M : Zribi 4 ème Sc Exercices. Série 34

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1 Série ème Sc Exercices Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l'ure : - si la boule tirée est blache, o la remet das l'ure et o ajoute 0 boules blaches supplémetaires ; - si la boule tirée est oire, o la remet das l'ure et o ajoute 0 boules oires supplémetaires. O tire esuite au hasard ue secode boule de l'ure. O ote : * B l évéemet : «o obtiet ue boule blache au premier tirage» ; * B l'évéemet : «o obtiet ue boule blache au secod tirage» ; * A l'évéemet : «les deux boules tirées sot de couleurs différetes». a. Calculer la probabilité p B B et motrer que b. Calculer p B. B c. Motrer que Exercice : p A 0 p B O cosidère deux ures U et U. L ure U cotiet 7 boules blaches et boules oires idiscerables au toucher. L ure U cotiet boule blache et 9 boules oires idiscerables au toucher. O réalise des tirages e procédat de la maière suivate : Étape : O tire au hasard ue boule das U, o ote sa couleur et o la remet das U. Étape ( >) : * Si la boule tirée à l étape ( ) est blache, o tire au hasard ue boule das U, o ote sa couleur et o la remet das U. * Si la boule tirée à l étape ( ) est oire, o tire au hasard ue boule das U, o ote sa couleur et o la remet das U. O ote A l évèemet «le tirage a lieu das l ure U à l étape» et p sa probabilité. O a doc p =.. Calculer p.. Motrer que pour tout etier aturel o ul, p 0,8p 0,0. O pourra s aider d u arbre podéré.. Calculer p.. a. Démotrer par récurrece que pour tout etier etier aturel o ul, p > 0,. b. Démotrer que la suite (p ) est décroissate. c. E déduire que la suite (p ) est covergete vers u réel oté l. d. Justifier que l vérifie l équatio : l = 0,8l + 0,0. E déduire la valeur de l. 09/0

2 Série ème Sc Exercices Exercice : Amie et Rayee jouet au teis. Les deux joueurs ot la même chace de gager la première partie. Par la suite, lorsque Amie gage ue partie, la probabilité qu il gage la suivate est 0,7. Et s il perd ue partie, la probabilité qu il perde la suivate est 0,8. Das tout l exercice, est u etier aturel o ul. O cosidère les évèemets : G : «Amie gage la -ième partie». P : «Amie perd la -ième partie». O pose : p = p(g ) et q = p(p ).. Recherche d ue relatio de récurrece. a. Détermier p puis les probabilités coditioelles p G / G et p G / P b. Justifier l égalité p + q =. c. Démotrer que pour tout etier aturel o ul, p + = 0,p +0,.. Étude de la suite (p ) : o pose, pour tout etier aturel o ul, v a. Prouver que la suite (v ) est ue suite géométrique et exprimer v e foctio de. b. E déduire l expressio de p e foctio de. c. Détermier la limite de la suite (p ) quad ted vers Exercice : U employé se red à so travail. S il est à l heure il pred le bus de ramassage gratuit mis à dispositio par l etreprise, s il est e retard il pred le bus de la ville et il lui e coûte,0 d. Si l employé est à l heure u jour doé, la probabilité qu il soit e retard le ledemai est, s il est e retard u jour doé la probabilité qu il soit e retard le ledemai est 0. Pour tout etier aturel o ul, o appelle R l évèemet : «l employé est e retard le jour». O ote p la probabilité de R et q celle de R. O suppose que p = 0.. Détermiatio d ue relatio de récurrece. a. Détermier les probabilités coditioelles p( R / R) et p( R / R) b. Détermier p(r + R) e foctio de p et p(r + R ) e foctio de q. c. Exprimer p + e foctio de p et de q. d. E déduire que p. 0. Étude de la suite (p ). Pour tout etier aturel o ul, o pose a. Démotrer que (v ) est ue suite géométrique de raiso b. Exprimer v puis p e foctio de. 0 v 09/0

3 Série ème Sc Exercices c. Justifier que la suite (p ) est covergete et calculer sa limite. Exercice : Das u zoo, l uique activité d u machot est l utilisatio d u bassi aquatique équipé d u tobogga et d u plogeoir. O a observé que si u machot choisit le tobogga, la probabilité qu il le repree est 0,. Si u machot choisit le plogeoir, la probabilité qu il le repree est 0,8. Lors du premier passage les deux équipemets ot lamême probabilité d être choisis. Pour tout etier aturel o ul, o cosidère l évèemet : * T : «le machot utilise le tobogga lors de so -ième passage.» * P : «lemachot utilise le plogeoir lors de so -ième passage.» O cosidère alors la suite (u ) défiie pour tout etier aturel > par : u p T où p T est la probabilité de l évèemet T.. a. Doer les valeurs des probabilités p T, p P et des probabilités coditioelles p T/ T, / p T P. p T b. Motrer que c. Recopier et compléter l arbre suivat. d. Démotrer que pour tout etier >, u + = 0,u +0,.. O cosidère la suite (v ) défiie pour tout etier aturel > par : v u 9 a. Démotrer que la suite (v ) est géométrique de raiso 0 u. Préciser P + so premier terme. T + b. Exprimer v e foctio de. E déduire l expressio de u e foctio de. c. Calculer la limite de la suite (u ). T + P + Exercice 6: O cosidère plusieurs sacs de billes S, S,..., S,... tels que : le premier, S, cotiet billes jaues et vertes ; chacu des suivats, S, S,..., S,... cotiet billes jaues et vertes. 09/0

4 Série ème Sc Exercices Le but de cet exercice est d étudier l évolutio des tirages successifs d ue bille de ces sacs, effectués de la maière suivate : o tire au hasard ue bille das S ; o place la bille tirée de S das S, puis o tire au hasard ue bille das S ; o place la bille tirée de S das S, puis o tire au hasard ue bille das S ; etc. Pour tout etier, o ote E l évèemet : «la bille tirée das S est verte» et o ote p E sa probabilité.. Mise e évidece d ue relatio de récurrece a. D après l éocé, doer les valeurs de p E, p E E, p E déduire la valeur de p E E E b. À l aide d u arbre podéré, exprimer p e foctio de. Étude d ue suite O cosidère la suite u défiie par : E u u u p. E pour tout. a. Démotrer que la suite u est majorée par. b. Démotrer que u est croissate. c. Justifier que la suite u est covergete et préciser sa limite.. Évolutio des probabilités p E a. À l aide des résultats précédets, détermier l évolutio des probabilités p E b. Pour quelles valeurs de l etier a-t-o : p Exercice 7: 0,9999 E 0,? Olfa débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lacers successifs d ue fléchette. Lorsqu elle atteit la cible à u lacer, la probabilité qu elle atteige la cible au lacer suivat est égale à. Lorsqu elle a maqué la cible à u lacer, la probabilité qu elle maque la cible au lacer suivat est égale à. O suppose qu au premier lacer elle a autat de chaces d atteidre la cible que de la maquer. Pour tout etier aturel strictemet positif, o cosidère les évèemets suivats : A : «Olfa atteit la cible au -ième coup». B : «Olfa rate la cible au -ième coup». O pose P = p(a ). Pour les questios. et. o pourra évetuellemet utiliser u arbre podéré.. Détermier p et motrer que p 09/0

5 Série ème Sc Exercices. Motrer que, pour tout etier aturel, p. Pour o pose u Motrer que la suite (u ) est ue suite géométrique, dot o précisera le premier terme u et la raiso q.. Écrire u puis p e foctio de.. Détermier lim p. 09/0