrice de trasitio de l'aée à l'aée + 1 est : A = /5
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