1) Proportion («rapport d une partie au tout»)

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1 1) Proporton («rapport d une parte au tout») La proporton (ou réquence) d une sous populaton dans une populaton (dte de réérence) est le nombre : où n est l eect de et n celu de. Proprété : 0 p 1 p = n n parm les enters de 1 à 10 (n = 10 ), les multples de 3 sont : 3,6 et 9 : ls y en a n 3 60 = 4. Leur proporton parm les enters de 1 à 10 est donc p = = 0,6 = = 60 % ) Comparason de deux proportons Lorsque deux proportons sont relatves à une même populaton de réérence, ces proportons et les eects correspondants sont rangés dans le même ordre. Lorsque deux proportons sont relatves à des populatons de réérence dérents, ces proportons et les eects correspondant ne sont pas orcément rangés dans le même ordre. Une enquête établt que parm un même ensemble de personnes, 20 % ont utlsé un médcament et 70 % un médcament B. L ensemble de réérence étant le même, on peut dre que parm ces personnes, l y en a plus qu prennent le médcament B que. L enquête établt auss que parm les emmes de cet ensemble, 30 % ont utlsé le médcament, contre 25 % seulement parm les hommes. Les ensembles de réérence sont dérents ; on ne peut pas dre s le nombre de jeunes emmes ayant utlsé est supéreur ou néreur au nombre correspondant d hommes ayant utlsé. 3) Réunon, ntersecton Soent et B deux sous populatons d une populaton de réérence. Déntons : 1) la populaton B est appelée ntersecton de et de B : elle content les ndvdus appartenant à et à B. 1

2 2) la populaton B est appelée unon de et de B : elle content les ndvdus appartenant à ou à B. Proprété : en notant p la proporton de dans, p B la proporton de B dans, p B la proporton de B dans, p B la proporton de B dans, on a : p B = p + p B p B B 4) Sous populatons dsjontes Dénton : deux sous populatons sont dsjontes lorsque leur ntersecton est vde : c'est-àdre lorsqu elles n ont aucun ndvdu en commun. Proprété : s et B sont dsjontes dans alors p B = 0 et par conséquent : p B = p + p B B 2

3 5) Proporton de proporton S p est la proporton de dans et p la proporton de dans F, alors le proporton de dans F est pp. 3 Parm un groupe de personnes, sont des emmes. Parm ces emmes, 4 % sont rousses. 4 ns, la proporton des emmes rousses par rapport à tout le groupe est : 3 4 = 0,03 = 3 % ) Taux d évoluton On consdère des nombres réels strctement posts et ; est la valeur «ntale» et la valeur «nale» d une grandeur qu évolue (prx, eect, ). Le taux d évoluton de à (ou varaton relatve) est le taux t =. Le taux peut s écrre sous orme de racton, de nombre décmal ou de pourcentage. < correspond à t > 0 : taux d augmentaton (ou de hausse) > correspond à t < 0 : taux de dmnuton (ou de basse) xemples : Le pourcentage d évoluton de 2,5 à 10 est 10 2,5 = 3 = 300 % (hausse). 2,5 Le pourcentage d évoluton de 10 à 2,5 est 2,5 10 = - 0,75 = - 75 % (basse). 10 ttenton : un taux n est pas une proporton (l n est pas orcément comprs entre 0 et 1) Remarque : en langage courant, on utlse le mot «varaton» sans autre précson, mas par conventon, une varaton est toujours une varaton relatve. 3

4 7) Coecent multplcateur S t = est le taux d évoluton de à alors = (1 + t). (1 + t) est le coecent multplcateur de à. Démonstraton : t = Proprétés : donc t = - et + t = d où : ( 1 + t) =. et sont posts donc (1 + t ) l est auss. Le coecent multplcat est post. n cas de hausse, t > 0 donc (1 + t) > 1. n cas de hausse, le coecent multplcat est supéreur à 1. n cas de basse, t > 0 donc (1 + t) > 1. n cas de basse, le coecent multplcat est néreur à 1. Le prx d une T LCD basse de 17 %. On a alors : t = - 17 % = - 0,17 ; c'est-à-dre (1 + t) = 1 0,17 = 0,83. Sachant qu l en coutat 1500, l coute désormas : ,83 = ) volutons successves S on eectue une évoluton de taux t 1 pus de taux t 2, alors le coecent multplcat de l évoluton totale de taux t est le produt des 2 coecents multplcats : (1 + t) = (1 + t 1 ) ( 1 + t 2 ). On a alors : t = (1 + t 1 ) (1 + t 2 ) - 1 = t 1 + t 2 + t 1 t 2 ttenton : ce taux (exprmé en pourcentage s beson) n est donc égal, en général, n à la somme, n au produt des deux taux t 1 et t 2! Une basse de 10 % suve d une hausse de 10 % donne t 1 = - 10 % et t 2 = 10 %. Donc le coecent multplcat global est : (1 + t) = ( 1-10 % ) ( %) = 0,9 1,1 = 0,99. Donc le pourcentage global dévoluton est t = 0,99-1 = - 0,01 = - 1 %. Une basse de 10 % suve d une hausse de 10 % donne une basse de 1 %! 4

5 S t = 9) Évoluton récproque est le taux d évoluton de à alors le taux d évoluton récproque t de à est tel que : 1 + t =. On a alors : t = 1 + Une acton a augmenté de 10 %. Le taux t d évoluton récproque dont elle dot basser pour revenr à son cours ntal est : t = 1 + = % ,09 %., 5