a) Après avoir fait deux pas, quelle est la probabilité qu elle soit : En A? En B? En C? En D?
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- Gaspard Lafontaine
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1 ANTILLES-GUYANE Série S Setembre 2000 Exercice. Ue fourmi se délace sur les arêtes de la yramide ABCDS. Deuis u sommet quelcoque, elle se dirige au hasard (o suose qu il y a équirobabilité) vers u sommet voisi ; o dit qu elle «fait u as». S D C A B La fourmi se trouve e A. a) Arès avoir fait deux as, quelle est la robabilité qu elle soit : E A? E B? E C? E D? b) Pour tout ombre etier aturel strictemet ositif, o ote : S, l évéemet : «La fourmi est au sommet S arès as», et la robabilité de cet évéemet. Doer. E remarquat que S S S, motrer que : + + ( ) + 2. O cosidère la suite ( ), défiie our tout etier aturel strictemet ositif ar : + ( ) PaaMaths [ - 7] Mai 2002
2 a) Motrer ar récurrece que, our tout etier aturel strictemet ositif, o a. b) Détermier lim. + PaaMaths [2-7] Mai 2002
3 Aalyse Cet exercice aborde le thème des chemis robabilistes. Il est coseillé, our commecer, de choisir ue otatio cohérete our désiger les robabilités demadées et meer les calculs requis ( ère questio). La deuxième questio cosiste e ue étude de suite simlifiée. Résolutio E guise de réambule, ous devos souliger que, du oit de vue des robabilités, le assage d u sommet de la yramide vers u autre sommet via l arête les liat, déed du sommet de déart. E effet, si la fourmi se trouve e S, elle eut faire u as vers 4 autres sommets ossibles : A, B, C et D. Pour chacu de ces as, la robabilité qu il soit réalisé est de 4 uisqu il y a équirobabilité du choix du sommet d arrivée. Si, e revache, la fourmi se trouve sur l u des 4 sommets A, B, C ou D, alors elle e eut faire u as «que» vers autres sommets. Das ce cas, la robabilité de chacu de ces as est de. Pour teir comte de cette remarque, ous oteros désormais ( A B) (ar exemle) la robabilité d aller du sommet A au sommet B e assat ar l arête liat les deux sommets. Si ous souhaitos cosidérer u arcours (ou ue artie d u arcours) comortat lusieurs A B S, la robabilité d aller du sommet A sommets, ous oteros, ar exemle : ( ) au sommet S e assat ar le sommet B. Les as état idéedats, o a, ar exemle : ( A B S) ( A B) ( B S). Questio.a. La fourmi se trouve e A. Arès deux as, o souhaite que la fourmi soit à ouveau e A. Les chemis ossibles sot : A B A, A D A et A S A. Si ous otos ( A) la robabilité cherchée, o a : ( A) ( A B A) + ( A D A) + ( A S A) ( A B) ( B A) + ( A D) ( D A) + ( A S) ( S A) PaaMaths [ - 7] Mai 2002
4 Arès deux as, o souhaite que la fourmi soit e B. Le seul chemi ossible est : A S B. Si ous otos ( B) la robabilité cherchée, o a : ( B) ( A S B) ( A S) ( S B) 4 2 Arès deux as, o souhaite que la fourmi soit e C. Les chemis ossibles sot : A B C, A D C et A S C. Si ous otos ( C) la robabilité cherchée, o a : ( A) ( A B C) + ( A D C) + ( A S C) ( A B) ( B C) + ( A D) ( D C) + ( A S) ( S C) Remarque : Au regard des chemis ossibles et des robabilités qui leur sot associées, il est strictemet équivalet, artat du sommet A de retourer e A ou d aller e C. Ce résultat est exrimé das l égalité : ( A) ( C). 6 Arès deux as, o souhaite que la fourmi soit e B. Comme ci-dessus, o eut remarquer que, artat de A et effectuat deux as, les sommets B et D sot équivalets. Nous détaillos éamois les calculs. Le seul chemi ossible est : A S D. Si ous otos ( D) la robabilité cherchée, o a : O a bie obteu : ( ) ( ) B D. 2 ( D) ( A S D) ( A S) ( S D) 4 2 PaaMaths [4-7] Mai 2002
5 Questio.b. La fourmi se trouve toujours e A (cette hyothèse état utilisée our les deux questios.a. et.b.). S est l évéemet : «La fourmi est au sommet S arès as» et sa robabilité. est doc la robabilité que la fourmi, artat de A, se rede e S. Comme la fourmi, e artat de A, eut atteidre trois sommets (B, D et S) de faço équirobable, o a : Cosidéros maiteat l évéemet S + : «La fourmi est au sommet S arès + as». Pour que cet évéemet se roduise, il est écessaire que la fourmi e soit as e S arès as (car alors au as suivat, le + ème, elle sera e A, B, C ou D). Or l évéemet «La fourmi est as e S arès as» est simlemet : S. La coditio écessaire récédete s écrit doc : S + S, c est à dire : S+ S+ S. Il viet alors : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) P S P S S P S S P S P S S P S P S S Or ( S S) P + est la robabilité que la fourmi soit e S arès + as sachat qu elle est as e S arès as, c est à dire sachat qu elle est e A, B, C ou D arès as. Or, la robabilité d atteidre S e artat de A, B, C ou D vaut. Il viet doc, fialemet : Questio 2.a. O cosidère la suite ( ), défiie ar : + ( ) + ( ) PaaMaths [5-7] Mai 2002
6 Motros ar récurrece que our tout etier aturel strictemet ositif, o a : Pour, la formule récédete doe : O obtiet bie la valeur de. Suosos maiteat que la formule soit vraie au rag. O a doc : O a alors :. + ( ) L égalité est doc vraie à l ordre +, ce qui achève la démostratio ar récurrece. O a doc, fialemet : *, Questio 2.b. O a : lim 0 + car < PaaMaths [6-7] Mai 2002
7 D où : lim + 4 Soit, fialemet : lim + 4 E coclusio, lorsque la fourmi art du sommet A et effectue u ombre de as «très grad», la robabilité qu elle se retrouve au sommet de la yramide est de 4. PaaMaths [7-7] Mai 2002
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