Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points)

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1 Exercice 1 (6 poits) Corrigé du DS 1 Das cet exercice, les probabilités demadées serot doées sous forme décimale, évetuellemet arrodies à 10 - près. Lors d ue equête réalisée par l ifirmière auprès d élèves de classes de termiale, o appred que 60% des élèves sot des filles. De plus 40% des filles et 0% des garços fumet. 1. O choisit u élève au hasard. O ote A l évéemet : «L élève choisi fume», et P(A) la probabilité de cet évéemet. O ote F l évéemet : «L élève choisi est ue fille». Quelle est la probabilité que : a) Cet élève soit u garço? P(F ) = 1 P(F) et P(F) = b) Cet élève soit ue fille qui fume? = 0,6 doc P(F ) = 1 0,6 = 0,4. O cherche P(F A) : P(F A) = P F (A) P(F) et P F (A) = = 0,4 doc P(F A) = 0,4 0,6 = 0,4 c) Cet élève soit u garço qui fume? O cherche P(F A) : P(F A) = P F (A) P(F ) et P F (A) = = 0, doc P(F A) = 0, 0,4 = 0,1. Déduire des questios précédetes, e le justifiat, que P(A) = 0,6. P(A) = P(A F) + P(A F ) = 0,4 + 0,1 = 0,6. L equête permet de savoir que : Parmi les élèves fumeurs, la moitié ot des parets qui fumet ; Parmi les élèves o fumeurs, 65% ot des parets o fumeurs. O ote B l évéemet : «L élève choisi a des parets fumeurs». O otera PD C la probabilité de l évéemet C sachat l évéemet D. Das cette questio, o pourra s aider d u arbre podéré. a) Calculer les probabilités P A B et P A B. E déduire P(B). P(A B) = 0,5 0,6 = 0,18 et P(A B) = 0,64 0,5 = 0,4. Alors P(B) = P(A B) + P(A B) = 0,18 + 0,4 = 0,404. Page 1 sur 7

2 b) Calculer PB Calculer P B A, probabilité qu u élève fume sachat qu il a des parets fumeurs. A, probabilité qu u élève fume sachat qu il a des parets o fumeurs. Quelle remarque amèe la comparaiso de ces deux résultats? P(A B) P B (A)= = 0,18 P(B) 0,404 0,446. P B (A) = P(A B ) P( B ) et P(B ) = 1 P(B) = 0,596 de plus P(A B ) = 0,6 0,5 = 0,18. Doc P B (A)= 0,18 0,596 0,0. U élève qui a des parets fumeurs a doc plus de chace de se mettre à fumer qu u élève qui a des parets o-fumeurs. 4. O rappelle que, pour chaque élève choisi, la probabilité qu il soit fumeur est égale à 0,6. O choisit 10 élèves de termiale au hasard. O admettra que la populatio d élèves de termiale est suffisammet grade pour que le choix d élèves au hasard soit assimilé à u tirage avec remise. a) Quelle loi de probabilité semble-t-il judicieux d utiliser. Justifier. La loi biomiale de paramètres = 10 et p = 0,6 semble la plus adaptée das cette situatio. E effet, le tirage avec remise iduit la répétitio de maière idépedate d u schéma de Beroulli ou le succès est «l élève est fumeur» avec ue probabilité égale à 0,6. La variable aléatoire X correspodat au ombre d élèves fumeur au sei de ce groupe de 10 élèves. O a alors P(X = k) = ( 10 k ) 0,6k 0,64 10 k. b) Calculer la probabilité qu aucu de ces dix élèves e soit fumeur. P(X = 0) = 0, ,01 La probabilité qu aucu de ces dix élèves e soit fumeur est égal à 0,01 à c) Calculer la probabilité qu il y est au mois u élève fumeur. P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 0,01 = 0,988. La probabilité qu il y est au mois u élève fumeur est égale à 0,988 à d) Calculer la probabilité que le ombre d élèves fumeurs soit compris etre et 7. O cherche P( X 7). Comme P( X 7) = P(X 7) P(X < ) = P(X 7) P(X ) o a, à l aide de la calculatrice : P( X 7) = P(X 7) P(X ) 0,994 0,40 = 0,754. La probabilité que le ombre d élèves fumeurs soit compris etre et 7 est égale à 0,7 à Page sur 7

3 Exercice (6 poits) Partie A 1. Restitutio Orgaisée de coaissaces Posos, z = x + iy et z = x + iy où x, y, x, y sot des réels. a. Motrer que pour tout complexe z et z : z z z z. z z = (x + iy) (x + iy ) = (xx yy ) + i(xy + x y) = (xx yy ) i(xy + x y) z z = (x ) + iy (x ) + iy = (x iy) (x iy ) = (xx yy ) i(xy + x y) O a bie z z z z. 1 1 z' z' b. Motrer que pour tout complexe z o ul puis e déduire que. z z 1 = 1 = ( z ) 1 z = (z ) 1 z = z ( ) 1 z or 1 = z ( ) 1 z z ( z ) 1 z = (z ) z = z 1 ( ) z = z 1 = z z z Partie B = ( 1 ) z z Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormé ( O ; u, v ). À tout poit M d affixe z du pla, o associe le poit M d affixe z défiie par : z = z + 4z +. P z z i z 1i z i. 1. Soit a. Calculer P(i). P(i) = i + ( i) i + (1 i) i i = i + i + i + i = 0 Doc P(i) = 0 b. Détermier a, b et c tels que P z z iaz bz c. (z i)(az + bz + c) = az + (b ai)z + (c bi)z ic aisi P(z) = (z i)(az + bz + c) si et a = 1 b ai = i seulemet si :{ c bi = i ic = i a = 1 { b = c = et par coséquet, P(z) = (z i)(z + z + ). c. Détermier toutes les solutios de l équatios P(z) = 0. P(z) = 0 (z i)(z + z + ) = 0 (z = i ou z + z + = 0) Résolutio de z + z + = 0. C est u polyôme du secod degré das C a coefficiets réels. Δ = 9 4 = < 0 doc le polyôme admet deux solutios complexes cojuguées qui sot : z = +i = + i et z = i. Fialemet, l équatio admet trois solutios : i, + i et i.. U poit M est dit ivariat lorsqu il est cofodu avec le poit M associé. Démotrer qu il existe deux poits ivariats. Doer l affixe de chacu de ces poits sous forme algébrique. M = M z = z z = z + 4z + z + z + = 0. Les solutios de cette derière équatio ot été détermiées à la questio précédete. Il y a doc bie deux poits ivariats, l u d affixe + i et l autre d affixe i. z Page sur 7

4 i i. Soit A le poit d affixe et B le poit d affixe. a. Placer les poits A et B das le repère orthoormé ( O ; u, v) d uité graphique cm. b. Motrer que OAB est u triagle équilatéral. Calculos les trois logueurs OA, OB et AB. Le poit A ayat pour affixe i, ses coordoées sot doc A( ; ) et B( ; ). OA = (x A x O ) + (y A y O ) = ( ) + ( ) = 9 + = 1 = OB = ( ) + ( ) = 9 + = 1 = AB² = ( ) + ( ) = ( ) = Les trois distaces sot égales doc le triagle OAB est équilatéral. 4. Soit z = x + iy, l affixe de M. (O rappelle que x et y sot réels.) a. Détermier Re(z ) et Im(z ) e foctio de x et y. z = z + 4z + = (x + iy) + 4(x + iy) + = (x y + 4x + ) + i(xy + 4y) Aisi Re(z ) = x y + 4x + et Im(z ) = xy + 4y. b. Détermier l esemble (E) des poits M tels que le poit M associé soit sur l axe des réels. M est sur l axe des réels si et seulemet si so affixe z est u réel c est-à-dire si Im(z ) = 0. y = 0 Im(z ) = 0 xy + 4y = 0 y(x + ) = 0 { ou. x = Coclusio : l esemble E est costitué des poits d ordoée ulle doc de l axe des abscisses et des poits de la droite verticale dot ue équatio est x = (droites e bleu). c. Représeter l esemble (E) das le repère ( O ; u, v ). Page 4 sur 7

5 Exercice ( poits) Les trois questios sot idépedates. Pour chaque questio, ue affirmatio est proposée. Idiquer si elle est vraie ou si elle est fausse e justifiat la répose. U poit sera attribué pour chaque répose correctemet justifiée. Aucu poit e sera attribué à ue répose o justifiée. 1. Soit u etier aturel. O cosidère les deux etiers a et b défiis par : a = et b = +. Affirmatio : pour tout etier aturel, le quotiet et le reste de la divisio euclidiee de a par b sot respectivemet égaux à + et à = ( + )( + ) + ( + 17) Cette égalité est la divisio euclidiee de a par b si et seulemet si < + c est-à-dire si 15 < et o pour tout etier aturel. O aurait pu utiliser u cotre-exemple : si = 0 par exemple, o trouve a = 1 et b = L affirmatio est doc FAUSSE.. O cosidère l etier N = 01. Affirmatio : Le reste de la divisio euclidiee de N par 7 est égal à 6. = 7 = ( 1) 1 mod[7] or 01 = doc 01 = 670+ = ( ) 670 Par coséquet, 01 ( 1) 670 mod[7] mod[7] mod[7]. Comme 0 < 7, est le reste de la divisio euclidiee de N par 7. L affirmatio est doc FAUSSE.. O cosidère l etier M = Affirmatio : M est divisible par 5 quel que soit l etier aturel. 4 = 16 = mod[5] doc 4+1 = 4 1 mod[5] mod[5] 4 = 81 = mod[5] doc 4+1 = 4 1 mod[5] mod[5] Par coséquet : M = mod[5] 0 mod[5] ce qui sigifie que M est u multiple de 5. L affirmatio est doc VRAIE. Page 5 sur 7

6 Exercice 4 (5 poits) Partie A O cosidère l algorithme suivat : Variables k et p sot des etiers aturels u est u réel Etrée Demader la valeur de p Traitemet Affecter à u la valeur 5 Pour k variat de 1 à p Affecter à u la valeur 0,5u + 0,5(k 1) 1,5 Fi de pour Sortie Afficher u Faire foctioer cet algorithme pour p = e idiquat les valeurs des variables à chaque étape. Quel ombre obtiet-o e sortie? valeur de k 1 valeur de u 5 1 0, 5 O obtiet e sortie : 0,5. Partie B Soit u la suite défiie par so premier terme u0 = 5 et, pour tout etier aturel par : u 1 0,5u 0,5 1,5. 1. Modifier l algorithme de la première partie pour obteir e sortie toutes les valeurs de u pour variat de 1 à p. Variables : k et p sot des etiers aturels u est u réel Etrée : Demader la valeur de p Traitemet : Affecter à u la valeur 5 Pour k variat de 1 à p Affecter à u la valeur 0,5u 0,5( k1) 1,5 Afficher u Sortie: Fi de pour. À l aide de l algorithme modifié, après avoir saisi p = 4, o obtiet les résultats suivats : 1 4 u 1 0,5 0,75 0,75 Peut-o affirmer, à partir de ces résultats, que la suite ( u ) est décroissate? Justifier. Puisque 4 > u u la suite u est pas décroissate, du mois pas avat le rag 4. Page 6 sur 7

7 . Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel supérieur ou égal à, u 1 u. Que peut-o e déduire quat au ses de variatio de la suite ( u )? Iitialisatio : o viet de voir que u4 > u : la relatio est vraie pour =. Hérédité : o suppose qu il existe u aturel p tel que u > 1 u p p. d où 0,5 up 1 > 0,5up ; d autre part : p 1 > p 0,5( p 1) > 0,5p d où par somme des ces deux derières iégalités : 0,5u 0,5( p 1) > 0,5u 0,5 p et e ajoutat 1,5 à chaque membre : p1 p 0,5u p 1 0,5( p 1) 1,5 > 0,5u p 0,5p 1,5 soit up > up 1 : la relatio est vraie au rag p 1. Coclusio : o a doc démotré que pour tout etier aturel supérieur ou égal à, u > 1 u ce qui motre que la suite u est croissate à partir du rag Soit v la suite défiie pour tout etier aturel par v 0,1u 0,1 0,5. Démotrer que la suite v est géométrique de raiso 0,5 et exprimer alors v e foctio de. Pour tout aturel, o a : v = 0,1u 0,1( 1) 0,5 1 1 = 0,1u 0,10,4 1 = 0,1 0,5u 0,5 1,5 0,1 0, 4 = 0,05u 0,05 0,15 0,1 0,4 = 0,05u 0,050,5 = 0,5 0,1u 0,10,5 = 0,5v La suite v est doc géométrique de raiso 0,5. Le premier terme est : v 0 = 0,1 5 0,1 0 0,5 =1 o a doc pour tout aturel, 1 v = 1 0,5 = 0,5 =. 5. E déduire que, pour tout etier aturel, u 100,5 5. O a v = 0,1u 0,1 0,5 0,5 = 0,1u 0,1 0,5 10 0,5 = u 5 u = 10 0, Détermier alors la limite de la suite ( u ). Comme 1 < 0,5 < 1, o a lim 0,5 = 0 et comme lim =, o a doc lim u =. La suite u e coverge pas. Page 7 sur 7