Liban 2012 BAC S Correction

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1 Liba 0 BAC S Correctio / 8 Exercice Partie A. Les foctios polyomiale et l sot dérivables sur ]0 ;+ [. Par coséquet la foctio g l est aussi. g (x) 6x² + x. Pour tout x >0, 6x² >0 et > 0. Doc g (x) > 0 sur ]0 ;+ [. x La foctio g est doc croissate sur ]0 ;+ [. lim l x - doc lim g(x) - x 0 x 0 lim x + x3 + et lim l x + Par coséquet lim g(x) + x + x + De plus, la foctio g est cotiue sur ]0 ;+ [ et strictemet croissate. D après le théorème de la bijectio, il existe doc u uique réel α tel que g(α) 0. La calculatrice fourit ue valeur approchée de α arrodie au cetième : 0,87 3. Par coséquet, si x ]0 ;α[, g(x) < 0 si x > α, g(x) > 0 et g(α) 0. Partie B l x. lim x 0 et lim l x - doc lim x 0 x 0 x 0 x² l x - par coséquet lim f(x) + x 0 lim x + et lim 0 doc lim f(x) + x + x + x² x +. f(x) x - l x l x or lim 0 doc lim f(x) x 0. x² x + x² x + Cela sigifie doc que la droite Δ d équatio y x est asymptote à la courbe. De plus l x est égatif sur ]0 ;] et positif sur [ ;+ [. Doc est au-dessus de Δ sur ]0 ;] et au-dessous de Δ sur [ ;+ [. 3. f est dérivable sur ]0 ;+ [ comme somme et quotiet de foctio dérivable sur cet itervalle. x² - x l x x f (x) - x 4 x4 - x + x l x x 4 x3 - + l x x 3 g(x) x 3. Sur ]0 ;+ [, x 3 > 0. Doc f et g ot le même sige sur ]0 ;+ [. 4. x 0 α + g (x) f f(α) sur

2 Liba 0 BAC S Correctio / 8 Partie C. L aire cherchée est égale à (x - f(x)) dx u.a. l x dx u.a. x² l x dx x². a. Utilisos, pour l itégratio par parties, u(x) l x u (x) x et v (x) x² cm² v(x) - x. l x dx x² -l x x - - -l dx - x² x b. Par coséquet I -l lim + l 0 et lim + -l 0 doc lim I sur

3 Liba 0 BAC S Correctio 3 / 8 Exercice 4. Il y a 4 faços de piocher ue boule blache parmi 0 0tirages possibles. Doc P J (B) De même P J (B) 0 5. D après la propriété des probabilités totales : P(B) P(BJ ) + P(BJ ) + P(BJ 3 ) + P(BJ 4 ) P(J ) P J (B) + P(J ) P J (B) + P(J 3 ) P J3 (B) + P(J 4 ) P J4 (B) car tous les évèemets J,J, sot équiprobables O cherche P B (J 3 ) P(BJ 3) P(B) a. Les tirages sot idépedats. Il y a issues à chaque tirage : B et. O joue 0 fois de suite. La variable aléatoire N suit doc ue loi Biomiale de paramètre 0 et p 7. 0 P(N k) k k -k 0 b. Par coséquet P(N3) , à 0 - près sur

4 Liba 0 BAC S Correctio 4 / 8 Exercice 3. U vecteur directeur de est ( ; ; -). Celui de est (5 ; - ; ) 5 - doc et e sot pas coliéaires. Cherchos si les droites sot sécates : 4 + t 8 + 5t' (L) 6 + t - t' (L) 4 - t 6 + t' (L3) 6 + t 4 et t t 8 + 5t' (L) 6 + t - t' (L) t' (L + L3) 4 + t 8 + 5t' (L) 6 + t - t' (L) t' - Doc les droites sot sécates. Elles sot par coséquet coplaaires. L affirmatio est VRAIE.. D ue part, o calcule AB 9² + (-6)² + 5² D autre part, o calcule la distace de A à : Doc B est le projeté orthogoal du poit A sur. Affirmatio VRAIE (-3) - 3² + ² + (-5)² t t - t' (L) t' u v La limite de ce quotiet quad ted vers + est Doc les suites e sot pas adjacetes. Affirmatio FAUSSE. 4. Motros par récurrece que cette suite est majorée par 3. Iitialisatio : u 0 < 3. La propriété est doc vraie au rag 0. Hérédité : Supposos que u < 3 Alors u + 3 u + < La propriété est doc vraie au rag + 3 Coclusio : La propriété est vraie au rag 0, e supposat la propriété vraie au rag elle est vraie au rag +. par coséquet, la suite est majorée par 3. Affirmatio VRAIE. sur

5 Liba 0 BAC S Correctio 5 / 8 Exercice 4 (Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité). a. Calculos z C - z B i i 3 z A - z B i 3 i i 3 -i 3. Doc π. b. Le triagle ABC est doc rectagle e B. Le cetre du cercle circoscrit est doc le milieu de [AC]. ω + i 3 + i 3.. a. z 0 0 ; z ; z + i i 3 ; z 3 + i 3 (3 + i 3) + i 3 + z 4 + i 3 i i 3 b. A A 3 + i 3 - A A 3 +i i 3 A 3 A 4 i i 3 c. z + - ω + i 3 z + - ( ) + i 3 + i 3 z + - i 3 + i 3 (z - ω) + i 3 z - + i 3 ( + i 3) + i 3 z + - i 3. Doc z + - ω + i 3 (z - ω) d. O a doc z + - ω e iπ/3 (z - ω). Il s agit doc d ue rotatio de cetre Ω et d agle π 3. e. z +6 - ω e iπ/3 (z +5 - ω) e iπ/3 (z +4 - ω) e i3π/3 (z +3 - ω) e i4π/3 (z + - ω) e i5π/3 (z + - ω) e i6π/3 (z - ω) z ω. Doc A +6 et A sot cofodus Doc A 0 A B 3. Motros par récurrece que A + A. Iitialisatio : A 0 A. La propriété est vraie au rag 0. Hérédité : Supposos la propriété vraie au rag - : A A - z z - A + A z + z + i 3 z + - z + i 3 z i 3 z i 3 (z - z - ) z z -. Coclusio : La propriété est vraie au rag 0. E la supposat vraie au rag, elle l est au rag suivat. Doc pour tout, A A +. sur

6 Liba 0 BAC S Correctio 6 / 8 Exercice 4 (Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité). z ; z + i i ; z 3 + i 3 + i i. a. O a z + + i z +. Il s agit de l équatio complexe d ue similitude directe: - de rapport : + i - d agle : arg + i π 4 Détermios le cetre de cette similitude e détermiat l affixe du poit fixe. ω + i ω + doc ω + i. - i b. Calculos les logueurs des 3 côtés du triagle. ΩA z ω ΩA + z + ω z ω A + A z + z + i z + - z - + i z + Calculos - + i (z - ω) - + i z i - + i ( + i) z + doc A + A - + i (z - ω) z ω Par coséquet A + A ΩA +. Le triagle est isocèle e A +. Das le triagle, le plus grad côté est [ΩA ]. D ue part ΩA ² z ω ² D autre part ΩA + ² + A + A ² z - ω ² + z - ω ². Doc ΩA + ² + A + A ² ΩA ². D après la réciproque du théorème de Pythagore, le triagle est rectagle e A a. Motros le résultat par récurrece. Iitialisatio : ΩA 0 ω Hérédité : Supposos la propriété vraie au rag. ΩA + z + ω z ω -. La propriété est vraie au rag La propriété est vraie au rag +. Coclusio : La propriété est vraie au rag 0. E la supposat vraie au rag, elle est vraie au rag suivat. sur

7 Liba 0 BAC S Correctio 7 / 8 Doc pour tout, ΩA b. O souhaite que - - < 0,00 doc ( ) l l 0,00 l 0,00 Soit > et doc > + d où. l l 4. Puisque le triagle ΩA A + est rectagle, o a a ² ΩA ² - ΩA + ² - Par coséquet a - - ² ² L est doc la somme d ue suite géométrique de raiso Doc L La raiso est iférieure à doc L ted doc vers -. < l 0,00 - quad ted vers D après l écriture complexe de la similitude directe et de ses caractéristiques vu e. o a : z +4 - ω eiπ/4 (z +3 ω) eiπ/4 (z + ω) ei3π/4 (z + ω) ei4π/4 (z ω). Par coséquet les poits A, Ω et A + 4 sot aligés. sur

8 Liba 0 BAC S Correctio 8 / 8 sur