Introduction à la théorie des probabilités et aux statistiques

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1 Itroductio à la théorie des probabilités et aux statistiques Magistère de mécatroique re aée ENS Rees Uiversité Rees Aée Pour toutes remarques et correctios : floria.lemoier@es-rees.fr

2 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique Table des matières Rappels de déombremet 3. Permutatio d u esemble Arragemet Combiaiso Espaces probabilisés 7. Quelques défiitios Probabilité coditioelle Variables aléatoires réelles 3. Variables aléatoires discrètes Variables aléatoires cotiues Gradeurs associées aux variables aléatoires Espérace Variace Foctio de répartitio Lois ormales Loi ormale cetrée réduite Cas gééral Couples de variables aléatoires Variables aléatoires idépedates Théorèmes limites 5 4. Loi des grads ombres Théorème cetral limite Applicatios e statistiques 6 5. Modélisatio statistique Pricipe fodametal de la statistique Modèle statistique Estimatio paramétrique Estimateur Estimateur du maximum de vraisemblace Critères de performace des estimateurs Itervalle de cofiace Itervalle de cofiace par excès Itervalle de cofiace asymptotique A Lois de probabilités classiques I A. Lois discrètes I A. Lois à desité II B Table de la loi ormale cetrée réduite III Floria Lemoier ENS Rees Uiversité Rees

3 Rappels de déombremet Chapitre Rappels de déombremet E Frace, lorsqu o joue au loto, l objectif est de trouver les 5 bos uméros parmi 49 aisi qu u uméro chace parmi 0 possibilités. Pour calculer les chaces de gager, il est aturel de compter le ombre N total de choix possibles, et o pourra aisi dire qu il y a ue chace sur N de gager le premier lot. Pour compter ce ombre de possibilités, o va faire iterveir la théorie du déombremet. La base du déombremet est le fait que lorsqu o effectue deux expérieces successives ayat respectivemet m et possibilités, alors il existe m possibilités pour les deux expérieces prises esemble. Pour s e covaicre, imagios u jeu cosistat à devoir devier le résultat d u dé équilibré à 6 faces et le résultat du lacer d ue pièce Pile Face Pile Face Pile Face Pile Face Pile Face Pile Face O a aisi 6 = possibilités. Bie sûr, sur le même pricipe, si o effectue m expérieces, avec chacue u ombre i de possibilités, alors o a... m possiblités pour les m expérieces prises esemble.. Permutatio d u esemble Défiitio.. Permutatio O appelle permutatio d u esemble composé de élémets tout ragemet ordoé de ces élémets. Exemple... a, b, c, b, c, a et b, a, c sot trois permutatios d u esemble à 3 élémets {a, b, c}. Combie a-t-o de faços de rager u esemble à 3 élémets {a, b, c}? O a trois possibilités pour le premier élémet, deux pour le secod, et efi u seul choix pour le troisième, doc 3 = 6 possibilités. a b c b c a c a b c b c b b a Floria Lemoier 3 ENS Rees Uiversité Rees

4 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique Propositio..3 Le ombre de permutatios d u esemble à élémets est!. Remarque..4.! se lit factorielle et vaut! = Par covetio, o pose 0! =.. Arragemet Défiitio.. Arragemet O appelle arragemet de k élémets pris parmi élémets d u esemble E toute suite ordoée de k élémets disticts de E. Exemple... a, b, c, f, f, a, e, d et e, a, f, d sot trois arragemets disticts à 4 élémets d u esemble à 6 élémets {a, b, c, d, e, f}. Combie y a-t-il d arragemets de élémets parmi 4? O a quatre possibilités pour le premier, puis trois pour le secod, soit 4 3 = possibilités. a b c d b c d a c d a b d a b c Propositio..3 Le ombre d arragemets de k élémets parmi est :... k+ =! k!. Exemple..4. Das ue course de chevaux, o compte 8 partats. Le ombre de résultats possibles au tiercé 8! est doc 8 3! = Combiaiso Reveos à l exemple du loto. La remarque du début de ce chapitre ous ivite à cosidérer séparémet l expériece relative aux 5 bos uméros ordiaires parmi 49 et l expériece relative au uméro chace. L ordre des élémets du tirage des uméros ordiaires importe pas, car {,, 33, 4, 48} et {33, 48,, 4, } correspodet à ue même grille. La méthode précédete de déombremet est doc iadéquate. Défiitio.3. Combiaiso O appelle combiaiso de k élémets parmi tout sous-esemble de E esemble de cardial comportat exactemet k élémets.! Le ombre d arragemets de k parmi est. O e désire plus distiguer deux arragemets qui sot composés des mêmes élémets, c est-à-dire les arragemets qui sot égaux à ue k! permutatio près. Le ombre d arragemets qui sot égaux à ue permutatio près est k!. Propositio.3. Le ombre de combiaisos de k élémets parmi est le ombre oté :! = k k! k!. Floria Lemoier 4 ENS Rees Uiversité Rees

5 Rappels de déombremet Aisi, le ombre de grilles différetes de 5 uméros parmi les 49 uméros possibles est 49 = = E outre, il y a ue chace sur 0 de choisir le bo uméro chace. O a doc ue chace sur de gager le premier lot. Remarque.3.3. Par covetio, si k >, o pose = 0. k Propositio.3.4 Les coefficiets biomiaux. = ; k k. + = k k+ vérifiet les relatios suivates : k +. k+ Démostratio :. Par le calcul, il suffit d écrire la formule das les deux cas. E termes de déombremet, o peut expliquer que choisir k élémets parmi reviet à e pas choisir k élémets parmi.. Par le calcul, o a : + k = k+ =! k! k! +! +! k+! k! = k+! k! =!k++! k k+! k! +. k+ D u poit de vue déombremet, cosidéros u esemble à + élémets das lequel o piochera k+ élémets simultaémet : e, e, e 3,..., e e + O isole itetioellemet le derier élémet e +. O va alors compter séparémet les combiaisos qui comportet l élémet e + et celles qui e le comportet pas. Choisir ue combiaiso qui e cotiet pas e + reviet exactemet à choisir les k+ élémets parmi e, e,..., e. e, e, e 3,..., e Le ombre de telles combiaisos est k+ le ombre de combiaisos de k + élémets parmi. Maiteat o cherche le ombre de combiaisos qui comportet l élémet e +. Il e reste plus que k élémets à choisir vu qu il y e a déjà u de fixé. e, e, e 3,..., e Ces k élémets e peuvet être choisis que parmi les e, e,..., e. Il y a doc autat de combiaisos de k+ élémets parmi + qui cotieet e + que de combiaisos de k élémets parmi, ce qui fait. k Propositio.3.5 Biôme de Newto Soiet a et b deux réels quelcoques et soit u etier aturel. Alors o a la relatio : a+b = a k b k. k k=0 Floria Lemoier 5 ENS Rees Uiversité Rees

6 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique Démostratio : par récurrece. 0 L iitialisatio est immédiate : a+b 0 = = a 0 b 0. 0 O suppose maiteat que l égalité soit vraie pour u certai rag c est l hypothèse de récurrece et o veut vérifier qu elle est vraie au rag +. O écrit : a+b + = a+ba+b = a+b a k b k, par hypothèse de récurrece k = k=0 k a + k b k + k=0 k=0 k a k b k+ O effectue alors u chagemet d idice das la deuxième somme, e posat j = k+ : k=0 a k b k+ = k + j j= a j b j = b + + Quat à la première somme, o la casse de la faço suivate : k=0 k a + k b k = a + + k= k Aisi, e additioat ces deux sommes, o obtiet : a+b + = a + + j= j a + j b j + b + + j= a + k b k = a + + j= + + = a + b 0 + a 0 b = a + b 0 + a 0 b = a + j b j. j + j=0 j= j= j a + j b j. j j= a + j b j. j a + j b j j + a + j b j j j + a + j b j Si o réfléchit d u poit de vue déombremet, o peut remarquer que chaque terme issu du développemet de a+b est u produit de facteurs issus de a+b. Aisi, tous les termes ot la forme a k b k. Ce qu il faut savoir désormais, c est le ombre de termes de la forme a k b k pour k allat de 0 à. Cela reviet à choisir k élémets a parmi les parethèses a+b, et le ombre de b sera alors k. Le ombre de termes a k b k est le ombre de combiaisos de k élémets parmi, doc fois les termes égaux regroupés : a+b = k=0 a k b k. k Remarque.3.6. Cette formule permet otammet de motrer que k=0 =. k k. Aisi, ue Floria Lemoier 6 ENS Rees Uiversité Rees

7 Espaces probabilisés Chapitre Espaces probabilisés La théorie des probabilités se propose de calculer, de quatifier le hasard. Par exemple, le jeu du Pile ou Face. Les équatios détermiat le mouvemet de la pièce e sot pas dues au hasard. Le problème, c est que l o e coaît pas les coditios iitiales. Les propriétés de la pièce icitet à peser que la moitié des coditios iitiales aboutisset au résultat Pile, l autre moitié au résultat Face. Le hasard apparaît doc lorsqu il est impossible d accéder à ue iformatio utilisable sur les coditios iitiales. Cela se produit fréquemmet : météorologie, fiaces... Les techiques probabilistes sot beaucoup utilisées pour obteir des iformatios sur des phéomèes d ordres les plus divers : sodages, estimatios diverses... L efficacité de ces techiques est sas doute leur meilleur justificatio. Le formalisme courammet adopté e théorie des probabilités est dû à A.N. Kolmogorov Ses igrédiets pricipaux sot les théories des esembles et de la mesure.. Quelques défiitios E probabilités, pour modéliser ue expériece aléatoire, o se doe u esemble permettat de décrire toutes les issues possibles de l expériece. O appelle cet esemble uivers, et o le ote gééralemet Ω. Exemple.... O jette u dé à six faces et o s itéresse au uméro de la face supérieure. O choisit Ω = {,, 3, 4, 5, 6}.. O joue au Pile ou Face. O choisit Ω = {0, }. 3. O jette ue pièce sur ue table carrée ; o s itéresse aux coordoées du cetre de masse de la pièce. O choisit Ω = [0, ]. O appelle évéemet toute partie de Ω. Das la suite, o va vouloir calculer la probabilité de certais évéemets. Malheureusemet, sauf lorsque Ω sera fii ou déombrable id est e bijectio avec N, comme par exemple Z ou Q, mais pas [0, ] ou R, o e pourra pas s itéresser à l esemble PΩ des parties de Ω. O se restreidra doc à u sous-esemble F de PΩ, qui costituera l esemble des parties de Ω dot o peut calculer la probabilité. Afi d obteir u modèle aussi cohéret que possible, o doit imposer à F de vérifier certaies coditios de stabilité : par uio, par itersectio, par passage au complémetaire... Floria Lemoier 7 ENS Rees Uiversité Rees

8 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique Défiitio.. Tribu O appelle tribu sur l esemble Ω, tout sous-esemble F PΩ vérifiat les assertios suivates :. l uivers est u élémet de F, Ω F;. l esemble F est stable par passage au complémetaire, A F, A F; 3. l esemble F est stable par réuio déombrable, A N F N, A F. =0 Exemple..3. Quelques exemples classiques de tribus sot : la tribu pleie F = PΩ ; la tribu triviale F = {, Ω} ; F 3 = {, A, A, Ω }, avec A Ω fixé ; la tribu borélieef 4 = BΩ est la plus petite tribu coteat tous les ouverts de Ω. Das le cas particulier Ω = R d, c est la plus petite tribu coteat tous les esembles de la forme [a, b [ [a d, b d [. E pratique, si Ω est fii ou déombrable, o choisira e gééral F = PΩ. Si Ω est pas déombrable, comme c est le cas das l exemple d ue suite ifiie de lacers Ω = {0, } N, o cosidérera e gééral la tribu F = BΩ, qui est plus petite. Défiitio..4 Probabilité Ue probabilité est ue foctio gééralemet otée P, défiie sur ue tribu F telle que :. P est à valeurs das [0, ] ;. PΩ = ; 3. pour toute famille A N d élémets de F deux à deux disjoits id est A A m = dès que = m, o ait : P A = PA. =0 =0 Propositio..5 Propriétés d ue probabilité Soit Ω,F, P u espace probabilisé. Tous les esembles sot supposés apparteir à F.. Mootoie : si A B, alors PA PB et plus précisémet : PB = PA+PB\A.. Additivité forte : 3. Sous-σ-additivité : PA+PB = PA B+PA B. P =0 A PA. =0 Floria Lemoier 8 ENS Rees Uiversité Rees

9 Espaces probabilisés 4. Cotiuité mootoe croissate : si A N est ue suite d évéemets croissate pour l iclusio id est A A + pour tout N, alors P =0 A = lim PA. 5. Cotiuité mootoe décroissate : si A N est ue suite d évéemets décroissate pour l iclusio id est A + A pour tout N, alors P =0 A = lim PA. Démostratio :. O applique la défiitio avec A 0 = A, A = B\A et A = pour.. O décompose de faço disjoite : A B = A\A B A B B\A B. O e déduit, toujours par le poit 3 de la défiitio : PA B = PA\A B+PA B+PB\A B. Par la propriété précédete, o aboutit par le calcul à : PA B = PA+PB PA B. 3. O costruit ue suite d évéemets B N par B 0 = A 0 et pour, B = A \ B sot deux à deux disjoits, B A et B = A. E coséquece : =0 =0 P A = P B = PB PA. =0 =0 =0 =0 4. O repred la même suite B N. O remarque que pour tout, o a : Aisi : P A = P =0 B = =0 A = B 0 B B. PB = lim =0 N N =0 PB = lim N PA N. k=0 A k. Les 5. O cosidère la suite d esembles défiie par C = A 0 \A, qui vérifie PC = PA 0 PA. La suite C N est croissate et C = A 0 \ A. Par cotiuité mootoe croissate, =0 =0 lim PC = P A 0 \ A = PA 0 P =0 A. =0 Mais, d autre part, Ce qui permet de coclure. lim PC = PA 0 lim PA. Floria Lemoier 9 ENS Rees Uiversité Rees

10 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique Exemple..6.. O lace 3 fois de suite ue pièce équilibrée et o compte le ombre de fois où Pile est apparu. O a doc Ω = {0,,, 3}, mais il y a pas équiprobabilité puisque les probabilités élémetaires sot P{0} = 8, P{} = 3 8, P{} = 3 8 et P{3} = 8.. Si o veut costruire ue probabilité P sur u esemble ifii déombrable, typiquemet sur N, PN, o e peut plus avoir équiprobabilité des évéemets élémetaires {}. Supposos e effet que pour tout N o ait P{} = p > 0, alors o aurait PN = P =0 {} = =0 P{} = =0 p = +, ce qui est e cotradictio avec la coditio PN =. Ue faço de costruire ue probabilité surn,pn est de cosidérer ue suite p N de ombres positifs telle que la série =0 p soit covergete et de somme. O défiit alors pour tout évéemet A PN sa probabilité par : PA = i A P{i}. 3. O lace ue pièce équilibrée jusqu à ce que Pile apparaisse e excluat le cas improbable où Pile pparaît jamais. O a doc Ω = {,,...} = N. O a clairemet p = P{} =, p = 4 et de faço géérale p =. O recoaît das les p les termes d ue suite géométrique dot la somme vaut bie.. Probabilité coditioelle Supposos que ous jetios deux dés à 6 faces. Les résultats d ue telle expériece sot des couples de la forme a, b, où a est le résultat du dé uméro et b celui du uméro. O se place das le cas où tous ces couples sot équiprobables de probabilité 36. Ue fois que l o coaît le résultat du premier dé, mettos 3, quelle est la probabilité que la somme des deux résultats soit par exemple 8? État doé que le premier dé est u 3, la probabilité coditioelle de chacu des évéemets 3,,3,,3, 3,3, 4,3, 5,3, 6 est 6 vu que le deuxième dé est équilibré. Mais la probabilité coditioelle d obteir u des 30 autres couples est ul, et u seul couple de la liste doée a ue somme de 8. Si A est l évéemet le premier dé doe 3, et B le résultat la somme des deux résultats est 8, la probabilité de B sachat A est ici 6. Défiitio.. Probabilité coditioelle Soiet A et B deux évéemets, avec PB > 0. La probabilité coditioelle de A sachat B, est : PA B = PA B. PB Remarque... E utilisat successivemet la formule PA B = PA BPB, o obtiet la formule des probabilités composées : PA A = PA PA A... PA A A. Défiitio..3 Idépedace U évéemet A est dit idépedat d u deuxième évéemet B, si PA B = PA. Floria Lemoier 0 ENS Rees Uiversité Rees

11 Espaces probabilisés Propositio..4 Les propriétés suivates sot équivaletes : PA B = PA A est idépedat de B PA B = PAPB A et B sot idépedats PB A = PB B est idépedat de A PB A = PB A la réalisatio ou o de A e modifie pas la probabilité de B Démostratio : Exercice. Défiitio..5 Idépedace mutuelle Ue famille quelcoque d évéemets A i i I est mutuellemet idépedate si pour tout J I fii, o a P A j = P A j. j J j J Remarque..6. Si A i i I est ue famille d évéemets mutuellemet idépedats, alors ces évéemets sot idépedats deux à deux au ses où pour tous i et i das I, A i et A i sot idépedats. L exemple suivat motre que l idépedace deux à deux implique pas l idépedace mutuelle. Exemple..7. O s itéresse à u jeu de dés l u est rouge, l autre bleu. O cosidère les évéemets : A : le résultat du dé rouge est impair ; B : le résultat du dé bleu est impair ; C : la somme des deux dés est impaire. Il est facile de costater que les évéemets A, B et C sot idépedats deux à deux. Mais ils e sot pas mutuellemet idépedats. E effet, PA = PB = PC =, PA B = PA C = PB C = 4, alors que PA B C = 0 car la somme des dés e peut être impaire si chacu des deux dés affiche u résultat impair. Propositio..8 Probabilités totales SoitA N ue famille d évéemets deux à deux icompatibles c est à dire que P A i A j = 0, pour i = j et tels que =0 PA =. Alors : PB = Théorème..9 Formule de Bayes PB A = =0 Sous les mêmes coditios que la propositio précédete : PB A PA =0 PA i B = PA i B PB = PB A i PA i PB A PA =0 Floria Lemoier ENS Rees Uiversité Rees

12 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique Chapitre 3 Variables aléatoires réelles Désormais, o se place das u espace probabilisé Ω,F, P fixé. 3. Variables aléatoires discrètes Défiitio 3.. Variable aléatoire discrète Soit E u esemble au plus déombrable. O dit qu ue applicatio X : Ω E est ue variable aléatoire discrète si x i E, X x i := {ω Ω Xω = x i } F. Remarque 3... E pratique, si Ω est déombrable, o pred F = PΩ ; alors, la seule coditio pour qu ue applicatio soit ue variable aléatoire discrète est qu elle soit à valeurs das u esemble déombrable. Exemple O lace u dé, o ote X le uméro obteu : c est ue variable aléatoire sur l uivers a Ω = {,, 3, 4, 5, 6}, avec Xω = ω ; b ou ecore Ω = R 3 R 3 R 3, mais ici Xω est pas simple à exprimer, pourtat modéliser le lacer par les positio, vitesse et accélératio iitiales peut sembler aturel ;. O lace u dé trois fois, o observe le uméro obteu au deuxième lacer, Ω = {,, 3, 4, 5, 6} 3, Xω, ω, ω 3 = ω ; 3. O lace u dé trois fois, o fait la somme des résultats, Ω = {,, 3, 4, 5, 6} 3, Xω, ω, ω 3 = ω + ω + ω 3. Défiitio 3..4 Loi d ue variable aléatoire discrète Soit X ue variable aléatoire discrète, à valeurs das E = {x i i I}. La loi de X est la famille des p i i I, défiie par i I, p i = PX = x i. Remarque Par abus de otatio, o écrit souvet des quatités comme PX = x i. Il s agit d u raccourci de otatio pour désiger P{ω Ω Xω = x i } = P X x i. Exemple Lacer d ue pièce : la loi de X est doée par p 0 = p =. O dit que X suit la loi uiforme sur l esemble {0, }.. Somme issue du lacer de deux dés : la loi de X est doée par la famille p = p,..., p où p = 36, 36, 3 36, 4 36, 5 36, 6 36, 5 36, 4 36, 3 36, 36,. 36 Floria Lemoier ENS Rees Uiversité Rees

13 Variables aléatoires réelles 3. Variables aléatoires cotiues Défiitio 3.. Variable aléatoire réelle Ue variable aléatoire réelle est ue applicatio X : Ω R telle que pour tout itervalle I de R, o ait X I := {ω Ω Xω I} F. Remarque 3... O retrouve la défiitio d ue variable aléatoire discrète si X est ue variable aléatoire réelle qui pred ses valeurs das u sous-esemble déombrable de R. Expliquos e deux mots la défiitio géérale ci-dessus. L itérêt de supposer qu u évéemet appartiet à F est d être assuré qu o pourra e calculer la probabilité. Mais das le cas où X pred ses valeurs das R tout etier ou das u itervalle de R, o e veut plus se restreidre à des évéemets de la forme X pred la valeur x comme das le cas discret, car ceux-ci serot gééralemet de probabilité ulle, doc sas grad itérêt. Le fait de supposer qu o va pouvoir calculer la probabilité de importe quel itervalle est bie plus pertiet, car à eux seuls les itervalles egedret ue famille très riche de sous-esembles de R : la tribu boréliee. Défiitio 3..3 Desité Ue foctio f : R R + admettat u ombre fii de discotiuités sur tout compact, et vérifiat + fx dx =, est ue desité de probabilité. C est la desité d ue variable aléatoire X si pour tout itervalle I de R, o a : PX I = I fx dx. Remarque Là ecore, oter l abus de otatio PX I qui sigifie P{ω Ω Xω I} = P X I. Remarque Notos que si X admet ue desité otée f X, alors PX = x 0 = f X x dx = 0. x 0 E particulier, pour ue variable aléatoire X à desité, il est importat de remarquer que : PX ]a, b[ = PX [a, b[ = PX ]a, b] = PX [a, b]. x0 Exemple Loi uiforme : ue variable X se répartissat de faço uiforme das le segmet [0, ] est défiie par la desité f X = [0,], c est-à-dire f X x = si x [0, ] et f X x = 0 sio. Pour tous poits a b de [0, ], la probabilité de tomber etre a et b est Pa X b = b a f X x dx = b a doc e déped que de la logueur de l itervalle, [ ce ] qui est bie [ coforme à l ituitio d ue variable uiforme : X a autat de chaces de tomber das 0, 4 que das, 4] 3. O dit que X suit ue loi uiforme sur le segmet [0, ] et o ote X U [0,].. Loi expoetielle : preos maiteat fx = e x si x 0 et fx = 0 si x < 0. Alors f 0 et + fx dx = + 0 e x dx = [ e x] + 0 = doc f défiit bie ue desité. Si X est ue variable aléatoire de desité f, o dit que X suit la loi expoetielle de paramètre et o ote X E. Floria Lemoier 3 ENS Rees Uiversité Rees

14 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique 3.3 Gradeurs associées aux variables aléatoires 3.3. Espérace Défiitio 3.3. Espérace. O défiit l espérace d ue variable aléatoire discrète X par la formule das le cas où x i PX = x i < +. x i XΩ E[X] = x i PX = x i, x i XΩ. O défiit l espérace d ue variable aléatoire X à desité f X par das le cas où + E[X] = x f X x dx < +. + x f X x dx, Remarque Si ue variable aléatoire X e pred que des valeurs positives, o peut éamois accepter de défiir l espérace de X lorsque celle-ci est ifiie. O dira : quad X est positive et discrète, E[X] = + si x i PX = x i = + ; quad X est positive et à desité, E[X] = + si x i XΩ + 0 x f X x dx = +. Remarque L espérace d ue variable aléatoire, c est la moyee des valeurs qu elle pred, podérée par ses probabilités. Exemple Loi uiforme : si X U [0,], alors so espérace vaut E[X] = moyee attedue, par symétrie de la loi de X autour de.. Loi expoetielle : si X E, alors ue itégratio par parties doe E[X] = [ x x dx = xe x dx = [ xe x] e x dx = [ e x] + = ] 0 =, ce qui est bie la 3. Loi de Cauchy. O cosidère ue variable aléatoire X de desité fx = ; e effet, f est ue π+x + foctio positive et fx dx = + dx π + x = [arcta x]+ π = π π π =. O dit que X suit la loi de Cauchy de paramètre. Néamois, l itégrale x fx πx. Propositio x fx dx diverge car e l ifii, o a Soiet X et Y deux variables aléatoires discrètes ou à desité toutes les deux, et soit λ R. Alors o a :. E[λX+ Y] = λe[x]+e[y] ;. si pour tout ω Ω, Xω 0, alors E[X] 0 ; 3. si pour tout ω Ω, Xω Yω, alors E[X] E[Y] ; 4. pour tout A itervalle de R, o a E[ A X] = PX A. Floria Lemoier 4 ENS Rees Uiversité Rees

15 Variables aléatoires réelles Théorème Trasfert. Soit X ue variable aléatoire discrète et ϕ : XΩ XΩ ue foctio, alors l espérace de ϕx vaut : E[ϕX] = ϕx i PX = x i, x i XΩ das le cas où ϕx i PX = x i < +. x i XΩ. Soit X ue variable aléatoire à desité et ϕ : R R ue foctio, alors l espérace de ϕx vaut : das le cas où + E[ϕX] = ϕx f X x dx < +. + ϕx f X x dx, Démostratio :. Puisque X pred ses valeurs das u esemble au plus déombrable E = x i i I, Y pred elle aussi ses valeurs das u esemble au plus déombrable F = y j = ϕe. Pour tout idice j j J de J, otos : E j = { i I } ϕxi = y j et qj = P Y = y j = p i. Puisque les y j j J et les q j j J i E j défiisset la loi de Y, so espérace vaut : E[Y] = j J y j q j = j J y j p i = i E j j J i E j ϕx i p i et puisque les E j j J sommatio : formet ue partitio de I, o obtiet e regroupat les deux symboles de E[Y] = ϕx i p i. i I Das ce qui précède, toutes les maipulatios de sommes sot justifiées par l absolue covergece de la série ϕx i p i. i I. Admis. Théorème Iégalité de Markov O suppose que pour tout ω Ω, o ait Xω 0. Alors pour tout λ > 0, o a : PX λ E[X] λ. Démostratio : Pour tout ω Ω, o a : Xω Xω {ω Ω Xω λ} λ {ω Ω Xω λ}. Aisi : ] E[X] λe [ {ω Ω Xω λ} = λp{ω Ω Xω λ} = λpx λ. Remarque Cette iégalité reste vraie si E[X] = +, mais est alors iutile. Floria Lemoier 5 ENS Rees Uiversité Rees

16 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique 3.3. Variace L espérace est u idicateur importat sur ue variable aléatoire, mais elle e doe pas toutes les iformatios sur la variable ou la quatité observée. Nous allos doc itroduire u ouvel idicateur, qui doera ue idée de la répartitio des otes autour de la moyee. Défiitio Variace O défiit la variace d ue variable aléatoire X discrète ou à desité par lorsque E [ X ] <. VX = E [ X E[X] ] Exemple Pour X U [0,], o a déjà vu que E[X] =. Aisi : VX = 0 x E[X] dx = Propositio 3.3. Formule de Koeig 0 x dx = Lorsque la variace est bie défiie, o a la formule suivate : VX = E [ X ] E[X]. x =. Démostratio : Il s agit simplemet du calcul suivat : VX = E Propositio 3.3. [ X XE[X]+E[X] ] = E [ X ] [ E[X]E[X]+E[X] = E X ] E[X]. Soiet X et Y deux variables aléatoires admettat ue variace ; et soit λ u réel. O a :. VX 0 ;. VλX = λ VX ; 3. VX+λ = VX. Démostratio : Exercice. Remarque Lorsque X admet ue variace, o défiit égalemet so écart-type, par σx = VX. Théorème Iégalité de Bieaymé-Tchebychev Soit X ue variable aléatoire réelle ; o suppose que V[X] est bie défiie. Alors, pour tout ε > 0, o a : P X E[X] ε VX ε. Démostratio : O applique l iégalité de Markov à la variable X E[X] : P X E[X] X E[X] λ λ O pred alors λ = ε. = VX λ. Exemple [ Si o pred ε = 0 ; la probabilité d obteir à l issue de l expériece ue valeur e dehors de l itervalle E[X] 0 VX; E[X]+0 ] VX est iférieure à %. Floria Lemoier 6 ENS Rees Uiversité Rees

17 Variables aléatoires réelles Foctio de répartitio Défiitio Si X est ue variable aléatoire réelle discrète ou à desité, o défiit sa foctio de répartitio F X par : x R, F X x = PX x. Propositio La foctio de répartitio F X d ue variable aléatoire réelle vérifie :. F X est croissate ;. F X est cotiue à droite ; 3. lim F Xx = 0 et lim F Xx =. x x + Démostratio :. Cela découle de la mootoie de P. E effet, pour x x, o a l iclusio : Aisi {X x} = {ω Ω Xω x} { ω Ω Xω x } = {X x }. F X x = PX x PX x = F X x.. Soit x 0 R ; motros que F X est cotiue à droite e x 0. Puisque F X est croissate, elle admet ue limite à droite e x 0, otée F X x + 0 = lim F X x 0 + par ailleurs, il existe ue limite à gauche, mais qui e ous itéresse pas. Pour motrer { la cotiuité } à droite de F X e x 0, il ous suffit de motrer que F X x 0 = F X x + 0. O ote C = X x 0 +. Aisi : + F X x0 = lim PC = P C = PX x 0 = F X x 0. = 3. Déjà, comme F X est croissate sur R, o sait que F X admet des limites e et e +, évetuellemet ifiies. E particulier, cela sigifie que lim F Xx = lim F X. Pour N, o défiit x + A = {X }. Aisi : lim F X = lim PA = P Le cas de la limite e + est laissé e exercice. Propositio N A = P = 0. =0 Si X est ue variable aléatoire réelle discrète preat des valeurs otées x k, alors F X est ue foctio e escalier avec u ombre au plus déombrable de sauts, d amplitude PX = x k au poit x k. O a : F X x = PX = x k. k;x k x Démostratio : O remarque que, pour tout x R,{X = x} = Aisi, = {x } } < X x. O ote alors D = {x < X x. F X x F X x = lim [F X x F X x ] = lim PD = P D = PX = x. = Floria Lemoier 7 ENS Rees Uiversité Rees

18 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique Remarque De faço plus géérale, o a motré que si F X est cotiue e x, alors x est pas atome de X, au ses où PX = x = Figure 3. Foctio de répartitio d ue variable aléatoire suivat la loi biomiale B 5, Figure 3. Foctio de répartitio d ue variable aléatoire suivat la loi de Poisso P4. Propositio Si X est ue variable aléatoire réelle à desité, alors F X est ue foctio cotiue, et qui admet ue dérivée égale à f X x e tout poit x où la desité f X est cotiue. O a : x F X x = f X t dt. Démostratio : O a déjà évoqué la cotiuité de F X, puisque les variables aléatoires à desité admettet pas d atomes. Soit x 0 u poit de cotiuité de f X ; il s agit de motrer que la limite du taux d accroissemet de F X e x 0 existe et vaut f X x 0. Soit ε > 0 ; par cotiuité de f X e x 0, il existe δ > 0, tel que x x 0 < δ f X x 0 f X x < ε. Aisi : F X x 0 + δ F X x 0 δ f X x 0 = δ x0 +δ x 0 [ f X x f X x 0 ] dx δ x0 +δ x 0 f X x f X x 0 dx < ε. Floria Lemoier 8 ENS Rees Uiversité Rees

19 Variables aléatoires réelles Figure 3.3 Foctio de répartitio d ue variable aléatoire suivat la loi uiforme U [,7] Figure 3.4 Foctio de répartitio d ue variable aléatoire suivat la loi expoetielle E 3.4 Lois ormales 3.4. Loi ormale cetrée réduite Soit fx = exp x π que f est paire et qu elle admet u maximum e 0, égal à.. La foctio f est la desité de la loi ormale N0,. O remarque π. Soit X N0, ; o ote F X = Φ. Pour tous réels a b, o a Pa X b = Φb Φa. Géométriquemet, la valeur de cette probabilité est représetée par l aire sous la courbe d équatio y = fx, etre les droites x = a et x = b. Das la figure qui suit, l aire colorée représete la probabilité que X se trouve etre, 5 et 0,. Compte-teu de la parité de f, o a aussi, pour tout réel x : Φt = Φ t. Floria Lemoier 9 ENS Rees Uiversité Rees

20 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique Figure 3.5 Desité de la loi ormale cetrée réduite. Cette propriété permet de calculer les valeurs de Φ pour les t égatifs quad o les coaît pour les t positifs. Efi, pour t > 0 : P X t = Φt Φ t = Φt Φt = Φt. Ces relatios ous servirot e TD pour utiliser la table de la loi ormale voir e aexe Cas gééral Pour calculer des probabilités de type Pa Y b où Y suit ue loi Nµ, σ, o utilise la propriété qui suit. Propositio 3.4. Ue variable aléatoire Y suit ue loi Nµ, σ si et seulemet si Y µ σ suit ue loi N0,. Aisi, pour Y N µ, σ : a µ Pa Y b = P σ Y µ σ b µ = Φ σ b µ σ Φ a µ σ. 3.5 Couples de variables aléatoires Défiitio 3.5. État doées deux variables aléatoires X et Y défiies sur u même espace Ω,F, P, à valeurs respectivemet das E et F, o peut défiir ue variable aléatoire à valeurs das E F appelée variable aléatoire couple : X, Y : Ω E F ω Xω, Yω Remarque Si X et Y sot des variables aléatoires discrètes, détermier la loi du couple X, Y, c est doer la liste de ombres PX, Y = e, f e, f E F. Remarque O écrit : PX, Y = e, f = P{ω Ω Xω = e et Yω = f} = P{ω Ω Xω = e} {ω Ω Yω = f} = PX = e Y = f =: PX = e, Y = f, où o isiste sur le fait que la derière égalité est ue otatio. Floria Lemoier 0 ENS Rees Uiversité Rees

21 Variables aléatoires réelles Exemple O cosidère ue ure coteat deux boules rouges et ue oire. O tire successivemet deux boules de cette ure. O ote X la couleur de la première, et Y la couleur de la secode. Quelle est la loi du couple X, Y?. Das le cas avec remise, o a : Ω = {R, R, N} ; #Ω = 9 et. Das le cas sas remise, o a : Ω = Défiitio Lois margiales X\Y R N 4 R 9 9 N 9 9 {x, y {R, R, N} x = y }, #Ω = 6 et X\Y R N R 3 3 N 0 3 Les lois margiales du couple X, Y sot les lois des variables X et Y étudiées séparémet ; la première margiale est la loi de X, la secode est celle de Y. Remarque Si X et Y sot discrètes, alors PX = x i = P X = x i, Y = y j et P Y = yj = P X = x i, Y = y j. y j YΩ x i XΩ Défiitio Desité d u couple Ue foctio f : R R + admettat u ombre fii de discotiuités sur tout compact, et vérifiat R fx, y dxdy =, est ue desité de probabilité. C est la desité d u couple aléatoire X, Y si pour tous itervalles I et J de R, o a : PX, Y I J = I J fx, y dxdy. Remarque Si X, Y est à desité, alors X et Y sot des variables aléatoires réelles à desité ; elles valet : f X x = f X,Y x, y dy et f Y y = f X,Y x, y dx. R R Exemple Attetio, si X et Y admettet ue desité, le couple X, Y admet pas forcémet de desité. Par exemple, si X suit la loi N0, et si Y = X, o a : PX, Y = PX [0, ] > 0, où = { x, y [0, ] } x = y ; alors que le segmet est de surface ulle. Si le couple X, Y admettait ue desité, o aurait ici ue cotradictio. Remarque O peut bie évidemmet cosidérer des couples de variables aléatoires dot ue composate est discrète et l autre à desité, mais o e se pechera pas sur ce gere de subtilité ici le couple admettat plus de desité, le traitemet mathématique de ces couples deviet plus ardu. 3.6 Variables aléatoires idépedates Défiitio 3.6. Deux variables aléatoires réelles X et Y sot dites idépedates quad, pour tous itervalles I et J de R, o a PX I, Y J = PX IPY J. Remarque Comme pour les évéemets, o défiit l idépedace mutuelle d ue famille X m m M de variables aléatoires réelles par : Floria Lemoier ENS Rees Uiversité Rees

22 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique pour tous itervalles A m m M, et pour tout J M fii, P m J{X m A m } = PX m A m. m J Théorème Ue famille quelcoque de variables aléatoires réelles X m m M est mutuellemet idépedate si et seulemet si pour toute famille fiie J M et toute famille de foctios cotiues ϕ m avec m J telles que les ϕ m X m soiet itégrables, E [ ] ϕ m X m = E[ϕ m X m ]. m J m J Démostratio : Admis. Corollaire Si X,..., X sot des variables aléatoires réelles mutuellemet idépedates, alors o a : E[X... X ] = E[X ]... E[X ]. Remarque Il est importat de peser que ce corollaire admet pas de réciproque. Soit X N0, et soit Y = X. Alors E[XY] = E [ X 3] = 0 = E[X]E [ X ] e effet, u simple argumet d imparité permet de motrer que la foctio itégrable x x 3 e x est d itégrale ulle sur R. Néamois, l ituitio laisse peser que X et Y e sot pas idépedates, ce qui est cofirmé par le fait que : puisque PY <. Propositio Idetité de Bieaymé PX, Y = PX = PX PY, Si X,..., X sot des variables aléatoires réelles idépedates deux à deux, alors V i= X i = i= VX i. Démostratio : O a : V i= X i = E = i= i= j= Or, pour j = i, o a : X i E [ i= X i ] = E i= E [ X i E[X i ] X j E [ X j ]]. X i E[X i ] = E [ i= E [ X i E[X i ] X j E [ X j ]] = E [ Xi X j E[X i ] X j X i E [ X j ] + E[Xi ] E [ X j ]] e utilisat l idépedace des variables X i et X j. E coséquece, V i= X i X i E[X i ] X j E [ ] ] X j j= = E [ X i X j ] E[Xi ] E [ X j ] E[Xi ] E [ X j ] + E[Xi ] E [ X j ] = 0, = [ E X i E[X i ] ] = i= VX i. i= Floria Lemoier ENS Rees Uiversité Rees

23 Variables aléatoires réelles Propositio Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles et idépedates.. Si X et Y sot discrètes, alors P X, Y = x i, y j = PX = xi P Y = y j.. Si X et Y admettet des desités f X et f Y, alors le couple X, Y est à desité ; celle-ci vaut f X,Y x, y = f X x f Y y, pour x, y R. Démostratio : Exercice. Propositio Soiet X et Y deux variables aléatoires réelles et idépedates. O suppose que X et Y admettet des desités f X et f Y. Alors, la variable aléatoire X+ Y est à desité, et z R, f X+Y z = f X x f Y z x dx. R Démostratio : O ote Z = X+ Y. O a, pour tout itervalle réel I : PZ I = PX+ Y I = E[ I X+ Y] = I x+y f X,Y x, y dxdy R R = I x+y f X x f Y y dxdy z=x+y = I z f X x f Y z x dxdz R R R R = f X x f Y z x dx dz Et o coclut e utilisat la défiitio de desité. I R Exemple Soiet X N 0, σ et X N 0, σ, deux variables aléatoires idépedates. O a : f X +X z = f X x f X z x dx = exp x πσ πσ σ z x dx σ Or, o écrit : R x σ + z x σ = σ + σ x z σ x+ z σ = σ + σ σ σ x z z x+ σ σ = σ + σ σ x zσ + σ σ + σ x z σ = σ + σ σ x zσ σ σ + σ x+ z σ 4 σ + σ z σ 4 σ + σ = σ + σ x zσ σ σ σ σ + σ z σ 4 + σ σ σ σ + σ + z σ = σ + σ σ σ = σ + σ σ σ x zσ + σ + σ x zσ σ + + σ Aisi, o obtiet : z f X +X z = exp πσ σ σ + σ exp R R σ σ σ σ + σ σ + σ z σ + σ σ σ x zσ z σ + σ + z σ Floria Lemoier 3 ENS Rees Uiversité Rees dx

24 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique Mais o remarque que où N N R exp zσ σ +σ, E fi de compte, σ + σ σ σ σ σ σ +σ. x zσ σ dx = σ π σ + σ σ + σ PN R = σ π σ σ + σ, f X +X z = π σ + σ exp z σ + σ. E d autres termes, X + X N 0, σ + σ. Maiteat, si Y N m, σ et Y N m, σ sot idépedates, d après ce qu o viet de motrer, o a Y m +Y m N 0, σ + σ. O e déduit alors immédiatemet que Y + Y N m + m, σ + σ. Floria Lemoier 4 ENS Rees Uiversité Rees

25 Théorèmes limites Chapitre 4 Théorèmes limites 4. Loi des grads ombres Théorème 4.. Loi faible des grads ombres Soiet X,..., X,... des variables aléatoires idépedates deux à deux, de même loi de probabilité, et admettat ue variace fiie. Alors la moyee empirique X = X + +X coverge e probabilité vers l espérace E[X ], au ses où : ε > 0, lim P X E[X ] ε = 0. Démostratio : O applique l iégalité de Bieaymé-Tchebychev à X : ε > 0, P X E [ X ] ε V X Or, o a clairemet E [ ] E[X X = ]+ +E[X ] = E[X ] = E[X ]. Et, par idépedace deux à deux des variables X i, o a : V VX X = + +X = VX + +VX = VX = VX. Aisi, o réécrit l iégalité de Bieaymé-Tchebychev : ε > 0, P X E[X ] ε VX ε ε. 0. Remarque 4... Il existe ue versio forte de ce théorème, mais qui est beaucoup plus difficile à démotrer. 4. Théorème cetral limite Théorème 4.. Théorème cetral limite Soiet X,..., X... des variables aléatoires idépedates deux à deux, de même loi de probabilité, et admettat ue variace fiie. O ote S = X + +X. Alors la variable aléatoire S E[X ] coverge e loi vers ue variable aléatoire de loi ormale VX cetrée réduite, au ses où : x R, lim P S E[X ] x x = VX exp t dt. π Démostratio : Admis. Floria Lemoier 5 ENS Rees Uiversité Rees

26 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique Chapitre 5 Applicatios e statistiques 5. Modélisatio statistique 5.. Pricipe fodametal de la statistique La démarche statistique est la suivate : o dispose de x,..., x, qui sot des valeurs observées de variables aléatoires X,..., X idépedates et idetiquemet distribuées, de loi Q, icoue. E ce basat sur ce -uplet d observatios, o veut trouver la loi de probabilité Q. Problème : est-ce possible? Q est appelée probabilité théorique ; et o suppose { que les X i preet des valeurs réelles. O si x A défiit la probabilité δ x, pour x R, par δ x A = 0 si x / A. O défiit alors la loi de probabilité empirique : Q = δ Xi. i= O voit que δ Xi A = A X i ; c est ue variable aléatoire. Par la loi des grads ombres, o a : lim Q A = lim δ Xi A = E[ A X ] = QA. i= Les lois empiriques Q coverget doc e u certai ses vers Q ; mais o peut ecore se demader à quelle vitesse la covergece a lieu, ou vouloir estimer l écart etre les lois Q et Q. 5.. Modèle statistique Défiitio 5.. Modèle statistique Soit E R. U modèle statistique sur E est u couple E,P, où P est ue famille de lois de probabilité sur E mui de sa tribu boréliee. Remarque 5... La tribu boréliee de E est le plus petit esemble coteat tous les ouverts de E, qui est stable par complémetaire et par uio déombrable. Exemple O joue à Pile ou Face et o se demade si la pièce avec laquelle o joue est truquée. O pred E = {0, } et P = bθ θ ]0,[. La loi bθ est la loi d u vecteur de taille, dot les coordoées sot mutuellemet idépedates, et chacue de même loi bθ. Floria Lemoier 6 ENS Rees Uiversité Rees

27 Applicatios e statistiques Défiitio 5..4 Modèle paramétré. Le modèle statistiquee,p est paramétré par l esemble Θ si o peut écrirep = { P } θ θ Θ.. O dit que ce modèle statistique est paramétrique quad Θ est iclus das u espace vectoriel de dimesio fiie. Il est o-paramétrique sio. 3. Le modèle statistique est dit idetifiable quad l applicatio θ P θ est ijective. Exemple Das l exemple du Pile ou Face, otre modèle statistique est paramétré par ]0, [ ; il est doc paramétrique. De plus, l applicatio θ bθ est bie ijective, car les lois bθ sot d espérace θ. L itérêt pour u modèle d être idetifiable, c est que chercher la loi reviet à chercher θ. 5. Estimatio paramétrique 5.. Estimateur Défiitio 5.. Estimateur U estimateur est ue foctio sur E qui pred ses valeurs das Θ ou das u esemble qui cotiet Θ, que l o ote gééralemet ˆθ. Exemple 5... Voici quatre exemples d estimateurs das le cas du Pile ou Face : x = σ = i= x i : la moyee empirique ; x i x : la variace empirique ; i= s = σ : la variace empirique corrigée ; ˆθ = : u estimateur complètemet iutile, mais qui reste tout de même u estimateur. 5.. Estimateur du maximum de vraisemblace Défiitio 5..3 Vraisemblace O se place das le cadre d u modèle statistique E, { P θ La foctio de vraisemblace est la foctio L : E Θ R + telle que pour tout θ Θ, si les P θ sot des lois discrètes, L x,..., x ; θ = P θ {x }... P θ {x } ; si les P θ sot des lois à desité otées f θ, L x,..., x ; θ = f θ x... f θ x. Remarque Plus la valeur prise par la foctio de vraisemblace d ue observatio est élevée, et plus cette observatio est vraisemblable sous la loi P θ. Défiitio 5..5 Estimateur du maximum de vraisemblace U EMV est u estimateur ˆθ qui vérifie : x,..., x E, L x,..., x ; ˆθ x,..., x = sup L x,..., x ; θ. θ Θ } θ Θ. Remarque Comme la foctio de vraisemblace est positive, la maximiser reviet à maximiser so logarithme gééralemet oté l x,..., x ; θ = l L x,..., x ; θ. C est e gééral plus pratique de maximiser ue somme plutôt qu u produit. Exemple O repred l exemple du Pile ou Face. O a : L x,..., x ; θ = P θ {x }... P θ {x } = θ x θ x... θ x θ x = θ x θ x. Floria Lemoier 7 ENS Rees Uiversité Rees

28 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique Aisi, l x,..., x ; θ = x l θ+ x l θ. Cette foctio de θ est dérivable sur ]0, [ ; et comme elle ted vers e 0 et e, so maximum est atteit e u poit de dérivée ulle ; θ l x,..., x ; θ = x x = x θ θ θ θ θ. cette dérivée e s aule qu e θ = x. L EMV existe il vaut ˆθ = x. Remarque E pratique, l idée est d obteir u cadidat pour être l EMV. Si ce cadidat est pas l EMV, alors il y a des chaces qu il ait pas u bo comportemet asymptotique ; o se redra rapidemet compte qu il e ous itéresse pas. Ce est doc pas vraimet la peie de vérifier s il s agit bie d u maximum Critères de performace des estimateurs Remarque Quad o parle d estimateurs, bie souvet, o peut désiger ivariablemet la foctio sur E das l exemple précédet ˆθ = x et la variable aléatoire associée das l exemple ˆθ = X. Défiitio 5..0 Biais U estimateur ˆθ est dit : sas biais, si E θ [ ˆθ ] = θ ; asymptotiquemet sas biais, si E θ [ ˆθ ] θ. Remarque 5... La otatio E θ désige l espérace sous la loi P θ. E d autres termes, o se pose la questio suivate : supposos que le paramètre cherché soit θ ; sous cette hypothèse, l espérace de ˆθ vaut-elle θ? Exemple 5... Das l exemple du Pile ou Face, la moyee empirique est u estimateur sas biais. Défiitio 5..3 Risque quadratique O défiit le risque quadratique d u estimateur ˆθ par R θ ˆθ = Eθ [ ˆθ θ ]. Exemple Das l exemple du Pile ou Face, o a : [ X [ ] ] V R θ X = Eθ E θ X = V θ X = θ X +... X = V θ X. Défiitio 5..5 Cosistace L estimateur ˆθ est dit cosistat si il coverge e probabilité vers θ, c est-à-dire : ε > 0, lim P θ ˆθ θ ε = 0. Exemple Das le cas du Pile ou Face, c est la loi des grads ombres qui ous permet de dire que X est u estimateur cosistat de θ. Floria Lemoier 8 ENS Rees Uiversité Rees

29 Applicatios e statistiques Défiitio 5..7 Vitesse Soit v N ue suite de réels qui ted vers +. O dit que l estimateur ˆθ est de vitesse v si v ˆθ θ coverge e loi vers ue variable aléatoire de loi lθ o-dégéérée c est-à-dire autre chose qu ue variable aléatoire costammet égale à 0 ou à l ifii ; e d autres termes : x R, lim P θ v ˆθ θ x = P θ Y x, où Y suit la loi lθ das l espace probabilisé Ω,F, P θ. Si lθ est ue loi ormale, o dit que ˆθ est asymptotiquemet ormal. Exemple Das l exemple du Pile ou Face, o sait, par le théorème cetral limite, que X θ θ θ coverge e loi vers ue variable aléatoire ormale cetrée réduite. Aisi, X θ coverge e loi vers N0, θ θ. E coséquece, X est de vitesse et est asymptotiquemet ormal. Théorème 5..9 Delta-méthode O suppose que l estimateur ˆθ est de vitesse v. Soit g ue foctio de classec, telle que g θ = 0. Alors, la variable v g ˆθ gθ coverge e loi vers g θlθ ; e d autres termes x R, lim P θ v g ˆθ gθ x = Pθ g θy x, où Y suit la loi lθ das l espace probabilisé Ω,F, P θ. Démostratio : Admis. Remarque Ce résultat est importat ; e effet, si o a facilemet accès à u estimateur ˆθ de θ, alors que la quatité qu o souhaiterait estimer est gθ, alors o peut obteir la vitesse de g ˆθ à partir de celle de ˆθ. 5.3 Itervalle de cofiace 5.3. Itervalle de cofiace par excès Défiitio 5.3. Itervalle de cofiace par excès Soit α ]0, [ ; u itervalle de cofiace par excès pour ˆθ de iveau de cofiace α est u itervalle I de R tel que : θ Θ, P θ ˆθ I α. Exemple Pour le Pile ou Face, l iégalité de Bieaymé-Tchebychev ous dit que : Si o pred ε =, alors o obtiet : α θ ]0, [, ε > 0, P θ X θ ε θ θ ε 4ε. θ ]0, [, P θ X θ α. α U itervalle de cofiace pour θ de iveau de cofiace α est doc [ X α, X + ]. α Floria Lemoier 9 ENS Rees Uiversité Rees

30 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique 5.3. Itervalle de cofiace asymptotique Défiitio Itervalle de cofiace asymptotique Soit α ]0, [ ; u itervalle de cofiace asymptotique pour ˆθ de iveau de cofiace α est u itervalle I de R tel que : θ Θ, P θ ˆθ I α. Exemple Pour le Pile ou Face, d après le théorème cetral limite, o a : pour tous a et b das [,+ ] avec a b, lim P a X θ b = θ θ E particulier, pour a =, 96 et b =, 96, o obtiet : lim P X θ, 96 = 0, 95. θ θ O e déduit u itervalle qui possède 95 % de chaces de coteir θ : [ ] θ θ θ θ J θ = X, 96, X +, 96. b a exp x dx. π Cet itervalle a éamois u défaut importat : il déped de θ. E l état, il est iutilisable. O a alors deux solutios : utiliser le résultat de probabilité qui suit ; trouver u itervalle I dot la largeur e déped pas de θ, ici I = ], 96. Mais, forcé- met, cet itervalle est mois précis. Lemme Slutsky [, 96 X, X + Soit ˆθ u estimateur cosistat de θ de vitesse otée v, et soit g : Θ R ue foctio cotiue. Si ˆθ θ x x R, lim P v gθ x = exp t dt, π Alors x R, lim P ˆθ θ v g x ˆθ = x exp t dt. π Démostratio : Admis. Exemple Si o repred l exemple précédet, o a : pour tous a et b das [,+ ] avec a b, lim a X θ X b = X P E particulier, pour a =, 96 et b =, 96, o obtiet : lim P X θ, 96 = 0, 95. X X O e déduit u itervalle de cofiace pour θ au iveau de cofiace 95 % : X X X X b a exp x dx. π I = X, 96, X +, 96. Floria Lemoier 30 ENS Rees Uiversité Rees

31 Lois de probabilités classiques Aexe A Lois de probabilités classiques A. Lois discrètes Loi uiforme équiprobabilité U{,..., } Cette loi modélise ue expériece à r issues possibles, chacue ayat la même probabilité r. Par exemple, X suit cette loi si elle représete la valeur obteue par u lacer de dé équilibré, la valeur d ue carte tirée das u jeu où elles sot toutes idiscerables au toucher... k {,..., }, PX = k =, E[X] =, VX =. Loi de Beroulli bp Cette loi modélise ue expériece à deux issues possibles succès et échec, dot la probabilité de succès vaut p. Par exemple, X suit cette loi si elle représete le résultat d u jeu du Pile ou Face où l o a pas écessairemet la même chace de tomber sur l u ou l autre des côtés. PX = = p et PX = 0 = p, E[X] = p, VX = p p. Loi biomiale B, p Cette loi modélise le ombre de succès obteus au cours de expérieces idépedates, chacue ayat ue probabilité p de succès. Par exemple, X suit cette loi si elle représete le ombre de Pile obteus sur lacers avec ue pièce évetuellemet faussée. k {0,..., }, PX = k = p p k, E[X] = p, VX = p p. k Loi géométrique Gp Cette loi modélise le rag du premier succès das ue suite d expérieces idépedates, chacue ayat ue probabilité p de succès. Par exemple, X suit cette loi si elle représete la première fois qu o obtiet Pile das ue suite de Pile ou Face idépedats avec probabilité p de tomber sur Pile. k N, PX = k = p k p, E[X] = p, VX = p p. Loi de Poisso Pλ Elle modélise de maière relativemet satisfaisate le ombre X de cliets das certais types de file d attete. Elle sert aussi à modéliser les occurreces d évéemets peu probables. Le paramètre λ est strictemet positif. k N, PX = k = e λ λk, E[X] = λ, VX = λ. k! Floria Lemoier I ENS Rees Uiversité Rees

32 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique A. Lois à desité Loi uiforme U[a, b] Cette loi modélise des phéomèes dot les valeurs sot uiformémet réparties sur u itervalle [a, b] avec ou sas les bores, tel que < a < b < +. f X x = b a [a,b]x, F X x = x a b a [a,b]x+ ]b,+ [ x, E[X] = a+b b a, VX =. Loi expoetielle Eλ Cette loi modélise gééralemet des temps d attete ou des durées de vie. Le paramètre λ est strictemet positif. f X x = λe λx R+ x, F X x = e λx R+ x, E[X] = λ, VX = λ. Loi ormale N m, σ Cette loi apparaît otammet das le cadre du théorème cetral limite : elle permet doc parfois d approximer le comportemet d ue grade somme de variables aléatoires idépedates et idetiquemet distribuées. f X x = exp πσ x m σ, E[X] = m, VX = σ. Floria Lemoier II ENS Rees Uiversité Rees

33 Table de la loi ormale cetrée réduite Aexe B Table de la loi ormale cetrée réduite La courbe ci-dessous représete la desité de la loi ormale cetrée réduite, x exp x. π Figure B. Desité de la loi ormale cetrée réduite. L aire coloriée sous la courbe est égale à la foctio de répartitio prise au poit t : Φt = π t e x dx = PX t, où X N0,. La table suivate doe, pour tout t allat de 0 jusqu à 3, 6 par pas de 0, 0, la valeur de 0 5 Φt. Ces valeurs sot arrodies à l uité la plus proche. Par exemple, o peut y lire : Φ, 73 0, Floria Lemoier III ENS Rees Uiversité Rees

34 Probabilités et statistiques pour le magistère de mécatroique t 0, 00 0, 0 0, 0 0, 03 0, 04 0, 05 0, 06 0, 07 0, 08 0, 09 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Floria Lemoier IV ENS Rees Uiversité Rees