Séries numériques et familles sommables

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1 Séries umériques et familles sommables ovembre 206 Table des matières Séries das u espace ormé 3. Gééralités Séries absolumet covergetes Quelques exemples remarquables Critère des séries alterées Exercices Séries à termes positifs 6 2. Qu ot elles de remarquable? Comparaisos des séries à termes positifs Séries et itégrales Exemples remarquables La costate d Euler (le retour) Séries de Riema Séries de Bertrad (exemples) Exercices Cas des foctios croissates, Formule de Stirlig Gééralités Formule de Stirlig Critère de d Alembert Exercices Déombrabilité et familles sommables Esembles déombrables, au plus déombrables Ils e sot pas déombrables Familles sommables Les familles sommables de réels positifs Les familles sommables de complexes Suites doubles Produit de Cauchy de séries absolumet covergetes L expoetielle complexe

2 4 Aexes Aexe : Pour étudier ue série umérique Aexe 2 : Produits ifiis Aexe 3 : Calcul approché de la costate d Euler Aexe 4. Développemets asymptotiques et études de séries Aexe 5 : culture Résumos ous 5 5. Gééralités Séries à termes positifs Produit de Cauchy Séries et itégrales A coaître (liste provisoire) : Tac au Tac 56 7 Du rab! 58 2

3 Ce chapitre cotiet des rappels du cours de première aée et le prologe selo trois axes : séries dot les termes appartieet à u espace vectoriel ormé, complémets sur les séries umériques, familles sommables... Nous sommes là au cœur de toute l aalyse depuis la fi du XVIII ième siècle. Nous obtiedros dès ce chapitre des résultats à l esthétique certaie comme les jolies formules du tableau 5.5. Plus ecore, les outils que ous développos ici itervieet das u grad ombre de problèmes. Nous appredros, das des chapitres ultérieurs, à écrire de ouvelles foctios comme sommes de séries, permettat aisi de résoudre certaies équatios différetielles ou équatios aux dérivées partielles... Séries das u espace ormé. Gééralités Défiitio qu est-ce qu ue série? Soit (u ) 0, ue suite d élémets de K = R ou C ou d u espace vectoriel ormé (E, E ). La série de terme gééral u, que l o ote u est la suite (S ) défiie par S = u k. k= 0 Les termes de cette suite sot les sommes partielles de la série. O dit alors que la série de terme gééral u coverge, lorsque la suite des sommes partielles (S ), coverge. Sa limite, qui est alors otée S = u k = lim S, k= 0 est la somme de la série. O distiguera doc sommes partielles et somme (lorsqu elle existe) d ue série. Das le cas cotraire, la série est dite divergete. O dit que deux séries sot de même ature si elles sot simultaémet covergetes ou divergetes. Si ue série coverge, so terme gééral a pour limite 0 puisqu e effet, lim u = lim(s S ) = 0. Lorsque cette coditio écessaire est pas remplie, o dit que la série est grossièremet divergete. Défiitio 2 reste d ue série covergete Lorsque la série de terme gééral (u k ) k k0 coverge et a pour somme S = k=k 0 u k, o défiit pour k 0, so reste à l ordre comme la différece R = S S 3

4 La suite des restes, défiie lorsqu ue série coverge, a doc toujours pour limite 0. Par ailleurs, comme pour tout (, p), e faisat p +, il viet : S +p S = +p k=k 0 u k R = S S = k=k 0 u k = k=+ u k +p k=+ Suites et séries A toute suite (u ) 0 o associe la série de terme gééral u qui est, par défiitio, la suite des sommes partielles S = k= 0 u k. Réciproquemet, ue suite quelcoque peut être vue comme ue série : Théorème Soit (x ) 0 ue suite d élémets de E. Cette suite est la suite des sommes partielles de la série de terme gééral défii par { σ 0 = x 0 E d autres termes, pour tout 0, σ = x x si > 0 x = k= 0 σ k. u k Démostratio : simple vérificatio... Sous-espace des séries covergetes Théorème 2 L esemble des séries covergetes dot le terme gééral appartiet à (E, ) ev sur le corps K, est u K espace vectoriel. L applicatio qui, à ue série covergete associe sa somme est ue forme liéaire sur cet espace. Cela sigifie que si u et v sot deux séries covergetes, si (α, β) K 2, o a (α u + β v ) = α u + β v. =0 Démostratio : Ce est pas ue démostratio techique, mais il faut pourtat idetifier avec soi et lucidité les esembles sur lesquels o travaille. O la détaille ici, parce que je aurai sûremet pas evie d e parler e classe. =0 =0 4

5 Ue série est ue suite de sommes partielles, doc u élémet de E N, esemble de toutes les suites défiies sur N, à valeurs das E (o cosidère les séries de terme gééral u défii pour tout N). Comme o l a vu das le théorème précédet, tout élémet de E N peut être cosidéré comme ue série... O sait (ou o vérifie sas peie) que C l esemble des suites covergetes est u sous-espace vectoriel de E N. L esemble des séries covergetes, est doc u sev de E N. Soiet u et v deux séries covergetes et (α, β) K 2, o a pour N, (α u k + β v k ) = α u k + β par passage à la limite, puisque les trois séries coverget : v k (α u + β v ) = α u + β v. =0 =0 =0 Exemples Exercice séries géométriques Soit q C. O cosidère la série géométrique de raiso q, de terme gééral q k. O rappelle que S = q k = q+, si q, q S = q k = +, si q =.. (a) Calculer la somme de la série lorsque q <. (b) Das quels cas la série (ou la suite des sommes partielles) est elle borée? 2. O cosidère la série de terme gééral u = cos t, t R. (a) Exprimer les sommes partielles de cette série à l aide d ue série géométrique. (b) Démotrer que la série est borée lorsque t 0 [2π]. Exercice 2 série harmoique, divergete, o grossièremet divergete O cosidère la série harmoique k k. k k+. (a) Comparer les itégrales k t dt, k t dt au terme gééral k. (b) E déduire u ecadremet de. Motrer que la série harmoique diverge et k k= doer u équivalet de ses sommes partielles. 5

6 2. E miorat la différece et e raisoat par l absurde, S 2 S = 2 k=+ k, Résumé pour les séries géométriques q < la série coverge (absolumet) et q k = q q = la série diverge grossièremet, lim S = + ; q et q = la série diverge grossièremet, (S ) est borée : S 2 q q > la série diverge grossièremet et lim S = + ;.2 Séries absolumet covergetes Défiitio 3 séries absolumet covergetes O dit qu ue série u dot le terme gééral appartiet à l ev (E, E ), est absolumet covergete lorsque la série des des ormes u E est covergete. Rappelos le résultat démotré e première aée (qui figure aussi page 6, das le paragraphe dévolu aux séries à termes positifs), que ous utilisos das la démostratio du théorème 3 : Soiet u et v deux séries à?. Si u v à partir d u certai rag, et si v coverge, alors u coverge égalemet. Théorème 3 Das R, C ou das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie (E, E ), toute série absolumet covergete est égalemet covergete. De plus + k= u k E + k= u k E. Démostratio 6

7 O repred la démostratio du cours de première aée pour les séries à termes réels, o prouve esuite le résultat das R 2 ou das C, o motre commet l étedre aux séries dot le terme gééral appartiet à R ou à u ev de dimesio fiie. Cas des séries de ombres réels Rappelos ue défiitio qui ous sera utile das otre démostratio : lorsque u R, o défiit les deux ombres positifs u + = max(u, 0), u = max( u, 0) avec les propriétés suivates : u + = max(u, 0) 0 u = max( u, 0) 0 u = u + u u = u + + u si u 0, u = u + et u = 0 si u 0, u = u et u + = 0 Cosidéros alors ue série de ombres réels u telle que u coverge. Comme u + u et u u les deux séries à termes positifs u + et u coverget elles aussi puisque leurs sommes partielles sot des suites croissates et majorées : u + k u k u k u k u k = cste, K=0 u k = cste. O e déduit alors que la série u coverge elle aussi puisque, pour tout N, u = u + u, et qu ue somme de séries covergetes est covergete. Cas des séries de ombres complexes O observe que pour tout complexe u, Re(u) u, Im(u) u. Aisi, si la série des modules u coverge, par comparaiso de séries à termes positifs, Re(u ) et Im(u ) sot aussi covergetes. Les séries de ombres réels, Re(u ) et Im(u ) sot doc absolumet covergetes et coverget doc. Il e va de même de u, somme des deux séries covergetes Re(u ) et i Im(u ). K=0 Cas des séries d élémets d u ev de dimesio fiie Soit E u espace vectoriel ormé de dimesio fiie et u ue série dot le terme gééral est élémet de E. Dire que cette série est absolumet covergete, c est dire que u E est ue série de réels positifs qui coverge. - O observe que si u E coverge, N(u ) coverge égalemet pour toute orme équivalete à E (c est à dire ue orme qui vérifie ue relatio du type α E N E ). 7

8 E effet, s il existe β > 0 tel que N(u) β u E pour tout u E, o a N(u ) β u E et N(u ) coverge aussi par comparaiso. - O cosidère alors ue base (e, e 2,..., e d ) de E. O défiit ue orme N sur E e posat pour tout x = d k= x ke k, ( d ) d N(x) = N x k e k = x k. k= O laisse le lecteur vérifier qu il s agit bie d ue orme. - Si u coverge absolumet pour ue orme E, elle coverge absolumet pour la orme N que ous veos de défiir (comme ous l avos observé). Notos u (k) la k ième coordoée de u das la base (e k ) k d. La suite des k ièmes coordoées, (u (k) ) est absolumet covergete car u (k) N(u ) ce qui etraîe que u (k) coverge puisque so terme gééral est majoré par le terme gééral d ue série covergete ( N(u )). La série u (k) absolumet covergete, coverge doc. O sait (ou o verra das les cours sur les ev), qu ue suite de vecteurs de E coverge ssi toutes les suites de coordoées das ue base quelcoque coverget. C est le cas ici, (S ) = ( u k) coverge car les d suites de coordoées ( ud) k ) coverget. Exercice 3 covergece absolue das C Exemples. Motrer que, pour tout réel r > 0, r = o(!). O pourra motrer qu il existe C > 0 et + u rag à partir duquel r! C 2. k= 2. Motrer que pour tout complexe z, z! coverge. x k 3. Que vaut la somme lorsque x est u réel? k! Idicatio : peser à la formule de Taylor-reste itégrale. Exercice 4 covergece absolue das u espace de matrices O cosidère l espace E des matrices à coefficiets das K.. Choix d ue orme sur E = M d (K) (a) Motrer que si est ue orme quelcoque de K d, o défiit ue orme sur E e posat, pour ue matrice A E, A X N (A) = sup X 0. X 8

9 (b) Vérifier que la orme N aisi défiie vérifie : - pour toute matrice A E, pour tout X R, A X N (A) X ; - pour tout couple de matrices (A, B) E 2, N (A B) N (A) N (B). (c) Vérifier que, das le cas particulier où X = X, pour toute matrice A E, o a l iégalité : N (A) max a i,j i j= 2. Motrer que si N (A) <, alors (I A) est iversible et préciser so iverse sous forme d ue série. Idicatio : o sait que das u aeau ( + q + q q )( q) = ( q + ). 3. O se doe A = /2 /5 /4 0 /3 /3 /3 /3 /5. Majorer N (A), e déduire que (I 3 A) est iversible, évaluer (calculette ou Scilab ou Pytho-Scipy) les sommes partielles de A k. Corrigé?? page??..3 Quelques exemples remarquables Exercice 5 autour des séries géométriques. Préciser la ature de la série Covergece et somme de x k cos(kθ), ( x <, x réel). 3. Soit (u ) ue suite telle que, pour tout, Que dire de la série u? Exercice 6 développemet décimal d u réel Commeços par ue défiitio : u + q u. Défiitio 4 O appelle développemet décimal d u réel positif x toute suite d etiers aturels, (d ), telle que, pour tout, 0 d 9, et O ote alors x = d 0, d d 2...d k... x = d k 0 k. Il y a e fait égalité : o sait doc calculer explicitemet cette orme à partir des coordoées ; c est hors programme mais peut être vu e exercice das le chapitre Espaces ormés. 9

10 . Motrer que pour toute suite (d ) comme ci-dessus, la série est covergete. d k 0 k 2. Motrer qu u ombre décimal (ie : de la forme N0 )o ul admet au mois deux développemets décimaux. 3. Soit x le réel dot l écriture décimale est x = 0, = 0, Prouver que c est u ombre ratioel. 4. O suppose que x admet deux développemets décimaux x = d k 0 k = e k 0 k. Que peut o affirmer? Cosidérer le plus petit idice i 0 tel que d i0 e i0, s il existe. 5. O se propose de motrer que tout réel x 0 admet u développemet décimal. O cosidère pour cela u = 0 Et(0 x) et v = 0 Et(0 x + ) (a) Motrer que ces deux suites sot adjacetes (b) Motrer que les ombres décimaux u et u +, ot leurs premiers chiffres idetiques (c) Motrer que x admet u développemet décimal 6. Motrer que x est ratioel ssi ses développemets décimaux sot périodiques à partir d u certai rag. O tire ici le bila de cet exercice : Théorème 4 Tout réel positif admet u développemet décimal. Si x est pas décimal, ce développemet est uique. Si x est décimal, il admet deux développemets d 0, d...d N (d N + ) = d 0, d...d N d N et d 0 +, = d 0, x est ratioel ssi ses développemets décimaux sot périodiques à partir d u certai rag. 0

11 Exercice 7 séries et développemets limités Rappelos la formule de Taylor reste-itégrale : si f est ue foctio de classe C + sur l itervalle [a, b] : f(b) = f (k) (a) b (b a) k + k! a (b t) f (+) (t)dt! ou l iégalité de Taylor Lagrage : si f est ue foctio de classe C + sur [a, b], alors f(b) f (k) (a) k! (b a) k sup [a,b] f (+) (c) b a +. ( + )! A l aide d ue de ces formules, ou par itégratio terme à terme, détermier les limites des séries suivates 2 : x k k! k! ( ) k x2k (2k)! ( ) k x 2k+ (2k + )! ( x) k+ k ( ) k k ( ) k x 2k+ 2k + ( ) k 2k + Exercice 8 jeux de domios Soit (a ) ue suite umérique.o lui associe, comme das le théorème, la série σ k défiie par σ 0 = a 0 et σ = a + a, les sommes S = E déduire les sommes suivates :. k k(k + ) 2. k(k )(k 2) ; 3. ( +p pour p 2; p ) σ k = (a k+ a k ) Nous repredros cela avec la otio de série etière

12 .4 Critère des séries alterées O dit qu ue série à valeurs réelles, de terme gééral u est alterée si ( ) u est de sige costat. U des itérêts de cette otio réside das le théorème fodametal suivat : Théorème 5 critère des séries alterées Soit u k ue série alterée, telle que, de plus, ( u ) est ue suite décroissate lim + u = 0, alors la série u k est covergete les suites S 2 et S 2+ des sommes partielles d ordres 2 et 2+ sot adjacetes et ecadret la somme de la série u k le reste R = k=+ vérifie R u +. la somme S est du sige du premier terme u 0, et S u 0. Démostratio La preuve de la covergece est facile ; o peut pour simplifier supposer que les termes d idices pairs sot positifs. L autre cas est similaire. O commece par motrer que a = S 2 = 2 k=k 0 u k et b = S 2+ = 2+ k=k 0 u k, sot adjacetes, ce qui est immédiat. O e déduit que, pour tous p, q N, S 2p+ S = u k S 2q. Écrivos cela lorsque p = q et retrachos S = S 2p. Cela doe : u 2p+ = S 2p+ S 2p S S = R 0. Écrivos cela lorsque p = q + et retrachos S = S 2p+. Cela doe : Das les deux cas le reste vérifie : 0 S S = R u 2p+2. R = + u k u +. (.) 2

13 Exercice 9 exemples de séries alterées Étudier la covergece des séries suivates dot o doe les termes gééraux : ( ). (série harmoique alterée) ( ) 2. (série de Riema alterée) α ( ) α l() β ( ) +/ 5. u = 6. ( ).5 Exercices { / si est u carré, ( ) / sio. Das quelques us de ces exercices, o calcule explicitemet des sommes de séries. Il s agit évidemmet de cas très particuliers où o sait le faire. Exercice 0 Calculer les sommes des séries suivates. ( )k+ 2k + ; 2. ( ) (idicatio : le terme gééral est égal à ue itégrale simple) 3 + Exercice groupemets de termes cosécutifs. Soit u ue série umérique dot o ote S les sommes partielles. O lui associe la série de terme gééral t k = (u 2k + u 2k+ ) dot o ote (T m ) m la suite des sommes partielles. (a) Exprimer T m e foctio des S. (b) Séparer, parmi les affirmatios qui suivet, le bo grai de l ivraie : Si u coverge, alors t coverge et leurs sommes sot les mêmes. Si t coverge, alors u coverge et leurs sommes sot les mêmes. Si, pour tout, u 0 et si t coverge, alors u coverge et leurs sommes sot les mêmes. Si lim u = 0 et si t coverge, alors u coverge et leurs sommes sot les mêmes. 3

14 2. E cosidérat la série bie coue, de terme gééral ( ), motrer que l 2 = = 2(2 + ). Comparer les ombres d additios, de multiplicatios, de divisios pour calculer ue valeur approchée de l 2 à 0 p près das chaque cas? Le regroupemet des termes est il umériquemet avatageux? Doer de faço aalogue deux exemples de séries covergeat vers π/4. 3. Gééralisos ce qui précède à des regroupemets d u ombre fixe quelcoque de termes. Pour tout p N, o associe à u, la série de terme gééral : t k = (u kp + u kp+ + u kp u k(p+) ). Repreez les questios précédetes et répodez y. Exercice 2 Soit f ue foctio cotiue sur l itervalle [0, ]. Etudier la série de terme gééral Exercice 3 iverses des carrés O se propose de calculer la somme u k = ( ) k t k f(t) dt. k= 2.. Motrer qu il existe des réels a et b tels que, pour tout, 2. Réécrire la somme π N cos(t) k= 0 0 (at + bt 2 ) cos(t) dt = E déduire la somme de la série de terme gééral. Peser au lemme de Riema qui 2 s éoce : Soit f ue foctio de classe C sur [a, b], u segmet de R, alors Exercice 4 **. Motrer que la série e it b lim λ ± a f(t)e iλt dt = 0. coverge pour t ]0, 2π[; 2. Calculer sa somme et e déduire les sommes cos(t), si(t). 4

15 Voir l exercice 6 pour u éocé détaillé (il est plus amusat de chercher). Exercice 5 u cotre exemple d importace O défiit ue série a = si est pair, a e posat a = 2 si est impair.. Motrer que la série est alterée de terme gééral covergeat vers Est-elle covergete? O pourra utiliser le fait que la somme des / 2 coverge. 3. Coclusio? Exercice 6 O se propose d étudier la série eiθ pour θ [0, 2π].. Etudier cette série das les cas particuliers suivats : θ = 0, θ = 2π θ = π θ = π/2, θ = 3π/2. Écrire avec soi les sommes partielles 2. O suppose que θ ]0, 2π[ das ce qui suit. (a) E observat que l o peut écrire comme ue itégrale, motrer que l o a : k= e ikθ k = eiθ 0 x e iθ xe iθ dx. (b) Détermier la limite de (J ) où J = 0 x e iθ dx. xeiθ E déduire que la série coverge. Doer ue expressio de sa somme sous forme d ue itégrale que l o e calculera pas. 5

16 2 Séries à termes positifs 2. Qu ot elles de remarquable? Nous verros das cette sectio l itérêt de l étude des séries à termes positifs : critères simples de covergece, sommatio des relatios de comparaiso, comparaiso d ue série à termes positifs et d ue itégrale... Tout repose sur le résultat qui suit, quasi-évidet, et d u usage costat : Théorème 6 Soit u ue série à termes positifs. Pour que u coverge il faut et il suffit que la suite des sommes partielles soit borée. Démostratio : Ue suite covergete est toujours borée ; Les sommes partielles formet ue suite croissate (S + S = u + 0); ue suite croissate et majorée coverge 2.2 Comparaisos des séries à termes positifs Théorème 7 Soiet u et v deux séries à termes positifs. Si u v à partir d u certai rag, et si v coverge, alors u coverge égalemet. Démostratio : sous les hypothèses de l éocé, e otat 0 le rag à partir duquel u v : u k = 0 u k + k= 0 u k O coclut avec le théorème précédet 0 u k + k= 0 v k 0 u k + k= 0 v k = Cste. Théorème 8 Soiet u et v deux séries à termes positifs. Si u = O(v ) et v coverge, alors, u coverge égalemet et de plus, les restes des deux séries sot comparables : R = k=+ O a le même résultat e remplaçat O par o. u k = O ( k=+ v k ). Démostratio : 6

17 Supposos que u = O(v ) et que v coverge. Par défiitio de la relatio de domiace, il existe C > 0 et u rag 0 à partir duquel u Cv. Les séries u et v avec v = Cv sot des séries à termes positifs telles que u v à partir du rag 0. Comme v coverge, il e va de même pour u d après le théorème précédet. Comparos leurs restes. Lorsque 0 et pour tout p N, o a : +p k=+ u k = +p k=+ u k C +p k=+ Comme les séries coverget, e faisat p +, o retrouve R = k=+ u k C k=+ Le résultat est démotré. Si u = o(v ) et v coverge, comme o a aussi u = O(v ), ce qui précède motre que u coverge égalemet. Que dire des restes? La relatio u = o(v ) sigifie que v k. v k ε > 0, ε, ε u ε v. Soiet alors ε > 0 et ε comme ci-dessus. Cosidéros ε, il viet pour tout p N, teat compte des siges de u et v : passat à la limite ous avos : +p k=+ R = u k = k=+ +p k=+ u k ε u k ε k=+ +p k=+ v k v k = εr. Aisi, ε > 0, ε, ε R ε R, à savoir R = o(r ) Corollaire 9 Démostratio Théorème 0 Soiet u et v deux séries à termes positifs. Si u v alors, les deux séries sot de même ature. 7

18 si elles coverget leurs restes sot équivalets : u k v k k=+ k=+ si elles diverget leurs sommes partielles sot équivaletes : u k v k k= 0 k= 0 Démostratio Si u v alors u = O(v ) et v = O(u ). Comme ce sot des séries à termes positifs, si l ue coverge, il e va de même pour l autre. Elles sot bie de même ature. Supposos qu elles coverget. O peut écrire u = v + w avec w = o(v ). Nous e coaissos pas le sige de w mais w = o(v ) w = o(v ). Aisi, d après le théorème 8, w coverge et w aussi. Avec des otatios évidetes, R (w) R ( w ) = o(r (v)) aisi, ( ) u k = v k + w k = v k + o v k k=+ k=+ k=+ k=+ k=+ v k k=+ Supposos qu elles diverget. O a ecore u = v + w avec w = o(v ). Pour tout ε > 0, il existe doc u rag ε à partir duquel w εv. Ecrivos les sommes partielles d ordre ε + p (toujours avec des otatios évidetes 3 ) : U ε+p = ε+p u k = ε+p ε+p v k + Divisos comme il se doit (les séries diverget, leurs sommes sot strictemet positives au delà d u certai rag) : w k U ε+p V ε+p = + W ε+p V ε+p = + W ε V ε+p + ε+p ε w k V ε+p Comme v k diverge, lim W ε = 0 et il existe u rag p ε à partir duquel W ε V ε+p V ε+p ε+p par ailleurs, ε w ε+p k V ε+p ε w k ε. V ε+p Bila : pour tout ε > 0 il existe u rag p ε à partir duquel U ε+p 2ε... V ε+p ε; 3. Espéros le! 8

19 Exercice 7 applicatios.... Pour les séries suivates, doer u équivalet des sommes partielles : k= ( + ) 2 k, k k= ( + ) k, Pour les séries suivates, doer u équivalet des restes s ils existet : k= ( + ) 2 k, k k= 3. VRAI ou FAUX? Justifier ou doer u cotre-exemple. (a) si lim u = 0, alors u k coverge. (b) si u k coverge, lim u = 0. (c) si u k coverge u k coverge. (d) si u k coverge u k coverge. (e) si u k coverge alors, u 2 k coverge. (f) si u k coverge et u k 0, alors u 2 k coverge. ( + ) e k,... k (g) si u k v k, alors u k et v k sot de même ature. (h) si u k v k, alors u k et v k sot de même ature. (i) si u k v k, et u k et v k sot de même sige, alors u k et v k sot de même ature. 2.3 Séries et itégrales Le théorème suivat est d ue importace capitale. Il permet l étude des séries de la forme f(k) lorsque f est mootoe et positive. L idée est que l o peut comparer le terme gééral f(k) de la série à l itégrale de f sur les itervalles [k, k], [k, k + ] de logueur. Théorème Soit f ue foctio positive cotiue par morceaux, décroissate sur l itervalle [ 0, + [, alors : pour tous m, tels que m 0, + m f(t) dt f(p) p=m m La série de terme gééral u = f(), coverge ssi la foctio admet ue limite e +. x x 0 f(t) dt f(t) dt; 9

20 Si la série coverge, alors + f(t)dt f(p) + f(t)dt Si la série diverge, alors f(p) f(t)dt p= 0 0 Démostratio : Méthode à bie coaître, les ecadremets sot très utiles et il faut les retrouver avec précisio. O fera systématiquemet ue figure du type de la figure. Théorème 2, Soit f ue foctio positive, cotiue par morceaux, décroissate sur l itervalle [ 0, + [, alors : la série de terme gééral w = f(t) dt f() = (f(t) f()) dt est covergete. si la série f(p) coverge, ou si x x 0 f(t) dt admet ue limite e +, alors : + p= 0 + w p = + 0 f(t) dt + p= 0 + f(p). Démostratio : Établir la majoratio w f( ) f(),... le reste suit x FIGURE séries et itégrales 20

21 2.4 Exemples remarquables 2.4. La costate d Euler (le retour) Exercice 8 O cosidère la série harmoique, déjà recotrée, dot ous avos prouvé k qu elle divergeait. O se propose ici d étudier so comportemet asymptotique avec plus de précisio. O otera H = k.. Motrer que H l(). 2. Motrer qu il existe u réel γ (voir ote 4 ) tel que H = l() + γ + o(). k= Idicatio : posos w k = f(k) k k f(t) dt avec f(t) = t et exprimos H e foctio de f(t) dt et w k. 3. Vers u ecadremet de γ. (a) Motrer que les suites (a ) et (b ), défiies par a = H l() et b = H l( + ) sot adjacetes et retrouver la relatio H = l() + γ + o(). (b) Écrire ue foctio Pytho qui pred e argumet et retoure ue valeur approchée à 0 près de la costate d Euler. Évaluez le ombre d itératios écessaires pour obteir ue telle précisio Séries de Riema O appelle série de Riema ue série de la forme. O démotrera le théorème suivat à α titre d exercice fodametal. Les résultats sot à coaître. Théorème 3 si α 0, la série de Riema, est grossièremet divergete. α si 0 < α, la série de Riema, est divergete. α si 0 < α <, les sommes partielles vérifiet si α =, k= k α α α k= k l() 4. C est ue otatio usuelle, ce ombre est la costate d Euler. Ces résultats sot dus à Euler et datet de 7... O e sait toujours pas si γ est ratioel ou pas, questio que l o se pose depuis cette époque 2

22 si < α, la série de Riema, est covergete. So reste à l ordre vérifie α Démostratio R = + k α α α Séries de Bertrad (exemples) Ce sot les séries de la forme α l() β, α l() β l(l()) γ, etc... Elles itervieet de faço classique. Les méthodes sot à coaître. Exercice 9 Exemples de séries de Bertrad. k k l(k) 2. k k l β (k) 3. k k α l β (k) 4. Éocer ue cs de covergece Exercices Exercice 20 O se propose de calculer. Justifier que cette série coverge. =6 2. Motrer qu il existe des réels a et b tels que 3. Écrire avec soi la somme partielle S N = = N k= et e déduire la somme de la série. S agit il d u ratioel? a 5 + b

23 Exercice 2 au km. Étudier les séries si ( ) l, 2. Covergece et somme de ( + )( + 2) ; 3. Covergece et somme de e (α+ ) lorsque α > Cas des foctios croissates, Formule de Stirlig 2.5. Gééralités Exercice 22 O suppose que f est ue foctio positive, cotiue par morceaux, croissate sur l itervalle [ 0, + [.. Doer u ecadremet de p=m f(p) 2. Exemples : Doer u équivalet de p= l(p) Motrer que! e ( ) + + e 2 e 4 (2.) Doer u équivalet de p=0 p Doer u équivalet de p=0 p3/2 Doer u équivalet de p=0 pα lorsque α > 0. Savez vous commet calculer les sommes exactes lorsque α est u etier aturel? Exercice 23 algèbre liéaire O se propose ici d effectuer le calcul exact de lorsque α est u etier aturel. S =. Motrer que l applicatio qui, à u polyôme P (X) de C[X] associe p=0 p α (P (X)) = P (X + ) P (X), réalise ue surjectio de K + [X]sur K [X] pour tout aturel Motrer que la somme S est u polyôme e. Quel est so degré? 3. Calculer S 4, S

24 2.5.2 Formule de Stirlig O souhaite obteir l équivalet de! : ( ) 2π.! e L idée est de doer u développemet asymptotique de k=2 l(k) (u équivalet e suffirait pas, pourquoi?) Pour cela, o pose, comme das le théorème 2, avec f(t) = l(t). w = f(t) dt f() Exercice 24 développemet de l k. Doer u équivalet de k=2 l(k). 2. Motrer que w = f(t) dt f() = (t + α )f (t) dt pour α bie choisi. 3. E déduire que w = 2( ) + x où x est absolumet covergete. 4. Motrer que l(!) = l + 2 l + K + o(). E déduire que! ek ( e ). Exercice 25 itégrales de Wallis, calcul de K O rappelle la défiitio des itégrales de Wallis : W = π/2 0 cos t dt = π/2 0 si t dt.. A partir d ue relatio de récurrece etre W +2 et W, calculer W 2p et W 2p+. π 2. Etablir la formule de Wallis : W E écrivat u équivalet de W 2p de deux faços, motrer que e K = 2π. E déduire la formule de Stirlig ci-dessus metioée. Exercice 26 que faire avec?. Détermier la ature des séries de termes gééraux : (a)!e, (2)! (b)!a, 2. calculer la limite de la suite ( + ) 2! +/2 24

25 2.6 Critère de d Alembert. Théorème 4 comparaiso logarithmique Soiet (u ) et (v ) deux suites de réels positifs. Si à partir d u certai rag, u + u v + v, alors u = O(v ). E particulier, si (v ) est ue suite géométrique de raiso r, o obtiet u = O(r ). Corollaire 5 Règle de d Alembert Soit u ue série à termes positifs. O suppose que la suite ( u + ) admet ue limite. Alors : u si cette limite vérifie lim u + <, u coverge ; u si cette limite vérifie lim u + >, u diverge ; u Remarque : si lim u + u =, o se gardera de coclure trop vite. Exercice 27 cotre-exemples et idées claires. Motrer que les réciproques sot fausses (et loufoques) ; 2. Doer u exemple de série u telle que lim u + diverge ; u =, qui coverge et ue autre qui Exercice 28 Etudier, si possible à la lumière de ce critère, les séries de termes gééraux, sigaler quad ue autre méthode est possible 5 : z!,!, e!!, (!) 2 (2)!, 2 Exercice 29 Que dire de la covergece des séries à termes positifs vérifiat : u +. u + 5. utiliser la relatio ( 2.) s il le faut. 25

26 2. u + u ( + ) 2 idicatios : Comparer u à v = 0 ( ) ( + ) 2 ; u + α avec α > (à partir d u certai rag) ; u u + α avec 0 < α < ; u 2.7 Exercices Exercice 30 au kilomètre Etudier les séries suivates, discuter s il y a lieu : l ( 2 ) e ( + ) ( + )+ ( + + ) a + b 2 l l 2, (l ) 2 2, 2 cos! ( ) ; ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( si π ) ( ) l( ) + 2 ( ) + ( ) arcsi ( ) cos( ) cos ( π 2 l( + )) Exercice 3 Vrai ou faux :. Si la série à termes positifs, u coverge, il e va de même pour u 2? 2. Si la série à termes complexes, u coverge, il e va de même pour u 2? 3. Si les séries à termes réels u 2 et v 2 coverget, il e va de même de u v? 26

27 4. Si les séries à termes complexes u 2 et v 2 sot absolumet covergetes, il e va de même de u v? Exercice 32 Etudier la suite défiie par S = k= k 2 Exercice 33 Nature de la série de terme gééral ( ) u, avec u défiie par u 0 > 0 et u + = e u +. Exercice 34 mies Soiet f : [, + [ ]0, + [, ue foctio de classe C telle que. Etudiez la ature de la série f() f (x) lim x + f(x) =. 2. Doez u équivalet du reste R = k=+ f(k). voir corrigé e?? Exercice 35. Soiet f et g deux foctios cotiues par morceaux et strictemet positives sur [a, + [. Motrer que, si [0,x] g(t) dt est pas borée, x ( x ) f(x) = o(g(x)) f(t) dt = o g(t) dt. x + a x + a 2. O suppose que h, est ue foctio de classe C et strictemet positive sur [0, + [, telle que h (x) lim x + h(x) = +. (a) Motrer que la série de terme gééral h() diverge et doer u équivalet de sa somme partielle d ordre. (b) Doer u équivalet, puis u développemet à trois termes (puissaces de ) de k k. k= 27

28 3 Déombrabilité et familles sommables 3. Esembles déombrables, au plus déombrables Joli et délicat, o fera quelques démostratios seulemet e classe (c est pourquoi elles sot rédigées). Défiitio 5 U E esemble est fii s il est vide ou s il existe u etier tel que E soit e bijectio avec [, ]. O dit qu u esemble est déombrable s il est e bijectio avec l esemble N des etiers aturels. O dit qu u esemble est au plus déombrable s il est e bijectio avec ue partie de N. Il est doc fii ou déombrable par le théorème 6. Théorème 6 Ue partie de N est soit fiie soit déombrable. Ue partie d u esemble au plus déombrable est soit fiie soit déombrable (doc au plus déombrable). Démostratio O peut admettre ce résultat dot ous doos, pour le fu, ue preuve algorithmique. Motros le premier poit. Cosidéros A N : Si A est vide, il est fii par défiitio. Sio, raisoos de faço algorithmique :. O ote A = A, A = {} et i = Tat que A {} faire : (a) a[i] = mi A ; (b) A = A \{a[i]}; (c) A = A {a[i]}; (d) i = i + ; Observos qu il y a au mois ue itératio et qu u ivariat de boucle est i mi A = a[i], A A = A, A A = {}, et les élts de A majoret strt ceux de A. Si l algorithme termie avec p itératios, A est fii, i a[i] est ue bijectio de [0, p ] sur A. E effet, - c est ue applicatio : l algorithme termie avec i = p mais les affectatios ot lieu avat l icrémetatio qui figure das le corps de la boucle, il y a ue affectatio et ue seule pour chaque i apparteat à l itervalle [0,p-] ; - elle est ijective : après chaque affectatio l élémet ajouté à la liste a est retiré de A, il e sera doc pas préset deux fois das la liste ; 28

29 - elle est surjective : l algorithme termie avec A vide, les élémets affectés sot das A = A (voir ecadré). Sio, A est déombrable et i a[i] est ue bijectio de N sur A. - C est ue applicatio : il y a toujours ue affectatio et ue seule pour chaque i apparteat à N; - elle est ijective : même démo ; - elle est surjective : soit y u élémet de A, à la fi de l itératio y + o aura y a[y]. Cela impose y / A doc y A et par costructio de A, y est de la forme a[i]. Exercice 36 umérotatios des couples d etiers.... O rage m couples d etiers comme sur la figure de gauche. (a) Défiir ue foctio φ(m, i, j) qui doe le du couple (i, j). (b) Écrire la foctio φ (m, k) qui doe le couple (i, j) de uméro k. 2. O se propose maiteat de préciser la umérotatio des couples de N 2 comme sur la figure de droite. (a) Défiir ue foctio ψ(i, j) qui doe le du couple (i, j). (b) Écrire avec précisio la foctio ψ (k) qui doe le couple (i, j) de uméro k. Idicatios : regarder où se trouvet les couples pour lesquels i + j = k et les couples dot le est de la forme k(k + )/2... (c) Algorithmique : programmez ces deux foctios (e Pytho). Das la deuxième questio de l exercice qui précède, ous avos explicité ue bijectio de N sur N 2 ce qui prouve la première assertio du théorème : Théorème 7 théorème fodametal de la déombrabilité N 2 est déombrable. U produit cartésie fii d esembles déombrables est déombrable. 29

30 Démostratio Première assertio : l exercice 36 questio 2, qu il faut savoir faire. Secode assertio : o commece par observer qu u produit fii d esembles déombrables, A A 2... A p est e bijectio avec N p. C est immédiat avec Φ : (x,..., x p ) A... A p (φ (x ),..., φ p (x p )) N p dot o vous laisse vérifier qu elle est à la fois surjective et ijective, chaque foctio φ i état ue bijectio de A i sur N... O démotre que N p est e bijectio avec N par récurrece sur p. C est évidet si p = ; Supposos N p e bijectio avec N; o ote f ue bijectio f : N p N. O défiit alors g : N p+ N 2 e posat : g(x,..., x p, x p+ ) = (f(x,..., x p ), x p+ ) (3.) O vérifie facilemet qu elle est bijective et comme N 2 est e bijectio avec N. Théorème 8 Ue réuio fiie d esembles déombrables est déombrable. Ue réuio déombrable d esembles déombrables est déombrable. Ue réuio déombrable d esembles au plus déombrables est au plus déombrable. Z est déombrable. Q est déombrable. Démostratios par le chemi des écoliers Nous commeços, c est plus facile, par motrer qu ue réuio fiie p i=0 A i d esembles déombrables et disjoits est déombrable. La démostratio se compred bie e iterprétat la figure de droite de la faço suivate : o y a p = 4, e première coloe, A 0 avec les élémets de 0,, 2 etc..., e deuxième coloe, A. O ote φ i ue bijectio de A i sur N. O défiit j de la faço suivate : si x p i=0 A i, j(x) est l idice pour lequel x A j(x). O défiit l applicatio Φ : x p A i p φ j(x) (x) + j(x) i=0 Prouvos que Φ réalise ue bijectio de p i=0 A i sur N. 30

31 Φ est bie défiie comme applicatio : ous laissos le lecteur y réfléchir (voir les questios ci-dessous). Φ est bijective : o étudie, pour y N, l équatio Φ(x) = p φ j(x) (x) + j(x) = y (3.2) O ote pour cela y = { pq + r ((q, r) quotiet et reste das la DE de y par p. (3.2) deviet alors, j(x) = r puisque 0 j(x) < p d où l o déduit x = φ r (q) φ j(x) = q Questios :. Sur la figure, que vaut j(x) lorsque x est de 7? 2. Pourquoi j est elle bie ue applicatio? 3. Pourquoi avos ous supposés les A i disjoits? La démostratio tiedrait elle autremet? Où serait le poit de rupture? 4. Doer l algorithme qui défiit Φ. Si vous deviez le programmer effectivemet, quel serait le poit crucial (bo ses)? Ue réuio déombrable d esembles déombrables disjoits est déombrable. O cosidère, avec des A i disjoits, i N A i. O défiit comme précédemmet, pour x i N A i, j(x) l idice pour lequel x A j(x). O idetifie par bijectio i N A i à N 2 comme ci-dessous et o se ramèe esuite au théorème 7 (N 2 est e bijectio avec N) : ψ : x i N A i ( j(x), φ j(x) (x) ) N 2. Ue réuio déombrable d esembles au plus déombrables est au plus déombrable. Doos ue idée de la démostratio. O ote A = i N A i = A 0 A A 2... A p... O pose A 0 = A 0, A = A \A 0,..., A + = A +\(A 0 A... A ),... O a alors ue réuio d esembles disjoits (dot certais sot peut-être vides) : A = i N A i = i N A i O complète chaque A i qui serait fii e A i de telle sorte que les A i soiet disjoits deux à deux et bie sûr déombrables. Alors A = i N A i = i N A i i N A i Ce derier esemble est déombrable comme uio disjoite d esembles déombrables. D après le théorème 6, A est alors au plus déombrable. 3

32 Retour aux deux premiers éocés du théorème. Commet se déduiset ils de leurs versios disjoites respectives et de ce derier? Z est déombrable. E effet, Z = Z N et Z est e bijectio avec N (facile). Q est déombrable. E effet, tout x Q s écrit x = p q avec q > 0. Alors, Q = { } p q= q ; p Z est réuio { } p déombrable d esembles déombrables (chaque q ; p Z est idexé sur p Z). Comme par ailleurs, Q est pas fii, il est déombrable. Exercice 37 O cosidère ue applicatio f : I S. O suppose que f est surjective et qu u élémet x S admet u ombre fii d atécédets par f. Si S est déombrable, que peut o dire de I? 3.2 Ils e sot pas déombrables Exercice 38 {0, } N O cosidère l esemble E = {0, } N des suites formées de 0 et de. O veut démotrer par l absurde que cet esemble est pas déombrable. O supposera doc qu il existe ue bijectio Φ : N E.. Compredre les objets, les otatios : (a) Soit U = (0, 0, 0,, 0,,...) u élémet de E. Au vu de cette descriptio partielle que sot U 0, U,..., U 5? Et U 6? (b) Soit U = Φ(p) (p N quelcoque). Que désiget U, Φ(p)? 2. O défiit ue suite V e posat pour N : { V = 0 si Φ() = V = si Φ() = 0 (a) Que vaut V si Φ() est la suite ulle? V est elle la suite ulle? (b) Que vaut V si Φ() est la suite formée uiquemet de? V est elle la suite formée uiquemet de? (c) Existe-t-il N tel que V = Φ()? 3. Coaissez vous u esemble o déombrable? Théorème 9 R est pas déombrable. 32

33 Démostratio hors programme o peut la costruire avec l exercice 39. Exercice 39 les premières questios sot idépedates.. Motrer que R est e bijectio avec chacu de ses itervalles ouverts ]a, b[ o vides. Boîte à outils o ragée : foctios affies,, ta, x x + x. 2. Pourquoi l applicatio θ : (u i ) i {0, } N\{0} i= u i est elle ue surjectio sur 2i ]0, [? θ est elle ijective? Combie u élémet de ]0, [ peut il avoir d atécédets par θ? Voir le théorème 4 page 0. O trasposera les résultats à la base 2 sas refaire les démostratios. 3. O cosidère ue applicatio f : I S. O suppose que f est surjective et qu u élémet x S admet u ombre fii d atécédets par f. Si S est déombrable, que peut o dire de I? 4. Sachat que {0, } N est pas déombrable (exercice 38), R est il déombrable? 3.3 Familles sommables 3.3. Les familles sommables de réels positifs Défiitio 6 famille sommable de réels positifs Soiet J u esemble au plus déombrable et (a i ) i J ue famille de réels positifs idexée sur J. O dit que (a i ) i J est sommable ssi l esemble des sommes défiies pour J partie fiie de J est boré. Lorsque (a i ) i J est sommable, o défiit sa somme comme a i = i J Lorsque (a i ) i J est pas sommable, o pose i J a i sup J J J fiie i J a i = +. i J Quelques exemples de familles idexées sur u esemble au plus déombrable Suites doubles, familles idexées sur N 2 : ce sot les familles de la forme (a (p,q) ) (p,q) N 2. Par exemple, a (p,q) = p α q β pour (p, q) N 2 ; Suites idexées sur Z : (a ) Z a i 33

34 Suites idexées sur ue famille déombrable d évéemets (c est ue des applicatios majeure de cette otio das otre programme). Cas des familles idexées sur N Lorsque I = N, la famille (a i ) i I = (a i ) i N peut être aussi cosidérée comme ue suite. Ue somme partielle de la série de terme gééral a i peut s écrire S = a i = a i. i=0 i [0,] C est doc u cas particulier de somme fiie attachée à la suite vue comme ue famille déombrable de termes positifs. O démotre alors le Théorème 20 familles sommables et séries à termes positifs. Soit (a i ) i N ue suite de réels positifs (c est à dire ue famille de réels positifs, idexée sur N). La famille (a i ) i N est sommable ssi la série a i est covergete. Das ce cas la somme de la série et la somme de la famille sommable coïcidet : a i = a i = a i = a i. i J sup J J J fiie i J lim + i=0 i=0 Démostratio L équivalece : Supposos (a i ) i N sommable. Les sommes partielles de la série a i sot borées puisqu elles sot de la forme a i = a i a i. i=0 i [0,] sup J N, J fii La suite des sommes partielles qui est croissate et majorée coverge. E particulier a i = lim a i. i=0 + i [0,] a i i N Supposos que la série coverge et cosidéros J N, u esemble fii. Soit = sup J. Comme J [0, ], o a a i S = a i a i. i J La famille des i J a i est doc borée, la famille des (a i ) i N est sommable et sup J N, J fii i=0 a i i J L égalité des deux sommes das le cas où la famille est sommable et la série coverge découle des deux iégalités. i=0 i=0 a i i J 34

35 Questio : Que peser de l affirmatio qui suit : De toutes faços si ue série à termes positifs coverge, la somme est égale au sup des sommes partielles, il y a doc rie à démotrer pour l égalité!? Théorème 2 sommatio par paquets Si (I ) est ue partitio de l esemble déombrable I, et si (a i ) I est ue famille sommable de réels positifs, alors :. Chacue des familles (a i ) I est sommable. 2. La famille (T ) où chaque T est défii par T = i I a i est elle-même sommable. 3. L égalité qui suit est vérifiée (formule de sommatio par paquets) : T = a i = a i (3.3) N N i I i I Démostratio hors programme. Exercice 40 premiers exemples O ote N = N \ {0}... ( ). La famille + j 2 est elle sommable? j Z ( ) 2. La famille i 2 j 2 est elle sommable? Calculer évetuellemet sa somme. (i,j) N ( ) 2 3. La famille i 2 + j 2 est elle sommable? (i,j) N 2 Idicatio : ecadrer la somme de la série a O doe : 2 + t 2 dt = 2π Les familles sommables de complexes Défiitio 7 famille sommable de complexes Soiet J u esemble au plus déombrable et (a i ) i J ue famille de réels de siges quelcoques ou de complexes idexée sur J. O dit que (a i ) i J est sommable ssi ( a i ) i J est sommable. 35

36 Rappelos les défiitios et résultats vus e début de chapitre : u + = max(u, 0) 0 u = max( u, 0) 0 u = u + u u = u + + u si u 0, u = u + et u = 0 si u 0, u = u et u + = 0 Théorème 22 Soiet J u esemble au plus déombrable et (a i ) i J ue famille de réels de siges quelcoques idexée sur J. Alors (a i ) i J est sommable ssi les familles de réels positifs (a + i ) i J et (a i ) i J sot toutes deux sommables. Soiet J u esemble au plus déombrable et (a i ) i J ue famille de complexes idexée sur J. Alors (a i ) i J est sommable ssi les familles de réels positifs (Re(a i )) i J et (Im(a i )) i J sot toutes deux sommables. Démostratio E tout poit aalogue à celle du théorème 3 sur les séries absolumet covergetes. Défiitio 8 somme d ue famille sommable de complexes - Soit (a i ) i J ue famille sommable de réels de siges quelcoques idexée sur J, o défiit sa somme comme état a i = a + i a i i J i J i J - Pour (a i ) i J ue famille sommable de complexes o défiit sa somme comme état a i = Re(a i ) + i Im(a i ) i J i J i J Cas des familles idexées sur N Nous avos là ue gééralisatio de théorème 20. Théorème 23 familles sommables et séries à termes complexes : Soit (a i ) i N ue suite de complexes (c est à dire ue famille de complexes, idexée sur N). La famille (a i ) i N est sommable ssi la série a i est absolumet covergete. Das ce cas la somme de la série et la somme de la famille sommable coïcidet : a i = i J sup J J J fiie a i = i J lim + a i = i=0 a i. i=0 36

37 Démostratio Nous avos démotré ce résultat pour les séries à termes positifs. Comme la sommabilité et la covergece absolue sot des propriétés de ( a i ) i N, l équivalece est doc aussi démotrée pour les familles de complexes. Il reste à prouver que les sommes =0 a, défiie comme ue limite, et N a, défiie comme ue combiaiso liéaire de 4 bores supérieures sot égales. Cela e pose pas de problème o plus, puisque le résultat est établi pour les familles à termes positifs et que pour les deux défiitios de la somme les applicatios (a i ) i N i N a i, et (a i ) i N i=0 a i sot liéaires alors que a i = Re(a i ) + Re(a i ) + i (Im(a i ) + Im(a i ) ). Théorème 24 sommatio par paquets, ombres complexes Si (I ) est ue partitio de l esemble déombrable I, et si (a i ) I est ue famille sommable de ombres complexes, alors :. Chacue des familles (a i ) I est sommable. 2. La famille (T ) où chaque T est défii par T = i I a i est elle-même sommable. 3. L égalité qui suit est vérifiée (formule de sommatio par paquets) : T = a i = a i (3.4) N N i I i I Démostratio hors programme Suites doubles Théorème 25 Fubii pour les suites doubles, réels positifs Soit (u,m ) (,m) N 2, ue famille de réels positifs idexée sur N 2. (u,m ) (,m) N 2 est sommable ssi pour tout, la série m la série des sommes σ = Das ce cas, u,m est covergete ; u,m coverge. m=0 37

38 Pour tout m, la série u,m est covergete ; La série des sommes τ m = u,m coverge, Les sommes suivates sot égales : σ = τ m. Ce qui s exprime ecore (formule de Fubii) : =0 ( ) u,m = =0 m=0 m=0 ( ) u,m Démostratio Pour le premier poit, ous avos deux implicatios à démotrer. Supposos (u,m ) (,m) N 2, sommable. Observos que N 2 admet pour partitio la famille des esembles {} N (dessiez). Das ce cas chaque somme u,m est défiie puisque la famille est sommable et N {} N u,m m=0 = N 2 =0 u,m {} N D après ce que ous avos dit des familles idexées sur N (ici m parcourt N), Nous avos doc prouvé que u,m {} N m=0 σ = N 2 =0 u,m = σ. Supposos maiteat que pour chaque etier N, m u,m coverge et que la série des sommes σ coverge elle aussi. Cosidéros u esemble fii J N 2 et u couple (N, M) tel que pour tout (, m) J, N et m M. O a alors, N M N u,m u,m = u,m (,m) J Comme cette derière série coverge (,m) [0,N] [0,M] (,m) J u,m u,m =0 m=0 σ = cste La famille est doc sommable. Si l ue des coditios équivaletes précédetes est remplie, comme la famille (u,m ) (,m) N 2 est sommable, par symétrie des rôles du premier et deuxième terme de (, m) σ = u,m = N 2 =0 =0 m=0 τ m =0 σ (3.5) 38

39 Ue autre démostratio, plus délicate mais qui e fait pas appel à u résultat admis (pour le fu) : Supposos (u,m ) (,m) N 2, sommable. M Notos s,m = u,m. La suite (s,m ) M est croissate, et elle est aussi majorée puisque m=0 s,m = {} [0,M] u,m N 2 u i,j. Aisi m u,m coverge. O ote alors comme das l éocé : σ = u,m. m=0 Motros que σ coverge. Pour chaque N, o cosidère M tel que la somme partielle s,m vérifie 0 σ s,m = m=m + u,m 2. O aura alors N σ s,m =0 N =0 σ N =0 2 2 N s,m + 2 =0 N =0 σ (,m) N =0 {} [0,M] u,m + 2 Comme le derier esemble de sommatio est fii, σ est ue série à termes positifs dot les sommes partielles sot majorées (par quelle costate?). Elle coverge doc. Théorème 26 Fubii pour les suites doubles O cosidère ue suite double (u,m ) (,m) N 2, telle que Pour tout, la série m u,m est absolumet covergete, La série des sommes σ = m u,m coverge. Alors, Pour tout m, la série u,m est absolumet covergete ; La série des sommes τ m = u,m coverge, Les sommes suivates sot égales : ( ) ( ) σ = u,m = u,m = =0 =0 m=0 m=0 =0 m=0 τ m 39

40 ( ) ( ) u,m = u,m =0 m=0 m=0 =0 Démostratio o faite Exercice 4 O ote N = N \ {0}... ( ). La famille i 2 + j 2 est elle sommable? (i,j) N 2 Idicatio : ecadrer la somme de la série a ( ) 2. La famille i 2 + j 3 est elle sommable? (i,j) N 2 Idicatio : ecadrer la somme de la série a ( ) 3. La famille i 4 + j 4 est elle sommable? (i,j) N 2 ( ) 4. Pour quelles valeurs de α > 0 la famille i α + j 2 est elle sommable? (i,j) N 2 O doe les résultats suivats : 0 a 2 + t 2 dt = π (3.6) 2a 0 a 2 + t 3 dt = 2π 3 9a 4/3 (3.7) a α + t 4 dt = π 2 4a 3 α/4 (3.8) Exercice 42. Les sommes sot elles défiies? 2. Les sommes ( = m= ( = m= 0 ) ( + m) α, ) ( + m 2 ) α, sot elles défiies? Sot elles égales? 3. Que peser de ( = m= lorsque 0 < α, lorsque α > 2? ) ( ) m ( + 2m) α, ( ) ( + m) α, m= m= = ( ) ( + m 2 ) α, m= = ( ) ( ) m ( + 2m) α, = 40

41 Exercice 43 sommes d Euler O défiit la foctio ζ de Riema e posat pour p >, ζ(p) = =0 O admettra que ζ(2) = π 2 /6. (ce résultat est établi das l exercice 3).. Soit φ(m, ) = 2 m 3 + m m 3. Calculer u,m = φ(m, ) φ(, m + ) φ(m +, m) E déduire que ζ(4) = 2 5 ζ(2)2. Dessier les couples d idices figurat das la somme p 2. Que peut o faire d aalogue avec N N u,m... = m= Exercice φ k (m, ) = k 2 2 m k + m k i i + 2 m k? 44 d après le problème Mies 2002 sur les ombres premiers.... Motrer que la suite des ombres premiers est illimitée e cosidérat, par exemple, pour ombres premiers p, p 2,..., p doés, l etier Q défii à partir de ces ombres premiers par la relatio : Q = + i= p i. 2. Soiet s u réel strictemet positif et 2 u etier. Justifier que i=2 ( s ) = ks. 3. Soiet a et b deux etiers, différets l u de l autre, tous les deux supérieurs ou égaux à 2. Démotrer que la série double de terme gééral u i,j défii par la relatio u i,j = a i s b j s, est sommable (ce qui sigifie que les séries i u i,j, j u i,j, sot absolumet covergetes de même que les séries j i=0 u i,j, i j=0 u i,j ). Détermier sa somme S. 4

42 3.4 Produit de Cauchy de séries absolumet covergetes Calcul prélimiaire : Soiet P (X) = a k X k, et Q(X) = b k X k, deux polyômes, écrire leur produit. Défiitio 9 produit de Cauchy de deux séries Soiet u et v deux séries à termes das K. O appelle produit de Cauchy de ces deux séries, la série de terme gééral w = u k v k = p+q= u p v q. Théorème 27 Si les séries u et v sot absolumet covergetes, leur produit de Cauchy est ue série absolumet covergete et de plus : ( + + ) ( + ) ( + ) w = u p v q = u k v k. =0 =0 p+q= Démostratio O suppose que les séries u et v sot absolumet covergetes et o pose w =. Motrer que la famille (u p v q ) (p,q) N est sommable. 2. Justifier l égalité 3. E déduire : Exercice + =0 w = + =0 45 séries semi-covergetes + =0 ( p+q= u p v q ) = (k,l) N 2 u k v l ( + ) ( + ) w = u k v k.. Que dire du produit de Cauchy de la série de t.g. ( ) par elle-même? p+q= u p v q. 2. Que dire du produit de la série de t.g. ( ) par elle-même? Exercice 46 déombremets Soit, pour x ], [, f(x) = x.. Écrire f(x) comme la somme d ue série absolumet covergete. 42

43 2. Écrire f 2 (x), f 3 (x) comme sommes de séries absolumet covergetes. 3. O ote d (m) Exercice Motrer que le ombre de m-uplets d etiers aturels (p, p 2,..., p m ) tels que m p i =. i= f(x) m = d (m) k x k. 47 produits de Cauchy, produits ifiis et ombres premiers. Soit p 2 u etier. Que vaut la somme s=0 p s? 2. Détermier le produit de Cauchy des séries géométriques 2 p et 3 p. 3. Doer ue expressio judicieuse de ( ) ( ) ( ) sous forme de série O ote T la ième somme partielle de cette série. Développer T 2 et motrer que l o a l ecadremet H(6) T 2 H(25) das lequel H() désige la somme partielle de la série harmoique H() = k= k. 4. O ote (p ) la suite des ombres premiers (aisi p = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 8 = 9 etc...). O défiit ue suite (P ) e posat (a) Motrer que P = P = k= θ,m où θ,m = m=0 ( pk ). 2 α (α +...+α )=m 3 α... 2 (b) O cosidère la somme partielle P,N = N m=0 θ,m. Motrer que P,N H(p N ). (c) Soit K u etier compris etre et mi(2 N, p ). O suppose que K se décompose e K = 2 a 3 a 2...p a j j. Justifier que tout ombre premier p i figurat das cette décompositio avec a i > 0 est iférieur à p et que a + a a j N. p α. 43

44 (d) Démotrer que pour tout (, N) N 2, il existe u etier q, que vous détermierez, tel que H(q) P,N. E déduire que H(q) P puis que lim P = Détermier la ature de la série ) l ( pk. 6. Motrer que la série p k diverge. 3.5 L expoetielle complexe Exercice 48 exercice prélimiaire. Motrer que pour tout z C la suite s = z k k! coverge. 2. Lorsque x est réel, que dire de sa limite? 3. Motrer que cos x et si x sot sommes de séries aalogues et que, pour tout réel y, o a e iy = cos y + i si y. Défiitio 0 Pour tout z complexe, la série z est absolumet covergete. O défiit doc ue foctio! exp : C C, e posat pour z complexe : exp(z) = e z = =0 z!. Cette foctio, appelée expoetielle complexe vérifie les propriétés suivates : Propositio 28 L applicatio exp ci-dessus défiie vérifie exp(u + v) = e u+v = e u e v = exp(u)exp(v) (3.9) exp : C C est u homomorphisme du groupe additif (C, +) sur le groupe multiplicatif (C, ). Pour tout z = x + iy avec x et y réels, e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i si y) (3.0) exp est u prologemet de la foctio expoetielle réelle à C. exp est surjective, o ijective. So oyau (comme homomorphisme de groupe) est l esemble des complexes de la forme 2ikπ, k Z. 44

45 Démostratio pour établir la formule e z+w = e z e w, étudier le produit de Cauchy des séries de sommes e z et e w. Le résultat est ue coséquece du théorème 27. Exercice 49. Résoudre l équatio e z = a + ib où (a, b) R 2, z C est l icoue ; justifier que exp est u homomorphisme surjectif de C sur C. Quel est so oyau? 2. O ote L = C \ R. Motrer que si w = a + ib = re iθ alors r = a 2 + b 2 θ = 2arcta ( b a + r ) [2π] 3. O suppose que a + ib L (ie : est pas u réel égatif), exprimer les solutios de e z = a + ib à l aide des foctios l et arcta (et d u paramètre k Z). Justifier que exp réalise ue bijectio de la bade {z C; Imz < π} sur L et expliciter sa bijectio réciproque (appelée détermiatio pricipale de l complexe). 45

46 4 Aexes 4. Aexe : Pour étudier ue série umérique.... O commece par s assurer qu elle est pas grossièremet divergete, 2. Si ce est pas le cas (et parfois aussi, si c est le cas et que l o veut étudier le comportemet asymptotique des sommes partielles) o regarde ce que doet les théorèmes du cours : (a) pour ue série à termes positifs ou de même sige : comparaiso à ue série de référece, à ue itégrale, règle de d Alembert si so allure s y prête... (b) si la série est alterée, vérifier les 3 hypothèses du critère spécial ; (c) regarder les modules, ce peut-être ue série absolumet covergete, c est le cas des séries e O(v ) où v est ue série positive covergete... (d) regarder si elle est de la forme f() où la foctio f est mootoe ou de dérivée itégrable Si ces critères e sot pas immédiats, peser à développer le terme gééral. O pourra alors étudier la série comme ue sommes de séries au comportemet facile à étudier... A cet égard réfléchir aux exemples suivats : si u = ( ) 2 + o, la série diverge. Pourquoi? ( ) si u = ( ) 2 + o, la série peut être covergete ou divergete ; illustrer les deux cas. si u = ( ) 2 + ( ) 3/2 + O 2, la série coverge. Pourquoi? 4. O oubliera pas o plus la formule de Taylor etc.. 5. O pesera esuite aux séries de foctios : série etières (séries géométriques dérivées par exemple), séries de Fourier e u poit ( si, par exemple), séries d itégrales (voir chapitre correspodats) 4.2 Aexe 2 : Produits ifiis Exercice 50 CCP (remaié) Soiet (u ) ue suite à termes strictemet positifs.. Comparez les covergeces des séries u et l( + u ); 2. Comparez les covergeces des séries u et du produit ( + u ); 3. Comparez les covergeces des séries u et v où u v = ( + u k) ; Exercice 5 Soit (u ) ue suite strictemet croissate de réels strictemet positifs de limite + et telle que lim u + u k u k+ =. Démotrer que u u u. k + k= 46

47 4.3 Aexe 3 : Calcul approché de la costate d Euler O a démotré que. H = k= k = l() + γ + o( ) 2. les suites (a ) et b ) défiies par a = H l() et b = H l(+) sot adjacetes, de limite γ 3. l écart a p b p est majoré par p. Doc, pour obteir u ecadremet de γ de logueur 0, il suffit de calculer les termes d ordre 0 de ces deux suites : restart; Digits:=20; G:=proc() local p, H, k; p:=0^; H:=0; for k from to p do H:=evalf(H+/k): od; [evalf(h-l(p+)), evalf(h-l(p))]; ed: t0:=time(): G(2); time()-t0; [ , ].009 t0:=time(): G(3); time()-t0; [ , ].045 t0:=time(): G(5); time()-t0; [ , ] t0:=time(): G(6); time()-t0; [ , ] Remarque : O voit que pour passer d ue précisio 0 à ue précisio 0 (+), ce qui fait gager ue décimale, le temps de calcul est multiplié par 0 au mois, ce qui était tout à fait 47

48 prévisible. Pour calculer de cette faço 20 décimales, il faut prévoir 40 millios de siècles. 4.4 Aexe 4. Développemets asymptotiques et études de séries Exercice 52 Soit f défiie sur [0, A, [, cotiue, telle que 0 < f(x) < x sur ]0, A[ et que f(x) = x ax 2 + bx 3 + o(x 3 ) avec a > 0 et b a 2. O souhaite doer u DA du terme gééral d ue suite défiie par u 0 [0, A[ telle que u + = f(u ).. Limite de la suite? 2. Doer u équivalet de u. Idicatio : pour ue suite quelcoque, 3. Doer u équivalet de u a. 4. Doer u DA à 3 termes de u. v = v 0 + k= 0 (v k+ v k ). Exercice 53 DA O cosidère ue suite (x ) telle que x 0 > et x + = x + + x.. Motrer que cette suite et bie défiie et détermier sa limite. 2. Doer u équivalet de x. Idicatio : o écrira x = σ k, σ 0 = x 0 et σ k = (x k x k ), k. 3. Doer u développemet à deux termes de x. Exercice 54. Soit σ ue suite de réels positifs telle que σ +. Doer u équivalet des sommes 3 k= σ k. O cosidère pour u 0 R, la suite (u ) défiie par u + = si u. 2. Discuter du sige des termes de la suite selo u. Motrer que cette suite coverge. Préciser sa limite. Justifier que si u 0, aucu des termes de la suite est ul. O se place doréavat das ce cas. 48

49 3. Doer u équivalet de σ = u 2 + vers + das les cas u = et u =.. E déduire u équivalet de u lorsque ted u 2 4. Doer u équivalet de σ 3. E déduire u développemet à deux termes de u. voir corrigé e page??. 4.5 Aexe 5 : culture L idée sous-jacete à l exercice 38 (procédé diagoal), qui permet de démotrer par l absurde que {0, } N est pas déombrable est à reteir ; c est le poit crucial das la preuve de la o-déombrabilité de R. Le premier théorème de Gödel (93) : ce théorème établit que das ue théorie mathématique qui par exemple cotiet les axiomes de l arithmétique, il existe des éocés P tels que i P i o(p ) e sot démotrables (o parle d éocés idécidables das la théorie). Idée : uméroter les démostratios possibles e foctio de l éocé P (lui-même uméroté) et e déduire des éocés P tels que i la démostratio de P i celle de o(p ) e sot das cette liste. Cela e fourit pas pour autat u tel éocé P e lagage mathématique clair, il faudra attedre 962 pour cela. L hypothèse du cotiu : o sait que sot déombrables les esembles e bijectio avec N alors les esembles e bijectio avec R e le sot pas. Existe-t-il des esembles X tels que N X R qui e seraiet e bijectio i avec N, i avec R? Cela ous ferait 3 types d esembles ifiis coteus das R. E 962, Paul Cohe prouve que cet éocé est idécidable. O peut doc costruire des théories mathématiquemet cohéretes (sas cotradictio) avec ou sas cette hypothèse. O travaille le plus souvet e acceptat comme axiome le fait qu il existe pas de cardial compris etre celui de N et celui de R que l o ote ℵ 0 et ℵ... L idécidabilité e iformatique :... 49

50 R e g a r d s (c)2007 Charles F. Cooper Used with permissio. Pe tite h i s to i r e d e l i d é c i d a b i l i t é David Hilbert rêvait de trouver u système complet d'axiomes dot o pourrait établir de maière simple qu'il était o cotradictoire et qui permettrait de développer toutes les mathématiques. Kurt Gödel démotre e 93 que tout système assez puissat pour faire des mathématiques itéressates et o cotradictoires est icomplet : certaies affirmatios mathématiques vraies 'y sot pas démotrables.? Ala Turig, grâce à so travail sur la otio d'algorithmes, permet de mieux compredre le théorème d'icomplétude et de réaliser qu'il cocere u grad ombre de problèmes de programmatio (et doc d'iformatique). Paul Cohe démotre l'idépedace de l'axiome du choix et de l'hypothèse du cotiu au sei de la puissate théorie des esembles : l'idécidabilité cocere doc cette théorie cetrale des mathématiques. Adrei Kolmogorov propose ue défiitio mathématique de la otio de complexité qui s'applique e physique et qui est doc touchée par l'idécidabilité : celle-ci est importate, y compris das les scieces de la ature. Per Marti-Löf, e formulat ue défiitio rigoureuse de la otio de suite aléatoire ifiie, permet ue compréhesio approfodie des lies etre probabilités et idécidabilité. Yuri Matyasevich, e motrat l'idécidabilité du dixième problème de Hilbert cocerat les équatios polyomiales diophatiees, permet la formulatio d'équatios arithmétiques complexes idécidables. Jeff Paris et Leo Harrigto ot formulé u éocé d'arithmétique e proveat pas de la logique et idécidable das l'arithmétique élémetaire : aisi, l'idécidabilité touche les parties les plus basiques des mathématiques. Gregory Chaiti, e défiissat le ombre Omega dot ue théorie mathématique e peut coaître qu'u ombre fii de chiffres, produit u cocetré d'idécidabilité décocertat. Robert Solovay aggrave ecore le résultat de G. Chaiti e produisat ue variate du ombre Oméga dot aucu chiffre 'est coaissable par l'utilisatio de la théorie usuelle des esembles. Raymod Smullya tire des pricipes de la démostratio de Gödel u esemble de problèmes paradoxaux qui e aidet la compréhesio et cotribuet à populariser le résultat et sa démostratio. Leoid Levi établit, etre autres, que l'utilisatio du hasard das les démostratios e permettra pas de cotourer l'idécidabilité et cojecture qu'il e va de même de tout mécaisme physique. Cristia Calude établit diverses formes fortes du théorème de Gödel qui e éclairet la ature et qui sigifiet que presque tout éocé est idécidable. Pour la Sciece Javier 2009 Logique et calcul [89 50