* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. 2) (**) n + 2 n. 1 pn

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1 Exo7 Séries Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice Nature de la série de terme gééral * l ++ * + + ** + l + 4 ** l lch 5 ** arccos 6 * cos e 8 ** π arcta + 9 * π/! 7 cos x +cos x dx ** si π 4 + ** e + Correctio [5688] Exercice Nature de la série de terme gééral *** P où P est u olyôme ** S où S α ** u où N, u e u 4 **** u où est le -ème ombre remier idicatio : cosidérer N l N l *** u c où c est le ombre de chiffres de e base α 6 * la a > et b > 7 ** arcta! + a b 8 ** α / 9 *** + α Correctio arcta a [5689] Exercice Nature de la série de terme gééral *** si ** π + 5 ** l + P Q où P et Q sot deux olyômes o uls 7 **** si!πe etier aturel o ul Correctio ** l + 4 *** eiα, cosα et siα [569] Exercice 4 Calculer les sommes des séries suivates arès avoir vérifié leur covergece ** + ** *** 4 4 * ** l + textbf7 th a! 6 *** l cos a a ], π [

2 Correctio [569] Exercice 5 *** I Soit u N ue suite décroissate de ombres réels strictemet ositifs telle que la série de terme gééral u coverge Motrer que u o Trouver u exemle de suite u N de réels strictemet ositifs telle que la série de terme gééral u coverge mais telle que la suite de terme gééral u e tede as vers Correctio [569] Exercice 6 *** Soit σ ue ijectio de N das lui-même Motrer que la série de terme gééral σ diverge Correctio [569] Exercice 7 ** Soit u N ue suite de réels strictemet ositifs Motrer que les séries de termes gééraux u, u et u dx +x sot de mêmes atures e Correctio u +u, l + [5694] Exercice 8 *** Trouver u déveloemet limité à l ordre 4 quad ted vers l ifii de e! +! Correctio [5695] Exercice 9 *** Nature de la série de terme gééral u si π + Correctio [5696] Exercice ** Soit u N ue suite ositive telle que la série de terme gééral u coverge Etudier la ature de la série de terme gééral Correctio u [5697] Exercice *** u Soit u N ue suite de réels ositifs Trouver la ature de la série de terme gééral v +u +u,, coaissat la ature de la série de terme gééral u uis e calculer la somme e cas de covergece Correctio [5698] Exercice **** Soit u N ue suite de réels strictemet ositifs telle que la série de terme gééral u diverge Pour N, o ose S u ++u Etudier e foctio de α > la ature de la série de terme gééral Correctio u S α [5699] Exercice ** Soit α R Nature de la série de terme gééral u + α α, Correctio [57] Exercice 4 **** O sait que l A artir de la série récédete, o costruit ue ouvelle série e reat termes ositifs, q termes égatifs, termes ositifs Par exemle our et q, o s itéresse à

3 Covergece et somme de cette série Correctio [57] Exercice 5 *** Nature de la série de terme gééral u Correctio α [57] Exercice 6 Covergece et somme évetuelle de la série de terme gééral ** u + +! *** u! a+a+a+,, a R+ doé Correctio [57] Exercice 7 * Nature de la série de terme gééral u +, ],[ Correctio [574] Exercice 8 ** Détermier u équivalet simle de! Correctio a+a+a+ quad ted vers l ifii a réel ositif doé [575] Exercice 9 * Nature de la série de terme gééral u +, ],[ Correctio [576] Exercice *** I Déveloemet limité à l ordre 4 de + quad ted vers l ifii Correctio [577] Exercice Partie riciale quad ted vers de *** + l ** Correctio [578] Exercice *** Soit N, calculer N Correctio N, et N N, Que eut-o e déduire? [579] Exercice ** Calculer + Correctio [57] Exercice 4 **** Soiet u ue suite réelle Pour, o ose v u ++u Motrer que si la série de terme gééral u coverge alors la série de terme gééral v coverge et que v 4 u idicatio : majorer v u v

4 Correctio [57] Exercice 5 *** Covergece et somme de la série de terme gééral u π 4 +, Correctio [57] Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7emathfr 4

5 Correctio de l exercice, u existe Pour, o ose u l ++ + u l + + l + + O + O O Comme la série de terme gééral,, coverge série de RIEMANN d exosat α >, la série de terme gééral u coverge Pour, o ose u +, u existe et de lus u Comme la série de terme gééral,, diverge et est ositive, la série de terme gééral u diverge Pour, o ose u + + l Pour, u > et + lu ll + l l + O l l + l + l + ll + o Doc u e lu e ll Comme la série de terme gééral,, diverge série de l l RIEMANN d exosat α et est ositive, la série de terme gééral u diverge 4 Pour, o ose u llch u existe our lch l e l et u l > Vérifios alors que la série de terme gééral l,, diverge La foctio x xlx est cotiue, croissate et strictemet ositive sur ], [ roduit de deux foctios strictemet ositives et croissates sur ],[ Par suite, la foctio x xlx est cotiue et décroissate sur ],[ et our tout etier suérieur ou égal à, Par suite, our, l + xlx dx + l + xlx dx xlx dx ll + ll Doc u est ositif et équivalet au terme gééral d ue série divergete La série de terme gééral u diverge 5 Pour, o ose u arccos u existe our De lus u O e déduit que u siu si > arccos / + + o terme gééral d ue série de RIEMANN divergete La série de terme gééral u diverge 6 Pour, o ose u! u existe et u our De lus, u + u +!! + < D arès la règle de d ALEMBERT, la série de terme gééral u coverge 5

6 7 Pour, o ose u cos e u est défii our car our, ], π [ et doc cos > Esuite 8 l cos Puis l cos l + + o 4 + o + o et doc u e lcos/ e e e +o o e < La série de terme gééral e est divergete et doc la série de terme gééral u diverge l π arcta + l π arcta π arcta + + π + π < Doc, la série de terme gééral u diverge 9 Pour, o ose u π/ cos x +cos x dx Pour, la foctio x cos x +cos x dx est cotiue sur [, π ] et ositive et doc, u existe et est ositif De lus, our, u π/ + dx π π La série de terme gééral coverge et doc la série de terme gééral u coverge si π 4 + si cos + O uis si π 4 + l l + O l l + o Par suite, < u e si π 4 + l e l La série de terme gééral diverge et la série de terme gééral u diverge l + + o et doc u e e +o e + + o La série de terme gééral e diverge et la série de terme gééral u diverge e > Correctio de l exercice Si P est as uitaire de degré, u e ted as vers et la série de terme gééral u diverge grossièremet Soit P u olyôme uitaire de degré Posos P X + ax + bx + c 6

7 u + /4 + a + b + c / + a + + O b + a 9 + a + b + O a 9 + O Si a, u e ted as vers et la série de terme gééral u diverge grossièremet Si a et b, u b u est doc de sige costat our grad et est équivalet au terme gééral d ue série divergete Doc la série de terme gééral u diverge Si a et b, u O Das ce cas, la série de terme gééral u coverge absolumet E résumé, la série de terme gééral u coverge si et seulemet si a et b ou ecore la série de terme gééral u coverge si et seulemet si P est de la forme X + X + c, c R Pour, osos u S Pour, α et doc, S S Par suite, < S + S u α S o Pour tout réel α, la série de terme gééral u coverge u R, N, u > Par suite,, < u < O e déduit que lim u et ar suite u > La série de terme gééral u diverge 4 O sait qu il existe ue ifiité de ombres remiers Notos N la suite croissate des ombres remiers La suite N est ue suite strictemet croissate d etiers et doc lim ou ecore lim et les séries de termes gééraux et l sot Par suite, < de même ature l Il reste doc à étudier la ature de la série de terme gééral l Motros que N N, l l N Soit Alors < et la série de terme gééral, N, est ue série géométrique covergete de somme : Soit alors N u etier aturel suérieur ou égal à et < < la liste des ombres remiers iférieurs ou égaux à N Tout etier etre et N s écrit de maière uique β β où i [[,]], β i α i E ln l i et deux etiers disticts ot des décomositios distictes Doc 7

8 l l car N, l l l N i i α i i l α l i i > β α,, β α β, β Or lim N l N et doc l La série de terme gééral l diverge et il e est de même de la série de terme gééral Ceci motre qu il y a beaucou de ombres remiers et e tout cas beaucou lus de ombres remiers que de carrés arfaits ar exemle 5 Soit N Posos a + + a + a où i [[, ]], a i {,;,9} et a Alors c + Détermios est e foctio de O a < + et doc E log Doc N, u Elog+ α l Par suite, u α l α et la série de terme gééral u coverge si et seulemet si α > séries de BERTRAND Redémotros ce résultat qui est as u résultat de cours La série de terme gééral l est divergete voir l exercice, 4 Par suite, si α, la série de terme gééral l α est divergete car, l α l Soit α > Puisque la foctio x xl α est cotiue et strictemet décroissate sur ],[, our x, uis, our, e sommat our [[,]] l α xl α x dx l α xl α x dx xl α x dx α l α l α α l α Aisi, la suite des sommes artielles de la série à termes ositifs, de terme gééral l α, est majorée et doc la série de terme gééral l α coverge 6 Soit u + u l a + < + b et d arès la règle de d ALEMBERT, la série de terme gééral u coverge 6 lim u π 4 π 4 Doc u tau + a a + a a + O + O a + O Par suite, la série de terme gééral u coverge si et seulemet si a 8

9 7 La foctio x x / est cotiue et croissate sur R + Doc our, x/ dx / + x / dx uis our N : x/ dx x/ dx / + x / dx + x / dx ce qui fourit 5 5/ / 5 + 5/ et doc / 5/ 5 5 α Doc u 5 > La série de terme gééral u coverge si et seulemet si α > 7 8 Pour, Comme + α Si α >, u + α + α + α α + α + + α + α >, si α, o a α et la série de terme gééral u α diverge < u + l l e α + α + α terme gééral d ue série de RIEMANN covergete, α et, uisque α >, la série de terme gééral u coverge Fialemet, la série de terme gééral u coverge si et seulemet si α > Correctio de l exercice Pour N, u si π + si π + + si π + + π si π + La suite si π + est alterée e sige et sa valeur absolue ted vers e décroissat La N série de terme gééral u coverge doc e vertu du critère sécial aux séries alterées la suite + N u est as décroisate à artir d u certai rag + + O + O La série de terme gééral coverge e vertu du critère sécial aux séries alterées et la série de terme gééral O est absolumet covergete O e déduit que la série de terme gééral u coverge u l + +O Les séries de termes gééraux resectifs et O / sot covergetes et la série de terme gééral est divergete Si la série de terme gééral u covergeait alors la série de terme gééral u O covergerait ce qui est as Doc la série de terme gééral u diverge Remarque La série de terme gééral u diverge bie que u soit équivalet au terme gééral d ue série covergete 4 Si α πz, alors les deux remières séries diverget et la derière coverge Soit α / πz Pour N, osos v e iα et ε de sorte que u ε v Pour N, osos ecore V v / / 9

10 Pour, N, osos efi R + u u + + u O effectue alors ue trasformatio d ABEL R + + ε v + + ε V V ε + V + ε + V + ε ε + V + ε V + + ε V ε V ε + V Maiteat, our N, V e iα eiα e iα eiα siα/ siα/ et doc N, V siα/ Par suite, our, N R + V V + + V + siα/ siα/ siα/ + siα/ Soit alors ε u réel strictemet ositif Pour E ε siα/ + et etier aturel o ul quelcoque, o a R < ε O a motré que ε >, N /, N, + u u < ε Aisi, la série de terme gééral u vérifie le critère de CAUCHY et est doc covergete Il e est de même des séries de termes gééraux resectifs cosα Re e iα et siα Im e iα 5 Pour x ],[, osos f x lx x f est dérivable sur ],[ et x > e, f x lx x < Doc, la foctio f est décroissate sur [e,[ O e déduit que la suite l est ue suite décroissate Mais alors la série de terme gééral l coverge e vertu du critère sécial aux séries alterées 6 Si degp degq, u e ted as vers et la série de terme gééral u est grossièremet divergete Si degp degq, u O et la série de terme gééral u est absolumet covergete Si degp degq, u domp domq + O u est alors somme de deux termes gééraux de séries covergetes et la série de terme gééral u coverge E résumé, la série de terme gééral u coverge si et seulemet si degp < degq 7 e! uis our,!e + +!! + +!! Pour,!! est u etier divisible ar et est doc u etier air que l o ote K Pour, o obtiet si!πe si K π + + π + π +!! + si π +!! Détermios u déveloemet limité à l ordre de +!! quad ted vers +!! !! Maiteat, our +,!! + + et doc +!!

11 O e déduit que +!! o Il reste +!! o o + o Fialemet, si!πe + si π + o + π + si!πe est somme de deux termes gééraux de séries covergetes et la série de terme gééral si!πe coverge Si, si!πe et la série de terme gééral si!πe coverge absolumet π Correctio de l exercice 4 + o Par suite, la série de terme gééral + coverge er calcul Soit S + Alors O e déduit que S 9 4 S S S ème calcul Pour x R et N, o ose f x x Soit N f est dérivable sur R et our x R, f x x + x Par suite, our N et x R \ {} + x f x x x x x x x x x + x x Pour x, o obtiet + + Pour, Puis et quad ted vers l ifii, o obtiet de ouveau S o La série roosée est doc covergete de somme o o Pour N, o a + j + j uis + + j + + j + + j + j et + + j + + j + + j + j 4 Par suite,

12 et doc e + e j + e j + j + j!!,! e + e j + e j e + e / cos e + e +i + e i e + e / Ree i /! e + e cos somme télescoique + + o l + + O Doc la série de terme gééral l + coverge Posos S l + uis our, S l + Puisque la série coverge S lim S lim S + avec + S + l + et quad ted vers, o obtiet S l + l + + l l + + l + l l + 6 Si a ], π [ alors, our tout etier aturel, a ], π [ et doc cos a > Esuite, l cos a l + O O et la série coverge Esuite, a l cos a l cos si l a si a l sia l + si a roduit télescoique sia sia l + a l a + si a si a

13 a ], π [, l cos a l sia a 7 Vérifios que our tout réel x o a thx thx Soit x R +th x ch x + sh x 4 ex + e x + e x e x ex + e x chx et shxchx ex e x e x + e x ex e x shx uis thx shxchx shx +th x ch x+sh x chx thx Par suite, our x R, thx thx thx Mais alors, our a R et N a th ce qui reste vrai quad a th a th a tha th a somme télescoique tha a, a R, th a tha a th a th a Correctio de l exercice 5 Il faut vérifier que u Pour N, osos S u Pour N, o a < u u + + u }{{ } S S + u car la suite u est décroissate Puisque la série de terme gééral u coverge, lim S S et doc lim u Esuite, < + u + + u u + u Doc les suites des termes de rags airs et imairs extraites de la suite u N coverget et ot même limite à savoir O e déduit que lim u ou ecore que u o Cotre exemle avec u o mootoe Pour N, o ose u si si est u carré arfait o ul La suite sio u est ositive et u < Pourtat, u et la suite u admet ue suite extraite covergeat vers O a doc as lim u Correctio de l exercice 6 Soit σ ue ermutatio de [[,]] Motros que la suite S CAUCHY Soit N S S + σ σ + σ,, e vérifie as le critère de car les etiers σ,, sot strictemet ositifs et deux à deux disticts

14 Si la suite S coverge, o doit avoir lim S S ce qui cotredit l iégalité récédete Doc la série de terme gééral σ,, diverge Correctio de l exercice 7 Pour N, osos v l + u, w Si u, alors u v même ature D autre art, our N, u +u et t u dx +x e w Das ce cas, les séries de termes gééraux u, v et w sot de u +u e t u uis +u e t u et doc t u Les séries de termes gééraux u et t sot aussi de même ature Si u e ted as vers, la série de terme gééral u est grossièremet divergete Puisque u e v, v e ted as vers et la série de terme gééral v est grossièremet divergete Das ce cas aussi, les séries de termes gééraux sot de même ature u De même, uisque w +u <, o a u w w et w e eut tedre vers Efi, uisque u e ted as vers, il existe ε > tel que our tout etier aturel N, il existe N N tel que u ε Pour cet ε et ces, o a t ε dx +x > foctio cotiue, ositive et o ulle et la suite t e e ted as vers Das le cas où u e ted as vers, les quatre séries sot grossièremet divergetes Correctio de l exercice 8 Pour N, osos u +! e! Soit N u + +!! O a < +6 o 4 Doc ++ + u o O e déduit que o o o o Fialemet +! e! o 4 4 Correctio de l exercice 9 4

15 Pour N, osos u si π + D arès la formule du biôme de NEWTON, + A +B où A et B sot des etiers aturels U calcul cojugué fourit aussi A B Par suite, + + A est u etier air Par suite, our N, u si A π π si π Mais < < et doc O e déduit que u π terme gééral d ue série géométrique covergete Doc la série de terme gééral u coverge Correctio de l exercice Pour N, o a u u et doc coverge, la série de terme gééral coverge u u + Comme la série terme gééral u + Correctio de l exercice Pour, v u + +u +u +u +u +u +u et d autre art v +u Doc, our v +u +u somme télescoique Si la série de terme gééral u coverge alors lim u et doc < u l + u Doc la série de terme gééral l + u coverge ou ecore la suite l + u coverge vers u certai réel l Mais alors la suite + u coverge vers le réel strictemet ositif P e l Das ce cas, la suite v coverge vers P Si la série de terme gééral u diverge alors la série de terme gééral l + u diverge vers et il e est de même que la suite + u Das ce cas, la suite v coverge vers Correctio de l exercice Etudios tout d abord la covergece de la série de terme gééral u Si u S ted vers alors < u S l u S l S S ls ls Par hyothèse, lim S O e déduit que la série de terme gééral ls ls est divergete car ls ls ls ls Das ce cas, la série de terme gééral u S diverge ce qui est aussi le cas si u S e ted as vers Doc, das tous les cas, la série de terme gééral u S diverge Si α, uisque S ted vers, à artir d u certai rag o a S α S et doc u S u α S Doc, si α, la série de terme gééral u S diverge α Si α >, uisque la suite S est croissate, < u S α S S S α S S dx S α S dx x α α S α, S α qui est le terme gééral d ue série télescoique covergete uisque Das ce cas, la série de terme gééral u S coverge α S α ted vers quad ted vers l ifii La série de terme gééral u S α coverge si et seulemet si α > 5

16 Correctio de l exercice Si α <, u gééral u diverge grossièremet das ce cas O suose doréavat que α > Pour tout etier aturel o ul, u α et si α, u + Doc si α, u e ted as vers La série de terme α et doc la série de terme gééral u coverge absolumet si et seulemet si α > Il reste à étudier le cas où < α O a u + La suite α α ted vers e décroissat et α doc la série de terme gééral coverge e vertu du critère sécial aux séries alterées O e déduit que α la série de terme gééral u coverge si et seulemet si la série de terme gééral α seulemet si α > E résumé Si α, la série de terme gééral + α α si < α, la série de terme gééral + α α si < α, la série de terme gééral + α si α >, la série de terme gééral + α α α diverge grossièremet, diverge, est semi covergete, coverge absolumet coverge ou ecore si et Correctio de l exercice 4 Pour N, o ote S la somme des remiers termes de la série cosidérée et o ose H Il est cou que H l + γ + o Soit m N S m+q m m m mq m q m m q mq mq H m H m + H mq lm + γ m lm + γ + lmq + γ + o l + l q q + o q Aisi, la suite extraite S m+q m N coverge vers l + l q Motros alors que la suite S N coverge Soit N Il existe u uique etier aturel o ul m tel que m + q < m + + q à savoir m E +q S S m +q m m + + m q + + m + q m + + q m q + + m m m Soit alors ε > Puisque lim m, il existe N tel que our, m < ε et aussi Sm +q l l q < ε Pour, o a alors 6

17 S l l S S q m +q + S m +q l l + q m S m +q l l q < ε + ε ε O a motré que ε >, N / N, S l + l q < ε et doc, la série roosée coverge et a our somme l + l q Correctio de l exercice 5 La série roosée est le roduit de CAUCHY de la série de terme gééral,, ar elle même α Si α >, o sait que la série de terme gééral coverge absolumet et doc que la série roosée coverge α Si α, our < < o a < 4 Doc u α avec α 4 4 Comme α, la série roosée diverge Si α <, u et doc u α e ted as vers Das ce cas, la série roosée diverge grossièremet 4 α α Correctio de l exercice 6 Soit N Doc + +! ! 5 +! + 5 +! 8 e 5e + 5e 8 e 5 +! 4e + + +! 4e + Pour N, o a u + + a++ u Par suite + a + u + + u + au + au uis a u + a + u + + au + a + u + a + u + a + u + Si a, N, u + Das ce cas, la série diverge Si a, N, u a + a + u + a a a + + u + Si a >, la suite u est strictemet ositive et la suite des sommes artielles S est majorée ar a Doc la série de terme gééral u coverge Il e est de même de la suite a + + u + Soit l lim a + + u + Si l, u + Si < a <, our tout N, u l +a+ cotredisat la covergece de la série de terme gééral u Doc l et si a >, u a + + Das ce cas, la série diverge 7

18 Correctio de l exercice 7 Pour tout etier aturel o ul, < gééral u coverge si et seulemet si > + et la série de terme Correctio de l exercice 8 O alique la règle de RAABE-DUHAMEL qui est as u résultat de cours Pour N, osos u! a+a+a+ u + u + a a+ + a+ + O et «o sait» qu il existe u réel strictemet ositif K tel que u K a a + O, Correctio de l exercice 9 Pour tout etier aturel o ul, < gééral u coverge si et seulemet si > + et la série de terme Correctio de l exercice Pour N, osos R + Puisque la série de terme gééral,, coverge, la suite R est défiie et ted vers quad ted vers < et uisque la série de terme gééral coverge, la règle de l équivalece des restes de séries à termes ositifs covergetes ermet d affirmer que R + + N N + lim lim N N ou ecore R + o Plus récisémet, our N, R + + Or + uis 6 R Esuite + o 4 Puis + + surtout e as décomoser e deux sommes somme télescoique et doc ou ecore

19 + et + lim N N o lim N 4 NN N lim N + lim N NN N + + o + + o o 4 et fialemet R o o o 6 4 Correctio de l exercice La suite l ted vers, e décroissat à artir du rag fouri ar l étude de la foctio x lx N x,, coverge e vertu du critère sécial aux sur [e,[ et doc la série de terme gééral l séries alterées Pour N, o ose R + l est as de sige costat à artir d u certai rag et o e eut doc lui aliquer la règle de l équivalece des restes Par cotre, uisque la série de terme gééral l coverge, o sait que l o eut associer les termes à voloté et our N, o a R l l l+ + l Puisque la foctio x lx x est décroissate sur [e,[ et doc sur [,[, our, l+ + et o eut utiliser la règle de l équivalece des restes de séries à termes ositifs covergetes Cherchos déjà u équivalet lus simle de l l l + + l l l 4 l 4 + o l+ + quad ted vers + l + l l + l + o + l + l 4 + o l + o l 9

20 et doc R 4 l Cherchos maiteat u équivalet simle de l de la forme v v + Soit v l l+ + suggéré ar lx x lx lx Alors x x x v v + l l l + l + + l l + + o + o D arès la règle de l équivalece des restes de séries à termes ositifs covergetes, R l 4 série télescoique Puis, R R l l 4 l + o l l 4 l + o l l 4 + o l E résumé, R O eut uifier : R l 4 et R l 4 l 4 l et R l 4 + l l l Fialemet, est ue série à termes ositifs grossièremet divergete ère solutio < car e + o D arès la règle de l équivalece des sommes artielles de séries à termes ositifs divergetes, La somme est équivalete à so dermier terme 4 ème solutio Pour, Doc O e déduit que o + o + o l l+ + Correctio de l exercice Soit N Pour N \ {}, N, N, + Doc our N >, + N N N, + N+, N+ N + Maiteat, N+ N + N N+ est ue somme de termes tedat vers quad N ted vers Puisque est costat quad N varie, lim N N+ N + et doc N, uis 4 N N, π 4 8 Pour N doé, o a aussi N, N, et doc 4

21 N N, π 8 O e déduit que la suite double est as sommable, N, Correctio de l exercice La suite + est alterée e sige et sa valeur absolue ted vers e décroissat Doc la série de N terme gééral +,, coverge e vertu du critère sécial aux séries alterées Soit N + t dt t + dt t dt + +t t+ dt +t Mais t+ dt +t t+ dt +t t+ dt +4 O e déduit que t+ dt ted vers quad +t ted vers et doc que Calculos cette derière itégrale Doc, X + X + X + jx + j X + X X X X + + X + +t dt j X + j + j X + j X + + X + X X + [ + lt + lt t + + ] arcta t l + π 6 π 6 l+π 9 + l+π 9 Correctio de l exercice 4 Pour tout etier, o a v v u ce qui reste vrai our si o ose de lus v Par suite, our N v u v v v v v v + v v v + v + v v v Mais alors, our N N, N v u v N v v v Par suite, N v N u v N / u N v / iégalité de CAUCHY-SCHWARZ Si N / v >, o obtiet arès simlificatio ar N v / uis élévatio au carré N v 4 N u,

22 cette iégalité restat claire si N v / Fialemet, N v 4 N u 4 u La suite des sommes artielles de la série de terme gééral v est majorée Doc la série de terme gééral v coverge et de lus, quad N ted vers l ifii, o obtiet v 4 u Correctio de l exercice 5 Soit N u π 4 + +t dt + Par suite, our N N, t + +t dt t dt +t dt t + +t dt N u N t + +t dt t t N+ +t dt Or N+ t N+ dt +t, il e est de même de N+ et de lus t N+ dt +t tn+ dt N+ Comme N+ t +t dt + N+ t N+ +t dt ted vers quad N ted vers t N+ +t dt O e déduit que la série de terme gééral u, N, coverge u [ t +t t +t dt ] t t +t dt +t dt 4 π 8 π π 8