3. CHROMATOGRAPHIE - ASPECTS GENERAUX

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1 3. CHROATOGRAPHIE - ASPECTS GENERAUX OBJECTIFS comprendre les principes dne séparaion chromaographiqe connaîre les paramères principax qi décriven la séparaion e lefficacié de la séparaion savoir de manière qaniaive commen améliorer la résolion dne séparaion chromaographiqe 3.1 Inrodcion Chromaographie es n erme général, ilisé por définir des méhodes de séparaion basées sr la disribion d n solé enre dex phases, l ne éan mobile (n gaz o n liqide), l are saionnaire (n solide o n liqide). C es en 1906 qe le boanise rsse TSWETT, mi à profi por la première fois les essais enrepris dès 1903 concernan les possibiliés de séparer les consians d n mélange par les phénomènes d adsorpion. Il déposa dans ne colonne remplie de carbonae de calcim finemen plvérisé n mélange de pigmens végéax (chlorophylles e xanhophylles) dissos dans de l éher de pérole. Il consaa qe cex-ci s adsorbaien a somme de la colonne. L adjoncion conine de ce solvan pr a somme de la colonne provoqa la migraion, d ha vers le bas, de chaqe pigmen à ne viesse qi ler éai propre. Tswe donna à cee méhode de séparaion le nom de chromaographie (d grec khrôma, coler). Cependan, c es dran les années 30 qe cee echniqe se développa effecivemen. Les bases de la chromaographie sr coche mince on éé éablies en 1938 par IZAILO e SCHRAIBER pis reprises par STAHL ving ans pls ard (1958). Les ravax remarqables de ARTIN e SYNGE (1941) por lesqels ils reçren le prix Nobel, révolionnèren non selemen la chromaographie liqide (CL) mais assi celles en phase gazese e sr papier. C es en 195 qe ARTIN e JAES pblièren les premiers ravax propremen dis sr la chromaographie gazese (CG) e sr papier e don l essor dra jsq en A parir de cee année, la chromaographie en phase liqide devien n parenaire à valer égale. En effe, jsq à lors, celle-ci éai praiqée dans des colonnes relaivemen larges e à pression amosphériqe d où la lener des séparaions e l absence de déecers coplés en ligne. Bien q éan la pls ancienne de méhodes elle avai rové pe d applicaions. Acellemen, la chromaographie liqide «moderne» es devene la méhode de choix por bon nombre de problèmes analyiqes e de chimie préparaive. Comme nos le verrons, les principes des méhodes chromaographiqes son ellemen semblables q elles peven êre assez largemen décries par des héories commnes. ais, o d abord éablissons ne classificaion des principales echniqes. Bien qe l adsorpion soi le phénomène originel ayan donné naissance à la chromaographie, ARTIN e SYNGE monrèren qe, dans cerains cas, la phase saionnaire solide povai êre avanagesemen remplacée par ne phase saionnaire liqide, la chromaographie de parage pris donc le pas sr celle d adsorpion. De par le parage d solé enre dex phases liqides, ce ype de chromaographie s apparene à la séparaion par exracion à conre-coran selon Craig.

2 3. Définiions élion élan éla chromaogramme percolaion dn composé sr ne colonne solvan permean déler le composé solion receillie a bas de la colonne enregisremen des pics élés perçs par n déecer Dans os les cas, ne flide appelé phase mobile procre n be (colonne) o ne srface plane, consiés d n maéria relaivemen porex (évenellemen imprégné d n liqide), c es la phase die saionnaire. Si la phase saionnaire a éé bien choisie, les consians d mélange à séparer, appelés généralemen solés son inégalemen reens par celle-ci lorsq ils la raversen, enraînés par le flide (o solvan). Il es possible de faire ne classificaion des echniqes chromaographiqes en foncion de la nare des phénomènes mis en je dans la séparaion. - la chromaographie d échange d ions o ioniqe (CL). La phase saionnaire es n solide ayan des propriéés pariclières qe l on appelle n «échanger d ions». Ce solide compore des gropemens foncionnels fixes ionisés o ionisables. Les ions qi assren l élecroneralié de la srcre son mobiles e échangeables avec cex de la phase mobile en conac avec l échanger (greffé sr des polymères o des silices). - la chromaographie de paires d ions (CL). On forme des paires d ions enre les consians (ionisés) d mélange à séparer e n conre-ion convenable. Ces paires d ions se disriben enre la phase mobile e la phase saionnaire (le pls soven celle-ci es ne phase greffée). - la chromaographie d échange de ligands (CL). La phase saionnaire conien ne espèce fixée irréversiblemen capable de former des complexes avec les solés à séparer. - la chromaographie d exclsion (CL). (On di assi de perméaion o de filraion sr gel). La phase fixe es n solide porex don la dimension des pores es voisine des dimensions de ceraines des molécles à séparer. Celles qi son rop grosses por pénérer dans les pores son excles de la phase saionnaire e son élées d abord, celles qi pénèren son élées ensie. - la chromaographie d affinié (CL). Cee méhode s apparene à celle de l échange de ligand. Elle es die bio-spécifiqe lorsqe la phase saionnaire es consiée d n ligand présenan ne grande affinié por ceraines molécles bioacives. - Chromaographie en phase liqide (CL) - Chromaographie en phase gazese (CG) - Chromaographie en phase spercriiqe (CS) 38

3 On pe disinger : - la chromaographie d adsorpion (CG e CL) lorsqe la phase saionnaire es n solide adsorban e qe la séparaion es fondée sr les différences d adsorpion des molécles d mélange par la phase fixe. - la chromaographie de parage (CG e CL) lorsqe la séparaion es fondée sr des différences de solbilié (o d ineracion) des molécles à séparer dans la phase liqide (o greffée) qi recovre n solide. LES SYSTEES CHROATOGRAPHIQUES LES PLUS IPORTANTS Sysème Phase mobile Phase saionnaire Configraion Séparaion gaz gaz liqide colonne parage gaz solide colonne adsorpion, parage liqide liqide liqide colonne parage liqide solide colonne adsorpion, parage papier liqide celllose feille, bande (srface) coche mince liqide solide film mince (srface) parage, adsorpion adsorpion 3.3 Principes séparaions son basées sr les différences de disribion de solés enre dex phases non miscibles (lne éan solide) Comme en exracion, on défini le coefficien de disribion (o de parage) d solé enre la phase saionnaire e la phase mobile K C S /C C S concenraion dans la phase saionnaire C concenraion d solé dans la phase mobile ais ce n es pas n vrai éqilibre pisqe le renovellemen conin de la phase mobile perme ax composés de se déplacer dans la colonne selon ne viesse différene en foncion de ler affinié por les dex phases. En effe dû à des différences d affinié des divers consians d n mélange por chacne des dex phases, il résle des différences enre les viesses de migraion de ces composés, d où ne possibilié de séparaion. Sos l acion de la phase mobile, les divers consians migren d aan pls lenemen q ils on pls d affinié por la phase saionnaire. 39

4 Dans le cas de la chromaographie sr colonne on obien, à la sorie d déecer, n «signal» qe l on pe enregisrer graphiqemen : le chromaogramme. Chaqe consian es caracérisé, sr le chromaogramme, par n «pic». Les pics seron pls o moins larges e pls o moins éloignés les ns des ares; ils rendron compe de l efficacié de la séparaion. Por ne séparaion imparfaie de dex composés, dex démarches son concevables : - la première revien à éloigner les pics l n de l are par l emploi d ne phase saionnaire pls sélecive. Cee démarche es fondée sr la hermodynamiqe de la séparaion. - la seconde consise à rendre chacn des pics pls érois en modifian les paramères qi inflencen la cinéiqe des séparaions por rendre la séparaion pls efficace. Assi, les héories de la séparaion chromaographiqe peven êre classées en héories hermodynamiqes, qi raien des emps o des volmes de réenion, en en héories cinéiqes, qi s aachen a processs de ransfer de maière. héorie hermodynamiqe - arin e Synge (1941) - héorie des plaeax - "sysème saiqe en éqilibre" héorie cinéiqe - van Deemer (1956) - "rae heory" - dynamiqe 3.4 Paramères décrivan la colonne e le chromaogramme N (Plaeax héoriqes) ficivemen, on assimile la colonne chromaographiqe à ne sie de plaeax sr lesqels séabli léqilibre d solé enre les phases saionnaires e mobiles pls N es grand, pls la colonne es efficace on pe aeindre des valers de N de lordre de

5 dû à l agmenaion d volme, il y a n élargissemen des pics dans le emps 3.4. Granders de réenion 41

6 La viesse de passage de la phase mobile es consane. Chacn des solés se déplace indépendammen les ns des ares avec ne viesse qi ler es propre e qi dépend de ler comporemen vis-à-vis des dex phases, noammen de ler affinié avec la phase saionnaire. La répariion d n solé dans la colonne après n cerain «emps de passage» pe êre représenée par ne corbe d allre sensiblemen gassienne si ce «emps de passage» es sffisammen long. On défini ainsi : R S emps écolé enre l inrodcion d composé dans la colonne e le momen où il sor à sa concenraion maximale [emps de réenion br] ; emps de «séjor» d composé dans la phase saionnaire, [emps de réenion ne] (assi nommé : emps corrigé o rédi R ) ; emps qe me l élan (non reen) por arriver a bas de la colonne, ce qi correspond a emps mis por parcorir les espaces inersiiels e les volmes dis mors R S Le débi de la phase mobile éan consan, on dédi des emps définis pls has qe les volmes correspondans son : R S volme de la phase mobile nécessaire por amener la sbsance à sa concenraion maximm a bas de la colonne volme de réenion br ; on pe égalemen définir n volme de réenion ne (assi nommé : volme corrigé o rédi, R ) en enan compe d volme de la phase mobile ( ) dans la colonne ( S R - ). A ne pas confondre avec le «volme de la phase saionnaire» assi ( S ) ; volme de la phase mobile conene dans la colonne o volme mor de la colonne (inra e exrapariclaire : R - s ). Les granders de ces valers dépenden des sbsances e des colonnes ilisées iesses linéaires moyennes iesse moyenne linéaire de la phase mobile L o L longer de la colonne iesse moyenne linéaire d solé v L R 4

7 Fracion de emps dans la phase mobile Assi f v n f solé (phase mobile) n TOTAL Facer de réenion (capacié) Por s affranchir des paramères géomériqes d ne colonne e por caracériser la réenion d n composé, le facer de capacié (k ) es défini comme le rappor de la qanié d n solé (A) dans la phase saionnaire (m A ) S par rappor à la qanié dans la phase mobile (m A ). Sachan qe la masse es égale a prodi de la concenraion par le volme ( m C. ) e qe le rappor des masses es assi égal a rappor d emps de résidence d solé dans la phase saionnaire ( s ) a emps passé dans la phase mobile, on obien : (m ) (C ) k A S A S S s Km (ma) (CA) Por ne colonne donnée, le rappor S / es consan. Les variaions de k ne dépenden donc qe de celles de K m e par la sie des ineracions mises en je. D are par, sachan qe le débi (F /) de la phase mobile passan à ravers la colonne es consan on pe poser : R R + s En combinan cerains paramères irés des dex relaions précédenes on obien : R + K p S S éan le volme de la phase saionnaire (o la masse, o la srface spécifiqe d sppor selon les niés dans lesqelles K m es exprimé), cee formle éabli ne relaion enre le volme de réenion ( R ) d n composé, son coefficien de parage enre les dex phases (K m ) e les caracérisiqes des phases ( m, s ) c es-à-dire de la colonne. On remarqera assi qe le facer de capacié (k ) pe êre déerminé expérimenalemen. En effe, sachan qe : K p S R - e Kp k S s (avec : s R - ) 43

8 alors : k R R pisqe R + K p S (voir ci-desss), on pe assi écrire : k Kp S s m Le volme o le emps de réenion son ainsi liés a facer de capacié par les relaions : R (l+ k) R (l+ k) Le emps de réenion d n composé non reen éan égal a qoien de la longer de la colonne (L) par la viesse linéaire de la phase mobile ( ) on obien ( L/) : L R (l+ k) Inerpréaion De faibles valers de k indiqen des composés pe reens, élés pe de emps après le volme de phase mobile conen dans la colonne, leqel correspond à k 0. Des valers élevées de k indiqen des composés foremen reens, élés après n emps d analyse assez long : chaqe accroissemen d ne nié de facer de capacié nécessie le passage sr la colonne d n volme spplémenaire de phase élane égale à por éler ce composé Facer de sélecivié Lorsqe nos sommes en présence de plsiers composés on pe définir n facer de sélecivié : B k B α K K A k A K B >K A α 1 Expérimenalemen, (R) B m α (R) A m La valer de α pe êre déerminée selon le emps de réenion o on pe iliser α por esimer s il es possible de séparer les dex espèces en qesion. 44

9 3.5 Efficacié - Déerminaion de N e de H Déerminaion de N (por des corbes gassiens) Dans l hypohèse d ne disribion approximaivemen gassienne (à laqelle condi d aillers assi la héorie des plaeax), la formle de définiion d nombre de plaeax héoriqes :. R N 16 w. N 5.54 w R 1/ o w larger d pic à la base (segmen inercepé sr la ligne de base par les angenes d inflexion d pic) o la mi-haer d pic (1/). Elle défini l efficacié d ne colonne chromaographiqe. Il es possible de calcler N, por n solé donné, direcemen à parir d n chromaogramme. Déerminaion de H Afin de povoir comparer les colonnes chromaographiqes, on défini la haer éqivalene de plaeax héoriqes: (HEPTH): H N L o L longer de la colonne H e N caracérisen donc le foncionnemen de la colonne car ils dépenden non selemen de la nare des phases e de la géomérie de la colonne, mais égalemen de os les ares facers qi inflencen les éqilibres. Por des colonnes de même longer, celles où les éqilibres se réalisen le pls rapidemen son celles où le nombre de plaeax héoriqes es le pls élevé o - ce qi revien a même - son celles don les HEPT son les pls basses. Transformaion des niés (secs. en cm) Normalemen, la longer de la colonne (L) es en cm e la variance (σ ) en cm Par conre, le chromaogramme ara des niés en mines o secondes, e w τ a (i.e. la larger d pic es approximaivemen égale (95%) à 4 X lécar-ype en secondes τ). τ σ L/ R 45

10 3.6 Résolion Dans n cas concre, la résolion es ne mesre de la qalié d ne séparaion chromaographiqe. Celle-ci dépend à la fois de l écaremen relaif des sommes des pics (facer hermodynamiqe exprimé en emps de réenion relaif) e de la finesse des pics (facer cinéiqe exprimé en efficacié de colonne). Spposons dex sbsances A e B, don l ne, A, es pls reene qe l are, B. On observe alors sr le chromaogramme dex pics : (1) sbsance A () sbsance B ( R ) B > ( R) A ( KD ) B > K D ) σ B > σ A ( A La résolion R S es définie par la relaion : Rs Ζ wa+ wb [(. R) R w A s A+ ( ) w R B B ] o e pisqe (R) B (R) Rs w. R N 16 w A 46

11 (R) B (R) A Rs (R) B N 4 R S w B Ζ ( R) B ( ) + w ( σ + σ ) A B R A A La résolion dépend donc des dex granders : (1) la disance qi sépare les sommes des dex pics ( Ζ ) e () la larger de chacn des pics (w). Ces granders son aisémen mesrables sr le chromaogramme e R S pe êre calclé. On remarqera qe pls la valer de R S es élevée, meillere es la résolion. Qelqes exemples permeron d en réaliser l incidence praiqe. Cas 1 : R S - 1 Por ce cas, ( R ) B - ( R ) A 4σ B, ce qi signifie qe les riangles son conigs e qe les corbes de Gass, n pe pls larges qe les riangles, ne se chevachen qe de.3 % ce qi es sffisan por des séparaions rapides. Cas : R S 1.5 Por ce cas, ( R ) B - ( R ) A 6σ B, ce qi signifie qe la disance enre les bases des dex riangles es de. Les corbes de Gass correspondanes ne se chevachen, alors qe de 0.13 %. 3.7 Opimisaion de la séparaion Il es imporan de relier les facers de sélecivié e capacié à la résolion k A R m m donc, k α B k A kb k R A s 1+ k B N 4 R s N 4 N 16R ( α ) α 1 kb 1+ k B s ( ) α α k kb B 47

12 ( ) 3 16R H (1 k ) ( ) s + B R B α α 1 (kb) Toe séparaion es donc n compromis enre ne bonne résolion e n emps de séparaion raisonnable. Rs N 4. α 1 α. k B 1 + k B ( R ) B 16RS H. α α 1. ( 1 + k B ) ( k ) I II III B 3 I parie cinéiqe II parie hermodynamiqe (sélecivié) III parie hermodynamiqe (réenion) La résolion e le emps de séparaion dépenden de 3 facers: - le facer de capacié, k - la sélecivié, α - l efficacié de la colonne, N (o H) Rôle d facer de capacié (III) Le facer de capacié doi êre compris enre 1 e 10 por qe son inflence soi imporane sr la résolion Linflence d facer de capacié nes pas prépondérane 48

13 k (ma) (m ) s A m (CA) (C ) s A m s m R m m Q kb R s l+ k B + 3 ) ( ) (1 kb Q R B (kb) opimal enre 1 e 5 (~ ) rès imporan (sro en CPL) En CPL : on pe modifier la phase mobile En CPG : on pe modifier la empérare de la phase mobile 3.7. Rôle de la sélecivié (II) La sélecivié doi êre spériere à 1 rès grande inflence sr la qalié de la séparaion R S ( ( α ) α f( ) f 1 ) R B 1 α α Si α 1, on n ara jamais de séparaion efficace, même avec n grand N e ne valer opimale de k 49

14 Il fa donc agmener α, o en gardan k enre 1 e 5 modificaion de la phase mobile (y compris des modificaions de ph) modificaion de la empérare (CG, CL [échange ioniqe]) modificaion de la composiion de la phase saionnaire - plsiers colonnes - modificaions chimiqes de la phase saionnaire 50

15 3.7.3 Rôle de lefficacié de la colonne N (o H) (I) Il fa examiner le rôle de la cinéiqe des échanges à ravers H (haer éqivalen d n plaea héoriqe ; van Deemer ) Eqaion de van Deemer La héorie des plaeax néglige donc le fai qe la chromaographie es n phénomène dynamiqe réslan d passage conin de la phase mobile sr la phase saionnaire. En effe, elle ne ien pas compe d n élargissemen o a conraire d n rérécissemen des pics qe l on pe poran observer praiqemen selon le débi de la phase mobile. Plsiers versions exisen de léqaion de van Deemer: e.g. H λd p + γd g + 8 k d f (1 k ) D π + l H k D D qkd k + f + d (1+ k ) DS (1+ k ) + f(dp,d c, D ce qon pe esimer par: H A+ B+ C o H A + B + (C s + C ) Selon ces éqaions, les rois phénomènes qi conriben à lélargissemen des pics son : - exisence de chemins mliples (anisoropie décolemen) (A) - diffsion moléclaire longidinale (B) - résisance a ransfer de masse (C) Anisoropie décolemen (A) L anisorophie d écolemen d flide es soven qalifié d erme ambig de «diffsion orbillonnaire» (en anglais «eddy diffsion»). Ce phénomène ire son origine d conornemen aléaoire des paricles d sppor solide par le flide. Il enraîne ne inégalié dans la viesse de déplacemen axial des différens «files d flide» qi conorne les grains. La conribion de ce phénomène à la haer d n plaea es à première approximaion indépendane d débi de la phase mobile : A λd p d p : λ : diamère des paricles consian la phase saionnaire, paramère qi ien compe des irréglariés d remplissage de la colonne. 51

16 indépendane d débi rédcion de A por des paricles qi son peies e niformes imporan de rédire les espaces mores Diffsion moléclaire longidinale (B) La diffsion moléclaire longidinale es bien conn por oe paricle a sein d n flide en movemen o non (dispersion par diffsion de à l enropie d solé des zones de grande concenraion dans des régions de faible concenraion, selon les lois de Fick). Cee diffsion es d aan pls imporane qe la viesse de passage d flide es pls faible. L inflence de ce phénomène sr la haer d n plaea es représenée par la relaion : B γd D : Coefficien de diffsion moléclaire d solé dans la phase mobile γ : «facer de orosié» o «d obsrcion» enan compe de la sinosié d parcors d flide (obsacle à la diffsion d solé). dispersion des molécles dans ne direcion parallèle à laxe de la colonne diffsion selon le gradien de concenraion la diffsion dans le sens inverse à lécolemen es pls imporane dû a débi de la phase mobile Résisances a ransfer de masse (C) La résisance a ransfer de masse an dans la phase mobile qe dans la phase saionnaire s exercen à o momen a cors de la chromaographie : fixaion o élion. a) Dans la phase mobile, oes les molécles ne son pas enraînées à la même viesse. Celles d milie d flx progressen pls vie qe celles se rovan à l exérier, créan ainsi des condiions de parage différenes ; 5

17 b) Le conac phase mobile-phase saionnaire ne s effece pas paro de manière ideniqe e il es bien éviden qe le raje à l inérier des anfracosiés d sppor es différen de celi se prodisan à la srface : c) Lorsqe la phase saionnaire es consiée par n liqide recovran la srface d sppor inere, les molécles ne fois fixées dans la phase saionnaire son siées à des disances différenes de la phase mobile e l élion ne se fai pas paro à la même viesse. Le emps de séjor ( s ) dans la phase saionnaire es donc foncion d chemin à parcorir. Ce paramère représene léqilibre élion-réenion d solé enre les phases saionnaire e mobile. Elle es daan pls imporan qe le débi de la phase mobile es imporan. H A + B + (C s + C ) fs(k)d Cs (phase saionnaire) D S f fm(k)d p Cm (phase mobile) D m Elle es de ax processs de non-éqilibre (i.e. solé passe rop de emps dans ne des phases). Si lon agmene le emps d solé dans la colonne (en diminan le débi), on approche de pls en pls de léqilibre Résmé: por rédire w (H) Tos les phénomènes précédenes enraînen ainsi des reards por l éablissemen des éqilibres e ceci d ne manière d aan pls accenée qe le débi de la phase mobile es pls rapide. Por aéner ces facers de résisance, il y a lie de diminer les disances à parcorir dans chaqe phase en rédisan le diamère des paricles, l épaisser de la phase saionnaire e en ilisan ne colonne réglièremen remplie e bien assée. De même, en CG on pe diminer la empérare afin de rédire le coefficien de diffsion (pas rès ile en CL pisqe D es déjà rop pei). e.g. effe d diamère des paricles 53

18 Eqaion globale de van Deemer L éqaion globale. Finalemen la haer d plaea pe s exprimer par la relaion générale: H A + B (C C ) + s + m En effe, la viesse linéaire liée a débi es le principal paramère physiqe à la disposiion de l expérimenaion por modifier la cinéiqe de la chromaographie. L éqaion ci-desss correspond à celle proposée par an Deemer, Zderweg e Kinkenberg (1956) e appelée «relaion de an Deemer». représene donc la viesse linéaire moyenne de la phase mobile. Ax faibles valers de, le erme B/ prédomine (la corbe devien asympoe à ne droie de pene négaive) e expliqe la pere d efficacié vers les rès faibles viesses. Ax grandes viesses, le erme C prédomine (la corbe devien asympoe à ne droie de pene posiive) e expliqe la pere d efficacié ax rès grandes viesses). Dans la région inermédiaire, le erme A es prépondéran e H passe par n minimm (H min ). La corbe représenan l éqaion de an Deemer es donc ne hyperbole. Elle monre qe la variaion de H en foncion de passe par ne valer minimale calclée en cherchan la valer de correspondan à l annlaion de la dérivée première de cee foncion ( op ) : 54

19 () B C f + d où por qe f ( ) 0, il fa qe : B + C 0, alors la viesse opimale : op C B Dans ce cas, H devien (minimm) : Hmin A+ BC d où : N max L H min L A+ BC REARQUES - L éqaion de an Deemer bien q iniialemen appliqée à la chromaographie en phase gazese (CG) pe êre égalemen, par exension, appliqée à la chromaographie liqide (CL). Si la formle générale rese la même, la corbe représenaive es cependan différene car on n observe apparemmen pas de valer minimale por H. Celle-ci croî en effe réglièremen avec le débi ce qi es dû a fai qe dans les liqides le erme B es rès pei e q il n inervien qe por des valers de rès faibles, praiqemen jamais réalisées. - La déerminaion des paramères A, B e C es difficile à effecer (héoriqemen) mais il es oefois possible de racer expérimenalemen l éqaion précédene por ne colonne de longer L de la manière sivane (voir assi problèmes de chimie analyiqe): on effece plsiers chromaographies sccessives (a moins 3) en faisan varier le débi de la phase mobile (o la empérare). Por chaqe expérience, le racé chromaographiqe perme, comme nos le savons (N ( R /σ ) ), de calcler le nombre de plaeax N e ainsi de connaîre la valer de H (H L/N). Trois éqaions, rois inconns : les corbes relian H ax valers correspondanes de (o de T) peven alors êre consries e permere de connaîre les condiions opimales correspondan à la pls peie valer de H. 55