Cours de Microéconomie IV: Équilibre général

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1 Cours de Mcroéconome IV: Équlbre général Inspré du cours de H. Polemarchaks Ma 2003 Le thème central de ce cours est l équlbre général, mas celu-c va être envsagé en mettant un accent partculer sur l économe du ben-être. Table des matères I Théore classque de l équlbre général 3 1 Théorèmes fondamentaux Cadre du modèle Pareto-optmalté Défntons Exstence Les deux théorèmes de l économe du ben-être Premer théorème Second théorème Extensons des théorèmes L argument d échanges Le Paradoxe du transfert Présentaton Formalsaton Poltque économque Transferts optmaux Désagrégaton Le problème de l agrégaton Le Problème La Démonstraton de Debreu et ses sutes Une Démonstraton plus ntutve Généralsaton Unversalté des échanges II Échecs de marché 20 3 Économes avec des externaltés Taxe à la vente

2 TABLE DES MATIÈRES 2 4 Incerttude et externaltés Cadre Marchés condtonnels et contrats Incerttude et actfs fnancers Pareto-amélorablté

3 3 Premère parte Théore classque de l équlbre général 1 Les deux théorèmes de l économe du benêtre 1.1 Cadre du modèle Sot une économe composée de : 1, I ndvdus ; l 1, L bens ; les ndvdus sont caractérsés par leurs fonctons d utlté u = u (x 1,..., x L ) une foncton d utlté ordnale défne sur tous les paners de bens envsageables pour : x (X ) ; une dotaton ntale bens e = (e 1,..., e L ). Cette descrpton de l économe recouvre deux hypothèses de modélsaton : Hypothèse 1.1. Il y a un nombre fn d ndvdus. Hypothèse 1.2. Il y a un nombre fn de bens. Ces deux hypothèses sont mportantes, car les preuves de pluseurs théorèmes dans ce qu sut tombent quand on consdère un nombre nfn de bens ou d ndvdus. Or, l hypothèse de fntude des bens est très dscutable s on consdère des bens dfférentés par leur localsaton géographque ou leur dsponblté dans le temps. Ces réserves seront examnées en seconde parte. En revanche, on peut remarquer qu on n a fat aucune hypothèse sur la manère dont la dotaton ntale en bens est attrbuée. En partculer, on n a postulé aucune structure de proprété. Défnton 1.1 (Allocaton réalsable). Une allocaton X = (x 1,..., x I ),x (X) est un vecteur de longueur IL. Une allocaton est dte réalsable s x = e Remarque. Souvent, cette défnton est remplacée par la formulaton suvante : x e. Cette dernère mplque qu on peut lbrement et surtout sans coût se débarasser des bens dont on ne veut pas. Elle fat également des hypothèse sur la forme des fonctons d utlté. Hypothèse 1.3. Il exte une allocaton réalsable. Cette hypothèse sgnfe qu l exste au mons une allocaton telle que tous les ndvdus dsposent du mnmum vtal. Sans elle, tout ce qu sut n a pas grand sens.

4 1 THÉORÈMES FONDAMENTAUX Pareto-optmalté Défntons Défnton 1.2 (Pareto-supérorté). Une allocaton X est Pareto-supéreure (on dt auss Pareto-domne) une allocaton X s :, u (x ) u (x ) j, u j (x j ) > u j (x j ) On dt qu elle est strctement Pareto-supéreure s :, u (x ) > u (x ) Défnton 1.3 (Pareto-optmalté). L allocaton X est dte Pareto optmale s l n exste pas d allocaton réalsable qu lu sot Pareto supéreure. L allocaton X est dte fablement Pareto optmale s l n exste pas d allocaton réalsable qu lu sot strctement Pareto supéreure Exstence Théorème 1.1 (Exstence d une allocaton Pareto-optmale). S les u sont contnues sur l ensemble F des allocatons réalsables, et s F est compact, alors l exste une allocaton Pareto-optmale. La démonstraton de cette proposton repose sur le résultat suvant : Rappel. S g est une foncton contnue sur un compact C, alors elle est bornée et attent ses bornes sur C. En partculer, elle admet un maxmum sur C. Ans, fasons les hypothèses suvantes : Hypothèse 1.4. Les u sont contnues sur F Hypothèse 1.5., X est fermé et borné par en bas. Alors, on a le résultat suvant : Proposton 1.2. L ensemble F des allocatons réalsables est un compact. Démonstraton. L hypothèse (1.5) permet de dessner F comme une boîte d Edgeworth en dmenson 2. En dmenson I, la démonstraton est la même. On remarque que cette démonstraton tombe s I ou L sont nfns. On peut mantenant fare la démonstraton de l exstence d une allocaton Pareto-optmale : Allocaton fablement Pareto-optmale. Je consdère max X F {u 1 (x 1 }, dont je sas qu l exste. Notons F 1 F les solutons de ce problème. Comme F 1 est auss un compact, je peux consdérer max X F 1{u 2 (x 2 }. Par récurrence, j obtens une allocaton fablement Pareto-optmale. Allocaton strctement Pareto-optmale. On peut obtenr une allocaton strctement pareto-optmale en réalsant le programme suvant : max X F { α u (x )},, α > O. S, α 0 et j, α j > 0, on obtent une allocaton fablement Pareto-optmale.

5 1 THÉORÈMES FONDAMENTAUX 5 Théorème 1.3. S, u est concave, alors, pour toute allocaton X Paretooptmale, l exte α 1,..., α I, α 0, j, α j > 0 tels que X est soluton de max X F { α u (x )}. L hypothèse de concavté des u pose de nombreux problèmes. En effet, les fonctons d utlté sont censées n être que des résumés pour les fonctons de préférence. Or, supposer la concavté des fonctons d utlté revent non seulement à supposer la convexté des fonctons de préférence (ce qu est rasonnable), mas auss à fare des hypothèses très forte sur la manère dont les fonctons de préférence crossent (ce qu est non seulement arbtrare, mas auss contrare à l dée que les fonctons de préférence ne sont que des fonctons ordnales). Pour plus de détals, vor le théorème de Sonnenschen. 1.3 Les deux théorèmes de l économe du ben-être Premer théorème Modélsons une économe de marché : E = { (u, e ), 1,..., L }. Sot un vecteur-prx p = (p 1,..., p L ). La valeur d un paner de bens X est alors px = l p lx l. Défnton 1.4 (Équlbre de marché). Un équlbre de marché est un couple (p, X ) tel que : X est réalsable ( x = e ) ;, est soluton de p x p e. On remarque que les solutons ndvduelles ne sont pas nécessarement unques, par exemple dans le cas où la plus haute courbe d utlté est tangente à la drote de budget sur tout un segment. Le planfcateur contral dot donc non seulement détermner les prx d équlbre, mas auss dscrmner entre les dfférentes solutons pour parvenr à un équlbre qu pusse être Pareto-optmal. L équlbre de marché n est donc pas auss décentralsable que certans ament à le dre. Théorème 1.4 (Premer théorème de l économe du ben-être). Une allocaton X résultant d un équlbre de marché est fablement Pareto-optmale. Démonstraton. Supposons par l absurde que X est un équlbre de marché tel que : X est réalsable ;, u (x ) > u (x ). Alors, pour chaque ndvdu, x est soluton du programme max(u (x )) sous la contrante p x p e ; u (x ) > u (x ). Donc p x > p e. Alors, p x > p e, ce qu mplque que X n est pas réalsable. Contradcton. Remarque. Ce théorème semble très fort, car l ne demande aucune hypothèse partculère. En fat, ce résultat est condtonné par l exstence d équlbres de marché, qu elle requert des hypothèses très fortes sur la structure de l économe consdérée.

6 1 THÉORÈMES FONDAMENTAUX 6 Le théorème dt que les allocatons de marché sont seulement fablement Pareto-optmales. En effet, s un agent a une zone d ndfférence qu recouvre l équlbre de marché, l peut être possble de se déplacer dans cette zone d ndfférence pour amélorer la stuaton d autres agents sans dégrader la senne, et donc aboutr à une allocaton Pareto-supéreure à l équlbre de marché. Défnton 1.5 (Non-saturaton locale). On dt que u défne sur (X ) vérfe la non-saturaton locale s : x (X ), ɛ > 0, x (X ), u (x ) > u (x) et x x < ɛ Proposton 1.5. Sous l hypothèse de non-saturaton locale des fonctons d utlté, le programme prmal du consommateur est équvalent à son programme dual, c est-à-dre que la maxmsaton de l utlté sous contrante de budget est équvalente à la mnmsaton des dépenses sous contrante d utlté. Démonstraton. Supposons que X sot soluton de max(u(x)) sous la contrante px pe. Supposons : X, u (X ) u (X), px < px. La non-saturaton locale nous dt que X X < ɛ p X px. Or, u ( X) > u (X ) u (X). Contradcton. Théorème 1.6. S chaque ndvdu vérfe la non-saturaton locale, alors une allocaton résultant d un équlbre de marché est Pareto-optmale. Démonstraton. Sot (p, X ) une allocaton de marché. Supposons que X ne sot pas Pareto-optmale. Alors, l exste X réalsable telle que :, u (X ) u (X ) j, u j (X j ) > u j (X j ) Pour smplfer la démonstraton, on pose j = 2, et 2, u (X ) = u (X ). Alors, selon le même argument que dans la démonstraton du premer théorème, p X 2 > p e 2 (par maxmsaton de u) et 2, p X p e (par mnmsaton des dépenses sous l hypothèse de non-saturaton). Ans, on a p X > p e et donc X n est pas réalsable. Contradcton Second théorème Théorème 1.7 (Second théorème de l économe du ben-être). Sot une économe : E = {u, 1, I, (X ) convexe, u quas-concave, vérfant la nonsaturaton locale, contnue}. Sot une allocaton X fablement Pareto-optmale. Alors, l exste un couple (p, τ ) tel que X sot soluton du programme : max{u (X)} sous la contrante px τ. Démonstraton. La démonstraton de ce théorème repose sur la possblté de trouver entre deux convexes d ntéreur non vde qu ont au plus un pont commun un hyperplan qu les sépare. On va d abord prouver le lemme suvant : Lemme 1. S, u est quas-concave, non-saturée localement, contnue, alors l exste p qu sot soluton du programme : mn(p X) sous la contrante u (X) u (X ).

7 1 THÉORÈMES FONDAMENTAUX 7 Sot C = { f, X, u (X ) > u (X ), } X = f Remarque. La dotaton globale de la socété e = e n appartent pas à C. Snon, X ne serat pas Pareto-optmal. S, u est quas-concave, C est convexe. S les u vérfent la non-saturaton locale, C n est pas vde. Sous les tros condtons sur les U, C est un ouvert convexe non-vde. Par alleurs, la non-saturaton locale mplque que e est sur la frontère de C. Le théorème de séparaton des convexes mplque qu l exste p 0 tel que f C, p f p e. Sot donc τ = p X. Supposons qu l exste un ndvdu h tel que u h (X h ) u h (X h ). Consdérons alors les sutes d allocatons telles que u (X n) > u (X ) u h (X h n > u h (X h ) u h (X h ) Sot f n = h X n + X h n. D après ce qu précède, f n C. Alors : où f = lm n + f n. On a donc : f n C p f n p e p f p e p h X + p X h p e = p X Fnalement : p X h p X h τ h, ce qu achève de démontrer le lemme (1). Le lemme équvaut à : p, u (X ) u (X ) p X p X Mas nous voulons max{u (X)}, px p X = τ. Nous avons donc beson d une condton telle que la mnmsaton des dépenses sous contrante d utlté mplque la maxmsaton de l utlté. Or, cette mplcaton est trvalement fausse s le prx d un ben est 0. 1 U X* 2 p* Fg. 1 Un contre-exemple smple Exemple (Contre-exemple). Dans la fgure 1, l agent n ame que le ben 2 (appellons-le le cavar), mas s l n a pas assez de ressources, l dot consommer du ben 1 (mettons des rutabagas) pour survvre. X est alors soluton d un programme de mnmsaton du coût, mas pas de maxmsaton de l utlté sous contrantes de ressources.

8 1 THÉORÈMES FONDAMENTAUX 8 Ces deux exemples nous suggèrent le lemme : Lemme 2. S p X > mn p x, alors la mnmsaton du coût mplque la x X maxmsaton de l utlté. À ce pont, on peut se demander s l n exste pas une preuve plus drecte de ce théorème. Il n en exste pas, et toutes ces condtons sont nécessares. Hstorquement, Arrow et Debreu avaent séparément entreprs de le démontrer. Quand ls s en sont rendus compte, ls ont fusonné leurs deux artcles, chacun corrgeant au passage une erreur commse par l autre. Voc une llustraton de celle commse par Debreu : 2 X* A 1 p* Fg. 2 L Erreur de Debreu Exemple (Contre-exemple). Dans la fgure 2, 1 ne connaît pas la talle de la boîte d Edgeworth, pusque ses seules nformatons sont ses dotatons ntales et le système de prx. Aux prs p, l va donc voulor se rendre en A, ce qu n est pas une allocaton réalsable. Les système de prx représenté par toute drote de pente négatve condut au même résultat : l n y a pas d équlbre convenable. Le seul équlbre possble est avec une drote des prx vertcale. Mas alors, 2 veut aller à l nfn, pusqu l peut nfnment augmenter son utlté sans coût, donc tout pont de l axe est soluton de la mnmsaton des coûts. L équlbre X est donc encore un exemple de mnmsaton de la dépense qu n est pas une maxmsaton de l utlté. On pourrat penser que ces cas pathologques n advendraent pas s on demandat à X d être Pareto-optmal au sens fort. C est malheureusement faux, comme le montre la fgure 3. Comme la courbe d so-utlté de 1 admet une 2 X* 1 p* Fg. 3 Encore plus subtl

9 1 THÉORÈMES FONDAMENTAUX 9 tangente nfne en X, celu-c est Pareto-optmal au sens fort sans jamas être résultat de la maxmsaton de l utlté de 1, sauf dans le cas où la drote de budget est vertcale. Mas alors, c est 2 qu va voulor partr à l nfn, comme dans le cas précédent. On ne peut donc pas se débarasser de la condton du lemme 2. Or, cette condton est gênante : elle met en jeu les prx, et le modèle ne nous dt ren sur le système de prx qu va émerger des nteractons de marché. On pourrat essayer alors d évter tous les problèmes en se cantonnant aux cas où l exste ben un équlbre ntéreur, c est-à-dre X appartent à l ntéreur de X pout tout. Mas cette hypothèse est complêtement rrecevable : l exste beaucoup de bens que nous consommons en quantté nulle, et qu ne nous apportent aucune utlté (exemple : du Vagra pour une femme). C est d autant plus vra s nous consdérons des bens localsés dans l espace et le temps (que nous mporte le prx du canard laqué à Canton en 2150?). Ce problème du chox de la bonne hypothèse à fare à nécessté dx ans de recherche. Il a fnalement été résolu par la méthode suvante. Défnton 1.6 (Économe de ressources ( Ressource-Related Economy )). Une économe de ressources est une économe telle qu étant donnée une allocaton réalsable X, pour toute partton non trvale {I 1, I 2 } de l ensemble I des ndvdus, je peux amélorer strctement la stuaton des membres de I 1 en créant n mporte quelle quantté postve d un ben que consomme le groupe I 2. Proposton 1.8. Dans une économe de ressources, l ne peut pas y avor de stuaton où un agent a à la fos des dotatons strctement postves et des dépenses nulles. Démonstraton. Sot une économe de ressources, et e une dotaton agrégée. Comme les prx sont postfs, p e > 0. l exste donc un ndvdu, appelons-le 1, qu a une dépense non nulle. Cet ndvdu effectue donc une maxmsaton de son utlté pusqu l effectue une mnmsaton des coûts en un pont ntéreur. Supposons mantenant qu l exste 2 tel que 2 at une dépense nulle pour le vecteur de prx p et une dotaton strctement postve. Alors, 2 consomme d au mons un ben. Mas comme sa dépense est nulle, ce ben a donc un prx nul. Comme l s agt d une économe de ressources, une plus grande consommaton de ce ben amélorerat l utlté de 1. comme le prx est nul, l peut en demander une quantté nfne pour un coût nul, ce qu maxmse son utlté. Il ne mnmse donc pas son coût en dépensant quo que ce sot pour d autres bens. Il ne maxmse donc pas son utlté. Contradcton. Il n exste donc pas, dans une économe de ressources, d agent ayant une dépense nulle avec des dotatons strctement postves. Avec cette hypothèse, la preuve du théorème est donc réalsable. Cette longue démonstraton nous montre que le problème, lassé pendant, de l exstence d équlbres de marché est complexe. En effet, les condtons pour l exstence de tels équlbres sont peu ou prou les mêmes que celles du second théorème. Le plus souvent, les manuels passent sur ces dffcultés en proposant la démonstraton suvante. Seconde démonstraton du théorème 1.7. Sot X une allocaton Pareto-optmale.

10 2 EXTENSIONS DES THÉORÈMES 10 L dée est qu l sufft de vor ce qu se passe quand on donne redstrbue les bens de manère à ce que la dotaton ntale e sot égale à X. Sot alors p les prx d équlbre de marché. Supposons que X sot soluton du programme max(u (X)) sous la contrante p X p e. Par défnton, toutes les solutons de ce programme donnent le même nveau d utlté, u ( X) u (e ). Sot donc (p, X) un équlbre de marché pour la dotaton e. Comme u ( X) u (e ) = u (X ), et que X est un optmum de Pareto, I, u ( X ) = u (X ). X, et donc e, est donc une soluton du programme c-dessus. Ce résultat est parfos qualfé d argument des préférences révélées. Où est l astuce? Elle résde dans l hypothèse d exstence de prx d équlbre de marché. On vot donc ben à quel pont cette condton est proche de celles d applcaton du Second théorème. Voc une dée de la démonstraton de l exstence de ces prx. Démonstraton. Sot une économe décrte par (u, e ), et le programme max(u (X )) sous la contrante px pe. La soluton de ce programme est une foncton X (p). On lassera délbérément de côté le problème de savor s c est ben une foncton. Il sufft de dre que c est vra s la condton défnt un ensemble compact, ce qu revent à supposer que les prx sont strctement postfs et que les fonctons d utlté sont strctement quas-concaves. Sot alors Z = X (p) e la foncton de demande nette, et Z a (p) la demande nette agrégée. Un équlbre de marché est alors un vecteur de prx p tel que Z a (p ) = 0. Cette relaton ne me fournt en fat que L 1 équatons, pusque Z a (p) dot être homogène de degré un. Mas la lo de Walras me donne l équaton manquante. Je ne sus pas pour autant assuré que le système est soluble :Z a n a aucune rason partculère d être lnéare en p. Il faut donc avor recours au rasonnement suvant : sot p L 1 un vecteur de prx, L 1 étant le smplexe de dmenson L 1 des vecteurs dont toutes les composantes sont postves et de somme égale à 1, et y a une allocaton appartenant à un compact de dmenson L. On construt alors la foncton F : (p, y) (p, y ) avec y = Z a (p) la demande globale agrégée aux prx p, et p = argmax(py). Comme F est une correspondance ben défne d un compact dans un autre, elle admet un pont fxe, et ce pont fxe est un équlbre de marché. On remarque qu au pont fxe, y = 0. En effet, au pont fxe, y n a que des éléments nuls ou négatfs. Pour tout les éléments strctements négatfs, p = 0. On a alors ben un pont tel que p y = 0, ce qu caractérse un équlbre de marché. Implctement, nous avons c utlsé le théorème du pont fxe, qu a pour hypothèse la convexté de la foncton de correspondance F, proprété qu revent à supposer la convexté des préférences. 2 Extensons des théorèmes 2.1 L argument d échanges On vot souvent les deux théorèmes de l économe du ben-être utlsés en commerce nternatonal pour soutenr le lbre échange.

11 2 EXTENSIONS DES THÉORÈMES 11 Sot en effet deux économes : A : E = {u, e }, avec un équlbre de marché (p A, X A ) B : E = {u j, e j } j, avec un équlbre de marché (p B, X B ) Les équlbres de marché sont ceux exstant quand les deux économes fonctonnent séparément. On fusonne ces deux économes en une économe mondale W : E = {u k, e k } k. Supposons qu on peut y trouver un équlbre de marché (p W, X W ). On sat que X W est fablement Pareto-optmal. Mas cela sgnfe seulement qu une personne au mons est plus heureuse dans X W que dans (X A, X B ), toutes les autres pouvant s en trouver plus mal, comme on le vot sur la fgure 4. Ub Optma de Pareto W W (A,B) W Ua Fg. 4 Les optma de Pareto dans l économe mondale Mas on sat qu on peut calculer des optma de Pareto qu sont Pareto supéreurs à (X A, X B ) en résolvant le programme : max{ k=,j α ku k (X k )} avec les contrantes : X k e k allocaton réalsable, u (X ) u (X A ), u j (X j ) u j (X B ) Le leu géométrque de ces solutons est le segment [W, W ]. D après le Second théorème, je sas qu l exste un système de transferts (τ, τ j ) et un prx p tel que je pusse aller de (X A, X B ) à n mporte quel pont dans [W, W ]. Habtuellement, la démonstraton de l optmalté du lbre échange ne va même pas s lon. Comme les équlbres de marché consttuent le noyau de l économe, on peut dre qu l exste au mons un ndvdu dans chaque économe qu bénéfce de l échange. Comme les modèles posent des ndvdus représentatfs, cela sufft. On vot que s l on tent compte du fat que les économes sont consttuées d ndvdus dfférents, la soluton du problème est un peu plus complexe. Voyons donc quels tranferts on peut réalser pour aboutr à des allocatons Pareto-supéreures à (X A, X B ). Il faut noter que ces tranferts dovent se fare avant la fuson des deux économes. En partculer, on cherche le transfert tel que : τ = p X pe = τ A j τ j = j p X j pe j = τ B τ A = τ B = 0

12 2 EXTENSIONS DES THÉORÈMES 12 Théorème 2.1 (Gramond-McFadden). Il exste sur le segment [W, W ] une allocaton W tel que les transferts pour aller de (X A, X B ) vérfent τ A = τ B = 0. On n a donc pas à fare de transfert entre les pays. Mas l faut alors coordonner les poltques de redstrbuton des deux pays avant la fuson, ce qu pose le problème de comportements stratégques des deux pays. 2.2 Le Paradoxe du transfert Présentaton Ce paradoxe a connu son heure de glore dans le sllage des théores de la crossance appauvrssante. B p p* X* X X e e A Fg. 5 Le Paradoxe du tranfert Sot donc un transfert de ressources entre A et B, condusant de la dotaton e à la dotaton ê. À l équlbre de marché correspondant, celu qu a bénéfcé de l ade est plus mal lot qu à l équlbre de marché correspondant à la dotaton ntale. Cet argument est en fat très ancen, pusqu l remonte à J. S. Mll, qu remarquat que dans certans cas, l apétt du récpendare pour certans bens pouvat être suffsant pour fare plus que compenser l augmentaton de son revenu. En termes contemporans, nous drons que l effet de substtton peut être de sens nverse à celu de revenu, au pont de fare plus que le compense. Keynes a rétorqué que l effet de substtuton pouvat auss jouer dans le même sens que l effet de revenu. Sur la fgure 5, le déplacement de X à X est l effet de revenu, celu de X à X l effet de substtuton Formalsaton Nous nous plaçons dans un cas pratque ( well-behaved ) : u est contnue, ne touche pas les lmtes, du > 0, D 2 u défne négatve sur [du]. On cherche à résoudre le programme : max{u (z + e )} pz = τ τ = 0 Les condtons au premer ordre s écrvent : D 2 dz pdλ = λ dp p dz = z dp = z dp dτ

13 2 EXTENSIONS DES THÉORÈMES 13 Matrcellement : ( D 2 u p p 0 ) ( dz dλ ) ( = λ dp z dp dτ ) On pose : ( S v v α ) = ( D 2 u p p 0 ) 1 On ne se posera pas trop de questons à propos de l exstence de cet nverse. Le fat que la hessenne sot défne négatve sufft en général. Cet nverse nous permet d écrre les relatons de Slutsky : { Dp z = λ S v z D τ z = v Sot h (z (p, τ) + e ) l utlté ndrecte. dh = D z h (D p z dp + D τ z dτ ) = λ p[(λ S v z )dp + v dτ ] = λ z dp + λ dτ La dernère relaton est l équaton de Roy. Le paradoxe précédent revent à dre que z dp peut être assez grand pour fare plus que compenser dτ 2.3 Poltque économque Transferts optmaux Dans le cadre retenu, l est clar que les transferts drects sont l nstrument optmal de poltque économque. Mas ce qu précède nous montre qu l convent de consdérer les conséquences d un transfert sur les prx d équlbre. Il convent donc de détermner la foncton p(τ). τ est en effet la varable d ajustement et p la varable endogène même s, ndvduellement, les agents sont prce-takers. z (p, τ ) = 0 D pz dp + D τ z dτ = 0 (S v z )dp + v dτ = 0 On remarque que s, v = v, c est-à-dre s la propenson margnale à consommer chaque ben est dentque pour tous les ndvdus, les prx ne changent pas. Pour tenr compte des effets de substtuton, l me faut connaître les fonctons d utlté, ou du mons les fonctons de demande ndvduelles. Or, je ne connas que les proprensons margnales à consommer v Désagrégaton Le planfcateur socal n a à sa dsposton que des statstques plus ou mons agrégées concernant unquement les transferts, les dotatons, les prx et les demandes d équlbre. On exclut c les comportements stratégques des ndvdus qu voudraent trer part de cette asymétre d nformaton pour nfluer sur les transferts.

14 2 EXTENSIONS DES THÉORÈMES 14 Sot donc un planfcateur socal qu connaît les vecteur X a (p, τ). Il peut résoudre X a (p, τ) = e pour obtenr les fonctons de prx p(e ). Ensute : X a k τ X a k p l X a k p l = X l τ = X k ( p l X = = v p k p l )u v k X l Récproquement, X a l p k = ( ) X l p k u v lx k Comme les effets de substtuton sont symétrques entre les bens, Xk a = ( ) X k v p l p kx l = Xa l = ( ) X l v l u p k p lx k k u Il vent alors : X a k p l Xa l p k = v lx k v kx l Moyennant la résoluton d un système lnéare, je peux mantenant calculer les X, et donc les u. 2.4 Le problème de l agrégaton Le Problème Nous avons été peu pontlleux sur les condtons de la détermnaton de p( e). Remarque (Normalsaton). Sot z a (p, e) la foncton de demande agrégée. Nous savons que s p est un équlbre de marché, k, kp en est un. Consdérons donc que l économe a L + 1 bens, les L + 1-ème étant utlsé comme numérare, et normalsons les prx. Dans la sute, l équaton z a = 0 pourra avor L ou L + 1 termes (ce qu est équvalent en vertu de la lo de Walras). Nous voulons donc montrer que, localement au mons, p(e) est une foncton. La dfférentelle totale de la foncton de demande nette agrégée s écrt : On a alors : D p zdp + D e zde = 0 dp = (D p z) 1 (D e zde) Notre problème est donc de savor s (D p z) est nversble. On va consdérer la foncton de demande agrégée paramétrée par les dotatons ntales z e. S z e est telle que : z e = 0 D p z e est de plen rang alors je peux résoudre l équaton. Sous quelles condtons sur les fonctons d utlté a-je cette proprété? Ces condtons sont malheureusement très contragnantes, se ramenant en pratque à avor des ndvdus qu sont tous ndentques.

15 2 EXTENSIONS DES THÉORÈMES 15 Remarque. Quand nous avons prouvé l exstence d un équlbre de marché, nous avons utlsé le fat que l homogénété d ordre 0 nous permettat de restrendre l ensemble des prx au smplexe qu ntersecte tous les rayons des kp possbles. Mas alors, pourquo ne pas avor chos une boîte plutôt qu un smplexe? Cela aurat été possble, mas l aurat fallu la chosr avec attenton, car z(kp) = z(p) et z(0) = 0 mplque une dscontnuté en zéro. la normalsaton (qu revent à se placer sur le smplexe) garantt donc que nous évtons cette dscontnuté, ce qu nous permet d utlser le théorème des valeurs ntermédares en toute sécurté. Remarque. Une queston récurrente dans la lttérature concernant ce problème, dt problème de l agrégaton, se demande sous quelles condtons l économe dans son ensemble se comporte comme une seule personne. On cherche donc à vérfer les condtons : X a (p, e) = X a (p, e ) (u a, e a ) la demande agrégée sot X a (p, e ) Le plus souvent, on présente la soluton qu consste à demander que les fonctons d utlté soent homothétques de centre 0. En effet, les relatons de Slutsky, D p X = S v X, montrent que non seulement l faut que S sot symétrque défne négatve, mas auss que v X sot symétrque défne postve. Cela sgnfe que chaque agent dépense son euro margnal de la même manère qu l a dépensé les précédents, ce qu est exactement demander aux fonctons d utlté d être homothétques. La concluson que le problème n état soluble que s l on supposat tous les agents dentques n état évdemment pas satsfasante. C est pourquo Debreu s est attelé à trouver des condtons mons exgeantes La Démonstraton de Debreu et ses sutes Pour sa démonstraton, Debreu fat la remarque : je veux prouver que z e = 0 D p z e de plen rang, mas en fat, je n a beson, pour l nversblté, que du plen rang lgne. Il me sufft donc que l applcaton sot localement surjectve. Pour notre problème, on va donc consdérer z(p, e) comme une foncton de R L+I(L+1) dans R L. Le jacoben de cette foncton a les même lgnes que D p z e, mas un ben plus grand nombre de colonnes. Je n a donc pas beson qu elle sot de plen rang, mas seulement qu l exste L lgnes ndépendante parm les L + I(L + 1). D où le théorème : Théorème 2.2 (Théorème de transversalté). z(p, e) = 0 D p,e (z) est de plen rang lgne z e (p) = 0 D p z e est de plen rang lgne pour presque toutes les valeurs du paramètre e Debreu trouve donc ans une condton mons exgente. Le graphe 6 est canonquement assocé à ce problème : on peut exprmer p en foncton de e localement, sur les parte A, B et C de la courbe. Remarque (Pour presque toutes les valeurs...). En pratque, cette expresson sgnfe que l ensemble des ponts tels que la proprété n est pas vérfée est un ensemble fermé de mesure nulle.

16 2 EXTENSIONS DES THÉORÈMES 16 p A B C e Fg. 6 Transversalté locale Exemple. Sot z = p 2 +e 2 1. On a : D p,e z = (2p, 2e). On a ben la proprété z = 0 D p,e z est de rang 1, pusque s z = 0, p et e ne peuvent être smultanément nuls. Pour presque toutes les valeurs du paramètres e (plus précsément e 1), on a ben z e (p) = 0 D p z e (p) Une Démonstraton plus ntutve La démonstraton de Debreu état la premère et la plus technque. À sa sute, certans ont cherché des preuves plus smples. Celle-c est surtout ntéressante par sa méthode. Je veux toujours prouver que s z(p, e) = 0, D p,e (z) est de plen rang lgne. Cela revent à dre que : db R L, (dp, de), (D p,e z)(dp de) = db Comme l s agt d une opératon lnéare, l me sufft de démontrer cette proprété pour les seuls vecteurs (b ) 1,L de la base canonque de R L. Je cherche donc à modfer p et e de telle manère que la demande d un unque ben l augmente tands que celle des autres reste la même : dz l = 1, k l, dz k = 0. Supposons donc que les quanttés sot suffsamment fortes pour que les varatons de prx soent néglgeables. Alors, j effectue l opératon suvante : 1, I 1, de = 0 Les demandes de ces ndvdus ne sont donc pas modfées, pusqu ls font face aux mêmes prx avec les mêmes dotatons. Pour l agent I : de I de l = 1 = dzk I = 0, k l dzl+1 I = p l La dernère lgne consttue la parte astuceuse : nous ne nous occupons pas du changement dans la demande du numérare. On sat en effet que les autres marchés seront en équlbre, donc celu-là auss. Je peus donc prouver le résultat. La connassance au mons locale de p(e) me permet alors de rasonner en statque comparatve.

17 2 EXTENSIONS DES THÉORÈMES Généralsaton La démonstraton précedente fonctonne ben sur le problème de la demande nette. Nous allons c esqusser une démonstraton qu fonctonne dans un cadre plus général. Comme l économe est décrte par des fonctons convexes, les solutons des problèmes d optmsaton sont caractérsées par des condtons au premer ordre. Les varables sont : (e, X, λ, p), sot 3I + L varables (en ncluant les multplcateurs de Lagrange). Posons ξ = (X, λ, p). Sot F (ξ, e) : ξ est de dmenson : F (ξ, e) = Du (X ) λ p px pe X e dm(ξ) = (I(L + 1) + I }{{} X }{{} λ + L }{{} p Un équlbre est donc défn par F (ξ, e) = 0, ce qu donne I fos L + 1 condton au premer ordre, I contrantes budgétares et L équatons pour l apurement des marchés. Défnton 2.1 (Transversalté en 0). On dt que F (x, y) est transverse en zéro, noté F 0 s On veut donc prouver : Proposton 2.3. F = 0 D x,y F de plen rang lgne F (ξ, e) 0 F e (ξ) 0 pour presque tout e S cette proposton est vrae, je peux localement exprmer ξ(e). Pour la démontrer, l sufft de prendre les dérvées (condtons du premer ordre) et de fare des opératons sur les lgnes et les colonnes pour obtenr une matrce bloc-dagonale, donc de plen rang lgne. On se rend alors compte que les opératons qu on vent de fare sont équvalentes à la méthode de la démonstraton précedente. Cette méthode a l avantage de fonctonner pour tout problème caractérsé par des condtons au premer ordre. 2.5 Unversalté des échanges Le théorème central de la secton 2.4 peut être réutlsé d une manère dfférente. On a prouvé que l on peut localmement exprmer p(e) pour presque toutes les valeurs de e. Sot une famlle d économes E = (e, u ), u fxées, ndexées par e. On va s attacher à prouver le théorème suvant : Théorème 2.4 (Unversalté des échanges). Pour presque toutes les valeurs de e, tous les ndvdus échangent de tous les bens, ce qu s écrt : z a e (p) = 0 (, l), z e,l(p) 0 Quel que sot le ben consdéré, personne ne consomme donc ntégralement et unquement sa dotaton ntale.

18 2 EXTENSIONS DES THÉORÈMES 18 Démonstraton. Sot j I, k L + 1. Lemme 3. De manère générale, z e (p) = 0 z j e j,k(p) 0. Proposton 2.5. S je peux démontrer le lemme 3, alors je peux démontrer le théorème. Démonstraton de la proposton 2.5. Sot E j,k l ensemble des économes telles que l ndvdu j ne sot pas autarcque pour le ben k. Il s agt d un ensemble ouvert et dense. Consdérons mantenant j, ke j,k. C est une économe ayant la proprété voulue : aucun ndvdu n est autarcque en quelque ben que ce sot. Comme c est une ntersecton fne d ouverts dense, c est auss un ouvert dense. Cela sgnfe que s le lemme est vérfé, je peux sans problème gnorer les économe telles qu un ndvdu est autarcque, car c est une réunon fne de fermés d ntéreur vde, donc un fermé d ntéreur vde. Démonstraton du lemme 3. Sot F j k (p, e) = (z j(p, e), z j k (p, e)) le vecteur à L + 1 lgnes. Il me sufft de prouver que F 0. Pour cela, l me sufft de montrer comme précedemment que je peux perturber e et p de telle manère que la demande d un ben augmente de 1, le reste ne changeant pas. Pour les L premères lgnes, l me sufft de fare comme précedemment. Pour la lgne L + 1, j effectue les perturbatons suvantes : dp = 0 j, de = 0 de j j = 1 dei k = 1 de j L+1 = p k de I L+1 = p k Comme les dotatons sont nchangées, les demandes ne changent pas. Les demandes nettes pour les L premers bes ne changent pas non plus. Seule celle pour le ben L + 1 change, mas cela ne nous concerne pas. On va mantenant utlser la contraposée du théorème 2.2 : c, la matrce D p F j e,k a L+1 lgnes (les F j k ) et L colonnes (les prx). Elle ne peut donc jamas être de plen rang lgne. En conséquence, pour presque toutes les valeurs de e, F j k 0. Ans, pour presque toutes les valeurs de e, l ndvdu j aura une demande nette non nulle pour le ben k. Exemple. On veut prouver que générquement (c est-à-dre sur un ensemble ouvert et dense), une matrce 2 2 est nversble. Sot donc : ( ) a b A = et Π = (π c d 1, π 2 ) S = {Π/ Π = 1} On notera que S est de dmenson 1. Sot auss : F : R 4 S R ( 2 aπ1 + bπ F (Π, a, b, c, d) = 2 cπ 1 + dπ 2 ) On peut montrer que F (Π, a, b, c, d) 0. D Π,a,b,c,d F est une matrce de 2 lgnes et 5 colonnes. Comme π 1 et π 2 ne peuvent être smultanément nulles, cette

19 2 EXTENSIONS DES THÉORÈMES 19 matrce a au mons deux colonnes lnéarement lées. Ans, on a F a,b,c,d 0 pour presque toutes les valeurs des paramètres, et F a,b,c,d 0. S A n état pas nversble, elle admetrat 0 comme valeur propre, et donc l exsterat un pont de S qu annule F. Comme ce n est pas le cas, A est ben nversble pour presque toutes les valeurs de (a, b, c, d).

20 20 Deuxème parte Échecs de marché 3 Économes avec des externaltés On consdère une économe E avec L + 1 bens et I ndvdus. Une allocaton X est donc un vecteur de R I(L+1). On va supposer que les utltés des ndvdus dépendent non seulement de la consommaton de cet ndvdu, mas auss de l allocaton globale dans l économe : u ( X) = u (X, X ). Cela ne modfe la stuaton que s X affecte la forme des fonctons d utlté, ce qu revent à dre que les fonctons d utlté ne sont pas addtvement séparables (u ne peut se décomposer u (X) = v (X ) + w (X )). Défnton 3.1 (Équlbre avec externalté, ou équlbre de Nash-Walras). Un équlbre de Nash-Walras est un couple (p, X ) tel que : X est réalsable ; X résoud le programme max{u (X, X ) sous la contrante p X p e Chaque ndvdu effectue donc son programme de maxmsaton en prenant les prx et les consommatons des autres agents comme donnés. Exemple (Contre-exemple). Sot la foncton d utlté : u (X) = v (X ) + h l λ h,l Xh l. Mon comportement de maxmsaton n est pas affecté par le comportement des autres. En revanche, le Premer théorème de l économe du ben-être ne s applque pas. Exercce : démontrer qu en règle générale, les équlbres de Nash-Walras ne sont pas Pareto-optmaux. Cette approche de l équlbre général avec externaltés a été rénventée à de multples reprses (Lndahl, Coase, Arrow, Pgou,...). L approche de Coase est smplement d étendre l espace des bens, pour tendre vers un système complet de marchés. Celle de Pgou et Lndahl ont pour prncpal mérte de clarfer les choses sur ce que sont les optma de Pareto. En effet, taxes pgouvennes et condtons de Bowen-Lndahl-Samuelson revennent à voulor fare payer des prx dfférents à des ndvdus qu n ont aucune nctaton à révéler leurs préférences. Ce sont donc des solutons de premers rang, mas aucune n est réalsable en pratque, malgré l abondante lttérature sur les contrantes d nctaton. On va donc s ntéresser aux mesures Pareto-amélorantes réalsables. 3.1 Taxe à la vente Supposons que j mpose une taxe à la vente (qu peut se comprendre comme une TVA) : le vendeur d une unté de ben l touche p l, l acheteur paye p l + t l. Proposton 3.1. Au vosnage de l équlbre de Nash-Walras, l exste un équlbre p(t ) Pareto-supéreur à l équlbre de Nash-Walras. Cette proposton démontre la vacuté de la pétton de prncpe de l École de Chcago, qu veut que le marché fasse toujours au meux. La crtque de l nterventon étatque dot donc passer par la crtque de la possblté de connaître les paramètres de l équlbre Pareto-amélorant.

21 3 ÉCONOMIES AVEC DES EXTERNALITÉS 21 Pour ce qu sut cependant, on va employer des fonctons d utlté du type : v ( X) = u (X ) + λ h,lxk h h l On va vor que la séparablté nous smplfe la ve, alors que l essentel de ce qu va être dt pas la sute peut être généralsé aux cas non-lnéares et non-addtfs. On modélse la taxe t = (t 1,..., t L, 0), le numérare n est pas taxé : Le problème est alors : { p l = p l s X l < e l p l + t l s X l > e l max{u (X )} s.c. p(x e ) (p + t)(x e ) + Notaton 3.2. a + sgnfe que je ne garde que les composantes postves du vecteur et fxe les autres à 0. a sgnfe que je ne garde que les composantes négatves du vecteur, égalse les autre à 0 et change le sgne des composantes restantes. Graphquement, la taxe modfe la contrante budgétare selon le profl de la fgure 7. L+1 e t<0 t>o t=0 L Fg. 7 Contrante budgétare et taxes S t 1 > 0, la contrante budgétare reste convexe, l sufft de fare attenton au pont de non-dérvablté. En revanche, s t 1 < 0, ce qu correspond à une subventon, le contrante n est plus convexe, ce qu rend le problème très complexe. En pratque cependant, on va consdérer de fables varatons au vosnage de 0, sur un domane suffsemment pett pour que les agents pussent néglger la non-convexté. Selon le même argument que précedemment onj peut localement exprmer p comme une foncton de e et de t. Tout le problème va donc être de savor s on peut trouver une matrce A de plen rang lgne telle que dua = dt, pusqu alors, je peux trouver un optmum pour du > 0. Afn de prouver ce résultat, nous allons consdérer au vosnage de t = 0 : X 1 X t D t ( X) t L =.. X L+1 t 1... X L+1 t L

22 3 ÉCONOMIES AVEC DES EXTERNALITÉS 22 qu représente la dérvée de la foncton d allocaton d équlbre par rapport aux jeux de taxes. Proposton 3.3. D t ( X) est de plen rang colonne. Cela sgnfe que quand tout est ben dfférentable, les taxes sont auss mportantes que les dotatons. Lemme 4. (D t ( X) = 0 dt = 0) D t ( X) est de plen rang colonne. S le lemme est vra, alors D t (X )dt = dx = 0. Écrvons alors les condtons de premer ordre pour l agent I : u Xl = µ p l Xl < e l u = µ (p l + t l ) Xl > e l Xl u XL+1 = µ S D t X dt = 0, alors D t X µ = 0. Les demandes ne se modfant pas, les prx et les taxes ne se modfent pas non plus. Il est donc clar que le seul vecteur tel que D t X dt = 0 dt = 0 : toute taxe modfe les demandes. Le programme de maxmsaton nous fournt les fonctons de demande nette : D où la dfférentelle : max{u (z + e )} pz τ } z (z, τ ) du = µ [ z ddτ ] = = µ [ z+(dp + dt) + z dp + dτ ] µ [ z+(d t p + Id)dt + z D p tdt + dτ ] L ntroducton du transfert τ est justfée par le fat que l argent des taxes dot ben aller quelque part, même s les agents ne le pensent pas toujours ans : τ = 1 I tz + dτ = 1 I z +dt Comme z + = z, on a 1 µ du = 0. La matrce (du ) = Adt n est pas de plen rang, pusque (1... 1)A = 0. Dans une économe avec externaltés, sot la foncton d utlté : v (X) = u (X ) + h λ hx h On a donc : dv (X) = du (X ) + h λ hdx h Nous avons dans ce qu précède consdéré ce qu l adven de u. On a donc : ( ) 1 µ du = a + λ h µ D px h dt h Nous savons que A = (a ) peut ne pas être de plen rang. Mas la présence d externaltés modfe la stuaton, en vertu de la proposton suvante :

23 4 INCERTITUDE ET EXTERNALITÉS 23 Proposton 3.4. S D = A+ΛB avec B de plen rang lgne, alors pour presque toutes les valeurs de Λ, D est de plen rang lgne. Il sufft donc de consdérer la matrce des D p X h, qu va en général être de plen rang lgne. Cependant, dans ce cas, ne la condton pour presque toutes les valeurs de Λ n est pas entèrement satsfasante, car Λ ne prend pas n mporte quelles valeurs : la plupart du temps, les λ h sont nuls. On aurat donc beson de prouver un peu plus que B de plen rang lgne. Note : la parte suvante n est pas au programme de l examen. 4 Incerttude et externaltés 4.1 Cadre On se place en pérode 0. Les échanges auront leu quand un des S états de la nature possble aura été réalsé. On suppose que les agents sont plus ou mons averses au rsque, et donc amerat s assurer contre cette ncerttude. On a comme précédemment L + 1 bens, mas ces bens sont doublement ndexés : x l,s représente une quantté de ben l dsponble dans l état de la nature s. 4.2 Marchés condtonnels et contrats La soluton la plus connue, d alleurs trvale, à ce problème, est de supposer un système complet de marchés condtonnels. De manère plus subtle, Arrow a démontré un résultat smlare sans avor beson de marchés condtonnels. Il suppose qu à la pérode 0, les agents échangent des contrats condtonnels, tous lbellés en untés de compte. Il affrme que ce résultat est robuste à l utlsaton de fonctons d utlté non-vnm. Le système complet de marché (soluton proposée par Debreu) correspond au programme : { max {u (X n )} s,l p s,l(x s,l e s,l ) 0 Les p sont alors les prx des bens sur les marchés condtonnels. Arrow propose le programme suvant : max {u (X n )} ps (X s e s) = y s qs y s = 0 où les y s sont les revenus de l ndvdu en untés de compte pour l état de la nature s. On remarque que les deux contrantes équvalent à : s (q sp s (X s e s) = 0. Cette formalsaton du problème a l avantage que les p s sont de vras prx, et non des prx condtonnels. De plus, à l équlbre, la contrante budgétare pour s écrre comme s les q s étaent les probabltés que le marché assgne à l état de la nature s. On vot que pour les détermner, je n a pas beson de connaître les conectures des agents sur ces probabltés. Cette proprété est très forte quand on connaît l obecton de Lucas : même s tous les ndvdus assgnent la même probablté π aux dfférents états de la nature, on a en général q π.

24 4 INCERTITUDE ET EXTERNALITÉS Incerttude et actfs fnancers Suppposons mantenant que je n a pas les y s, mas eulement des actfs a 1, A, un actf étant caractérsé par son rendement r a = (r a,s ) s lbellé en untés de ben L + 1, et par son prx q a. On pourrat les lbeller d une autre manère, mas toues les façons de procéder ont leurs problèmes propres. La contrante budgétare s écrt mantenant avec s, p L+1,s = 1 : qa y a = 0 p s (X s e s ) = a r a,sy a Le problème est de savor comment est détermné le domane de q. Deux réponses sont possbles : A 1 Les π s défnssent une mesure sur S l ensemble des états de la nature, et q a = π s r a,s ; A 2 Le domane est détermné par les condtons de non-arbtrage : ( a r a,sy a ) s > 0 q a y a > 0. Théorème 4.1. Dans le cadre retenu, A 1 A 2. Démonstraton. Sens drect : supposons que q = πr 0, où R = (r a,s ). Alors, s Ry > 0 πry > 0, q = πr qy > 0. Récrpoque : sot C = {q = πr, π 0}, et sot q C. Alors, l exste γ 0 tel que : { q C qγ > O qγ 0 La premère lgne sgnfe que π 0, πγ 0, donc Rγ 0 Rγ > 0, ce qu est contradctore avec qγ 0. D où le résultat. Applquons ce théorème en cosdérant le programme : max {u (X)} qy 0 p s (X s e s ) R s y Les condtons du premer ordre s écrvent : Du = λ sp s λ q = λ G avec λ l = (..., λ s... ) 0 Les multplcateurs de Lagrange λ s nterprêtent alors comme des probabltés, exprmant les antcpatons sur les prx des actfs. De plus, s je donne à un agent la condton s p s(x s e s) = O, ses condtons du premer ordre sont D s u = µ p s, ce qu revent à dre que dans ce cas, les solutons au programme de Debreu et celles de programme d Arrow sont les mêmes. Cependant, s l y a plus d un agent (représentatf), les λ n ont aucune rason d être les mêmes pour tous les agents. Comme on a les deux condtons : q = πr (non arbtrage) et q = λ R (matrce des antcpatons), on a λ = qr 1 s R est nversble. Mas s R est nversble, les λ sont les mêmes. Donc, s les λ sont dfférents, les solutons d Arrow et de Debreu sont dfférentes.

25 4 INCERTITUDE ET EXTERNALITÉS Pareto-amélorablté Supposons une foncton d utlté addtvement séparable entre les états de la nature : u (X) = s u s(x s). Je ds aux acteurs que leur contrante est qy = 0 et (p s X s )R s y, ce qu me donne un équlbre avec (p, q, X, y ). Mantenant, j ntervens en ajustant les portefeulle de telle manère que y = y + dy, et je fermes totalement le marché des actfs. Je récupère dons s, dp, dx s. S je peux Pareto-amélorer la stuaton, je prouve que les marchés des actfs ne sont pas Pareto-effcaces. J a donc : du = s du s = s λ s( z sdp s + dτ s) = s λ s( z sdp s + R s dy ) S je peux prouver que du = 0, l est mpossble, de Pareto-amélorer la stuaton. S les marchés sont complets,, λ s = λ s, λ s( zsdp s + R s dy ) = λ ( zsdp s + R s dys) = 0 s s Comme la maxmsaton mpose s λ sr s = q, s λ sr s dy = 0. S les marchés sont ncomplets, s λ szsdp s n a aucune rason d être égal à 0. Mas comme les λ s sont des varables endogènes, s λ szsdp s Ady, avec A de plen rang lgne.